勾股定理的应用方法小结（精选18篇）
绵竹市紫岩雨润中学
岳关芬
谈到勾股定理，学数学的学生以及经常使用数学知识的科研技术人员都非常的熟悉。它的具体内容就是：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。这个重要的结论为我们解决直角三角形中线段长度的计算带来很大的方便。
但是作为一名从事数学教学工作的教师，在教学的过程当中，仍然发现有许多学生在涉及到这个方面的问题是，还是不明白该如何入手解决问题。所以在此把自己总结的一些经验与大家分享，共同学习。
在直角三角形中：
（一）：直接变式法
已知两条边的具体的值，求第三边。例1：已知：在⊿ABC中:∠C=90°
(1)AC=4, BC=3 , 求AB的长。
(2)AB=13，AC=12，求BC的长
小结：像这个题，他就是勾股定理的一个直接的应用。
（二）设未知数法
已知一条边具体的值，同时已知另外两边的关系，求边长。例2：已知：在⊿ABC中:∠C=90°，（1）AC + BC= 7, AB=5 ,求AC ,BC的长。
（2）AB –AC =8, BC=12，求AB ,AC 的长。
小结：像这两个小题，它需要根据勾股定理结合条件
把它转化成带有一个未知数的方程来解决问题。以（1）为例，设AC = x,则
BC=7-x,那么x+(7-x)= 25,就可以找出线段的值。
变式训练：
已知：小红用一张举行纸片惊醒折纸。已知该纸片的宽AB为8厘米，长BC为10厘米，当小红折叠时，顶点D落在边BC上的点F处（折痕为）。想一想，此时CE有多长?
(三)面积法
已知两直角边的长，求斜边上的高。2例3：已知：在⊿ABC中:∠C=90°，AC =3, BC=4，求AB边上的高CD。
小结：这个题目先利用勾股定理求出斜边，再结合三角形的面积求可以求出斜边上的高。
变式训练
已知；在在⊿ABC中:∠C=90°，AC=7，BC=24，P是⊿ABC内的一点，并且P到三角形三边的距离相等，求这个距离。
(四)构建等式法
例4：已知：铁路上A,B两点相距25㎞，C, D为两村庄，已知：AD⊥AB于A,BC⊥AB于B,已知：AD=15㎞，BC=10㎞。现在要在铁路AB上修建一个土特品收购站E，使得C,D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多远处？
小结：这个题目单独利用直角三角形ADE没有办法解决问题，恰好⊿ADE和⊿BCE都是2222直角三角形，并且相等的边DE和CE,于是设AE=x,BE=25-x,得15+x=10+(25-x).即可找出线段的长。变式训练：
一、数形结合思想
数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,将数量关系和空间形式巧妙结合,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,有助于把握数学问题的本质,发现问题中所隐含的条件. 勾股定理本身就是数形结合的定理,它的验证和应用,都体现了数形结合的思想.
例1有一直立标杆,它的上部被风吹折,杆顶着地,离杆脚20 cm,修好后又被风吹折,因新断处比前次低了5 cm,且标杆顶着地处比前次远10 cm,求标杆的高.
【分析】依题意作图如图1,数形结合求解.设第一次吹折后下段AB的长为xcm,上段BC的长为y cm,第二次吹折后下段AD的长为(x-5)cm,上段DE的长为(y+5)cm,依题意得,
只要求出x+y的值即求出标杆的高而不必单独求x与y的值.
解:设第一次吹折后下段AB的长为x cm, 上段BC的长为y cm,
第二次吹折后下段AD的长为(x-5)cm,
上段DE的长为(y+5)cm,依题意得,
由2-1得,10(x+y)=500,
∴x+y=50.
故标杆的高为50 cm.
【点评】利用三边的平方关系或辅助线结合生活常识可获得直角三角形,进而可求边长或面积. 数形结合思想是数学中的重要思想方法,它可以使抽象的知识转化为形象的图形,从而处理起来更直观、容易, 应该引起同学们的重视.
二、方程思想
例2在△ABC中,AB=10,AC=6,∠C= 90°,点O是AB的中点,将一块直角三角板的直角顶点绕点O旋转,M、N分别为直角三角形的直角边与AC、BC的交点.
(1) 如图2,当点M与点A重合时,求BN的长.
(2) 当三角板旋转到如图3所示的位置时,即点M在AC上(不与A、C重合), 猜想图3中AM2、CM2、CN2、BN2这四条线段满足的数量关系,并说明你得出此结论的理由.
【分析】(1) Rt△ABC中,已知AB=10, AC=6,可由勾股定理直接求出BC=8.不难发现连接AN可证AN=BN,在Rt△ACN中已知AC及AN与CN的数量关系,可设BN= x,则CN=8-x,由勾股定理得到方程62+ (8-x)2=x2即能解出BN.
(2) 观察题中线段都含有平方,联想到勾股定理,但发现不能直接得出数量关系,只能添加辅助线构造全等将BN转化为AE,使得AM、AE和CM、CN存在两个直角三角形中,利用勾股定理则有AE2+AM2= EM2、CN2+CM2=MN2的数量关系,再由EM、 NM相等建立等量关系便能解决问题.
解:(1)连接AN.
∵Rt△ABC中,∠C=90°,∴BC2=AB2-AC2=64,
∵BC>0,
∴BC=8,
∵OA=OB,∠AON=∠BON,ON=ON,
∴△OAN≌△OBN(SAS),∴AN=NB.
设BN=x,则CN=8-x.
∵Rt△ACN中,∠C=90°,
∴AC2+CN2=AN2,∴62+(8-x)2=x2,
∴x=25/4,∴BN=25/4.
(2) 延长NO到E,使EO=NO,连接AE、EM、MN.
∵OB=OA, ∠NOB=∠EOA,ON=OE,
∴ △NOB ≌ △EOA(SAS),
∴BN=AE,∠B=∠EAO,∴AE∥BC,
∴∠EAC+∠C=180°.
∵∠C=90°,∴∠EAC=90°,
∵MO垂直平分EN,∴EM=MN.
∵AE2+AM2=EM2,CN2+CM2=MN2,
∴AM2+BN2=CN2+CM2.
【点评】我们发现“方程”是解决勾股定理计算问题的有效工具,思路清晰,解题简便.我们也体会到直角三角形与等腰三角形有着密切的联系,把研究等腰三角形转化为研究直角三角形,转化的思想是研究问题的一种策略.
三、整体思想
例3已知a、b、c分别是Rt△ABC的两条直角边和斜边,且a+b=14,c=10,则S△ABC=_______.
【分析】一般的想法,要求直角三角形的面积,先求出其两条直角边a、b,则S△ABC即可求出,但这样求a、b非常繁杂,甚至在现阶段不可能.如果注意到:S△ABC=1/2ab,那么只要求出ab这一整体就可以了.
解:由a+b=14,两边平方得:a2+2ab+b2=196,所以
根据勾股定理,a2+b2=c2.
所以,.
