写一份优秀教案是设计者教育思想、智慧、动机、经验、个性和教学艺术性的综合体现。下面是小编收集整理的《初三数学上册圆教案》，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助！
初三数学圆的综合复习教案
圆的有关性质
本章重点
1.圆的定义：
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.判定一个点P是否在⊙O上. 设⊙O的半径为R，OP=d，则有 d>r点P在⊙O 外; d=r点P在⊙O 上; d
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.
(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角. 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角. 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半. 4.圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. (5)平行弦夹的弧相等.
5.三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示. (4)垂心：是三角形三边高线的交点. 6.切线的判定、性质： (1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 7.圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 8.直线和圆的位置关系：
设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d.
(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R.
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R. (3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d
的每个点都在
内部的半径为R、r(R>r)，圆心距
.
没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部d>R+r. 没有公共点，且
的每一个点都在
外部
内有唯一公共点，除这个点外，内切d=R-r.
相交(5)有两个公共点R-r
10.两圆的性质：
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. (2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
11.圆中有关计算： 圆的面积公式：
，周长C=2πR.
圆心角为n°、半径为R的弧长.
圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为面积为2πRl，全面积为
.
，侧圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为
，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有
.
重点、热点
垂径定理及推论;圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理. 运用圆内接四边形的性质解有关计算和证明题. 【典型例析】
例1.(1)如图7.1-1.OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD
的弦心距，若OE=OF，则 (只需写出一个正确的结论).
(2)如图7.1-2.已知，AB为⊙O的直径，D为弦AC的中点，BC=6cm,则OD= . [特色] 以上几道中考题均为直接运用圆的有关性质解题. [解答](1)AB=CD或 AB=CD或AD=BC, 直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理. (2)由三角形的中位线定理知OD=
1BC 2[拓展]复习中要加强对圆的有关性质的理解、运用. 例2.(1)下列命题中真命题是( ). A. 平分弦的直径垂直于弦 B.圆的半径垂直于圆的切线 C.到圆心的距离大于半径的点在圆内 D.等弧所对的圆心角相等
(2)如图7.1-3.AB是⊙O的直径，CD是⊙O弦，若AB=10cm,CD=8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为( ). A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm (3)已知如图7.1-4圆心角∠BOC=100，则圆周角∠BAC的度数是( ). A. 50 B.100 C.130 D.200 [特色]着眼于基本知识的考查和辨析思维的评价. [解答] (1) D (考查对基本性质的理解). (2) D (过O作OM⊥CD，连结OC，由垂径定理得CM=
1CD=4，由勾股定理得OM=3，2而AB两点到CD的距离和等于OM的2倍) (3) A (由圆周角定理可得) [拓展] 第(2)题中，涉及圆的弦一般作弦心距. 例3.圆内接四边形ABCD，∠A、∠B、∠C的度数的比是1∶2∶3，则这个四边形的最大角是 . [特色]运用圆内接四边形的性质进行简单计算. [解答]设A=x，则∠B=2x,∠C=3x . ∵∠A+∠C=180， ∴x+3x=180， ∴ x=45. ∴∠A=45， ∠ B=90， ∠C=135， ∠ D=90. ∴ 最大角为135. [拓展]此题着眼于基本性质、基本方法的考查.设未知数，列方程求解是解此类题的基本方法.
例4.已知，如图7.1-5 BC为半圆O的直径，F是半圆上异于BC的点，A是BF的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E. (1) 求证：BE•BF=BD•BC (2) 试比较线段BD与AE的大小，并说明道理.
[特色] 此题是教材中的习题变形而来，它立意于考查分析、观察、比较、归纳等能力. [解答] (1)连结FC，则BF⊥FC. 在△BDF和△BCF中，
∵∠BFC=∠EDB=90 ， ∠ FBC=∠EBD， ∴△BDE∽△BFC， ∴ BE∶BC=BD∶BF. 即 BF•BE=BD•BC. (2) AE>BD , 连结AC、AB 则∠BAC=90. ∵AFAB, ∴∠1=∠2. 又∵∠2+∠ABC=90， ∠3+∠ABD=90，
∴∠2=∠3， ∠1=∠3， ∴ AE=BE. 在Rt△EBD中， BE>BD， ∴AE>BD. [拓展] 若AC交BE于G，请想一想，在什么情况下线段BE、BG、FG有相等关系?
