积分不等式的证明

第1篇：积分不等式的证明

用微积分证明不等式的技巧和方法

摘 要： 不等式的证明方法很多，其证明蕴涵了丰富的数学知识、逻辑推理和非常高的技巧，本文讨论了利用微积分知识证明不等式的技巧和方法。

关键词： 微积分 不等式 证明方法

不等式的证明是微积分应用的一个常见问题，通过解决这类问题，可以加深学生对微积分知识的理解，从而提高学生分析问题和解决问题的能力.本文通过各种题型分析解答，总结出用微积分证明不等式的一些常见基本方法.

1.利用函数的单调性证明不等式

例1：证明：当x>0时，x>sinx>x-.

证明：先证x>sinx，设f(x)=x-sinx，则f′(x)=1-cosx≥0，即f(x)是增函数.

而f(0)=0，故有当x>0时，x>sinx.

设g(x)=sinx-x+，则g′(x)=cosx-1+，g″(x)=x-sinx.而当x>0有g″(x)=x-sinx>0，故有g′(x)>0，即g(x)在(0，+∞)上单调上升.又g(0)=0，所以x>sinx>x-.

例2：证明不等式x-0).

证明：设f(x)=x--ln(1+x)

∵f′(x)=1-x-=<0

∴f(x)在(0，+∞)上单调下降

又∵f(0)=0

∴当x>0时，有f(x)=x--ln(1+x)<0，

即x-

2.利用微分中值定理证明不等式

例3：证明当x>0时，

证明：设f(t)=lnt，当x>0时，f(t)在[1，1+x]上满足拉格朗日中值定理条件，

∴?埚ξ∈[1，1+x]，使=，1<ξ<1+x

∵ln(1+x)-ln1=ln(1+x)，<<1

∴

例4：设a>e，0(cosx-cosy)alna.

证明：设f(t)=a，g(t)=cost.

由条件可知，f(t)，g(t)在[x，y]，(0

即=，0

∴a-a=a(cosx-cosy)lna/sinξ

>(cosx-cosy)alna>(cosx-cosy)alna

3.利用函数的最值证明不等式

例5：设0≤x≤1，p>1，证明不等式≤x+(1-x)≤1.

证明：设F(x)=x+(1-x)，则

F′(x)=px+p(1-x)(-1)=p[x-(1-x)]

F″(x)=p(p-1)x+p(p-1)(1-x)

令F′(x)=0，得x=;因p>1，所以有

F″()+p(p-1)[()+()]>0.

故F(x)在[0，1]上最大值是1，最小值是，即有

≤x+(1+x)≤1.

4.利用函数的凹凸性证明不等式

例6：证明xlnx+ylny>(x+y)ln，(x>0，y>0).

证明：设f(x)=xlnx，则对于x>0图形是凹的，于是对任意两点x和y，得

xlnx+ylny>(x+y)ln.

5.利用函数极限证明不等式

例7：证明：当x充分大时，xe

证明：因为=0，所以x充分大后，有<1，即xe

例8：设f(x)=asinx+asin2x+…+asinnx，并且|f(x)|≤|sinx|，a，a，…，a为实常数，求证：|a+2a+…+na|≤1.

证明：∵|f(x)|≤|sinx|

∴≤(x≠0)即

=a+a+…+a≤

上式两边令x→0，由重要极限=1

得|a+2a+…+na|≤1.

参考文献：

[1]费定晖，周学圣编译.吉米多维奇数学分析习题集题解[M].山东：山东科学技术出版社，2001.08.

[2]赵振威主编.中学数学教材教法[M].上海：华东师范大学出版社，2000.01.

[3]刘玉琏，傅沛仁编.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1997.12.

注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”

作者：罗世尧

第2篇：行列式与不等式证明

随着新课程的开展，高等数学的思想方法在高中数学中渗透越来越深.行列式作为高等代数中的一个重要理论与重要工具，从更高的角度研究高中数学中的问题，将使学生从中学的解题思维定式中解放出来，用更广阔的眼光看中学数学问题. 不等式是高考的重点考查内容， 在此我们给出了个教材中一些不等式的行列式证明方法，将高中数学知识融会贯通，同时发展学生的发散思维，培养学生对知识的迁移能力.

作者：杨立群

第3篇：积分不等式的证明方法

南通大学毕业论文

摘

要

在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结.

关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性

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ABSTRACT

When we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill.In this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of elementary mathematics and higher mathematics better. Also our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing related content, complementing and promoting related content.In this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function,important integral inequality, integral mean value theorem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper is summarized.

Key words: Integral Inequality, Definite Integral,Mean Value Theorem,

Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty

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1.引

言

不等式在数学中有着重要的作用,在数量关系上,尽管不等关系要比相等关系更加普遍的存在于人们的现实世界里,然而人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到17世纪之后,不等式的理论才逐渐的成长起来,成为数学基础理论的一个重要组成部分.众所周知,不等式理论在数学理论中有着重要的地位,它渗透到了数学的各个领域中,因而它是数学领域中的一个重要的内容.其中积分不等式更是高等数学中的一个重要的内容.

实际上关于定积分的概念起源于求平面图形的面积和一些其他的实际问题.有关定积分的思想在古代就有了萌芽,比如在公元前240年左右的古希腊时期,阿基米德就曾经用求和的方法计算过抛物线弓形和其他图形的面积.在历史上,积分观念的形成要比微分早.然而直到17世纪后半期,较为完整的定积分理论还没有能够形成,一直到Newton-Leibniz公式建立之后,有关计算的问题得以解决后,定积分才迅速的建立并成长起来.

本论文研究的积分不等式结合了定积分以及不等式.关于它的证明向来是高等数学中的一个重点及难点.对积分不等式的证明方法进行研究，并使其系统化，在很大程度上为不同的数学分支之间架起了桥梁.深刻的理解及掌握积分不等式的证明方法可以提升我们对其理论知识的理解,同时可以提高我们的创造思维和逻辑思维.

在论文的第三部分中对积分不等式的证明方法进行了详细的阐述.分别从利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理、利用定积分的性质这八个方面给出了例题及证明方法.这样通过几道常见的积分不等式的证明题,从不同的角度,用不同的方法研究、分析了积分不等式的特点,归纳总结出了其证明方法.同时论文中也对有的题目给出了多种证明方法,这启示我们对于同一道积分不等式而言它的证明方法往往不止一种,我们需要根据实际情况采用合适的方法去证明,从而达到将问题化繁为简的目的.

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2.几个重要的积分不等式

在高等数学的学习中我们遇到过许多重要的积分不等式,如Cauchy-Schwarz不等式,Young不等式等.它们的形式及证明方法都有很多种,在这一小结中我们将给出这两种积分不等式的证明方法.

2.1 Cauchy-Schwarz不等式

无论是在代数还是在几何中Cauchy-Schwarz不等式的应用都很广泛,它是不同于均值不等式的另一个重要不等式.其形式有在实数域中的、微积分中的、概率空间,F,P中的以及n维欧氏空间中的4种形式.接下来在这一部分中我们将对其在微积分中的形式进行研究.

