二倍角公式及其应用

二倍角公式及其应用（精选5篇）

二倍角公式及其应用 篇1

郴州综合职业中专

张文汉

教学目的：

引导学生导出二倍角的正弦、余弦以及正切公式并且能够熟练掌握其应用 教学重点：

二倍角的正弦、余弦以及正切公式 教学难点：

二倍角的正弦、余弦以及正切公式的变换及公式的应用，特别是逆应用公式 引入：

回顾正弦、余弦以及正切的和角公式：

sinsincoscossin coscoscossinsin

tantantan1tantan

要求：

掌握三个公式的形式与结构并熟记公式 新授：

一、二倍角的正弦、余弦以及正切公式的导出

在上述正弦、余弦以及正切的和角公式中

以“”代“”得二倍角的正弦、余弦以及正切公式如下：sin22sincos，cos2cos2sin2，tan22tan1tan2, 另外、根据sin2cos21可得二倍角的余弦的另外两个公式：

cos22cos21，cos212sin2.二、应用训练 ㈠、公式的正用：

已知cos34,1800,2700,求sin2、cos2的值.解：因为cos3,1800,2700,43132

所以，sin1cos2144,所以，sin22sincos21334439,82

cos22cos2123415.8㈡公式的反用：求下列各式的值

12sin22.50cos22.50

2sin150cos150 32cos222.5041sin25212

解1原式sin(222.50)sin45022.解2原式122sin150cos15011112sin300224 解3原式cos(222.50)cos45022.解4原式1212sin2515122cos6

11132cos62cos62234.㈢公式的灵活运用：化简或求值

1化简：21sin822cos8;2求值：cos2417cos17cos17cos817.sin2sin23已知tan222，且0,，求21的值.2cos4解1原式212sin4cos4222cos241

2sin4cos424cos24

2sin4cos42cos42sin42cos4.因为，sin4与cos4皆为负.248coscos1717171717 解2原式24sin17224844823sincoscoscos22sincoscos17171717171717 24sin24sin171788162sincossinsin()sin17171717171.1624sin24sin24sin24sin171717172tan解3：因为tan222,所以22, 21tan24sincoscos整理得：2tan2tan20,解之，得tan2或tan2, 22若0,，则tan，此时222 1sincostan1原式2223;cossintan1212tan121若,，则tan2，此时 原式322.tan1212

三、课堂练习

求下列各式的值：1sin67.50cos67.50;2sin750cos150.四、课堂小结：

1、二倍角公式的导出；

2、二倍角公式的熟练应用；

3、二倍角公式的灵活应用.五、作业：

已知等腰三角形的一个底角的正弦值等于0.6,求这个等腰三角形的顶角的正弦、余弦值.六、课后思考训练



1、求值：sin60sin420sin660sin780;

2、已知sincos2,,,求tan;2

22sinsin2

二倍角公式及其应用 篇2

1. 教学目的、重点及难点

1.1 教学目的

(1) 了解二倍角公式产生的来由、过程, 探求二倍角公式证明的思想方法.

(2) 通过学习二倍角公式产生的过程, 深刻理解二倍角公式的本质.

(3) 培养学生利用二倍角公式解决一些简单实际问题的能力.

1.2 教学重点:深刻理解二倍角公式的由来、产生公式的过程, 认识二倍角公式的本质.

1.3 教学难点:二倍角公式的本质及拓广.

2. 教学过程

2.1 提出问题

要在半径为R的半圆材料上 (如图) 截成一条边在直径上的内接长方形.设∠BOC=θ, 当θ为多大时, 才能使长方形ABCD的面积最大?

师:首先计算出长方形ABCD面积S.

生:计算S=2R2sinθ·cosθ;.还有其他方法.

师:θ为多少时, S最大呢?需要化简2sinθ·cosθ, 首先回顾已学过的和角三角函数公式.

2.2 知识回放, 公式探索

师:sin (α+β) =?cos (α+β) =?tan (α+β) =?

生:sin (α+β) =sinαcosβ+cosαsinβ.Sα+β

com (α+β) =cosαcosβ-sinαsinβ.Cα+β

师:能利用Sα+β, Cα+β, Tα+β推导出sin2α, cos2α, tan2α的公式吗?大家考虑一下.

