北京邮电大学高等数学

第1篇：北京邮电大学高等数学

拓展大学生高等数学竞赛优化高等数学教学

【摘要】拓展大学生高等数学竞赛作为优化高等数学教育质量的关键点，以当前高校高等数学教学工作开展情况为基础，结合近年来高等数学课程教学经验，对拓展大学生高等数学竞赛优化高等数学教学进行分析，以期起到提升高等数学课程教学质量的效果.

【关键词】拓展;大学生;高等数学;竞赛;教学

高等数学竞赛作为面向本科生的全国性水平测验，能够有效提升学生的数学思维与创新能力.通过有效拓展大学生高等数学竞赛，作为高等数学课程的补充，有助于优化高等数学教学工作.借助数学竞赛充分激发学生的学习兴趣，培养学生解决问题能力的基础上，为学生提供一个展示自我的机会.

一、拓展大学生高等数学竞赛的必要性

通过有效开展大学生高等数学竞赛，可以满足一些日常学习生活中“吃不饱”的学生，为学生提供一个展示自我才能的机会，以此来充分调动学生的学习积极性.当前，高数课堂中经常出现一些学生“吃不饱”的现象，主要因为课堂讲述的知识倾向基础，而轻视对所学知识的训练，不能很好满足学生的学习需求[1].而数学竞赛的出现则可以有效弥补这一不足，数学竞赛作为全国性的知识竞赛，对一些课堂中“吃不饱”的学生而言具有较大吸引力.数学竞赛中设置的问题通常都是学生学习生活没有遇到过的，在解答问题时不仅需要学生具备专业知识，还要具备灵活使用其概念方法解题的能力.因此，竞赛对于学生而言是具备挑战性的，吸引学生进行知识探究，在探究知识过程中学生会亲身体验成功与失败，也会发现自己的不足，此种学习体验会使学生十分满足，为日后的学习发展奠定扎实的物质基础.

二、拓展大学生高等数学竞赛优化高等数学教学

(一)激发学生学习兴趣

众所周知，数学竞赛对于培养学生学习兴趣有许多帮助.兴趣作为最好的教师，一旦学生对高数课程产生浓厚的学习兴趣，就会主动参与到学习活动中，一门课程优异，就会树立学生的学习信心，对其他课程的学习具有一定作用，无形中提高学生解决实际问题的能力.因此，在课堂教学中教师需要鼓励学生积极参与数学竞赛，争取考取好成绩.以某高校为例，班级中共有5名学生参赛，有3名学生考取了十分优异的成绩，一时之间班级学生的学习热情被充分调动，整体学习能力也产生质的飞跃.

(二)借助数学竞赛，培养学生实践应用能力

高等数学作为理工科专业基础课程，相关的经济数学也是专业体系中的基础课程.高等数学是数学建模的理论基础，开展数学竞赛对于学生而言，可以有效强化自我解决问题的能力，帮助自己成为更符合社会岗位需求的人才.以机械类专业为例，部分大学生在毕业后只会制作一种零件，一旦某种条件出现变化，将很难进行创新.因此，教师需要在教学中，针对学生参赛表现总结学习问题，帮助学生总结解决方法.在参赛过程中学生虽然作图能力很强，但是数据分析能力相对较弱.基于此，教师需要对学生开展专项数据分析训练活动，为学生提供一些启发性的问题，激发学生的实践潜能.

(三)借助数学竞赛，培养学生创新思维

实践操作能力的高低往往取决于创新的能力，學生创新思维能力越强，实践操作能力也会随之增强，对学生日后的学习发展具有正面影响.一项发明若是所有人都能够熟练掌握，就不再具备独有优势，因此，要想使学生掌握更多的数学知识，就必须要注重实践创新.通过有效开展高等数学竞赛，激发学生的数学创新思维[2].通常情况，竞赛问题具有多种解法，对学生而言有助于强化自己的创新能力.高等数学竞赛中的选题多半是可以转变成教材知识的，如不等式，数列，函数题都是明确答案后再解答，会节省许多时间.对于校方而言，借助对竞赛成绩的统计可以得出科学检验教学成果，选取数学方面的潜在人才，对于参赛并获奖学生而言，增加个人荣誉的同时，对日后工作发展具有帮助.

(四)科学利用开放性，树立学习信心

事实上，全国性公开数学竞赛自身对学生具备较强的吸引力，竞赛为学生提供了一个展示自我的平台，参赛过程中学生会主动回顾所学知识，积累学习方法，发现他人长处与劣势时反思自己的行为.因此，学校方面需要积极开展数学竞赛，利用好竞赛试卷中的开放题.一般情况下，开放性试题是没有统一答案的，有助于学生在遇到问题时灵活选取方法应对问题.在教学中，教师需要为学生提供大量的竞赛开放题，吸引学生的注意力，这对于培养学生创新思维而言具有诸多帮助[3].数学竞赛问题相对训练题而言难度要更高一些，而开放题则是其中最难的部分，通过有效训练学生解答开放题的能力，从而不断提升学生解决问题的能力.在教学中教师可以鼓励学生自己出题，以小组为单位进行学习交流.通过开展专项训练，要求学生总结解题技巧与规律，进一步加深学生的学习印象.

三、结束语

综上所述，开展高等数学课程不仅是为了帮助学生掌握知识，更为关键的是培养学生的数学思维.通过拓展大学生数学竞赛活动，利用问题引导学生解析相关条件，学生可以从中发现自己的不足.针对学习不足制订学习方案，从而不断提升高等数学课程教学质量.

【参考文献】

[1]贾晓峰，杨晋，张明学.大学生数学模型竞赛与高等学校数学教学改革[J].工科数学，2000(2)：79-82.

[2]曾玖红.高校高等数学教学培养学生数学应用能力的研究和实践[D].长沙：湖南师范大学，2014.

[3]施俊，金亚东，谢正卫，蒋卫军.高等数学竞赛培训模式的探讨——以江苏技术师范学院为例[J].江苏技术师范学院学报，2012(2)：120-124.

作者：张浩驰 戴龙辉

第2篇：大学文科高等数学教学探讨

【摘 要】大学文科高等数学是大学文科生必修的基础课程，本文从大学文科高等数学教学方面谈了大学文科生学习数学的意义，以及如何调动大学文科生学习高等数学的主动性和积极性。

【关键词】大学 文科高等数学 教学

大学文科高等数学是针对大学文科学生开设的一门基础课程，它是对大学文科学生进行素质教育的必修科目。在专业要求不高、学时不多的情况下，教师应如何教好这门课程，是个值得深思的问题。作为数学教师，怎样做才能提高大学文科生学习数学的兴趣呢?