定理2.1[1] 设f(x), g(x)在[a,b]上连续,则有

[f(x)g(x)dx]2{[f(x)]2dx} {[g(x)]2dx}.

aaabbb证明：要证明原不等式成立,我们只需要证



设Ftt2abaf2xdxat2bbgxdxfxgxdx0成立. a 222tfxdxgxdxfxgxdx,则只要证FbFa成立,

aa由Ft在[a,b]上连续,在a,b内可导,得

Ftf2tg2xdxg2tf2xdx2ftgtfxgxdxaaa2222ftgx2ftgtfxgxgtfxdx atttt

ftgxgtfxdx0.

(2.1) a由(2.1)式可知Ft在[a,b]上递增,由ba,知FbFa,故原不等式成立.

证毕

实际上关于Cauchy-Schwarz不等式的证明方法有很多,这里我们采用的证明方法是较为普遍的辅助函数法,它将要证明的原积分不等式通过移项转变为了判断函数在两个端点处函数值大小的问题.通过观察我们可以进一步发现原Cauchy-Schwarz不等式能够改写成以下行列式的形式 t2 4 南通大学毕业论文

fxfxdxgxfxdx0,

aabbbafxgxdxgxgxdxab由此我们可以联想到是否可以将它进行推广?答案是肯定的.下面我们将给出

CauchySchwarz不等式的推广形式.

定理2.2[2] 设fx,gx,hx在a,b上可积,则

hxfxdxfxgxdxgxgxdxhxgxdx0. fxhxdxgxhxdxhxhxdxaaabbbaaabbbaaabfxfxdxbgxfxdxb 证明：对任意的实数t1,t2,t3,有

bat1fxt2gxt3hxdx

bbbaaa2t12f2xdxt22g2xdxt32h2xdxbbaa

ba2t1t2fxgxdx2t1t3fxhxdx2t2t3gxhxdx0. 注意到关于t1,t2,t3的二次型实际上为半正定二次型, 从而其系数矩阵行列式为

babbaf2xdxbagxfxdxabhxb2fxdx

xfxhfaxgxdxdxbab2agxdxbaxhag0x.d x证毕 xdxgxhxdxh以上的推广是将Cauchy-Schwarz不等式的行列式由二阶推广到了三阶的形式,事实上Cauchy-Schwarz不等式是一个在很多方面都很重要的不等式,例如在证明不等式,求函数最值等方面.若能灵活的运用它则可以使一些较困难的问题得到解决.下面我们会在第三部分给出Cauchy-Schwarz不等式及其推广形式在积分不等式证明中的应用.

除了Cauchy-Schwarz不等式之外还有很多重要的积分不等式,例如Young不等式,相较于Cauchy-Schwarz不等式我们对Young不等式的了解比较少,实际上它也具有不同的形式且在现代分析数学中有着广泛的应用.接着我们将对Young不等式进行一些研究.

2.2 Young不等式

Young不等式,以及和它相关的Minkowski不等式,HÖlder不等式,这些都是在现代分

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析数学中应用十分广泛的不等式,在调和函数、数学分析、泛函分析以及偏微分方程中这三个不等式的身影随处可见,是使用得最为普遍,最为平凡的知识工具.下面我们将给出积分形式的Young不等式的证明.

定理2.3[3] 设f(x)在[0,c](c0)上连续且严格递增,若f(0)0,a[0,c]且b[0,f(c)],则0f(x)dx0f1(x)dxab,其中f1是f的反函数,当且仅当bf(a)时等号成立.

证明：引辅助函数g(a)abf(x)dx,

(2.2)

0aab把b0看作参变量,由于g(a)bf(a),且f严格递增,于是

当 0af1(b)时,g(a)0;当 af1(b)时,g(a)0;当 af1(b)时,g(a)0. 因此 当af1(b)时,g(a)取到g的最大值,即

gamaxgxgf1b

(2.3)

由分部积分得

f1(b)f1(b)0g(f(b))bf(b)作代换yf(x),上面积分变为

11f(x)dx0xdf(x),

g(f1(b))f1(y)dy,

(2.4)

0b将(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得

abf(x)dxf(y)dyf1(x)dx,

000ab1b即f(x)dxf1(x)dxab. 证毕

00ab 6 南通大学毕业论文

3.定积分不等式常见的证明方法

关于积分不等式的证明方法较为繁多,难度及技巧性也较大,因此对其进行系统的归纳总结是很有必要的.在这一部分中我们将归纳出利用辅助函数、微分中值定理、重要积分不等式及积分中值定理等证明积分不等式的方法.

3.1 利用函数的凹凸性

在数学分析以及高等数学中,我们常常会遇到一类特殊的函数—凸函数.凸函数具有重要的理论研究价值和广泛的实际应用,在有些不等式的证明中,若能灵活地利用凸函数的性质往往能够简洁巧妙的解决问题.下面给出一个例子加以说明.

定理3.1 若t定义在间隔m,M内,且t0,则t必为下凸函数.

定理3.2 设fx在[a,b]上为可积分函数,而mf(x)M.又设t在间隔mtM内为连续的下凸函数,则有不等式

1b1bfxdxfxdx. aabababb例3.1[4] 设fx在a,b上连续,且fx0,求证：fxdxaa12dxba. fx证明: 取u112, 因为u20,u30,u0 uuu即在u0时,yu为凸函数,故有

1b1bfxdxfxdx， aabababa即fxdxabba1dxbbfx12dxba.

证毕 ，故fxdxaafxba在上述的题目中我们可以发现在证明中常常先利用导数来判断函数的凹凸性,然后再利用凹(凸)函数的性质来证明不等式.然而对于实际给出的题目,我们往往需要先构造一个凹(凸)函数,然后才能利用其性质来证明我们所要证明的问题.

3.2 辅助函数法

辅助函数法是积分不等式证明中的一种非常重要的方法,往往我们会根据不等式的特点,构造与问题相关的辅助函数,考虑在相同的区间上函数所满足的条件,从而得出欲证明

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的结论.在第二部分中我们用辅助函数法对Cauchy-Schwarz不等式进行了证明,下面将对用辅助函数法证明积分不等式进行进一步的探讨.

例3.2.1[5] 设函数fx在区间0,1上连续且单调递减,证明：对a(0,1)时, 有： fxdxaf(x)dx.

00a11x证明：令Fxf(t)dt 0x1,由fx连续,得Fx可导

x0则Fxfxxftdt0xx2 fxxfxfxf , (0x). 2xx因为f(x)在[0,1]上单调减少,而0x,有fxf, 从而Ft0,Fx在(0,1]上单调减少,则对任意a(0,1),有F(a)F(1). 即

a111af(x)dxafxdx. 证毕 a,两边同乘即得f(x)dxfxdx,0000a本题根据积分不等式两边上下限的特点,在区间(0,1)上构造了一个辅助函数,进一步我们可以思考对于一般的情形,该题的结论是否依然成立呢?答案是肯定的. 例3.2.2 设函数fx在区间0,1上连续且单调递减非负,证明：对a,b(0,1),且0ab1时,有: fxdx0aabf(x)dx. ab证明：令FxFx1xf(t)dt,0x1,由fx连续,得Fx可导, 则 x0x0fxxftdtx2 fxxfxfxf , (0x). 2xx因为f(x)在[0,1]上单调减少,而0x,有fxf,从而Ft0,Fx在(0,1]上单调减少,则对任意0ab1,有F(a)F(b),即

1a1b ftdtftdt.