例5.如图7.4-1，矩形ABCD，AD=8，DC=6，在对角线AC上取一点O，以OC为半径的圆切AD于E，交BC于F，交CD于G. (1)求⊙O的半径R;
(2)设∠BFE=α，∠GED=β，请写出α、β、90三者之间的关系式(只需写出一个)，并证明你的结论.
[特色]此题第二问设计为开放性问题，它立意考查学生分析、观察、比较、归纳能力. [解答] (1)连结OE，则OE⊥AD. ∵四边形是矩形， ∴∠D=90, OE∥CD, ∴AC=AD2DC2=8262=10. ∵△AOE∽△ACD， ∴ OE∶CD=AO∶AC， ∴ R∶6=(10-R) ∶10， 解之得： R=
15. 4(2)∵四边形是圆的内接四边形，∴∠EFB=∠EGC， ∵∠EGC=90+β，
∴α =90+β 或 ∵ β<90， α =∠EGC>90， ∴ β < 90< α. [拓展]比较角的大小时，要善于发现角与角之间的关系，判断角是锐角还是直角、钝角.
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圆综合复习
一、本章知识框架
二、本章重点
1.圆的定义：
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.判定一个点P是否在⊙O上. 设⊙O的半径为R，OP=d，则有 d>r点P在⊙O 外; d=r点P在⊙O 上; d
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.
(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角. 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角. 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半.
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4.圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. (5)平行弦夹的弧相等.
5.三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示. (4)垂心：是三角形三边高线的交点. 6.切线的判定、性质： (1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 7.圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 8.直线和圆的位置关系：
设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d.
(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R.
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R. (3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d
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9.圆和圆的位置关系： 设(1)外离(2)含(3)外切(4)d
的每个点都在
内部的半径为R、r(R>r)，圆心距
.
没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部d>R+r. 没有公共点，且
的每一个点都在
外部
内有唯一公共点，除这个点外，内切d=R-r.
相交(5)有两个公共点R-r
10.两圆的性质：
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 11.圆中有关计算： 圆的面积公式：
，周长C=2πR.
圆心角为n°、半径为R的弧长.
圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为面积为2πRl，全面积为
.
，侧圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为
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，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
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【经典例题精讲】
例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变?
例2 下列命题正确的是( ) A.相等的圆周角对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.三点确定一个圆
D.平分弦的直径垂直于弦.
例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3，求∠D.
例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径.若测得PA=5cm，则铁环的半径是__________cm.
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例5 已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB=16，求两圆的圆心距.
三、相关定理：
1.相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。(经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等)
说明：几何语言：
若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD(相交弦定理)
例1. 已知P为⊙O内一点，
，⊙O半径为
，过P任作一弦AB，设，，则关于的函数关系式为 。 2.切割线定理
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB 例2. 已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。
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四、辅助线总结 1.圆中常见的辅助线
1).作半径，利用同圆或等圆的半径相等.
2).作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明.
3).作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算.
4).作弦构造同弧或等弧所对的圆周角.
5).作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角. 6).遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角. 7).遇到切线，作过切点的半径，构造直角.
8).欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直;(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径.
9).遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点.
10).遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线;(2)连结内心和三角形的顶点.
11).遇相交两圆，常作：(1)公共弦;(2)连心线. 12).遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线.
13).求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边.
2、圆中较特殊的辅助线
1).过圆外一点或圆上一点作圆的切线. 2).将割线、相交弦补充完整. 3).作辅助圆. 【中考热点】
近年来，在中考中圆的应用方面考查较多，与一元二次方程、函数、三角函数、实际问题、作图等是中考中的热点，也是难点.
例1 (·北京市)如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5 例2 (北京市)如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB=55°，那么∠AOB等于( )
A.35° B.90° C.110° D.120°
例3 (北京市)如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于( ) A. B.
C.
D.
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例4 (河南省A卷)如图23-12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，
(1)求EM的长.
(2)求sin∠EOB的值.
例5(山西省)如图23-13，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程
(其中m为实数)的两根.
(1)求证：BE=BD; (2)若，求∠A的度数.
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九年级《数学》上册《圆》教案
教学内容：正多边形与圆 第二课时
教学目标：(1)理解正多边形与圆的关系;
(2)会正确画相关的正多边形
(3)进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想.