一 大学文科生学习数学的原因、目的及作用

1.大学文科生学习数学，是高等教育目的转变的需要

其实，作为未来从事意识形态、文化、文秘、管理以至领导等工作的大学文科生应该对数学的一些新特点有所了解，这样对加快我国现代化建设有着重大作用。柏拉图说过：“没有任何一门学问的学习能像学习算术那样强有力地涉及国内的经济、政治和艺术。数学的学习能够激励那些沉睡和不求上进的年轻人，促使他们发展智慧和增强记忆力，甚至取得超越自身天赋的进步。”所以，大学文科生学习数学势在必行。

2.大学文科生学习数学的目的是为了学习一些数学思想和数学方法

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质认识，是对数学规律的理性认识;数学方法是人们分析、处理和解决数学问题的根本方法，是数学思想的具体化形式。学生如果对数学这门课程的学习目的不明确，就会丧失学习数学这门课程的动力，就会淡化学习这门课程的兴趣。数学思想的教育无论是对数学学科的学习还是对其他学科的学习都是非常有益的。数学思想教育是直接影响到人的素质中的最基本的部分。加强数学思想教育有助于造就一大批创造型人才。应该说，通过从小学到中学再到大学的数学学习，最大限度地提高了人们的观察能力、分析问题和解决问题的能力、归纳总结的能力等。这就是大学文科生学习数学的本质目的。

3.大学文科生学习数学的作用

一提到高等数学，很多学生就会想到抽象的概念、难记的公式、复杂的推理、大量的计算，因此望而却步，兴致索然。其实通过学习数学，不但可以培养人的科学素养，而且可以培养人的思维能力，提高审美力，从而提高学习者的整体素质。日常生活中的很多问题都可以通过“数学思想方法”进行建模，再通过对模型的求解或者模拟来得到问题的解答。常用的数学思想有：数形结合思想、方程与函数思想、建模思想、分类讨论思想和化归与转化思想等。学习数学包括两方面的内容：一方面是数学知识(包括概念、公式、定理、题目等)的学习，另一方面是数学方法和思维的学习。在教学中老师更重要的是教给学生第二方面的东西，学习者学习第一方面是为了更好地运用和发挥第二方面。多年后学生可能会把一些概念定理之类的东西忘得一干二净，但数学方法和数学思维将在他头脑里根深蒂固，对他的思维方式起着重要的作用，可以受益终身。大学数学的思想是极限、无穷，而导数和微分是无穷细分的运用，积分是极限求和，无穷中存在极限，极限中尽显无穷。这些都是只用中学所学的知识无法理解和具备的思想，只有学习了大学数学知识的人才能懂得。

所谓的教学就是为了帮助学生有效地实现预期行为而精心设计的一系列获取相应经历体验所必须参与执行的活动安排。教师的主要职责就是在教学中，对学习者为取得预期行为而必须参与的那些活动进行有效的设计、计划、实施运行、组织管理以及校验评估。

二 协调好老师的教与学生的学的关系的做法

1.要建立一个学习目标，培养学生学习兴趣，充分发挥学生的主观能动性

我们可以采用启发问答式的教学方法，学生很希望老师通过启迪他们的智慧来达到获取知识的学习目的。这是一种较为理想的教学方法，既能调动学生的学习思维，引发学生学习的兴趣，又能摆脱学生学习抽象性理论知识的枯燥感。同时教师还应重视感情投资，密切师生关系。一堂好的数学课确实很讲究授课的艺术和技巧，它是整体教学计划和教育思想的一个有机组成。应考虑由浅入深、由点及面的扩展方式，讲求深度、广度、信度和效度。可以建立多种途径进行师生交流，比如可通过电话、邮件、QQ、面谈等途径与学生交流学习和生活内容。在教学过程中应力求把新鲜的感觉传递给学生，向学生介绍一些数学概念史、定理发现史以及数学趣味题等，这样既可以扩大学生知识面，又可以激发他们的求知欲。在课堂中为了活跃课堂气氛还可穿插一点小故事、小笑话、新闻消息来缓解学生的紧张情绪，抓住学生的眼球，调动他们的思维。教师应对教材内容进行大胆取舍，对课程中的重点与难点，要进行详细讲授，而对学生能够看书理解的内容尽量在课堂上不予讲授。

2.要狠抓基础，帮助学生正确理解概念和定理，活跃思维

了解学生，什么地方懂了，什么地方不懂，了解学生的学习方法和习惯，遇到的一系列问题可利用习题课去解决。

3.要善于启发引导和总结

把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络。将知识系统化、条理化、专题化、网络化，在传授知识的同时不忘灌输各种数学思想和方法，启发学生的创造性思维。思维的创造性程度是衡量思维能力高低的重要标志。良好的思维能力不是凭空而生的，它依赖于扎实的基础知识和技能，与一个人的思维素质所受的思维训练密切相关。根据数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性、系统性、应用的广泛性等特点，老师要为学生开拓思维空间，帮助学生破除因循守旧的思想，增加思维的自由度，鼓励学生探索，启发学生发现问题，互相讨论研究问题、解决问题。让归纳、类比、想象、猜想、直觉、灵感等技能在数学创造性思维机制形成过程中起到主导作用。

4.结合课堂讨论的教学方法

有必要时可以请同学上台讲授学习内容，在课堂上对一些问题进行讨论，把结果记入平时成绩，这样可大大调动学生学习的积极性。在教学中还可选取学生熟悉的生活实例或与专业相结合的实例作为引例、典型例子或思考题进行教学，使得教学内容结合专业、体现应用。多引导学生收集一些生活资料，比如人口问题、购房贷款问题、当地耕地面积问题、光的照度何时最大问题，甚至连女孩子穿高跟鞋比不穿高跟鞋时更漂亮等问题。其实这些看似与数学不相关的问题都用到了数学，因为数学在生活中非常普遍，生活中即使被使用到了，大家也察觉不到。通过收集到的资料使学生从中认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息，感受到数学思维广泛应用于人们的生活和工作当中。利用数学知识可使各学科相互交叉、相互渗透，从而增强了数学意识，又大大提高了学习数学的兴趣。

总之，要上好大学文科高等数学这门课，在教学中要掌握教师是主导、学生是主体的原则。不但要求教师在教学方法上有所创新，打破传统的“满堂灌”的教学方式，让学生真正成为课堂的主人，还应要求教师不断钻研，学习新知识，努力提高自己的专业知识和技能。教师只有博览群书，以渊博的知识、优雅的谈吐才能折服学生。形象地说要想给学生一滴水，教师必须准备一桶水。这是顺利进行教学的条件，也是提高学生学习高等数学的兴趣和提高教师的教学效果的重要保证。

参考文献

[1]张国楚.大学文科数学(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2007

[2]胡弼成.高等教育学[M].长沙：湖南大学出版社，2005

〔责任编辑：王以富〕

作者：欧阳芬

第3篇：大学数学建模竞赛与高等数学教学改革探讨

摘 要：随着科学技术的不断发展，数学教育得到了广泛的关注，同时，数学的基础性也体现了其重要意义，是数学使得这个复杂的社会和世界变得井井有条。因此，如何更好地发挥数学的作用就变成了现阶段研究的重要问题。当然，研究的主体是要和现实生活中接触最为直接的数学部分，那就是高等数学教学，这与近年来的大学数学建模竞赛有密切的关系，大学数学建模竞赛将能够有效地促进高等数学教学的改革。因此，文章就从大学数学建模的具体内涵入手，分析其基本的特点，然后分析数学建模竞赛与高等数学教学的结合点以及基本的结合意义，对促进高等数学教学改革、提升高等数学的教学质量也具有重要的意义。

关键词：数学建模竞赛;高等院校;高等数学;教学改革

一、大学数学建模的基本特点

为了更好地理解数学建模的基本特点，需要先明白数学建模的定义。一般而言，数学建模就是利用数学的基本知识，将现实生活的问题进行抽象化，然后，将这些抽象化的内容进行数学符号的加工和改造，最后为这些符号赋予数学的意义，进行相应模型的建立来解决现实中的问题。从基本的定义中可以清晰地认识到，大学的数学建模更加强调将现实中的问题抽象为数学问题，然后运用数学的方法解决，最后再回到现实中，解决现实的问题，这样的解决方式和方法是有重大的现实意義的，符合现阶段将数学运用到现实中来解决问题的思路，也符合当下高等数学教学改革的基本思路。