(3.1)

a0b0由f非负,可得fxdxfxdx.

(3.2) 0abb结合(3.1)式和(3.2)式可得 即a1a1bfxdxfxdx. a0ba0abfxdxfxdx.

证毕

babbaa例3.2.3[6] 函数f(x)在[a,b]上连续,且fx0 试证：f(x)dx 8

1dx(ba)2. f(x)南通大学毕业论文

在例3.1中我们给出了本题利用函数的凹凸性证明的过程,在这里我们将给出其利用辅助函数法证明的过程.

证明: 构造辅助函数xftdtaxxadt2xa, 则 ft xfxxaxdt1ftdt2xaftafx

xaxftxfxdtdt2dt

afxaftxfxft2dt0, aftfx

所以x是单调递增的,即ba0,故fxdxabba12dxba. 证毕 fxabbxfxdxfxdx.

2a例3.2.4 设fx在a,b上连续且单调增加,证明：[7]

ba证明: 原不等式即为xfxdx则Fttft1t2a1taftf , a,t.

2abbfxdx0,构造辅助函数 aa2tattFtxfxdxfxdx ,ta,b,

a2atat1fxdxfttaftfxdxa 2 2b因为at,fx单调增加,所以Ft0.故Ft在a,b上单调递增,且Fa0, 所以对x(a,b],有FxFa0.当xb时,Fb0.即

baxfxdxabbfxdx0,故原不等式成立, 证毕 a2通过以上几道题目的观察我们可以发现：

1.当已知被积函数连续时,我们可以把积分的上限或者是下限作为变量,从而构造一个变限积分,然后利用辅助函数的单调性加以证明.

2.辅助函数法实际上是一种将复杂的问题转化为容易解决的问题的方法.在解题时通常表现为不对问题本身求解而是对与问题相关的辅助函数进行求解,从而得出原不等式的结论.

3.3 利用重要积分不等式

在第2部分中我们给出了Cauchy-Schwarz不等式以及它的推广形式的证明过程,实际上Cauchy-Schwarz不等式的应用也很广泛,利用它可以解决一些复杂不等式的证明.在这一小节中我们将通过具体的例子来加以说明它在证明积分不等式中的应用.

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例3.3.1[8] 函数fx在0,1上一阶可导,f1f00, 试证明：10112fxdxfxdx.

402证明：由fxftdtf0和fxftdtf10x1x

可得

f2xx0ftdt2xx1112dtf2tdtxf2xdx, (x0,), 0002111112dtf2tdt(1x)f2xdx, (x,1). xx02 f2xxftdt12因此 f2xdx 120112fxdx,

(3.3) 0811

2(3.4) fxdx.8010

112f2xdx将(3.3)式和(3.4)式相加即可以得到f2xdx[2]

112fxdx.

证毕 40b例3.3.2 设fx,gx在a,b上可积且满足：0mfxM,gxdx0,

a则以下两个积分不等式

bafxgxdx2b2f2xdxg2xdxm2bag2xdx及

aaabbb bafxgxdx2MmMmbaaf2xdxg2xdx成立.

ab证明：取hx1,由gxdx0及定理2.2知

babaf2xdxfxgxdxfxdxbagxfxdxfxdx0 gxdxaab2abb0bab bafab2xdxagxdxafxdxagxdxbaafxgxdx22bb2b0.

2因此

 bafxgxdx2baf2xdxab1gxdxba2bafxdxgxdx.

(3.5)

2b2a 10 南通大学毕业论文

由mfx可知 bafxdx2b22m2ba,

bb2因而bafxgxdxafxdxagxdxmbaag2xdx.

22MmMm由于0mfxM,因此fx.

22化简得f2xMmMmfx, 两边同时积分得 f2xdxMmbaMmfxdx, aabb22由算数-几何平均值不等式可知

于是2baf2xdxMmbaf2xdxMmba,

abbaabf2xdxbafxdx2Mm4Mm2.

1则ba bafxdxgxdxba2b2abfxdxba2af2xdxbaf2xdxag2xdx

b2Mma4Mmb

(3.6) f2xdxg2xdx.

ab由式(3.5)和式(3.6)可知

bafxgxdx2MmMm2baf2xdxg2xdx.

证毕

ab以上两道题分别利用了Cauchy-Schwarz不等式及其推广形式.我们在证明含有乘积及平方项的积分不等式时应用Cauchy-Schwarz不等式颇为有用,但要注意选取适当的fx与gx,有时还需对积分进行适当的变形.

3.4 利用积分中值定理

积分中值定理展现了将积分转化为函数值,或者是将复杂函数积分转变为简单函数积分的方法.其在应用中最重要的作用就是将积分号去掉或者是将复杂的被积函数转化为相比较而言较为简单的被积函数,从而使得问题能够简化.因此合理的利用积分中值定理能够有效的简化问题.下面将通过两道例题来说明.

定理3.3(积分第一中值定理) 若f(x)在[a,b]上可积且mf(x)M,则存在

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u[m,M]使f(x)dxu(ba)成立.特别地,当f(x)在[a,b]上连续,则存在c[a,b],使abbaf(x)dxf(c)(ba)成立.

定理3.4(积分第一中值定理的推广) 若函数fx,gx在区间a,b上可积,fx连续,gx在a,b上不变号,则在积分区间a,b上至少存在一个点,使得下式成立

fxgxdxfgxdx.

aabb定理3.5(积分第二中值定理的推广) 若函数fx,gx在区间a,b上可积,且fx为单调函数,则在积分区间a,b上至少存在一个点,使得下式成立 fxgxdxfagxdxfbgxdx.

aabb例3.4.1 设函数fx在区间0,1上连续单调递减,证明：对a,b(0,1),且0ab1时,有fxdx0aabf(x)dx,其中fx0. ab对于这道题目我们在3.2.2中给出了其利用辅助函数法证明的过程,实际上这道题目还可以用积分第一中值定理来证明,下面我们将给出证明过程.

证明：由积分中值定理知

0afxdxf1a, 10,a; fxdxf2ba,2a,b;

ab因为12,且fx递减,所以有f1f2, 1a1b1bfxdxfxdxfxdx, 0aaababaab故 fxdxfxdx. 证毕

0ba即

例3.4.2 设fx在a,b上连续且单调增加,证明：baabbxfxdxfxdx.

2a同样地，在之前的证明中我们给出了此题利用辅助函数法证明的过程,仔细分析观察这道题目我们还可以发现它可以用积分第

一、第二中值定理的推广形式来证明,接着我们将给出此题在这两种方法下的证明过程.