关键词：函数；构造；求导法则；微分中值定理
【中图分类号】O172
构造函数在高等数学中经常用到。由于函数的构造有一定的技巧，教学中往往是一个难点。因此，如何构造函数，教给学生学会构造函数的方法，就成为相当重要而且必须解决的一个问题，它甚至是学习高等数学的一把钥匙。本文就罗尔中值定理应用中构造函数的方法进行初步探讨。
微分中值定理包括罗尔（Rolle）中值定理，拉格朗日（Lagrange） 中值定理和柯西（Cauchy） 中值定理，它们揭示了函数在某区间上的整体性质和该区间内部某点处导数间的关系，是微分学中的重要定理。罗尔中值定理是三个微分中值定理之一，也是第一个，其他两个中值定理都是用罗尔中值定理证明的。
一、零点定理應用中构造函数的思路和方法
为了探讨拉格朗日中值定理和柯西中值定理证明中构造函数的思路与方法，我们首先看一下比较简单的零点定理应用中构造函数的方法。
参考文献：
各位评委老师，你们好！
今天我说课的题目是《勾股定理的应用》，下面我将从教材的地位和作用、学情、教学目标、教学重、难点、教法和学法、教学过程六个方面对本课进行分析。
一、说教材的地位和作用
本节选自华东师大版八年级数学上册第14章第2节，本节是在掌握勾股定理的基础上对勾股定理的应用之一。教材在编写时注重培养学生的动手操作能力和分析问题的能力。通过实际分析，使学生获得较为直观的印象。通过联系和比较，了解勾股定理在实际生活中的广泛应用。勾股定理作为数学学习的工具，掌握好本节内容对其他内容的学习奠定基础。《勾股定理的应用》分为两个课时，本节课是第一课时。二：说学情
在本节内容之前，学生已经准确的理解了勾股定理的内容，并能运用它解决一些数学问题，同时也具备了一定的合作意识与能力，并对“做数学”有相当的兴趣和积极性，但探究问题的能力还是有限，对生活中的实际问题与勾股定理的联系还不明确，特别是构建数学模型还有困难，自主学习能力也有待于加强。
三、说教学目标
课标要求：能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题
1.知识与技能目标：能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题。
2.过程与方法目标：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件。
3.情感态度价值观目标：培养合情推理能力，体会数学源于生活又服务于生活，激发学习热情。
四、说教学重、难点
重点：勾股定理及逆定理的应用。
难点：勾股定理的正确使用及体会数学建模思想。
关键：在现实情境中捕捉直角三角形，把实际问题化成勾股定理几何模型，然后针对性解决。
五、说教法和学法
1、教法分析
我主要采用了 引导发现法
问题教学法
演示法
合作探究法
练习巩固法等
2、学法分析
我主要采用了：自主探究学习法
实验法
合作探究学习
个人展示法
练习巩固法等
六、说教学程序
【第一环节
情境引入 导入新课】
本环节我设计了一个受台风影响树木断裂的问题，学生先独立思考，然后二人复述，再上黑板展示，最后教师引导学生发现解题思路，引出本节内容。
设计意图：通过给学生提供现实背景及生活素材，激发学生为解决问题而生成的求知欲。并体会数学来源于生活。
【第二环节
自主学习】 我把例1设计了5个问题，例2设计了4个问题，然后学生课前根据老师
设计问题自主探究，独立完成
设计意图：
1、通过自主学习，培养学生的自主探究学习的能力。
2、问题具体化，让学生亲历知识生成的过程，明确本节的重点，突破难点。
3、问题的层次化引导了学生数学模型的建立。
4、要求学生把解题过程规范写出来，让学生在理解知识内涵，掌握规律的基础上规范解题。
【第三环节
合作探究】
小组合作探究学习，教师巡视指导。
设计意图：一方面培养学生团队合作意识。另一方面让学生在讨论辨析中明辨事理，突破疑点和难点。
【第四环节
师生点拨] 通过合作探究，小组提出问题，学生解决问题，老师补充。老师质疑，师生共同解决。
设计意图：通过问题的解决和思维的展示，突破本节课的重难点。
【第五环节
巩固训练】
1、课本练习1
2、【2008年德州中考】有两棵树，一棵树高8米，另一颗树高2米，两树相距8米，一只小鸟从一颗树飞到另一棵树梢至少飞
米。
（黑板展示3号完成1题，2号完成2题，然后全体学生共同点评）设计意图：
1、让学生在训练中反思基础，认识规律，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件
2、通过黑板测验激发学生的竞争力，同时巩固本节课的内容。【第五环节
拓展创新】
如图，在长、宽都是5，高是7的长方体纸箱的外部，一B只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B处，求它所行的最短路线的长。
（学生先独立思考，然后各抒己见，教师引导达成共识，最后老师继续拓展，长宽不一样又应该怎么求）A
设计意图：进一步深化和拓展本节知识的内涵与外延，从而提高学生的思维能力。
【第五环节
课堂小结】
鼓励学生畅所欲言的总结本节课的收获与体会；然后帮助学生自主建构知识体系。
执笔人：
审核：八年级数学组 课型：新授 时间：
1、知识与方法目标：通过对一些典型题目的思考、练习，能正确、熟练的进行勾股定理有关计 算，深入对勾股定理的理解。
2、过程与方法目标：通过对一些题目的探讨，以达到掌握知识的目的。
3、情感与态度目标：感受数学在生活中的应用，感受数学定理的美。
课前复习
1、勾股定理的内容是什么？
问：是这样的。在RtΔABC中，∠C＝90°，有：AC2+BC2＝AB2，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。
今天我们来看看这个定理的应用。新课过程 分析：
大家分组合作探究：
解：在RtΔABC中，由题意有：
AC＝
＝
≈2.236
∵AC大于木板的宽
∴薄木板能从门框通过。学生进行练习：
1、在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠B=90゜.①已知a=5，b=12，求c； ②已知a=20，c=29，求b（请大家画出图来，注意不要简单机械的套a+b＝c，要根据本质来看问题）
2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米，那么这个三角形的周长是多少
22厘米？
解：①当6cm和8cm分别为两直角边时；
斜边＝
＝10
∴周长为：6+8+10＝24cm ②当6cm为一直角边，8cm是斜边时，另一直角边＝
周长为：6+8+2
＝2＝14+2
解：由题意有：∠O＝90°，在RtΔABO中
∴AO＝
又∵下滑了0.4米
∴OC＝2.0米 在RtΔODC中 ∴OD＝∴外移BD＝0.8米 答：梯足将外移0.8米。例3 再来看一道古代名题：
这是一道成书于公元前一世纪，距今约两千多年前的，《九章算术》中记录的一道古代趣题：
=1.5（米）
＝2.4（米）
“现在有一个贮满水的正方形池子，池子的中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上。请求出水深与芦苇的长各有多少尺？
解：由题意有：DE＝5尺，DF＝FE+1。设EF＝x尺，则DF＝（x+1）尺 由勾股定理有： x2+52＝（x+1）2 解之得：x＝12 答：水深12尺，芦苇长13尺。
例4 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
解：由题意有：BC＝12米，AC＝16－11＝5米。在RtΔABC中 AB＝＝13 答：小鸟至少要飞13米。
三、作业：完成书P77页1，P78页2、3
一、直接用勾股定理计算
例1 (2015·吉林长春)如图1,点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为_______.
【分析】本题根据△ABE的面积为8可求出正方形边长为4,再根据勾股定理即可求出BE的长.
解:过E作EM⊥AB于M,如图2,
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴AD=BC=CD=AB,∴EM=AD,BM=CE,
∵△ABE的面积为8,
∴1/2×AB×EM=8,得:EM=4,
即AD=DC=BC=AB=4,
∵CE=3,由勾股定理得:BC2+CE2=BE2,
∴BE2=42+32=25,
∴BE=5.
【点评】本题求出正方形边长是关键, 求出边长后直接利用勾股定理进行计算.
二、勾股定理和逆定理并用证垂直
例2 (2013·内蒙古包头)如图3,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE、BE、 CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到 △CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C=_______ 度.
【分析】首先根据旋转的性质得出∠EBE′=90°,BE=BE′=2,AE=E′C=1,进而根据勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形,从而得出答案.
解:连接EE′,如图4,
∵ △ABE绕点B顺时针旋转90° 到 △CBE′,
∴∠EBE′是直角,
∴△EBE′是直角三角形,
∵△ABE与△CBE′全等,
∴BE=BE′=2,∠AEB=∠BE′C,
∴∠BEE′=∠BE′E=45°,
∵EE′2=22+22=8,AE=CE′=1,EC=3,
∴EC2=E′C2+EE′2,
∴△EE′C是直角三角形,
∴∠EE′C=90°,∴∠BE′C=90°+45°=135°.
【点评】此题主要考查了勾股定理以及逆定理,根据已知得出△EE′C是直角三角形是解题关键.