对于大学数学建模来说，最为重要的特点就是其具有应用性和综合性的基本属性。大学的数学建模在运用的过程中往往要涉及多种知识的运用，例如概率、积分等多个知识点，这就要求学生必须具备应有的基本知识。当然，掌握数学内部的知识进行建模只是第一步，学生也有必要了解其他的学科知识，这将有利于学生将现实中的实物转换为数学的模型。这种方式能够有效地整合学生的知识体系，形成一套全面的知识网络，同时也能够不断激发学生努力学习的欲望，使学生不断掌握各种知识，为自己的建模提供强大的知识支持。所以，基本的综合性和应用性是大学数学建模最为重要的特性。

当然，主动性和开放性也是大学数学建模不可忽视的属性特征。传统的“灌输式”教学方式极大地抑制了学生的创造性思维，严重阻碍了学生的发散性思维。而对于大学的数学建模来说，整个过程都是开放和自由的，允许学生多方向、多角度地解决问题。同时，学生之间的交流与合作极大地促进了学生主动性的发挥，也极大地促进了学生动手能力的提升，这样将能够不断激发学生的创造力，提升学生的创造性思维，对于学生的日后发展都起到了相当大的作用。总之，大学数学建模的意义重大。

大学的数学建模就是要将现实生活中的具体现象进行有效的简化和假设，让学生建立相应的数理模型，然后进行数学方式的分析和解决。可以看出，在大学的数学教学过程中，大学数学建模说到底还是一个不断探究的过程，也就是说大学中数学的探究性学习是大学数学建模的核心与本质。所以，这是大学数学建模在高等院校中运用的具体体现。大学的数学建模比赛具有开放性的特点，在整个数学的教学过程中正是需要这种开放性，让学生不断地加入数学的探究中，不断进行数学问题的分析，有效应用数学的方法来解决数学的问题，这是大学数学建模的魅力点，也是整个大学数学教学的关键点。

二、大学数学建模竞赛对于高等数学教学改革的建设性方法

1.推动整个高校数学教学改革

积极有效地培养高等院校学生的数学思维和数学能力是十分必要的，大学数学建模比赛就在于提升高校教学，主要是针对数学教学来说，为提升大学生的数学思维和数学分析能力指明了改革的方向和改革的力度。一方面，对于高等院校的学生来说，在经历了严格的高考选拔之后，他们已经具备了基本的数学素养和数学能力，但是这些能力还是比较薄弱的。当然，在大学中，数学已经不再像高中那样作为学习的主要科目，更重要的是作为一种工具，这就会直接导致许多学生放松对它的学习。因此，在大学数学教学改革方面，最为重要的是培养学生的数学思维能力，这个能力不能因为现代技术的飞速发展而逐渐退化，强大的数学思维能力能够有效地提升学生的思考能力和动手能力。另一方面，大学数学建模需要将现实生活的问题用数学的符号和语言进行表示。也就是说，在大学数学教学中，要强化大学生对于数学符号的运用能力，让学生能够使用数学的语言来有效地解决现实的问题，这个能力是现阶段大学生必须具备的。但是，我国的大学生往往不具备这个能力，可见，这将是未来高等数学教学的重要改革点。

2.将基本理论与现实生活相结合

中国的高等学校，大多数时候还是在培养纯理论性的人才，不重视应用型的人才，这是当前中国大学数学教学的弊端。但是对于大学数学建模来说，就是要将理论运用到现实生活中，让知识来造福人类。所以，大学数学建模将有效地带动整个高等数学教学改革向实际化发展，将强大的数学理论和知识与现实相结合。总之，在大学数学建模竞赛的巨大推动下，中国的高等数学教师可以有效地接受到现代数学教学的重点和新的思想方式，这将有效地带动整个高等院校数学教学的改革，使得高等数学不再是空中楼阁，而使其不断接触现实生活，为现实生活做贡献。

3.综合提升高校数学的教学方式和教学方法

无论是对于宏观层面的影响，还是对于微观层面的促进，说到底还是对于高等院校中数学教学的方式和方法的有效促进。良好的教学方法和方式将能够有效地带动整个高校数学教学的改革进程。当大学数学建模不断在中国大学中普及的时候，教师为了更好地带动整个学校的科研，就会不自觉地将大学数学建模的一些思想和方式在课堂上对学生进行讲解和分享，这种方式正是中国高等学校数学教学改革的曙光和希望，通过这种方式可以有效改变原来数学教学的缺点，使得数学变得更加具有实用性，使得学生更加乐于去学习，去研究现实生活，为高等院校的数学改革贡献自己的一份力量。

三、总结

现阶段的大学数学建模的不断普及，使得我国的高等院校的数学教学也迎来了改革的时代，带动着整个教学的巨大变革。由于中国社会的迅速发展，大学要不断地培养适应社会需要的实用型人才。因此，将大学数学建模的思想和方法不断地引进高等数学的教学中，将有效地提升高等数学的教学质量和水平，也能够不断地提升学生的热情，最终使学生具备分析问题、解决问题的能力。当然，教育改革的目的是顺利实现中国的科教兴国战略，同时为中国的现代化建设贡献力量。

参考文献：

[1]陈和生.大学生数学建模竞赛对大学教学的影响[J].成人教育，2010(10)：91-92.

[2]贾晓峰，杨 晋.大学生数学模型竞赛与高等学校数学教学改革[J].大学数学，2000(2)：79-82.

[3]张双德，杨灿荣.大学生数学建模大赛与高等数学教育改革[J].教学教育学报，1999(3)：64-68.

(作者单位：湖南中医药大学管理与信息工程学院)

作者：季梅

第4篇：大学 高等数学 竞赛训练 试题

一、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）计算下列各题（要求写出计算步骤）

1)

解：因为

所以，原式

2)设，求。

解：因为

……

……

所以。

3)求，其中。

解：

4)求幂级数的和函数，并求级数的和。

解：设，则有

上式两边关于求导得。

二、（本题共16分）设为数列，为有限数，求证：

1)如果，则

2)如果存在正整数，使得，则。

证明：1)因为所以存在有。

对任意的，存在整数，当时有

又因为存在整数当有，所以取

当时有

这就证明。

2)设，则有

。

三、（本题共15分）设函数在闭区间上具有连续的三阶导数，且。

求证：在开区间内至少存在一点，使得。

证明：因为，在之间，

所以，

其中，

又因为在上连续在之间，由介值定理可得，存在使得。

四、（本题共15分）在平面上，有一条从点向右的射线，其线密度为。

在点处(其中)有一质量为的质点。求该射线对质点的引力。

解：用微元法计算，设此射线上一小段为，其上一点的坐标为，此小段对质点的引力方向为，大小为，由此可得该射线对质点的引力为

五、（本题共15分）设是由方程所确定的隐函数，且具有二阶连续偏导数。

求证：和。

证明：此题是错题。

六、（本题共15分）设函数连续，为常数，是单位球面。

记第一型曲面积分为。求证：

证明：当时，。

当不全为零时，用微元法证明。

用平面去

切球面，其中

设平面切球面所得半弦长，则

所切小环带展开后长为，宽为

。

第5篇：大学高等数学 下考点分类

08-12年高等数学下考点分类

一、偏导数的几何应用

1.

