总结对于个人的成长而言，是我们反思自身、了解自身、明确目标的重要方式，通过编写的总结报告，我们可以在工作回顾中，寻找出自身的工作难点，掌握自身的工作优势，更加明确自身的发展方向。今天小编给大家找来了《初三数学知识点大总结》，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助！
初三数学知识点整式总结
数学是被很多人称之拦路虎的一门科目，同学们在掌握数学知识点方面还很欠缺，以下是小编为大家收集整理的初三数学知识点整式总结，欢迎阅读参考。
一、代数式
1. 概念：用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数与字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
2. 代数式的值：用数代替代数式里的字母，按照代数式的运算关系，计算得出的结果。
二、整式
单项式和多项式统称为整式。
1. 单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。
2) 单项式的系数：单项式中的 数字因数及性质符号叫做单项式的系数。
3) 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2. 多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。
2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
3. 多项式的排列：
1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2).把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于单项式的项，包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分，一起移动。
三、整式的运算
1. 同类项所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也叫同类项。同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关。
2. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。即同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
3. 整式的加减：有括号的先算括号里面的，然后再合并同类项。
4. 幂的运算：
5. 整式的乘法：
1) 单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的因式。
2) 单项式与多项式相乘法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3) 多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
6. 整式的除法
1) 单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除作为上的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
2) 多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。
四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式
1) 提公因式法：(公因式多项式各项都含有的公共因式)吧公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 取各项系数的最大公约数作为因式的系数，取相同字母最低次幂的积。公因式可以是单项式，也可以是多项式。
2) 公式法：A.平方差公式; B.完全平方公式：
以上内容由数学网独家专供，希望这篇新编初三数学知识点：整式知识点总结能够帮助到大家。
一、本章知识框架
二、本章重点
1.圆的定义：
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.判定一个点P是否在⊙O上. 设⊙O的半径为R，OP=d，则有 d>r点P在⊙O 外; d=r点P在⊙O 上; d
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.
(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角. 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角.
1
弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半.
4.圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. (5)平行弦夹的弧相等.
5.三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.
(4)垂心：是三角形三边高线的交点.
6.切线的判定、性质： (1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
2
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
7.圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
8.直线和圆的位置关系：
设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d.
(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R.
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R. (3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d
9.圆和圆的位置关系：(不考了) 设(1)外离(2)含(3)外切(4)d
的每个点都在
内部的半径为R、r(R>r)，圆心距
.
没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部d>R+r. 没有公共点，且
的每一个点都在
外部
内有唯一公共点，除这个点外，内切d=R-r.
相交(5)有两个公共点R-r
10.两圆的性质：
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
11.圆中有关计算： 圆的面积公式：
，周长C=2πR.
圆心角为n°、半径为R的弧长.
3
圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为面积为2πRl，全面积为
.
，侧(补考圆锥面积了)圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为半径之间有
【经典例题精讲】
例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变?
分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律. 解：
连结OP，
.
，母线长、圆锥高、底面圆的
P点为中点.
小结：此题运用垂径定理进行推断. 例2 下列命题正确的是( ) A.相等的圆周角对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.三点确定一个圆
D.平分弦的直径垂直于弦. 解：
A.在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确.
4
B.等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确. C.三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆. D.平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦. 故选B.
例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3，求∠D. 分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等. 解：
设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠D=∠A+∠C-∠B=2x. x+2x+3x+2x=360°， x=45°. ∴∠D=90°.
小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD=1︰2︰3，求AD的长.
例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径.若测得PA=5cm，则铁环的半径是__________cm. 分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解. 解：
.
小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型.
例5 已知
相交于A、B两点，
的半径是10，
的半径是17，公共弦AB=16，求两圆的圆心距. 解：分两种情况讨论： (1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设
与AB交于C，连结又∵AB=16 ∴AC=8. ，则垂直平分AB，∴
.
5 在在故(2)若中，中，
.
位于AB的同侧(如图23-9)，设
.
∵垂直平分AB，
的延长线与
. .
AB交于C，连结∴.
又∵AB=16，
∴AC=8. 在在故中，中，
.
. .
注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题.
1.相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。(经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等)
说明：几何语言：
若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD(相交弦定理)
例1. 已知P为⊙O内一点，P任作一弦AB，设为
。 解：由相交弦定理得
，
，⊙O半径为
，过
，则关于的函数关系式
，即，其中
2.切割线定理
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB
6
例2. 已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。
解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：即由切割线定理，理，∴ ∴
，(舍)
由勾股定
∴
四、辅助线总结(重要) 1.圆中常见的辅助线
1).作半径，利用同圆或等圆的半径相等.
2).作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明.
3).作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算.
4).作弦构造同弧或等弧所对的圆周角.
5).作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角. 6).遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角. 7).遇到切线，作过切点的半径，构造直角.
8).欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直;(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径.
9).遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点.
