三角形中位线定理证明

三角形中位线定理证明（精选5篇）

三角形中位线定理证明篇1

定理2向量形式的梯形中位线定理: 如图2, 梯形ABCD中, AB∥CD, M, N分别是AD, BC的中点, 则2

定理3如图3所示, 任意四边形ABCD中 ( 四边形ABCD可以是空间的) , 点M, N分别是AD, BC的中点, 则

由于M, N分别是AD, BC的中点,

推论1如果A, D两点重合, 则, 即三角形中线的向量形式.

推论2如果AB∥CD, 且C, D两点错位, 此时四边形为梯形, 如图4所示, 且AB∥CD∥MN, 则 ( 表示梯形两对角线的中点的连线平行于底边且等于两底边差的一半) .

在定理3中, 当A, D重合时即是定理1, 定理1可看成定理3的推论.

在定理3中, 当C, D重合时即是定理2, 定理2也可看成定理3的推论.

下面我们举例说明.

例1如图5所示, 已知△ABC, M和N分别是边AB和AC的中点, 在BN延长线上取一点P, 使得NP =BN; 在CM延长线上取一点Q, 使得MQ = CM. 求证: P, A, Q三点共线.

证明连接MN, 则

即P, A, Q三点共线.

点评利用向量形式的三角形中位线定理巧妙的把MN, AP, QA结合到一起, 从而将问题解决.

例2如图6所示, D是Rt△ABC斜边AB上的中点, 点E, F分别在边BC, AC上, 且ED⊥FD, 求证: EF2=AF2+ BE2.

点评作出中点G, 从而充分利用条件ED⊥FD, 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质, 再利用推论1, 从而将问题解决.

例3已知AD是△ABC的中线, 求证: AD <1/2 ( AB +AC) .

故 AD <1/2 ( AB + AC) .

点评通过观察此题表面上是与向量无关的几何问题, 由AD是△ABC的中线及AB + AC, 可以应用推论1, 从而将问题解决.

例4如图7所示, 半圆的直径AB = 4, O为圆心, C是半圆上不同于A, B的任意一点. 若P为半径上的动点, 求的最小值.

点评根据图形特征及结构, 自然想到推论1, 将表示成的形式, 进一步利用数量积的定义及基本不等式将问题解决.

通过以上例题, 我们可以从中分析得到, 在解决表面上与向量无关的几何问题时, 向量形式的中位线定理是一种非常有效的工具.

参考文献

[1]彭城.四边形中位线的向量形式及应用.江苏省盐城市上岗中学.中学生数学, 2012 (445) :13-14.

[2]翟作风.中位线定理的应用.山东省淄博市淄川区太和中学.数理化解题研究, 2012 (2) :29-30.

找三角形中位线，巧解几何题篇2

一、直接得到三角形的中位线

例1已知：如右图，EF为△ABC的中位线，AD⊥BC于D，G为BC的中点，连接EG、FD.

求证：四边形EFDG为等腰梯形.

分析：图中已有两条中位线EF、EG，直接得出EF∥GD，要证明四边形EFDG为等腰梯形，只需证明EG = FD.

证明：∵EF、EG为△ABC的中位线，

∴EF∥BC，EG∥AC 且EG =1/2AC.

又AC与FD相交于F，

∴EG 与FD不平行，

∴四边形EFDG为梯形.

∵AD⊥ BC，F为AC的中点，

∴FD =1/2AC.

∴FD = EG.

∴四边形EFDG为等腰梯形.

二、连接两个中点，得到三角形的中位线

例2 已知：如右图，四边形ABCD中，AB = CD，M、N、E、F分别是BD，AC，BC，MN的中点.

求证：EF⊥MN.

分析：条件中有4个中点，连接EM、EN得到两边中位线，与MN构成等腰三角形，从而轻松解答题目.

证明：∵E、M为BC，BD的中点，∴EM =1/2CD.