[12]求曲面在点处的切平面和法线方程

解:

令，则

从而切点的法向量为

从而切平面为

法线方程为

2.

[08]设是曲线在点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数

解：方程组两端对求导，得

把代入得，解得，于是在点处的切向量为，单位切向量为

所求方向导数为

3.

[08]给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点。

证：令，则

从而曲面在点处的切平面为

，其中为动点。

显然时成立，故切平面均过。

二、多元函数的极限、连续、可微

1.

[12]证明函数在点不连续，但存在有一阶偏导数。

证明：因为

与有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数在点不连续。

又

，

或

，或

于是函数在点存在有一阶偏导数。

2.

[11]设函数。试证在点处是可微的

解

用定义求出

3.

[10]证明：在点(0,0)处连续，与存在，但在(0,0)处不可微。

解：(1)

4.

[09]

5.

[08]

函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的

必要

条件(填必要、充分或充要)，又是它在该点有方向导数的

充分

条件(填必要、充分或充要)

三、复合函数求导

1.

[12]设，则

0

2.

[12]设,则

3.

[12]设,

求

解

令，则

，于是用公式得

4.

[11]设,

则

5.

[11]设可微，且，则

6.

[11]设，其中可微，证明

证明

由于

7.

，将变换为下的表达式。

解：

8.

[09]

9.

[09]

设，其中函数具有二阶连续偏导数，求。

解：

10.

[09]

求由方程组所确定的及的导数及。

解：

11.

[08]

设有连续偏导数，则

12.

[08]

设，求

解：两边取微分，得

从而，

四、多元函数的极值

1.

[12]在曲面上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离。

解

设点为，则

等价于求在约束之下的最小值。令

且由

解得驻点，最短距离为

2.

[11]若函数在点处取得极值，则常数

3.

[11]设长方形的长、宽、高分别为，且满足，求体积最小的长方体。

解

令，2

由，求出唯一驻点6

由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为37

4.

5.

[09]

求函数在圆域的最大值和最小值。

解：方法一：当时，找驻点

，得唯一驻点

当时，是条件极值，考虑函数

，解方程组

可得

所求最大值为，最小值为。

方法二：设，则且，这变成一个简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为。

方法三：圆域可写成

最大值为4，最小值为。

[08]

设，则它有极小值

五、梯度、方向导数

1.

[12]函数在点处沿指向点方向的方向导数

2.

3.

[09]

求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快?沿哪个方向值不变?

4.

六、二重积分

1.

[12]

设是所围成的区域,

则

2.

[12]计算二重积分，其中

3.

[12]设函数在内有连续的导数，且满足。求

解

用极坐标

两边求导得，标准化为

于是

由得，故

4.

[11]计算二重积分，其中D是顶点为的三角形闭区域。

解:

5.

[09]

交换二次积分的积分次序：

。

6.

[09]

求锥面被柱面割下部分曲面面积。

解：

7.

[09](化工类做)

计算二重积分，其中为圆域。

8.

[08]

交换二次积分的积分次序

9.

[08]

求球面含在圆柱面内部的那部分面积

解：上半球面的部分为

七、三重积分

1.

[12]设为两球的公共部分，计算三重积分

解

由

当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，

当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，

于是分段先二后一积分，得

2.

[10]计算三重积分，其中是由所围成的闭球体.

解：

4’

4’

3.

[09]

计算。

解：此三重积分积分区域在面上的投影为，即圆域的上半部分，设此部分为，则

原式

4.

[08]

计算三重积分，其中.是由单位球面围成的闭区域.

解：由对称性

从而

八、曲线积分

1.

[12]设是抛物线介于点与点之间的那一段弧段，则曲线积分

2.

计算曲线积分，其中为摆线从点到点的弧。

解

由于

补两条直线是逆向的闭曲线，故

原式

或由曲线积分与路径无关，直接得

原式得

或取，由曲线积分与路径无关，直接得，原式

或者由是全微分表达式，凑微分，因

及

得

原式

3.

[11]假设L为圆的右半部分，则

4.

[11]计算,

其中是椭圆的正向一周

解:

由格林公式

5.

[11]计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点，为终点的光滑曲线

解

2

所求解问题与路径无关，选折线

7

6.

7.

8.

[10]计算

9.

.[10]计算

10.

[09]

11.

[09]

计算曲线积分，其中表示包含点在内的简单闭曲线，沿逆时针方向。

解：在的内部作圆并取逆时针方向，

的参数方程为

由格林公式有

12.

[08]

计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点为终点的光滑曲线。

解：由于，

从而只要路径不经过直线，该曲线积分就与路径无关

取路径，

九、曲面积分

1.

[12]

计算曲面积分

，式中是上半球面的上侧

解

补一个平面，取下侧，则原式

另法(看看:

归一化，多次换元够烦的)

即，上半球面指向上侧法线为，从而

,

原式=

2.

[12]

求曲面包含在圆柱面内那部分(记为)的面积。

解

记为在部分的面积，

或者

3.

计算,

其中是平面被圆柱面截出的有限部分

解

由题意或

从而

4.

计算曲面积分,其中为柱面介于与之间的在第一卦限部分的前侧.

解

补平面区域取上侧，

取下侧，

取左侧，

取后侧。与原来曲面形成封闭曲面的外侧,

围成由高斯公式

故

原式

5.

[10]

计算

6.

[10]

计算曲面积分其中为上半球面的上侧。

7.

[09]

向量场的散度为。

8.

[09]

计算曲面积分，其中是半球面的上则。

解：设为，并取下则，是围成的区域，由高斯公式得原式

9.

[08]

向量场的散度为.

向量场的旋度为.

10.

[08]

设曲面为柱面介于平面与部分的外侧，则曲面积分

0

，

11.

[08]计算曲面积分，其中是圆锥面位于平面之间下方部分的下侧

解：取上侧，则原式

十、微分方程

1.

[12]求定解问题的解

解

标准化

，由标准方程的解的公式，得

由初值条件，有，于是特解为

2.

[12]求微分方程的通解

解

对应的齐次方程为，解得特征根

非齐次项，与标准形式比较，从而得是单根，从而，可设特解为，从而，

，代入原来的微分方程，得

即

于是根据解的结构定理得，所求通解为

3.

[11]求微分方程的通解

解

方程即

4.

[11]求微分方程的通解

解

对应的齐次方程的特征方程为

对照非齐次项的标准形式不是特征根，故

特解的待定形式为，代入非齐次方程，得

从而原方程的通解为

5.

求解微分方程初值问题

解

是一个特解2

故通解为4

由，又

从而特解为6

6.

[10]设都是方程的解，则该方程的通解为

7.

[10]求微分方程的通解。

8.

[10]求微分方程的通解。

9.

[10]求微分方程

10.

[10]

求微分方程的通解。

11.

[09]

求如下初值问题的解

解：此为可降阶微分方程第三种类型。

设，则，原方程化为

变量分离两边积分得

由可得

解可得，

由可得

所求解为：。

12.

[09]

求方程的通解。

解：先求的通解，解特征方程得特征根，所以

的通解为

因为是单特征根，所以原方程有特解形式，代入原方程得

原方程通解为

13.

[08]

求微分方程的通解

解：，

，

14.

[08]

计算满足下述方程的可导函数，

解：原方程两端求导得

即，这是标准的一阶线性微分方程

原方程令得，代入通解得，从而

15.

