证明全等三角形的技巧（精选13篇）
娄菊红
【摘要】：正全等三角形是初中平面几何知识的一个重要组成部分,也是中考必考的内容之
一般地, 应根据题设并结合图形, 先确定两个三角形已知相等的边或角, 然后按照判定公理或定理, 寻找还缺少的条件。其基本思路是:
1.有两边对应相等, 找夹角对应相等或第三边对应相等, 前者利用SAS判定, 后者利用SSS判定。
2.有两角对应相等, 找夹边对应相等或任一等角的对边对应相等, 前者利用ASA判定, 后者利用AAS判定。
3.有一边和该边的对角对应相等, 找另一角对应相等, 利用AAS判定。
4.有一边和该边的邻角对应相等, 找夹等角的另一边对应相等或另一角对应相等, 前者利用SAS判定, 后者利用AAS或ASA判定。
例1如图1所示, 已知AB=AC, AD=AE, ∠1=∠2.求证:∠B=∠C.
分析:要证明∠B=∠C, 只要证明∠B、∠C分别所在的■ABD和■ACE全等。在这两个三角形中, 有两边对应相等 (AB=AC, AD=AE) , 只要再证明∠BAD=∠CAE或BD=CE即可显然由题设容易证明
证明:由∠1=∠2, 得:∠1+∠BAC=∠2+∠CAB.
在△ABD和△ACE中,
例2如图2所示, 已知∠A=∠B, AE=BF, ∠C=∠D.求证:AC=BD.
分析:要证明AC=BD, 只要证明AC、BD所在的△ACF和△BDE全等。在这两个三角形中, 有两角对应相等 (∠A=∠B, ∠C=∠D) , 只需再证明CF=DE或AF=BE就可。显然, 由题设证明AF=BE更方便。
证明:由AE=BF, 得AE+EF=BF+FE, 即AF=BE.
在■ACF和■BDE中,
例3如图3所示, 已知△ABC中, D、E分别是AB、AC的中点, CF∥AB交DE的延长线于点F.求证:AB=2CF.
分析:要证明AB=2CF, 注意到D是AB的中点 (AB=2AD) , 那么只需证明CF=AD, 即需证明△CFE和△ADE全等。在这两个三角形中, 有一边和该边的邻角对应相等 (CE=AE, ∠CEF=∠AED) , 只需再证明EF=ED或∠1=∠A或∠F=∠2即可显然由题设证明或更方便。
证明:由CF∥AB, 得∠1=∠A.
在△CFE和△ADE中,
∵D是AB的中点, 即AB=2AD,
例4如图4所示, 已知△ABC中, ∠ACB=90°, ∠CBA=45°, E为AC上的一点, 延长BC到点D, 使CD=CE, 求证:BE⊥AD.
分析:要证明BE⊥AD, 需延长BE交AD于F, 证明∠AFE=90°, 即证明∠1+∠2=90°.又∵∠3+∠4=90°, ∠2=∠3, 那么需证明∠1=∠4, 即应考虑∠1、∠4所在的△ACD和△BCE全等。在这两个三角形中, 有一边和该边的邻角对应相等 (CD=CE, ∠ACD=∠BCE=90°) , 只要再证明∠CA=CB或∠D=∠3即可。显然, 证明CA=CB更方便。
证明:延长BE交AD于点F, 由∠ACB=90°, ∠CBA=45°, 得∠CAB=∠CBA=45°, 从而有:CA=CB.
在△ACD和△BCE中,
∴∠1+∠2=90°, 从而有:∠AFE=90°.
情形一 简单组合“SAS”条件进行判定
例1 已知：如图1，E是BC的中点，∠1=∠2，AE=DE.
求证：AB=DC.
【分析】就本题图形与已知条件来看，要证得AB=DC，只要证得两个三角形全等即可. 从所给的条件来看，已知中直接给定了一组角与一组边对应相等，好像少一组边对应相等，实际上∠1=∠2的另一组夹边以“E是BC的中点”的形式给出了，这三个条件基本上是以比较直接的形式给出的，具体证明只要简单组合一下这三个条件就可以了.
证明：∵E是BC的中点，
∴BE=CE.
在△ABE和△DCE中，
∵BE=CE，∠1=∠2，AE=DE，
∴△ABE≌△DCE.
∴AB=DC.
【反思】这种只要直接组合已知条件证明三角形全等的题主要考查基础知识，给出证明时注意几何语句的书写规范.
情形二 探寻“夹角”相等实现“SAS”判定
例2 已知：如图2，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD.
求证：AB=CD.