三、利用勾股定理解决实际问题
例3(2015·福建厦门)已知A,B,C三地位置如图5所示, ∠C=90°,A,C两地的距离是4 km,B,C两地的距离是3 km,则A,B两地的距离是_______km;若A地在C地的正东方向,则B地在C地的_______ 方向.
【分析】根据勾股定理来求AB的长度由于∠C=90°,A地在C地的正东方向,则B地在C地的正北方向.
解:∵∠C=90°,A,C两地的距离是4 km,B,C两地的距离是3 km,
∴AB2=AC2+BC2,∴AB2=42+32=25,
∴AB=5(km).
又∵A地在C地的正东方向,则B地在C地的正北方向.
【点评】本题考查了勾股定理的应用和方向角. 这类问题的解决策略是运用勾股定理建立数学模型,把实际问题转化为数学问题.
四、利用勾股定理经典图创设问题
例4(2015·湖南株洲)如图6是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、 △CDF和 △DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形. 如果AB=10,EF=2,那么AH等于_______.
【分析】一方面根据图形特征得出线段之间的关系AE-DE=2,另一方面利用面积关系:正方形ABCD的面积-正方形EFGH的面积=四个全等直角三角形面积和,得出AE×DE=48,再利用勾股定理得出AE2+ DE2=AD2=AB2=100推出AE+DE=14,最后解二元一次方程组即可算出DE长,即AH的长.
解:∵AB=10,EF=2,
∴ 大正方形的面积是100,小正方形的面积是4,
∴四个直角三角形面积和为100-4=96,
设AE为a,DE为b,即4×1/2ab=96,
∴2ab=96,a2+b2=100,
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196,
∴a+b=14,∵a-b=2,
解得:a=8,b=6,
∴AE=8,DE=6,∴AH=DE=6.
从不同的角度表示大正方形的面积：
角度1：S=（a+b）2；
角度2：S=4×■ab+c2.
于是有（a+b）2=4×■ab+c2.
整理得：a2+b2=c2. 即勾股定理获得验证.
接着学习教材第81页“探索”时，我利用图2再次验证勾股定理，请看：
设长方形的长、宽分别为a、b，则可以从不同的角度表示梯形ABCD的面积：
角度1：S=■（a+b）·（a+b）=■（a+b）2；
角度2：S=2×■ab+■c2.
于是有■（a+b）2=2×■ab+■c2.
整理得：a2+b2=c2. 即勾股定理获得验证.
验证之后，我很好奇，为什么利用这两个图形都能验证，并且验证过程几乎“相似”（在上述演算中只是多了个“■”），再对比图1、图2仔细一看，果然，图2是图1的“一半”！请看图3.
原来这两个问题是一致的，只是取了大正方形的一半. 老师经常讲数学都是关联的，这两种验证勾股定理的方法，看来也是关联在一起的！
刘老师点评：勾股定理尽显人类的智慧，又是数形结合的典范. 这篇短文发现教材上两种验证勾股定理在思路上的一致性（顺便指出，方法二即是1876年美国总统Garfield的证法），并用一个图形实现了他们在“形”上的沟通，很好！确如小作者在文末所说的，“数学是关联的”. 就这篇短文所体现出来的“关联”有很多理解的角度：第一，勾股定理反映了数、形之间有关联；第二，不同证明方法之间是关联的；第三，图形的整体与局部往往也是关联的.
我们介绍的数学公式的学习方法是：
⑴书写公式，记住公式中字母间的关系。
⑵懂得公式的来龙去脉，掌握推导过程。
⑶用数字验算公式，在公式具体化过程中体会公式中反映的规律。
⑷将公式进行各种变换，了解其不同的变化形式。
2．7勾股定理的应用(1)教学目标：
1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．
2．在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．
教学过程：
1．情境创设
本课时的教学内容是勾股定理在实际中的应用。除课本提供的情境外，教学中可以根据实际情况另行设计一些具体情境，也利用课本提供的素材组织数学活动。比如，把课本例2改编为开放式的问题情境：
一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑0.5m，你认为梯子的底端会发生什么变化?与同学交流
创设学生身边的问题情境，为每一个学生提供探索的空间，有利于发挥学生的主体性；这样的问题学生常常会从自己的生活经验出发，产生不同的思考方法和结论(教学中学生可能的结论有：底端也滑动 0.5m；如果梯子的顶端滑到地面上，梯子的顶端则滑动8m，估计梯子底端的滑动小于8m，所以梯子的顶端下滑0.5m，它的底端的滑动小于0.5m；构造直角三角形，运用勾股定理计算梯子滑动前、后底端到墙的垂直距离的差，得出梯子底端滑动约0.61m的结论等)；通过与同学交流，完善各自的想法，有利于学生主动地把实际问题转化为数学问题，从中感受用数学的眼光审视客观世界的乐趣．
2．探索活动
问题一
在上面的情境中，如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米?
组织学生尝试用勾股定理解决问题，对有困难的学生教师给予及时的帮助和指导．
问题二
从上面所获得的信息中，你对梯子下滑的变化过程有进一步的思考吗?与同学交流．
设计问题二促使学生能主动积极地从数学的角度思考实际问题．教学中学生可能会有多种思考．比如，①这个变化过程中，梯子底端滑动的距离总比顶端下滑的距离大；②因为梯子顶端下滑到地面时，顶端下滑了8m，而底端只滑动4m，所以这个变化过程中，梯子底端滑动的距离不一定比顶端下滑的距离大；③由勾股数可知，当梯子顶端下滑到离地面的垂直距离为6m，即顶端下滑2m时，底端到墙的垂直距离是8m，即底端电滑动2m等。教学中不要把寻找规律作为这个探索活动的目标，应让学生进行充分的交流，使学生逐步学会运用数学的眼光去审视客观世界，从不同的角度去思考问题，获得一些研究问题的经验和方法
3．例题教学
课本的例1是勾股定理的简单应用，教学中可根据教学的实际情况补充一些实际应用问题，把课本习题2.7第4题作为补充例题．通过这个问题的讨论，把“32+b2=c2”看作一个方程，设折断处离地面x尺，依据问题给出的条件就把它转化为熟悉的会解的一元二次方程32+x2=(10—x)2，从中可以让学生感受数学的“转化”思想，进一步了解勾股定理的悠久历史和我国古代人民的聪明才智．
4.小结
我们知道勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边就可以依据勾股定理求出第三边．从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到
把直角三角形中三边关系“a2+b2=c2”看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把解实际问题转化为解方程．
2．7勾股定理的应用(2)教学目标
1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．
2．在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．
教学过程：
1．情境创设
本课时的教学内容是勾股定理在数学内部的应用．课本设计用勾股定理探索一些无理数的活动，与本章第1节的“实验”，第2节的“由古巴比伦泥板上的一组数画三角形”相类似，都是为了使学生不断地感受“数”与“形”的内在联系、感受数学的整体性．
2．探索活动
问题一
在右图的直角三角形中，利用勾股定理可知 x=2，根据已有的知识，你还知道哪些与这个三角形有关的数据信息吗?
两个锐角都是45°，这个三角形的面积是
1，周长是2+2，斜边上的高、2中线是2．
2问题二
你知道与右图的三角形有关的哪些数据信息呢?
问题三
如果要知道一个等边三角形的有关信息，你认为至少需要哪些信息?与同学交流
问题一是把情境创设中的问题拓宽，为问题
二、问题三作铺垫．通过对问题
二、问题三的讨论交流，使学生主动地在等腰三角形、等边三角形中构造直角三角形，从而把解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题．
3．例题教学
(1)例1的教学中可以根据教学的实际情况，变换问题的条件(比如等边三角形的角平分线是6cm)，以利于学生进一步认识等腰三角形、直角三角形的基本性质及相互关系；
(2)例2是勾股定理及直角三角形判定条件的综合应用，教学中应更多地关注发展学生有条理地思考和表达的能力
4．小结
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.勾股定理为：两直角边的平方和等于斜边的平方表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
勾股定理是初中数学，重要的一部分，在实际中如果能巧妙的运用勾股定理，会极大提高学生学习数学的乐趣。
题型一：利用勾股定理测量长度
例题 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？
解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！
题型二：勾股定理和逆定理并用
例题 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且 那么△DEF是直角三角形吗？为什么？
解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题可以发现规律 ，可以设AB=4a，那么BE=CE=2 a，AF=3 a，BF= a，那么在Rt△AFD 、Rt△BEF和 Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF，EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直角三角形。
题型三：折叠问题
例题 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。
题型四：旋转问题：
如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，若AP=3，求PP′的长。
变式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2，PB= ，PC=4，求△ABC的边长.
