《穿珠成链》苏教版教材内容整体设计探讨

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出“教师要以数学学科核心素养为导向，明晰数学学科核心素养在内容体系形成中表现出的连续性和阶段性，引导学生从整体上把握课程”，要求教师避免知识碎片化，实施整体教学、单元教学[1].如何进行整体教学，目前各地都在积极探索.实际上，整体教学是一种教学理念与追求，没有统一模式，更不能简单地变成知识的集中讲授，整体教学应根据具体数学内容的特点，寻求内在的“一”，一以贯之，实现相应知识的整体贯通.苏教版高中数学教材为我们提供了很好的示范，在许多内容处理时采取整体把握，便于教师实施整体教学.本文以苏教版高中数学教材部分内容为例，对整体教学作一探讨.

1一个情境：贯通数学生成过程

数学知识的生成过程，包括数学概念形成，数学规律的发现，数学性质的提炼，数学知识的应用等.虽然数学生成过程是整体的，应该让学生整体了解某数学内容的生成过程，但在具体教学时，由于课时分解，必然会将这一整体过程分解成若干“碎片”，借助一个合适的情境使这些“碎片”有机联成一个整体，使学生形成完整的建立数学的过程.例1关于函数概念的建立过程，教材三次使用“温度曲线”，分别用于建立函数概念，探索函数性质，应用函数解决问题，通过“温度曲线图”的三次观察，不断地建立函数知识，使学生学会建立在苏教版必修1“函数的概念和图象”这一节，教材第一次出现温度曲线，旨在让学生通过具体实例，体会两个非空数集之间的一种特殊的对应关系(单值对应)，构建函数的一般概念，体会函数是描述变量之间依赖关系的重要模型，教材能够从实际背景方面，帮助学生理解函数概念的本质，更好地培养学生用运动变化的观点、函数的眼光去认识世界的思维习惯.在“函数单调性”这一节，教材第二次出现温度曲线，通过观察这个气温变化图，说出气温在哪些时段内是逐渐升高的，在哪些时段内是逐渐下降的，提出问题“怎样用数学语言刻画上述某一时段内，随着时间的增加气温逐渐升高?”旨在通过生活实例，引出函数单调性的概念，感受函数单调性的意义，培养学生图形语言与代数语言相互转化的能力.苏教版高中数学教材必修1的第8章“函数与数学模型”，第三次出现温度曲线，通过提出问题：“怎样来研究气温的变化状况呢?”来引出3种研究方法.通过这个实例，让学生理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.关于情境问题，著名数学教育家弗赖登塔尔认为，周围的世界应该是学生探索的源泉，而数学课本从结构上应当从与学生生活体验密切相关的问题开始，发现数学概念和解决实际问题，实现数学化[2].苏教版高中数学教材很好地做到了这一点，教材充分利用学生的认知规律、已有的生活经验，三次使用跟学生生活体验密切相关的“温度曲线”，通过问题情境，分别建立函数概念，探索函数性质，应用函数模型来解决实际问题.同时教材能够兼顾当下的内容与以前及以后的知识的联系，能够站在更高的角度，通盘考虑，把教学内容做了一个全新整合，前两次使用温度曲线，在必修1的第5章;第三次使用温度曲线，在必修1的第8章，一个温度曲线的情境贯通了函数知识的生成过程.从“大处”着眼，把每个章节的内容作为一个整体内容进行一个大框架的解读，再在大框架下，建立一个系统的授课内容，这样的设计体现了苏教版教材的大单元教学设计理念.

2一个问题：贯通数学思想方法

数学思想方法促进数学的发展，让学生学会用数学的思想、方法解决问题是数学教学的重要目标之一，然而实际教学中，往往出现数学思想标签化，或者割裂化的现象.借助核心问题在一个系列知识过程中贯穿某一思想方法，使学生真正感悟、理解并会运用数学思想方法解决问题，使整个内容成为一个有机整体.例2解析几何基本思想方法为：几何问题代数化，这个思想方法对于近现代数学发展有着非凡的意义，要使学生真正理解并会运用这种思想方法，就需要多次运用恰当载体，围绕相同的问题，来运用这种思想方法.苏教版高中数学教材在研究直线时，提出“如何建立直线的方程?”“如何利用直线的方程研究直线的性质?”类似的问题在研究圆、椭圆、双曲线、抛物线的时候，多次出现.以下是教材中三个片段片段1：

直线是最常见的几何图形，直线也可以看成满足某种条件的点的集合.在平面直角坐标系中，当点用坐标(x，y)表示后，直线便可用一个方程F(x，y)=0表示，进而通过对方程的研究来研究直线.如何建立直线的方程?

●如何利用直线的方程研究直线的性质?

片段2：

圆是常见的几何图形，圆也可以看成满足某种条件的点的集合.在平面直角坐标系中，当点用坐标(x，y)表示后，圆便可用一个方程F(x，y)=0表示，进而通过对方程的研究来研究圆.如何建立圆的方程?

●如何利用圆的方程研究圆的性质?

片段3：

对于某一圆锥曲线，例如椭圆，也可以看成满足某种条件的点的集合.在平面直角坐标系中，当点用坐标(x，y)表示后，椭圆便可用一个方程F(x，y)=0表示，进而通过对方程的研究来研究椭圆.如何建立椭圆的方程?

●如何利用椭圆的方程研究椭圆的性质?