【分析】由题意，我们只要证得△AOB≌△COD即可得到结论.这两个三角形全等的条件已直接给出了两组边对应相等，是不是能找到它们的夹角呢？显然，题目已知条件给了“OP是∠AOC和∠BOD的平分线”，能给我们以帮助，可以得到∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，进而由角的差可以得到两个三角形的∠AOB=∠COD，从而获得三角形全等的必要条件.
证明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线，
∴ ∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP.
∴∠AOB=∠COD.
在△AOB和△COD中，
OA=OC，
∠AOB=∠COD，
OB=OD，
∴△AOB≌△COD. ∴AB=CD.
【反思】本题也是比较典型的考查全等三角形的基础问题，只要经过简单的探究就能得到一个间接给出的有效条件从而实现问题的解决，解题时注意题目中一些间接信息的转译，一些间接信息是发现有效条件的来源.
情形三 探寻一组“有效的边”相等应用“SAS”判定
例3 如图，点C，E，B，F在同一直线上，∠C=∠F，AC=DF，EC=BF.求证：△ABC≌△DEF.
【分析】由题意，题中直接给出一组对应角、一组对应边相等，还差一组对应边（BC=EF）就可以应用“SAS”判定两个三角形全等了.观察所给的条件EC=BF，我们可以利用线段的和得到有效的一组对应边BC=EF，于是问题获得解决.
证明：∵EC=BF，
∴EC+BE=BF+BE，即BC=EF.
在△ABC与△DEF中，
AC=DF，
∠C=∠F，
BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）.
【反思】本题寻找另一组“有效的对应边”也是通过题目中间接信息得出的，这种给出一组非对应边的线段相等，从而根据线段的和及等式性质得到对应边相等的解题思路（或意识）是非常重要的，同学们要注意积累.
最后链接一道新考题，帮助同学们巩固本文所讲内容.
小试牛刀
（2015·重庆卷）如图4，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF. 求证：BC=FD.
关于圆点对称的),将直角坐标系关于Y轴翻折,得A1,B1,然后分别
连接A,A1和B,B1后,证AA1O和BB1O两三角行全等!
2有一个正方形,分别连接它的对角,求其中的全等三角形?
3一个等腰三角形,做这个三角形的高线后,求其中的全等三角形?
4在直角坐标系中,有一个直角三角形,将此三角形向左平移6格,求平移后的三角形和原料的三角形是否全等?
5有两个直三角形,其一个三角形三边的长为3,4,5,另一个三角形的直角边长为3和4.求证两三角形全等.(注:SAS)
6一个等边三角形的边长为5cm,另一个等边三角形边长也是5cm,求两个等边三角形全等.(注:SAS或SSS)
7.已知平行四边形ABCD，连接点AC，求三角形ABC和三
角形CDA全等.8等腰梯形ABCD对角相连求全等的三角形?
9在一个圆上，在圆内做两个三角形，圆心是公共的两个三角形的端点，且这两个角度数都为30度，求两三角形全等.(由
于圆半径相等，且两边夹角相等，所以SAS)
10.已知：三角形中AB=AC，求证：(1)∠B=∠C
11三角形ABC和三角形FDE,AB=FD,AC=FE,BC=DE,求全等(SSS)
12三角形ABC和三角形FDE,∠C=∠E,AC=FE,∠A=∠F,求全等
(ASA)
三角形ADF是直角三角形
所以角EAD=90度-角BDA
三角形ADB是直角三角形
所以角BAD=90度-角BDA
所以角EAD=角BAD
CE平行AB
所以同旁内角互补
所以角BAD+角ACE=180度
角BAD=90度
所以角ACE=90度
所以角BAD=角ACE
所以三角形BAD和三角形ACE中
角EAD=角BAD
角BAD=角ACE
AB=AC
由ASA
三角形BAD≌三角形ACE
所以AD=CE
因为D是AC中点，且AB=AC
所以AB=2AD
所以AB=2CE
只要证明直角三角形BAD全等ACE就可以了
AE垂直BD，所以角EAC=角DBA(为什么?因为角EAC+角BAE=90度，而角BAE+角DBA=90度，所以角EAC=角DBA)
然后因为CE平行AB，所以角ACE=90度
看三角形BAD和ACE
角EAC=角DBA
角BAD=角ACE=90
又因为AB=AC
所以两个直角三角形全等
所以AD=CE
又因为BD是中线，所以AC=2AD
所以AB=2CE
∵∠DEC=∠AEB(对顶角相等)
∠A=∠D
AE=ED
∴△ABE全等于△DEC(ASA)
∴EB=EC
∵∠DEC=50°
∴∠BEC=180°—∠EDC=180°—50°=130°
∵BE=EC
∴△BEC是等腰三角形
１．已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
证明：延长AB到，使AE＝，连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD＝∠CAD（）
∵AE＝AC，AD＝AD
∴△AED≌△ACD（）
∴∠E＝∠C（）
∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD（）
∵AE＝AB+BE∴BD＝BE（）
∴∠BDE＝∠E
∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E
∴∠ABC＝2∠C
2． 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
证明： 在AE上取F，使EF＝EB，连接CF
∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°（）
∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF（）
∴∠B＝∠CFE
∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°
∴∠D＝∠CFA（）
∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC
∵AC＝AC
∴△ADC≌△AFC（）∴AD＝AF
∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE
3．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。证明：在BC上截取BF=AB，连接EF
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE（）
∴∠A=∠BFE
∵AB//CD
∴∠A+∠D=180º（）
∵∠BFE+∠CFE=180º∴∠D=∠CFE（）
又∵∠DCE=∠FCE，CE平分∠BCCE，CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE（）
∴CD=CF∴BC=BF+CF=AB+CD
４．已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C
证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD
∴AE=DE而AB=CD∴BE=CE（）
∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.（）