证法一

bababab2证明: xxfxdxxfxdxabfxdx. aa2222bab 12 南通大学毕业论文

abab由定理3.4可知,分别存在1a,,,b, 222使得 ab2aabab2xfxdxfx1adx, 22abbabab abxfxdxfx2abdx, 2222 babab因此xfxdxa28b2ff,由于fx在0,1单调增加的,且

210121,所以有 f2f10.

ab从而xfxdx0,故原不等式成立, 证毕 a2b证法二

证明:由定理3.5可知：存在a,b,

bababab使得 xfaxdxfbxfxdxdx aa222b fafbab.

由fx单调增加及a,b知fafb0,a0,b0.

bab可得xfxdx0,故原不等式成立, 证毕 a2通过上述两道题目我们可以了解到积分中值定理在实际应用中起到的重要作用就是能够使积分号去掉,或者是将复杂的被积函数转化为相对而言较简单的被积函数,从而使问题得到简化.因此,对于证明有关结论中包含有某个函数积分的不等式,或者是要证明的结论中含有定积分的,可以考虑采用积分中值定理,从而去掉积分号,或者化简被积函数.

3.5 利用积分的性质

关于积分的性质在高等数学的学习中我们已经学到了很多,我们可以利用它来证明许多问题.在这里我们主要利用定积分的比较定理和绝对值不等式等性质对问题进行分析处理.

例3.5.1[9] 设fx在0,1上导数连续,试证：x0,1,

13 南通大学毕业论文

有 fxfxfxdx. 0证明：由条件知fx在0,1上连续,则必有最小值, 1即存在x00,1,fx0fx, 由ftdtfxfx0fxfx0ftdt, x0x0xx fxfx0ftdtfx0x0xxx0ftdtfx0ftdt

0101 fx0dt0110ftdtftdt01ftftftdtdt 0

1fxfxdx.故原不等式成立, 证毕

013.6 利用泰勒公式

在现代数学中泰勒公式有着重要的地位,它在不等式的证明、求极限以及求高阶导数在某些点的数值等方面有着重要的作用.关于泰勒公式的应用已经有很多专家学者对其进行了深入的研究,下面我们将举例说明利用泰勒公式也是证明积分不等式的一种重要方法.

定理3.6(带有拉格朗日型余项的Taylor公式) 设函数f(x)在点x0处的某邻域内具有n1阶连续导数,则对该邻域内异于x0的任意点x,在x0与x之间至少存在一点,使得：

f(x0)fn(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)nRn(x)

(1)

2!n!f(n1)()其中Rn(x)(xx0)n1(在x与x0之间)称为拉格朗日型余项,(1)式称为泰勒公(n1)!式.

例3.6.1[10] 设fx在a,b上有二阶连续导数,fafb0,Mmaxfx,

xa,b试证明:fxdxabba123M.

证明：对xa,b,由泰勒公式得

f

fafxfbfxf1xax21xbx2faxa,x, , 2fbxx,b, , 2ab122, 两式相加得 fxfxxfaxfbx24 14 南通大学毕业论文

两边积分得 fxdxabbaab1b22dx, fxxdxfaxfbxa24bbbabab其中 fxxdxxdfxfxdx, aaa22于是有 fxdx故 ba1b22dx, faxfbxaa8Mb22dxMba3. 证毕 fxdxaxbx8a12b例3.6.2[6] 设fx在a,b上有二阶导数,且fx0,

ab求证 fxdxbaf. a2b证明：将fx在x0ab处作泰勒展开得到 22ab1abababab, fxffxfxx,.

222222

ababab因为fx0,所以可以得到 fxffx,

222babababb对不等式两边同时积分得到 fxdxfbafxadx. a222bab因为xdx0, 所以有afxdxbaa2babf. 证毕

2通过这两道题目我们大致可以了解到当题目中出现被积函数在积分区间上有意义且有二阶及二阶以上连续导数时,是提示我们用泰勒公式证明的最明显的特征.一般情况下我们选定一个点xo,并写出fx在这个点xo处的展开公式,然后进行适当的放缩或与介值定理相结合来解决问题.

3.7 利用重积分

在一些积分不等式的证明中,由于被积函数的不确定,从而我们不能求出其具体的数值,这时我们可以将定积分转换为二重积分再利用其性质来求解.以下列举了3种利用重积分来证明积分不等式的方法,这种技巧在高等数学中虽然不常见,但却是很重要的,下面我们将通过3道例题来进一步说明.

15 南通大学毕业论文

3.7.1 直接增元法

命题一[11]：若在区间[a,b]上f(x)g(x),则f(x)dxg(x)dx.

aa

bb例3.7.1[11] 设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足：

xaf(t)dtg(t)dt,x[a,b],af(t)dtag(t)dt,证明：axf(x)dxaxg(x)dx.

axbbbb证明：由题得f(t)dtg(t)dt, aaxx从而可以得到dxf(t)dtdxg(t)dt,即dx[f(t)g(t)]dt0.

aaaaaabxbxbx左式dx[f(t)g(t)]dt [f(t)g(t)]dxdt (其中D{(x,t)|axb,atx}) aaDbx dt[f(t)g(t)]dx (bt)[f(t)g(t)]dt

atabbb b[f(t)dtg(t)dt][tf(t)dttg(t)dt][tf(t)dttg(t)dt]0.

aaaaaabbbbaaaabbbbbb则 tf(t)dttg(t)dt0 , 即xf(x)dxxg(x)dx. 证毕

在本题中我们将一元积分不等式f(x)dxg(x)dx的两边同时增加一个积分变量

aaxxbadx，使得一元积分不等式化为二元积分不等式，然后巧妙的运用转换积分变量顺序的方法达到证明一元积分不等式的方法. 3.7.2 转换法

在利用重积分来证明积分不等式的时候，我们不但可以采用直接增元法，还可以采用转换法.关于转换法又分为将累次积分转换为重积分，以及将常数转换为重积分这两种形式.下面我们将依次来介绍这两种方法. 1.将累次积分转为重积分

命题二[11] 若f(x)在[a,b]上可积,g(y)在[c,d]上可积,则二元函数f(x)g(y)在平面区域D{(x,y)|axb,cyd}上可积,且

Df(x)g(y)dxdyf(x)dxg(y)dyf(x)dxg(x)dx.

acacbdbd其中D{(x,y)|axb,cyd}

例3.7.2[11] 设p(x),f(x),g(x)是[a,b]上的连续函数,在[a,b]上,p(x)0,f(x),g(x)为单调递增函数,试证：

16 南通大学毕业论文

babap(x)f(x)dxp(x)g(x)dxp(x)dxp(x)f(x)g(x)dx.

aaabbbaaabbb

证明：由p(x)f(x)dxp(x)g(x)dxp(x)dxp(x)f(x)g(x)dx可知：

babap(x)dxp(x)f(x)g(x)dxp(x)f(x)dxp(x)g(x)dx0,

aaabbaabbb令Ip(x)dxp(x)f(x)g(x)dxp(x)f(x)dxp(x)g(x)dx, ab下证I0;

Ip(x)dxp(x)f(x)g(x)dxp(x)f(x)dxp(x)g(x)dx

aaaabbbb

同理

p(x)dxp(y)f(y)g(y)dyp(x)f(x)dxp(y)g(y)dy

aaaabbbbbabbabp(x)p(y)f(y)g(y)dxdybabap(x)f(x)p(y)gydxdy

aap(x)p(y)g(y)[f(y)f(x)]dxdy.

