解三角形应用举例简单

解三角形应用举例简单（精选6篇）

解三角形应用举例简单篇1

●教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语

过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正

情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ●教学重点

实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●教学难点

根据题意建立数学模型，画出示意图 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

1、[复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、[设置情境]

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。Ⅱ.讲授新课

（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

[例题讲解]

(2)例

1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=51，ACB=75。求A、B两点的距离(精确到0.1m)

启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。解：根据正弦定理，得

ABsinACB =

ACsinABC

AB = ACsinACB

sinABC = 55sinACB

sinABC =

55sin75 sin(1805175)= 55sin75

sin54 ≈ 65.7(m)答:A、B两点间的距离为65.7米

变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？

老师指导学生画图，建立数学模型。解略：2a km 例

2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=， ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得

AC = BC =

asin()= asin()

sin[180()]sin()asin = asin sin[180()]sin()计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离 AB =

AC2BC22ACBCcos

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20

评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。Ⅲ.课堂练习

课本第13页练习第1、2题 Ⅳ.课时小结

解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 Ⅴ.课后作业

解三角形应用举例简单篇2

关键词：三角形,重心,充要条件

三角形的重心 (即三角形三条中线的交点) 有一条重要的性质, 它在研究与三角形重心有关的问题中应用非常广泛, 且使问题的解决会达到事半功倍的效果, 现通过举例说明如下, 以供参考。

一、性质

若O是三角形内一点, 则O是三角形的重心的充要条件是:

OA+OB+OC=O (注:黑体字母均表示向量)

证明: (1) 充分性: (即:若OA+OB+OC=O, 则O是三角形的重心)

由于OA+OB+OC=O, ∴OA=- (OB+OC) , 即OB+OC是与OA方向相反且长度相等的向量.以OB、OC为邻边作平行四边形BOCD, 则OD=OB+OC, ∴OD=-OA.在平行四边形BOCD中, 设BC与OD相交于E, 则BE=EC, OE=ED.

∴AE是△ABC的边BC上的中线且|OA|=2|OE|, ∴O是三角形的重心.

(2) 必要性: (即:若O是三角形的重心则OA+OB+OC=O)

由于O是三角形的重心, 连结OA、OB、OC, 并延长OA到D交BC于E且使得OE=ED, 则|OA|=|OD|, 连结BDCD则BOCD是平行四边形, 由向量加法的平行四边形法则得到OB+OC=OD, 又∵OA=—OD, ∴OA=— (OB+OC) ∴OA+OB+OC=O

综上 (1) (2) 所述有:O是三角形的重心的充要条件是OA+OB+OC=O.

二、应用举例

例1:设D、E、F三等分△ABC的所在各边, 即BC=3BD, CA=3CE, 及AB=3AF, 证明:△ABC和△DEF有相同的重心.

分析:设点O是△ABC的重心, 则OA+OB+OC=O.

而OD+OE+OF= (OB+BD) + (OC+CE) + (OA+AF) = (OA+OB+OC) + (BD+CE+AF) =13BC+13CA13+AB=13 (BC+CA+AB) =O

∴点O也是△DEF的重心, 故△ABC和△DEF有相同的重心.

本题通过应用三角形重心的这一性质和向量加法运算法则, 非常简便地解决了两个三角形共重心的问题.

例2:已知:G1、G2分别是△A1B1C1与△A2B2C2的重心且A1A2=e1, B1B2=e2, C1C2=e3, 试用e1, e2, e3表示G1G2.

分析:∵G1G2=G1A1+A1A2+A2G2 (1)

(1) + (2) + (3) 得:3G1G2= (G1A1+A1A2+A2G2) +

∵G1、G2分别是△A1B1C1与△A2B2C2的重心

说明:本题运用向量运算法则, 构造具备三角形重心这一性质的向量等式, 使得已知和未知之间建立等量关系, 从而用已知来表示未知.在本题中, 三角形重心的这一性质起到了事半功倍的作用.