５． 如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC． 证明：延长AD至BC于点E,∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形（）
∴∠DBC=∠DCB（）
又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2（）
即∠ABC=∠ACB∴△ABC是等腰三角形（）
∴AB=AC
在△ABD和△ACD中
∵ AB=AC（），∠1=∠2（），BD=DC（）
∴△ABD≌△ACD（）∴∠BAD=∠CAD
∵ AB=AC∴AE是BC边上的）
∴AE⊥BC即AD⊥BC
６． 如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°（）
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC（）
即∠EAC=∠BAF，E 在△ABF和△AEC中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，∴△ABF≌△AEC（）∴EC=BF；
C（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM（）∴∠ABF+∠BDM=90°（）在△BDM中，∵∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，∴EC⊥BF．
７．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠CAN（）∵BM=AC，CN=AB
∴△ABM≌△NAC（）∴AM=AN（2）∵△ABM≌△NAC（）∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠４=90°∴∠３+∠４=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN
８．△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE． 证明：作CG⊥AB于Ｇ，交AD于H, ∵ △ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°
∴∠ACH=45º,∠BCH=45º ∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE（）
又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º ∴△ACH≌△CBE（）∴CH=BE又∵∠DCH=∠B=45º, CD=DB
1.如图所示，△ABC≌△ADE，BC的延长线过点E，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD= 10°，∠B=50°，求∠DEF的度数。
O
2.如图，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转52°得到△A′OB′边 A′B′与边OB交于点C（A′不在OB上），则∠A′CO的度数为。
3．如图所示，在△ABC中，∠A=90°，D,E分别是AC,BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数是。
4.如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C,A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A=。
A
D C C B B D A E5．已知，如图所示，AB=AC,AD⊥BC于D,且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm,则AD=.6．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,分别过点B，C,作过点A的直线的垂线BD,CE,垂足为D,E，若BD=3，CE=2,则DE=.7．如图所示，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, △ABC的面积是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE 的长。
B D C
8.如图所示，已知，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F ,且有BF=AC,FD=CD.求证：BE⊥AC
B
D
E
C
9．△DAC, △EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,求证：（1）AE=BD(2)CM=CN(3)△CMN为等边三角形（4）MN∥BC
C
B
10．已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交
MC于点E，BM交CN于点F．(1)求证：AN=BM；(2)求证：△CEF为等边三角形；
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90 O，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．
11．如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形。下列结论：① AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；
④∠AHC=600,⑤△BFG是等边三角形；⑥ FG∥AD。其中正确的有（）A 3个B 4个C 5个
D 6个
A
B
D
12.已知：BD，CE是△ABC的高，点F在BD上，BF=AC,点G在CE的延长线上，CG=AB.求证:AG⊥AF
C
13.如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证：（1）AD=AG，（2）AD与AG的位置关系如何。
G
F
EA
B
14.如图，已知E是正方形ABCD的边CD 的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE.求证：AF=AD+CF
C
A D
E
B
F
C
15.如图所示，已知△ABC中，AB=AC,D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且DE=DB,求证：AC=BE+BC
E D
B
C
16.如图所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC,DF⊥AC,垂足为F,DB=DC.求证：BE=CF.C
F
17.已知：如图3-50，AB=DE，直线AE，BD相交于C，∠B＋∠D=180°，AF∥DE，交BD于F．求证：CF=CD．
18.已知：如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且
BD=CD求证：⑴△BDE≌△CDF⑵点D在∠A的平分线上
E
D
B
AC
F
在实际生活中，存在着许多图形，若将它们叠在一起，能够完全重合，也即它们的形状和大小都相同，我们称这种能够重合的图形为全等图形.