同理 EN =1/2AB.

∵AB = CD，∴EM = EN，即△EMN为等腰三角形.

又∵F为MN的中点，∴EF⊥MN.

三、证中点，得三角形的中位线

例3已知：如右图，平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，且AE = BF，AF与BE相交于点M，CE与DF相交于N.

求证：MN∥BC.

分析：条件中虽没有说明哪点是中点，但利用平行四边形的性质可证明M、N分别是BE、CE的中点，所以MN是△EBC的中位线.

证明：连接EF.

∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BF 且AE = BF.

∴四边形ABFE为平行四边形.

∴M为BE的中点.

同理N为EC的中点.

∴MN为△EBC的中位线. ∴MN∥BC.

四、作边的中点，从而构造三角形的中位线

例4 已知：如图，△ABC中，∠B = 2∠C，AH⊥BC于H，M为BC的中点，求证：AB = 2HM.

分析：要证AB = 2HM，取AB的中点D，连接DH，DM.

证明：∵M为BC的中点，D为AB的中点,

∴DM∥AC,

∴∠1=∠C.

又∵AH⊥BC，D为AB的中点，

∴DH = BD=1/2AB.

∴∠B = ∠DHB.

又∵∠B = 2∠C， ∴∠DHB = 2∠1.

又∵∠DHB = ∠1 + ∠2，∴∠1 = ∠2.

∴HM=DH. ∴HM=1/2AB，即AB=2HM.

五、构造三角形及三角形的中位线

例5已知：如图，在△ABC中，BC＞AB，D为BC上一点，且CD = AB，E、F分别为AC，BD的中点，BG与BF相等吗？为什么？

分析：条件虽然给出了两个中点，但它们不在同一个三角形中，故连接AD，取AD的中点H，从而构造中位线EH、FH，这时△HEF为等腰三角形.

解：连接AD，取AD的中点H，连接EH，FH.

∵H、 E为AD、AC的中点，

∴EH∥CD且EH =1/2CD.

同理FH∥AB且FH=1/2AB.

又∵AB=CD，∴EH=FH.

∴∠1=∠2.

∵EH∥BC，∴∠2=∠EFC.

又∠EFC = ∠3，∴∠3 = ∠1.

同理∠1 = ∠G.

∴∠3 = ∠G， ∴BG = BF.

六、完善图形，构造中位线

例6已知：如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于D点，AB = 6，AC = 10，试求MD的长.

分析：条件中有一个中点，延长BD交AC于N，容易证明△ABD≌△AND，得BD = DN，从而得D点是BN的中点，这时MD即为△BCN的中位线.

证明：∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2.

∵AD⊥BD，∴∠ADB=∠ADN=90O.

又AD为△ABD和△AND的公共边，

∴△ABD≌△AND（ASA）.

∴AB=AN =6，BD=DN.

∵M、D分别为BC、BN的中点，

三角形中位线定理证明篇3

数学教育主要是数学思维的教育，数学教育过程是思维活动的过程，发展学生的思维能力是数学教学的一个重要方面。学生的思维能力具体体现为直觉的形象思维、分析的逻辑思维、灵活的创造思维等。在教学中如何培养这些思维能力呢？由认识论我心理学的基本原理可知：“感知、理解、巩固、运用”符合学生认知知识心理过程的学习程序。所以数学教学应围绕认知迁移的四个环节展开，采取不同的教学策略，针对性地培养相应的思维能力。我以三角形中位线的教学为例谈点体会。

一、感知阶段：引导学生猜想分析，注重培养思维的广阔性

培养思维的广阔性，主要是培养学生从多角度，多方面去分析、思考问题；认识、解决问题的思维方式。使之思路开阔，联想广泛，通用不同的方法去处理和解决问题。在教学中要充分利用命题提出这一环节，设置问题情境调动学生思维，引导学生分析、抽象、探索定理的多种证法，开阔思维广度。例如：三角形中位线定理的证明，可按课本的探索式方法设置问题情景，让学生猜想发现三角形中位线性质：“三角形中位线平行，并且等于第三边的一半。”教师可以提出如何填加辅助线完成此定理的证明问题，启发学生从多方面探索定理的证明方法，加以总结。

