定积分及其应用教案

定积分及其应用教案

定积分及其应用教案 篇1

1.教学目标

（1）知识与技能：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解

（3）情感态度与价值观：体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．

2.教学重点/难点

【教学重点】：

（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。

（2）数形结合的思想方法 【教学难点】：

利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．

3.教学用具

多媒体

4.标签

1.7.1 定积分在几何中的应用

教学过程

定积分及其应用教案 篇2

定义1 设函数f( x) 在[a,b]上连续. 在区间[a,b]上任意插入n - 1个分点xi( i = 1,2,…,n - 1) ,并设a = x0, b = xn,则区间[a,b]分成n个小区间[xi -1,xi]( i = 1,2,…, n) ,各个小区间的长度为Δxi= xi- xi -1,在每个小区间上任取一点ξi( xi -1< ξi< xi) ,作函数值f( ξi) 与该小区间的长度Δxi的乘积f( ξi) Δxi( i = 1,2,…,n) ,并作和 ,如果不论对区间[a,b]怎样分法,也不论在区间[xi -1,xi]上点ξi怎样取法, 只要当λ→0时,和S总趋向于确定的常数I,那么称极限I为函数f( x)在区间 [a,b] 上的定积 分.即

当我们无法举例或举例困难时,就要以内涵先导方式给出定义,看下面的定义2.

定义2设函数y = f( x) 在闭区间[a,b]上连续,并且在此区间上F( x) 是f( x) 的任意一个原函数,我们把式子 叫作定积分,并且规定

显然这样的概念无法事先举出实例,这就是内涵先导式的概念. 定义1称为传统定义,定义2称为创新定义或牛顿—莱布尼兹定义. 两个定义具有怎样的关系呢?下面的两个定理说明了这个问题.

定理 1 设函数f( x) 在闭区间[a,b]上连续,函数 为区间[a,x]上按定Φ( x) = lim λ→0∑ i = 1 f( ξi) Δxi( x∈[a,b]) 为区间[a,x]上按定义1的方法取得的极限,则: ( 1) 对于区间[a,b]上的任意两点x1,x2( x1< x2) ,则在区间[x1,x2]上至少存在一点ξ,使得Φ( x2) - Φ( x1) = f( ξ) ( x2- x1) ; ( 2) 在闭区间[a,b]上Φ'( x) = f( x) ,即Φ( x) 是f( x) 的原函数.

证明( 1) 设R和r分别为f( x) 在闭区间[x1,x2]( x1, x2∈[a,b]) 上的最大值和最小值,对于区间[x1,x2]按定义1的分法( 分成k个小区间) 和ξi的取法,以及r≤f( x) ≤R x∈ [x1,x2(]) ,则有

( 2) 对于闭区间[a,b]上的任意一点x,当给出增量Δx(x + Δx∈ [a,b])时,根据本定理( 1) 的结果,在区间[x,x + Δx]上至少存在一点ξ,使得 因为当Δx→0时,ξ→x,则有 ,即Φ'( x) = f( x) . 所以在闭区间[a,b]上Φ( x) 是f( x) 的原函数.

定理2设函数f( x) 在闭区间[a,b]上连续,对于该区间[a,b]按定义1的方法取得的极限为

证明根据定理1( 2) 可知在闭区间[a,b]上 是f( x) 的原函数,根据定义2则有 显然Φ( a) = 0,

定理2说明了当函数f( x) 连续时,在闭区间[a,b]上传统定义与牛顿—莱布尼兹定义具有等价关系. 因此,我们完全可以以定义2作为定积分的定义. 两个定义各自具有不同的特点,定义1着重在方法上,具有抽象性的特点,适合于理论研究; 而定义2着重在计算和应用上,具有创新、简洁、实用的特点,两者在教学时间和难度上存在较大差距. 不同层次的学生其基础不同,思维能力不同,教学特点也不同,因此需要采用不同的定义方式,以利提高教学质量.