例3:已知△ABC的重心G, O为始点, OA=a, OB=b, OC=c, 试用a、b、c表示OG.

分析:∵OG+GA=OA=a (1)

∵G是△ABC的重心∴GA+GB+GC=O

∴3OG=a+b+c, 即OG= (a+b+c) /3

三角函数线学习要点及应用举例篇3

运用三角函数线来解决数学问题，必须正确找出各个三角函数线，并能正确用符号表示这些三角函数线的数量.第一，规范特殊点的书写符号，如点（1，0）是单位圆与x轴正向的交点，就用A来表示；终边与单位圆的交点固定用P来表示，过P作x轴的垂线的交点记为M，则MP就是正弦线，OM就是余弦线.第二，由于三角函数线是有向线段，因而在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.凡含原点的有向线段，均以原点为起点；不含原点的有向线段，均以坐标轴上的点为起点.符号表示的规范化和程式化，便于解题过程中正确使用.

一、三角函数线在三角函数学习中的应用

1. 解释三角函数定义

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），则OM=x，MP=y与sin α=y，cosα=x相对照.用单位圆上三角函数线来解释三角函数，可以使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，也使三角函数反映的数形关系更直接明了，为后面讨论其它问题奠定基础.

2. 方便记忆三角函数在各个象限内的符号

由三角函数线的作法和三角函数的定义可知，某一个三角函数在同一个象限内的符号是一样的.如正弦的符号取决于P点的纵坐标y的符号，余弦的符号取决于横坐标x的符号，若P点在第二象限，x＜0，y＞0.事实上，当P点在第二象限时，正弦线MP的方向是向上的，数量为正，余弦线OM的方向是向左，数量为负，因此第二象限的正弦为正，余弦为负；同样可得正切是负的.其余各象限内的三角函数的符号也可一一确定.

3. 明晰三角函数的定义域

对任意角α，正弦线和余弦线总是存在，只是其数量和方向会发生变化，因此它们的定义域是R.但当P点落在y轴上时，终边OP所在的直线就是y轴，与单位圆过A（1，0）的切线AT没有交点，从而正切线（有向线段）就不存在，因此当终边落在y轴上时，正切没有意义，也即y=tanx的定义域为{x|x≠kπ+π2，k∈Z}.

4. 加深对三角函数性质的理解

当点P从A（1，0）开始，按照逆时针方向旋转时，终边OP对应的角按照0→π2→π→3π2 → 2π→ …→4π→…的规律周而复始地变化着，正弦线MP的数量按照 0→ 1→ 0→-1→ 0 → …的规律周而复始地变化着，余弦线OM按照1→0→-1→0→1→…的规律周而复始地变化着，正切线AT按照 0→+∞→0→-∞→0→ …的规律周而复始变化着.当点P沿着单位圆按逆时针方向运动时，它的各个三角函数线的数量则显现出周期性的变化.特别的，正切线是由终边所在的射线或是它的反向延长线与单位圆的切线AT的相交得到的有向线段，它在P点沿着圆周运动一周时，正切线AT的数量重复变化了两次，从而正切函数的周期是正弦和余弦的周期的一半.

同样，当角α从-π2→-π4→0→π4→π2变化时，其正弦线的数量从-1→-22→0→22→ 1逐渐增大（长度变化：长→短→长，方向变化：负→正），即随着角α值的增大，正弦值相应增大，从而正弦函数在-π2，π2上是单调递增的.正弦函数在其他区间上的单调性、其他函数的单调性也都可以从它们相应的三角函数线的变化过程中得到验证.

5. 辨别同角三角函数的基本关系

由单位圆中构造出以任意角α的正弦线MP、余弦线OP为直角边的Rt△OMP和以OA、正切线AT为直角边的Rt△OAT.

