三角形面积教案文档（推荐13篇）
于
艳
艳
汝州市望嵩小学
《三角形的面积》
一、直接引入新课
1.咱们已经学习了平行四边形的面积，今天这节课我们一起来研究三角形的面积，板书课题：三角形的面积
2.出示两个不同的三角形（利用学具），问：谁的面积大？ 猜测：三角形的面积和谁有关？
指出，底和高是研究三角形面积的重要条件
3.关于今天要研究的三角形，以前我们已经知道了哪些知识？（生自由说），如，三角形的分类：按边分、按角分；底、高、等等。师根据生说利用学具判断是什么三角形？ 再出示课件：找对应的底和高。
评价：同学们对三角形已经有了这么多的了解，在此基础上学习新的知识，老师相信大家今天一定会收获更多。这节课我们主要解决以下几个问题：1.理解并掌握三角形面积公式的由来，2.能根据三角形的面积公式进行正确的计算3.会解决生活中的一些问题。有了目标就有了方向，加油！
二、动手操作，发现规律
（一）、用“分”的方法，自主探究
1、师：老师知道咱们班的同学们动手能力特强，我们先来玩一个游戏好吗？（好）这是一张？（出示长方形）这是一张？（平行四边形）怎样把它们分别折成两个形状、大小完全相同的图形？同桌二人讨论有几种折法，再开始折。（生讨论，动手折）
2、小组学生代表上台汇报操作结果。
3、师总结：同学们动脑、动手，有折成两个平行四边形的、有折成长方形、正方形的，还有折成两个三角形的，说明图形之间是可以变换的，大家看大屏幕，（出示课件）我们把平行四边形折成两个形状、大小完全相同的三角形，师：如果我们知道长方形的长为10厘米，宽为6厘米，长方形的面积是多少？每个三角形的面积是多少？平行四边形的底是8厘米、高是6厘米，平行四边形的面积是多少？每个三角形的面积是多少？ 为什么？
4、利用平行四边形的面积我们求出了三角形的面积，三角形的面积=底╳高除以2（板书）。这种“借助旧知识解决遇到的新问题”是一种很好的数学学习方法。以后我们会经常用到。
（二）用“合”的方法，自主探究 1.自学课本
师：刚才我们是用“分”的办法，探究出计算三角形面积的公式，课本是用“合”的办法，把两个大小，形状相同的三角形拼成一个长方形或一个平行四边形，从而推导三角形面积公式的。（指导学生认真阅读课本，同桌二人互读，相互讨论）
认真看课本第84页的内容，仔细看图、看文字，并动手拼一拼，思考以下问题：
（1）、两个什么样的三角形可以拼成一个平行四边形？动手拼一拼。（2）、拼成的平行四边形和三角形有什么关系？找一找，同桌互相说
一说。
2.生自主探究后，汇报交流。
师：什么样的两个三角形可以拼成平行四边形？为什么？（利用不同的学具演示，证明形状不一样拼不出平行四边形）。
师：两个完全一样的三角形怎样拼成平行四边形？谁来把你的拼法演示给同学们看。生上台演示，顺势把不同的三角形拼法贴在黑板上，师：（利用黑板上贴出的图形）两个完全一样的三角形拼成的平行四边形和三角形有什么关系？生说
利用课件演示：底、高分别相等。填空。完成板书 推导出计算公式。S=ah÷2
想一想：求面积必须知道什么条件？ 强调为什么“除以2”
求平行四边形面积的公式，是通过把平行四边形转化成长方形得出的。求三角形面积的公式也是通过把三角形转化成平行四边形得出的。看来转化还真是一种重要的数学思想方法，这也说明图形是可以变换的。2.尝试练习：
3、进行爱国教育
师：同学们，你们知道吗？今天我们一起动手推导出来的三角形的面积计算公式，很早以前，我们的祖先就已经发现了，请看屏幕。（多媒体出示P85页的数学知识）
师：同学们，我国古代数学家固然伟大。但是，老师觉得你们也很了
不起!咱们不也找到三角形面积的计算方法了吗？来，把热烈的掌声送给咱们自己!好，接下来我们是不是更有信心继续展示自我？
三、应用新知，解决问题
1、解决问题，学习例2。
师：同学们，我们已经推导出了三角形面积计算公式，生活中有很多物体的形状是三角形的，现在我们就用三角形的面积计算公式解决一些实际问题，好吗？
师：老师这里有一条红领巾，（举起实物）如果想求它的面积有多少？需要知道什么条件？
（课件出示例2）红领巾的底是100cm，高33cm，它的面积是多少平方厘米？
师：请同学们算一算。（一生板演）集体订正。
你认为计算三角形的面积，什么地方容易出错？（强调“÷2”这一关键环节）
这个题难不住同学们，老师再加一个条件，试试看
2、实践运用，做一做。
师：三角尺是我们常用的学习工具，它的外形也是三角形，它的面积大家会算吗？现在把P85的“做一做”完成，看谁算得又对又快。
3、联系生活，适当拓展。
(1)、课本86页的练习第1题。课件出示下图
师：你认识这些道路交通警示标志吗？知道它们的具体含义吗？
交通标志对于维护交通安全有着重要的意义和作用。请大家算一算，这
个标志牌的面积大约是多少？（教育学生要遵守交通规则，注意交通安全，接着让学生口头列算式，不用计算。）
(2)、课本86页第3题：已知一个三角形的面积和底（如右图），求高。
师：求三角形的面积我们会算了，如果已知三角形的面积求 三角形的高你会算吗？（生讨论汇报，再计算、反馈。）
四、回顾总结，深化提高： 这节课你有哪些收获？
（屏幕显示）让学生说一说图意
今天我们分小组通过动手操作，相互讨论、交流，用摆拼等方法将三角形转化成学过的图形推导出了三角形面积的计算公式，这种“转化”的数学思想方法能帮助我们找到探究问题的方向，相信同学们今后能应用这一数学方法探究和解决更多的数学问题。
六、作业：P87—5、6、7
七、板书设计：
三角形的面积
因为：平行四边形的面积=底×高，长方形的面积=长×宽
所以 ：
三角形面积=底×高÷2
三角形面积=底×高÷2
对应
S=ah÷2
5.学习效果评价设计
1、判断。（对的在括号里写“√”，错的写“×”）
（1）、两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形。
（）（2）、两个三角形的高相等，它们的面积也相等。
（）（3）、一个三角形的底扩大到原来的3倍，高不变，面积就扩大到原来的1.5倍。（）
关键词：三角形；面积；妙用
中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）07-182-02
巧妙的利用三角形的面积恒等关系解决一些几何问题，可以收到意想不到的效果，现选择几个例题加以分析。
例1、如图：在△ABC中，
已知AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB.