摘要：传统定积分的定义难度较大且过程复杂,应用价值也较低.基于应用目的,本文以内涵先导方式给出了定积分的创新定义,且将这一定义命名为牛顿—莱布尼兹定义.对于两个定义的关系文中采用独特方法给出了详细论证.与传统定义相比创新定义具有简洁、实用的特点,对于提高教学质量意义重大.

例析定积分的简单应用 篇3

定积分的几何意义：在区间[a,b]上的曲线[y=f(x)]连续且恒有[f(x)≥0]，那么定积分[abf(x)dx]表示由直线[x=a,x=b,x]轴和曲线[y=f(x)]所围成的曲边梯形的面积.

1. 不分割图形面积的求解

例1 求由曲线[y=x]，直线[y＝x－2]及[y]轴所围成的图形的面积.

分析 结合图形，从图中可以看出所求图形面积可以转化为两个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求面积[S].

解 如图，阴影部分面积即为所求，求得曲线[y=x]与直线[y＝x－2]的交点为[A(4,2)]，

∴[S阴＝04(x－x＋2)dx=(23x32-12x2+2x)40][=163].

2. 分割图形面积的求解

例2 计算由直线[y=4]，曲线[y=4x]及直线[y=x]所围成的封闭图形的面积.

分析 结合图形，从图中可以看出所求图形面积可以转化为两个曲边梯形的面积的和，进而可以用定积分知识求面积[S].

解 由[y=4y=4x]得[A(1,4)]； 由[y=4xy=x]得[B(2,2)]； 由[y=4y=x]得[C(4,4)].

从而所求的图形面积为

[S=12(4-4x)dx+24(4-x)dx]

[=(4x-4lnx)21+(4x-x22)42=6-4ln2].

点拨 求曲线围成的平面图形的面积的解题步骤：（1）画出图形，并将图形分割为若干个曲边梯形（如例题2）；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分的上、下限；（3）确定被积函数，要特别注意被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形的定积分表达式；（5）运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积.

二、定积分在物理中的应用

1. 变速直线运动的路程

做变速直线运动的物体所经过的路程[s]，等于其速度函数[v=v(t)(v(t)]≥0)在时间区间[[a，b]]上的定积分，即[s=abv(t)dt].

例3 一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度[v(t)=5-t+551+t](单位:m/s)紧急刹车至停止，求（1）火车从开始紧急刹车到完全停止所经过的时间；（2）紧急刹车后，火车运行的路程.

分析 火车停止即速度为零，火车运行的路程即为速度函数在这一时间段上的定积分.

解 （1）火车停止时，[v(t)=0]，

所以[5-t+551+t=0]，解得[t=10].

即火车从开始紧急刹车到完全停止所经过的时间为10秒.

（2）紧急刹车后，火车运行的路程

[s=010v(t)dt=010(5-t+551+t)dt]

[=5t-12t2+55ln(1+t)100=55ln11m]

答: 紧急刹车后，火车运行的路程为[55ln11]米.

点拨 路程是位移的绝对值，从时刻[t=a]到[t=b]所经过的路程:

（1）若[v(t)≥0,s=abv(t)dt;]

（2）若[v(t)≤0,s=-abv(t)dt;]

（3）若在区间[a,c]上[v(t)≥0,]在区间[c,b]上[v(t)<0]，则[s=acv(t)dt-cbv(t)dt.]

2. 变力做功

一物体在变力[F(x)]（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与[F]相同的方向从[x=a]移动到[x=b][(a

例4 一物体按规律[x=bt3]做直线运动，式中[x]为时间[t]内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比（比例系数为正实数[k]），试求物体由[x=0]运动到[x=a]时，阻力做的功．

分析 本题的关键是找到阻力的函数解析式，所以首先要找到物体的运动速度. 结合导数的物理意义，物体的运动速度等于物体的路程关于时间的函数的导数，再代入题意即得到阻力做的功.

解 由题意知：物体的位移函数为[v(t)=bt3]，

∴速度函数为[v(t)=x(t)=3bt2].

媒质阻力[f阻=k⋅v2(t)=9kb2t4]，又[t=(xb)13]，

[∴f阻=9kb2t4=9kb2(xb)43=9kb23x43].