教学重点：
会正确画相关的正多边形(定圆心角与弧长)
教学难点：
会正确画相关的正多边形(定圆心角与弧长)
教学活动设计：
(一)观察、分析、归纳：实际生活中，经常会遇到画正多边形的问题，举例(见课本如画一个六角螺帽的平面图，画一个五角星等等。
观察、分析：如何等分圆周，画正多边形?
教师组织学生进行，并可以提问学生问题.
(二)回忆正多边形的概念，正确画正多边形：
(1)概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形.
问题：正多边形与圆有什么关系呢?
发现：正三角形与正方形都有外接圆。
分析：正三角形三个顶点把圆三等分;正方形的四个顶点把圆四等分.要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形.要将圆六等分呢?
可得：把圆分成n(n≥3)等份：
依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形;
(2)以画正六边形为例： 分析：由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆，从而得到相应的正多边形。例如，画一个边长为2cm的正六边形时，我们可以以2cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于3600/6=600的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得出正六边形(如图)
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作。例如，我们可以这样来作正六边形。(见课本)等等
(三)初步应用
1.画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星。
2.用等分圆的方法画出下列图案：(见课本107页)
(四)归纳小结：
(五)作业布置; 107-108
认识圆
教学目的：
1.知识目标：掌握圆各部分名称以及圆的特征;会用圆规画圆。
2.能力目标：借助动手操作活动，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
3.情感目标：渗透知识来源于实践、学习的目的在于应用的思想。
教学重、难点：掌握圆各部分的名称及圆的特征 。圆的画法的掌握 。 教具准备：多媒体课件、圆规、直尺等
学具准备：各种不同的圆形实物、剪刀、彩笔、直尺、圆规、圆形、纸片等 教学主要过程：
一、结合实际、谈话引入新课。
谈话引入：今天非常高兴能和六
(五)班同学一起来学习、研究一个数学问题。我们以前已经初步认识了圆，你能找出生活中哪些物品的形状是圆的吗?(生举例 师强调——指物品的表面)
师：看来大家平时非常留心观察。课前请同学们画两个大小不同的圆，并把它们剪下来，你们准备好了吗?
师：把它们举起来，大家互相看一看。回想自己画圆、剪圆的过程，你能说说圆是什么样子的吗?(师一手拿一个圆)
(圆是没有棱角的，边是弯的;圆的边是一条曲线。)
师：同学们观察得真仔细。圆的边是弯曲的，跟以前学的长方形、正方形的边是不同的。今天我们就来研究这种平面上的曲线图形。(板书课题)
二、引导探究新知。
1.导：圆里究竟藏有什么秘密呢?下面我们来做一个小实验。把你的圆对折，再对折，多折几次，把折痕画出来，看看你有什么发现，并把你的发现在小组里汇报。最后看看谁的收获多。(1分钟)
2.学生动手操作，讨论交流。几分钟后分别从圆心、半径、直径各方面纷纷展示汇报。(5分钟)
师：你们组观察得真仔细!大家的发现可真不少，现在我们就把刚才的发现整理一下。
3.展示探究结果，结合多媒体课件辅助，完整认识圆的特征。(8分钟)
谁来告诉老师，你有哪些新发现?那是什么原因呢?你怎样发现的?
结合学生交流、汇报探究结果，及时引导梳理。主要从圆的圆心、半径、直径、等方面来认识。这里特别要注意通过板书帮助学生进行新知的有目的的整理。
预设板书：
圆的认识——平面曲线图形。
圆心(o)圆中心一点确定圆的位置。
半径(r): 线段连接圆心到圆上任意一点确定圆的大小长度都相等〈在同一个圆里〉。
直径(d )线段通过圆心两端都在圆上长度都相等〈在同一个圆里〉。
半径和直径的关系 d=2r r=d/2。
4.学习画圆(5分钟)
你是如何画圆的?
课件展示如何画圆。然后学生动手练习，并强调画圆时应该注意些什么。——揭示圆大小位置的确定
学校要修建一个直径是20米的花坛，你能帮学校画出这个圆吗?生演示操作。
三、应用拓展。
1.基本练习(4分钟)
〈1〉投影出示，找出下列圆的半径 直径。
〈2〉半径、直径的相关计算。
〈3〉概念的判断和识别。
2.应用练习。(10分钟)
〈1〉车轮为什么做成圆形的，车轴应安装在哪?如果车轮制成方形的、三角形的，我们坐上去会是什么感觉呢?结合课件演示
〈2〉你能用今天学习的圆的知识去解释一些生活现象吗?(举行篝火晚会时，人们总是不知不觉会围成一个圆形，为什么?平静的湖面扔一小石子，会有什么变化?为什么?月饼为一般都做成圆形的，为什么?)