10).遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线;(2)连结内心和三角形的顶点.
11).遇相交两圆，常作：(1)公共弦;(2)连心线. 12).遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线.
13).求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边.
2、圆中较特殊的辅助线
1).过圆外一点或圆上一点作圆的切线. 2).将割线、相交弦补充完整. 3).作辅助圆.
例1如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
分析：连结OC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB知CD=DE.设AE=x，则在Rt△CEO中，
，即
，则
，
(舍去).
答案：A.
例2如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB=55°，那么∠AOB等于( )
A.35° B.90° C.110° D.120°
分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠AOB=2∠BAC=2×55°=110°.答案：C.
例3 如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于( ) A. B.
C.
D.
分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长;另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即
.答案：B.
例4 如图23-12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，
.
求：EM的长.
简析：(1)由DC是⊙O的直径，知DE⊥EC，于是.设EM=x，则AM·MB=x(7-x)，即.所以
.而EM>MC，即EM=4.
例5如图23-13，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程
(其中m为实数)的两根.
(1)求证：BE=BD; (2)若，求∠A的度数.
简析：(1)由BE、BD是关于x的方程
的两根，得
，则m=-2.所以，原方程为
.得
8
.故BE=BD.
(2)由相交弦定理，得
，即
.而PB切⊙O于点B，AB为⊙O的直径，得∠ABP=∠ACB=90°.又易证∠BPD=∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，则
，
，所以
，所以
.在Rt△ACB中，
，故∠A=60°.
9
初三数学
圆知识点总结
一、本章知识框架
二、本章重点
1.圆的定义：
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
2.判定一个点P是否在⊙O上.
设⊙O的半径为R，OP=d，则有
d>r点P在⊙O
外;
d=r点P在⊙O
上;
d
内.
3.与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.
(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角.
弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角.
弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半.
4.圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
(5)平行弦夹的弧相等.
5.三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.
(4)垂心：是三角形三边高线的交点.
6.切线的判定、性质：
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
7.圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
8.直线和圆的位置关系：
设⊙O
半径为R，点O到直线l的距离为d.
(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R.
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R.
(3)直线l和⊙O
有两个公共点直线l和⊙O
相交d
9.圆和圆的位置关系：
设的半径为R、r(R>r)，圆心距.
(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R+r.
(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d
(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d=R+r.
(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d=R-r.
(5)有两个公共点相交R-r
10.两圆的性质：
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
11.圆中有关计算：
圆的面积公式：，周长C=2πR.
圆心角为n°、半径为R的弧长.
圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积.
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为.
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl
，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
【经典例题精讲】
例1
如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变?
分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律.
解：
连结OP，
P点为中点.
小结：此题运用垂径定理进行推断.
例2
下列命题正确的是(
)
A.相等的圆周角对的弧相等
B.等弧所对的弦相等
C.三点确定一个圆
D.平分弦的直径垂直于弦.
解：
A.在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确.
B.等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确.
C.三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆.
D.平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦.
故选B.
例3
四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3，求∠D.
分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等.
解：
设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠D=∠A+∠C-∠B=2x.
x+2x+3x+2x=360°，
x=45°.
∴∠D=90°.
小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD=1︰2︰3，求AD的长.
例4
为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径.若测得PA=5cm，则铁环的半径是__________cm.
分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过
P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解.
解：
.
小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型.
例5
已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB=16，求两圆的圆心距.
解：分两种情况讨论：
(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，∴.
又∵AB=16
∴AC=8.
在中，.
在中，.
故.
(2)若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线与AB交于C，连结.
∵垂直平分AB，
∴.
又∵AB=16，
∴AC=8.
在中，.
在中，.
故.
注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题.
三、相关定理：
1.相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。(经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等)
说明：几何语言： 若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD(相交弦定理)
例1.
已知P为⊙O内一点，，⊙O半径为，过P任作一弦AB，设，，则关于的函数关系式为。
解：由相交弦定理得，即，其中
2.切割线定理
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB
例2.
已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。
解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：
即
，(舍)
由切割线定理，
由勾股定理，
∴
∴
∴
四、辅助线总结
1.圆中常见的辅助线
1).作半径，利用同圆或等圆的半径相等.
2).作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明.
3).作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算.
4).作弦构造同弧或等弧所对的圆周角.
5).作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角.
6).遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角.
7).遇到切线，作过切点的半径，构造直角.
8).欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直;(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径.
9).遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点.
10).遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线;(2)连结内心和三角形的顶点.
11).遇相交两圆，常作：(1)公共弦;(2)连心线.
12).遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线.
13).求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边.
2、圆中较特殊的辅助线
1).过圆外一点或圆上一点作圆的切线.
2).将割线、相交弦补充完整.
3).作辅助圆.
例1如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
分析：连结OC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB知CD=DE.设AE=x，则在Rt△CEO中，，即，则，(舍去).