∴阻力做的功是

[W阻=0af阻dx=0a9kb23x43dx]

[=9kb23(37x73)a0=277kb23a23].

点拨 求变力做功的方法（1）求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力[F]的表达式，这是求功的关键. （2）由功的物理意义知，物体在变力[F(x)]的作用下，沿力[F]的方向做直线运动，使物体从[x=a]到[x=b][(a

1. 由曲线[y＝x2＋1]，[x＋y＝3]及[x]轴、[y]轴所围成的区域的面积为 .

2. 函数[f(x)＝x+1 (-1≤x<0),cosx (0≤x≤π2),]的图象与[x]轴所围成的封闭图形的面积为（ ）

A. [32] B. 1 C．2 D. [12]

3. 已知自由落体运动的速率[v=gt]，则落体运动从[t=0]到[t=t0]所走的路程为（ ）

A．[gt203] B．[gt20] C．[gt202] D．[gt206]

4. 如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ ）

A．0.18J B．0.26J

C．0.12J D．0.28J

1. [103] 2. A 3. C 4. A

定积分及其应用教案 篇4

湖北省宜昌市第二中学曹超

邮编：443000电子邮箱：c220032003@yahoo.cn

数列和式不等式aiA(或aiA)的证明通常要用到放缩法，由于放缩法技巧性强，且无固定模式，i

1i1

n

n

在实际解题过程中同学们往往难以掌握。学习了定积分的相关知识后，我们可以利用定积分的定义及几何意义证明此类不等式，下面笔者仅就两例对这种方法加以介绍。

例1

证明：1)1

第2题）

证明：

构造函数f(x)

1

1

1（nN）（高中人教（A）版选修4-5P29，作出函数图象，图（1）中n-1个矩形的面积

和

1

应为直线x1，xn，x轴和曲

线

f(x)

所围成曲边梯形面积的不足近似值，故







n

x



2dx=2x

2n

=2，所以

图（1）

1





1。

图（2）中n

个矩形的面积和1



应为直线

x1，xn1，x轴和曲

线f(x)所围成的曲边梯形

面积的过剩近似值，故1







n1

x



dx=

图（2）

2x2

n1

=2，不等式得证。

评析：

教材对本题证明给出了提示：









①，实际解题过程中，由于不等式①技巧性强，思维量大，学生如不参考提示很难得到。事实

上，如图（3）所示，根据定积分的定义及几何意义，在区间n,n1(nN)上的曲边梯形的面积大于以区间的右端点n1对应的函数值f(n1)为一边的长，以1

为邻边的长的矩形的面积，小于以区间的左端点n对

图（3）

应的函数值f(n)为一边的长，以1为邻边的长的矩形的面积，即





n1n

x



dx2x2

n1n





代数变形技巧得到，更非“空穴来风”，而是有着明确几何意义的代数表示，数形结合思想在这里得以充分地体现。

例 2对于任意正整数n，试证：（1）当nN时，求证：ln(n1)lnn

（2）

1n1



1n2



1nn

ln

3

1n+1

分析：此题的设计意图是利用第（1）问的结论证明第（2）问。但如果没有第一问作铺垫，第（2）问的证明很难用代数方法得到，如果利用例1所述方法，那么证明变得非常简洁。

证明：（1）证明略。

（2）构造函数f(x)

1x

(x0)，作出函数图象，根据yf(x)

在区间n,2n上定积分定义及其几何意义，图（4）中n个矩形的面积和小于由直线xn，x2n，x轴和曲线f(x)围

1x

所，即

成

n的12

曲

边梯形的面积

n1

21n1

ln2nxx

n(n2l

7n)n，l不等式nln

得证。

图（4）

新课标新增的微积分知识有着丰富的数学背景及内涵，所蕴含的数学思想方法为我们问题的解决提供了新的视角，所以我们在平常学习过程中应予以足够的重视。最后提供两道练习题供同学们参考。

1、2、求证：()()（n

n

n

n

n1

nnn)()2nn

1n

1n1



（nN）



1n



证明：对于大于1的正整数n，n2

定积分的计算方法总结 篇5

定积分

1、定积分解决的典型问题

（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程

2、函数可积的充分条件

●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

3、定积分的若干重要性质

●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a）,该性质说明由被积函数在积分区间上的.最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