二、理解阶段，引导学生理解记忆，注意培养思维的流畅性

思维的流畅性表现为思维流畅通顺，减少阻碍，能准确迅速地感知和提取信息。要想思维流畅顺利运用所学知识，分清定理的条件和结论，熟记定理的基本图形是前提。要结合图形帮助学生理解本质属性，强化定理的表达式，以便运用时思路畅通，例：三角形中位线定理证完后，可结合图形强化帮助同学记忆定理的条件结论。

三、巩固阶段：引导学生变式训练，是提高培养思维的灵活性

培养上思维的灵活性，主要培养学生对具体问题具体分析，善于根据情况的变化，调整和改变思维过程，提高学生的应变能力，所以在定理运用教学时，有针对性地把练习、习题、复习题中有共同特点的题目融会贯通，变分散为集中，设计一图多问题，一题多变题，对比分析题和逆向运用题，让学生进行变中位线定理的运用可举以下题让学生训练。

四、运用阶段：引导学生归纳小结，注重培养思维的敏捷性

思维的敏捷性，是思维活动中的反映速度和熟练程度。培养思维的敏捷性，主要培养学生思考问题时，能作出快速敏锐的反应。敏捷应以准确严谨为前提，只有准确掌握系统的基础知识和熟练的基本技能，才能达到融会贯通之目的，做到真正的敏捷。故在运用这一环节上要引导学生归纳小结，把本节知识纳入已有的认知结构中去，不断充实扩展已有的知识体系；同时总结一般解题规律，从具体的解题过程中抽象出某种数学模式，形成较为明确的解题思路，使学有“法”可依，有“路”可走特别是注意归纳解题的技巧，使学生思维技能得到发展。

例：三角形中位线一节可引导学生作如下归纳：

（1）证两线平行的常见方法；

（2）平行线的三条基本判定方法；

（3）三角形一边的平行的判定方法

（4）特殊四边形的对边平行

（5）三角形中位线定理

五、证线段的二倍关系的常见方法

（1）截长法：取长线段的中点，证长线段的一半等于短线段

（2）补短法：延长短线段一倍，证延长后的总线段等于长线段

（3）构造三角形的中位线与短线段相等转换

（4）构造三角形的中位线的位置变换

三角形中位线论文篇4

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。已知：如图

（一），△ABC中，M，N分别是AB，AC两边中点。求证：MN平行于BC且等于BC/2.A

图二

CB 图一图三

BMANCCNAMADNBMAMBNCB图四

C前因：1.，当点A运动到线段BC上（如图

（二）），其他条件不变时，易证：MN=BC/2.2.当点A运动到线段BC的延长线上或反向延长线上（如图

（三）），其他条件不变时，易证：MN=BC/2.后果：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

已知：如图

（四），梯形ABCD中，M为AB的中点，N为CD的中点，连接MN，DFA求证：MN平行两底且等于两底和的一半。

MFN MN

BECCB图五

图六

1.如图

（五）当△ABC的边AB固定，边AC平移到DE处，从而得到梯形ABED，AC的中点N平移到DE的中点F点处，所以线段MF就是梯形ABED的中位线，因为MN∥BC,NF∥BC,这样，M、N、F三点共线，即梯形ABED的中位线MF∥BC∥AD，∵AD=DF=CE

∴MFMN+NF=BC/2+(AD+CE)/2=(BC+CE)/2+AD/2=(BE+AD)/2 这样就证明了梯形中位线定理.2.△ABC可以看成梯形ABCD的两个端点D与A重合的特殊情形，那么，如图（五)，当点D从A点出发，沿与BC平行的射线AF运动时，得到梯形ABCD，此时线段MN就是梯形ABCD的中位线，∵∴

