高考数学二轮复习

第1篇：高考数学二轮复习

高考数学二轮复习之高效课堂的探究与实践

高考复习是一项系统的综合性工程，需要我们对每个阶段的任务和目标及方式方法做出详细的规划与设计。尤其是最近两年，安徽高考数学试题偏难，学生本身自信心不足。笔者结合自身的高三教学实践经验现从以下五个方面进行探究。

一、课堂目的性要强

没有目的的复习只能是东一头西一头，抓不住关键与核心的乱碰乱撞。学生进入二轮复习最缺的就是时间，学生数学题做的越来越多，但做题多并不一定就能提高学生的数学能力。因此教师在上课时，思路必须清晰，知识点是讲解的基础，方法是最需要明确的，而这些在上课的讲解中应在学生的接受范围内才行。每一道题，都存在着他的思想方法，讲课时要有意识地引导学生去分析，特别是各类题型，要不断总结，不断输送思想方法，培养学生的思维能力与解决问题的能力。

二、选题针对性要强

作为一名高三数学教师，很重要的一点是立足学情和教情，选好二轮复习的每一道题。由于数学的海量试题我们不可能穷尽，教师就要根据教学的计划与进度以及学生的实际学习需要进行有针对性的选择。课堂教学时精讲这些题，不搞題海战术，选择的题目要极富营养价值，具有很强的代表性。因为二轮复习时间短，学生和教师的精力都非常有限，不可能在短时间内掌握所有的知识点，更不可能做完所有的数学题目。因此，二轮专题训练题针对性要强，要在短时间内训练学生的解题速度和应试技巧。

三、试卷讲评要拿捏得当

二轮复习已临近高考，各种模拟卷的练习不可或缺。这些试卷可以用来帮助老师了解学生的学习情况，也可以帮助学生拓展思维能力，提高应试能力和解题速度。但讲解试卷更需要一个好老师的精心准备，需要做足功课。首先，模拟卷中有许多是学生常做的基础题，这些试题只要点到即可，而有些试题则需要仔细剖析，特别是高考重难点，热点且要求能力较高的需要精心讲解，对于错误率较高的且典型的试题则要下猛药。其次，安徽省高考数学共21题，其中选择10题，填空5题，解答6题，每道题型基本固定。讲评试卷时应让每一位同学先了解试卷的结构，纵览全卷，理清出题人的意图，把握解法，增强学生的化归意识，提高学生思想水平。在二轮复习中，训练学生解决类似题型的能力。精讲一类题目，传授此类题目解题思路和方法，一笔带过这个知识点的性质或公式。

四、对学生的要求要落实到位

复习复习的关键在落实，学生的学习获得必须要经过检查、督促以及反馈才能不断强化。学生不是接受器，学习内容的内化也需要一定的过程，学生并不是我们老师想当然的那样，我们讲多少，他们就接受多少，我们需要经常检查学生的接受情况，看他们消化多少，对于学生掌握情况较好的内容和要求，我们可以加以深化，而对学生掌握情况较差，甚至出现偏差的目标要求我们必须反复加以强化，逐一突破落实。我们应根据学生的学情，定好位，吃透每一位学生，把学生的易错点和薄弱环节归好类，给这些学生明确任务，让学生发现自己的不足，明确自己复习要点，并不断强化提高。

五、兴趣的培养依然重要

学习始发于兴趣，数学兴趣的培养应渗透在数学教学和复习每一个阶段。平时我们教师都很重视学生数学兴趣的养成，但有时我们会认为已经高三下学期了，学生都知道学了，我们只要把内容讲出来，学生自己知道学就好。其实，学生是知道好好学的，但如果老师上课缺乏了新意，学生即使想学，估计上课也会走神，这样必然降低学习效率。因此，教师上课时，不必吝惜那几分钟的时间，可以通过一些方法，如说一些激励或风趣的话在课堂上充分调动学生的学习积极性，创设情境，激发出学生学习数学的热情。

总之，在二轮复习的过程中，我们教师要做出目标明确、进度科学、靶向准确、立足二轮复习的时间节点，透析高考数学试题的命题思路，有针对性地探究解题的方法技巧。夯实解答常规题目的基础能力，提升破解难题的水平，就一定能实现二轮复习后学生水平和能力的跨越，从而赢下高考。

作者：甘正平

第2篇：浅谈高考生物二轮复习

【摘 要】高考二轮复习时间紧、任务多、学生心理压力大，要使二轮复习提升效率，应该从知识整合、能力训练、重视实验复习、突破思维定势、引导学生心态调整等方面着手。

【关键词】高考生物 二轮复习 知识整合 能力训练 实验 心态调整

高考复习是个长久拉锯战，需要学生不断地滚动复习，高考生物在进入二轮复习的时候，面临着时间紧、任务重的问题，而且生物学科知识点多，覆盖范围大。高考生物二轮复习不是要学生一头钻进题海中，也不是光靠记忆知识点，复习既是一个对知识回顾、整理和重塑的过程，又是一个对已有知识重新组合、系统有序排列的过程。在高考生物二轮复习时，教师要引导学生科学复习，透彻理解基础知识和提高各项能力要求，提高复习效率。

一、重视知识整合，构建知识网络

学生经过第一轮复习后，对生物学基础知识已经有一定程度的掌握，二轮复习时一方面要系统化、专题化和模块化。教师在复习时既要立体梳理、重视联系、查缺补漏，又要做到简明扼要，要重视知识的整合，提升二轮复习的复习效率。以“细胞代谢”的专题复习为例，教师先要构建一个有关“代谢”的学习框架，整合酶、ATP、细胞呼吸、光合作用、细胞生物历程、生物活动的调节、能量流动等涉及代谢的章节，从而给学生全面的代谢知识块。然后，教师可以运用多种方法强化学生掌握这些知识块的，例如：概念默写、图标归纳、回答问题、习题训练等，逐步巩固知识点的映像。

“能闡述所学知识的要点，把握知识间的内在联系，形成知识的网络结构”是高考的要求之一。所谓知识网络，是通过不断的学习和实践积累起来并将知识点多维度联系起来的一个系统性框架。因此，二轮复习还要着重帮助学生进行生物知识网络的构建。高考中生物学科的考查注重基础知识的理解和运用，而生物学科知识点多，学生难以全面记牢，这就需要学生对所学知识构建系统的框架，形成知识网络。在生物二轮复习中，教师要注意培养学生构建知识网络的能力，以教材为基础，在考查范围内将知识点整合归类，以一个较为清晰的知识框架让学生不断填充已学知识点，了解生物学的知识，结论，实验的基本原理、实验操作、实验设计等，将课本内容越念越薄，越念越透彻。这样才能在遇到较复杂的题型时快速、精准的找到相关知识进行正解答题。在构建知识网络时，可根据课本的目录标题查找一级知识点，如蛋白质的分子结构、功能、代谢、生物合成等;再通过分析标题下的内容，归纳成二级知识点，如蛋白质分子结构中又包括组成元素、基本单位、化学组成和空间结构等。以此类推，将这些知识点罗列出来形成网络。

二轮复习时整个高考复习中非常关键的一环，是高考复习的升华阶段。要使生物学科的二轮复习更加有效，就应当有针对性的对知识进行整合，并培养学生的综合能力。

二、突出重点，侧重能力训练

在生物学科的高考试题中，能够考察到的知识点不可能涵盖全部的考试大纲上说明需要考的知识点。所以在二轮复习时，需要抓重点、抓难点，各个突破，培养学生在应对较难、较复杂题型的时候，运用已学知识点学习快速的找到解题思路，正确答题。教师可以通过专题复习和综合训练的模式培养学生的创新思维能力，分析各种题型的应对方法，帮助学生更深层次理解题目、分析题目，找到相应的解决办法。