温馨提示：理解全等图形需要明确两点：①若两个图形是全等图形，则它们的形状和大小都相同；②若两个图形的形状和大小都相同，则可将它们重叠在一起，因而也就是两个全等图形.
已知一个等边三角形，你能把这个三角形分割成三个全等的三角形吗？你能把它分割成四个全等的三角形吗？
要使分割后的三部分全等，可沿各角的平分线折叠，分割而得的即为符合条件的三角形. 要使分割后的四部分全等，可沿着各边中点的连线折叠，分割而得的即为符合条件的三角形.
分割成的三部分如图1所示，分割成的四部分如图2所示.
下列各组图形，一定不是全等图形的是（ ）
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 重合的边、角分别叫做对应边、对应角. 如△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 符号“≌”可看做是由“∽”与“=”两部分组成，“∽”表示形状相同，“=”表示大小一样. 既然全等三角形能够完全重合，那么全等三角形的对应边相等；对应角相等. 这两条性质是证明两条线段相等、两个角相等的常用依据，千万要记牢！
温馨提示：两个三角形全等与否，与它们的位置无关！记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 养成这一习惯，对今后证明线段相等、角相等尤为重要.
如图3，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A=110°，∠B=40°，A1B1=10 cm，求∠C1的度数及AB的长.
由△ABC≌△ABC→可确定两个三角形的对应角→结合三角形内角和是180°，从而求出∠C1.
因为△ABC≌△A1B1C1，所以点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应. 所以AB=A1B1=10 cm. 因为∠A=110°，∠B=40°，所以∠C1=∠C=180°-110°-40°=30°.
如图4，已知△ABC≌△DEF，∠F=∠C，AD=22 cm，BE=2 cm，求线段AB的长并写出∠D的对应角.
全等三角形的判定方法如表一.
判定三角形全等的一般思路如表二.
温馨提示：判定两个三角形全等必须有三对（直角三角形是两对）对应元素相等，并且其中至少有一对是对应边.
如图5，已知∠AOE=∠AOD，∠B=∠C.
求证：（1）△AOB≌△AOC.
（2）△BOE≌△COD.
（1）根据∠AOE=∠AOD，可以得出∠AOE+∠BOE=∠AOD+∠COD，即∠AOB=∠AOC. 又因为∠B=∠C，AO=AO，利用“AAS”就可以得出△AOB≌△AOC.
（2）由△AOB≌△AOC可得到OB=OC，根据对顶角相等可得∠BOE=∠COD，又由已知条件∠B=∠C，并根据“ASA”就可以得到△BOE≌△COD.
（1）因为∠AOE=∠AOD，∠BOE=∠COD，所以∠AOB=∠AOC. 又∠B=∠C，AO=AO，所以△AOB≌△AOC（AAS）.
（2）由△AOB≌△AOC得OB=OC，又∠B=∠C，∠BOE=∠COD，所以△BOE≌△COD（ASA）.
如图6，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，点F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF.
（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数.
（1）由题意知，△ABE和△CBF都是直角三角形，而AE=CF，AB=BC，根据直角三角形的全等方法即可判定两三角形全等.
（2）利用（1）的结论得出∠BCF=∠BAE=15°，从而求出∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.
（1）因为∠ABC=90°，所以∠CBF=∠ABE=90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中，因为AE=CF，AB=BC，所以Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.
（2）因为AB=BC，∠ABC=90°，所以∠CAB=∠ACB=45°. 因为∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，由（1）知?摇Rt△ABE≌Rt△CBF，所以∠BCF=∠BAE=15°. 所以∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.
如图7，在△ABC中，AD是中线，分别过点B，C作AD及其延长线的垂线BE，CF，垂足分别为点E，F． 求证：BE=CF．
角平分線上的点到角的两边距离相等；角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
温馨提示：应用角平分线的性质及其判定时，一定要具备两个垂直距离（即点到直线的距离），证明过程中要直接运用这两个结论，而不要去寻找全等三角形（这样做实际上是重新证明了一次结论）；证明点在角平分线上的常用方法是证明这个点到角的两边距离相等，这样就把证明“点在线上”的问题转化为了证明“线段相等”的问题，体现了“化难为易，化陌生为熟悉”的转化（化归）思想.
如图8，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE与CD相交于点O，且AO平分∠BAC. 求证：OB=OC.
由角平分线的性质可得OD=OE，要证OB=OC，只需要证明△BOD≌△COE.
因为AO平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC，所以∠BDO=∠CEO=90°，OD=OE. 又∠BOD=∠COE，所以△BOD≌△COE（ASA）. 所以OB=OC.