生:sin2α=sin (α+α) =2sinαcosα.

cos2α=cos (α+α) =cos2α-sin2α.

师:还能得到其他更简捷的形式吗?

生:cos2α=1-2sin2α=2cos2β-1.

师:很好, 用sinθ, cosθ其中一个就可以表示cos2α, 为我们今后应用带来更大方便.

师:这些公式有什么特征?

生:二倍角正弦、余弦公式, 从左到右减倍增次.

师:很好, 以这些公式推导过程中体会到什么思想?

生:从一般到特殊的替换思想.

师:这是中学数学的重要思想方法, sinα, 等能用倍角公式吗?

师:很好, 倍角是相对而言的, 也就是α是α2的倍角, 的倍角.

2.3 公式运用, 加深理解

例1引入问题, 求面积最大值S=2R2sinαcosα=R2sin2α.

当时, S有最大值R2.

例2 (1) 已知, 求cos2α的值.

(2) 已知, 求tanα的值.

学生上黑板板演, 这两个例子加深了学生对倍角公式的理解.

2.4 公式的拓广变形

师:公式可以拓广变化吗?

(学生探索)

师:是公式逆用.还有吗?

(学生思考)

师 (提示) :1±sinα=?

生:1±sin2α= (sinα±cosα) 2

师:1+cos2α=?

生:1+cos2α=2cos2α.

师:还有吗?

生:1-cos2α=2sin2α.

师:很好, 公式拓广:

师 (总结) :从左到右, 降幂升角公式, 从右到左, 降角升幂公式.

2.5 总结反思, 教师启发并归纳

(1) 倍角公式探索是从一般到特殊的替代过程, 是高中数学重要的一种思想方法, 利用此方法, 可以探索出更多的公式如三倍角公式.

(2) 倍角是相对的, 2α是α的倍角, 4α是2α的倍角, α是的倍角等.

(3) 公式的推广、变形、逆用也是灵活运用, 是理解公式的关键所在.

师:希望同学们正确理解公式的替换、推广、变形、逆用等, 而不是机械地记忆, 最后留给同学们课后来拓广:

(1) 用tanα来表示sin2α, cos2α.

(2) 用sinα, cosα来表示

3. 教学特色简评

学习三角函数的二倍角公式的目的, 是引导学生经历从一般到特殊的公式替换过程.从一个母公式产生出子公式, 认识和理解三角公式推广变形的本质.这节课的内容平淡、单薄, 教学中很难“出新、出奇、出彩”, 如何在教学中构建生动的情境, 让学生在探索中求知, 在思考中求智, 在品味中求美, 使课堂充满生动, 演绎精彩, 彰显魅力, 是对教师的悟性和能力的极好考验.

教师以民主的精神, 开放的态度, 合作的方式, 宽松的环境组织教学活动, 教学过程呈现出一种双向的交流, 动态的建构, 生长的愉悦, 发展的快乐, 课堂成为师生共同拥有的家园.在整节课中, 教师尊重学生的主体地位, 为学生探索新知创造条件, 尊重学生的个人感受和独特见解, 鼓励学生自主探究与合作交流, 敏锐地捕捉发生在课堂情境中的每一次思维灵感的闪烁, 并巧妙地加以引导、点拨, 课堂中有疑问, 有猜想, 有思考, 有体验, 学生的理解过程和整个精神世界得到了实质性的发展和提升.真正落实了“促进学生持续和谐发展”的新课程理念.

3.1 在教材的处理上, 体现了用教材教的新课程理念

新教材是“课程标准”的物化, 是教育专家理论研究成果和优秀教师教学实践的经验结晶, 是依据学生的年龄特征、心理特征和身心发展规律精心策划的成果.教材中的每道例题都蕴含着某些数学思想方法, 都具有其特点的教育功能, 这功能需要教师深入教材认真研究, 从课程的高度来理解、思考和处理, 其价值才能得以阐释.从本节课来看, 教师在教材处理上, 体现了用教材教的新课程理念.