第一.解题能力训练：主要进行各种题型训练，有单选题、非选择题、图表题、曲线题、材料题、计算题、实验题的训练等。

第二，思维能力训练：主要进行变式题训练和一题多解训练。

第三，应试能力训练：在二轮复习过程中必须穿插综合训练，教师可选择各地一模、二模模拟卷、近几年高考卷等进行训练，按高考要求进行考试，认真评讲，提高学生应试技巧和心理素质。另外，要特别注意提高学生运用生物学语言规范答题的能力，不要搞“题海战术”，应切实做好“考后反思”、“题后反思”。

三、重视实验内容复习

实验题在生物高考中占据一席之地，按照高考卷的题型，实验题的在生物的总分中比例较大。而且，根据往年的高考卷，实验题经常会出现新题型，这就更考验学生运用生物学实验知识解题能力。很多学生都对生物的实验题很头疼，实验题既是难点，经常失分。实验题的主要考察形式主要有一下几项：解释实验现象，完成题目所给条件的实验设计并得出结论，解释实验过程及运用到的原理。所以，教师要着重攻克这一方面，根据考纲要求考查内容在二轮教学过程更深入复习实验知识，明确实验的目的、原理、操作步骤及注意事项等;分析实验对象和实验过程，思考实验的其他方法及探究实验过程更多的可能性，检查实验器材有无疏漏等;在解答实验题时充分考虑对比、等量和单一变量三大原则，学习实验设计的思路、方法和技巧的运用;强化实验题型的训练，逐一复习实验设计题、设计表格题、结果预测讨论题，让学生不断积累经验，提高不同类型实验题的得分。

四、突破思维定势，培养批判性思维

教师在高考生物二轮复习阶段不仅仅要教授学生知识点，还要对这些知识点进行适当拓展，指导学生遇到不同题型时做到随机应变，培养学生独立思考的能力，突破传统思维定势，培养批判性思维。学生在二轮复习时如果还是一味的死记硬背，在考试时以定性思维答题，碰到一些灵活的题目就无法找到正确的解答题方向当然无法正确作答。所以二轮复习时要特别指导学生去除原本的单项式的思维模式，培养发散性思维，逐渐养成思维的批判性。例如教材中很多科学发现实验，如：酶的发现、光合作用的发现、生长素的发现、DNA是主要的遗传物质、孟德尔的豌豆杂交实验等，学生不但要掌握其中基本的实验技能与方法，分析实验中各项步骤、实验器材的设计及巧妙之处，体会实验的精华所在，有助于学生巩固知识点，将实验的方法和技巧运用于解决实际问题，进一步提升自己的实践能力，并且在实际解题中随机应变。

五、重视学生心态调整，树立信心

拥有良好的心态去对待一件事情往往会起到事半功倍的效果。高三学习强度比以往大，很多学生进入在高三二轮复习的过程中往往会感觉到压力倍增，特别是当生活学习上遇到问题的时候，这时候如果不能好好疏解压力和困难，各科的复习效果就会不尽如人意。高考生物在二轮复习时，作为老师也要正视这种情况，要积极主动地参与引导学生调整心态的工作。教师的自身阅历和经验都比学生高，要主动帮助有困难的学生，给他们带来积极的正能量，适时地与学生谈心，引导学生适度地安排一些娱乐以及锻炼，调整身心，要让学生明后即使高三复习的时间再紧张，也需要合理安排时间，坚持有规律的生活，保持身心健康。当身心轻松的时候，自然会提高复习效率，当然也包括生物学科的复习。

作者：林丰开

第3篇：浅谈高考生物二轮复习策略

一、背景

作为奋战在高三一线任教多年的生物教师，如何提升学生高考生物二轮复习的效率是衡量其备考工作的指标之一。根据本人在高三备考的多年经验，高三学生在高二下学期学考结束之后，学校一般都要求各科开始进入一轮复习阶段，一轮复习一般不少于6个月，到春节收假来的时候，区示范性高中一般都能完成一轮复习。我们知道，一轮复习的方法所有高中都大体相同，效果也差不多，但为什么高考的成绩却差异那么大呢?我认为关键在第二轮复习的策略有差异!二轮复习抓得紧不紧、实不实、到位不到位，将直接影响到这一届高三高考成绩的好坏，特别是生物学科，号称是理科中的文科，春节后的复习更是关键时段，这时段学校一般有几种做法：一是把一轮复习再重新快速演练一遍，典型的一轮复习压缩版。二是订某个教育机构的成套的单科6+4+1高考题量进行魔鬼训练，典型的三轮复习提前版。三是放手让学生分组进行自建知识框架和网络，典型的放手自学型。四是盲目让学生回归课本，用大量的时间花在课本的小字部分、日常生活联系部分、教材课后练习的拓展知识部分，用大量的时间做许多无用的工作，典型的用身体的勤奋掩盖思维的懒惰。说实在话，这些方法在我年轻时也曾使用过，也失败过，也纠结过。这几年，我静下心来认真思考之后，发现这些做法没有考虑时间与效率，单纯地把学生理解为在一轮复习的基础之上，补漏或炒旧饭或抓基础或构建思维框架，这明显是以偏概全，所以二轮复习的效果不佳是必然的，到底我们的学生需要什么样的指导?本人与高三的同事们针对高三生物复习阶段学生的复习特点和需求，我们在这方面作了一些探索与努力。用一年时间摸索和实践，开发出一整套高三生物二轮复习的资料和方法，并通过实践和试用，取得较好的效果。

二、高中生物二轮复习需要解决的主要问题

在每一年高三复习过程中，一轮复习结束后都常规地进行全市第一次模拟考，进而检验各校一轮复习的复习效果，如何面对一模或者是一轮复习过后的学生种种表现?一模过后，学生心态已经发生微妙的变化，主要有：

(1)认为一模之后自己的成绩基本定型了，在思想上存在有自满自足的浮躁倾向，从而导致在行为上表现在自习课、晚自习不太想看生物书。

(2)生物成绩两级分化以及由此引起的学习生物的情绪分化，老师得多关注。

(3)出现高原现象，需要更有针对性的指导，而非泛泛而谈。

(4)尖子生的非智力因素失分大量出现

以上四种表现是我们在一轮结束后开始进入二轮复习感到最头痛的问题，如果不及时解决，那将会直接影响到学生冲刺阶段的复习效果，发展下去必将是全军覆没，那又怎么解决呢?作为生物老师，怎么去实施你的生物二轮复习呢?而在往年，没有一定教学经验的年轻老师常常是把这段时間出现的种种现象归因于学生春节后思想下移不努力、没上进，怪罪和埋怨学生。现在回头想想，事实并非这样，火车跑得快全靠车头带，其实是我们老师没有把生物二轮复习的规划设计好、落实好、部署好而引起的学生反应。针对这种现象和急需解决的状况，经过我们柳州高中高三生物备课组的努力和多年经验积累，开发出这一整套高三生物二轮复习的资料和方法正好解决了学生的这些问题，体现了我们在二轮复习中向细节要质量的复习理念，从复习形式、方法、内容、操练的进一步细化，使学生在心理、知识、方法、效果等方面获得自信，从而更加坚定自己的复习脚步，形成使学生的生物学科复习步入良性循环。