(3.7) bbbIp(x)dxaabab(p)x(f)x(g)xdxab(p)x(f)xdx()pxgxdx

a

p(y)dybbap()xf()xg()xdxab(p)y(f)ydy(p) xgxdxab p(y)p(x)g(x)[f(x)f(y)]dxdy.

(3.8) aa

(3.7)(3.8) 得

2Ibabap(x)p(y)[g(y)g(x)][f(y)f(x)]dxdy, 因为f(x),g(x)同为单调增函数,所以[g(y)g(x)][f(y)f(x)]0 又因为p(x)0,p(y)0,故 2Ibabap(x)p(y)[g(y)g(x)][f(y)f(x)]dxdy0,即I0.

证毕

2.将常数转换为重积分的形式

在例3.7.2中我们介绍了将累次积分转换为重积分,在下面的例3.7.3中我们将对常数转换为重积分来进行说明.我们可以发现有这样一个命题,若在二重积分中被积函数f(x,y)k,则可得到kdk(ba)2,其中D{(x,y)|axb,ayb}.

D例3.7.3函数f(x)在[a,b]上连续,且fx0试证：f(x)dx

abba1dx(ba)2. f(x)本题与前面的例3.1以及例3.2.3是同一道题目,在这里我们将利用重积分证明此题. 证明：原题即为 f(x)dxabba1dyd, f(y)D 17 南通大学毕业论文

移项可得(Df(x)1)d0, f(y) 2(Df(x)f(x)f(y)1)d(1)d(1)d0, f(y)f(y)f(x)DDf(x)f(y)f(x)f(y)2)d0,因为f(x)0,f(y)0,所以20. f(y)f(x)f(y)f(x)所以即为证(D故 (Dbbf(x)f(y)12)d0 恒成立,即f(x)dxdx(ba)2成立, 证毕

aaf(x)f(y)f(x)通过以上三道例题我们可以大致了解到，在这一类定积分不等式的证明过程中我们一般先将所要证明的不等式转化为二次积分的形式,进一步再转换为二重积分,最后利用二重积分的性质或其计算方法得出结论.这种方法克服了数学解题过程中的高维数转化为低维数的思维定势,丰富了将二重积分与定积分之间互化的数学思想方法.

3.8 利用微分中值定理

微分中值定理是数学分析中的重要的一个基本定理,它是指罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理这四种定理.关于微分中值定理的应用也是很广泛的,证明不等式是微分中值定理最基本的应用之一.在这里我们将对利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理证明积分不等式进行研究.下面将通过两个例子来具体说明这两个定理在证明积分不等式中的应用,以及不同的微分中值定理在证明不等式时的区别.

例3.8.1[12] 设fa0,fx在区间a,b上的导数连续,证明：

2baa1bfxdx1maxfx. x2a,b证明：应用Lagrange中值定理,a,x,其中axb,使得

fxfafxa, 因为fa0, 所以fxMxa, Mmaxfx,

xa,b从a到b积分得

a bfxdxMbaM2bxadxMxadxx2

aa2bM1122bamaxfxba.即222babafxdx1maxfx. 证毕 x2a,b 18 南通大学毕业论文

例3.8.2[13] 设函数fx在0,1上可微,且当x0,1时,0fx1,f00试证：

fxdxf121003xdx.

证明：令Fxx0ftdt,Gxf3tdt,

02xFx,Gx在0,1上满足柯西中值定理,则

fxdx10210f03xdxF1F0FG1G0G02fftdt0f32ftdt0f2 01

2ftdtftdtf2f0202f11 , 01.

2fff所以 10fxdx2f2xdx.

证毕

01通过以上两道题目可以发现：

1.在应用Lagrange中值定理时先要找出符合条件的函数fx,并确定fx在使用该定理的区间a,b,对fx在区间a,b上使用该定理.若遇到不能用该定理直接证明的,则从结论出发,观察并分析其特征,构造符合条件的辅助函数之后再应用Lagrange中值定理.

2.在研究两个函数的变量关系时可以应用Cauchy中值定理,在应用该定理证明不等式时关键是要对结果进行分析,找出满足Cauchy中值定理的两个函数fx,gx,并确定它们应用柯西中值定理的区间a,b,然后在对fx,gx在区间a,b上运用Cauchy中值定理.

无论是Cauchy中值定理还是Lagrange中值定理在积分不等式的证明中都各具特色,都为解题提供了有力的工具.总之在证明不等式时需要对结论认真的观察有时还需要进行适当的变形,才能构造能够应用中值定理证明的辅助函数,进而利用微分中值定理证明不等式.

19 南通大学毕业论文

4.总

结

我们通过查阅有关积分不等式的文献和资料,并对其中的相关内容进行对比和分析后,将有关的内容加以整理并扩充形成了本文.在论文中给出了两个重要的积分不等式的证明以及总结了八种积分不等式的证明方法.然而由于自己的参考资料面不够广,参考的大多数文献都是仅给出了例题及其证明方法,而并没有给出进一步的分析,同时自己的知识面较窄,能力有限,导致还有很多难度较大的问题尚未解决.例如,在实际的问题中,还有一些证明方法是我们所不知道的,并且还有一些不等式并不能用本文所给出的八种方法来证明,这就需要我们进一步的思考与研究.今后我们应该更多的参考其他资料,充分拓展思路,以便于提出新的观点.

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参考文献

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22

第4篇：积分不等式的证明及应用

衡阳师范学院

毕业论文(设计)

题 目：积分不等式的证明及应用

所 在 系： 数学与计算科学系

专 业： 数学与应用数学

学 号： 08090233 作者姓名： 盛军宇 指导教师： 肖娟

2012年 4 月 27 日

积分不等式的证明及应用

数学与计算科学系 数学与应用数学专业 学号:08090233 姓名:盛军宇 指导老师:肖娟

摘要

本文主要研究了如何利用积分中值定理、辅助函数、以及一些特殊积分不等式等方法证明积分不等式,并通过若干实例总结有关积分不等式的证明方法及规律,讨论了一些特殊积分不等式的应用. 关键词 积分不等式;中值定理;函数

0. 引言

积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.对积分不等式证明方法的介绍,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.目前国内外对该课题的研究比较普遍,主要研究了如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明.积分不等式的常用证法有: 定积分的定义、定积分的性质、泰勒公式、分部积分法、线性变换等.本文主要从以下几个方面讨论和归纳了一系列积分不等式的证明方法:利用积分中值定理来证积分不等式、利用Schwarz不等式来证积分不等式、利用微分中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式等. 1. 积分不等式的证明方法