数学课堂在完成其特定的教学任务同时, 理应承担着“为学生的终身发展打好基础”的责任, 教师用教材教, 不能简单地把教学目标锁定完成在教材上, 这节课开始时, 教师能够引入教学情境, 通过半圆的内接矩形面积最大问题, 将学生带入探究数学问题, 引入和谐自然, 在教学过程中, 让学生亲身经历倍角公式的形成、发现和应用过程, 使学生既加深了对倍角公式本质的理解, 也使学生领会替代思想在三角函数公式拓广、交换中的作用.在这节课的结尾, 教师巧妙地设计了探究性问题, 使学生既获得了教学思想方法, 又感到问题中变化规律的奇特, 更会被数学之美所诱惑.殊不知, 这是教师特意设计的悬念, 为下节课的引入做好了铺垫.

3.2 在目标设置上, 正确把握理解与体验公式的本质

过程和结果是辩证统一的.就其性质而言, 结果通常只涉及认知层面, 它以“产品”的形成存在, 是封闭的, 固定的, 静态的, 而过程则涉及认知层面, 又渗透着活动主体的情感、态度、意志等心理因素, 它以“活动”的形式存在, 是开放的, 灵活的, 发展变化的, 它对学生身心素质的形成与发展具有促进作用, “没有过程的结果是没有体验、没有深刻理解的结果, 不追述结果的过程是缺乏价值和意义的过程”.

本节课中, 教师设计了半圆中作内接矩形, 探求面积最大的矩形, 引导学生从和角的正弦、余弦、正切公式中自主探究倍角三角函数公式, 找出公式替换的数学方法, 学生通过对公式的探究, 经历了判析、比较以及相应的分析、变形、推广等多样化的过程, 有了数学学习个性化的感悟和体验, 有了数学经验的孕育和理解能力的提升, 自然而然的对倍角公式的本质有了深刻的理解, 通过例题有目的、有层次的题理解, 倍角公式的应用理解得到强化, 教师在例题教学中能够充分放手让学生参与自主探究活动, 使学生在成功与失败.正确与错误的矛盾冲突中层层深入, 思维碰撞时时激起, 个体的创造力、潜能、天赋、个性等得以充分表征, 凝固在活动结果上的是学生完全理解倍角、半角的概念, 公式的变化形成了一个活的数学知识结构、理智过程.

3.3 在教学方法运用上, 把握探究与理解相结合

探究学习比较开放, 它更重视学生学习动机和独立思考, 更强调过程, 在培养学生的创新精神和实践能力方面有其独到之处.但这种学习方式花费的时间较多, 接受性学习可以在较短的时间内让学生吸取更多的信息, 在传递系统的学科知识方面, 其效率是其他学习方式无法比拟的, 但这种方法不利于激发学生探索和创新的积极欲望, 对学生理解本质的体验不够深入.接受性学习和探究性学习在实际教学中, 教师不能采取非此即彼、二元对立的方式看问题, 要尽可能地做到“探究”与“接受”的和谐, 实现多种学习方式的优化组合, 本节课, 教师在这方面有较好的体现.

3.4 在教学的过程中, 体现了“主体”与“主导”的关系

教学是一种教师价值引导和学生自主建构相统一的活动, 一方面教学设计蕴含着老师的主观意趣, 这种主观意趣内含着教师的价值选择和价值预设, 另一方面, 学生的精神世界是自主地、能动地生成、建构的, 而不是外部力量塑造而成的, 过分强调前者, 教学就会走向机械灌输, 被动接受;过分强调后者, 教学就会走向无目标的误区.因此, 教学中一方面我们应当承认学生是学习的主人, 尊重学生在学习中的主体地位, 促进学生积极、主动的建构;另一方面, 也要看到, 教师肩负着帮助学生增加自我价值感和追求成功的责任, 也就是说, 课堂教学是在教师有目的的引领下, 通过学生的自主探究、自主建构去不断地感悟、探究、理解、体验, 实现发展思维的目标.学生的主体地位得到较好的体现, 而且教师还能牢牢抓住有目的的引导, 使得课堂教学既生动, 又能按照预设有序地推进.

学生在探究中, 有过困惑, 有过迷茫, 有过失败, 有过错误, 产生情绪波动也在意料之中, 每每遇到这些, 教师给予学生的都是恰到好处的扶持帮助, 点拨引导, 启发诱思.如sinα, 能运用倍角公式吗?启发学生体会公式的本质, 如1+sin2α= (sinα+cosα) 2, 1-cos2α=?引导学生对公式的变形与逆用, 开拓学生思维, 引领学生体验, 恰当地把学生的思维引到关键的问题上, 这些都说明了教师是用理智上课, 也展示了教师高超的教学技艺和驾驭课堂教学的能力.