三、解决学生在生物二轮复习中出现问题的过程和方法

首先，我们把高三生物二轮复习的内容分为几个模块：

一是实验专题：众所周知，高三的生物复习最难啃的骨头是实验专题的复习，通过我们对高考命题的研究和摸索，我们发现高考的实验考查一般有三个方向的考向：一是课本基础实验，二是经典实验，三是探究实验。我们按照这三个模块分别把生物二轮复习的知识也归纳为相对应的三个内容，整理出提纲、图表、设计思路概括等高考生物二轮复习的精准材料，印发给我们的学生，这样的做法既可以避免学生对生物实验知识散而乱而无从下手的情况出现，又可以从整体上提高学生把握高考生物实验多方面能力考查的应试技巧，通过我们的实践研究表明：学生用了这些资料这后感觉生物实验不再是难的了，对生物高考也就信心百倍了，所以说：有序的资料归纳和整理是学生解决生物二轮复习乱和杂的前提。下面是我们关于二轮复习实验复习的知识清单：

1、柳州高中生物课本基础实验复习资料及答案

2、柳州高中生物经典实验专题复习资料及答案

3、柳州高中生物实验设计的解题技巧讲义

4、柳州高中生物实验与探究综合训练资料及答案

二是用特殊的符号、色彩和图形等生物图解、图示来反映生物现象的训练，它是高中生物学习能力的一个重要指标，生物图解、图示浓缩有大量生物学的生命信息是生物知识的重要的展现和表达方式。对于此类的试题就可能涉及到生物的形态结构图、生理过程图、生理流程图、生物遗传系谱图等，命题者想通过此类图解和图示创设新的生命情景来提供新材料，是想通过展示生物学的基本原理、基本过程等要素对考生进行分析能力、判断能力及解决实际问题的能力的考查，这是要求较高的思维过程。这就要求我们在一轮复习过后，一定要有针对性地对过程图、流程图、结构图、表格图、曲线图等专题进行复习材料的整合，理出一系列的专题二轮资料以供学生在春节后进行大系统的训练。我们知道：生物大题最突出的特点是以过程图、流程图、结构图、表格图、曲线图的形式把生物学现象、事实、规律、原理及实验过程、实验结果呈现出来，而我们的学生在处理这些图的过程中，如果没有总结归类训练过的学生肯定会用大量的时间去思考之后才敢去组织答案，但如果训练过的学生会心中有底，充满着喜悦并快速熟练用变式思维来组织答案，我们开发的相关的资料有：

1、柳州高中生物曲线专项训练及答案

2、柳州高中生物过程图、流程图专题训练及答案

3、柳州高中生物结构图专题训练及答案

4、柳州高中生物表格专题训练及答案

三是文字表述专题的训练和整合复习材料。据统计，近几年高考全国Ⅰ卷生物试题与答案字数的变化如下图：

从表中的字数可以看出：近年的高考越来越注重学生对生物学实际问题进行表達解释，并让学生在此过程中感受生命科学研究过程和思维的方法，所以如何用科学精准的专业术语和精准文字进行表达与陈述，这是现代生物学科素养的要求。从2019年高考理科综合全国II卷的第29题中要求对α角形成原因的解答和对α大小结果不一样的原因解释，以及第30题中要求对染色体减一半原因的解释，无不体现了对生物学科内容深度分析要求和生物学科术语表达能力的要求。因此，可以看出近年的高考试题越来越重视学生实验操作过程进行有效表述的考查，而并非通过简单地背记就能得出什么结论。这就要求我们的学生平时不仅要学会具体问题具体分析，还能将自己在分析的过程能灵活运用简洁、准确的生物语言顺畅表述出来。这种要求不仅有助于我国高校有梯度的选才，还更有利于改善目前高中生在语言表达与文字书写能力都整体薄弱的高中教育现状，以此来引导高中教育要不断加强对学生语言表达能力的重视与培养。所以，我们在生物二轮复习时针对性地狠抓学生阅读、归纳、总结、表达能力，因此，我们特别设计以下几个的专题来训练学生的这方面的能力，主要有下面几方面材料：从提取信息、找知识原型、应答模式来整合复习材料来加强训练，相关的复习资料有：

1、柳州高中生物文字表述复习资料及答案

2、柳州高中生物回归课本黑体字专题复习资料及答案

3、柳州高中生物名词概念术语辨析复习资料

4、柳州高中生物非选择题训练资料及答案

5、柳州高中生物易混概念术语比较复习资料

四是每日一练的熟手训练。春节后一般离高考仅有100多天了，这时如果学生不保持每天一道生物题的快速训练，这很难能在理科的复习时间中抢到该用的时间来复习生物，于是，我们专门把高中的4本书的内容分成几个大模块(光合作用与呼吸作用、细胞生命历程和遗传基础、进化和遗传病、内环境稳态及调节、遗传、生态)来命制一定典型的题目，每天印发给学生做并天天坚持督查学生的完成情况，学生非常欢迎这样的复习形式，既有效又新鲜，效果特好!

四、成果创新点

通过我校这两年高三复习的使用及反馈的情况来看，这一整套高三生物二轮复习的资料和方法体现课堂教学效果是有效的。它具有高度的实践性、归纳性、针对性，克服了学生往年在春节后生物复习无头绪、盲目开展、效率低的缺点，使学生在二轮复习中大大树立了学习生物的信心。配套所印发给学生的复习资料已经成为学生复习中的宝典，给学生留下了很深的印象。

五、成果应用及推广

通过我校实践，这一整套二轮复习资料给我校高三学生带来了实实在在的实惠，在2019年和2020年高考中，我校理综成绩优异，这足以说明我们的复习是有高效的，现在，我们也将把这一成果利用假期对其进一步的修改、完善、提升，减轻高三教师备考工作的负担，有利于下一届的生物教师将精力集中在教学内容、教学方法改革，指导青年教师的实践上来。当然，我们也将用同样的探索精神扩展到生物教学的其他教学环节上去，在探索中不断完善和创新生物教学工作，使教育科研成果的效益发挥到极致，造福柳高，造福柳州。

作者：张焕治

第4篇：高考二轮数学复习秘诀

数学的学习是需要有基础的，如果基础打不好以后的学习就会很吃力，基础是从开始的时候就要打下的，所以建议学生自己做好长期的计划，磨炼学习的意志，下面给大家分享一些关于高考二轮数学复习秘诀，希望对大家有所帮助。

高考二轮数学复习秘诀

搭建知识结构桥梁

高考二轮复习将会加大横向关联内容的联系，其实就是前面所说的以专题形式来进行复习。这就更加需要考生搭建自己的知识结构桥梁。

你不能照搬别人的经验，因为每个人的实际情况并不相同，别人的知识结构对你的帮助不大，所以这就需要自己一步一步地把基础夯实，在牢固的知识基础之上构建自己的知识脉络。

突出对课本基础知识的再挖掘

近几年高考数学试题坚持新题不难，难题不怪的命题方向。强调对通性通法的考查，并且一些高考试题能在课本中找到“原型”。尽管剩下的复习时间不多，但仍要注意回归课本，只有透彻理解课本例题，习题所涵盖的数学知识和解题方法，才能以不变应万变。当然回归课本不是死记硬背，而是抓纲悟本，对着课本目录回忆和梳理知识，对典型问题进行引申，推广发挥其应有的作用。

