三角形重心向量公式

第1篇：三角形重心向量公式

向量与三角形的重心

例1 已知A，B，C是不共线的三点，G是△ABC内一点，若GAGBGC0.求

证：G是△ABC的重心.

证明：如图1所示，因为GAGBGC0，所以GA(GBGC).

以GB，GC为邻边作平行四边形BGCD，则有GDGBGC，

所以GDGA.

又因为在平行四边形BGCD中，BC交GD于点E，所以BEEC，

GEED.所以AE是△ABC的边BC的中线，且GA2GE.

故G是△ABC的重心.

点评：①解此题要联系重心的性质和向量加法的意义;②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法.

变式引申：已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点.求证： ADBECF0.

证明：如图2的所示，

ADACCD2ADACABCDBD，即2ADACAB. ADABBD

同理2BEBABC，2CFCACB.

2A(DBEC)FAC

0CFADBE. .ABBAB0C CACB

点评：该例考查了三角形法则和向量的加法.

例2 如图3所示，△ABC的重心为G，O为坐标原点，

OAa，OBb，OCc，试用a，b，c表示OG.

解：设AG交BC于点M，则M是BC的中点，

baABACBCcb.则，ca，

111AMABbCa(cb)(cb2a). 22

221AGA(cb2a.

) 3

311故OGOAAGa(cb2a)(abc). 33

点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键.

变式引申：如图4，平行四边形ABCD的中心为O，

1P为该平面上任意一点，则PO(PAPBPCPD). 4

POPAAO，POPBBO，POPCCO，证法1：

POPDDO，

PBPC PD4POPA， 1即PO(PAPBPCPD). 4

11证法2：PO(PAPC)，PO(PBPD)， 22

1PO(PAPBPCPD). 4

点评：(1)证法1运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则.

(2)若P与O重合，则上式变为OAOBOCOD0.

第2篇：三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ABC，P为平面上的点，则

(1)P为外心

(2)P为重心

(3)P为垂心

证明 (1)如P为△ABC的外心(图1)，

则 PA=PB=PC，

(2)如P为△ABC的重心，如图2，延长AP至D，使PD=PA，设AD与BC相交于E点.

由重心性质

∴ 四边形PBDC为平行四边形.

BC和PD之中点.

心.

(3)如图3，P为△ABC的垂心

同理PA⊥AC，故P为△ABC之垂心.

由上不难得出这三个结论之间的相互关系：

∴ △ABC为正三角形.

∴ △ABC为正三角形，且O为其中心.

第3篇：三角形重心向量性质的引申及应用

新化县第三中学肖雪晖

平面向量是高中数学实验教材中新增的一章内容.加入向量，一些传统的中学数学内容和问题就有了新的内涵.在数学教学中引导学生积极探索向量在中学数学中各方面的应用，不仅可深人了解数学教材中新增内容和传统内容的内部联系，构建合理的数学知识结构，而且有利于拓展学生的想像力，激发创新活力，显现出向量作为一个工具在数学中的重要性.下面就向量与三角形的重心关系加以引申和应用.

三角形重心向量形式的充要条件：设O为ABC所在平面上一点，O为ABC的重

心OAOBOC0

证明：先证必要性：

如图1以OB,OC为邻边作平行四边形OBDC,则ODOBOC.又OAOBOC0，则OBOCOA，所以OAOD,

O为AD的中点，且A、O、D共线.

又E为OD的中点,因此，O是中线AE的三等分点，且OA2AE

3即O为ABC的重心.再证充分性:设BO、OC与AC、AB分别交于F、G点，则由三角形的中线公式可得， AEBFCG0

222又O为ABC的重心，得AOAE,BOBF,COCG 33

3所以OAOBOC0

引申1若O为ABC内任一点，则有

SOAB.OCSOBC.OASOAC.OB0

证明：如图2,设OA11OA,OB12OB,OC13OC,

且O为ABC的重心，则1OA2OB3OC0

且SAOBSBOCSAOC,记为S,那么，

SOAB

S1OAOBsinAOB1.12OA1OB1sinAOB

2S即S

AOB12.同理可得SOBcS

23，SOACS13.