1.1 利用积分第一中值定理证明积分不等式

积分第一中值定理(定理1) 若fx在a,b上连续, 则至少存在一点a,b,

使得fxdxfba. ab积分第一中值定理在证明积分不等式中有着举足轻重的作用. 例1 设fx在0,1上可微,而且对于任意x0,1,有|fx|M, 求证:对任意正整数n有

10fxdx1nn1ni1Mifnnn,其中M是一个与x无关的常数. 分析 由于目标式中一个式子为

i11if,另一个式子为fxdx0n,故把fxdx按

01区间可加性写成一些定积分的和,并应用积分第一中值定理加以证明. 证 由定积分的性质及积分中值定理,有

10fxdxnini1ni1fxdxni1fi1,,i1,2,,n. ,innni1i又因为fx在0,1上可微,所以由微分中值定理可知,存在ii,,使得, niiffifii,i1,2,,n.nni

因此10fxdx1nni11ifnnni1fi1nni1ifn

1n1n1n1nni1niffiniffinifiinM1nMn

i1n.

i1ni1在抽象函数fx的积分不等式中,若出现和号、幂函数、对数函数等,一般可以利用定积分的定义或区间可加性,将区间a,bn等分,点i也可采用特殊的取法. 1.2 利用拉格朗日中值定理证明积分不等式

拉格朗日中值定理(定理2) 若函数f满足如下条件:

if在a,b上连续;iif在a,b内可导, 则在a,b内至少存在一点,使得

ffbfaba. 利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数f(x)和区间a,b,使它们满足拉格朗日定理条件,然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论. 例2 设fx在a,b上连续.证明:若fafb0,则

fxdxabba24M,MMaxfx.

xa,b分析 由条件fafb0,及fx与fx,故想到利用拉格朗日中值定理. 证 由拉格朗日中值定理得: 对任意的xa,ab, 2fxfxfaf1xa,a1x. ,b, 对任意的x2abfxfxfbf2xb,x2b.

ababfxMxa,xa,,fxMbx,x,b22,

故

fxdxabab2afxdxbab2fxdx

ab2afxdxbab2fxdx

ab2aMxadxbab2Mbxdxba24M. 注意到M是fx在a,b上的最大值,所以解题的关键是如何使fx与fx联系起来,因而不难想到拉格朗日中值定理来证明. 1.3 构造变上限函数证明积分不等式

作辅助函数,将结论的积分上限或下限换成x,式中相同的字母也换成x,移项,使

得不等式的一端为零,则另一端为所作的辅助函数,这种方法在证明一些特定类型积分不等式时有重要作用.

1例3 设函数fx在0,1上连续,证明不等式fxdx0210f2xdx.

x分析 此例若令Fxftdt02x0f2tdt,则Fx的正负不易判断,需进一步的改进. 证 由待证的积分不等式构造变上限定积分的辅助函数,令

xxFxftdtxf0022tdt显然,F00,且Fx可导,有

f2Fx2fxxftdt02xx0tdtxf2t

fxftdt0,

0则Fx在x0时单调减小,即有FxF00,x0,

1特别地,F10,即证得不等式fxdx0210f2xdx. 例4 设函数fx在0,1上可微,且当x0,1时,0fx1,f00, 1试证 fxdx0210f3xdx.

2131证 问题在于证明fxdx00fxdx0, x令Fxftdt02x0fx3tdt,因为F00, Fx2fxftdt0f3xfx2x0ftdtf2x,

x0已知f00,0fx1,故当x0,1时,fx0, 记gx2ftdtf2x, 则g00,gx2fx2fxfx=2fx1fx0,x0,1, 于是gx2ftdtf2xg00,x0,1,故Fx0,x0,1, 0x4

1所以F1F00,即fxdx0210f3xdx. 通过上述两例,我们知道了构造变上限函数证明积分不等式,遇到特殊情况,不能按常规直接作辅助函数需要稍微变化一下,有时甚至要在一个题中构造两个辅助函数,以便判断所作函数的单调性. 1.4 利用二重积分证明积分不等式

在积分不等式的证明中利用定积分与积分变量形式无关的这一性质,将定积分的平方项或者定积分之间的乘积转化为积分变量形式不同的定积分之积,把定积分化为二重积分,可以达到有效的作用.

例5 若函数fx,px,gx在a,b上连续,px是正值函数,fx,gx是单调增加函数,则pxfxdxpxgxdxaabbpxdxpxfxgxdx.该不等式称为切贝谢

aabb夫不等式. 分析 只要证bapxdxpxfxgxdxabbbapxfxdxpxgxdx0

abb即可,而上述式子又可视为累次积分,从而化为二重积分. 证 因定积分的值与积分变量无关,故pxdxpydy,

aapxgxdxpygydy.

aabbbapydypxfxgxdxabbapxfxdxpygydy

abpypxfxgxpxpyfxgydxdyD

pxpyfxgxgydxdyD 1

其中,积分区域Daxb;ayb.因为定积分与积分变量的形式无关, 所以交换x与y的位置,得到

pypxfygygxdxdyD 2

将1式与2式相加,得12pxpyfxfygxgydxdy,由已知,

D可知px是正值函数,fx,gx是单调增加函数,从而fxfy与gxgy同号,

于是在D上pxpyfxfygxgy0,从而,0. 即pxfxdxpxgxdxaabbpxdxpxfxgxdx.

aa101bb例6 若函数fx在0,1上不恒为零且连续增加,则

ff3xdxxdx101xfxf3xdxxdx.

2200证 由于在0,1上,结论式中的分母均为正值,所以结论等价于

10f2xdx10xff23xdx10xf10f3xdx10xf2xdx0, 而   10fff2xdx210xf3xdx130xdx2xdx

Dxyf3ydxdyDfxxf3ydxdy

D2xf3yyxdxdy 3

其中,积分区域D0x1;0y1因定积分的值与积分变量的形式无关,故又有

Df2yf3xxydxdy 4

22将3式与4式相加,得1xyfyfxfxfydxdy, 2D由已知,函数fx在0,1上连续增加,从而对任意的x,y0,1,有

xyfyfxfxfy0,故22101ff3xdxxdx101xfxf3xdxxdx.

2200从以上的积分不等式证明中,可知把定积分化为重积分能巧妙地解决一些积分不等式的证明问题. 1.5 借助于判别式来证明积分不等式

引入适当的参数,构造合适的函数,讨论参数的判别式,以便证明所求证的积分不等式. 例7 设fx0,且在a,b上连续,试证fxdxabbdxfxaba.

2分析 可构造多项式,利用多项式的性质来证明积分不等式.

证 由题设对任意的,考察函数fx,因为fxfx0,有 fx2ba2bdxb2,即fx2dx02dxaafxfxfxdxab0, 不等式的左端可以看成的二次三项式,且对任意的上述不等式均成立, 故判别式2abdx4a2bdxfxbafxdx0,即fxdxabbdxfxaba.