二倍角公式及其应用 篇3

一、基础知识精讲

（一）两角和与差公式

sinsincoscossin coscoscossinsin tantantan1tantan

（二）倍角公式

sin22sincos

cos2cossin2cos112sin tan22222注：倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。1tan2tan2

注：（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：求值题，化简题，证明题。

（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。

（3）掌握“角的演变”规律，如2,（4）将公式和其它知识衔接起来使用。

二、例题应用(一)公式正用 例

1、求值

1sin555（=246）

2cot5（=32）12例2(P53)设cos12,0,求cos.,sin,222923分析：观察已知角和所求角，可作出

2，然后利用余弦的倍角

22公式求解。

,解：因为,0,所以

2242422 所以sin2459，cos5，3275所以cos cos22272故cos2cos2(二),公式逆用

239 .172920

0

0 P(53)(双基)sin163sin223+sin253sin313

例3

已知tantantantantan0

34,且cos0,求sin3

分析：涉及与及的正切和差与积，通常用正切公式的变形公式。

tantan1tantantantan34解：原式=

tan

35又cos0,所以为第三象限角，所以sin3sin(三).用用边角关系的公式解三角形

例

4、(P53例2)在三角形ABC中,角A..B.C对边a,b,c

证明:abc222sin(AB)sinC

(四)综合

例

5、(P53例3)(0,2),sinsinsin

coscoscos,求

三、课堂小结

在运用公式时，要注意公式成立的条件，熟练掌握公式的顺用、逆用、变形用，还要注意各种的做题技巧。

倍角公式(教案) 篇4

作者 郭永

工作单位 山东省莱芜市第五中学 邮编271121

(一)教学目标：(1)掌握S2,C2,T2公式的推导；通过公式的推导，掌握由一般到特殊的研究方法,了解个公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力；

(2)能正确运用二倍角公式求值、化简、证明；通过综合运用公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。

(二)教学重点、难点

重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及错误！未找到引用源。公式的变形，二倍角公式的基本应用。

难点：倍角的相对性及其公式的灵活应用。

(三)教学方法

提问式教学＋练习，(四)教学过程 1 复习引入

前面我们学习了和(差)角公式，现在请同学们快速回忆一下，不要翻笔记和书。教师提问：对象：基础薄弱生，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，同学口述：

cos()coscossinsin

sin()sincoscossin

tg()tgtg1tgtg

简单重复总结三组公式的用途：

这组公式主要是用两个单角的三角函数值来计算由这两个角 相加或相减合成的角的三角函数，事实上，有些情况中，只用加或减不能满足要求，比如，角a，我们要求它的二倍，三倍，即2a，3a，等等，该如何求呢？今天我们就先来学习二倍角的相关公式。最简单的倍角就是二倍角。以后我们常说的倍角也是指二倍角。2 公式推导 提问：（对象：程度较好的学生）如何根据已有知识求出倍角的三角函数公式？

生 ：在S(),C(),T()中，令，就可以求出sin2,cos2,tan2的表达式，即：

sin2=sin（+）= sincos+cossin = 2sincos；

cos2=cos（+）= coscos+sinsin = cos2－sin2；

tan2tan()tantan2tan1tantan1tan2.整理一下为

sin2=2sincos cos2= cos2-sin2

2tantan221tan

提问： 对于cos2= cos2－ sin2，还有没有其他的形式？ 生：利用公式sin2 + cos2=1变形可得：

cos2 = cos2－sin2=cos2－（1－cos2）=2cos2－1 cos2 = cos2－sin2=（1－sin2）－sin2 =1－2sin2

因此，cos2还可以变形为下述表达形式：

cos2 = cos2-sin2

＝2cos2-1 =1-2sin2

提问：错误！未找到引用源。

生： 可以利用公式tan2sin22sincos推导，但下面不知如何进22cos2cossin行才能转化为上面的形式？

提问：如何用tan表示tan2？

生：分子分母同时除以错误！未找到引用源。可得。在前面我们遇到过类似的处理方法。公式成立条件

提问：以上公式中，是不是对于任意角都成立？

公式S2 ,C2中，角可以是任意角，但公式T2只有当1tan20,tan和

tan2有意义，即，tan和tan2有意义的时候才成立 提问：那有什么限制条件? k124 ,且k2(kZ)时才成立，否则不成立.师：说得非常好．想得全面．但我还有一个问题希望同学们帮助解决，错误！未找到引用源。时，tanα不存在，但tan2α是存在的，刚才同学说不能用二倍角正切公式解决，那又如何处理呢？