突破难点，关注热点

在全面系统掌握课本知识的基础上，数学第二轮复习应该做到重点突出，需要强调的是猜题，押题是不可行的，但是分析、琢磨、强化、变通重点却是完全有必要的。考生除了要留心历年考卷的变化内容，还要关注不变的内容，因为不变的内容才是精髓，才是重点。这也是强调对主干的考察是保证考试公平的基本措施和手段。同时，还要关注科研、生产、生活中与数学相关的热点问题，并能对所学的知识进行简单的分析，归纳，这对于考生提高活学活用知识的能力又很大裨益。

如何快速提高高三数学成绩

1.要制定适合自己的学习方案

给自己制定一个目标是很重要的，因为高中数学成绩不好更要通过制定一个好的方案来提高，合理的利用时间，要知道高中的课程是很紧张的，一定要把能用上的所有时间充分的利用起来，稳稳的打好基础在进行下一步的学习，不能求快要求问，要知道欲速则不达的道理。

2.复习是提高成绩的一方面

有许多的同学问高中数学成绩不好怎么办?那你先问一下自己是不是很好的复习了以前学过的?因为复习是一个很重要的稳固数学知识点的一个重要方面。在课上听老师讲的内容可能当是很明白，而且自己也感觉都会了，但课下做题发现根本做不出来了，这是什么原因呢?当然是因为复习的不好的原因，复习就巩固知识的过程，高中数学成绩想要提高怎么能少的了课后复习。

3.多做题也很重要

每当老师讲完课后学生做的就是做作业，这是很正常的，但光做作业是不行的，一定要找大量的题来做，来回巩固不会的题，题目尤其是那些看起来懂有不懂得题目，最好是通过多做题的形式来把这样的题目做熟练，做的题目多了自然就掌握的更加牢固了，所以说，多做题是提高高中数学成绩的一个好方法。但是，做题需要注意的是一定要独立完成，更不能提前看答案在做过程，要养成好的习惯。

高中数学零基础逆袭的方法

1.先看笔记后做作业

有的同学感到，老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是，为什么自己一做题就困难重重了呢?其原因在于，同学们对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。

2.做题之后加强反思

同学们一定要明确，现在正做着的题，一定不是考试的题目。而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思，总结一下自己的收获。要总结出：这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串。日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。

俗话说：“有钱难买回头看”。我们认为，做完作业，回头细看，价值极大。这个回头看，是学习过程中很重要的一个环节。要看看自己做对了没有;还有什么别的解法;题目处于知识体系中的什么位置;解法的本质什么;题目中的已知与所求能否互换，能否进行适当增删改进。有了以上五个回头看，学生的解题能力才能与日俱增。投入的时间虽少，效果却很大。

3.主动出击，总结提高

章节讲完之后，一定要进行总结归纳，将本章知识点易考点汇总起来。高中老师很少给留时间做总结，这就要求我们要主动出击，自主总结。

(1)考试之后，要把试卷的所有题做一份总结，将没有掌握的重点标注，方便以后复习。

(2)基础知识复习的时候，将定理、法则、知识点、高频考点标记。

(3)将重要知识点、高频考点、典型问题进行汇总。考点框架基本固定，要将解题思路理清楚，掌握套路。

4.主动改错，错不重犯

一定要重视改错工作，做到错不再犯。高中数学课没有那么多时间，除了少数几种典型错，其它错误，不能一一顾及。如果能及时改错，那么错误就可能转变为财富，成为不再犯这种错误的预防针。但是，如果不能及时改错，这个错误就将形成一处隐患，一处“地雷”，迟早要惹祸。有的同学认为，自己考试成绩上不去，是因为自己做题太粗心。而且，自己特爱粗心。打一个比方。比如说，学习开汽车。右脚下面，往左踩，是踩刹车。往右踩，是踩油门。其机械原理，设计原因，操作规程都可以讲的清清楚楚。如果新司机真正掌握了这一套，

第5篇：高考数学第二轮复习计划

一、指导思想

高三第一轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主，通过第一轮复习，学生大都能掌握基本概念的性质、定理及其一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，强化数学的学科特点，同时第二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平、提高综合能力发展的关键时期，因而对讲、练、检测要求较高。

强化高中数学主干知识的复习，形成良好知识网络。整理知识体系，总结解题规律，模拟高考情境，提高应试技巧，掌握通性通法。

第二轮复习承上启下，是知识系统化、条理化，促进灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲练、检测等要求较高，故有“二轮看水平”之说. “二轮看水平”概括了第二轮复习的思路，目标和要求.具体地说，一是要看教师对《考试大纲》的理解是否深透，研究是否深入，把握是否到位，明确“考什么”、“怎么考”.二是看教师讲解、学生练习是否体现阶段性、层次性和渐进性，做到减少重复，重点突出，让大部分学生学有新意，学有收获，学有发展.三是看知识讲解、练习检测等内容科学性、针对性是否强，使模糊的清晰起来，缺漏的填补起来，杂乱的条理起来，孤立的联系起来，让学生形成系统化、条理化的知识框架.四是看练习检测与高考是否对路，不拔高，不降低，难度适宜，效度良好，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法.

二、时间安排：

1.第一阶段为重点主干知识的巩固加强与数学思想方法专项训练阶段，时间为3月10——4月30日。

2.第二阶段是进行各种题型的解题方法和技能专项训练，时间为5月1日——5月25日。 3.最后阶段学生自我检查阶段，时间为5月25日——6月6日。

三、怎样上好第二轮复习课的几点建议：

(一).明确“主体”，突出重点。

第二轮复习，教师必须明确重点，对高考“考什么”，“怎样考”，应了若指掌.只有这样，才能讲深讲透，讲练到位.因此,每位教师要研究2009-2010湖南对口高考试题. 第二轮复习的形式和内容

1.形式及内容：分专题的形式，具体而言有以下八个专题。

(1)集合、函数与导数。此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。

(2)三角函数、平面向量和解三角形。此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是重点。

(3)数列。此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。 (4)立体几何。此专题注重点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。 (5)解析几何。此专题中解析几何是重点，以基本性质、基本运算为目标。突出直线和圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。

(6)不等式、推理与证明。此专题中不等式是重点，注重不等式与其他知识的整合。 (7)排列与组合，二项式定理，概率与统计、复数。此专题中概率统计是重点，以摸球问题为背景理解概率问题。

((9)高考数学思想方法专题。此专题 中函数与方程、数形结合、化归与转化、分类讨论思想方法是重点。

(二)、做到四个转变。

1.变介绍方法为选择方法，突出解法的发现和运用. 2.变全面覆盖为重点讲练，突出高考“热点”问题. 3.变以量为主为以质取胜，突出讲练落实.

4.变以“补弱”为主为“扬长补弱”并举，突出因材施教

5.做好六个“重在”。重在解题思想的分析，即在复习中要及时将四种常见的数学思想渗透到解题中去;重在知识要点的梳理，即第二轮复习不像第一轮复习，没有必要将每一个知识点都讲到，但是要将重要的知识点用较多的时间重点讲评，及时梳理;重在解题方法的总结，即在讲评试题中关联的解题方法要给学生归类、总结，以达触类旁通的效果;重在学科特点的提炼，数学以概念性强，充满思辨性，量化突出，解法多样，应用广泛为特点，在复习中要展现提炼这些特点;重在规范解法的示范，有些学生在平时的解题那怕是考试中很少注意书写规范，而高考是分步给分，书写不规范，逻辑不连贯会让学生把本应该得的分丢了，因此教师在复习中有必要作一些示范性的解答。

(三)、克服六种偏向。

1.克服难题过多，起点过高.复习集中几个难点，讲练耗时过多，不但基础没夯实，而且能力也上不去.

2.克服速度过快.内容多，时间短，未做先讲或讲而不做，一知半解，题目虽熟悉，却仍不会做.