答案：A.
例2如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB=55°，那么∠AOB等于(
)
A.35°
B.90°
C.110°
D.120°
分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠AOB=2∠BAC=2×55°=110°.答案：C.
例3
如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于(
)
A.
B.
C.
D.
分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长;另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即.答案：B.
例4
如图23-12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，.
求：EM的长.
简析：(1)由DC是⊙O的直径，知DE⊥EC，于是.设EM=x，则AM·MB=x(7-x)，即.所以.而EM>MC，即EM=4.
例5如图23-13，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程(其中m为实数)的两根.
(1)求证：BE=BD;
(2)若，求∠A的度数.
简析：(1)由BE、BD是关于x的方程的两根，得，则m=-2.所以，原方程为.得.故BE=BD.
(2)由相交弦定理，得，即.而PB切⊙O于点B，AB为⊙O的直径，得∠ABP=∠ACB=90°.又易证∠BPD=∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，则，，所以，所以.在Rt△ACB中，，故∠A=60°.
初三知识整理
全套教科书包含了课程标准(实验稿)规定的"数与代数""空间与图形""统计与概率""实践与综合应用"四个领域的内容
在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合 使它们形成一个有机的整体
九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容 学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域 包含以下章节：
第21章 二次根式 第22章 一元二次方程
第23章 旋转 第24章 圆 第25 章 概率初步 本册书内容分析如下： 第21章 二次根式
学生已经学过整式与分式
知道用式子可以表示实际问题中的数量关系 解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式 "二次根式" 一章就来认识这种式子 探索它的性质 掌握它的运算
在这一章
首先让学生了解二次根式的概念 并掌握以下重要结论：
(1)是一个非负数;
(2) ≥0);
(3) (a≥0). 注：关于二次根式的运算
由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握 教科书先安排二次根式的乘除 再安排二次根式的加减
"二次根式的乘除"一节的内容有两条发展的线索
一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性
并运用二次根式的乘除法则进行运算;一条是由二次根式的乘除法则得到
(a≥0 b≥0) (a≥0 b>0)
并运用它们进行二次根式的化简
"二次根式的加减"一节先安排二次根式加减的内容 再安排二次根式加减乘除混合运算的内容
在本节中
注意类比整式运算的有关内容 例如
让学生比较二次根式的加减与整式的加减 又如
通过例题说明在二次根式的运算中 多项式乘法法则和乘法公式仍然适用 这些处理有助于学生掌握本节内容
第22章 一元二次方程
学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法 在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程 -- 一元二次方程 "一元二次方程"一章就来认识这种方程 讨论这种方程的解法
并运用这种方程解决一些实际问题
本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念 给出一元二次方程的一般形式
然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解 对一元二次方程的解加以体会 并给出一元二次方程的根的概念
"22.2降次--解一元二次方程"一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法
下面分别加以说明
(1)在介绍配方法时
首先通过实际问题引出形如的方程
这样的方程可以化为更为简单的形如的方程 由平方根的概念
可以得到这个方程的解
进而举例说明如何解形如的方程
然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程 引出配方法
最后安排运用配方法解一元二次方程的例题 在例题中
涉及二次项系数不是1的一元二次方程 也涉及没有实数根的一元二次方程 对于没有实数根的一元二次方程 学了"公式法"以后
学生对这个内容会有进一步的理解
(2)在介绍公式法时
首先借助配方法讨论方程的解法
得到一元二次方程的求根公式
然后安排运用公式法解一元二次方程的例题 在例题中
涉及有两个相等实数根的一元二次方程 也涉及没有实数根的一元二次方程 由此引出一元二次方程的解的三种情况
(3)在介绍因式分解法时
首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程 引出因式分解法
然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题
最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结
"22.3实际问题与一元二次方程"一节安排了四个探究栏目 分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题
使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型
第23章 旋转
学生已经认识了平移、轴对称 探索了它们的性质
并运用它们进行图案设计
本书中图形变换又增添了一名新成员――旋转 "旋转"一章就来认识这种变换 探索它的性质 在此基础上
认识中心对称和中心对称图形
"23.1旋转"一节首先通过实例介绍旋转的概念 然后让学生探究旋转的性质 在此基础上
通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法 最后举例说明用旋转可以进行图案设计
"23.2中心对称"一节首先通过实例介绍中心对称的概念 然后让学生探究中心对称的性质 在此基础上
通过例题说明作与一个图形成中心对称的图形的方法 这些内容之后
通过线段、平行四边形引出中心对称图形的概念 最后介绍关于原点对称的点的坐标的关系
以及利用这一关系作与一个图形成中心对称的图形的方法