2用判别式解题的关键是要有一个函数值恒定(大于或小于零、大于或等于零、小于或等于零)的一元二次方程gx,而g2x0,于是我们构造g2xdx0这样一个方程,

ab再结合这种情况下的判别式也是一个不等式,便可证明此题. 1.6 利用对称性证明积分不等式

命题1 当积分区域关于直线yx对称时,被积函数的两个变量交换位置后,二重积分的值不变. 这一条规律有助于解决一些特定类型的积分不等式的证明. 例8 函数fx在a,b上取正值且fx在a,b上连续试证:

fyhfxdxdyba,ha,b;a,b.

2证 因为ha,b;a,b关于直线yx对称,从而Ifxfyhfxdxdyfxdxdyhfy, 所以Ifyhdxdy12hfxfydxdyfxfy1dxdybah2. 由上例可知,在积分不等式的证明过程中,我们可以应用基本不等式,它可能起到重要作用. 1.7 利用积分第二中值定理的推论证明积分不等式

积分第二中值定理的推论:设函数f在a,b上可积.若g为单调函数,则存在a,b,使得fxgxdxgafxdxgbfxdx. aabb应用这个推论可以较容易地解决某些恒等式与某些不等式的证明.

babb例9 设函数fx在a,b上单调递增连续,则xfxdxfxdx.

a2a证 假设函数gxxab2,显然gx在a,b上可积,又函数fx在a,b上递增连续,根据积分第二中值定理的推论知存在a,b,使得

fxgxdxababfagxdxfbgxdx 

ab且式又可变为fxgxdxfagxdxfbgxdx.由定积分的几何意义

ab知gxdxbgxdx,abaa,b,同时,fafb,于是,

bfxgxdxfbfagxdx即xab0, bababb,故fxdx0xfxdxfxdxa22a. 2. 一些特殊积分不等式的应用

2.1 Chebyshew不等式及其应用

Chebyshew不等式 设fx,gx同为单调递减或当调递增函数,则有

bafxdxgxdxbafxgxdx.

aabb若fx,gx中一个是增函数,另一个为减函数,则不等式变为

Chebyshewbafxdxgxdxbafxgxdx.

aabb不等式有广泛应用,特别在证明一类积分不等式中发挥重要作用. 例10 设gx是1,1上的下凸函数,fx为1,1上的偶函数且在0,1上递增,则, 1fxdx1gxdx112fxgxdx.

11分析 从所证的不等式看,它有点类似于Chebyshew不等式,如果能够构造出一个单调函数满足Chebyshew不等式的条件,问题就容易解决了,为此构造辅助函数,令xgxgx.

证 令xgxgx,显然x也为1,1上的偶函数,由于gx是1,1上的下凸函数,故当0x1x21,

gx1gx2x1x2gx1gx2x1x2, 即gx1gx2gx2gx1,即x1x2,所以fx,x在0,1上为增函数, 由Chebyshew不等式知, 110fxdxxdx011101fxxdx21211fxdxxdx111211fxxdx, 可得fxdxgxdx2fxgxdx. 1112.2 利用Schwarz不等式证明积分不等式

Schwarz不等式 若fx,gx在a,b上可积,则

Schwarzbafxgxdx2baf2xg2xdx. 不等式是一个形式简单,使用方便的积分不等式,在证明某些含有乘积及

b平方项的积分不等式时颇为有效. 例11 已知fx0,在a,b上连续,fxdx1, k为任意实数,求证:

a abfxcoskxdxabfxsinkxdx1 5

22证 5式左端第一项应用Schwarz不等式得

bafxcoskxdx2abfxfxcoskxdxb2

2 同理afxsinkxdxb2fxdxfxcosaabkxdxfxcosab2kxdx6

bafxsin2kxdx 7

67即得5式. 此题证明的关键在将fx写成2.3 Jensen不等式

fxfx的形式,以便应用Schwarz不等式.

定理3 设fx在a,b上连续,且mfxM,又t是m,M上的连续凸函数(指下凸函数),则有积分不等式

ba1ba1fxdxbafxdx 8

ab注 若t是m,M上的连续凹函数,则8式中的不等式号反向. 定理4 设fx,px在a,b上连续,且mfxM,px0axb,t是

m,M上的连续凸函数,则有bapxfxdxbapxdxpxfxdx 9

pxdxabab注 当t是m,M上的连续凹函数时,9式中的不等号反向. 例12 设fx在a,b上连续,且fx0,则对任意的自然数n,有

1nlnbaba1fxdxba1t2banlnfxdx. 证 令tnlnt,那么tn,tnt10,故t为凹函数, 显然fx在t的定义域内有意义,故由定理3知,结论成立. 例13 设fx,px是a,b上的正值连续函数,则对任意的自然数n,有

banpxlnfxdxpxdxabnlnbapxfxdxbapxdx. 证 令tnlnt由上例知t为凹函数,故由定理4知结论成立. 2.4 Young不等式的应用

Young不等式 设fx是单调递增的,连续于0,a上,f00,a,b0,f1x表示fx的反函数,则abYounga0fxdxb0f1ydy,其中等号成立当且仅当fab. 不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解.

例14 证明:a,b1时,不等式abea1blnb成立. 证 设fxex1,则fx单调并连续,f等式有,

a1b11yln1y,因为a,b1,由Young不a1b10故abea1blnb. 2.5 Steffensen不等式

Steffensenfxdx0f1ydyea1blnbab1, 不等式 设在区间a,b上,g1x ,g2x连续,fx一阶可导,任给

xaxa,b,成立不等式g1tdtxag2tdt,且g1xdxabbag2xdx.若fx在a,b上单调递减,则fxg1xdxabfxgxdx;若fx在上单调递增上述不等式变号.

a2b例15 证明20sinx1x2dx20cosx1x2dx. 证 对任意的x0,22,因为cosx1sinx,所以有sintdt0xx0costdt;此外,显然有2sinxdx00cosxdx1且函数

在0,上单调递减,从而根据Steffensen不21x21等式,知20sinx1x2dx20cosx1x2dx. 结论

总之,以上讨论的积分不等式的主要证明方法都离不开积分的性质,主要是通过函数的可微性和函数的可积性,利用二重积分、拉格朗日中值定理和积分中值定理来证积分不等式;以及巧妙的利用Schwarz不等式和Jensen不等式等,在实际应用中需要结合各方面灵活使用题中条件或不等式,才会使问题得以正确解决. 参考文献

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Mathematics and Application Mathematics specialty Number:08090233

Name:ShengJunyu

Instructor:XiaoJuan

Abstract: This paper studied to use the integral mean value theorem、the auxiliary function、 some special integral inequality and other methods to prove integral inequality, and summarized some examples about proof methods and rules of integral inequality, and discussed the application of some special integral inequality.