分析：利用旋转变换，将△BPA绕点B逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.
题型五：关于勾股定理在实际中的应用：
例题、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距離为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？
分析此题是把实际问题转化数学中勾股定理来解决的。
解：作AB垂直于MN交MN于B点，可知AB=80m<100m
故会受到影响
取B点右侧点C，连AC，设AC=100m
根据勾股定律BC=60，可知拖拉机在BC上行驶会影响学校
相应的，取B点左侧点D，设AD=100m
DB=60，可知拖拉机在DB上行驶会影响学校
故拖拉机在DC上行驶会影响学校，DC=BC+DB=120m
18km/h=5m/s 120/5=24秒
学校受到的影响的时间为24秒
题型六：关于最短性问题
例题如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长是多少？
分析：在运用勾股定理解决有关问题时，常常需要将一些线段通过平移、旋转、翻折等运动变化从而转化到一个直角三角形中，即转化思想.
求几何体的表面的最短距离，可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图，化“曲面”为“平面”，再寻找解题的途径.如右图，可得展开图中的AB长为2π，BS为2，根据勾股定理，在RtΔABS中，得AS=2 所以，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为2 。
一、顺应师生“本心”,首先是顺应学情基础
“勾股定理”是我国古代数学上的一项伟大数学规律的发现。相传是由商代的商高发现,故又称为“商高定理”。三国时期,蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中,对勾股定理作出了详细的注释。可以说,“勾股定理”解决了直角三角形三边间的数量关系,是重要的几何定理,也是学生后续学习几何的重要基础。课程标准对“勾股定理”内容的教学要求是 :(1)能应用“勾股定理”解决一些简单的实际问题 ;(2)学会选择适当的数学模型解决实际问题。在教学“勾股定理的应用”之前,学生已经准确地理解了勾股定理,并能运用它们解决一些较为简单的数学问题。比如掌握了直角三角形中,已知任意两边可以求出第三边 ;利用勾股定理可以建立方程求未知边等一些基本运用方法。所以,教学时笔者就从基础知识巩固开始——
师 :我们已经学习了勾股定理,知道了勾股定理揭示了直角三角形的三边关系,请同学说一下。
生 :直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
但是,从发展的“本心”看,学生“勾股定理的应用”的眼界没得以拓宽 ;相关复杂条件下的探究能力还没有形成 ;分类讨论思想,特别是抽象思维训练还有待加强。因此,笔者着手建构“勾股定理的应用”的教学方案。
“尚德理念”强调顺应师生的发展“本心”、顺应知识建构的基本规律。在建构时,本着顺应学生的发展“本心”出发,尽量让问题解决生活化、情境化,让学生由浅入深,渐进深入地学习勾股定理的复杂应用。为什么在数学问题解决过程中强调生活化、情境化?尚德课堂主张建设意味深长、意趣盎然的趣味课堂。课堂生活中有了深度兴趣,学生才能阳光乐观、踏实坚定,才能获得主动活泼的发展。在学生回顾了勾股定理的基本原理后,笔者先设计了“勾股定理的应用”的“一般应用”,以积累学生问题解决的经验。
师 :有两棵树,一棵高10m,一棵高4m,相距8m,一小鸟要从一棵树梢A飞到另一棵树梢C,至少飞行多少米?这个问题可以转化为怎样的数学问题?
生 :两点之间线段最短。
师 :树可以看成线段,树和地面是垂直的,小鸟的飞行距离最短就转化成“两点之间线段最短”。现在的问题就转化为什么呢?怎么求AC?
生 :过C作CD垂直于AB,构造直角三角形。
师 :我们看升旗的问题。下垂时,绳子刚好接触地面,求旗杆高度的问题。把升旗的绳子拉开时什么是不变的?
生 :绳子的长度不变。
师 :如何转化成数学问题呢?
生 :标上字母,顶点为A, 2米处为D,构造直角三角形。设旗杆高度为x米,则AD=(x-2)米。
师 :很好。当我们求未知线段长度时可以设为实数x,然后利用勾股定理建立方程,解决问题。
师 :第三个游泳问题, BC=200米, AC=520米,求河宽即AB的长。
生 :可以构造直角三角形。(如图)
师 :有没有同学可以在5秒以内得出答案。还要注意计算技巧。
生 :520和200的比值是13比5,所以另一条是12,回过去就是480。
师 :正好借此就会复习常用的勾股数
生 :3,4,5 ;5,12,13, ;6,8,10 ;7,24,25 ;9,40,41 ;8,15,17。
师 :我们利用这些勾股数或者比值能够又快又准的算出边的长度。简单地小结一下刚刚几个简单的例子,如果没有直角三角形,我们就要构造直角三角形 ;如果数据不充分时,可以设未知数建立方程来解决问题。
第一题是为了让学生了解勾股定理的应用中常用的方法 :构造直角三角形,同学们几乎都会回答,一开始的引导也比较到位,“树木和数学里的什么概念可以联系起来”,“最短距离就是数学中的什么概念?”等等,一下就把学生带到了数学几何的宫殿里,学生们很踊跃地回答这些问题。第二题意在继续深入理解掌握“构造直角三角形”,还有就是会用方程的思想来解决问题,学生们也能很顺利地利用并解决问题。这两项也正是我们学习勾股定理应用的教学主要目的。游泳问题,蕴含了很重要的计算技巧,在合理的引导下,学生掌握了用比值、勾股数的方法来求出未知边的长度。学生觉得非常新奇,而且印象深刻,从他们惊讶的表情和轻声的感叹中完全能感受到了!
顺应师生“本心”,首先是顺应学情基础。教学时,笔者从简单的两棵树间小鸟飞行的最短路程等问题开始,引导学生将单调的勾股定理原理,转化为生活中的实际问题,即贴近学生生活的旗杆高度、游泳等问题情境,使学生意识到数学问题来源于生活又应用于生活。完成了这三个例题以后,笔者对学生说 :“如果没有直角三角形,我们就要构造直角三角形 ;如果数据不充分时,可以设未知数建立方程来解决问题。”这样,通过勾股定理的一般应用,学生渐渐明白利用勾股定理等数学知识可以解决生活中的实际问题,在巩固“常用的勾股数”的同时,学生越发对勾股定理运用和勾股定理文化产生自信与崇敬。
从“尚德理念”出发设计课堂教学环节,立足于学生的认知基础来选择身边的生活素材,让教学内容充满趣味性和吸引力。这样,更容易引导学生研究勾股定理的应用问题。
二、顺应习得规律,有序开展应用探究
在尚德教育体系中,数学并不是形式严格、思想固化的知识体系。数学学习可以让人的思想得以自由飞扬,但前提是数学学习要顺应知识习得规律,在基于生活问题解决过程中,要有序地开展应用探究,这样,数学学习才是闪烁着自由思想的思维过程。
当学生有了勾股定理的一般应用的初步积累以后,笔者推出了下面这个内容——
师 :我们看4题,壁虎要从B处爬台阶,到A处吃食物,这只壁虎请怎样做,才是聪明的呢?请你上黑板画出聪明壁虎的路线图。
生 :(作图如下)。
笔者将这个台阶展开来,变成一个长方形。
师 :这种思路很好。这就是数学上的转化思想。如何解决问题?