B D
2.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD
12AB
3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠
24.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
B
6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：
AE=AD+BE
7.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
B
D
8.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD
AB B
9.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2
10.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：
EF=AC
已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
B
已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：
AE=AD+BE
如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。
已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C
14.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C
15.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB
A
D
16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：
AC-AB=2BE
17.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC
11.12.12.13.18．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．19．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：∠OAB=∠OBA20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连
线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
P
E D
A
B21．（6分）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠BA
C
DB22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
23．（7分）已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：
A
E
D
BC
24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长
线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F． 求证：BD=2CE． F
A E
B
C25、（10分）如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。DEFC
AB26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF求证：AM是△ABC的中线。
A。
F
B
MC E27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。A
D28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是ADBC AD
BC29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证： AF B F
E
CD
30.公园里有一条“Z”字形道路
ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.31．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．
32.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。
33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
A C
34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
35．已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足
分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
B E
A 36.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：DE=DF．
37.已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于
= 5 ,求AD 的长？
38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为
E、F，A
C39.如图，给出五个等量关系：①ADBC ②ACBD
③CE
DE ④DC ⑤DABCBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知：求证：
证明：
B
40．在△ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①ADC≌CEB；②DEADBE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥
BF
F
C
42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF
44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由
45、（10分）如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．
46、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DEBF． 求证：AB∥CD．
D C
A B47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD
A
DBC48、(10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.E49、(10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠
ADC＝∠BDE
E
一、教材分析
（一）本节内容在教材中的地位与作用。
对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步。它是两三角形间最简单、最常见的关系。本节《探索三角形全等的条件》是学生在认识三角形的基础上，在了解全等图形与全等三角形以后进行学习的，它既是前面所学知识的延伸与拓展，又是后继学习探索相似形的条件的基础，并且是用以说明线段相等、两角相等的重要依据。因此，本节课的知识具有承上启下的作用。同时，苏科版教材将“边角边”这一识别方法作为五个基本事实之一，说明本节的内容对学生学习几何说理来说具有举足轻重的作用。