3.克服只练不讲.教师不选范例，不指导，忙于选题复印.

4.克服照抄照搬.对外来资料、试题，不加选择，整套搬用，题目重复，针对性不强.

5.克服集体力量不够.备课组不调查学情，不研究学生，对某些影响教与学的现象抓不住或抓不准，教师“头头是道，夸夸其谈”，学生“心烦意乱”.不研究高考，复习方向出现了偏差.

6.克服高原现象.第二轮复习“大考”、“小考”不断，次数过多，难度偏大，成绩不理想;形成了心理障碍;或量大题不难，学生忙于应付，被动做题，兴趣下降，思维呆滞. 7.试卷讲评随意，对答案式的讲评。对答案式的讲评是影响讲评课效益的大敌。评讲的较好做法应该为，讲评前认真阅卷，讲评时将归类、纠错、变式、辩论等方式相结合，抓错误点、失分点、模糊点，剖析根源，彻底矫正。

四、在第二轮复习过程中，我们安排如下：

1. 继续抓好集体备课。每周一次的集体备课必须抓落实，发挥集体智慧的力量研究数学高考的动向，学习与研究《考试大纲》，注意哪些内容降低要求，哪些内容成为新的高考热点，每周一次研究课。 2.安排好复习内容。 3.精选试题，命题审核。 4.测试评讲，滚动训练。 5.精讲精练：以中等题为主。

第6篇：2014年高考数学二轮复习备考建议

王伟杰季振林袁恒国赵秀华

如果说高考一轮复习主要进行知识梳理、构建考点系统的话，那么高考二轮复习则要在分析考纲及期末试题的基础上，对复习内容进行适时调整，从全面的基础性复习转入重点复习，对各重点、难点进行提炼和强化。有人形象地把高考二轮复习比喻战争的相持阶段，这个阶段也是同学们学习水平的分水岭，成绩在这个时候就开始逐渐拉开差距。因此，能否在高考二轮复习中抓住时机，使复习效益最大化，必须讲究策略和方法。在这个重要的复习节点，我指出了二轮复习的备考建议，希望对大家有所帮助。

一.时间进度的安排

第二次模拟考试后我们安排做综合练习,我们安排就做前一年的高考数学试卷，这也用了一个月左右的时间。最后一个月，从四月底到五月中有2到3周的时间，这段时间很关键，我们安排解答题的专门练习，针对高考要考的6道解答题我们分6个单元做练习，分别为①三角函数，②概率统计应用，③立体几何，④解析几何，⑤数列不等式，⑥导数及其应用。该部分的习题的都是自己组卷，这样针对性较强，难度适当，学生反映也较好。。

二.复习计划的执行

对自己所教的班级作一下了解，分析班级的情况，认真做一复习计划。备战高考就象打一场战役，要想获胜，就应该在复习之前了解情况，做一计划。对于奥运班，复习进度应稍快，题目设计的应该多一些，多进行解题思路的训练;对于平行班，进度应稍微放慢，应考虑到大多数学生的感受，毕竟他们曾经落下过;应以增强学生信心为目的，多鼓励他们。

制订好的复习计划后，一定严格按照复习计划进行。计划的制订要按照该学期的总课时，各章在教学大纲中安排的课时比率与该章在高考试卷中所占比例以及学生对该章内容掌握程度来定。举例来说集合与函数这部分复习时间一般不应该超过6周，这部分虽然也是高考的重点内容，但是现在高考多以选择填空题的形式单独考查，解答题中虽然要应用函数知识，函数思想来解题，如导数的解答题，数列的解答题，但是在这单元一般不单独用解答题的形式考查，根据高考命题的特点，在第一轮复习时，这部分我们少做解答题，多注意概念，注重选择填空题，不把战线拖得过长，对大多数班级与学生避免做综合性太强与难度过大的习题。第一轮复习不要要求把一切问题都解决。按顺序概率与导数是最后复习的内容，它们也是高考的重点考查的内容，所以在第一轮复习时一定要安排充分的时间。

三.把握好高考的方向

高考考什么，有考试大纲。而具体的命题的脉搏是每个高三教师最想知道的，其实是不难把握的。高考试卷是社会瞩目的焦点，只能出好，不能有错，每年国家的考试中心还要对各省的试卷进行评估。面对社会与国家主管部门的双重压力与他们自己的努力，我省的命题水平逐年提升，质量逐年提高。而他们命题的样板就是前一年考试中心的试卷，他们也在努力学习考试中心的命题思想，所以只要充分研读前一二年考试中心的试卷就能摸准当年高考命题的脉搏。实际情况也是如此，各题的得分比例都与去年的考试中心的命题试卷雷同。各章考查知识点在试卷中的比率与6个解答题的考查方向，都与去年考试中心的试卷的相似。我们就是以这样的思想来指导我们的高考复习。也就是说以去年的考试中心的6道解答题主要考查方向是我们复习的主攻方向。另外我们通过从外部得到的信息更主要通过自己的分析认为三角，概率，立体几何高考解答题的难度不会很大;近两年我省没有重点考查数列内容，这是不容忽视的缺陷，所以数列内容一定会以解答题的形式考，而且难度不会低，这与我们从考前得到的信息也是一 1

致的;解析几何与导数的综合题是区分度较大重点考查的试题;从高考实际看这方面我们把握的是相当准确的。通过对去年考试中心试卷的分析，与我省命题的特点我们分析选择填空题会相对容易，解答题为保证区分度与高校选拔的要求不会容易，总体试卷难度应于去年相当。事实证明我们的判断也是正确的，所以我们的安排与实际操作都是注意考试重点，

四.重点内容的复习

在第一轮复习时，函数部分不要花费过多时间，集合与简易逻辑，向量部分，统计部分都不是重点，不必做过多过难的题。在第二年的5月份，也就是高考的最后阶段，这时的时间最宝贵，我们针对高考的6个解答题安排了6个专题复习。现在看这样的安排是完全正确的。在具体复习中教师要对习题试题进行指导性的选择，我们的体会是高考复习不能跟着教辅书运转，要以自我为主。

五.重视解答题

我们在复习中提出重视解答题，不要过分重视选择填空题，一定要求学生努力做解答题。因为从历年的高考看，学生成绩的好坏最终取决于解答题，平时做太多太难的解答题没有多大的意义。较难的选择填空题在考试中很难碰上。所以在实际教学中我们侧重解答题的教学，用较多的时间分析讲解解答题，给学生充分的时间去做解答题，如复习立体几何或解析几何时减少习题数量，每天就要求学生就作3-4道解答题，对学生区别要求，差一些的学生可以再少做一些，鼓励学生一定要努力做解答题。

六.填空题的复习策略

高考一定要考基础，考试的知识点覆盖率应该尽量大，这些设计目标由填空题来完成。以它的目的来看，选择填空题的难度不应该大，一张卷有1-2道难度大的题就足够了。所以复习时不应用过大的精力去抓填空题，实际上，实践告诉我们，难的选择填空题是押不上的，遇到时只能依靠学生自己的数学能力，平时的练习起不到什么作用。我们除了在平时的训练，还作了填空题的专题训练以提高学生的解题技巧。

七.作业量要适当

讲课要少而精，但对高三复习备考，作业更要少而精。虽然数学的提高几乎全部依赖做题，但绝不代表做的越多分数越理想。真正获取数学能力的过程还需要自己认真体会。高三的复习时间是宝贵的，学生的时间与精力是有限的，所以我们教师对教学的安排，作业的安排是要十分慎重。作业的安排一定要针对性、目的性。作业留的多一方面是没有必要，耗费学生的精力于时间，影响了其它学科的学习，另一方面可能使一些学生根本不能完成，逐渐失去学习数学的兴趣与信心而放弃学数学。我们的体会是作业能不留的尽量不留。作业要重质，不要重量。