生 :AB2=202+(9+6)2,AB=25。
师 :转化是重要的数学处理问题的方式。我们来看第5个问题(如图),长方体的长、宽、高分别为3、4、5,则图中在表面上A到B的最短距离为______。
师 :吕云天,你想到了几种爬法?
生 :2种。
(师 :请上黑板画出来。
(吕云天上黑板画图)
师 :还有可以补充的吗?
师 :刘诗睿请上黑板进行补画。
(刘诗睿上黑板画图)
图3
师 :计算三种不同情况的不同结果,并分为三种情况进行比较。
师 :我们看第6题,细线绕长方体问题。你能提出问题解决的方案么?请同学上黑板画图并解决问题。
(郁思杰上黑板完成。AA’=8,A’B’=6)
师 :邹正熙来解释一下同学这样画图的意思。
生 :把四个面全部展开,标上长和宽,连起来构成直角三角形。根据两点之间线段最短,
师 :看第7题。一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处。
(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径 ;
(2)当AB=4, BC=4, CC1=5时,求蚂蚁爬过的最短路径的长。先看第一小题。
生 :前右或者前上(学生作画,如下)
师 :如果每个面都是正方形,它爬的路程怎样?
生 :一样的。
师 :但第2小题里说是长方体,情况怎样?
生 :不一样。
生 :不一样。师 :利用勾股定理计算一下AC和AC’, 利用勾股定所以从前面的面爬到右面到C比较近。
为什么要这样设计?因为“尚德课堂”强调顺应师生的发展“本心”、顺应知识建构的基本规律、顺应学生个性发展的独特性去设计数学课堂。探究勾股定理应用时,例题难度只有层层深入,才能引导孩子们“跳一跳摘苹果”。例7中蚂蚁爬靠墙柜子的问题中,在笔者的正确引导下,学生的思维进入正轨,没有胡乱思考,考虑得非常全面。这个例子在讨论环节出现了一些争论,大部分学生能想出2种情况,也有同学说是4种情况。笔者便把同学的典型思考及作画的情况用实物投影展示出来,因为有的同学所认为的不同,其实有可能是相同的情况,只是观察思考的角度不同而已。这样,我们讨论后,归纳出有3种不同情况。这样,更符合尚德课堂的“合乎本心”的理念。
这样设计是基于学生“本心”发展的态势的。在图形转化环节,从一开始的圆柱展开、壁虎爬台阶,然后细线绕长方体一圈,让学生自主探究如何将立体图形转化为平面图形,只是展开后的情形是不同的。而从例5开始,渐渐增加问题解决的难度,让学生意识到问题解决可能要分几种情况来思考。所以,例7在例6的基础上又增加了更多的思考角度,以达到逐渐深化课堂教学的目的。如果不遵循认知的本心,不符合学生认知深入的规律就很难实现从简到难,循序渐进,从而走进尚德课堂教学境界。这节课,在学生研究每个题目时,笔者只是起到穿针引线的作用,主要让学生自己思考研究,自己画图并解决问题。这样,每个学生都成为“尚德课堂”的参与者,他们自由讨论,自由交流,自主建构着开放式的勾股定理应用模型。
尚德课堂崇尚“遵行本心,顺乎自然”的理念。在教学时,笔者也预设了可能出现的问题,以让学生自己产生错误、自己发现、自己讨论、自己改正,这样会使课堂气氛宽容、民主、和谐,学生也是极其快乐。由于教师不加限制,学生的思维可以无限的展开,从而主动建构自己的运用模型,增强了学生运用勾股定理的自信心。
由于所教班级中女生较多,而大部分女生的抽象思维处于亟待激发与拓展时期。讨论第7题目时,其中有一个女生上来修改了3次,但笔者还是给予了肯定和鼓励。因为学生需要老师的肯定,这样他们才会越来越有自信!我们的核心理念“顺其自然,合乎本心”,这与数学课程的设计理念,教学方式真是不谋而合!学生在探究过程中,为什么会出现这种问题?如果在课前准备好一个长方体模型,在课堂上适时展开,这样学生会比较直观的看到长方体展开的情况,可能更符合学生的认知情况,也更符合尚德课堂的“合乎本心”的要求。
一、教材分析
1、教材的地位与作用：
勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就。它为我们提供了直角三角形三边间的数量关系，其逆定理又为我们提供了判断三角形是否为直角三角形的依据，这些成果被广泛的应用于数学和实际生活的各个方面。本节教材是在学生研究了勾股定理及其逆定理在数学应用的基础上进一步研究其在实际生活中的应用。通过这部分内容的学习可以帮助学生进一步理解勾股定理的应用方法，同时亦为学生对数学与生活之间的联系有一个更深层次的体会。
2、教学目标:
根据新课标的要求及八年级学生的认知水平，我将制定本节课的教学目标如下：
知识与技能：
能应用勾股定理解决一些简单的实际问题。
学会选择适当的数学模型解决实际问题。
过程与方法：
通过问题情境的设立，使学生数学来源于生活，又应用于生活，积累利用数学知识，决日常生活中实际问题的经验和方法。
情感、态度和价值观：
使学生认识到数学来自生活，并服务于生活，从而增强学生学数学、用数学的意识 , 体会勾股定理的文化价值。发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识。
3、教学重点与难点：
应用勾股定理解决实际问题是本节课的教学重点;而把实际问题化归成勾股定理的几何模型(直角三角形)则是本节课的教学难点.
二、学情分析：
在本节内容之前，学生已经准确的理解了勾股定理及其逆定理的内容并能运用它们解决一些数学问题。同时也已具备有一定的合作交流意识和能力。但探究问题的能力有限，对生活中的实际问题与勾股定理的联系还不明确，还不能抽象出相应的数学模型，自主学习能力尚有待加强。
三、教学过程
1.创设情境，导入新课：
首先借助多媒体展示校园花圃被学生踩踏的一角。然后及时出示问题: 学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走 “ 捷径 ” ，在花园内走出了一条 “ 路 ” ，若在拐角的两边缘走，要分别走 3 米和 4 米，那么请同学们计算走“捷径”仅仅少走了几米路 , 而踩伤了花草。不仅解决了问题还对学生进行了思想教育，并引入本节课的学习内容。进一步让学生体会勾股定理与实际问题之间的关系。引导学生讨论“应用勾股定理解决实际问题的一般思路是什么?”
这个环节主要是从由简单的实际问题(平面上)激发学生的探求欲望，通过探求过程，学会分析问题中隐藏的几何模型(直角三角形)，体会勾股定理在生活中无处不在。激发和点燃学生学习的兴趣。为后续学习起到了引领作用。
2.合作交流，探索新知：
对于课本上“例1”的分析。我是在帮助学生理解如何将所求的实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的基础上，通过学生自学完成的。在正确理解例1的基础上,我把课本的例2进行重新编排，将其分解为三个问题。在具体的教学中是这样处理的：学生自己解决第一个问题，老师示范讲解第二个问题，师生共同讨论第三个问题。
本环节的设计意图是通过对两个实际问题的分析讨论,让学生理解用勾股定理解决实际问题的方法,体现化归的数学思想。
3.迁移训练，学以致用：
在这个环节中,我共设计了二个问题.第一个问题是通过直接运用勾股定理计算来加深学生对勾股定理应用方法的理解;一门框的尺寸如图所示,一块长3米,宽2.2米的薄木板是否能从门框内通过?为什么?