"23.3课题学习 图案设计"一节让学生探索图形之间的变换关系(平移、轴对称、旋转及其组合)
灵活运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计
第24章 圆
圆是一种常见的图形 在"圆"这一章
学生将进一步认识圆 探索它的性质
并用这些知识解决一些实际问题 通过这一章的学习
学生的解决图形问题的能力将会进一步提高
"24.1圆"一节首先介绍圆及其有关概念 然后让学生探究与垂直于弦的直径有关的结论 并运用这些结论解决问题 接下来
让学生探究弧、弦、圆心角的关系 并运用上述关系解决问题
最后让学生探究圆周角与圆心角的关系 并运用上述关系解决问题
"24.2与圆有关的位置关系"一节首先介绍点和圆的三种位置关系、三角形的外心的概念 并通过证明"在同一直线上的三点不能作圆"引出了反证法
然后介绍直线和圆的三种位置关系、切线的概念以及与切线有关的结论 最后介绍圆和圆的位置关系
"24.3正多边形和圆"一节揭示了正多边形和圆的关系 介绍了等分圆周得到正多边形的方法
"24.4弧长和扇形面积"一节首先介绍弧长公式 然后介绍扇形及其面积公式 最后介绍圆锥的侧面积公式
第25 章 概率初步
将一枚硬币抛掷一次 可能出现正面也可能出现反面
出现正面的可能性大还是出现反面的可能性大呢?学了"概率"一章 学生就能更好地认识这个问题了 掌握了概率的初步知识
学生还会解决更多的实际问题
"25.1概率"一节首先通过实例介绍随机事件的概念 然后通过掷币问题引出概率的概念
"25.2用列举法求概率"一节首先通过具体试验引出用列举法求概率的方法
然后安排运用这种方法求概率的例题 在例题中
涉及列表及画树形图
"25.3利用频率估计概率"一节通过幼树成活率和柑橘损坏率等问题介绍了用频率估计概率的方法
"25.4课题学习 键盘上字母的排列规律"一节让学生通过这一课题的研究体会概率的广泛应用
知识点总结
第21章 二次根式 知识框图
学习目标
对于本章内容
教学中应达到以下几方面要求：
1. 理解二次根式的概念
了解被开方数必须是非负数的理由;
2. 了解最简二次根式的概念;
3. 理解并掌握下列结论：
(1)是非负数; (2); (3);
4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则 会用它们进行有关实数的简单四则运算;
5. 了解代数式的概念
进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用
I.二次根式的定义和概念：
1、定义：一般地
形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式 当a>0时
√a表示a的算数平方根 √0=0
2、概念：式子√ā(a≥0)叫二次根式 √ā(a≥0)是一个非负数
II.二次根式√ā的简单性质和几何意义
1)a≥0 ; √ā≥0 [ 双重非负性 ]
2)(√ā)^2=a (a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]
3) √(a^2+b^2)表示平面间两点之间的距离
即勾股定理推论
III.二次根式的性质和最简二次根式
1)二次根式√ā的化简
a(a≥0)
√ā=|a|={
-a(a<0)
2)积的平方根与商的平方根
√ab=√a·√b(a≥0 b≥0)
√a/b=√a /√b(a≥0 b>0)
3)最简二次根式
条件：
(1)被开方数的因数是整数或字母 因式是整式;
(2)被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√
2、√
3、√a(a≥0)、√x+y 等;
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√
4、√
9、√a^
2、√(x+y)^
2、√x^2+2xy+y^2等
IV.二次根式的乘法和除法
1 运算法则
√a·√b=√ab(a≥0 b≥0)
√a/b=√a /√b(a≥0 b>0)
二数二次根之积 等于二数之积的二次根
2 共轭因式
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式 那么这两个代数式叫做共轭因式 也称互为有理化根式
V.二次根式的加法和减法
1 同类二次根式
一般地
把几个二次根式化为最简二次根式后 如果它们的被开方数相同
就把这几个二次根式叫做同类二次根式
2 合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式
3二次根式加减时
可以先将二次根式化为最简二次根式 再将被开方数相同的进行合并 Ⅵ.二次根式的混合运算
1确定运算顺序
2灵活运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大多数分母有理化要及时
5在有些简便运算中也许可以约分 不要盲目有理化
VII.分母有理化
分母有理化有两种方法
I.分母是单项式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
II.分母是多项式
要利用平方差公式
如1/√a+√b=√a-√b/(√a+√b)(√a-√b)=√a-√b/a-b
III.分母是多项式
要利用平方差公式
如1/√a+√b=√a-√b/(√a+√b)(√a-√b)=√a-√b/a-b 第22章 一元二次方程 知识框图
第23章 旋转 知识框图
旋转的定义
在平面内
将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度 这样的运动叫做图形的旋转 这个定点叫做旋转中心 转动的角度叫做旋转角
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动 其中对应点到旋转中心的距离相等 对应线段的长度、对应角的大小相等 旋转前后图形的大小和形状没有改变
旋转对称中心
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后 与初始图形重合
这种图形叫做旋转对称图形 这个定点叫做旋转对称中心
旋转的角度叫做旋转角(旋转角小于0°
大于360°)
中心对称和中心对称图形是两个不同而又紧密联系的概念.它们的区别是：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系 这两个图形关于一点对称 这个点是对称中心
两个图形关于点的对称也叫做中心对称.成中心对称的两个图形中 其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上 反之
另一个图形上所有点的对称点
又都在这个图形上;而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称.中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上.如果将中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形)
那么这个图形就是中心对称图形;一个中心对称图形 如果把对称的部分看成是两个图形 那么它们又是关于中心对称.