在Rt△OMP中，MP2+OM2=1，得出同角三角函数的基本关系之一：sin2α+cos2α=1；

由Rt△OMP∽Rt△OAT，MPOM=ATOA，得出同角三角函数的基本关系之二：sinαcosα=tanαα≠kπ+π2，k∈Z.

6. 推导三角函数的诱导公式

由于单位圆具有很好的对称性，因此可以通过对单位圆上对称点对应的角的三角函数线来推导诱导公式.下面我们以诱导公式（二）：f（π+α）=±f（α）为例来进行探究.

图1

如图1，设角α的终边OP与单位圆的交点为P，则P点关于原点O的对称点P′也在单位圆上，且终边OP′对应的角是π+α.观察角α和π+α的各三角函数线，正弦线分别是MP和MP′，余弦线分别是OM和OM′，正切线都是AT，且MP =-MP′，OM =-OM′，AT=AT，即有：sin（π+α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα，tan（π+α）= tanα.

除了上面的一些应用外，三角函数线还有很多用处.比如，用三角函数线作三角函数的图象，并由此讨论三角函数和各项性质;用三角函数线推导三角公式等等，本文不再一一例举.

二、三角函数线在解决数学问题中的应用

1. 求三角函数的值

例1已知cosα=-35，求sinα，tanα的值.

图2

解由cosα=-35，即余弦线OM=-35，如图2，作直线x=-35，与单位圆有两个交点P-35，45和P′-35，-45，可得到α是第二或第三象限的角，则由几何关系得正弦线MP=45，MP′=-45，AT=-43，AT′=43.即当α在第二象限时，sinα=45，tanα=-43;当α在第三象限时，sinα=-45，tanα=43.

2. 比较三角函数值的大小

例2设0＜α＜π2，试比较sinα与cosα的大小关系.

图3

解如图3，在单位圆中，sinα=MP，cosα=OM.

因为0＜α＜π2 ，所以sinα＞0，cosα＞0，即MP＞0，OM＞0，所以sinα=|MP|，cosα=|OM|.

当0＜α＜π4时，π4＜∠OPM＜π2，所以∠OPM＞α，所以|OM|＞|MP|，所以cosα＞sinα；

当π4＜α＜π2时，0＜∠OPM＜π4，所以α＞∠OPM，所以|MP|＞ |OM|，所以sinα＞cosα；

当α=π4时，α=∠OPM，所以|OM|＞|MP|，所以sinα=cosα.

综上，当α∈0，π4时，cosα＞sinα；α∈π4，π2时，sinα＞cosα；当α=π4时，sinα=cosα.

3. 求三角函数的定义域

例3求函数y=sinx+cosx-12的定义域.

图4

解由sinx≥0，cosx-12≥0，得sinx≥0，cosx≥12，

如图4，图中阴影部分（1）（x轴上方的半圆部分）和阴影部分（2）（扇形OPP′）的公共部分对应的角即为不等式组的解.

所以函数的定义域为x |2kπ≤x≤2kπ+π3，k∈Z.

4. 证明等式和不等式

例4证明：cosx1-sinx=1+sinxcosx.

图5

证明将正弦和余弦值分别用正弦线和余弦线的数值代入，由图5知，本题即证OM1-MP=1+MPOM.作PR⊥y轴于R，即证RPRB=B′RRP.

而此式是Rt△PBB′中的射影定理，故所证命题成立.

例5已知α∈0，π2，求证：sinα＜α＜ tanα.

图6

证如图6，因为0＜α＜π2，所以 sinα=MP＞0，cosα= OM＞0，tanα=AT＞0.

因为S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，所以12OA·MP＜12·α·|OA|2＜12OA·AT，

即MP＜α＜AT，所以sinα＜α＜ tan α.

5. 解决三角综合问题

例6求证：cos （α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.

图7

证明如图7，∠AOB =α，∠BOP =β，作PQ⊥OB于Q，PM⊥OA于M，QN⊥OA于N，QG⊥MP于G，则GQ∥OA，所以∠AOB=∠OQG =α.