第二个问题是让学生先从实际问题中划归出直角三角形的模型,再由学生自己给出解答过程。考查了学生对本节课学习内容的理解。(见课本86页，例2)
这个环节的设计意图让学生利用勾股定理解决问题，培养学生的空间概念和把未知问题转化为已知问题来解决的化归思想。通过这两个变式训练，加深学生对勾股定理和转化思想的理解与运用，引入了分类讨论思想，培养了学生的`动手操作能力。
4.总结反思 拓展升华
首先鼓励学生畅所欲言的总结本节课的收获与体会;然后帮助学生自主建构知识体系;接着布置本节课的课内与课外作业。
四、设计说明
本节课的教学设计，依据了《新课程标准》的要求，立足于学生的认知基础来选择身边的素材进行教学，使教学内容充满趣味性和吸引力，使学生在轻松愉悦的学习氛围中理解了用勾股定理解决际问题的方法，体现数学与生活的紧密联系。并通过一题多变的手段帮助学生理解数学中的化归思想与分类讨论思想。
在教学过程中注重以小组合作的形式设计，实施开放式教学，让学生人人参与，提高学生学习兴趣.通过教师的引导，尽可能多给学生提供积极思考，交流的机会，达到合作交流的目的，使不同的学生在交流合作的过程中得到不同的发展。体现了新课标人人学数学,人人用数学教学理念。
汾阳二中物理组 梁建新
目标要求
1.掌握动能定理的表达式；
2.理解动能定理的确切含义，应用动能定理解决实际问题。
3.分析解决问题理论联系实际，学习运用动能定理分析解决问题的方法、步骤。
4.通过运用动能定理分析解决问题，感受成功的喜悦，培养学生对科学研究的兴趣。教学重点
动能定理及其应用。教学难点
对动能定理的理解和应用。教学过程
一、引入课题：
教师活动：直接给出动能定理的表达式：
W112mv2mv1222有了动能的表达式后，前面我们推出的，就可以写成WEk2Ek1其中Ek2表示一个过1212mv2mv1E程的末动能2，k1表示一个过程的初动能2。上式表明，力在一个过程中对物体所作的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这个结论，叫做动能定理。动能定理可以帮助我们解决很多实际的问题，今天我们就学习动能定理的应用。
二、推进新课：
是正功还是负功。
（3）找出研究过程中物体的初、末状态的动能（或动能的变化量）（4）根据动能定理建立方程，代入数据求解，对结果进行分析、说明或讨论。
2、求变力做功问题：
例3：运动员踢球的平均作用力为200N,把一个静止的质量为1kg的球以10m/s的速度踢出,水平面上运动60m后停下,则运动员对球做的功? 学生活动：学生讲解自己的解答，并相互讨论；教师帮助学生总结用动能定理解题的要点、步骤，体会。
教师点评：如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。
例4：一列货车的质量为5.0×105kg,在平直轨道以额定功率3000kw加速行驶,当速度由10m/s加速到所能达到的最大速度30m/s时,共用了2min,则这段时间内列车前进的距离是多少? 学生活动：学生讲解自己的解答，并相互讨论；教师帮助学生总结用动能定理解题的要点、步骤，体会。
教师点评：有关机械恒定功率启动类问题中涉及变力牵引力做功可以Pt求
3、多过程问题
例5：质量为m的铁球从高H处掉入沙坑,已知铁球在陷入沙坑的过程中受到沙子的平均阻力为铁球重力的20倍,则铁球在沙中下陷深度h为多
教师点评：一般来说，用牛顿运动定律和运动学知识能够求解的问题，用动能定理也可以求解，而且往往运用动能定理求解更加简捷。可是，有些可用动能定理求解的问题，却无法应用牛顿运动定律和运动学知识求解。
三、课堂拓展：
1.质量为m=2kg的物体，在水平面上以v1= 6m/s的速度匀速向西运动，若有一个F=8N、方向向北的恒定力作用于物体，在t=2s内物体的动能增加了（）
A．28J B．64J C．32J D．36J 2.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内作半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续作圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（）
3.在平直公路上，汽车由静止开始作匀速运动，当速度达到vm后立即关闭发动机直到停止，v-t图像如图所示．设汽车的牵引力为F，摩擦力为f，全过程中牵引力做功W1，克服摩擦力做功W2，则（）A．F：f = 1：3 B．F：f = 4：1 C．W1：W2= 1：1 D．W1：W2 = 1：3
四、板书设计：
1、动能定理A内容 B表达式C适用范围
2、应用动能定理的一般思维程序：
五、教学反思
误区一:盲目化简,忽视特殊情况
案例1在三角形ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断三角形ABC的形状.
错误解析∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),
∴2sin Acos B·b2=2cos Asin B·a2,
即a2cos Asin B=b2sin Acos B.
方法一由正弦定理知:a=2Rsin A,b=2Rsin B,
∴sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B,
又∵sin Asin B≠0,
∴sin Acos A=sin Bcos B,
∴sin2A=sin2B.
∴2A=2B,即A=B,
∴△ABC为等腰三角形.
方法二由正弦定理、余弦定理可知:
∴△ABC为直角三角形.
正确解析∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),
∴2sin Acos B·b2=2cos Asin B·a2,
即a2cos Asin B=b2sin Acos B.
方法一由正弦定理可知:
a=2Rsin A,b=2Rsin B,
∴sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B,
又∵sin Asin B≠0,
∴sin Acos A=sin Bcos B,
∴sin2A=sin2B.
在△ABC中,0<2A<2π,0<2B<2π,
∴2A=2B或2A=π-2B,
∴△ABC为等腰或直角三角形.
方法二由正弦定理、余弦定理可知:
误区二:局限表面,忽视隐含条件
利用两角和与差的余弦公式展开得
总之,在正弦定理与余弦定理的应用中,一定要挖掘隐含条件,思维缜密,让两个定理的作用得到最大限度的发挥.
首先，来看看古代人是怎样应用勾股定理的.
例1 数学家程大位，在所著的《算法统宗》里有一道秋千问题：
平地秋千未起，踏板一尺立地，送行两步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？
他的意思是：当秋千静止时，秋千的踏板离地的距离为1尺，将秋千的踏板往前推两步（这里的每一步为5尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为5尺，当时秋千的绳索是直线状态，现问这个秋千的绳索有多长？
【分析】首先根据题意画出图形，再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解.
说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题.
例3 如图3，长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm. 如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm.
【分析】要求最短细线的长，得先确定最短线路，于是，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n（3+1+3+1），同样可以用勾股定理求解.
解：如图4，依题意，得从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最短距离为AB，此时，由勾股定理，得AB==10，即所用细线最短为10 cm.
若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，则长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n（3+1+3+1），即8n，由勾股定理，得=，即所用细线最短为 cm，或2 cm.
说明：对于从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B的最短细线不能理解为就是n个底面周长.
最后，勾股定理在交通问题中的应用.
例4 在某段限速公路BC上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米/时，并在离该公路100米处设置了一个监测点A. 在如图5所示的直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在A的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y轴上，AO为其中的一段.
（1） 求点B和点C的坐标；
（2） 若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少？
【分析】（1） 要求点B和点C的坐标，只要分别求出OB和OC即得.
（2） 为了求解，可设大货车行驶到某一时刻行驶了x米，则此时小汽车行驶了2x米，于是利用勾股定理可求出两车距离关于x的表达式进而求得.
解：（1） 在Rt△AOB中，因为∠BAO=60°，所以∠ABO=30°，所以OA=AB，而OA=100，所以AB=200，由勾股定理，得OB===100. Rt△AOC中，∠CAO=45°，所以OC=OA=100.
所以B（-100，0），C（100，0）.
（2） 设大货车行驶到某一时刻行驶了x米，则此时小汽车行驶了2x米，且两车的距离为y==，显然，当x=60时，y有最小值是=20米，即两车相距的最近距离为20米.
说明：本题在求最近距离时，一定要注意正确理解代数式的意义，注意到（x-60）2的最小值是0.
其实，“生活中处处有数学”，只要我们平时留心身边的实际问题，就会有所发现，再借助学过的知识建立数学模型，便可顺利解决.
注释
① 华东师范大学数学系.数学分析(第四版).高等教育出版社：122.