[08]求解初值问题

解：方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，

特征根为，从而对应通解为

容易看出的一个特解为，因此原方程的通解为

从而，由初值条件可得。

因此

十一、级数

1.

[12]判别无穷级数的收敛性。

解

由于，故

而是收敛的的级数的常数倍，从而收敛。由正项级数的比较判别法可知无穷级数收敛。

2.

[12]求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。

解

比较标准幂级数，得

，

从而收敛半径为，收敛区间为

当时幂级数化为正项级数，

由于，从而与调和级数一样发散;当时幂级数化为交错级数，不绝对收敛，但，前一部分条件收敛，而后一部分减去的级数为正项级数，由于而收敛，从而由收敛级数的性质，当时幂级数收敛。

3.

[12]将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间。

解

利用，

从而

4.

[11]求幂级数的收敛域.

解

2

当时，由于，级数发散，3

当时，由于，由交错级数的莱布尼茨判别法知该级数收敛，5

故幂级数收敛域为6

5.

[11]将函数展开成麦克劳林级数，并确定其成立的区间.

解

由于，

3

从而7

6.

[11]设函数是以为周期的函数，，将其展开成余弦级数，并确定其成立的范围。.

解:

，1

5

所以

7

7.

[10]求幂级数的收敛域。

8.

[10]将函数展开成迈克劳林级数，并确定其成立区

9.

[10]

设函数是以为周期的周期函数，它在尚的表达式为，将其展开成傅里叶级数，并确定其成立范围。

10.

[09]

证明阿贝尔定理：如果幂级数收敛，则适合不等式的一切幂级数都绝对收敛;如果幂级数发散，则适合不等式的一切使幂级数发散。

11.

[09]

将函数展成余弦级数。

12.

[09]

求幂级数的收敛半径和收敛域。

13.

[08]

设且，试根据的值判定级数的敛散性。

14.

[08]

设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，试将展开成傅里叶级数。

15.

[08]

设，证明满足微分方程，并求。

第6篇：大学新生如何学好高等数学

大学新生可能对将要学习的高等数学产生畏惧心理，因为高等数学与初等数学相比，老师的授课方式和学生的

学习方法都发生了改变，如何帮助学生适应这些转变，提高学习效果，本人就这些问题提一点建议供同学们参考：

随着社会、经济、科技的高速发展，数学的应用越来越广，地位越来越高，作用越来越大，正因如此，确立了它在学校课程中占有重要地位,因此学好数学对将来的工作有很大的帮助。但是，学生由高中转入大学后，高等数学明显显示出与中学数学的差别，对学生的学习产生一定的影响。教师适时地给与指导，对帮助新同学克服学习困难会起到积极的作用。下面，浅谈以下几点看法。

一、高等数学与初等数学的区别对刚入大学的新生来说，高等数学与初等数学的主要不同之处在于高等数学的概念基本上都是以运动的面貌出现的，是动态的产物，而初等数学用静止的观点研究问题。在初等数学中，研究对象基本上都是常量，而高等数学研究的对象基本都是变量，常量与变量的区别，是静止与运动观点的具体体现。另外，高等数学与初等数学相比，其概念更复杂、理论性更强、表达形式更加抽象和推理更加严谨。正是由于高等数学与初等数学存在着如此大的区别，对于刚进大学的学生来说，学习起来就相当困难，以往在中学时形成的学习初等数学的教学方法和学习方法就无法适应新的要求，所以我们应积极探索一些适合高等数学需要的教学方法和学习方法。

二、在教学中应采取的方法

1. 概念的引入要适应学生的思维发展规律美国著名心理学家布龙菲尔德说：“数学不过是语言所能达到的最高境界”。这说明数学学科的高度抽象性和概括性，这些特点容易让学生对于高等数学的概念理解产生困难，不能深入理解其中的内涵,造成表面的形式理解，表现在做题时仅能够解答与例题类似的习题，遇到稍微变形的题目时，就不知如何下手，不会举一反三，灵活运用解题方法。因此，在教学中要研究高等数学概念的认识过程的特点和规律性，根据学生的认识能力发展的规律来选择适当的教学形式，讲解时，尽量由浅入深，多从生活中找素材进行引入，使学生慢慢理解消化。例如，在讲解定积分的概念时，要求曲边梯形的面积，根据他们以前掌握的知识，是没法准确得到的，怎样利用他们已有的知识去解决新的问题?教师这个时候，要有目的地去引导，把曲边形分割成几个矩形，矩形的面积求法，学生是很熟悉的，把几个矩形的面积相加，就可以近似地求出曲边梯形的面积。但是还是没法知道准确值，这时教师再适当的引导，把曲边梯形再进一步分割，让学生看到分得越多，得到的值就越接近准确值，最后求极限就可以把问题解决。通过这样慢慢的引导，学生能明白概念的来龙去脉，对概念的理解会深刻一点，也容易记住概念的实质，而不再死记硬背，起到事半功倍的效果。这种让学生也参与其中而不再被动接受知识的授课方式，能促进他们从中学的那种思维方式向大学学习的思维方式转变。 2.培养学生学习的兴趣

教师讲授新知识时，要采取各种各样的方法，调动学生学习的积极性，比如上课时多和学生交流，了解他们在想什么，学习数学时有什么困难，多关心他们，师生之间融洽的关系也能使学生学习的兴趣增加。在课堂上要坚持“教师是主导，学生是主体”的教学原则。讲课一定要做到思路清晰、重点突出、层次分明，对于重点、难点的地方，要不厌其烦，运用各种方法，反复解释，使学生理解其精髓;对于次要、简单的地方可以一带而过，让学生课后自学。课堂上只有精讲，才能给学生留出较为充裕的时间进行消化吸收。如果讲得太细，第一是时间不允许，第二是陷入繁琐的细节，反倒使学生抓不住要领。对于学生而言，听课只是从老师那里接受到了知识，若不经过消化吸收，就永远不是自己的东西。另外适当的时候介绍一下与所学的内容相关的数学典故，可以拉近学生与数学的距离，激励他们学习的热情。在讲解有些概念的时候，我们可以引用经典例子，让学生了解数学的发展历史，这样就可以使得课堂没有那么的枯燥无味。比如我们在讲解数列极限的时候就可以引用我国古代数学家刘徽的“割圆术”来了解极限的思想方法。他在计算圆周率的时候，为了计算圆的周长，将圆六等分。作圆的内接正六边形。则此六边形就比较接近圆周了，如此逐渐倍增分点数，依次作圆的正12 边形，正24 边形，正48 边形等等。刘徽说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，就是说，分点数越多，所作的圆内接正多边形越接近圆周。如此一直下去，则圆内接正多边形无限地接近圆周。当分割越多时，内接正多边形与圆的差异就越小，当无限增多时，则就无限接近圆的周长。在数学上我们就把这个精确的量称为数列的极限。这样给出数列极限的定义就避免了枯燥、太笼统，也使得学生产生了对数列极限学习的兴趣。老师还可以启发学生自己举出身边的一些有关数列极限的例子，从而增加课堂学习的气氛和乐趣。总之，让学生觉得高等数学并非深不可测，增强他们学习的自信心，逐渐适应高等数学的学习。只要因材施教，善于总结经验，找到适合学生特点的教学方法，就能使学生尽快适应高等数学的学习，取得良好的教学效果。