●性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。

4、关于广义积分

设函数f(x)在区间[a,b]上除点c（a

定积分的应用

1、求平面图形的面积（曲线围成的面积）

●直角坐标系下（含参数与不含参数）

●极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）(扇形面积公式S=R2θ/2)

●旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程）

●平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx,其中A（x）为截面面积）

●功、水压力、引力

一类积分不等式的推广及其应用 篇6

本文讨论了一类新的关于两个无关变元积分不等式,所得结论是Pachpatte型的`积分不等式的自然推广,并把主要结果应用于偏微分方程的定性理论中.

作 者：康国莲  作者单位：中国科学院数学与系统科学研究院系统所,北京,100080 刊 名：工程数学学报  ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS 年，卷(期)： 21(5) 分类号：O175 关键词：积分不等式   两个无关变元   不减  

定积分的几种应用 篇7

关键词：定积分,微积分,应用

高等数学是数学专业、物理专业、经济管理专业等开设的重要基础课。定积分的应用既是高等数学教学的重点又是一个难点。因此应用定积分来解决这些领域的实际问题是教学中必须解决的课题。

一、定积分在几何上的应用

1.求平面图形的面积

由定积分的几何意义可知, 曲线y=f (x) (f (x) ≥0) 及直线x=a, x=b (a

例1:计算由两条抛物线:y2=x, y=x2所围成的图形的面积。

解: (如图2) 取横坐标x为积分变量, 变化区间为[0, 1], 取微元为小矩形部分, 则小矩形部分的面积为undefined, 即undefined, 故所求面积为

undefined

说明:以上解法也称为X-型解法, 即在微元小矩形上固定积分变量x不动, 让y由小到大变化, y的变化值就是最后定积分的被积函数, 最后再让x在区间[0, 1]上变化。

注:例1也可按另一种方法进行求解 (如图3) , 取纵坐标y为积分变量, 变化区间为[0, 1], 取微元为小矩形部分, 则小矩形部分的面积为undefined, 即undefined, 故所求面积为

undefined

以上解法也称为Y-型解法, 即在微元小矩形上固定积分变量y不动, 让x由小到大变化, x的变化值就是最后定积分的被积函数, 最后再让y在区间[0, 1]上变化。

2.求旋转体的体积

由连续曲线y=f (x) 、直线x=a, x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体称为旋转体。取横坐标x为积分变量, 它的变化区间为[a, b]。对于[a, b]上的任一小区间[x, x+dx]的窄曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积近似于以f (x) 为底半径, dx为高的扁圆柱体的体积 (如图4) , 即体积元素

dV=π[f (x) ]2dx

以π[f (x) ]2dx为被积表达式, 在闭区间[a, b]上作定积分, 得旋转体的体积为

V=∫undefinedπ[f (x) ]2dx

例2:连接坐标原点O及点A (h, r) 的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形 (如图5) 。将它绕x轴旋转一周构成一个底半径为r, 高为h的圆锥体。计算圆锥体的体积。

解:过原点O及点A (h, r) 的直线方程为undefined, 取横坐标x为积分变量, 则积分区间为[0, h], 圆锥体中相应于[0, h]上任一微小区间[x, x+dx]的薄片的体积为undefined。于是所求圆锥体的体积为

undefined

说明:利用微元法求旋转体的体积, 关键要找出体积元素, 即求出dV, 而实际上, 无论求什么样图形的体积, 我们都把dV看成是小圆柱的体积。

二、定积分在物理上的应用

1.力的作功问题

例3:一圆柱形的贮水桶高为6m, 底面半径为3m, 桶内盛满了水, 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功?