所以1:2:3SOBC:SOAC:SOAB.则SOAB.OCSOBC.OASOAC.OB0

引申2如图3,已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N 11两点，且AMxAB,ANyAC,则3 xy

证明：点G是ABC的重心，知GAGBGC0,

1得AG(ABAG)(ACAG)0有AG(ABAC)

3又M、N、G三点共线(A不在直线AM上),于是存在,，使得

1AGAMAN)(且1),有AGxAByAC(ABAC)

31113 得于是得1xyxy3运用引申

1、引申2可以解决许多数学问题，使解题过程简单。

例1. 设设O为ABC所在平面上一点，角A、B、C所对边长分别为a,b,c则O为ABC

的内心的充要条件为：aOAbOBcOC0

证明：必要性，由O为ABC的内心，得O到ABC三边的距离相等，记为r, 则SOAB111111ABrcr,SOBCBCrar,SOACACrbr, 22222

2所以SOAB:SOBC:SOACc:a:b

由引申1得SOABOCSOBCOASOACOB0，即aOAbOBcOC0

充分性：由aOAbOBcOC0及SOABOCSOBCOASOACOB0，

得SOAB:SOBC:SOACc:a:b

设O到ABC三边的距离分别为r1,r2,r3, 则SOAB111cr1,SOBCar2,SOACbr3, 222

所以ar1:br2:cr3a:b:c,

可得r1r2r3,即O为ABC的内心。

所以O为ABC的内心的充要条件为：aOAbOBcOC0

例2.已知在ABC中，过重心G的直线交AB于P, 交AC于Q,设APQ的面积为S1，

ABC的面积为S2，且APpPB,AQqQC,则

(1)pq_______________ pq

(2)S1的取值范围是_________________ S2

11APpAQq3 解析：(1)因为,,由引申2得pqAB1pAC1q

1p1q

即1p1q11pq3，推出1,所以1,故填1. pqpqpq

(2)由题可知S2ABAC(1p)(1q)12. S1APAQpqpq

11411S94S1pq21(),所以2<2,即1,故填[,). 由0<92pq24S149S22

运用引申

1、2，还可以轻松解答下列问题.

1. 已知点O为ABC内一点，且存在正数1,2,3使1OA2OB3OC0

设AOB,AOC的面积分别为S1,S2,求S1:S2.

2. 已知点P是ABC内一点，且满足PA2PB3PC0，求ABP与ABC的面积的

比.

3. 已知点O在ABC内部且满足OA2OB3OC0,求ABC与凹四边形ABOC的

面积的比.

第4篇：平面向量、三角公式知识回顾

2013.03.18：知识回顾——平面向量、三角公式

一.平面向量：

1. 与的数量积(或内积)：

ab|a||b|coscos

2.平面向量的坐标运算：

(1)设A(x),则ABOBOA

1,y1)，B(x2,y2(x2x1,y2y1).

(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=x1x2y1y2. (3)设a=(x,y)，则a

x2y2

3.两向量的夹角公式：

设a=(xabx1x2y1y21,y1),b=(x2,y2)，且b0，则cosab



x

21y1x2y2

4.向量的平行与垂直：

// x1y2x2y10.

() ab0x1x2y1y20.

二.三角函数、三角变换、解三角形：

1.同角三角函数的基本关系：

(1)平方关系：sin2+ cos2=1。 (2)商数关系：

sincos=tan(

k,kz) (3)asinbcos

a2b2sin()(其中辅助角与点(a,b)在同一象限，且tan

b

a

)2.诱导公式：(三角函数符合分配——“一全、二正、三切、四余”) (第一组)——函数名不变，符号看象限

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank.

(第一象限) 2sinsin，coscos，tantan.(第三象限) 3sinsin，coscos，tantan.(第四象限) 4sinsin，coscos，tantan.(第二象限)

(第二组)——函数名改变，符号看象限

5sin



2cos，cos2



sin.(第一象限) 6sin



2cos，cos2



sin.(第二象限) (7)sin(

32)cos,3

2)sin.(第四象限) (8)sin(32)cos,3

)sin(第三象限)

3.三角函数和差角公式：

sin()sincoscossincos()coscossinsin

tan()

tantan

1tantan

变式：tantantan()(1tantan)

4.二倍角公式：

sin22sincos变式：1sin(sin



cos

)22

cos2cos2sin2

变式：升幂公式：1+cos=2cos



2cos212

1-cos=2sin



12sin2

降幂公式：cos21cos22sin2

1cos22

tan 22tan1tan2

注：sin(cos



sin)2cos

222sin2

5.正弦定理：

asinAbsinBc

sinC

2R.