又因为PQ⊥OB，所以∠QPM= α，由三角函数线定义，有

cos （α+β） =OM=ON-MN=ON-GQ=OQcosα-QPsinα=cosαcosβ-sinαsinβ.

三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种几何表示方法，它是数形结合思想在三角函数中的充分体现，熟练掌握三角函数线的概念及应用，对于开阔思路、提高解决问题的能力，很有益处.

巩固练习

（2） sin1，cos1，tan1的大小关系是.

（3）满足|cosα| ＞|sinα|的α的取值范围.

（4）设MP和OM分别是角11π18的正弦线和余弦线，则给出以下不等式：① OM＜0＜MP；② MP＞OM＞ 0；③ OM+MP＞0；④ MP+OM ＞1.

其中正确的是.

2. 求函数y=lg（2sinx-1）+1-2cosx的定义域.

3. 证明：若α为锐角，则sinα+cosα＞1.

4. 证明：1+tan2α=1cos2α.

5. 若sin2x＞cos2x，求x的范围.

解直角三角形的应用教案篇4

教学目标：1.使学生能运用解直角三角形模型，将斜三角形问题转化为解直角三角形。

2.通过对比练习，使学生体会到用斜三角形构造直角三角形，要构造为可解(含特殊角)的直角三角形。及方程思想的运用。

教学重点：

将斜三角形问题转化为解直角三角形和实际问题转化为数学模型。

教学难点：

将斜三角形问题转化为解直角三角形及方程思想的运用教学过程：

一、让学生回忆解直角三角形的依据和哪两种情形？

依据：1.边的关系（勾股定理）2.锐角的关系（互余）3.边角关系（锐角三角函数关系式）情形有：1.已知两边，2，已知一边一锐角，二、练习直接解直角三角形

试一试：如图，在RtΔABC中，已知∠C=90°，(1)若AC=3,AB=5,求 sinA ；（已知两边）

(2)若AC=3, ∠A=60°,求BC；（已知一条直角边和一个锐角）

(3)若AB=5，∠A=60°,求BC.（已知斜边和一个锐角）

三、解斜三角形

变式：1）如图1，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AC=4，求AB。2）图2 中，∠B=135°，∠C=30°，AC=4，求AB。

图1

CC图2

四、用解斜三角形解决实际问题

典型中考题赏析：

将实际问题化为解斜三角形

例：（2013遂宁）如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，船B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少?（结果保留根号）

方程思想的渗透

变式训练：如果将上题中“C在B的北偏东15°方向”改为“C在B的北偏东30°方向”,其它条件不变，你能解吗？

小结：解决与斜三角形有关的实际问题

北450AC北300B的方东

法是构造可解的直角三角形（1）形内构造（2）形外构造

练习：如图，海岛A四周45海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行18海里到C，见岛A在北偏西45˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？

解三角形应用举例简单篇5

《解直角三角形的应用》数学教学反思

掌握直角三角形的边角关系并能灵活运用；会运用解直角三角形的知识，利用已知的边和角，求未知的边和角；能结合仰角、俯角、坡度等知识，综合运用勾股定理与直角三角形的边角关系解决生活中的实际问题。

《课程标准》中指出“教学中应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学之间的联系，感受数学的.整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力”，注重对学生对知识间的沟通与联系进行讲解，将这些知识点灵活组合，通过综合性题目所提供的信息，搜寻解决问题的相关知识点，找出解决问题的方法。在平时教学中能讲到中考一模一样的题目的可能性微乎其微.那怎么办,教给学生思考方法和解题的策略往往更有用.这样可以举一反三,会一题可能就会掌握一类题,并在学生理解之后及时复习巩固,努力把新方法新技巧纳入到原有的知识体系中。在解题中应该尽量的让题目一题多解,或者多提一解,尽量在学生思维的的转折点处进行点拨,这样最有效。