3. 引导学生尽快调整心态

学生的心态是影响听课效果的重要因素之一，教学是教师和学生互相适应的过程，大一学生刚从中学升入大学，对于大学数学课堂教学还不太适应，对于教师的依赖心理较强。一部分学生期望教师把知识讲深讲透，课堂完全解决问题，这种心理不能很好地适应大学的教学特点。教师要注意引导学生调整学习心态和学习方法，主动地适应大学数学的课堂教学，培养他们自学的能力，在教学中要允许学生有一个适应过程。在第一学期刚开学的前几周，我们注意到了由中学到大学应有一个衔接过程，讲课进度稍慢，较难的内容讲得详尽些，随着学生对大学数学的课堂教学的适应，讲课进度随之加快，并着重分析基本方法、重点和难点。如果学生能够尽快地调整好心态，主动适应大学数学的课堂教学，不仅能够使教师更好地发挥自己的教学特长，而且可以帮助学生培养学习能力，注意这一点，就会使课堂教学取得更好的效果。

三、要引导学生建立良好的学习习惯

古人曰：“凡事预则立，不预则废”。学习中也同样适用，也就是说在学习中预习也是很重要的，预习可以提高课堂学习质量，因为提前把知识点看过后，老师在讲新内容时，可以跟得上老师的思路，不至于遇到稍不理解的地方时，就对继续听讲产生障碍，从而不明白的问题越来越多，业余时间就需要花费大量时间理解、消化。另外带着问题听课，可以集中精神，把主要精力用在“刀刃”上。从小上学我们就提倡课前预习、课堂上认真听讲，课后复习巩固，这样的好习惯在我们学习高等数学时同样很有效，预习首先应从总体上把握所学内容，把以前与之有联系的内容浏览一遍。看哪些内容是自己学过的，哪些是自己新接触的，分析新知识与以前学的知识有什么联系和区别，比如预习“数列的极限” 一节时就要比较和高中所学的数列的极限有什么区别和联系，在听课时就可以有目的的听讲，看老师的讲解和自己的分析有什么相同和不同，仔细领会新学知识的要点。上课时一定要精神饱满、专心听讲，紧跟老师的思路，积极思考老师上课时提出的问题，遇到不理解的地方，一定和老师多交流，及时把问题解决，以免问题越积越多，影响后续课程的学习。课后复习巩固同样很重要，因为大学数学与高中数学教学相比，课时明显减少，一节课讲的内容较多，老师课后也不可能象高中那样安排时间领着学生复习，所以学生必须在课余时间自己复习巩固所学知识。课后一定要自觉的多做一些练习题，因为做练习不仅可以加深对内容的理解，使所学知识更加牢固，而且做练习题还可以检验自己掌握知识的程度。千万记住课前预习、课堂上认真听讲、课后复习巩固，三者缺一不可，在学习中切记不可偷懒，一步一个脚印，尽快适应高等数学的学习。另外，学生自己也应从心理上适应大学的数学学习。因为高等数学与初等数学相比，概念复杂、理论性强、推理严谨，这些特点很容易使学生对学好数学缺乏信心，进而对数学学习产生抵触情绪。要克服这种情绪，首先就要学生增强学好数学的自信心，克服害怕厌倦的心理，这是学好数学的前提。要消除这种消极的思想就要求学生在学习中能够懂得数学、应用数学，培养喜欢数学的兴趣，把握学习的主动权，提高学习的自觉性。

总之，刚跨入大学校门的大一学生，应尽快找到中学数学和高等数学的衔接点，尽快适应从中学到大学的转变。

第7篇：山东大学网络学院高等数学三

高等数学模拟卷3

一

求下列极限

1 lim1nntgn

解：不存在

xalim=1xaxaxa+xa2 求lim=lim =xaxaxaxalimax1xa-xa1lime2xx0 1lime2x0x0113 求limex02x=limex02x4limsinmxsinnxx0limmxnxx0mn

二已知xf(x)2xx0x0，讨论f(x)在x0处的导数

解：lim+x0f0xf0xf0xf0xlim+x0xx210

x0lim-lim-x0xxf(x)在x0不可导三

计算下列各题

1、已知ytan(lnx)求y

解：y3tan(lnx).sec2,223,lnx.

x

12、已知yf(x)，求y

2解： y=f(x).2x

四 证明

证明：

对于xf(x)dx

0a32a0xf(x)dx3212a02xf(x)dx，(a0)，其中f(x)在讨论的区间连续。

令x2t，则2xdxddt 且xa时ta2，x0时t0 左边xf(x)dx0a321212a0a02tf(t)dt2

xf(x)dx= 右边

证毕。

五

计算反常积分解dx1x2;

原式dx1+x2arctanx ;22

六

求(1y2)dx(arctanyx)dy的通解 解：方程化为dxdy11y2x11y2arctany

此方程为倒线性微分方程

xe1y2dy1(11y12arctanye1y2dy1dyc)

earctany(1y2arctanyearctanydyc)

eearctany(arctanyde(arctanyearctanyc)

arctanyarctanyarctanyec)

所以方程通解为xce

arctanyarctany1

第8篇：高等数学A课程教学大纲-北京师范大学数学科学学院

大学数学(B)

Undergraduate Mathematics (B)

【课程编号】(必备项) 【学分数】(12) 【学时数】(216)

【课程类别】(学科基础课) 【适用专业】(化生电体等) 【编写日期】(2007-5-24)

一、 教学目标

目前，我国非数学专业大学数学课程教学大体上分为三类四级：理科类 (大学数学A)、工科类 (含大学数学B和大学数学C)、文科类 (大学数学D)。它是为培养我国社会主义现代化建设在各个领域所需要的高质量专门人才而设立，其中大学数学(B)是工科类本科对数学要求较高的专业学生必修的一门重要基础理论课。通常适合如下专业：化学、电子商务、工商管理、会计、资源环境、环境工程、环境系统、资源环境与工程、信息管理系统、人力资源、公共卫生、体育经济等。

通过对大学数学(B)的学习要使学生掌握以下内容：

1、函数与极限;

2、一元函数微积分;

3、空间解析几何;

4、多元函数微积分;

5、无穷级数;

6、常微分方程;

7、线性代数(某些专业还需要概率统计)等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后续课程的学习和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

在教授这些知识的过程中，要通过各个教学环节和各种教学手段有意识地、有目的地逐步培养学生的实际运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力、抽象思维能力和自学创新能力，尤其还要注意培养学生综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容和学时分配

本课程安排分大学数学B(I)和B(II)两学期授课，总学时为216= 108+108，学分为12=6+6。

(一)总论(或绪论、概论等)

学时(课堂讲授学时+课程实验学时)

选词说明：在下面的表述中，对课程教学基本内容的要求由低到高的用词通常为：“了解”、“会„”、“理解”、“掌握”、“熟悉”等。

1 具体含义解释如下：

了解：能描述所讲内容的大概意思、用途和用法，能知道这些内容的出处并在需要时能随时查找出来。

会„：在对所讲内容了解的基础上，还要会应用这些知识去解决一些比较简单的理论或实际问题。如会求、会用、会解、会算、会建立、会判断、会陈述、会举出„实例等等。

理解：对所讲内容能用自己的语言进行讲解或作出解释，并能提出为什么„的原因。在“会„”的基础上，对所得结果能进行正确的评价。

掌握：在对所讲问题理解的基础上，还要能举一反三，触类旁通;对内容的实质内涵能正确提取并加以区分;能从不同角度对内容作出正确解释;能用比较简单的方法解决一些比较复杂的问题，并对结果作出正确估计。