变形：a2RsinA,b2RsinB,c2RsinCa:b:csinA:sinB:sinC 6. 余弦定理：

b21)求边： a2

b2

c2

2bccosA;(2)求角:cosAc2a2

(2bc

a2bc2a2

2cacosB;cosBc2b222ac

c2a2b2

2abcosC;cosCa2b2c22ab

7. 三角形面积定理：

S111

2absinC2bcsinA2

casinB=pr

(其中p1

(abc), r为三角形内切圆半径)

第5篇：三角形重心

重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。

已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。

证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。

重心的几条性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为

((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：(z1+z2+z3)/3

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

指三角形三条边的垂直平分线的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。指三角形外接圆的圆心，一般叫三角形的外心。

三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。

外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

注意到外心到三角形的三个顶点距离相等，结合垂直平分线定义，外心定理其实极好证。计算外心的重心坐标是一件麻烦的事。先计算下列临时变量：

d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2;c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

第6篇：三角形四心的向量表示

从动和静两个角度看三角形中四“心”的向量表示

平面几何中中三角形的四“心”,即三角形的内心、外心、重心、垂心。在引入向量这个工具后，我们可以从动和静两个角度看三角形中的四“心”的向量表示，其一可以使我们对三角形中的四“心”有全新的认识;其二使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识。

一.从静止的角度看向量的四“心”

1.已知点O是三角形ABC所在平面上一点，若OAOBOC0，则O是三角形ABC的(

)

(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

分析：若OAOBOC0，则OAOBOC，设以OA、OB为邻边的平行四边形为OACB,OC与AB交于点D,则D为AB的中点,由OAOBOC得,OCOC,即C、O、D、C四点共线,故CD为ABC的中线,所以O在边AB的中线上,同理可证, O在边AC的中线上, O在边BC的中线上所以O是三角形ABC的重心.

 2. 已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOBOBOCOCOA,则O是三角形ABC的(

)

(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

分析:由OAOBOBOC得,OB(OAOC)0,即OBCA0,所以OBC,A同理可证:OCAB,OABC,所以O是ABC的垂心.

3. 已知点O是三角形所在平面上一点，若aOAbOBcOC0,则O是三角形ABC的(

)

(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

分析::若aOAbOBcOC0,又因为OBOAAB,OCOAAC,则(abc)OAbABcAC0.所以AObcABACABAC,因为与分别表示AB和AC方向上的单位向量,设abc|AB||AC||AB||AC|ABAC+,则AP平分BAC.又AO、APAP共线，BO平分BAC，知AO平分BAC。同理可证，|AB||AC|CO平分BAC。从而O是ABC的内心。

2224.已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOBOC，则O是三角形ABC的(

)

(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

222222分析：因为OAOBOC，所以OAOBOC，即OAOBOC，所以O是ABC的外心。

二.从运动的角度看三角形的四“心”

1.已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OPOA(ABAC),R，则动点P一定通过ABC的(

)

(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心 解:OPOA(ABAC) ,可得AP(ABAC),由于ABAC表示以AB,AC为邻边的平行四边形的对角线,所以点P在边BC的中线所在直线上,,故动点P的轨迹一定通过ABC的重心. 2.已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足ABAC+ OPOA,R，则动点P一定通过ABC的(

) |AB||AC|(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

ABABACACABAC+ 得，AP+ 。由于+ 表分析：由OPOA|AB||AC||AB||AC||AB||AC|示BAC的平分线所在的方向向量。故当R时，动点则动点P一定通过ABC的内心。

3已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足ABAC+  ,R，则动点P一定通过ABC的(

) OPOA|AB|cosB|AC|coCs(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

ABACABAC+ 得，AP+ 。分析: 由OPOA|AB|cosB|AC|cosC|AB|cosB|AC|cosCABACABBCACBC+ B CBCB,C0由于所以cosAB|B|coAsC|C|cos|AB|coBsA|C|C。即点P的轨迹是过点A且垂直于BC的直线，故动点P的轨迹一定通过ABC的垂心。 APB0C4. 已知O平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OBOCOP2ABAC+ ,R，则动点P一定通过ABC的(

) sA|C|coC|AB|coBs(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

ABAC+ |AB|cosB|AC|cosCABACABAC+ ,当R时, + 表示垂直于可得DP|AB|cosB|AC|cosC|AB|cosB|AC|cosCOBOCOBOC分析:设BC的中点为为D,则OD,所以由OP22BC的向量,所以DP为线段BC的垂直平分线,故动点P的轨迹一定通过ABC的外心. 上面通过动和静两个角度看三角形的四”心”的向量表示,得出了椒优美的结论,使我们对向量的四心有了新的认识,更好的体会到辩证的和谐的统一.