……

解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，高中教材解析几何部分有坐标系、直线、圆、圆锥曲线等章节内容，如何利用好这些载体，设计恰当的问题，更好地体现坐标法、数形结合等基本思想，是解析几何教材教学设计的重点关注问题.直线作为解析几何的开篇之作，虽然内容较为基础，但学习方法十分重要.基本学情是学生已经对直线相关性质有了初步的理解，本节课要重新以坐标化的方式来研究直线的相关性质，初步向学生渗透解析几何的基本思想和基本方法.苏教版新教材在直线这一章开始部分提出，直线也可以看成满足某种条件的点的集合，在平面直角坐标系中，当点用坐标(x，y)表示后，直线便可用一个方程F(x，y)=0表示，进而通过对方程的研究来研究直线，接着提出两个问题：如何建立直线的方程?如何利用直线的方程研究直线的性质?通过问题情境，从集合与对应的角度建构起平面上的直线与二元一次方程的对应关系，借助于数的精确性、可操作性来阐明直线的某些属性，实现了用代数的量化运算方法来研究几何图形的性质.从整体上，直线方程初步体现了解析几何的基本思想方法：用代数的方法研究几何问题，这为以后学习圆、圆锥曲线奠定了基础，起到了启下的作用.在研究圆、圆锥曲线时，类比直线的研究方法，提出问题如何建立圆(椭圆、双曲线、抛物线)的方程?如何通过方程来研究圆(椭圆、双曲线、抛物线)的性质?由于学生已经掌握了如何研究直线的性质和圆的性质的方法，因此在学习圆锥曲线时，学生可以类比，通过对圆锥曲线方程的讨论，探索出三种圆锥曲线的相关性质.三种圆锥曲线的几何性质可以通过代数方式得到，这大大降低了研究曲线性质的难度.解析几何内容丰富多样，彼此之间存在着内在的联系呈现出很强的层次性和系统性.古人云：“授之以鱼，不如授之以渔”，这句至理名言也道出了数学思想方法的重要性.数学思想是一种隐性的数学知识，要在反复的体验和实践中才能使个体逐渐认识、理解、内化为个体认知结构[2].苏教版高中数学教材解析几何部分，能够通过一个核心问题，在一个系列知识学习过程中贯穿着解析几何的基本思想方法，使学生真正感悟到数学思想是对数学知识和方法本质的认识，数形结合是研究曲线与方程的最重要的思想方法，它既能分析其代数意义，又能揭示其几何意义，它将数量关系与空间形式巧妙结合在一起.一个核心问题，贯通数学思想方法，这样的问题设置使整个内容成为一个有机体.

3一个模型：贯通数学研究内容

在设计单元内容时，既要考虑知识的逻辑过程，还要考虑知识的历史过程以及学生的认知过程，只有有机地融合这些过程，才能使学生清晰地理解整个研究内容，这时候，借助一个合理的模型作为载体，从多维度来不断提出研究的内容，使之成为一个有机体.

例3立体几何是研究三维空间中各种数学对象的建立、对象之间的关系，最有代表性的简单模型是长方体，借助长方体，可以建立立体几何的研究内容，包括空间几何体的概念.空间点线面之间的位置关系等.

为了研究立体图形，苏教版教材必修2立体几何初步这一章，先从最简单的例子开始，抬头看一下我们的教室，把教室抽象成一个长方体.在必修2立体几何这一章，先后八次出现长方体模型长方体模型是发展空间想像能力的基本模型，通过对长方体的整体观察，让学生直观认识长方体的结构特征，理解空间点、线、面的位置关系.教材以“观察这个熟悉的模型，有哪些基本的元素，基本元素之间具体有什么关系?”开启立体几何这一章的研究之旅.在研究必修2立体几何初步第二节“点、线、面之间的位置关系”时，教材借助长方体模型，并以长方体为主线，使学生在直观感知的基础上认识点、线、面之间的位置关系.教材通过大量的观察、实验、操作和思辨论证，使学生逐步理解直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面平行、平面与平面垂直的判定和性质.教材重视展现知识发生和发展的过程，如从观察长方体的棱、对角线与面的各种位置关系中，抽象出直线与平面的三种位置关系，接着又从两条平行的棱中选一条，观察它通过形成平面的过程中，直观感知直线和平面平行的判定方法.再通过对直线与平面平行定义的深入分析和探索，发现并论证了直线与平面平行的性质定理，这样既达到了教学目的，又降低了学生学习立体几何的难度，同时也帮助学生逐步形成空间想像能力和推理论证能力[3].教材多次使用学生熟悉的长方体模型，既符合学生的认知规律，也培养了学生对几何学习的兴趣，增进学生对几何本质的理解.立体几何是高中数学教学的一个重要内容，它是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间，所以，学习立体几何对我们认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义.苏教版高中数学教材立体几何整个内容设计能够遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，多次借助实物模型长方体，从多维度来不断提出研究的内容，通过归纳和分析，让学生进一步研究认识和理解空间点、线、面之间的位置关系;通过引导和探究，让学生多角度、多层次地揭示空间图形的本质.教材多次利用学生熟悉的长方体模型，分别研究线线关系、线面关系、面面关系，一个长方体模型，贯通立体几何的研究内容.苏教版高中数学教材为我们提供了很好的示范，在教学中，作为一线教师，数学教学要以学科核心素养为导向，要重视知识的连续性，从“小单元”中释放出来，以更大的视野、更高的层面，实施整体教学、单元教学;要以“新课标”精神为指导，根据具体数学内容的特点，用活用好教材，寻求知识之间的内在的联系，实现知识的整体贯通.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[M].北京：人民教育出版社，2018

[2]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京：高等教育出版

社，2009[3]单墫，李善良.高中数学教学参考书·必修第二册[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2020