也就是说：
① 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合 那么我们就说
这个图形成中心对称图形
②中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合 那么我们就说
这两个图形成中心对称
中心对称图形
正(2N)边形(N为大于1的正整数) 线段 矩形 菱形 圆
只是中心对称图形
平行四边形等.
既不是轴对称图形又不是中心对称图形
不等边三角形 非等腰梯形等. 中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形是全等形
②关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被对称中心平分
③关于中心对称的两个图形
对应线段平行(或者在同一直线上)且相等
识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点 使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合
中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后 能够完全重合
称这两个图形关于该点对称
该点称为对称中心.二者相辅相成 两图形成中心对称 必有对称中点
而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点.
第二十四章圆
知识框图
【圆的基本知识】
〖几何中圆的定义〗
几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 定点称为圆心 定长称为半径
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心 一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周 简称圆
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
〖圆的相关量〗
圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率 值是3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679... 通常用π表示
计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧
大于半圆的弧称为优弧 小于半圆的弧称为劣弧
连接圆上任意两点的线段叫做弦 经过圆心的弦叫做直径
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角 顶点在圆周上
且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆 其圆心叫做三角形的外心
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆 其圆心称为内心
扇形：在圆上
由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形
圆锥侧面展开图是一个扇形 这个扇形的半径称为圆锥的母线
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗
圆-⊙ 半径-r 弧-⌒ 直径-d
扇形弧长/圆锥母线-l 周长-C 面积-S
〖圆和其他图形的位置关系〗
圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例(设P是一点 则PO是点到圆心的距离) P在⊙O外
PO>r;P在⊙O上
PO=r;P在⊙O内 PO
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离;有两个公共点为相交 这条直线叫做圆的割线;圆与直线有唯一公共点为相切 这条直线叫做圆的切线 这个唯一的公共点叫做切点
以直线AB与圆O为例(设OP⊥AB于P 则PO是AB到圆心的距离)：AB与⊙O相离 PO>r;AB与⊙O相切 PO=r;AB与⊙O相交 PO
两圆之间有5种位置关系：无公共点的 一圆在另一圆之外叫外离
在之内叫内含;有唯一公共点的 一圆在另一圆之外叫外切
在之内叫内切;有两个公共点的叫相交 两圆圆心之间的距离叫做圆心距 两圆的半径分别为R和r 且R≥r 圆心距为P：外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r
圆的平面几何性质和定理
一有关圆的基本性质与定理
⑴圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆
圆的对称性质：圆是轴对称图形 其对称轴是任意一条通过圆心的直线 圆也是中心对称图形 其对称中心是圆心
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的2条弧
逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦 并且平分弦所对的2条弧
⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两个圆周角 两组弧 两条弦
两条弦心距中有一组量相等
那么他们所对应的其余各组量都分别相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
直径所对的圆周角是直角 90度的圆周角所对的弦是直径
⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理
①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆 外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点 到三角形三个顶点距离相等;
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点 到三角形三边距离相等
③S三角=1/2*△三角形周长*内切圆半径
④两相切圆的连心线过切点(连心线：两个圆心相连的线段)
⑤圆O中的弦PQ的中点M 过点M任作两弦AB CD 弦AD与BC分别交PQ于X Y 则M为XY之中点
〖有关切线的性质和定理〗
圆的切线垂直于过切点的半径;经过半径的一端 并且垂直于这条半径的直线 是这个圆的切线
切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
切线的性质：(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线 (2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 (3)圆的切线垂直于经过切点的半径
切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等 那点与圆心的连线平分切线的夹角
〖有关圆的计算公式〗
1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=π(R^2-r^2) 5.圆锥侧面积S=πrl 圆的解析几何性质和定理
〖圆的解析几何方程〗
圆的标准方程：在平面直角坐标系中 以点O(a b)为圆心
以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
圆的一般方程：把圆的标准方程展开
移项
合并同类项后
可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 和标准方程对比 其实D=-2a E=-2b F=a^2+b^2-r^2
圆的离心率e=0 在圆上任意一点的曲率半径都是r
〖圆与直线的位置关系判断〗
平面内
直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
1.由Ax+By+C=0 可得y=(-C-Ax)/B (其中B不等于0) 代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0 利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：
如果b^2-4ac>0 则圆与直线有2交点 即圆与直线相交
如果b^2-4ac=0 则圆与直线有1交点 即圆与直线相切
如果b^2-4ac<0 则圆与直线有0交点 即圆与直线相离
2.如果B=0即直线为Ax+C=0 即x=-C/A 它平行于y轴(或垂直于x轴)
将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 令y=b 求出此时的两个x值x
1、x2 并且规定x1
当x=-C/Ax2时 直线与圆相离;
当x1
半径r 直径d
在直角坐标系中 圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F
=> 圆心坐标为(-D/2 -E/2)
其实不用这样算 太麻烦了
只要保证X方Y方前系数都是1
就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2 -E/2)
这可以作为一个结论运用的
且r=根号(圆心坐标的平方和-F) 圆知识点总结
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆
圆心：圆中心固定的一点叫做圆心 用字母0表示
直径：通过圆心
并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径 用字母d表示
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段 叫做圆的半径 用字母r表示
圆的直径和半径都有无数条 在同圆或等圆中：直径是半径的2倍 半径是直径的1/2.