求证：BD=CE
分析：（1）利用三角形全等进行证明：要得到BD=CE，就需证明△BDC≌△CEB(∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB; ∵BD⊥AC,CE⊥AB, ∴∠BEC=∠CDB=90°；BC=CB.)或△ABD≌△ACE(分析略)。
（2）利用面积恒等证明：根据三角形面积计算公式可知：S△ABC= AB×CE= AC×BD, ∵AB=AC, ∴BD=CE.
证明过程（略）
例2、如图：在△ABC中，已知AB=AC,D是BC边的中点,DF⊥AB,DE⊥AC.
求证： DF=DE
分析：（1）利用全等三角形进行证明：
证明：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB;
∵DF⊥AB,DE⊥AC, ∴∠DFB=∠DEC=90°；
∵D是BC的中点，
∴BD=CD；
∴△BDF≌△CDE(A.A.S.)
∴DF=DE.
(2)、利用面积恒等证明：
证明：连接AD。
∵D是BC的中点，
∴BD=CD；
∴S△ABD= S△ACD；
即 AB×DF= AC×DE
∵AB=AC，∴DF=DE。
例3、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AC=3，BC=4，求CD的长。
分析：（1）利于勾股定理可以解决。
解：∵AC=3，BC=4，∠ACB=90°
∴AB=5
设AD=x,则
BD=（5-x）,
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°,根据勾股定理可得
AC2-AD2=CD2=BC2-BD2
即32-x2=42-（5-x）2
解得x=1.8
即AD=1.8，利用勾股定理可得
∴CD=2.4。
(2)、利用三角形面積恒等计算：
S△ABC=AC×BC=AB×DC
可得CD= =2.4;
例4、如图，已知点P是矩形ABCD边AD上的一个动点，矩形的两边AB、BC长分别为6和8，求点P到矩形两条对角线AC、BD的距离之和。
解：由矩形的两边AB、BC长分别为6和8，可得
AC=BD= =10
∴OA=OB=OC=OD=5(矩形的对角线相等且互相平分)
教学过程：
一、导入
师：大家请看大屏幕这是什么？还记得吗（南山大佛前面照的照片）师：同学们记性真好，这是一张非常珍贵的照片，现在老师想要给照片四周加上木框，它需要多少木条呢，这求的是照片的什么？奇潞说一说你的想法吧 生：周长
师：对了，是它的周长，那你还记得周长有哪些单位吗？（周长的单位有千米km、米m、分米dm、厘米cm、毫米mm）
师：说得真不错，你用前面学习的知识解决了这个问题，请坐，如果老师想要给相框配上玻璃，它需要多大的玻璃，这求的是照片的什么呢？
师：对了是照片的面积，这节课我们来学习面积和面积单位
板书： 面积和面积单位
二、认识物体的面积
1、涂色比赛
师：现在老师手里有两个长方形纸片1号和2号，如果我们举行涂色比赛，你会选择哪个呢，王玉说一下你的想法 生：2号
师：王玉同学说是第二个，好，请坐，蒋文侠再说一下你的观点 生：2号 师：能说一说你的理由吗 生：因为2号比1号小
师：是2号比1号的面小对吧，好，请坐，她说因为2号的面比1号的面小，大家同意不同意？ 生：同意
师：看来同学们都认为2号的面小，1号的面大，要想快速涂完，当然选择2号了
2、摸一摸 看一看
师：每个物体都有自己的面，有的物体的面大，有的物体的面小，现在请同学们摸一下课本的上表面，从一端摸到另一端，好，再摸一下你课桌的面，摸完了你发现了什么？王婷说一下你的想法 生：课桌的面比课本的面要大
师：真善于发现，好，请坐，大家再摸一下笔记本的面，和课桌的面比较一下，你发现了什么？大家一起说 生：课桌的面大
师：对，还是课桌的面大，再看一下黑板的面，和刚才摸的面相比怎么样？乃琛说一下 生：黑板的面最大
师：真善于观察，好，请坐，那黑板的面和教室地面相比呢？谁比较大？高翔说一下你的想法 生：地面大
师：地面比较大，非常好，谢谢你的回答。师：通过刚才的摸和看，我们知道了物体的表面有大有小，我们就把物体表面的大小叫做它们的面积。板书：物体表面的大小叫做它们的面积
师：物体表面的大小叫做它们的面积。课本面的大小叫做课本的面积，那课桌的面的大小呢？孙德倩说一下你的观点 生：课桌面的大小叫做课桌面的面积
师：不错，你说得很准确，请坐，那黑板面的大小应该怎么说？请双燕说一下
生：黑板面的大小叫做黑板面的面积
师：很好，你学得真快，请坐，请婷婷说一下地面的大小叫什么？ 生：地面的大小叫做地面的面积
师：说得很准确，请坐，看来同学们都已经知道了什么是物体的面积，以前我们学过很多封闭图形，大家看一下有哪些图形，一起说一下
生：长方形，圆形，正方形，三角形
师：那这些图形也有大有小吗？通过看大屏幕，你能看出长方形与正方形的面谁大谁小吗？刘芳说一下吧 生：长方形的面大
师:长方形的面比较大，观察得很仔细，请坐，那圆形的面与正方形的面相比呢？谁能说一下，邰文 生：正方形的面大
师：说得不错，请坐，四个图形中谁的面最大，谁的面最小？宗彦。生：长方形的面最大，三角形的面最小。
师：很会观察，请坐，谢谢，由此看来封闭图形也是有大有小，我们把封闭图形的大小叫做它们的面积
板书：封闭图形的大小