（二）教学目标
在本课的教学中，不仅要让学生学会“边角边”这一全等三角形的识别方法，更主要地是要让学生掌握研究问题的方法，初步领悟分类讨论的数学思想。同时，还要让学生感受到数学来源于生活，又服务于生活的基本事实，从而激发学生学习数学的兴趣。为此，我确立如下教学目标：
（1）经历探索三角形全等条件的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验。
（2）掌握“边角边”这一三角形全等的识别方法，并能利用这些条件判别两个三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。
（3）培养学生勇于探索、团结协作的精神。
（三）教材重难点
由于本节课是第一次探索三角形全等的条件，故我确立了以“探究全等三角形的必要条件的个数及探究边角边这一识别方法作为教学的重点，而将其发现过程以及边边角的辨析作为教学的难点。同时，我将采用让学生动手操作、合作探究、媒体演示的方式以及渗透分类讨论的数学思想方法教学来突出重点、突破难点。
（四）教学具准备，教具：相关多媒体课件；学具：剪刀、纸片、直尺。画有相关图片的作业纸。
二、教法选择与学法指导
本节课主要是“边角边”这一基本事实的发现，故我在课堂教学中将尽量为学生提供“做中学”的时空，让学生进行小组合作学习，在“做”的过程中潜移默化地渗透分类讨论的数学思想方法，遵循“教是为了不教”的原则，让学生自得知识、自寻方法、自觅规律、自悟原理。
三、教学流程
（一）创设情景，激发求知欲望
首先，我出示一个实际问题：
问题：皮皮公司接到一批三角形架的加工任务，客户的要求是所有的三角形必须全等。质检部门为了使产品顺利过关，提出了明确的要求：要逐一检查三角形的三条边、三个角是不是都相等。技术科的毛毛提出了质疑：分别检查三条边、三个角这6个数据固然可以。但为了提高我们的效率，是不是可以找到一个更优化的方法，只量一个数据可以吗？两个呢？……
然后，教师提出问题：毛毛已提出了这么一个设想，同学们是否可以与毛毛一起来攻克这个难题呢？
这样设计的目的是既交代了本节课要研究与学习的主要问题，又能较好地激发学生求知与探索的欲望，同时也为本节课的教学做好了铺垫。
（二）引导活动，揭示知识产生过程
数学教学的本质就是数学活动的教学，为此，本节课我设计了下列活动，旨在让学生通过动手操作、合作探究来揭示“边角边”判定三角形全等这一知识的产生过程。
活动一：让学生通过画图或者举例说明，只量一个数据，即一条边或一个角不能判断两个三角形全等。
活动二：让学生就测量两个数据展开讨论。先让学生分析有几种情况：即边边、边角、角角。再由各小组自行探索。同样可以让学生举反例说明，也可以通过画图说明。
活动三：在两个条件不能判定的基础上，只能再添加一个条件。先让学生讨论分几种情况，教师在启发学生有序思考，避免漏解。
教师提出3个角不能判定两三角形全等，实质我们已经讨论过了。明确今天的任务：讨论两条边一个角是否可以判定两三角形全等。师生再共同探讨两边一角又分为两边一夹角与两边一对角两种情况。
活动四：讨论第一种情况：各小组每人用一张长方形纸剪一个直角三角形（只用直尺与剪刀），怎样才能使各小组内部剪下的直角三角形都全等呢？主要是让学生体验研究问题通常可以先从特殊情况考虑，再延伸到一般情况。
活动五：出示课本上的3幅图，让学生通过观察、进行猜想，再测量或剪下来验证。并说说全等的图形之间有什么共同点。
活动六：小组竞赛：每人画一个三角形，其中一个角是30°，有两条边分别是7cm、5cm，看哪组先完成，并且小组内是全等的。这样既调动了学生的积极性，又便于发现边角边的识别方法。
最后教师再用几何画板演示，学生进行观察、比较后，师生共同分析、归纳出“边角边”这一识别方法。
若有小组画成边边角的形式，则顺势引出下面的探究活动。否则提出：若两个三角形有两条边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形一定全等吗？
活动七：在给出的画有的图上，让学生自主探究（其中另一条边为5cm），看画出的三角形是否一定全等。让学生在给出的图上研究是为了减小探索的麻木性。
教师用几何画板演示，让学生在辨析中再次认识边角边。同时完成课后练习第一题。
（三）例题教学，发挥示范功能
例题教学是课堂教学的一个重要环节，因此，怎样充分地发挥好例题的教学功能是十分重要的。为此，我将充分利用好这道例题，培养学生有条理的说理能力，同时，通过对例题的变式与引伸培养学生发散思维能力。
首先，我将出示课本例1，并设计下列系列问题，让学生一步一步地走向“知识获得与应用”的理想彼岸。
问题1： 请说说本例已知了哪些条件，还差一个什么条件，怎么办？（让学生学会找隐含条件）。
问题2： 你能用“因为……根据……所以……”的表达形式说说本题的说理过程吗？
这样设计的目的在于体现“数学教学不仅仅是数学知识的教学，更重要的发展学生数学思维的教学”这一思想。
在例题教学的基础上，为了及时的反馈教学效果，也为提高学生知识应用的水平，达到及时巩固的目的，我设计了如下两个练习：
（1）基础知识应用。完成教材P139练一练2。
（四）课堂小结，建立知识体系。
（1）本节课你有哪些收获：重点是将研究问题的方法进行一次梳理，对边角边的识别方法进行一次回顾。
一、 平移
例1 （2016·湖北武汉）如图1，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE.
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件结合图形选择合适的方法. 要证AB∥DE，需证∠ABC=∠DEF，因此考虑证明它们所在的两个三角形全等.已知有两组边分别相等，再证明另一组边分别相等，利用“SSS”证明即可. 具体步骤：
证明：∵BE=CF，∴BC=EF；
在△ABC和△DEF中，
∵BC=EF，AB=DE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ABC=∠DEF，∴AB∥DE.
【点评】纵观本题，图中的△DEF与△ABC是通过平移得到的，平移不改变图形的形状和大小，平移前后对应线段相等且平行（或在同一直线上）. 在有两组对应边分别相等的前提下，可以求第三组对应边相等，或者求两组对应边的夹角相等，注意必须是夹角；若有三组对应边分别相等，则可以直接根据“SSS”求解. 已知两边和其中一边的对角分别相等，不能判定三角形全等，即不存在“SSA”判定三角形全等的方法. 如图2所示，AB=DE，∠B=∠DEF，AC=DF，但是△ABC与△DEF不全等.
二、 轴对称（翻折）
例2 （2016·江西）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE，求证：DE∥BC.
【分析】本题考查了三角形的折叠和平行线的判定，解题的关键是运用轴对称图形的性质. 要证明DE∥BC，必须考虑到∠AED=∠ACB=90°，而如何得到∠AED=90°，就联想到ED平分一个平角，这可以由折叠得到.
证明：由折叠可知：△ADE≌△CDE，
∴∠AED=∠CED，
又∵点A与点C重合，∴∠AEC为平角，
∴∠AED=∠CED=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AED=∠ACB，∴DE∥BC.
【点评】图中的△ADE与△CDE是通过折叠得到的，折叠属于轴对称变换，根据轴对称图形的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，进而可以找出位置变化前后相应的角相等，线段相等，进而转化为全等判定的条件.