解:作x轴如图6, 因为要把桶内的水吸出, 只需克服重力作功, 故取深度x为积分变量, 变化区间为[0, 6], 做薄层微元为图中小矩形部分, 小矩形部分水的重力为9.8π32dx (KN) , 把这部分水吸出桶外需作功为dW=88.2πxdx, 故所求的功为W=∫6088.2πxdx≈4984KJ。

说明:计算这类问题关键在于怎样找dW, 只要找到了dW问题也就解决了。我们在计算微元小矩形部分的重力时, 要把微元看成是一个高为dx的圆柱体, 这时的高dx不可忽略不计, 而当计算吸出微元这部分水所作功时, 因为涉及到作功的距离, 这时的距离就为微元x, dx就忽略不计了, 这时的微元确确实实就是“微元”了。

2.求水压力问题

例4:有一等腰梯形闸门, 它的两条底边各长10m和6m, 高为20m。较长的底边与水面相齐。计算闸门的一侧所受的水压力。

解:选取坐标系如图7所示, 则AB的方程为undefined。

取x为积分变量, 在它的积分区间[0, 20]上任取微小区间[x, x+dx], 在水下深为xm处相应于[x, x+dx]的窄条上各点处的压强近似值为9.8xKN/m2, 窄条的面积为undefined, 因此, 窄条一侧所受水压力的近似值, 即压力元素为

undefined

于是所求压力为

undefined

说明:计算这类问题关键是找出压力元素dF, 而计算压力元素的关键是求出窄条的面积和窄条的压强。窄条的压强很好计算, 关键是计算窄条的面积, 我们把窄条都看成是矩形, 因此只需计算矩形的面积就可以了。

三、定积分在经济学中的应用——求总函数

在经济管理中, 应用定积分可以解决由边际函数求总函数或者求总函数在某个范围的改变量问题。

例5:已知某产品总量的变化率为Q′ (t) =40+12t (件/天) , 求从第一天到第四天产品的总产量。

解:设总产量为Q, 已知第t天总产量的变化率为Q′ (t) , 它随t变化, 则总产量Q在[t, t+dt]内的微元dQ为

dQ=Q′ (t) dt= (40+12t) dt

故在[1]内总产量为

Q=∫undefined (40+12t) dt=304 (件)

例6:设生产x个产品的边际成本C=50+3x, 其固定成本为C0=1000元, 产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售, 问生产量为多少时利润最大?

解:首先由边际成本C=50+3x求总成本, 利用变上限定积分得

undefined

所以最后的总成本为

undefined

又因为总收益函数为

R (x) =500x

所以总利润为

undefined

令L′ (x) =0, 即

undefined

得x=150 (个)

故生产量为150个时, 利润最大。

说明:解决此类问题, 关键要知道由边际成本来求总成本采用的是变上限定积分。然后由利润=收益-总成本, 即可求得。

参考文献

[1]辛普元.定积分的应用研究[J].现代商贸工业, 2008, (11) .

微积分教案 篇8

课型：新授课

一．教学目标

1．.会利用微积分基本定理求函数的积分.2．通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二．温故知新：

1.微积分基本定理 2.定积分的简单性质

3.导数公式

三．探究导航

探究1 例1．计算下列定积分：（1）2021311dx；

（2）(2x2)dx。

1xx例2．求下列定积分：

（1）(3x4x)dx

（2）2sin202xdx 2分析：利用定积分的性质及微积分基本定理求定积分时，有时需先化简，再积分！

探究二：0sinxdx,sinxdx,sinxdx。

022由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论  计算定积分的一般步骤：

(1)把被积函数能化简的先化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差；

(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差； (3)分别利用求导公式找到F(x)使得F′(x)＝f(x)； (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值； (5)计算所求定积分的值．

