轴对称是初中平面几何的一个基本知识点, 掌握并灵活运用轴对称的概念和性质, 可以解决与之相关的哪些问题呢?本文笔者从以下几个方面谈一谈自己的看法。
例1、已知△ABC和直线ι (如图1) 作出△ABC关于直线ι的对称图形。
分析:利用对称点的连线被对称轴垂直平分只要作出A、B、C三点关于直线的对称点, 顺次连接成三角形即可。
作法:1、过A作AP⊥ι于P, 在AP的延长线上裁取PA′使PA′=PA。
2、同理可以作出B、C两点关于ι的对称点B′、C′。
3、顺次连结A′B′、B′C′、C′A′, 则△A′B′C′为所求作的图形。
例2、用所给的图形“○○”“□□”“∥” (两个圆, 两个长方形, 两条平行线) 为构件, 构思独特且有意义的轴对称图形。例如左框中最符合要求的一个图形 (图2) 你还能构思其他图形吗?请你在右框中画出符合要求的其它图形并写出一些贴切诙谐的解说词。
分析:这是一道考察我们读图和设计及空间想象力的题目“答案不唯一”设计时要联系实际生活、抽象转化为数学模型, 画出符合要求的图形。
写出某点P (x, y) 关于直线x=m或y=n的对称点的坐标, 我们知道:P (x, y) 关于x轴的对称点坐标为 (x, -y) , 关于y轴的对称点坐标为 (-x, y) , 那么p (x, y) 关于直线x=m或y=n的对称点坐标是怎样的?
例3:如图3请写出△ABC中各顶点坐标, 在同一直角坐标体系中画出直线x=2并作出△ABC关于直线x=2的对称三角形A′B′C′, 若P (a, b) , 则P关于直线x=2的对称点的坐标是怎样的?
分析:直线x=2的作法由于这条线上所有点的横坐标都是2过 (2, 0) 作x轴的垂线 (或y轴的平行线) 就是直线x=2, 再作出A、B、C三点关于x=2对称点A′、B′、C′即可写出A′、B′、C′的坐标。
解:△ABC各顶点的坐标分别是A (-2, 4) , B (-1, 2) , C (-4, 1) 过 (2, 0) 点作x轴的垂线即为直线x=2。作出A、B、C三点关于直线的对称点A′、B′、C如图3, 可知A′ (6, 4) , B′ (5, 2) , C′ (8, 1) 。
观察三组点的纵坐标没有变化, 横坐标为2×2减去对应点的横坐标所以P (a, b) 关于直线x=2的对称点坐标为 (4-a, b) 。
为什么呢?若P点坐标为 (x, y) , 直线为x=m, 则P (x, y) 点到直线x=m的距离为│m-x│。
(1) 当m>x时, │m-x│=m-x, P (x, y) 点关于直线x=m的对称点在直线x=m的右边, 且距离直线x=m的距离为m-x (轴对称的性质) 因此, P (x, y) 关于直线x=m的对称点, 就是将P (x, y) 向右平移2 (m-x) 个单位长度得到的点, 其横坐标为x+2 (mx) =2m-x, 纵坐标不变, 即P (x, y) 关于直线x=m的对称点的坐标为 (2m-x, y) 。
(2) 当m
(3) 当m=x时, P (x, y) 在直线x=m上, 则P (x, y) 关于直线x=m的对称点是其本身 (x, y) , x=2m-x。
即P (x, y) 关于直线x=m的对称点为 (2m-x, y) 。
综上所述, 无论m为何值时, P (x, y) 关于直线x=m的对称点的坐标为 (2m-x, y) 。
同理:P (x, y) 关于直线y=n的对称点坐标为 (x, 2n-y) 。
例4:已知A (2m+n, 2) , B (1, n-m) , 当m, n分别为何值时?
(1) A、B关于x轴对称。 (2) A、B关于y轴对称。
分析:P (x, y) 关于x轴的对称点坐标为 (x, -y) 。即是关于x轴对称的两点横坐标相等纵坐标互为相反数, P (x, y) 关于y轴的对称点坐标为 (-x, y) , 即关于y轴对称的两个点横坐标互为相反数纵坐标相等。
∴当m=1, n=-1时A、B关于x轴对称。
∴当m=-1, n=1时A、B关于y轴对称。
例5:在平面直角坐标系中求直线y=2x+4关于y轴、x轴对称的直线解析式。
分析:两点确定一条直线, 在直线y=2x+4上取两点 (0, 4) , (-2, 0) 它们关于轴的对称点分别为 (0, 4) , (2, 0) 过这两点的直线即为y=2x+4关于y轴的对称直线。同理可求出y=2x+4关于x轴对称直线。
解:直线y=2x+4上取两点 (0, 4) , (-2, 0) 它们关于y轴的对称点分别为 (0, 4) , (2, 0) 。
设过这两点的直线解析式为y=kx+b
所以y=2x+4关于y轴的对称直线为y=-2x+4
同理可得y=2x+4关于x的对称直线为y=-2x-4
归纳:y=kx+b关于y轴的对称直线为y=-kx+b (k≠0) , y=kx+b关于x轴的对称直线为y=-kx-b (k≠0) 。
例6:如图5所示, 小李在河边A处放牛, 在河 (直线ι) 边喂水后回到家B处, 问在何处喂水, 才能使回家的路程最近?
分析:实质上是已知直线ι和在ι同侧的两点A、B求作点C, 使AC+CB最小, 需要比较线段的大小, 涉及到三角形的三边关系。
在直线ι上任取异于C点的C′都有AC′+C′B>AC+CB, 即AC+CB最小。
解:作法 (如图5)
作出A点关于直线ι的对称点A′, 连结A′B交直线ι于C点, 则C点为喂水的位置。
证明:在直线ι的对称点C′连结AC′、A′C′、C′B
∵A与A′关于直线ι对称
而在△A′BC′中A′B
所以在C处喂水时, 回家的路程最近。
例7:已知, 如图6所示, A、B两点在直线ι的两侧, 在ι上找一点C, 使C到AB的距离之差最大, 并证明之。
分析:已知, 直线ι及ι两侧两点A、B如图6求作点C使AC-BC最大。作出B关于直线ι的对称点B′, AC-BC=AC-B′C, 当C不在AB′的延长线上时均有AC-B′C
解:作法:
作B点关于直线ι的对称点B′, 连结AB′并延长AB′交直线ι于C点, 则C点为所求作的点。
证明:在直线ι上任取一点C′连结BC′、A′C′、B′C′
∵B与B′关于直线ι对称
∴BC=B′C BC′=B′C′AC-BC=AC-B′C=AB′
而AC′-BC′=AC′-B′C′
∴AC′-BC′
即C到A、B距离之差最大。
[1] 全能新教材学法 (八年级) 《知识出版社》2007年8月第1版
[2] 天下通 (八年级上) (人教版) 重庆出版社
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