2.MADDANMNBC图七

B图八

C想的“做”数学的环境，可以让学生从“听”数学转变到“做”数学，以研究者的方式，参与包括发现、探索在内的获得知识的全过程，是一个开展“数学实验”的好“实验室”。

一、用《几何画板》，让学生体验数学家的感受

提起数学实验，人们都会本能地想到物理实验、化学实验和生物实验。在日常教学过程中，为了让学生获得知识，物理、化学、生物都需要做实验，而在数学教学中，却几乎没有实验。很多数学学习困难的学生认为数学枯燥乏味，就是因为数学太抽象，不象理化那样经常做实验，看得见。于是，只有数学家是在“做”数学，而学生却在被动地“听”数学。他们听来的多半是缺少发现过程的结论，而且缺乏他们自己对所讲内容的“操作”。这就大大脱离了学生自己的经验体系，致使学生不能很好的获取知识。《几何数学教师要利用计算机进行辅助教学 ,离不开作图 ,特别是在几何教学中。过去本人使用《ＷＯＲＤ97》深感在作图时有诸多不便。如果将《几何画板》与《ＷＯＲＤ97》结合使用 ,既能充分利用《ＷＯＲＤ97》在数学符号输入、数学公式编辑和文字排版上的强大功能 ,又能发挥《几何画板》在制作几何图形时简单、美观、准确、快捷的优势。同时《几何画板》在教学中不仅是优秀的演示工具 ,而且是学生在学习中有力的探索工具。笔者曾成功地将《几何画板》应用于《三角形中位线》一课的教学中(该课参加全国第二届初中青年数学教师优秀课评比获一等奖)。下面就以该课为例谈谈具体应用时的几点体会。1 变被动接受为主动探索建构主义理论[1 ] 认为 :知识不是被动接受的 ,而是由认知主体建构的。数学学习是学生在已有数学认知结构的基础上的建构活动 ,而不是对数学知识的直接翻版。这就要求我们在教学中 ,不能只重结果而偏废过程 ,让学生被动地把结论机械地识记下来 ,这样获取的是死知识。应遵循让学生观察理解 ,探索研究 ,发现问题的规律 ,给学生一个建构的过程 ,一个思维活动的学生参与包括发现、随着素质教育的全面推进,用数学开放题培创新意识和能力,已经成了教改的热点.特别是培养学生能用运观点去分析问题、解决问题,也是中考命题的热点.需要教师深入挖掘教材的隐含内容 ,设计巧妙的问题情境 ,激

发学生主空间 ,让养学生的动、变化的近年来，我区大力推行主动参与教学模式。初探这一模式，很多教师颇感困难。例如，在画板》被誉为“21世界的动态几何”，它就提供了一个十分理讲授三角形中位线的性质一节课时，传统的教学方法是把“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半”这一性质告诉学生，然后再加以证明。有了《几何画板》，可以通过《几何画板》画一个△ABC，并画出它的一条中位线DE，度量三角形各边的长度及DE的长度，显示它们大小的数值就展现在屏幕上（如图）。教师设计以下问题，让学生自己探索、实验。请你拖动三角形的任意一个顶点，通过观察回答下列问题：（1）

中位线DE与三角形各边有什么样的位置关系？（2）

中位线DE与三角形各边的长度有什么相等关系？（3）

猜想三角形的中位线有什么性质？请你用一句话来概括。（4）

你能证明这一猜想吗？

动探究问题的热情 ,培养学生的探究能力和强化生物学思维能力 ,在良好的师生互动交流中 ,点化引玉 ,引导学生突破知识难点。

随着学生拖动三角形的任意一个顶点，中位线的位置在屏幕上动态地改变着，并且显示三角形的三条边和中位线的长度的数据也在屏幕上跟着改变。这个演示过程充分体现了三角形的任意性，并引导学生关注变化过程中的不变关系、不变量。学生经过自己的实际操作，从动态中去观察、探索、归纳出三角形的中位线的性质。对自己的任何发现，都可以得到及时地验证。这时教师的角色不再是学生的保姆，学生不再是盛受知识的容器，也不再是目睹教师口干舌燥的“观众”，而是积极参与探索的“主角”，经过自己亲身的实践活动，感受、理解知识产生和发展的过程，形成自己的经验，发挥了学生的能动性和创造能力，达到让学生“做”数学的目的。三角形中位线的几种变化