三、 旋转
例3 （2016·湖北荆门）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在AB、AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF.
（1） 补充完成图形；
（2） 若EF∥CD，求证：∠BDC=90°.
【分析】本题是一道作图与证明的综合题，其中涉及直角三角形、图形的旋转、全等三角形的判定、平行线的性质等，在解第（2）问时，关键是得到△BCD≌△ECF，结合条件推出∠F=90°，通过全等三角形对应角相等，得到∠CFE=∠BDC=90°. 具体步骤：
解：（1） 解：所补图形，如图5所示；
（2） 证明：∵∠BCA=∠DCF=90°，
∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，
即∠BCD=∠ECF. 又CB=CE，CD=CF，
∴△BCD≌△ECF（SAS），∴∠BDC=∠CFE，
∵CD∥EF，∴∠DCF+∠CFE=180°，
∵∠DCF=90°，∴∠BDC=∠CFE=90°.
【点评】图中的△CEF是通过旋转△CBD得到的，旋转不改变图形形状和大小，旋转角相等，由此可以得到相应的角相等，为全等三角形的判定和角度的计算提供了条件.
四、 旋转与平移的组合
例4 （2016·河北）如图6，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC.
（1） 求证：△ABC≌△DEF；
（2） 指出图中所有平行的线段，并说明理由.
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是寻找全等三角形判定的条件. 第（1）问中，已知两边分别相等，再根据BF=EC得BC=EF，可根据“SSS”证得△ABC≌△DEF；（2）由△ABC≌△DEF可得∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，再根据“内错角相等两直线平行”可证得AB∥DE，AC∥DF. 具体步骤：
解：（1） 证明：∵BF=EC，∴BF+FC=EC+CF，
即BC=EF；又∵AB=DE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF.
（2） 有AB∥DE，AC∥DF.
理由：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE.
∴AB∥DE，AC∥DF.
【点评】图中的△DEF与△ABC是通过旋转再平移得到的，其中的对应边和对应角并不会因为位置的变化而改变，这也为全等三角形和平行线的判定提供了条件.
本节课的教学过程是：首先，展示教材上的图案以及制作的一些图案，引导学生读图，激发学生兴趣，从图中去发现有形状与大小完全相同的图形。然后教师安排学生自己动手随意去做两个形状与大小相同的图形，通过动手实践，合作交流，直观感知全等形和全等三角形的概念。其次，通过阅读法让学生找出全等形和全等三角形的概念。然后，教师随即演示一个三角形经平移，翻折，旋转后构成的两个三角形全等。通过教具演示让学生体会对应顶点、对应边、对应角的概念，并以找朋友的形式练指出对应顶点、对应边、对应角，加强对对应元素的熟练程度。此时给出全等三角形的表示方法，提示对应顶点，写在对应的位置，然后再给出用全等符号表示全等三角形练习，加强对知识的巩固，再给出练习判断哪一种表示全等三角形的方法正确，通过对图形及文字语言的综合阅读，由此去理解“对应顶点写在对应的位置上”的含义。再次，通过学生对全等三角形纸板的观察，小组讨论，合作交流，观察对应边、对应角有何关系，从而得出全等三角形的性质。并通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符号语言推理。最后教师小结，这节课我们知道了什么是全等形、全等三角形，学会了用全等符号表示全等三角形，会用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题。
店垭中心学校
李祖莲
本节课探索三角形全等的判定方法二，是后面几种判定方法的基础，也是本章的重点也是难点。备课时发现本节课的难点就是处理从确定一个三角形到得到三角形全等的判定方法这个环节，让学生动手操作和学生相互交流验证很好地解决了问题，圆满地完成本节课的教学任务。
反思整个过程，我觉得做得较为成功的有以下几个方面：
1、教学设计整体化，内容生活化。在课题的引入方面，让学生动手做、裁剪三角形。既提问复习了全等三角形的定义、性质、判定一，又很好的过度到确定一个三角形需要哪些条件的问题上来。把知识不知不觉地体现出来，学得自然新鲜。数学学习来源于生活实际，学生带着悬念学得轻松有趣。
2、把课堂充分地让给了学生。我和学生做了些课前交流，临上课前我先对他们提了四个要求：认真听讲，积极思考，大胆尝试，踊跃发言，加分激励。其实，这是一个调动学生积极性，同时也是激励彼此的过程。在上课过程中，我尽量不做过多的讲解，通过引导让学生发现问题并通过动手操作、交流讨论来解决问题。
3、在难点的突破上取得了成功。上这堂课前，我一直担心学生在得出三角形全等的判定方法上出现理解困难。课堂上我通过让学生动手制作两个三角形形状和大小完全相同，即三角形都全等，最后同学们都不约而同地得出了三角形全等的判定方法二。
但也有几处是值得思考和在以后教学中应该改进的地方：
1、在课堂上优等生急着演示、发言，后进生却成了观众和听众。如何做到面向全体，人人学有所得，也值得我来探讨。
2、课堂学生的操作应努力做到学生自发生成的，而不是老师说“你们比较下三角形的形状和大小”，应换为自发地比较更好。
3、教学细节需进一步改进，教学时应多关注学生，在学习新知后，虽然大部分的学生都掌握了，但有少数后进生仍然是不理解。
能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．夹边就是三角形中相邻两角的公共边．夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角．
例1如图1，BD，AC交于O，OA＝OD，用“SAS”证△AOB≌△DOC，还需（）.