熟悉：能综合利用所掌握的知识对新问题进行全面、正确的分析研究并制定合理的解决方案或方法，获得正确结果，并对这些方法和结果进行总结推广。 打*号的内容未计学时也不作要求，学生可自学，老师可选讲。

(二)主要内容(BI)：(共108学时) 第一章

函数、极限、连续

学时16(课堂讲授12学时+课程实验与习题课4学时)

1. 理解函数的概念及函数的特性(奇偶性、单调性、周期性、有界性)。 2. 理解复合函数和反函数的概念。熟悉基本初等函数的性质及其图形。 3. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 4. 理解极限的概念(对于给出

求N或不作过高的要求)，掌握极限四则运算法则及换元法则。

5. 理解极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，会用两个重要极限求极限。 6. 了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。 7. 理解函数的点连续和连续函数的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 8. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最值定理)。

第二章

一元函数微分学

学时28(课堂讲授22学时+课程实验与习题课6学时) 1. 理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些几何量和物理量。 2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3. 了解高阶导数的概念。掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。

2 4. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 5. 理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。

6. 会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。

7. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最值应用问题。 8. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 9. 了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 *10. 了解求方程近似解的二分法和切线法。

第三章

一元函数积分学

学时30(课堂讲授22学时+课程实验与习题课8学时) 1. 理解原函数与不定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。

2. 理解定积分的概念及性质，了解可积条件。会求简单的有理函数的积分。 3. 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式。

4. 掌握定积分的换元法和分部积分法。

5. 了解广义积分的概念以及广义积分的换元法和分部积分法。 *6. 了解定积分的近似计算法(矩形法、梯形法和抛物线法)。

7. 掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法。

第四章

无穷级数

学时16(课堂讲授12学时+课程实验与习题课4学时) 1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

2. 掌握几何级数和p-级数的收敛性。

3. 了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 4. 了解交错级数的莱布尼兹定理，*会估计交错级数的截断误差。

5. 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7. 掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。 8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

3 xe，sinx，cosx，ln(1x)(1x)9. 会用和的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。

*10. 了解幂级数在近似计算上的简单应用。

*11. 了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在(，)和(l，l)上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在(0，l)上的函数展开为正弦或余弦级数。

第五章

常微分方程

学时18(课堂讲授14学时+课程实验与习题课4学时)

1. 了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2. 掌握变量可分离方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程，了解用变量代换求方程的思想。

3. 会解全微分方程。

(n)4. 会用降阶法简化下列方程：yf(x)，yf(x,y)和yf(y,y)。

5. 理解二阶线性微分方程解的结构。

6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。 7. 会求自由项形如P(n)(x)e、e(AcosxBsinx)的二阶常系数非齐次线性微

xx分方程的特解。 8. 会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。

(三)主要内容(BII)：(共108学时) 第六章

向量代数与空间解析几何

学时18(课堂讲授14学时+课程实验与习题课4学时) 1. 理解空间直角坐标系。理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向量垂直、平行的条件。 2. 掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 3. 掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。 4. 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

5. 了解空间曲线的参数方程和一般方程。 6. 了解曲面的交线在坐标平面上的投影。

4 第七章

多元函数微分学

学时16(课堂讲授12学时+课程实验与习题课4学时)

1. 理解多元函数的概念。

2. 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3. 理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。

4. 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

5. 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 6. 会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。 7. 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。 8. 了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解较简单的最值应用问题。

第八章

多元函数积分学

学时26(课堂讲授20学时+课程实验与习题课6学时)

1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。

2. 掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。 *3. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。会计算两类曲线积分。

*4. 掌握格林(Green)公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件。

*5. 了解两类曲面积分的概念及高斯(Guass)、斯托克斯(Stokes)公式并会计算两类曲面积分。了解散度、旋度的计算公式。 7. 会用重积分(*曲线积分及曲面积分)求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等)。

第九章

线性代数

学时48(课堂讲授38学时+课程实验与习题课10学时)

1.会求全排列的逆序数，了解对换的性质;理解行列式的定义，熟悉

二、三阶行列式的计算。

2.掌握行列式的运算性质和展开性质;熟悉克莱姆法则。

3.了解矩阵的定义，掌握矩阵的运算法则;会判别方阵的可逆性并掌握可逆矩阵求逆的方法。

4.了解矩阵的分块法及其运算性质。

5.了解向量的一般定义及其运算性质;掌握向量组的线性相关性及其判别法;会求向量组的秩和最大线性无关组。

6.掌握矩阵的初等变换法及其用途，了解初等方阵的定义及运算性质。

7.了解向量空间的有关定义，会求向量空间的维数和基并会用基生成该向量空间。

5 8.会判别线性方程组解的存在性，并能利用矩阵的初等行变换求解线性方程组。 9.了解向量的内积、方阵的特征值、特征向量及矩阵的相似性的定义，并会求方阵的特征值、特征向量，会判别相似矩阵的存在性。

10.掌握实对称矩阵的相似矩阵的计算法，尤其是对角化方法。会用实对称矩阵的对角化方法化二次型为标准型。会用配方法化二次型为标准型。

11.会判别矩阵及二次型的正定性。

*12.了解线性空间的定义与性质，理解线性空间的维数、基与坐标的概念。掌握基变换与坐标变换公式，熟悉线性变换及其矩阵表示式。

三、教材与学习资源：

教材：《高等数学》(第五版)上、下册，《线性代数》第四版。同济大学应用数学系主编，高等教育出版社 参考书目：

1.《高等数学》上、下册，李天林编，北京师范大学出版社 2. 大学数学《一元微积分》，萧树铁主编，高等教育出版社

3. 大学数学《多元微积分及其应用》，萧树铁主编，高等教育出版社

4.《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编，高等教育 出版社

5.《高等数学例题与习题》 同济大学高等数学教研室编，同济大学 出版社

6.王金金、李广民、于力编：《新编高等数学学习辅导》—— 配合同济高等数 学(第四版上、下)，西安电子科技大学出版社，1999. 7.《工科数学分析基础》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

8.《数学分析》上、下册，复旦大学陈传璋等编，高等教育出版社

9.《微积分(Calculus)(英文版)》，(美)Dale Varberg，Edwin J.Purcell，Steven E.Rigdon著，机械工业出版社

10.《Calculus》，Zhang Fengling，Yao Miaoxin，Zhang Yuhuan，Tianjin Unversity Press

四、先修课要求及教学策略与方法建议

要求学员先修完成初等数学课程; 教学策略精讲多练;

建议学员课前预习，课堂认真听讲，课后多练习。

五、考核方式：

闭卷考试 (120分钟)