圆的半径决定了圆的大小 圆心决定了圆的位置
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长 用C表示
圆的周长与直径的比值叫做圆周率
圆周率是一个固定的数 它是一个无限不循环小数 用字母π表示 近似等于3.14
直径所对的圆周角是直角
90度的圆周角所对的弦是直径
圆的面积公式：πr方 用字母S表示
第25章 概率初步 知识框图
第26章 二次函数
知识框图
定义与定义表达式
一般地
自变量x和因变量y之间存在如下关系：
一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0 a、b、c为常数) 则称y为x的二次函数
顶点式：y=a(x-h)^2+k
交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)
重要概念：(a b c为常数 a≠0 且a决定函数的开口方向 a>0时
开口方向向上 a<0时
开口方向向下
IaI还可以决定开口大小 IaI越大开口就越小 IaI越小开口就越大 )
二次函数表达式的右边通常为二次
x是自变量 y是x的二次函数
x1
x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式) 二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像
可以看出
二次函数的图像是一条永无止境的抛物线
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形 对称轴为直线x = -b/2a
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P
特别地 当b=0时
抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P 坐标为P ( -b/2a (4ac-b²)/4a )
当-b/2a=0时
P在y轴上;当Δ= b²-4ac=0时 P在x轴上
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小
当a>0时
抛物线向上开口;当a<0时 抛物线向下开口
|a|越大
则抛物线的开口越小
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置
当a与b同号时(即ab>0)
对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0 也就是-b/2a<0 所以b/2a要大于0 所以a、b要同号
当a与b异号时(即ab<0) 对称轴在y轴右
因为对称轴在右边则对称轴要大于0 也就是-b/2a>0
所以b/2a要小于0 所以a、b要异号
事实上
b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值
可通过对二次函数求导得到
5.常数项c决定抛物线与y轴交点
抛物线与y轴交于(0 c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b²-4ac>0时 抛物线与x轴有2个交点
Δ= b²-4ac=0时 抛物线与x轴有1个交点
_______
Δ= b²-4ac<0时 抛物线与x轴没有交点
X的取值是虚数(x= -b±√b²-4ac的值的相反数 乘上虚数i 整个式子除以2a)
当a>0时
函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数 在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b²/4a}相反不变
当b=0时
抛物线的对称轴是y轴 这时
函数是偶函数
解析式变形为y=ax²+c(a≠0)
7.定义域：R
值域：(对应解析式 且只讨论a大于0的情况
a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b²)/4a 正无穷);②[t 正无穷)
奇偶性：偶函数
周期性：无
解析式：
①y=ax²+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0 则抛物线开口朝上;a<0 则抛物线开口朝下;
⑶极值点：(-b/2a (4ac-b²)/4a);
⑷Δ=b²-4ac
Δ>0 图象与x轴交于两点：
([-b-√Δ]/2a 0)和([-b+√Δ]/2a 0);
Δ=0 图象与x轴交于一点：
(-b/2a 0);
Δ<0 图象与x轴无交点;
②y=a(x-h)²+t[配方式]
此时
对应极值点为(h t)
其中h=-b/2a t=(4ac-b²)/4a);
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式]
a≠0 此时
x
1、x2即为函数与X轴的两个交点
将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连用)
[编辑本段]二次函数与一元二次方程
特别地
二次函数(以下称函数)y=ax²+bx+c
当y=0时
二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)
即ax²+bx+c=0
此时
函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根
1.二次函数y=ax²
y=a(x-h)² y=a(x-h)² +k y=ax²+bx+c(各式中 a≠0)的图象形状相同 只是位置不同
它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
y=ax²
y=ax²+K
y=a(x-h)²
y=a(x-h)²+k
y=ax²+bx+c
顶点坐标
(0 0)
(0 K)
(h 0)
(h k)
(-b/2a sqrt[4ac-b²]/4a)
对 称 轴
x=0
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
当h>0时
y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到
当h<0时
则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0
k>0时
将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位 再向上移动k个单位
就可以得到y=a(x-h)²+k的图象;
当h>0 k<0时
将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位
再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;
当h<0 k>0时
将抛物线向左平行移动|h|个单位
再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;
当h<0 k<0时
将抛物线向左平行移动|h|个单位
再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;
因此
研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象 通过配方
将一般式化为y=a(x-h)²+k的形式 可确定其顶点坐标、对称轴
抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时 开口向上
当a<0时开口向下 对称轴是直线x=-b/2a 顶点坐标是(-b/2a [4ac-b²]/4a).