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R
L
R
路
3. 解�}步�E
bb
Step1 �x取戴��等效�路的���：欲求�W路中任意二�c
�g的戴��等效�路�r，先移去此二�c�鹊碾�路元件（�K�⒋硕�端�c�擞��� a、b）
a
b
RLRL
Step2 �算戴��等效�阻 RTh：�⒃��砭W路中所有的
��涸炊搪贰㈦�流源�嗦贰4骶S��等效�阻 RTh即�� a、b二端�c�g的等效�阻值
R
R
Step3 �算戴��等效��� ETh：戴��等效��� ETh即��
RTh?Rab?(R1//R2)?R3
a、b二�c�g的�_路��骸��於�^�}�s的�W路，我��
可以利用串�K��路及重�B定理等方法�砬� ETh
（利用重�B定理求Vab）
RRaETh
ETh
RTh
a
E
?b
b
ETh?
Vab
Step4 a、b二�c�g的�}�s�W路可用��� ETh串��阻 RTh
�砣〈�，�K�⒁迫ブ�元件接回a、b二端�c，然後�算��d�流 IL 及��� VL
RL
ETh
IL?
VL
wWw.L
ETh
RTh?RL
RL
?ETh
RTh?RL
4. ��RL=Rth�r，RL可�@得最大功率��
5. �功率公式 P = I R
甲、 �算出��d之最大功率
PLmax
EThEE?2RL?Th?Th
RTh?RL4RTh4RL
2
2
2
二、例�}�v解 Ex1：
Ex2：
Ex3：
2、
求��容量？【解：20μF】
3、
【解：10H】
.�D中L1=3H，L2=5H，M=1H，�t��感量多少？
4、�呻�感10H及5H�K�，互感（M）�榛ブ�2H，�t��感量��
多少【解：
4611
H】
5、�呻�感3H及10H�K�，互感（M）�榛ハ�1H，�t��感量�槎嗌佟窘猓�
6、某�感L＝20H，�感�流��10A，�t此�感的�Υ婺芰�槎嗌俳苟�【解：1000joul】
7、��10μF的`�容器充�至100伏特�r，其�Υ娴哪芰�槎嗌俳苟�？【解：0.05焦耳】
L1
L2
2915
H】
8
L1＝12H，L2＝18H，�t��感量多少？【解：30H】
9、
L1＝10H，L2＝15H，�t��感量多少？【解：
6H】
10、重�c整理公式及�路符�、�挝唬�再��乙遍能背�b默��。
�卧�六 �阻�c�容、�阻�c�感的��B
一、重�c整理
二、例�}�v解 1、
一RC串��路，R＝800k?，C＝0.5?F，�求其充�5��
�r�g常�担�需耗�r多久？ 【解：2秒】 2、
�阻R＝100k?�c�感L＝500mH串�之�路，其�r�g常��
?�槎嗌伲俊窘猓�5μ秒】 3、
�阻R＝100?�c�感L＝0.5H串�之�路，其�r�g常��?
�槎嗌伲俊窘猓�5m秒】 4、
一RC串��路，R＝5k?，C＝0.02?F，�求其充��r�g常
�担�需耗�r多久？
【解：100μ秒】 5、
�阻R＝100?�c�感L＝0.5H串�之�路，其充�5���r
�g常��5?�槎嗌伲俊窘猓�25m秒】 6、
�_��B�r，�感�同 ，�流I��
多少？【解：4安培】
(t)C
7、 若E=90伏特，R=15KΩ，C=10μF，充
�瞬�g，�容器�同 此�r�流I�槎嗌伲俊窘猓�6mA】
8、同上�}，�_��B�r，�容器�同 ，此�r�容器���槎嗌伲俊窘猓�90V】
L(t)9、
�感器�同
若E=100V，R=10Ω，L=50mH，充�瞬�g，
此�r�流I�槎嗌伲俊窘猓�0A】
10、同上�}，�_��B�r，�感器�同 ，此�r�流I�槎嗌伲俊窘猓�10A】
三、���}
(t)C
1、若E=100伏特，R=1KΩ，C=2μF，�求其充
��r�g常�担俊窘猓�2mA】
2、��出RC、RL�路在充放��r的充��r�g常�倒�式？【解：重�c整理】
3、��出RC、RL�路在充放��r��多久的�r�g常�挡拍苓_��B？【解：重�c整理】
4、RC、RL�路在充放��r，�_�P切入的瞬�g（t=0），�容的��B�同 ，�感的��
�B�同 。【解：重�c整理】
5
、
【解：重�c整理】
�容器充�的��呵���D�楹危�
6、同上�}，�容器放��r�流曲��D�楹危俊窘猓褐攸c整理】
L(t)7、若E=35V，R=21Ω，L=420mH，�求其充�
�r�g常�担俊窘猓�20mH】
8、同上�}，再��B�r�感器可��� ，此�r��B的�r�g常��槎嗌伲俊窘猓�100mH】
9、同第五�}的甲乙丙曲��D，何者�殡�感器充��流�D【解：甲】
10、同第五�}的甲乙丙曲��D，何者�殡�感器充����D【解：乙】
�卧�七 �l率�c�L期、相位�c向量�算
一、重�c整理
二、例�}�v解
Ex1：求v(t)=1002sin(314t+300)之�l率�c�L期大小？
Ex2：��v(t)=1002sin(314t-450)以相量式表示？
Ex3：若v(t)=100sin(377t-300)，i(t)=10sin(377t+600)；�t�刹ㄐ沃�相位差�楹危�
Ex4：���A=8-j6以�O座�吮硎荆�B?10?600以直角座�吮硎尽�
Ex5：若A?10?530，B?5??370；�tA?B??A?B??
Ex6：若A=5?j53，B=3?
三、���}
1. v(t)=50sin(377t-370)之�l率�� ，�L期�� 。
2. v(t)=20sin(1000t+530)之相量式�� 。 3. 若v1(t)=2sin(314t+600)，v2(t)=10cos(377t-450)；
�tv1(t)超前v2(t) 度。
j3；�tA?B??
A
?? B
4. ��C=?6?j6以�O座�吮硎� ；
D?52?1350以直角座�吮硎尽�
5. 若A?2??450，B?6?j8；�tA?B?A?B?。
6. 若C=4?j3，D=6?
j8
；�tC?D? ；
D
? 。 C
�卧�八 RLC串�K��路
一、重�c整理
二、例�}�v解
Ex1：如�D所示，若v(t)= 100sin(1000t+30)，R=20Ω，求
O
此�路之阻抗�楹危�
O
Ex2：如�D所示，若v(t)= 100sin(1000t+30)，C=250μF，求此�路之阻抗�楹危�
O
Ex3：如�D所示，若v(t)= 100sin(1000t+30)，L=25mH，求此
�路之阻抗�楹危�
Ex4：如�D所示，若v(t)= 100sin(1000t+30)，R=6Ω，C=125μ
O
F，
求此�路之�阻抗
Z
=?
Ex5：如�D所示，若v(t)= 100sin(500t+30)，R=4Ω，L=6mH，
O
求此�路之�阻抗Z
O
Ex6：如�D所示，若v(t)= 100sin(1000t+30)，R=8Ω，L=16mH，
C=100μF，求此�路之�阻抗Z=?
O
Ex7：如�D所示，若v(t)= 100sin(1000t-45)，R=5Ω，C=200
μF，求此�路之�阻抗ZO
Ex8：如�D所示，若v(t)= 100sin(1000t-53)，R=4Ω，L=3mH，
求此�路之�阻抗Z
O
Ex9：如�D，v(t)= 1202sin(1000t+30)，R=3Ω，L=2mH，C=250
μF，求�路之�阻抗Z=?
