分形理论在岩土工程勘察中的应用

1 分形理论

分形理论是由法国数学家Mandelbrot[1]于20世纪70年代创建的, 用于研究自然界和数学领域中的经典欧氏几何无法表述的极其复杂和不规则的几何形体与现象, 并用分形维数定量刻画其复杂程度, 严格来说应该是先有分形几何, 分形理论是基于分形几何的基础之上, 分形维数是其核心体现。

1.1 分形维数

用以定量表征分形的参数称为分形维数, 维数是图形最基本的不变量, 它是研究分形的主要工具。从不同的角度, 人们给出了多种分形维数的定义, 其中Hausdorff维数应用最为普遍。其他的维数有盒子维数、信息维数、关联维数等。

1.2 分形空间

分形理论及其应用的研究都是在一个假定的理想空间中进行的, 故需要一个完备的度量空间来进行, 这个空间极为分形空间。假定 (X, d) 是一个完备的度量空间;令H (X) 是表示X中的一个非空紧集的全体构成的集合族。给定一个点x∈X以及一个非空紧集A∈H (X) , 定义点x0∈X到集合A的距离为:

引入一个逻辑符号“∨”, 对任意实数x与y, 令x∨y=max{x, y}。设A, B∈H (x) , 定义A, B的豪斯道夫距离为:

豪斯道夫距离是集合族H (X) 上的一个度量。定义 (H (X) , h) 为分形空间。

1.3 迭代函数系

迭代函数系是分形理论及应用的重要内容, 分形的绘制主要采用此种方法。其基本思想是认定几何对象的整体与局部, 在仿射变换的意义下, 具有相似的结构, 因此, 将几何对象整体定义后, 选取若干放射变换, 将整体形态变换到局部, 并且这一过程可以迭代地进行下去, 直到得到满意的造型。

2 岩土工程勘察中的应用

岩土体作为一种天然的非连续介质, 内部结构的千变万化使得在利用现有理论计算时有一定的局限性, 结合分形理论能够更好的对于其特征进行分析, 且岩土体是很好的分形体, 在岩土工程勘察中, 面向工程施工及设计最主要的是分析岩体的裂隙发育程度及其裂隙的扩展方向, 断层的存在与否及其扩展方向, 岩土的质量等级指标等, 通过对于岩土体的微观分析利用分析理论拓展到宏观。

2.1 土体的细部结构分形

土体的工程性质与土体的结构特性、物质成分有着密切的关系, 颗粒成分及粒度对于土体的渗透、强度、变形等物理力学特征起着决定性的作用, 故颗粒级配是作为研究土体特性的重要指标。学者刘松玉[2]等对于土体分析得到土体颗粒分布具有分形特征。在分析中, 分维采用了统计学自相似性原理来计算, 计算结果表明某地区土的粒度分维为:软土1.37~1.45, 膨胀土0.88~1.22, 天然黄土0.88~1.27。

2.2 分维与RQD的关系

在岩体分析中, 岩体表明结构的节理裂隙发育程度, 是控制岩体力学性质的关键因素。研究表明, 岩体的节理裂隙是在地质作用过程中形成的, 具有随机性, 其裂隙发展具有分形特征。裂隙的发育反应了岩体断裂损伤时的能量耗散及微结构效应, 故分析岩体的节理裂隙发育有助于分析其时代成因, 岩体走向倾向特征等, 亦可分析出宏观状态下有无特征地质构造的存在, 其走向如何等问题。

岩体质量指标 (RQD) 是对于其节理分布密度的评价, 值越大说明岩体质量越好。秦四清[3]分析了RQD与分维的关系模型, 以节理间距为横坐标, 间距大于某值的节理条数为纵坐标, 取对数整理回归统计后发现二者存在显著的线性关系。

2.3 岩体的分形损伤

岩石等相应脆性材料在宏观裂纹出现之前均会产生相应的微观裂纹, 研究这些细微裂纹的理论成为损伤理论, 损伤力学已经成为一门学科, 分形领域的研究发现:材料的损伤过程是一种分形, 可以利用分形维数来反映材料损伤程度, 在不用荷载下的分形维数是不同的, 大部分材料的损伤区是以自相似方式演化而成的。从微裂纹的分布, 单一裂纹的扩展到材料损伤的演化规律, 均可发现分形损伤的行为和特征。

3 结语

岩土工程勘察作为工程领域的基础性学科, 其经验性要多于理论知识, 如何让更多的年轻人更快的入门、深入的学习, 分形理论或许可以提供一定的帮助。国内最早将分形理论运用到工程领域的是谢和平[4]院士, 其将岩石力学与分形理论相融合, 提出在研究岩体力学问题时需要考虑分形的相关效应和影响。弥补了岩体力学的局限性和缺陷, 使得岩体力学的理论更加丰富和完善, 同时也扩展了岩土工程勘察领域的研究思路及方向。

摘要：随着理论方法的不断丰富, 分形理论也逐渐进入了大众的视野, 其主要服务于非线性科学领域, 与混沌学、耗散理论等在非线性研究领域取得了迅速的发展, 岩土工程领域现有的基础理论基本是基于线弹性理论, 如摩尔库伦理论, 而岩土体内部结构更倾向于非线性, 故现在有部分学者尝试着将分形理论应用于岩土工程领域, 本文先对分析理论的发展、原理进行相应的介绍, 接着对于分析理论在岩土工程勘察中的应用进行相应分析, 最后进行相应的归纳总结。

关键词：分形维数,分形损伤,节理裂隙

参考文献

[1] Mandelbrot B.B.The Fractal Geometry of Nature[M].New York:W.H.Freman, 1982.

[2] 刘松玉, 方磊, 等.论我国特殊土粒度分布的分形结构[J].岩土工程学报, 1993 (01) .

[3] 秦四清.分维与RQD的关系模型[J].水文地质与工程地质, 1995 (1) .

[4] 谢和平.分形-岩石力学导论[M].北京:科学出版社, 1997.