3.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0) 若a>0 当x ≤ -b/2a时
y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时 y随x的增大而增大.若a<0 当x ≤ -b/2a时
y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时 y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交 交点坐标为(0 c);
(2)当△=b²-4ac>0 图象与x轴交于两点A(x? 0)和B(x? 0)
其中的x1 x2是一元二次方程ax²+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外
抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×(-b/2a)-A |(A为其中一点的横坐标)
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时 图象落在x轴的上方 x为任何实数时 都有y>0;当a<0时 图象落在x轴的下方 x为任何实数时 都有y<0.
5.抛物线y=ax²+bx+c的最值：如果a>0(a<0) 则当x= -b/2a时
y最小(大)值=(4ac-b²)/4a.
顶点的横坐标
是取得最值时的自变量值 顶点的纵坐标 是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时 可设解析式为一般形式：
y=ax²+bx+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时 可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时 可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用 而形成较为复杂的综合题目 因此
以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题 往往以大题形式出现.
第27章 相似 知识框图
相似三角形的认识
对应角相等
对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 (similar triangles)
互为相似形的三角形叫做相似三角形 相似三角形的判定方法
根据相似图形的特征来判断 (对应边成比例 对应角相等)
1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交 所构成的三角形与原三角形相似;
(这是相似三角形判定的引理 是以下判定方法证明的基础
这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明)
2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等 那么这两个三角形相似;
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等 并且相应的夹角相等 那么这两个三角形相似;
4.如果两个三角形的三组对应边的比相等 那么这两个三角形相似;
绝对相似三角形
1.两个全等的三角形一定相似
2.两个等腰直角三角形一定相似
3.两个等边三角形一定相似
直角三角形相似判定定理
1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似
2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似
并且分成的两个直角三角形也相似
射影定理
三角形相似的判定定理推论
推论一：顶角或底角相等的那个的两个等腰三角形相似
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例 那么这两个三角形相似
推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例 那么这两个三角形相似
相似三角形的性质
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比
2.相似三角形周长的比等于相似比
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形的特例
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 (congruent triangles)
全等三角形是相似三角形的特例 全等三角形的特征：
1.形状完全相同 相似比是k=1
全等三角形一定是相似三角形 而相似三角形不一定是全等三角形
因此
相似三角形包括全等三角形
全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形称为全等三角形
(注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况)
当两个三角形完全重合时 互相重合的顶点叫做对应顶点 互相重合的边叫做对应边 互相重合的角叫做对应角
由此
可以得出：全等三角形的对应边相等 对应角相等
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边 两个对应角所夹的边是对应边;
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角 两条对应边所夹的角是对应角;
(3)有公共边的 公共边一定是对应边;
(4)有公共角的 角一定是对应角;
(5)有对顶角的 对顶角一定是对应角;
三角形全等的判定公理及推论
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或"边边边") 这一条也说明了三角形具有稳定性的原因
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或"边角边")
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或"角边角")
由3可推到
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或"角角边")
5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或"斜边
直角边")
所以 SSS SAS ASA AAS HL均为判定三角形全等的定理
注意：在全等的判定中 没有AAA和SSA 这两种情况都不能唯一确定三角形的形状
A是英文角的缩写(angle) S是英文边的缩写(side)
全等三角形的性质
1、全等三角形的对应角相等、对应边相等
2、全等三角形的对应边上的高对应相等
3、全等三角形的对应角平分线相等
4、全等三角形的对应中线相等
5、全等三角形面积相等
6、全等三角形周长相等
7、三边对应相等的两个三角形全等 (SSS)
8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS)
9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA)
10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 (AAS)
11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 (HL)
全等三角形的运用
1、性质中三角形全等是条件 结论是对应角、对应边相等
而全等的判定却刚好相反
2、利用性质和判定
学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键 在写两个三角形全等时 一定把对应的顶点 角、边的顺序写一致 为找对应边 角提供方便
3 当图中出现两个以上等边三角形时 应首先考虑用SAS找全等三角形
4、用在实际中
一般我们用全等三角形测等距离 以及等角
用于工业和军事 有一定帮助
全等三角形做题技巧
一般来说考试中线段和角相等需要证明全等
因此我们可以来采取逆思维的方式
来想要证全等 则需要什么
另一种则要根据题目中给出的已知条件 求出有关信息
然后把所得的等式运用(AAS/ASA/SAS/SSS/HL)证明三角形全等
位似
概念：相似且对应顶点的连线相交于一点 对应边互相平行的两个图形叫做位似
位似一定相似但相似不一定位似~
第二十八章锐角三角函数
知识框图
第25章 投影与视图 知识框图
?? ?? ?? ??