师：封闭图形的大小叫做它们的面积，那我们可以说长方形的面积比正方形的面积大，正方形的面积比圆形的面积大，那四个图形中谁的面积最大，谁的面积最小？王玉 生：长方形的面积最大，三角形的面积最小
师：很好，请坐，现在谁能试着用自己的话来说一下什么叫做面积？春丽先说一下
生：物体表面或封闭图形的大小叫做它们的面积 师：归纳的非常好，请坐，谁能再来说一下，奇潞 生：物体表面或封闭图形的大小叫做它们的面积
师；你归纳的很完整，请坐，我们把物体表面或封闭图形的大小叫做它们的面积
板书：物体表面或封闭图形的大小叫做它们的面积
3、比较面积大小的方法
师：通过同学们积极地动脑，我们知道了什么叫做面积，现在每个小组都有三张不同的长方形纸片ABC,还有若干小纸片，现在请大家以小组两三个人为单位比较一下纸片A和B的面积谁大谁小。待会请小组代表汇报结果
师：哪个小组来汇报结果，勇敢一点，乃琛 生：纸片B的面积比A大 师：能说一下你们比较的方法吗
生：将纸片A和B重合后发现纸片B还多出一块来，所以纸片B的面积比A大。
师：恩，真是简便的方法，谢谢你，大家看大屏幕，将将纸片A和B重合后发现纸片B还多出一块，所以纸片B的面积比A大。这种方法叫重叠法。
师：纸片A和B的面积我们很容易就能比较出大小，那纸片B与C的面积大小呢？请同学们利用老师发给你们的小纸片比较一下，我相信你们也能很快比较出大小。
师：哪个小组自告奋勇上来汇报一下结果和你们比较的方法
雪梅你来说一下吧
生：用最小的纸片摆纸片，B一共摆了20个，C也是20个，所以B与C的面积相等
师：这种方法真好，谢谢你，大家也是用最小的纸片摆的吗，还有其他方法吗？崔柳你说一下你的想法吧
生：我是用较大的纸片摆的，B一共摆了10个，C也是10个，所以B与C的面积相等
师；真会思考，也可以用这个纸片来摆，谢谢你。这两种方法都可以，请大家看大屏幕，用最小的纸片摆纸片，B一共摆了20个，C也是20个，所以B与C的面积相等，这种方法叫数方格
用较大的纸片摆的，B一共摆了10个，C也是10个，所以B与C的面积相等，可以看出较大纸片的面积是小纸片面积的两倍，对不对？ 生：对
师：老师有个疑问，不知同学可否帮我解答一下，比较纸片B和纸片C的面积大小时可以用圆形纸片来摆吗？看谁能当上我的老师，徳倩给我解答一下吧
生；因为圆形纸片不能将图形完全覆盖住
师：哦，我明白啦，因为圆形纸片摆起来留有空隙，不能完全将图形的面完全覆盖，所以不能用圆形纸片，谢谢老师
师：有个小糊涂在比较纸片B和纸片C的面积大小时，他是这样摆的，大家请看大屏幕，看一下这样摆可不可以？ 双燕说一下你的想法 生：不可以用不同的小纸片
师：对，我们应该选用统一的标准来比较对吗，请坐
师：这个统一的标准就是面积单位，我们常用的面积单位有三个：1平方厘米，1平方分米，1平方米
师：从学具中找出最小的纸片，举起来让老师看一下，这就是1平方厘米的大小，用直尺量一下它的四边长度是多少？它是什么图形？蒋文侠说一下
生：四条边都是1厘米，是正方形
师：对，很好，那你能试着说一下什么是1平方厘米吗 生：边长是1厘米的正方形的面积是1平方厘米 师：说得真不错，请坐，生活中有哪些物体的面积约是1平方厘米呢，胡敏说一下 生：举例
师：恩，你已经能体会1平方厘米的大小了，请坐，请看大屏幕，纽扣的面积，键盘上的按钮的面积，人的牙齿的面积都大约是1平方厘米。
师：大家想不想知道1平方分米多大？这个图形的面积就是1平方分米，大家用直尺量一下它的边长是多少？一起说是多少？ 生：10厘米或1分米 师：是什么图形，大家一起说 生：正方形
师：边长是1分米的正方形的面积是1平方分米
师：生活中有哪些物体面积约是1平方分米，请看大屏幕，饭盒和鼠标垫的面积大约是1平方分米
师：通过上面的学习，谁能试着说一下什么是1平方米。佳琪说一下吧
生：边长是1米的正方形的面积是1平方米。
师：很好，听课很认真，请坐，大家看一下大屏幕，课桌面的面积，餐桌的面积大约是1平方米。
智慧宫
师：现在我们已经学习了面积和面积单位的知识，接下来考验一下大家，准备好进入智慧宫闯关了吗？ 师：第一关，按顺序找出并修改小马哈的日记中的错误 师：找到了哪些错误？宗彦这排每人说一个吧
生：应该改为1平方米的餐桌，2分米的筷子，1平方厘米的门牙，6平方分米的手帕。
师：大家回答得都很好，第一关通过，我们进入第二关，填上合适的单位，大家继续努力。
师：从王玉依次往后每人回答一个问题，相信大家能够顺利通关 生：邮票是6平方厘米，地面是40平方米，方桌是1平方米，封面是3平方分米，篮球场是360平方米。
师：大家真棒，第二关通过，我们进入第三关，比较平面图形的面积大小，选婷婷来闯关吧，生：第一个图形是7个小格第二个是8个小格所以填小于号 师：婷婷答对了，闯关成功，请坐
师：同学们真棒，我们进入第四关，也就是最后一关，选择正确的答案并说明理由，双燕来迎接最后的挑战吧。生：选3和4 师：我们一起来验证一下看她说的对不对，红色部分是甲的面积，蓝色部分是乙的面积，很明显乙的面积大，所以3是正确的，再看一下这个图形是什么图形？长方形对边相等，所以甲乙的周长是相等的，4也是对的。双燕果然不负众望。
课 题：三角形面积的计算
时 间：2012.11.22 第一节 地 点：多功能教室 五一班 教学目标：