看来生活中的很多现象，都蕴含着丰富的道理，需要我们不断地探索，来认识它，解释它、运用它。
〈3〉同学们学到现在，已经很累了，我们来轻松一下吧。老师给大家猜一个迷语。有一个人在一片青草地上钉了一根木桩，用一根绳子拴了一只羊在那里。(利用电脑配上画面)先请同学们猜测一个字。(很多学生都说可以猜“样”)再学生猜两个字的水果名，学生在启发下猜出草莓(草没的谐音)。
师：羊吃草的情况与今天学的知识有关吗?我们来看一看羊吃草的最大范围有多大好吗?(用电脑演示羊拉紧绳子旋转一周的情况，让学生直观的看到原来羊能吃到的草的最大范围是一个圆，拴羊的绳子与这个圆有什么关系吗?(是这个圆的半径)钉在那儿的木桩是这个圆的什么呢?(是这个圆的圆心)如果要让这个羊吃草的范围更大一点可以怎么办?(把绳子放长一点，也就是把半径扩大)如果要让羊到另外一个地方去吃草，可怎么办?(可以把木桩移动一个地方，也就是移动圆心的位置)，这说明圆的半径与圆心与圆有什么关系呢?(圆的半径决定了圆的大小，而圆的圆心可以决定圆的位置。)
四、总结全课(3分钟)
1.质疑(篮球是圆形吗?表示圆心、半径和直径的字母可以随意改变吗?)
2.这节课你都学会了什么?
不管怎么说，老师觉得同学们的学习表现是不错的，所以我提议：我们一起伸出手划上一个圆满的句号。(句号是圆形的)
延伸：
1.用圆作画。
2.谈谈我眼中的圆。
初
二
(数学)学科学习指导案
年
月
日
课
题
24.1.1
圆
课型
新授
课时
1
教材分析
本节内容是圆的概念以及与圆有关的一些性质，他们是进一步学习圆的相关内容的基础。
学情分析
学生对圆有一定了解，但理解不深
课程目标
1、
探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别.
2、体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
学习重点
圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题.
学习难点
圆的运动式定义方法
教具准备
圆规
学案
学习过程
学习内容
学习形式
教师指导
时间
一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容
活动1：如图1，观察下列图形，从中找出共同特点.
学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形
说出图形特点，引入新课
让学生观察图形，感受圆和实际生活的密切联系，同时激发学生的学习渴望以及探究热情.
学习过程
学习内容
学习形式
教师指导
时间
二、问题引申，探究圆的定义，培养学生的探究精神
活动2：如图2，观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗?(课件：画圆)
图2
圆：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆;
圆心：固定的端点叫作圆心;
半径：线段OA的长度叫作这个圆的半径.
圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
同时从圆的定义中归纳：
(1)圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径);
(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
于是得到圆的第二定义：
所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆.
活动3：讨论圆中相关元素的定义.如图3，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗?
弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦;
直径：经过圆心的弦叫作直径;
弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧;
弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”;
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆.
优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图3中的;
劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如图3中的.
学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现在一个平面内一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点形成的图形就是圆.
学生小组讨论，讨论结束后派一名代表发言进行交流，在交流中逐步完善自己的结果.
表示的区别
在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作一界定：
强调同一平面内
在学生交流的基础上得出上述概念的严格定义，对于学生的不准确的叙述，可以让学生讨论解决.
当堂检测
如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点，若AC=10cm，求OD的长.
学生过程不完善
作业布置
请您在布置作业前先试做，建议根据学情布置个性化作业，为学生减负。
能力培养
能力提升
如图，CD为⊙O的直径，∠EOD=72°，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数
板书设计
圆
课后反思
圆的第一课，半径相等作为已知条件，学生用的不熟练。
一、本章知识框架
二、本章重点
1.圆的定义：
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.判定一个点P是否在⊙O上. 设⊙O的半径为R，OP=d，则有 d>r点P在⊙O 外; d=r点P在⊙O 上; d
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.
(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角. 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角.
1
弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半.