A. AB = DCB.OB = OC
C.∠A = ∠D D.∠AOB = ∠DOC
解析：此题的考查要点是“SAS”定理.用“SAS”证全等要有三个独立条件，已知OA = OD，显然还差两个，而AC与BD的相交可得∠ AOB与∠ DOC是一对对顶角，第三个条件应该围绕夹∠AOB、∠DOC的两边来找，显然OB与OC应是另一组夹边.选B.
点评：解答本题的关键是找出对顶角，然后利用“边角边”定理找到另一组对应边.
考点2全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
例2如图2，△ABD≌△CDB，且AB、CD是对应边. 下面四个结论中不正确的是（）.
A.△ABD和△CDB的面积相等
B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A + ∠ABD = ∠C+∠CBD
D. AD∥BC，且AD = BC
解析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等.因为AB和CD是对应边，则AD与BC是对应边，∠ADB = ∠CBD，因此AD∥BC且AD = BC.故C符合题意.
点评：解答本题的关键是要知道两个全等三角形中，对应顶点在对应的位置上，这样就不会找错对应角.
考点3全等三角形的判定
选择哪种判定方法必须根据已知条件而定，详细内容见下表：
例3在△ABC中，AD为BC边上的中线，求证：AD＜ （AB + AC）.
解析：通过构造辅助线，利用全等三角形将线段AD，AB，AC转化到同一个三角形中，由三角形“两边之和大于第三边”即可证，证明过程如下：
延长AD至G，使DG = AD，连结BG.
在△ADC和△GDB中，
点评：将中线加倍是常用的作辅助线方法.
考点4 变换
只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换．全等变换包括以下三种：
①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换. 如图4，把△ABC沿直线BC移动到△A1B1C1和△A2B2C2位置，就是平移变换.
②对称变换：将图形沿某直线翻折180O，这种变换叫做对称变换.如图5，将△ABC翻折180O到△ABD的位置，就是对称变换．
③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换. 如图6，将△ABC绕过A点旋转180O到△AED的位置，就是旋转变换.
我们知道，无论是平移变换、对称变换还是旋转变换，变换前后的两个图形全等，具有全等的所有性质．
例4如图7，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C = 90O.
（1）操作并观察，如图7，将三角板的45O角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长的线段是否始终是EF？
写出观察结果.
（2）探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形（即能否有EF2= AE2 + BF2）？如果能，试加以证明.
解析：（1）只须旋转∠ECF再用刻度尺量一量或观察，即可得到.
（2）要判断EF2= AE2 + BF2，思路是把AE、EF、FB搬到同一个三角形中，通常有平移、翻折、旋转等方法，解答此题用翻折的方法，得到与AE、BF相等的线段，并且它们和EF在同一个三角形中.
解答过程如下：
（1）观察结果是：当45O角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转时，AE、EF、FB中最长的线段始终是EF.
（2）AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下：
如图在∠ECF的内部作∠ECG = ∠ACE，
使CG = AC，连结EG，FG，
∴△ACE≌△GCE，
∴∠A = ∠CGE，同理∠B = ∠CGF，
∵∠A + ∠B = 90O，
∴∠CGE + ∠CGF = 90O，
∴∠EGF = 90O，EF为斜边.
点评：探索、猜测是整个题目的重点、难点，从操作中获取信息是探索问题过程中最重要的.
反思
1.考纲要求
理解全等形的有关概念和性质，并会运用性质定理进行计算；掌握全等三角形的判定方法，会运用定理进行简单的推理或计算；能够运用全等三角形的性质和判定定理解决实际问题，培养几何计算和逻辑推理能力，养成用数学知识解决问题的意识.
2.构造全等三角形的方法
寻求全等条件，在证明两条线段（或两个角）相等的时候，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形.常见辅助线有：①连结某两个已知点；②过某已知点，作某已知直线的平行线；③延长某已知线段到某个点，或与某已知直线相交；④作一个角等于已知角.
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