八.全面复习，注重策略

数学学习的第一步是深刻的理解概念。这可以通过做题和总结逐渐完成。对概念的深刻理解，是不拘泥于题目的根本能力。只有对数学概念的深刻理解，才能促使我们得到数学简洁、直接、精确的思维特性，表现为举一反三的能力和独辟蹊径的实力。具体实现需要一定的时间和积累，即在做题过程中注意去认识题设的目的、特点，和所用思维的形式。比如高中最复杂的函数，考察的方式和设问往往大相径庭，但归根结底，就是一个形式化表达变量关系的过程。我们不可以被高考名目繁多的函数考题吓倒。解决时，不必拘泥于题设的表达和条件。我们可以通过建立新函数、变形、换元、数形结合等方法直达目的地，只要能抓住主要矛盾，分清已知性质，根据对函数的理解，这种问题并不可怕。第二步是熟练运用各个常用方法。首先要保证方法的全面，课堂的方法绝对不能遗漏。建立在成熟认识上的套路的解题既可以保证正确性

与严密性，还可以提高速度。高中数学涉及大量方法，需要做大量的题目才能到认识全面，熟练的掌握则依赖于对同类题目解发的总结。

第7篇：高考二轮数学考点突破复习：概率与统计+解析几何

高考二轮数学考点突破复习：解析几何

解析几何是高考的必考内容，它包括直线、圆、圆锥曲线和圆锥曲线综合应用等内容.高考常设置三个客观题和一个解答题，对解析几何知识和数学思想方法的应用进行考查，其分值约为27分，约占总分的16%.近年高考解析几何试题的考查特点，一是设置客观题，考查直线、两直线位置关系、点线距离、圆有关的概念、性质及其简单应用;考查圆锥曲线即椭圆、双曲线、抛物线的概念、性质及其简单应用等基础知识;二是以直线与圆位置关系、直线与圆锥曲线位置关系为载体，在代数、三角函数、向量等知识的交汇处设置解答题，考查圆锥曲线性质和向量有关公式、性质的应用，考查解决轨迹、不等式、参数范围、探索型等综合问题的思想方法，并且注重测试逻辑推理能力.

1.2011年高考试题预测纵观近年高考解析几何试题的课程特点和高考命题的发展趋势，下列内容仍是今后高考的重点内容.

(1)直线斜率的概念及其计算，直线方程的五种形式;两条直线平行与垂直的条件及其判断，两条直线所成的角和点到直线的距离公式;线性规划的意义及其简单应用.

(2)圆的标准方程、一般方程、参数方程的概念、性质及其应用.

(3)椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其几何性质和椭圆的参数方程.

(4)圆锥曲线的初步应用，即以直线与圆锥曲线位置关系为载体，考查轨迹问题，圆锥曲线与平面向量、不等式、参数范围、探索型等综合问题.

(5)函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想在解析几何中的应用.

高考二轮数学考点突破复习：概率与统计

1.高考对两个原理的考查主要集中在排列、组合及其综合题方面，题目灵活多样.

2.二项式定理重点考查二项展开式中的指定项及二项式的展开式系数问题.

3.概率统计内容是中学数学的重要知识，与高等数学联系非常密切，是进一步学习高等数学的基础，也是高考数学命题的热点内容，纵观全国及各自主命题省市近几年的高考试题，概率与统计知识在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值在17分到20分之间.主要考查以下三点：

(1)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题;

(2)理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率;

(3)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些相应的实际问题.

1.2011年高考试题预测

(1)高考对两个原理及二项式定理的考查.以基础题为主，考查形式比较稳定.

①从内容上看，主要考查分类计数原理和分步计数原理，排列、组合的概念及简单应用.例如2010全国Ⅰ，6;2010山东，8.

②从考查形式上看，多为选择题和填空题.例如2010北京，4;2010浙江，17.

③从能力要求上看，主要考查学生理解问题的能力、分析和解决问题的能力及分类讨论的思想.例如2010江西，14;2010上海，14.

④从内容上看，高考对二项式定理的考查，主要涉及利用通项公式求展开式的特定项，利用二项展开式性质求系数或与系数有关的问题，利用二项式定理进行近似计算.例如2010全国Ⅰ，5.

⑤从考查形式上看，以选择、填空为主，少有综合性的大题.例如2010江西，6;2010全国Ⅱ,14.

第8篇：高考二轮数学考点突破复习：平面几何选讲及数学思想方法

高考二轮数学考点突破复习：数学思想方法

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.

函数是高中数学的重要内容之一，其理论和应用涉及各个方面，是贯穿整个高中数学的一条主线.这里所说的函数思想具体表现为：运用函数的有关性质，解决函数的某些问题;以运动和变化的观点分析和研究具体问题中的数学关系，通过函数的形式把这种关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决;对于一些从形式上看是非函数的问题，经过适当的数学变换或构造，使这一非函数的问题转化为函数的形式，并运用函数的有关概念和性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到顺利地解决.尤其是一些方程和不等式方面的问题，可通过构造函数很好的处理.

方程思想就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.尤其是对于一些从形式上看是非方程的问题，经过一定的数学变换或构造，使这一非方程的问题转化为方程的形式，并运用方程的有关性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到解决.

函数与方程的思想在解题中的应用十分广泛，主要有以下几方面：

高考二轮数学考点突破复习：平面几何选讲

第9篇：昆明市第一中学2012届高考数学第二轮考点专题复习教案3

第9-12课时课题：不等式问题的题型与方法

一.复习目标：

1.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法.通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力;

2.掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式;

3.通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题;

4.通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力;

5.能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题.

6.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识..

二.考试要求：

1.理解不等式的性质及其证明。

2.掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。

3.掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 4.掌握简单不等式的解法。

5.理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。。 三.教学过程：

(Ⅰ)基础知识详析

1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方

程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化.在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰.

2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函

数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法.方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用.

3.在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式

化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰.通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用.

4.比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→变形

→判断符号(值).

5.证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维

等，将会起到很好的促进作用.在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系

列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的.

6.证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的

基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点.

7.不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用.因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用.在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明.不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中.诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。

8.不等式应用问题体现了一定的综合性.这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式;另一类是建立函数式求最大值或最小值.利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件.利用不等式解应用题的基本步骤：10审题，20建立不等式模型，30解数学问题，40作答。

9.注意事项：

⑴解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来求解，。

⑵解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。

⑶不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。

⑷根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。

(Ⅱ)范例分析

b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a=____.

分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口.怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a”?M中的元素又有什么特点? 解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)

(2)当1≤y≤3时，所以当y=1时，xmin=4.