1.创设学生自主探索三角形面积计算方法的学习情境，通过实践操作，猜想验证，交流讨论等学习形式，推导出三角形面积计算的公式，并能运用公式计算三角形的面积，解决一些实际生活中的面积计算问题。2.通过操作、交流，观察、比较，使学生发现三角形的面积与长方形、平行四边形的面积之间的联系，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决新问题的能力，发展学生的空间观念；
3.激发学生探索问题、发现问题的情趣，培养学生的创新意识、数学应用意识和实践能力。
教学重点：理解并掌握三角形面积计算的公式。教学难点：三角形面积计算公式的推导过程。课前准备：师：辅助教学课件、红领巾、三角形
教学过程：
一、复习铺垫
1、比较面积大小（1）：
（1）计算下面长方形和平行四边形的面积： 屏幕出示：
（2）出示红领巾:计算它的面积？不会平行四边形的面积＝底×高，你认为三角形的面积可能是怎样算的呢？（指名反馈）
二、实践操作
1、用直角三角形拼图形。（1）师生谈话：（指名回答后教师小结：这是两个完全一样的直角三角形）（2）用这两个直角三角形，你能拼成哪些平面图形？四个同学为一组，讨论讨论，拼拼看。
（3）学生分组操作交流，教师巡视。
2、用锐角三角形和钝角三角形拼
（1）两个完全一样的锐角三角形是否也能像直角三角形一样拼成长方形或平行四边形呢？
（1）两个完全一样的钝角三角形能否也拼成平行四边形呢？
（3）拼成的平行四边形的面积与一个锐角三角形和一个钝角三角形的面积之间有怎样的关系？你认为三角形的面积可以怎样算？ 通过以上试验，同学们想一想，你发现了什么？(1)、两个完全一样的三角形都可以拼成什么图形(2)、每个三角形的面积等于---.（3）、这个平行四边形的底等于---.（4）、这个平行四边形的高等于---.3、小结，得出三角形面积的计算公式。
4、介绍字母公式。
三、拓展练习
1、例题：学生独立完成，集体订正
2、课本做一做: 学生独立完成，集体订正
3、练习第一题：强调学生认真看图，解决问题 全课小结，板书设计：
三角形面积的计算
长方形的面积 ＝平行四边形的面积 ＝
三角形的面积 = S ＝
长 × 底 ×底 ×× h 高
高
÷2
宽
在初中阶段，三角形作为一种基本图形，其题型多种多样，下面我就将能利用三角形面积解决的部分题型罗列如下，供大家参考。
[示例1]直角三角形ABC，∠C=90€埃珻D⊥AB于点D，AB=13，AC=12，BC=5，求CD的长。
解法一：（作图）∵∠C=90€埃珹B=13，CB=5
∴sinA==
=
CD=
解法二（作图，利用面积解）：
∵S△ABC=BC€譇C=30
∴S△ABC=ABCD=30
∴BC€譇C=AB€證D
CD=
[示例2]如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，BD是等腰三角形AC边上的高，猜想PE、PF和BD之间具有怎样的数量关系。
证法一：过P点作PM⊥BD于M，
∵BD⊥AC，PF⊥AC，
∴∠PMD=∠MDF=∠DFP=90€？
∴四边形DFPM为矩形
∴PF=MD，PM∥AC
∴∠MPB=∠C
又∵△ABC是等腰三角形，AB=AC
即∠ABC=∠C=∠MPB
又∵∠PEB=∠BMP=90€埃珺P=BP
∴△BEP≌△PMB
∴PE=BM
又BD=BM+MD，PE=BM，PF=MD
∴PE+PF=BD
证法二：
连接AP则S△ABC=AC BD
又由S△ABC=S△ABP+S△ACP=AB PE+AC PF=AC（PE+PF）
∴AC（PE+PF）=AC BD
∴PE+PF=BD
很明显以上两例中，利用面积的解法比解法一简单一点，也利于学生接受和记忆。本文在此只做抛砖引玉之举，能够为广大教育工作者提供一种启示，一种思路。在教学过程中，往往一题有多种解法，我们不妨给予学生适当的提示与鼓励，培养他们的发散性思维，往往能收到良好的效果。
（责任编辑 刘 馨）endprint
中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）12-0055-01
在初中阶段，三角形作为一种基本图形，其题型多种多样，下面我就将能利用三角形面积解决的部分题型罗列如下，供大家参考。
[示例1]直角三角形ABC，∠C=90€埃珻D⊥AB于点D，AB=13，AC=12，BC=5，求CD的长。
解法一：（作图）∵∠C=90€埃珹B=13，CB=5
∴sinA==
=
CD=
解法二（作图，利用面积解）：
∵S△ABC=BC€譇C=30
∴S△ABC=ABCD=30
∴BC€譇C=AB€證D
CD=
[示例2]如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，BD是等腰三角形AC边上的高，猜想PE、PF和BD之间具有怎样的数量关系。
证法一：过P点作PM⊥BD于M，
∵BD⊥AC，PF⊥AC，
∴∠PMD=∠MDF=∠DFP=90€？
∴四边形DFPM为矩形
∴PF=MD，PM∥AC
∴∠MPB=∠C
又∵△ABC是等腰三角形，AB=AC
即∠ABC=∠C=∠MPB
又∵∠PEB=∠BMP=90€埃珺P=BP
∴△BEP≌△PMB
∴PE=BM
又BD=BM+MD，PE=BM，PF=MD
∴PE+PF=BD
证法二：
连接AP则S△ABC=AC BD
又由S△ABC=S△ABP+S△ACP=AB PE+AC PF=AC（PE+PF）
∴AC（PE+PF）=AC BD