动点问题是最近几年中考数学的热点题型，这类试题信息量大，对同学们获取和处理信息的能力要求较高，解题时需要用运动和变化的眼光去观察和探究问题，挖掘运动和变化的全过程，这就要求同学们具有扎实的基础知识、较强的阅读理解能力及数学的建模能力，动点问题是近年来中考中的一个热点题型,也是教学中的一个难点,这类题综合性强、开放度高,要求学生能从“运动、变化”的角度去思考问题.解答这类题目除了要牢固掌握相关的数学知识外,还要综合运用数形结合、分类讨论、方程、函数、转化等数学思想方法去探索解题的思路;它考查面广,涉及的知识点众多,留给学生很大的思维空间和思维量,需要我们在运动中分析,在变化中求解.本文以2011年全国各地的中考动点类问题为例进行分析,以供参考.正近几年,动点问题成为中考的必考内容,这类问题无论对学生的知识基础水平,还是对学生的思维能力、解题能力都是极大的考验.如何有效的解决动点问题是数学教学中值得探索的问题.构造思想方法是初中数学极为重要的数学思想,更是一种体现创新思维的思想方法.点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体,运动变化为主线,集多个知识点为一体,集多种解题思想于一题.这类题综合性强,能力要求高,它能全面的考查学生的实践操作能力,空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点,现采撷几例加以分类浅析，逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。

逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/

2二、合作交流

ADMNBC

操作：1.剪一个三角形，记为ΔABC

2．分别取AB、AC的中点D、E，并连接DE 3．沿DE将ΔABC剪成两部分，并将ΔADE绕点E旋转180°得四边形DBCF ADADBECBECF

思考：四边形DBCF是什么特殊的四边形

1.三角形中位线的概念

想一想：三角形的中线与三角形的中位线的区别，并画图说明

三角形中线是一条连接与的线段 ⑴ 顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形是 ⑵ 顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是 ⑶ 顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是

⑷ 顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是 ⑸ 顺次连接对角线垂直的四边形四边中点所得的四边形是 ⑹ 顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形是

四、反馈练习

1.ΔABC中，AB=6㎝，AC=8㎝，BC=10㎝，D﹑E﹑F分别是AB、AC、BC的中点

则ΔDEF的周长是＿＿＿＿，面积是＿＿＿＿。

2.ΔABC中，DE是中位线，AF是中线，则DE与AF的关系是＿＿＿＿ 3.若顺次连接四边形四边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（）

（A）一定是矩形（B）一定是菱形（C）对角线一定互相垂直（D）对角线一定相等

4.如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB，分别取CA、CB的中点D、E.（1）若DE的长度为36米，求A、B两地之间的距离； A

D（2）如果D、E两点之间还有阻隔，你有什么方法解 E F

C 怎样将一张梯形硬纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个三角形？操作：

（1）剪一个梯形，记为梯形ABCD;（2）分别取AB、CD的中点M、N，连接MN；（3）沿AN将梯形剪成两部分，并将△ADN绕点N按顺180°到△ECN的位置，得△ABE，如右图。