说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质.即求集合M中的元素满足关系式

例2.解关于x的不等式： xxa2a29分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数a进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。

a0

解：当xa时，不等式可转化为3b17xaxa即2 229xxa2a9x9ax2a0axa

当xa时不等式可化为xa3或2a3xaxaxa即2 22ax(ax)2a9x9ax2a0故不等式的解集为(,a32a317,a。

63x2x3x22例3. 己知三个不等式：①2x45x ②



1③2xmx10

2 (1)若同时满足①、②的x值也满足③，求m的取值范围;

(2)若满足的③x值至少满足①和②中的一个，求m的取值范围。

分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足①、②的x值的满足③的充要条件是：③对应的方程的两根分别在,0和3,)内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。 解：记①的解集为A，②的解集为B，③的解集为C。 解①得A=(-1，3);解②得B=0,1)(2,4,AB0,1)(2,3)

(1) 因同时满足①、②的x值也满足③，ABC

设f(x)2xmx1，由f(x)的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，f(0)01017AB即m即可满足 f(3)03m17032CAB,而AB(1,4(2) 因满足③的x值至少满足①和②中的一个，

因

此C(1,4方程2xmx10小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而

2

f(1)1m031f(4)4m310,解之得m1 4m144说明：同时满足①②的x值满足③的充要条件是：③对应的方程2x2+mx-1=0的两根分别在(-∞，0)和[3，+∞)内，因此有f(0)<0且f(3)≤0，否则不能对A∩B中的所有x值满足条件.不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系.

例4.已知对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a≥5.

分析：回忆二次函数的几种特殊形式.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).①

顶点式.f(x)=a(x-x0)2+f(x0)(a≠0).这里(x0，f(x0))是二次函数的顶点，x0=

))、(x2，f(x2))、(x3，f(x3))是二次函数图象上的不同三点，则系数a，b，c可由

证明：设二次三项式为：f(x)=a(x-x1)(x-x2)，a∈N. 依题意知：0

f(0)>0，f(1)>0.

又f(x)=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2为整系数二次三项式，

所以f(0)=ax1x

2、f(1)=a·(1-x1)(1-x2)为正整数.故f(0)≥1，f(1)≥1. 从而

f(0)·f(1)≥1.

① 另一方面，

且由x1≠x2知等号不同时成立，所以

由①、②得，a2>16.又a∈N，所以a≥5.

说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活.根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键.

例5.设等差数列{an}的首项a1>0且Sm=Sn(m≠n).问：它的前多少项的和最大? 分析:要求前n项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列.

解:设等差数列{an}的公差为d，由Sm=Sn得

ak≥0，且ak+1<0.

(k∈N).

说明：诸多数学问题可归结为解某一不等式(组).正确列出不等式(组)，并分析其解在具体问题的意义，是得到合理结论的关键.

例6.若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围. 分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组).由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来.即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解.

解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx.于是

解法一(利用基本不等式的性质) 不等式组(Ⅰ)变形得

(Ⅰ)所以f(-2)的取值范围是[6，10]. 解法二(数形结合)

建立直角坐标系aob，作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分.因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系.如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10.即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10.

解法三(利用方程的思想)

又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而

1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，

① 所以

3≤3f(-1)≤6.

② ①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10.

说明：(1)在解不等式时，要求作同解变形.要避免出现以下一种错解：

2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11.

(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题.若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高.

2例7.(2002 江苏)己知a0,函数f(x)axbx， (1)当b0时，若对任意xR都有fx1,证明：a2b;

(2)当b1时，证明：对任意x[0,1]，|f(x)|1的充要条件是b1a2b; (3)当0b1时，讨论：对任意x[0,1]，|f(x)|1的充要条件。 证明：(1)依题意，对任意xR，都有f(x)1.f(x)b(xf(a2b)a2a2b)2a24b

4b1,a0,b0a2b.

22(2)充分性：b1,ab1,对任意x0,1,可推出:axbxb(xx)x

x1,即axbx21;又b1,a2b,对任意x0,1,可知

axbx2bxbx(2bxbx)max2b1f(x)1 2221bb(1b)1,即axbx122必要性：对任意x0,1,f(x)1,f(x)1,f(1)1 即ab1ab1;又b10即ab11,a2b,故b1a2b

111,由fx1知f1bb

综上,对任意x0,1,f(x)1的充要条件是b1a2b

2(3)a0,0b1时,对任意x0,1,f(x)axbx即f(x)1;又由f(x)1知f(1)1,即ab1,即ab

1而当ab1时,f(x)axbx(b1)xbxb(x0b1,b12b12b1

22b12b)2(b1)4b2

在0,1上,y(b1)xbx是增函数,故在x1时取得最大值1f(x)1

当a0,0b1时,对任意x0,1,f(x)1的充要条件是ab1

例8.若a>0，b>0，a3+b3=2.求证a+b≤2，ab≤1.

分析：由条件a3+b3=2及待证的结论a+b≤2的结构入手，联想它们之间的内在联系，不妨用作差比较法或均值不等式或构造方程等等方法，架起沟通二者的“桥梁”. 证法一

(作差比较法) 因为a>0，b>0，a3+b3=2，所以

(a+b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6 =3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0， 即

(a+b)3≤23.

证法二

(平均值不等式—综合法) 因为a>0，b>0，a3+b3=2，所以

所以a+b≤2，ab≤1.

说明：充分发挥“1”的作用，使其证明路径显得格外简捷、漂亮. 证法三

(构造方程) 设a，b为方程x2-mx+n=0的两根.则

因为a>0，b>0，所以m>0，n>0且Δ=m2-4n≥0.①

因此2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n]，所以

所以a+b≤2.

由2≥m得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1.所以 ab≤1.

说明：认真观察不等式的结构，从中发现与已学知识的内在联系，就能较顺利地找到解决问题的切入点. 证法四

(恰当的配凑) 因为a>0，b>0，a3+b3=2，所以

2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)，

于是有6≥3ab(a+b)，从而

8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，

所以a+b≤2.(以下略)

即a+b≤2.(以下略) 证法六

(反证法) 假设a+b>2，则

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]>2(22-3ab).

因为a3+b3=2，所以2>2(4-3ab)，因此ab>1.

① 另一方面，2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)·ab>2ab， 所以ab<1.

② 于是①与②矛盾，故a+b≤2.(以下略) 说明：此题用了六种不同的方法证明，这几种证法都是证明不等式的常用方法.

例9.设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相

分析：因为x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(x-x0)2+f(x0). 证明：由题意知，a≠0.设f(x)=a(x-x0)+f(x0)，则又二次方程ax2+bx+c=±x无实根，故

Δ1=(b+1)2-4ac<0，

2Δ2=(b-1)-4ac<0.

222所以(b+1)+(b-1)-8ac<0，即2b+2-8ac<0，即

b2-4ac<-1，所以|b2-4ac|>1.

2说明：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径.

例10.(2002理)某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

解：设2001年末的汽车保有量为a1，以后每年末的汽车保有量依次为a2,a3....，每年新增汽车x万辆。

由题意得an10.94anx即an1 an(30x0.06)0.94n1x0.060.94(anx0.06)

x0.063010.94n1令an60,解得x(30上式右端是关于)0.06

n的减函数,且当n时,上式趋于3.6故要对一切自然数n满足an60,应有x3.6,即每年新增汽车不应超过3.6万辆

例11.已知奇函数f(x)在(，0)(0，)上有定义，在(0，)上是增函数，

f(1)0,又知函数g()sinmcos2m,[0,22],集合

Mm恒有g()0,Nm恒有f(g())0,求MN 分析：这是一道比较综合的问题，考查很多函数知识，通过恰当换元，使问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题。 解奇数函数f(x)在(0，)上是增函数，f(x)在(，0)上也是增函数。g()0g()0又由f(1)0得f(1)f(1)0满足的条件是f(g()0f(1)g()1 即g()(1(0，])，即sinmcos2m1,2也即cosmcor2m2022 令tcos,则t[0,1],又设(t)tmt2m2,0t1 1]内的最大值小于零 要使(t)0,必须使(t)在[0，2

m0知m 2m201 当0m20即m0时，(t)max(0)2m2,解不等式组

22当00m21即0m2时,(t)maxm8m84,解不等式组0m22m8m80得422m24

30当mm2 1即m2时，(t)maxm1,解不等式组2m10得m2综上：MNmm422

例12.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。

(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少? (2)若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小?