∴PE+PF=BD
很明显以上两例中，利用面积的解法比解法一简单一点，也利于学生接受和记忆。本文在此只做抛砖引玉之举，能够为广大教育工作者提供一种启示，一种思路。在教学过程中，往往一题有多种解法，我们不妨给予学生适当的提示与鼓励，培养他们的发散性思维，往往能收到良好的效果。
（责任编辑 刘 馨）endprint
中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）12-0055-01
在初中阶段，三角形作为一种基本图形，其题型多种多样，下面我就将能利用三角形面积解决的部分题型罗列如下，供大家参考。
[示例1]直角三角形ABC，∠C=90€埃珻D⊥AB于点D，AB=13，AC=12，BC=5，求CD的长。
解法一：（作图）∵∠C=90€埃珹B=13，CB=5
∴sinA==
=
CD=
解法二（作图，利用面积解）：
∵S△ABC=BC€譇C=30
∴S△ABC=ABCD=30
∴BC€譇C=AB€證D
CD=
[示例2]如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，BD是等腰三角形AC边上的高，猜想PE、PF和BD之间具有怎样的数量关系。
证法一：过P点作PM⊥BD于M，
∵BD⊥AC，PF⊥AC，
∴∠PMD=∠MDF=∠DFP=90€？
∴四边形DFPM为矩形
∴PF=MD，PM∥AC
∴∠MPB=∠C
又∵△ABC是等腰三角形，AB=AC
即∠ABC=∠C=∠MPB
又∵∠PEB=∠BMP=90€埃珺P=BP
∴△BEP≌△PMB
∴PE=BM
又BD=BM+MD，PE=BM，PF=MD
∴PE+PF=BD
证法二：
连接AP则S△ABC=AC BD
又由S△ABC=S△ABP+S△ACP=AB PE+AC PF=AC（PE+PF）
∴AC（PE+PF）=AC BD
∴PE+PF=BD
很明显以上两例中，利用面积的解法比解法一简单一点，也利于学生接受和记忆。本文在此只做抛砖引玉之举，能够为广大教育工作者提供一种启示，一种思路。在教学过程中，往往一题有多种解法，我们不妨给予学生适当的提示与鼓励，培养他们的发散性思维，往往能收到良好的效果。
教学内容：人教版第九册第五单元第84-85页及做一做，练习十六相关题目。教学目标：
1.通过动手操作活动，引导学生推导三角形面积的计算公式，并通过推导理解掌握三角形面积的计算公式。
2.会运用三角形面积计算公式解决实际问题。
3.通过学生小组合作操作探究，渗透旋转、平移、转化的数学思想，引导学生用多种方法推导公式，发散学生的思维，培养学生求异思维的能力。
4.指导学生用转化的数学方法进行数学学习，培养学生善于动手，勤于思考的良好习惯。
教学重点：探索并掌握三角形面积计算公式，能正确计算三角形的面积。教学难点：三角形面积公式的探索过程。
教学关键：让学生经历操作、合作交流、归纳发现和抽象公式的过程。教具准备：课件、平行四边形纸片、两个完全一样的三角形各三组、剪刀等。学具准备:每个小组至少准备完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各两个，剪刀。教学过程：
一、以旧引新：
1.请同学们回忆一下：（1）已经会计算哪些平面图形的面积？分别找找它们的面积同哪些因素有关？（2）能说出平行四边形面积计算公式的推导过程吗？
2.教师引导：同学们，上节课，我们把平行四边形转化成长方形来探索平行四边形面积的计算公式的。大家猜一猜：能不能把三角形也转化成已学过的图形来求面积呢？
3.我们每天都佩戴红领巾，你们知道它的面积吗？那怎么才能求出呢？3.今天，我们就一起来研究三角形的面积。（板书课题）
二、自主探究，合作交流 1.分组实验，合作学习。（1）提出操作和探究要求。
屏幕出示讨论提纲：①用两个完全一样的三角形摆拼，能拼出什么图形？ ②拼出的图形与原来三角形有什么联系？
让学生拿出课前准备的三种类型三角形（各两个）小组合作动手拼一拼、摆一摆或剪拼。
（2）学生以小组为单位进行操作和讨论。2.展示学生的剪拼过程，交流汇报。
（1）各小组汇报实验情况。（让学生将转化后的图形贴在黑板上，再选择有代表性的情况汇报）
可能出现以下情况：（用两个完全一样的三角形摆拼）
（两锐角三角形）（两钝角三角形）（两直角三角形）（两等腰直角三角形）
（2）课件演示：用旋转平移的方法将三角形转化成各种已学过的图形。提问：通过实验，你们发现了什么？每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？
（3）演示特殊推导过程。
①演示一个等边三角形和一个等腰直角三角形各沿高剪开后拼成长方形、正方形的实验。
②演示用“对折法”（分别将三角形的三个内角向底边对折，转化成长方形）和“中线底高分割法”（找到高和另外两条边的中点，三点连成一线，沿着这两条线剪开，拼成一个长方形）推导三角形面积的过程。
（4）学生看后选择适合自己的方法边操作边说推导过程进行巩固理解掌握。3．归纳公式：
根据学生讨论、汇报，教师进行如下板书： 三 角 形 面 积=拼成的平行四边形面积÷2 三 角 形 面 积=底×高÷2 S=ah÷2 4.课件出示数学资料。