北京师范大学数学科学院

蔡俊亮

2007年5月24日星期四

第9篇：华南理工大学高等数学教学课件8

第八节

连续函数

一、函数连续的定义。

定义1：如果函数fx在x0的一个邻域内有定义。当自变量的增量x趋近零时，函数增量y也趋近于零。即

x0limylimfx0xfx00

x0则称函数fx在x0处连续。

因为xxx0，当x0时，有xx0。因此我们有：

x0limylimfx0xfx0limfxfx00

x0xx0xx0limfxlimfxfx0fx0fx0

xx0fxfx0。则有： 反之，如果有xlimx0x0limylimfx0xfx0limfxfx00

x0xx0因此对于函数的连续性还有以下定义：

定义2：如果函数fx在x0的一个邻域内有定义。当x趋近x0时，

fxfx0。函数fx的极限为fx0。即xlim则称函数fx在点x0连续。 x0我们还可以用“”语言来定义连续。

定义3：如果函数fx在x0的一个邻域内有定义。对于任给的0，一定存在0。当时xx0有

fxfx0

则称函数fx在点x0处连续。

定义4：如果函数fx在开区间I内每一点处都连续，则称函数是开区间I上的连续函数，并称开区间I是fx的连续区间。 如果函数fx在一闭区间a,b上有定义，因此函数fx在a和b处分别只可能存在右极限和左极限。此时如果

falimfxfafblimfxfb 或xaxb则分别称函数fx在a或b处连续。

定义5：(左连续和右连续)如果函数fx在x0的一个左半邻域内(右半邻域内)有定义。如果

fx0limfxfx0(或fx0limfxfx0 xx0xx0则称函数fx在点x0左连续(或右连续)。

注：函数在一点连续的充分必要条件为在此点左连续且右连续。

例1 ：证明 函数fxsinx在其定义域,内是连续的。 证明 ：因为

ysinxxsinx2sinxxcosx 220y2sinxxxcosx2sinx 222limy0。即函数fxsinx在其定义域利用夹逼准则有，x0,内是连续的。

x1axb例2 ：fx2，问a,b取何值时，fx在x1和x2x2x1x1处连续。

解：要使fx在x1和x1处连续，则要有

limfxf1ab，limfxf1ab

x1x1利用连续与左连续、右连续的关系

limfxlimfxlimfxab x1x1x1x1limfxlimfxlimfxab

x1x1得方程组

1ab 3ab解得a2,b1。

二、连续函数运算性质

定理1：

1)有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。 2)有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数。 3)两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。 我们证明3)。

fxfx0,limgxgx00，证明 ：已知xlim则milxxx00xx0fxfx0。 gxgx0利用极限的除法运算法则得

limfxfxfxxx00 limxx0gxlimgxgx0xx0注：正切和余切函数在其定于域上是连续的。

定理2：如果函数x在x0处连续，且x0u0，函数fu在u0处连续，则复合函数fx在x0处连续。

fufu0,limxx0，利用复合函数求极限证明：因为ulimuxx00法则

limfxflimxfx0 xx0xx0

定理3：(反函数的连续性)设yfx在a,b上连续，且严格单调增(或减)，记faA,fbB。则

1)yfx在区间A,B(或B,A)上存在反函数xgy; 2)xgy在区间A,B(或B,A)上严格单调增(或减); 3)xgy在区间A,B(或B,A)上连续。

证明：1)要说明对每一个yA,B(或yB,A)都有唯一的(这样用到闭区间上连续函数的性质，以后xa,b，使得fxy。再证明)

2)若y1,y2B,A，且y1y2。如果x1gy1x2gy2 由于yfx严格单调减y1fx1y2fx2，这与已知矛盾。所以x1gy1x2gy2，即xgy在B,A上严格单调减。

gygy0 3)对任给的y0B,A，我们要证明ylimy0对任给的0，要使xx0当充分小时，去掉绝对值后有

ax0xx0b

设y1fx0,y2fx0，由单调性(严格单调减)有

y2yy1

y2y0yy0y1y0

因为x0x0x0，由单调性(严格单调减)有y2y0y1 所以y2y00,y1y00。取miny0y2,y1y0，当yy0时有

y2y0yy0y1y0

y2yy1 由xgy的单调性(严格单调减)有

x0xx0

xx0

gygy0。 所以ylimy0在端点处只需考虑半个邻域，证明类似。这里从略。 注：反三角函数在其定义域上是连续的。 定理4：初等函数在其定义区间上是连续的。

三、函数的间断点

函数fx在x0的某去心邻域有定义，但在x0点不连续。主要有下面三种情况： 1) 2) 3) 函数fx在x0点处无定义。

fx不存在。 函数fx在x0点处有定义，但xlimx0fx存在，但limfx不等函数fx在x0点处有定义，且xlimxxx00于fx0。

例3 ：考虑函数fxx0x0在x0处的连续性。 x0解：fx在x0处无定义。所以不连续。(如图17)

1例4 ：考虑符号函数sgnx01x0x0在x0处的连续性。 x0sgnx不存在。所以不连续。解：lim(如图18) x0x例5 ：考虑函数fx3x0在x0处的连续性。 x0fx0f03。所以不连续。解：因为lim(如图19) x0以上所给的例子函数虽在x0处不连续，但在x0处的左极限和右极限都存在。这类不连续点称为第一类间断点。其他情况称为第二类间断点。

例6 ：因为limtanx,所以xx22是函数ytanx的间断点。(无穷间断点)(如图20)

sin，所以x0是函数ysin的间断点。例7 ：因为lim(振荡间x01x1x断点)(如图21)

四、闭区间上连续函数的性质

1、最大值何最小值定理。

定义1：函数fx在开区间I上有定义，如果存在x0I使得对一切xI都有

fxfx0

(或fxfx0)

则称fx0是函数fx在开区间I上的最大值(或最小值)。

定理1：(最大值与最小值定理)如果函数fx在闭区间a,b上连续，则存在x1,x2a,b使得对任意的xa,b都有fx1fxfx2。

证明 ：略。

定理2：若函数fx在闭区间a,b上连续，则函数fx在闭区间a,b上必有界。

证明 ：因为函数fx在闭区间a,b上连续，由定理1，存在x1,x2a,b使得对任意的xa,b都有fx1fxfx2，即fx在a ,b上既有上界又有下界，所以函数fx在闭区间a,b上必有界。

2、介值定理

定理3：(零点定理)若函数fx在闭区间a,b上连续，且fafb0，则在开区间a,b内至少存在一点使得f0。

证明 ：略。

例8：证明方程exx有小于1的正实跟。

证明：在闭区间0,1考虑函数fxexx，fxexx是初等函数且在0,1有定义，因此fxexx在闭区间0,1连续。

又因为f010,f110，由零点定理，方程exx有小于1的正实跟。

1e定理4：(介值定理)设函数fx在闭区间a,b上连续，又faA，fbB，且AB。若C是A,B之间任一实数，则在开区间a,b至少存在一点，使得

fCab

证明：考察函数xfxC，显然函数x在闭区间a,b上连续，且a0,b0;根据零值定理，在开区间a,b至少存在一点使得0即有

fCab

推论：设函数fx在闭区间a,b上连续，M,m分别为函数fx在闭区间a,b上的最大值与最小值，则对于M,m之间的任意实数u，在开区间a,b至少存在一点使得fuab。

证明：设fx1M,fx2m，无妨设x1x2，则有x1,x2a,b 因此fx在x1,x2是连续的。由介值定理，对于M,m之间的任意实数u，至少存在一点

x1,x2a,b

使得fu。

注：如果yfx在a,b上连续，且严格单调增(或减)，记faA,fbB。则A,B就是最大值和最小值，因此A,B之间的任何数y，都存在xa,b有fxy。由单调性可得唯一性。

fx存在，例9：若fx在区间[a,)上连续，且xlim试证明fx是区间 [a,)上的有界函数。

例10：证明：证明：方程xasinxba0,b0至少有一个正根，并且不超过ab。

例11：若函数fx在闭区间a,b上连续，acdb ，kfcfd，证明存在一个a,b，使得k2f。

作业1：习题1-8：1题：

2、3小题;2题：

3、

4、6小题;3题：3小题

作业2：4题：

1、

4、6小题;12题;13题。