4.圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. (5)平行弦夹的弧相等.
5.三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.
(4)垂心：是三角形三边高线的交点.
6.切线的判定、性质： (1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
2
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
7.圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
8.直线和圆的位置关系：
设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d.
(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R.
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R. (3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d
9.圆和圆的位置关系：(不考了) 设(1)外离(2)含(3)外切(4)d
的每个点都在
内部的半径为R、r(R>r)，圆心距
.
没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部d>R+r. 没有公共点，且
的每一个点都在
外部
内有唯一公共点，除这个点外，内切d=R-r.
相交(5)有两个公共点R-r
10.两圆的性质：
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
11.圆中有关计算： 圆的面积公式：
，周长C=2πR.
圆心角为n°、半径为R的弧长.
3
圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为面积为2πRl，全面积为
.
，侧(补考圆锥面积了)圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为半径之间有
【经典例题精讲】
例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变?
分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律. 解：
连结OP，
.
，母线长、圆锥高、底面圆的
P点为中点.
小结：此题运用垂径定理进行推断. 例2 下列命题正确的是( ) A.相等的圆周角对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.三点确定一个圆
D.平分弦的直径垂直于弦. 解：
A.在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确.
4
B.等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确. C.三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆. D.平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦. 故选B.
例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3，求∠D. 分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等. 解：
设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠D=∠A+∠C-∠B=2x. x+2x+3x+2x=360°， x=45°. ∴∠D=90°.
小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD=1︰2︰3，求AD的长.
例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径.若测得PA=5cm，则铁环的半径是__________cm. 分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解. 解：
.
小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型.
例5 已知
相交于A、B两点，
的半径是10，
的半径是17，公共弦AB=16，求两圆的圆心距. 解：分两种情况讨论： (1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设
与AB交于C，连结又∵AB=16 ∴AC=8. ，则垂直平分AB，∴
.
5 在在故(2)若中，中，
.
位于AB的同侧(如图23-9)，设
.
∵垂直平分AB，
的延长线与
. .
AB交于C，连结∴.
又∵AB=16，
∴AC=8. 在在故中，中，
.
. .
注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题.
1.相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。(经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等)
说明：几何语言：
若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD(相交弦定理)
例1. 已知P为⊙O内一点，P任作一弦AB，设为
。 解：由相交弦定理得
，
，⊙O半径为
，过
，则关于的函数关系式
，即，其中
2.切割线定理
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB
6
例2. 已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。
解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：即由切割线定理，理，∴ ∴
，(舍)
由勾股定
∴
四、辅助线总结(重要) 1.圆中常见的辅助线
1).作半径，利用同圆或等圆的半径相等.
2).作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明.
3).作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算.
4).作弦构造同弧或等弧所对的圆周角.
5).作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角. 6).遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角. 7).遇到切线，作过切点的半径，构造直角.
8).欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直;(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径.
9).遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点.
10).遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线;(2)连结内心和三角形的顶点.
11).遇相交两圆，常作：(1)公共弦;(2)连心线. 12).遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线.
13).求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边.
2、圆中较特殊的辅助线
1).过圆外一点或圆上一点作圆的切线. 2).将割线、相交弦补充完整. 3).作辅助圆.
例1如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
分析：连结OC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB知CD=DE.设AE=x，则在Rt△CEO中，
，即
，则
，
(舍去).
答案：A.
例2如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB=55°，那么∠AOB等于( )
A.35° B.90° C.110° D.120°
分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠AOB=2∠BAC=2×55°=110°.答案：C.
例3 如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于( ) A. B.
C.
D.
分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长;另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即
.答案：B.
例4 如图23-12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，
.
求：EM的长.
简析：(1)由DC是⊙O的直径，知DE⊥EC，于是.设EM=x，则AM·MB=x(7-x)，即.所以
.而EM>MC，即EM=4.
例5如图23-13，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程
(其中m为实数)的两根.
(1)求证：BE=BD; (2)若，求∠A的度数.
简析：(1)由BE、BD是关于x的方程
的两根，得
，则m=-2.所以，原方程为
.得
8
.故BE=BD.
(2)由相交弦定理，得
，即
.而PB切⊙O于点B，AB为⊙O的直径，得∠ABP=∠ACB=90°.又易证∠BPD=∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，则
，
，所以
，所以
.在Rt△ACB中，
，故∠A=60°.
9
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