三、练习巩固 例2：你能计算出红领巾的面积吗？100厘米33厘米S=ah÷2=100×33÷2=1650（cm2）答：红领巾的面积是1650cm2。判断题：(1)两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。（√）（3）一个三角形的底和高都是4厘米，它的面积就是16平方厘米。（×）三角形面积是8平方厘米
一种三角尺的形状如右图，7.2cm它的面积是多12.5cm少？(2)三角形的面积是平行四边形的面积的一半。（×）与它等底等高思考题下图中哪个三角形的面积与涂颜色的三角形的面积相等？为什么？你能在图中再画出一个与涂颜色的三角形的面积相等的三角形吗？试试看。同底等高的三角形面积相等。教学反思：
本教学设计力求突破传统教学模式，充分体现以“学生发展为本”的教学理念，在获取新知识的过程中，大胆放手，引导学生自主探索，培养学生的创新意识和实践能力，通过教学，有以下几点想法。
1.联系生活，让学生学生活中的数学。
《新课程标准》强调，从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历实际问题，抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的。在教 学中，应注重所学知识与日常生活密切联系，使学生在观察，操作等活动中，获得对简单图形的直接经验。因此，在学习新课之前。我给学生布置任务，要求每个学 生做6个三角形和观察红领巾，让学生懂得要知道做一条红领巾要多大的布，要用数学知识去解决，从而使学生认识到数学源于生活，生活中处处有数学，而生活中 的问题，要用数学知识去解决，这样激发了学生的学习兴趣。
2.引导学生自主探索，体验成功的乐趣。
数学知识只有通过学生亲身主动的参与，自主探索才能转化为学生自己的知识，本节课，为学生提供一个动手实践，自主探索，合作交流的学习的平台，引导学生 主动探索观察、发现、讨论、图形与已学图形之间的内在联系，大胆推导三角形的面积公式，把学生置于主体，把学习数学知识转化为数学活动，在活动中，学生通 过拼、摆，畅所欲言，介绍自己的拼法和推导的过程，使学生真正体验到学数学的乐趣，切实提高了课堂教学质量。
3.本节课充分发挥了计算机辅助教学的功能，直观、形象动态地展现知识的形成过程有效地突破教学难点，帮助学生深刻理解新知，建立清晰表象，并有效地节约教学时间，提高教学效率。
教学目标 1理解三角形面积公式的推导过程，正确运用三角形面积计算公式进行计算.
2培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力.
知识重点 理解三角形面积计算公式，正确计算三角形的面积
教学难点 理解三角形面积公式的推导过程
学生准备的学具 每个学生准备三种类型三角形(每种类型准备2个完全一样的)和一个平行四边形。
教学过程 教学方法和手段
引入 1.出示平行四边形
提问：
(1)这是什么图形?计算平行四边形的面积。(板书：平行四边形面积=底×高)
(2)底是2厘米，高是1.5厘米，求它的面积。
(3)平行四边形面积的计算公式是怎样推导的?
2.出示三角形。三角形按角可以分为哪几种?
3.既然平行四边形都可以利用公式计算的方法，求它们的面积，三角形面积可以怎样计算呢?(揭示课题：三角形面积的计算)
教师：今天我们一起研究“三角形的面积”(板书)
教学过程 开始探索
(一)推导三角形面积计算公式.
1.拿出手里的平行四边形，想办法剪成两个三角形，并比较它们的大小.
2.启发提问：你能否依照平行四边形面积的方法把三角形转化成已学过的图形，再计算面积呢?
3.用两个完全一样的直角三角形拼.
(1)教师参与学生拼摆，个别加以指导
(2)演示课件：拼摆图形
(3)讨论
①两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形能帮助我们推导出三角形面积公式吗?为什么?
②观察拼成的长方形和平行四边形，每个直角三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系?
4.用两个完全一样的锐角三角形拼.
(1)组织学生利用手里的学具试拼.(指名演示)
(2)演示课件：拼摆图形(突出旋转、平移)
教师提问：每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系?
5.用两个完全一样的钝角三角形来拼.
(1)由学生独立完成.
(2)演示课件：拼摆图形
6.讨论：
(1)两个完全相同的三角形都可以转化成什么图形?
(2)每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系?
(3)三角形面积的计算公式是什么?
7、引导学生明确：
①两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形。
②每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。(同时板书)
③这个平行四边形的底等于三角形的底。(同时板书)
④这个平行四边形的高等于三角形的高。(同时板书)
(3)三角形面积的计算公式是怎样推导出来的?为什么要加上“除以2”?(强化理解推导过程)
板书：三角形面积=底×高÷2
(4)如果用S表示三角形面积，用a和h表示三角形的底和高，那么三角形面积的计算公式可以写成什么?