讨论：在上图中，MN与BE有怎样的位置关系和数量关

二、合作交流

1.梯形中位线定义：

2.现在我们来研究梯形中位线有什么性质.时针方向旋转

系？为什么？如右图所示：MN是梯形 ABCD的中位线，引导学生回答下列问题：

MN与梯形的两底边AD、BC有怎样的位置关系和数量关系？为什么？

①一个梯形的上底长4 cm，下底长6 cm，则其中位线长为； ②一个梯形的上底长10 cm，中位线长16 cm，则其下底长为； ③已知梯形的中位线长为6 cm，高为8 cm，则该梯形的面积为________ ； ④已知等腰梯形的周长为80 cm，中位线与腰长相等，则它的中位线长.例2：已知：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＋BC，P为CD的中点，求证：AP⊥BP

四、拓展练习

1.已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC ＝12，BD＝9，则此梯形的中位线长是 „（A．10 B．

C．

三角形中位线教案设计篇5

三角形中位线教案设计

一、教学目标

1.掌握中位线的概念和三角形中位线定理

2.掌握定理“过三角形一边中点且平行另一边的直线平分第三边”

3.能够应用三角形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力

4.通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力

5. 通过一题多解，培养学生对数学的兴趣

二、教学设计

画图测量，猜想讨论，启发引导.

三、重点、难点

1.教学重点：三角形中位线的概论与三角形中位线性质.

2.教学难点：三角形中位线定理的证明.

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、常用画图工具

六、教学步骤

【复习提问】

1.叙述平行线等分线段定理及推论的内容(结合学生的叙述，教师画出草图，结合图形，加以说明).

2.说明定理的证明思路.

3.如图所示，在平行四边形ABCD中，M、N分别为BC、DA中点，AM、CN分别交BD于点E、F，如何证明 ?

分析：要证三条线段相等，一般情况下证两两线段相等即可.如要证，只要即可.首先证出四边形AMCN是平行四边形，然后用平行线等分线段定理即可证出.

4.什么叫三角形中线?(以上复习用投影仪打出)

【引入新课】

1.三角形中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.

(结合三角形中线的定义，让学生明确两者区别，可做一练习，在中，画出中线、中位线)

2.三角形中位线性质

了解了三角形中位线的定义后，我们来研究一下，三角形中位线有什么性质.

如图所示，DE是的一条中位线，如果过D作，交AC于，那么根据平行线等分线段定理推论2，得是AC的中点，可见与DE重合，所以 .由此得到：三角形中位线平行于第三边.同样，过D作，且DE FC，所以DE .因此，又得出一个结论，那就是：三角形中位线等于第三边的`一半.由此得到三角形中位线定理.

三角形中位线定理：三角形中位城平行于第三边，并且等于它的一半.

应注意的两个问题：①为便于同学对定理能更好的掌握和应用，可引导学生分析此定理的特点，即同一个题设下有两个结论，第一个结论是表明中位线与第三边的位置关系，第二个结论是说明中位线与第三边的数量关系，在应用时可根据需要来选用其中的结论(可以单独用其中结论).②这个定理的证明方法很多，关键在于如何添加辅助线.可以引导学生用不同的方法来证明以活跃学生的思维，开阔学生思路，从而提高分析问题和解决问题的能力.但也应指出，当一个命题有多种证明方法时，要选用比较简捷的方法证明.

由学生讨论，说出几种证明方法，然后教师总结如下图所示(用投影仪演示).

(l)延长DE到F，使，连结CF，由可得AD FC.

(2)延长DE到F，使，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得AD FC.

(3)过点C作，与DE延长线交于F，通过证可得AD FC.

上面通过三种不同方法得出AD FC，再由得BD FC，所以四边形DBCF是平行四边形，DF BC，又因DE ，所以DE .

(证明过程略)

例求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.

(由学生根据命题，说出已知、求证)

已知：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

求证：四边形EFGH是平行四边形.‘

分析：因为已知点分别是四边形各边中点，如果连结对角线就可以把四边形分成三角形，这样就可以用三角形中位线定理来证明出四边形EFGH对边的关系，从而证出四边形EFGH是平行四边形.

证明：连结AC.