(半个椭圆的面积公式为s=lh,柱体体积为：底面积乘

4以高，21.414，72.646本题结果均精确到0.1米)

分析：本题为2003年上海高考题，考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力。 解：1)建立如图所示直角坐标系，则P(11，4.5) 椭圆方程为：x22ab将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程得

a4477,此时l2a887733.3故隧道拱宽约为33.3米 y221

2)由椭圆方程11a2xa22yb221得11a224.5b221

24.5b222114.5ab992,ab9911a2s4lhab2,当s最小时有24.5b2212

此时l2a31.1,hb6.42故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小. a112,b92例13.已知n∈N，n>1.求证

分析:虽然待证不等式是关于自然数的命题，但不一定选用数学归纳法，观其“形”，它具有较好规律，因此不妨采用构造数列的方法进行解.

则

说明：因为数列是特殊的函数，所以可以因问题的数学结构，利用函数的思想解决.

例14.已知函数f(x)(2)设x是正实数，求证：x2x2x12

fx122.

fx1nnn

分析：本例主要复习函数、不等式的基础知识，绝对值不等式及函数不等式的证明技巧。基本思路先将函数不等式转化为代数不等式，利用绝对值不等式的性质及函数的性质。证明(1)再利用二项展开式及基本不等式的证明(2)。 (1)设〈0x1,0t1,求证：txtxftx1证明：(1)f(x)f(tx1)tx1tx(x1)1x11tx2f(tx1)tx1tx1tx

tx2tx2,当且仅当tx1时，上式取等号。

0x1,0t1tx1,f(tx1)2 s(txtx22(tx)2tx(txtx)2(tx)2tx

2222222222当tx时,s4t4;当tx时s4x4

txtx2f(tx1)即txtxf(tx1) 2(2)n1时，结论显然成立

当n2时，f(x1)nf(x1)(xn1x)(xnn1x)Cnxn1n11xCnx2n21x2.....

Cnn2x21xn2Cnn1x1xn1Cnx1n2Cnx2n4......Cnn21xn4Cnn11xn2

11n21112n1n4n2C(x)C(x)....C(x) nnnn2n4n22xxx122(C1nCn...Cn2n1)CnCn...Cn12n122

n

例15.(2001年全国理)己知i,m,n是正整数，且(1)证明：niAmmiAn (2)证明：1m1n n1imn

iim证明：(1)对于1im,有Amm.(m1)......(mi1),同理AnniiiAmmiimmm1mm2m......mi1m

nn1n2ni1......由于mn,对整数k1,2,......,i1,有 nnnnm,AnniinknmkAmmiiiii即mAnnAm

nni(2)由二项式定理有(1m)(1imn),而CnmiimCi0iinm,(1n)iiminCi0iiimii,由(1)知mAnnAm

iiAni!ii,CmoiAmi!imcnnCm(1imn)

o11i因此mCni2nimi2iiooinCm,又mCnnCm1,mCnnCmmn,mCn0

mi(min)mCnnCm即(1m)(1n)。

i0i0iinm(Ⅲ)、强化训练

1.已知非负实数x，y满足2x3y80且3x2y70，则xy的最大值是(

)

A.738

B.

C.

2D. 3

30.52.已知命题p：函数ylog(x2xa)的值域为R，命题q：函数y(52a)

2x

是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是

(

)

A.a≤1 B.a<2 C.1

axx2x32>0 4.求a，b的值，使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别是：

(1)[-1，2];(2)(-∞，-1]∪[2，+∞);(3){2};(4)[-1，+∞). 5. 解关于x的不等式1a2xaax(a0且a1) 6.(2002北京文)数列x由下列条件确定：xn1a0,xn11a,nN xn2xn(1)证明：对于n2,总有xna,

(2)证明：对于n2,总有xnxn1.

7.设P=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1，若t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值，试求x的变化范围.

8.已知数列an的通项为an,前n项和为sn,且an是sn与2的等差中项，数列b1=1，点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上。 Ⅰ)求数列an、bn的通项公式an,bn Ⅱ)设bn的前n项和为Bn, 试比较

1B11B2...1Bn与2的大小。

bn中，

Ⅲ)设Tn=b1a1b2a2...bnan,若对一切正整数n,Tnc(cZ)恒成立,求c的最小值

(Ⅳ)、参考答案

1.解：画出图象，由线性规划知识可得，选D 2.解：命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数x22xa的判别式44a0，从而a1;命题q为真时，52a1a2。

若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题。

若p为真，q为假时，无解;若p为假，q为真时，结果为1

(1) 当a1时，由图1知不等式的解集为xxa或1x3

(2) 当1a3时，由图2知不等式的解集为(3) 当a3时，由图3知不等式的解集为xx1或ax3

xx1或3xa

4.分析：方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通.

解(1)

由题意可知，a>0且-1，2是方程ax2+bx+a2-1≤0的根，所以

(3)由题意知，2是方程ax2+bx+a2-1=0的根，所以

24a+2b+a-1=0.

① 又{2}是不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集，所以

(4)由题意知，a=0.b<0，且-1是方程bx+a2-1=0的根，即-b+a2-1=0，所以

a=0，b=-1.

说明：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间相互联系相互渗透，并在一定条件下相互转换。

5.分析：在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观，形象的图象关系，对含参数的不等式，运用图解法，还可以使得分类标准更加明晰。 解：设tax，原不等式化为1t2at(t0)设y1一坐标系中作出两函数图象

y1y2,故(1)当0a1时,0t1,即0a2x1t(t0),y2at，在同

21x0,)

2当1a2时,如右图,解方程21tat得t1,22a2a22(2)a2a2ta2a2x(log22aa

a2aa22,log2)(3)当a2时，原不等式的解集为φ

综上所述，当a(0,1)时，解集为0,);当a(1,2)时，解集为

2a(log2a22,log2a2a22);当a2,)时，解集为φ。

6.证明：(1)x1a0及xn1当n2时xna成立

12axn1a12(xnaxn)知xn0,从而xn112(xnaxn)xnaxna(nN)

(2)当n2时，xna0,xn1(xn),xn1xn2xn(xn)

=12axnxn20.n2时,xnxn1成立

7.分析：要求x的变化范围，显然要依题设条件寻找含x的不等式(组)，这就需要认真思考条件中“t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值.”的含义.你是怎样理解的?如果继续思考有困难、请换一个角度去思考.在所给数学结构中，右式含两个字母x、t，t是在给定区间内变化的，而求的是x的取值范围，能想到什么?

解：设P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1.因为 P=f(t)在top直角坐标系内是一直线，所以t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值的充要条件

解得log2x>3或log2x<-1.

说明：改变看问题的角度，构造关于t的一次函数，灵活运用函数的思想，使难解的问题转化为熟悉的问题.

8.分析：本题主要复习数列通项、求和及不等式的有关知识。

n略解：Ⅰ)an2,bn2n1

Ⅱ)Bn=1+3+5+„+(2n-1)=n2

1B11B21121n...1231B11Bn1121212132...1n122 12..1B2(n1).n...1Bn1(12)(1213)...(1n11n)

2 Ⅲ)Tn=

121212123222325232...52142n1n2①

2n122n1Tn...13②

22n22212n1Tn3n23 n221347372 又T4234221622①-②得Tn1223...2n12n1

满足条件Tnc的最小值整数c3。