―――――――――――――――――――――――
教学例1
红领巾的底是100cm，高33cm，它的面积是多少平方厘米?
1.由学生独立解答.
2.订正答案(教师板书)
课堂练习P85做一做
P86~87练习16
小结与作业
课堂小结 [单击此处输入课堂小结]
课后追记
本课用了两个相同的三角形拼成一个平行四边形，化未知为已知，一定要让学生亲自来拼摆，把可以目前可以计算和暂时无法计算的摆放方法都摆出来，再进行区分，选择可以计算的方法，虽然会占用一点课堂时间，但是学生记忆深刻，对公式的理解也比较深刻。动手能力也得到一定的加强
这个方法在以后的求面积上仍然会应用到，因此有必要让学生多动脑筋想想如果割补，化未知为已知。
第4课：三角形面积计算的练习
教学内容 三角形面积计算的练习(P86练习十八5～10题)
教学目标 1.是学生比较熟练地应用三角形面积计算公式计算三角形的面积。
2.能运用公式解答有关的实际问题
知识重点 运用所学知识，正确解答有关三角形面积的应用题
教学过程 教学方法和手段
一、基本练习
1.填空。
(1)三角形的面积=，用字母表示是。
为什么公式中有一个“÷2”?
(2)一个三角形与一个平行四边形等底等高，平行四边形的底是2.8米，高是1.5米。三角形的面积是()平方米，平行四边形的面积是()平方米。
2、练习十六2题
二、指导练习
1.练习十六第6题：下图中哪两个三角形的面积相等?(两条虚线互相平行。)你还能画出和它们面积相等的三角形吗?
⑴生用尺量一量这两条虚线间的距离，搞清这两条虚线是什么关系?
⑵看看图中哪两个三角形的面积相等?为什么?
⑶分组讨论如何在图中画出一个与它们面积相等的三角形，并试着画出来
2.练习十六第7题
(1) 让学生尝试分。
(2) 展示学生的作业
可能有：a、根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们的面积就必然相等。而要找这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某一边4等份，再将各分点与这边相对的顶点连接起来即可。
b、也可把原三角形先二等分，再把每一份分别二等分。
3、练习十六9*
让学生抓住涂色的三角形的底只有平行四边形底的一半，它的高和平行四边形的高相等，平行四边形的面积=底×高，三角形的面积=(底÷2)×高÷2，所以三角形的面积等于48÷4
4.练习十六第3题：已知一个三角形的面积和底，求高?
让学生列方程解和算术方法解，算术方法176×2÷22，要让学生明确176×2是把三角形的面积转化成了平行四边形的面积。
教学过程
小结与作业
课堂小结 (1)三角形面积(底和高一定要对应)
(2)也可以通过和同底等高平行四边形面积的关系来求解
课后追记
在上面的小结中，我提到了有多组底和高的情况下计算三角形面积，一定要选择互相垂直的底和高来计算才可以。
在课堂上，我一直注重学生的情感，对于那些积极动脑，热情参与学习的同学，我都会给予表扬和鼓励，使学生在课堂上的情感和兴趣始终保持在最佳状态，保证在教学活动中达到一定的学习效果。在讨论以前所知图形与现在所学图形之间的联系的教学活动中，我让学生大胆推导三角形的面积公式，放手让学生自己利用前面学习的长方形和平行四边形面积公式推导经验，动手把三角形转化成已经学过的图形，如长方形和平行四边形，并让学生通过找图形之间的联系，自主合作的方法从不同的途径探索出三角形的面积计算方法，在這一环节的教学中，我十分注意以学生为主体，教师为帮手的作用，让学生主动合作操作、合作讨论，在充分感知、理解的基础上总结出三角形的面积计算公式，并利用三角形的面积计算公式解决实际问题，从而达到了教学目的。记得，在这一环节的教学中，学生展示了多种推导三角形面积公式的方法。如，一部分学生把两个完全一样的三角形通过旋转、平移转化成一个平行四边形，推导出三角形的面积公式，一部分学生用一个直角三角形沿中位线剪开，翻转90度，拼成一个长方形，推导出三角形的面积公式，还有一部分学生用一个三角形沿三角形的右上角到对腰的中点剪下，翻转180度，拼成一个平行四边形，推导出面积公式。利用这样的教学方式可以做到，数学教学是在学生已有的基础知识的前提下进行的，还充分发挥了学生的自主性和合作性，实实在在地给了学生进行合作、探究、发现、创新的时间和空间，真正体现了学生是学习的主人，教师是教学的组织者、引导者和参与者，发展了学生的合作能力和创新能力，让学生把已有的知识经验自主地转化成为新学的知识，体现了迁移、转化作用，教师经过课堂小结的点拨，有效地提高了课堂教学质量。
总之，数学教学不仅是一门科学，而且是一门艺术，在教学活动中要最大限度激发学生学习的兴趣，让学生大胆推导，让他们懂得灵活地利用所学知识解决实际问题，让学生在愉快的学习活动中，最大限度地调动他们学习的积极性和主动性，使他们轻松愉快地学习。
（作者单位 青海省西宁市湟源县大华镇大华明德小学）
《三角形面积》这节课的内容是在平行四边形面积计算的基础上进行教学的，主要是引导学生通过学习习近平行四边形的面积公式推导去理解和掌握三角形面积公式。根据课程新理念，让学生自主来学习，师做适当的相应指导。因此，教学中教师注重了学生动手操作，从操作中，发现问题，解决问题。
1、拼拼摆摆，动手操作,创造性的使用教材
在教学中，丰老师让学生动手操作，将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，并比较每个三角形与拼成的平行四边形各部分间的关系，同时在操作中向学生渗透旋转、平移的方法，让学生体验和感知三角形面积公式的推导过程。在这个过程中，学生们表现出了浓厚的兴趣，个个都很积极、很投入地动手操作，极大调动了学生思维活动。学生真正成为了学习的主体。