三、���}
1. 如�D所示，若v(t)= 141.2sin(377t-37)，R=5Ω，�t此�
O
路之阻抗Z= 。
2. 如�D所示，若v(t)= 30sin(250t-53)，C=400μF，�t此�
O
路之阻抗Z= 。O
3. 如�D所示，若v(t)= 100sin(400t+45)
，L=30mH，�t此�
路之阻抗Z= 。4. 如�D所示，若v(t)= 500sin(1000t+37)，R=2Ω，C=500
O
μ
F，此�路之�阻抗
Z
O
5. 如�D所示，若v(t)= 100sin(1000t+30)，R=9Ω，L=12mH，此�路之�阻抗
Z
= 。
O
6. 如�D，若v(t)= 250sin(400t+30)，R=30Ω，L=25mH，C=50
μF，此�路之�阻抗Z。
7. 如�D，若v(t)= 1202sin(1000t)，R=30Ω，C=25μF，此
�路之�阻抗Z=
。
8. 如�D，若v(t)= 200sin(t+53)，R=10Ω，L=5mH，此
O
�路之�阻抗Z= 。
O
一、利用动能定理求风力发电机的功率
例1新疆达坂城风口的风速约为v=20m/s,设该地区空气密度ρ=1.4kg/m3,若把通过横截面积为S=20m2的风的动能全部转化为电能,则该处风力发电站的发电功率为多大?
思维点拨:取很短一段时间Δt内的空气作为研究对象,则这段时间内空气的质量:
这些空气的动能为:
由题知动能全部转化为电能:E电=Ek
所以发电功率为:
代入数据得:P=1.12×105W.
答案:1.12×105 W.
点评:在生活、生产和科技实践中,经常会遇到这样的问题,例如水轮机发电、水力采煤、风力发电、火箭喷气、血液流动等,称为连续流体问题,处理这类问题时,不便于取整体为研究对象,通常是取很短一段时间内的质量Δm作为研究对象,将其看成质点,再进行分析讨论,这是解答连续流体问题的技巧.
二、探究物体从高处落地的安全问题
最近国务院下达了保障学生安全的相关条例,保护学生安全引起了全社会的关注,学生在单杠、跳马、攀越等体育运动中,可能发生从高处落下导致骨折等事故,下面讨论安全落地的高度.
例2人从一定的高度落地容易造成骨折,一般人胫骨的极限抗压强度约为1.5×108N/m2,胫骨最小横截面积大多为3.2cm2.假若一质量为50kg的人从某一高度直膝双足落地,落地时其重心又约下降1cm,试计算一下这个高度超过多少时,就会导致胫骨骨折.(g取10m/s2)
思维点拨:胫骨最小处所受冲击力超过:F=pS=1.5×108×2×3.2×10-4N=9.6×104N时会造成骨折.
设下落的安全高度为h1,触地时重心又下降高度为h2,落地者质量为m.
由动能定理:mg(h1+h2)-Fh2=0得:
答案:高度超过1.9m时,可能会导致骨折.
安全警示:在高度超过1.9m以上的单杠上运动时,在单杠下方应备有海绵垫子,或者有同学做好保护,以访不测,其他活动(如:撑杆跳、跳伞、攀越高架等)也必须做好安全措施.
三、测量自行车运动时所受的平均阻力
例3在大操场跑道上,先用力蹬自行车,使之具有一定的速度,待自行车进入直跑道后停止用力,在道路阻力作用下,自行车逐渐停止运动.
(1)要测定自行车所受的平均阻力,需测定哪些物理量?需要哪些测量仪器?
(2)测定平均阻力运用的物理原理是______,其表达式为______,表达式中各个物理量的意义是______;
(3)如何测定相关的物理量?
(4)怎样减少实验的误差?
思维点拨:设自行车和人的质量为m,停止用力后其速度为v,所受平均阻力为f,滑行距离为s,据动能定理:,其中m用磅秤测量;
v的测定方法:在停止蹬力后取一小段距离s1,用秒表测定自行车通过s1所用的时间t1,因为t1较小,自行车在这段位移上的速度可视为匀速,即:,用皮尺测得滑行总位移s,代入上述式子求出f.
答案:(1)自行车和人的质量m、停止用力后自行车速度v、滑行距离s;磅秤、秒表、皮尺;
(2)动能定理;;f为平均阻力,s为滑行总位移,v为停止蹬力时自行车的速度,m为自行车及人的总质量;
(3)略;
(4)减少误差的关键为v的测定,因为s1较小,因此计时的开始和结束一定要及时,以减小误差.
四、利用动能定理求弹性势能
例4为了测量一根轻质弹簧压缩最短时储存的弹性势能,可以采用如图1所示的装置来进行,图中桌面带有凹槽,以保证小滑块P(可视为质点)在桌面上只能沿凹槽做直线运动,小滑块受到桌面阻力不能忽略,但大小恒定,弹簧的一端连接在固定物K上,K可以沿凹槽方向移动,又能在不同位置被固定,另外提供弹簧测力计与刻度尺,请根据以上说明以及实验要求回答以下问题:
(1)简要写出实验操作步骤;(写出需要测量的物理量名称及符号,并要体现出减小实验误差的操作)
(2)用(1)中测出的物理量表示弹簧压缩最短时的弹性势能,即Ep=______;
(3)若小滑块所受桌面阻力为滑动摩擦力,利用(1)中测出的物理量能不能求出滑块与桌面之间的动摩擦因数μ?若能,请写出求μ的表达式;若不能,请说明理由.
思维点拨:求解压缩状态的弹性势能,一种是用公式法,即,用刻度尺和弹簧测力计即可,方便易行,但不符合要求(没用题中所给装置,且该公式高中教材不作介绍).
另一种是用功能关系法:弹性势能等于弹簧形变恢复过程对外做的功,由动能定理:,W弹=-ΔEp,其中s为滑块在桌面上移动的距离,由刻度尺测量;v为滑块离开桌面的速度,可由滑块离开桌面后的平抛运动求解.考虑到摩擦力未知,就需实施变换思想,改变固定物K的位置以组成方程组,即,式中,,解得:,式中s、h、x由刻度尺测量,G由弹簧测力计测量.
答案:(1)①用弹簧测力计称出小滑块重力G;②用刻度尺测出桌面到地面的高度h;③将K固定在桌面某一位置,用小滑块将弹簧压缩至最短.测量出此时K、P之间的距离L以及P到桌子右边缘的距离s1;④自由释放小滑块P,确定其在地面上的落点位置;⑤重复③④多次,找出其落点的中心位置,然后测出该中心位置到桌子右边缘的水平距离x1;⑥将K固定在桌子的另一位置,用小滑块压缩弹簧使K、P间的距离保持不变为L,测出P到桌子右边缘的距离s2;⑦类似步骤④⑤,测出相应的中心位置到桌子右边缘的水平距离x2.
(3)由f=μN=μG及实验原理中的摩擦力f的表达式可知,能求出:.
点评:新课程强调探究性学习,从探究性学习中可以学会实验设计,正确安排实验程序,分析实验数据,得出实验结果,进而培养自己的实验设计能力和探究能力.
五、动能定理与功率的综合问题
例5一列火车由机车牵引沿水平轨道行驶,经过时间t,其速度由0增大到v,已知列车总质量为M,机车功率P保持不变,列车所受阻力f为恒力,求这段时间内列车通过的路程.
思维点拨:以列车为研究对象,列车在水平方向受牵引力和阻力作用,设列车通过路程为s.
据动能定理有:
因为列车功率一定,牵引力做功:WF=Pt
所以,得
答案:
错解分析:以列车为研究对象,水平方向受牵引力和阻力f,据P=Fv,可知牵引力.
设列车通过的路程为s,据动能定理有:,由以上两式解得.
产生错解的原因是对P=Fv的公式不理解,在P一定的情况下,随着v的变化,F是变化的,同学们应对上述物理量随时间变化规律有一个定性的认识.
六、探究短跑运动中的体能消耗
例5一个体重为60kg的短跑运动员,起跑时能在1/6s,冲出1m远,能量全部由消耗体内葡萄糖提供,其热化学方程式为:C6H12O6(g)+6O2(g)=6CO2(g)+6H2O(L)+2800kJ,则该运动员在这段时间内至少要消耗体内葡萄糖多少g?
思维点拨:可将运动员的起跑看成是匀加速直线运动,则由运动学公式
得:
据能量守恒定律,运动员在这段时间内至少消耗体能:
设运动员在这段时间内至少要消耗体内葡萄糖x克.
解得:x=0.28g.
答案:运动员在这段时间内消耗葡萄糖0.28g.
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