四．课堂达标练习

A

组

1．(exex)dx=（）

01121（A）e+

（B）2e

（C）

（D）e-

eee2．(3x2k)dx=10，则k=____________ 023．计算定积分：（1）(42x)(4x)dx

（2）02221x22x3dx

x3（3）

41x(1x)dx

（4）(x21x)2dx

B组

1．计算定积分：

（1）edx

（2）4cos2xdx

012x6

2．设m是正整数，试证下列等式：（1）sinmxdx0

（2）

3．已知f（x）是一次函数，其图象过点（3，4）且cos2mxdx

10f(x)dx1求f（x）的解析式

五．课后作业

已知f（x）=axbxc且f（1）=2，f(0)0，f(x)dx4

定积分及其应用教案 篇9

定积分是一个过程性的概念, 对给定闭区间上连续函数进行分割、求和与取极限三个步骤, 得到相应的常量即为该函数在此区间上的定积分.在讲解定积分的概念时, 往往都会以曲边梯形面积的求解为引例, 也会据此来表述定积分的几何意义, 它的几何意义正是运用定积分解决平面图形求解的依据.在以往的教学中, 往往在运用这一方法求解时, 只对应了一般平面图形的面积求解的问题, 可以直接利用几何意义, 针对不同函数曲线所围成的图形面积进行求解.在对这一内容进行讲解时, 有不少同学对内容的接受是十分被动的, 不能真正体会到定积分在解决平面图形面积求解问题时真正的优势所在.我们知道, 新知识的学习和接受的多少、好坏, 在很大程度上取决于之前知识的铺垫, 铺垫过渡越自然, 学生学起来也会越轻松易受, 反之则会困难和被动.为此, 合理利用好之前所学内容, 将旧问题用新方法解决, 请同学们自己比较新旧两种方法, 便会在比较中获知新知识学习的必要性和实用性.因此, 在本部分内容的讲解中, 我们将旧问题提出, 用旧新两种方法来解决并加以比较, 实现知识的“以旧换新”, 在教学中取得了较好的效果.

一、提出旧问题, 回顾旧方法

对于图形面积的求解, 同学们已不陌生, 他们已经非常熟悉一些具有一定规则形状图形的面积求解, 如长方形、三角形、梯形和圆形等, 运用的方法均为公式法.

长方形面积=长×宽;

三角形面积=

梯形面积=

圆形面积=πr2 (r为圆的半径) .

公式法的特点即是一一对应, 即一个图形, 一个公式.由于多数同学在学习时均不习惯于或不善于对所学知识进行整合, 对同一问题进行归类分析, 同样对这种公式法求解特殊图形面积, 也仅仅停留在一对一的应用上.作为教师, 应在此帮助学生从整体上看待问题, 把以上的方法看成一种公式方法的运用, 提出这种方法的弊端在于针对性过强, 而使一个公式的使用范围受到局限, 同一个问题, 即均为平面图形面积求解, 却要采用各自不同的公式进行解决.那么, 有没有一种更具备普适性的方法来一次性解决以上平面图形面积的求解问题呢?回答是肯定的, 那就是定积分.但是如何让以上不同的图形同时归于一种方法?其中的重要载体或者说使用前提是什么?

二、旧问题如何引入新方法

定积分在求解平面图形面积时, 功能非常强大, 但强大不是嘴上说说就行的, 要用实例说明和证明, 让学生心服口服.方法的应用和问题的解决往往需要一些先行条件, 即如何将以上问题与定积分扯上关系.让同学们仔细回顾定积分的概念, 要使他们认识到定积分是用来研究函数的数学工具, 它的具体应用当然离不开函数这个载体, 也就是说, 以上特殊图形面积的求解也必须以函数为对象.那么图形如何与函数一一对应, 这里可以引导同学们借助于解析几何所学知识来完成这种转换.这几种数学课程的相互链接, 也会帮助学生体验到知识间的内在联系与相互依存, 而不是把它们独立分割.比如矩形在直角坐标系中可以转化为一条平行于x轴的直线与两条与x轴垂直的直线所围成的平面图形;圆形可以看作由圆这个二次曲线所围成的封闭图形.在解析几何中, 这些特殊图形均能有函数的形式与之对应, 从而很好地完成了图形函数化的过程, 而这个过程中完全运用学生以往所学知识, 不存在太大的学习困扰因素.

三、旧问题, 新旧两种方法同时出击, 比不同

完成了特殊图形函数化的过程, 那么接下来就要发挥定积分的作用了.在让学生理解定积分几何意义的基础上, 将以上图形面积用新旧两种方法求解, 一来比较, 二来验证.具体比较内容见下表.