2、引导学生发现问题、思考问题，培养合作精神
在这节课中，平行四边形面积公式与三角形面积公式有何不同，是值得引导学生去发现的问题，只有发现了不同之处，才能进一步去思考、去探索研究三角形面积公式中的“除以2”是怎么来的？也才能在今后的计算中省去不必要的麻烦。在探讨这个问题时，也可以采用小组讨论的方式，在讨论中发现问题，解决问题，决不能包办代替。小组讨论既可培养学生的合作精神，又可活跃课堂气氛。
SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4(这是海伦公式的变形，“负号“－”从a左则向右经过a、b、c”，负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期！我觉得这么记更简单，还设个什么l=(a+b=c)/2啊，多此一举！)
证明：设边c上的高为 h,则有
√(a^2－h^2)＋√(b^2－h^2)=c
√(a^2－h^2)=c－√(b^2－h^2)
两边平方，化简得：
2c√(b^2－h^2)=b^2+c^2-a^2
两边平方，化简得：
h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))
SΔABC=ch/2
=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2
仔细化简一下，得：
SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4
用三角函数证明！
证明：
SΔABC=absinC/2
=ab√(1-(cosC)^2)/2————（1）
∵cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
∴代入（1）式，（仔细）化简得：
关键词：三角形；抛物线；铅垂线；面积
【分類号】G633
总之，抛物线中有关三角形面积最值求解方法还有很多，比如图形割补法，铅垂线法等，不能一味的死记硬背，要体会方法的本质，本文主要从分为以下两种方法：1.过抛物线上的动点作与三角形一边的平行线，与抛物线有且只有一个交点时，此时所求三角形的面积最大，点P即为所求点；2.利用铅垂线分割法过抛物线上的点P作y轴的平行线，设出P点坐标，将三角形面积的最大值转化为与P点横坐标x有关的一个二次函数来求解.
参考文献：
【1】杨建.抛物线弓形三角形面积最大值的探究《中学数学杂志》2011年第8期 63，64页
【2】吕金才.顶点在抛物线上的三角形[1].中学生理科月刊，2012.5
教学目标：
1.通过指导实际操作，帮助学生理解、掌握三角形面积计算公式，并能运用它正确计算三角形的面积;
2.使学生明白事物之间是相互联系，可以转化和变换的。
3.通过交流，观察、比较，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展学生的空间观念。
教学重点：探究三角形面积公式的推导过程，掌握和运用三角形面积计算公式进行计算。
教学难点：理解三角形面积计算公式。
设计特色：针对本课的知识特点，课前设计目的性明确、可操作性强的前置性作业，充分调动学生学习的热情，提高课前预习的效果，为成功的课堂教学做好铺垫;在课堂上，运用小组交流的学习方式，每个成员都有机会展示自己，小组交流后再进行全班的汇报，根据学生汇报的情况教师有目的地板书，然后引导学生观察、比较，进而推导出三角形的面积计算公式。
教学过程：
一、导入：
1、平行四边形面积计算公式是怎样推导的?
总结：把没学的图形转化成已经学过的图形从而推导出面积计算公式。
2、今天，我们也用同样的方法推导三角形面积计算公式，板书课题。
二、讨论
小组交流课前小研究。
三、推导
1、汇报课前研究的方法，老师根据学生的汇报有目的地板书。
2、推导三角形面积计算的公式。
四、应用
1、教学例1
2、强调格式
五、练习
1、下面平行四边形的面积是12平方厘米，斜线部分三角形的面积是多少?
(口答，并说出理由)
2、判断：
(1)三角形的面积是平行四边形面积的一半。
(2)三角形的高是2分米，底是5分米，面积是10分米。()
3、说出求下面三角形的面积
板书设计：
课前小研究
研究者：班级：
前言：我们已经学过用转化的方法，把平行四边形转化成已经学过的图形，从而推导出它的面积计算公式，请你想一想：能否也把三角形转化成我们已经学过的图形，从而研究三角形面积的计算方法?
(可以在学具盒或在附图中选材料)
1、我用的材料是：
我的做法(文字或画图表示)：
我的结论：
2、我用的材料是：
我的做法(文字或画图表示)：
我的结论：
3、我用的材料是：
我的做法(文字或画图表示)：
我的结论：
4、我用的材料是：
我的做法(文字或画图表示)：
我的结论：
在设计教学环节时我注意了学生已有的知识基础和经验背景，按照学生的认知规律组织教学，先复习了平行四边形面积的推导过程，然后让学生去探究三角形的面积计算方法。根据学生已有的知识由旧引新，衔接自如。
充分体现“动手做数学”的理念是这节课的又一亮点。纵观本节课，处处都充满了“做”。建构主义认为：小学生数学学习应该是一个主动构建知识的过程。小学生的数学知识不应该完全被动的吸收课本知识，而应该让他们在丰富生动的思维活动中“做数学”。
本节课通过学生的动手操作、实践探索两个环节，时时处处体现了学生在“做数学”，而教师也真正起到了一个好的组织者、引导者和参与者的作用。使学生在一个轻松、和谐、民主的氛围中探索出了三角形面积的计算方法，获得了成功的体验，增加了学好数学的信心，不仅培养了学生的动手操作能力，还培养了学生解决问题多样化的意识。
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