生：这种情况，可以改用诱导公式,错误！未找到引用源。

师：考虑问题要周全，处理问题要讲究方法，要学会作多面手，善于运用所学的知识，用不同的方法来解决问题．通过我们的讨论，使二倍角公式趋于完善，师：在同学们熟悉了二倍角公式的基础上，我还有一点希望同学们注意． 要注意倍角的相对性．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，比如错误！未找到引用源。公式应用（正用，逆用，活用）

例1 已知错误！未找到引用源。求错误！未找到引用源。

例2.求下列各式的值

(1)sin15cos15；

(2)cos2sin2；

882tan22.5

(3)；

(4)12sin275． 21tan22.5例3 化简

（1）错误！未找到引用源。

(2)错误！未找到引用源。

(3)错误！未找到引用源。

(4)错误！未找到引用源。

(5)错误！未找到引用源。

(6)例4 化简

（1）错误！未找到引用源。

(2)错误！未找到引用源。

（3）错误！未找到引用源。

（4）错误！未找到引用源。

归纳总结： 这类题的结构特点是什么？ 小结:(如何做小结)请同学们思考,倍角公式与和角公式有什么联系? 2 学会灵活运用倍角公式及其变形

教案特色：

1、难点倍角的相对性和灵活应用在后面的题目中渗透的。以让学生多思考

2、精心选择了题组，第一组题是公式的正用，利用倍角公式求值。第二组是公式的逆用。

第三组的（1）是体现倍角相对性的

（2）是常见的利用倍角对1＋sinx 1－sinx这样的形式的一个转化（3）利用倍角对 1＋cosx、1－cosx 的一个转化

二倍角公式及其应用 篇5

一、两角和与差的三角函数

1、两角和与差的正弦： sin()sincoscossin；

2、两角和与差的余弦：cos()coscossinsin；

3、两角和与差的正切：tan()tantan。1tantan

2tan 21tan224、二倍角公式：①sin22sincos，②cos2cossin，③tan2

※

5、用赋值法求三角函数值的步骤：（1）作图赋值（2）求边算角（3）确定符合 ※

6、三角函数化简变换：

22（1）同角变换：①sincos1，②tancot1，③tansin cos

）tan（2）负角变换：①sin()sin，②cos()cos，③tan（（3）余角变换：①sin(

2)cos，②cos(

2)sin，③tan(

2)cot

)tan（4）平角变换：①sin()sin，②cos()cos，③tan（)tan（5）周期变换：①sin(2)sin，②cos(2)cos，③tan（※

7、三角函数计算或证明技巧：（1）切割化弦（2）异名化同（3）升次降次 ※

8、解和差倍角题型步骤：（1）明确角范围（2）求出中间值（3）凑出要求角（4）灵活用公式 ※

9、三角函数象限符合口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。

二、解斜三角形：（ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c）

1、三角关系：A+B+C=1802、三边关系：abcab3、边角关系：（1）正弦定理：0abc2R，（R是ΔABC外接圆的半径）sinAsinBsinC

b2c2a2

（2）余弦定理：abc2bccosA，cosA 2bc222

（3）大小定理：大边对大角，小边对小角，等边对等角。

4、面积公式： SABC111absinCbcsinAacsinB 222

※

4、题目类型：

（1）常规题型：①已知SSS②已知SAS③已知AAS【④】已知SSA

（2）实际应用：①仰俯角问题②方位角问题③多边形问题

※

5、解斜三角形步骤：

（1）作图标图（2）条件联想（3）结论分析（4）思路步骤（5）板书设计 ※

6、解题十二要诀：

（1）解前准备充分，理解记住知识； 掌握方法技能，熟悉基本题型。

（2）解时联想经验，思想方法探寻； 设计思路步骤，板书条理工整。