在初中数学学习中就学过图形的对称问题, 比如点关于点的对称, 图形关于直线的对称等。而在高中数学中, 函数里存在对称关系, 平面几何里也存在对称关系。下面, 本文就简单举例介绍一下平面几何中几种常见的对称关系
点关于点的对称问题可用中点坐标公式得出, 是最基本的对称问题, 是解答其他对称问题的基础。
求直线L1关于点P (x0, y0) 的对称直线L2。做法如下:在L2上任取一点A (x, y) , 点A关于点P的对称点A′在直线L1上, 通过求A′点坐标, 代入L1方程即可。
若两点P1 (x1, y1) 与P2 (x2, y2) 关于直线L∶Ax+By+C=0对称, 则线段P1P2的中点在对称轴L上, 而且连接P1, P2的直线垂直于对称轴L。
对称的点P2的坐标 (x2, y2) , (其中A≠0, x1≠x2)
此类问题一般转化为关于直线对称点来解决。若已知直线L1与对称轴L相交, 则交点必在与L1对称的直线L2上, 然后再求出L1上任一个已知点P1关于对称轴L对称的点P2, 那么经过交点及点P2的直线就是L2;若已知直线L1与对称轴L平行, 则与L1对称的直线和L1到L的距离相等, 由平行直线关系和两条平行直线间的距离, 可求出L2的对称直线。
例1:求直线3x-y-4=0关于点P (2, -1) 对称的直线L的方程。
解:设直线L上任意一点为 (x, y) 关于P (2, -1) 对称点 (4-x, -2-y) 在直线3x-y-4=0上。
即3 (4-x) - (-2-y) -4=0,
化简得3x-y-10=0,
所以所求直线L的方程为3x-y-10=0。
例2:已知直线L:y=3x+3。求直线y=x-2关于L的对称直线的方程。
解:设直线L:y=x-2关于直线L对称的直线为L2,
则L1上任意一点P1 (x1, y1) 关于直线L对称的点P2 (x2, y2) 一定在L2上, 反之也成立。
把 (x1, y1) 代入y=x+2, 整理得7x2+y2+22=0,
所以所求直线方程为:7x2+y2+22=0。
例3:已知直线y=ɑx+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称, 求ɑb的值。
解:∵f (x, y) =0关于直线y=x对称的曲线为f (y, x) =0,
∴y=ɑx+2关于y=x对称的直线方程为x=ɑy+2。
又∵直线x=ɑy+2应与直线y=3x-b重合,
例4:已知直线L:2x-3y+1=0, 点A (-1, -2) 。求:
(1) 点A关于直线L的对称点A1的坐标;
(2) 直线m:3x-2y-6=0关于直线L的对称直线m1的方程;
(3) 直线L关于点A (-1, -2) 对称的直线L1的方程。
思路分析: (1) 设出A1的坐标, 由AA1⊥L和AA1的中点L在上建立方程求解即可。
(2) 在m上任取一点M, 求M关于L的对称点M1, 直线L与m的交点为N由两点式求得直线m1。
(3) 在直线上任取两点M、N, 求关于A的对称点M1, N1, 由两点式得方程。
(2) 在直线m上任取一点, 如M (2, 0) , 则M (2, 0) 关于直线L的对称点M1必在直线m1上。
又∵m1经过点N (4, 3) ,
∴由两点式得直线m1的方程为9x-46y+102=0。
(3) 在L:2x-3y+1=0上任取两点, 如M (1, 1) , N (4, 3) , 则M, N关于点A (-1, -2) 的对称点M1, N1均在L1上。
易得M1 (-3, -5) , N1 (-6, -7) ,
再由两点式可得L1的方程为2x-3y-9=0。
(1) 处理对称问题要搞清几个转化:线关于点对称转化为点关于点对称;线关于线对称转化为点关于线对称。
(2) 点关于点对称是以已知点与对称点连成线段的中点为对称中心;点关于直线对称要抓住两点: (1) 是已知点与对称点的连线与对称轴垂直; (2) 是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上。
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