- 1 -
我这棵小树是从沙石风雨中长出来的,你们可以去山上试试,由沙石长出来的小树,要拔去是多么的费力啊!但从石缝里长出来的小树,则更富有生命力.
初三数学知识点 第一章 二次根式
1 二次根式：形如a(a0)的式子为二次根式; 性质：a(a0)是一个非负数; aaa0;
2 a2aa0。
2 二次根式的乘除： ababa0,b0;
abaa0,b0。 b 3 二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
4 海伦-秦九韶公式：Sp(pa)(pb)(pc)，S是三角形的面积，p为pabc，也称半周长。 2第二章 一元二次方程
1 一元二次方程：等号两边都是整式，且只有一个未知数，未知数的最高次是2的方程。
2 一元二次方程的解法
配方法：将方程的一边配成完全平方式，然后两边开方;
bb24ac 公式法：x
2a 因式分解法：左边是两个因式的乘积，右边为零。 3 一元二次方程在实际问题中的应用
4 韦达定理：设x1,x2是方程ax2bxc0的两个根，那么有 x1x2,x1x2 第三章 旋转 1 图形的旋转
旋转：一个图形绕某一点转动一个角度的图形变换 性质：对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角
旋转前后的图形全等。
2 中心对称：一个图形绕一个点旋转180度，和另一个图形重合，则两个图形关于这个点中心对称;
中心对称图形：一个图形绕某一点旋转180度后得到的图形能够和原来的图形重合，则说这个图形是中心对称图形;
3 关于原点对称的点的坐标
第四章 圆
1 圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义 2 垂直于弦的直径
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴;
垂直于弦的直径平分弦，并且平方弦所对的两条弧;
平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。 3 弧、弦、圆心角
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所
baca对的弦也相等。
4 圆周角
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半;
半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。
5 点和圆的位置关系
点在
dr
点在圆上 d=r 点在圆内 d
三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，外接圆的圆心是三角形的三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
6直线和圆的位置关系
相交 dr 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径;
切线的判定定理：经过圆的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆为它的内切圆，圆心是三角形的三条角平分线的交点，为三角形的内心。
7 圆和圆的位置关系
外离 d>R+r 外切 d=R+r 相交 R-r
正多边形的中心：外接圆的圆心
正多边形的半径：外接圆的半径
正多边形的中心角：没边所对的圆心角
正多边形的边心距：中心到一边的距离 9 弧长和扇形面积
弧长 lnr 180nr2 扇形面积：S
36010 圆锥的侧面积和全面积
侧面积：
全面积
11 (附加)相交弦定理、切割线定理 第五章 概率初步
1 概率意义：在大量重复试验中，事件A发生的频率某个常数p附近，则常数p叫做事件A的概率。
2 用列举法求概率
一般的，在一次试验中，有n中可能的结果，并且它们发生的概率相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率就是p(A)=m nm稳定在n 3 用频率去估计概率
一、圆的基本性质
1.圆的定义(两种)
2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3.“三点定圆”定理
4.垂径定理及其推论
5.“等对等”定理及其推论
5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理)
⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)
⑶弦切角定义(弦切角定理)
二、直线和圆的位置关系
1.三种位置及判定与性质：
2.切线的性质(重点)
3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴„⑵„
4.切线长定理
三、圆换圆的位置关系
1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)
2.相切(交)两圆连心线的性质定理
3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质
四、与圆有关的比例线段
1.相交弦定理
2.切割线定理
五、与和正多边形
1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)
2.三角形的外接圆、内切圆及性质
3.圆的外切四边形、内接四边形的性质
4.正多边形及计算
中心角：
内角的一半： (右图)
(解Rt△OAM可求出相关元素, 、 等)
六、 一组计算公式
1.圆周长公式
2.圆面积公式
3.扇形面积公式
4.弧长公式
5.弓形面积的计算方法
6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算
七、 点的轨迹
六条基本轨迹
八、 有关作图
1.作三角形的外接圆、内切圆
2.平分已知弧
3.作已知两线段的比例中项
4.等分圆周：
4、8;
6、3等分
推荐阅读：
初三数学上册的知识点06-02
苏教版初三数学知识点09-27
初三数学下学期教学工作总结06-04
初三第一学期数学的教学总结05-24
初三数学总复习07-01
初三数学月考07-25
初三数学期末复习计划05-23
初三数学学习建议09-15
初三数学周工作计划05-30