从这个图表中, 学生便很快地也很清楚地看到了定积分这种方法的优势, 大有“放之四海而皆准”的效果.通过比较, 可以将所学知识很好地串连在一起, 比较的方法对于知识点的把握和理解通常是非常有效果的.我想这里所作的比较虽是一些非常简单的知识的联合组成的一个比较构架, 但将简单的问题进行归纳、分析会得到良好的比较效应, 也能给学生带来一种豁然开朗的感觉.

定积分及其应用教案 篇10

关键词：mathematica,定积分,应用

Mathematica是一款科学计算软件, 其功能强大, 可以同时完成数值计算、符号演算、图像制作和编程等各项功能。随着时间的推移, Mathematica在相当广泛的技术和其他领域显示出其重要性, 目前已被应用于诸多科学领域, 包括物理、生物、社会学及其它学科, 同时Mathematica还被广泛地应用于教学。

在高职高等数学课程中, 定积分的应用主要是求平面图形的面积、旋转体的体积以及平面曲线的弧长等。在这些应用问题中, 好多问题的计算量较大, 过程繁琐, 很难画出直观图。因此可以利用Mathematica软件的绘图功能帮助学生直观观察图形的形状, 准确找到积分变量和积分范围;可以利用Mathematica的计算功能帮助学生列出算式, 得到计算结果。

一、平面图形的面积

1. 直角坐标系下平面图形的面积

一般地, 由曲线y=f (x) , 直线x=a、x=b (a<b) 与轴所围成的平面图形的面积为A=|f (x) |dx;由两条曲线y=f (x) 、y=g (x) , 直线x=a、x=b (a<b) 所围成的平面图形的面积为A=|f (x) -g (x) |dx;由两条曲线x=ψ (y) 、x= (y) , 直线y=c、y=d (c<d) 所围成的平面图形的面积为A=|ψ (y) - (y) |dy.

例题1:求由y2=2x与y=-x+4所围成的平面图形的面积。

解:在Mathematica中操作如下

输入Solve[{y^2==2 x, y==-x+4}, {x, y}] (*求抛物线y^2=2x与直线y=-x+4的公共点坐标*)

输出{{x->2, y->2}, {x->8, y->-4}}

输入

p1=Plot[Sqrt[2*x], {x, 0, 9}, PlotRange->{-5, 5}];p2=Plot[-Sqrt[2*x], {x, 0, 9}, Plot Range->{-5, 5}];p3=Plot[-x+4, {x, 1, 9}, Plot Range->{-5, 5}];p4=Graphics[{Dashed, Line[{{0, 2}, {2, 2}}]}];p5=Graphics{Dashed, Line[{{0, -4}, {8, -4}}]}];p6=RegionPlot[2*x-y^2>0&&x+y<4{x, 0, 8}, {y, -4, 2}];Show[p1, p2, p3, p4, p5, p6] (*绘制两条曲线围成的几何图形*)

输出 (见图1)

输入Integrate[Abs[y^2/2- (4-y) ], {y, -4, 2}] (*计算所围成的平面图形面积*)

输出18

所以由y2=2x与y=-x+4所围成的平面图形的面积为18

2. 极坐标系下平面图形的面积

设曲线的极坐标方程是r=r (θ) (α≤θ≤β) , 则由曲线r=r (θ) , 射线θ=α和射线α=β所围成的曲边扇形的面积为A=[r (θ) ]2dθ

例题2:求双纽线r2=32cos2θ所围平面图形的面积。解:在Mathematica中操作如下

输入Parametric Plot[{Sqrt[a^2*Cos[2*t]]*Cos[t], Sqrt[a^2*Cos[2*t]]*Sin[t]}, {a, 0, Sqrt[32]}, {t, 0, 2*Pi}, Mesh->0, Plot Points->60] (*绘制双纽线以及双纽线围成的平面图形*)

其中用到极坐标方程化为参数方程, 双纽线r2=32cos2θ的参数方程为

输出 (见图2)

由图可以看出, 图形关于极点和极轴都对称, 因此只需计算[0, 4π]上的图形面积, 再乘以4即可。

输入4*Integrate[1/2*32*Cos[2*t], {t, 0, Pi/4}] (*计算所围成的平面图形面积*)

输出32

所以双纽线r2=32cos2θ所围平面图形的面积为32

二、旋转体的体积

如果旋转体是由连续曲线y=f (x) 、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的平面绕轴旋转而成的, 则该旋转体的体积为V=π[f (x) ]2dx。

例题3:求由曲线y=x2、y=2-x2所围成的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积。

解:在Mathematica中操作如下

输入Solve[{y==x^2, y==2-x^2}, {x, y}] (*求抛物线y=x^2与抛物线y=2-x^2的公共点坐标*)

输出{{y->1, x->-1}, {y->1, x->1}}

输入p1=Plot[x^2, {x, -1.1, 1.1}, Plot Range->{0, 2.2}];p2=Plot[2-x^2, {x, -1.1, 1.1}, Plot Range->{0, 2.2}];p3=RegionPlot[x^2<y&&2-x^2>y, {x, -1, 1}, {y, 0, 2}];Show[p1, p2, p3] (*绘制两条抛物线所围成的平面图形*)

输出 (见图3)

输入Parametric Plot3D[{{u, u^2*Sin[v], u^2*Cos[v]}, {u, (2-u^2) *Sin[v], (2-u^2) *Cos[v]}}, {u, -1, 1}, {v, 0, 2 Pi}, Axes->False, Mesh->{3, 15}] (*绘制旋转体的图形, 其中x=u, y=u^2*Sin[v], z=u^2*Cos[v]是曲线y=x^2绕x轴旋转得到的旋转曲面的参数方程*)

输出 (见图4)

调整参数v的取值范围, 得到旋转体部分图, 可以清楚看到截面边缘形状同图3。 (见图5)

输入Integrate[Pi* ( (2-x^2) ^2- (x^2) ^2) , {x, -1, 1}] (*计算旋转体体积*)

输出

所以求由曲线y=x2、y=2-x2所围成的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积为。

三、平面曲线的弧长

1. 直角坐标情形

函数y=f (x) 在区间[a, b]上具有一阶连续导数, 则该曲线在[a, b]上的弧长为s=。

例题4:计算曲线上相应于的一段弧长。

解:在Mathematica中操作如下

输入Integrate[Sqrt[1+ (D[Log[x], x]) ^2], {x, Sqrt[3], Sqrt[8]}] (*计算平面曲线弧长*)

输出1/2 (2+Log[3/2])

所以所求的曲线弧长为

2. 参数方程情形

如果曲线弧L由参数方程 (α≤t≤β) 给出,

其中 (t) 、ψ (t) 在[α, β]上具有一阶连续导数, 则弧长公式为

例题5:求曲线上相应于从t=0到t=1的一段弧长。

解:在Mathematica中操作如下

输入Parametric Plot[{ArcTan[t], 1/2*Log[1+t^2]}, {t, 0, 1} (*绘制平面曲线*)

输出 (图略)

输入NIntegrate[Sqrt[ (D[ArcTan[t], t]) ^2+ (D[1/2*Log[1+t^2], t]) ^2], {t, 0, 1}] (*计算平面曲线弧长*)

输出0.881374

所以所求的曲线弧长为0.881374。

四、结论

通过以上的几个例题可以看出, Mathematica的作图与符号计算功能强大, 在解决定积分应用问题中作用突出, 既方便又快捷, 提高了学生研究定积分应用问题的兴趣, 培养了学生应用数学软件Mathematica解决数学问题的能力。

参考文献

[1]Wolfram Mathematica参考资料中心.数学与算法/方程与求解[OL].http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Solve.html?q=Solve&lang=en.

[2]Wolfram Mathematica参考资料中心.函数可视化[OL].http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/ParametricPlot.html?q=ParametricPlot&lang=en.

[3]Wolfram Mathematica参考资料中心.数学与算法/微积分[OL].http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/NInte-grate.html?q=NIntegrate&lang=en.

[4]吴赣昌.实用高等数学——微积分与线性代数 (综合类.高职高专版) [M].北京:中国人民大学出版社, 2009:167-182.