Key word: integral inequality; theorem of mean; function

第5篇：Minkowski不等式的证明(积分形式)

闵可夫斯基不等式

在数学中，闵可夫斯基不等式(Minkowski不等式)表明Lp空间是一个赋范向量空间

。设是一个 度量空间

，

，那么

如果，等号成立

当且仅当，

或者

，我们有：

闵可夫斯基不等式是中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：

对所有

实数 ，这里

是的维数;改成复数同样成立，没有任何难处。

值得指出的是，如果以变为。

积分形式的证明 ，

，则可

我们考虑

的次幂：

(用三角形不等式展开

)

用 赫尔德不等式(见下文) 继续运算可得

(利用

，因为)

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项，除以最后那个表达式的后面那个因子，我们得到

:

因为，我们最终得出：

这就是我们所要的结论。

对于序列的情况，证明是完全类似的。

赫尔德(Holder)不等式

设ai,bi1in是2n个正实数，

0,0,1,

n

a则

i1



i

bi





aibii1i1

n

n

i

n



n



.

[证明] 令Aa

i1

,B

b

i1

i

那么



n

A



B



a

i1



i

bi



aibi

i1AB

n



lg

aiA

lg

biB

lg



ailg

bi

lg



ai

bi







aibi

利用Jensen不等式有AB

n



aiA



bi

B成立



i1

aibi

AB

n







n

i

aA

i1





n

i

bB

i1

1



即

a

i1



i

bi



AB



aibi

,得证。

i1i1

n



n

易知积分形式也成立

第6篇：不等式的证明

教学目标：

(1)理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义;

(2)掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式;

(3)能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法;

(4)通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力.教学建议：

1.知识结构:(不等式证明三种方法的理解)==〉(简单应用)==〉(综合应用)

2.重点、难点分析

重点：不等式证明的主要方法的意义和应用;

难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的;

②综合性问题证明方法的选择.

(1)不等式证明的意义

不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立(或都不成立)，而并非是带入具体的数

值去验证式子是否成立.

(2)比较法证明不等式的分析

①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法.

②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径.

由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0.这种证法就是求差比较法.由于当b>0时,a>b<==>(a/b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a/b)>1(b>0).这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件.

③求差比较法的基本步骤是：“作差变形断号”.

其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的.

变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.④作商比较法的基本步骤是：“作商变形判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式.

(3)综合法证明不等式的分析

①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.

②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式.

③综合法证明不等式的逻辑关系是：

(已知)==〉(逐步推演不等式成立的必要条件)==〉(结论)

(4)分析法证明不等式的分析

①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法.

有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立.这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据.

②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式.它与综合法是对立统一的两种方法.

③用分析法证明不等式的逻辑关系是：

(已知)<==(逐步推演不等式成立的必要条件)<==(结论)

④分析法是证明不等式时一种常用的基本方法.当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决.特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.

(5)关于分析法与综合法关系

①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法.

②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后达到题设的已知条件.即推理方向是：结论已知.

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题.即：已知 结论.

③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件.

综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件.

④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比较麻烦.因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的.

第一课时不等式的证明(比较法)

教学目标

1.掌握证明不等式的方法——比较法;

2.熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤.

教学重点:比较法的意义和基本步骤.

教学难点:常见的变形技巧.

教学方法; 启发引导法.

教学过程：

(-)导入新课

教师提问：根据前一节学过(不等式的性质)的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小?

找学生回答问题.

(学生回答：

，

，

，)

[点评]要比较两个实数 与

的大小，只要考察 与

的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法.现在我们就来学习：用比较法证明不等式.

目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识.

(二)新课讲授

【尝试探索，建立新知】

教师写出一道(证明不等式)例题的题目

[问题] 求证

教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明.

学生研究证明不等式，尝试完成问题.

[本问点评]

①通过确定差的符号，证明不等式的成立.这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过.

②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化.

③理论依据是：

④由

，

，知：要证明

只需证

;需证明

这种证明不等式的方法通常叫做比较法.

目的：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想.

【例题示范，学会应用】

教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评.

例1. 求证

[分析]由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得

关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证. ，将此式看作证明：∵

=

=

，

∴

[本例点评] .

①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;

②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;

③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;

④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法.

例2 . 已知都是正数，并且

，求证：

[分析]这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证.

证明：

=

=

.

因为

都是正数，且

，

所以

.

∴

.

即：

[本例点评]

①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号;

②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法;

③例2的结论反映了分式的一个性质(若都是正数

1.当

时，

2.当

时，

.)

目的：巩固用比较法证明不等式的知识，学会用比较法证明不等式时，对差式变形的常用方法——配方法、通分法.

【课堂练习】

教师指定练习题，要求学生独立思考.完成练习;请甲、乙两学生板演;巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正;点评练习中存在的问题.

练习：1.求证

2.已知 ，

， ，d都是正数，且

，求证

目的:掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号.反馈课堂教学效果，调节课堂教学.

【分析归纳、小结解法】

学生和老师一起分析归纳例题和练习的解题过程，小结用比较法证明不等式的解题方法，并让学生记录笔记.比较法是证明不等式的一种最基本、重要的方法.用比较法证明不等式的步骤(作差、变形、判断符号).灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形.

(三)小结(培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识)

学生和老师一起小结本节课所学的知识，并让学生记录笔记.

本节课学习的用比较法证明不等式的步骤中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的.掌握求差后对差式变形的常用方法(配方法和通分法).并在下节课继续学习对差式变形的常用方法.

(四)布置作业

1.课本作业：P14.1，2，3.(供学生巩固基础知识)

2.思考题：已知

，求证：

( 培养其灵活掌握用比较法证明不等式的能力)

3.研究性题：设 ，

， 都是正数，且

(为培养学生创新意识)

作业答实:

思考题：，求证：

，又

，从而得证.

研究性题：.所以

，

第7篇：不等式的证明

比较法证明不等式

a2b2ab1.设ab0，求证：2. ab2ab

2.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

(1)已知x、y都是正实数，求证：x3y3x2yxy2;

(

2对满足xyz1的一切正实数 x,y,z恒成立，求实数a的取值范围

.,1综合法证明不等式(利用均值不等式) 3.已知abc, 求证：1 114. abbcac

4.设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

1(Ⅰ)ab+bc+ac3;

a2b2c2

1ca(Ⅱ)b

5.(1)求不等式x32x1的解集;

121225(

a)(b)a,bR,ab1ab2. (2)已知，求证：

6.若a、b、c是不全相等的正数，求证：

分析法证明不等式

7.某同学在证明命题“7要证明732”时作了如下分析，请你补充完整. 62，只需证明________________,只需证明___________,

+292，展开得9即,只需证明1418,________________,所以原不等式:62成立.

22263, (72)(63)，因为1418成立。

abc8.已知a,b

,cR。 3

9.(本题满分10分)已知函数f(x)|x1|。

(Ⅰ)解不等式f(x)f(x4)8;{x|x≤-5，或x≥3} (Ⅱ)若|a|1,|b|1，且a0，求证：f(ab)|a|f().

10.(本小题满分10分)当a,bMx|2x2时,证明:2|a+b|<|4+ab|. 反证法证明不等式

11.已知a，b，c均为实数，且a=x2y+2baπππ22，b=y2z+，c=z2x+， 236

求证：a，b，c中至少有一个大于0.

12.(12分)若x,yR,x0,y0,且xy2。求证：1x和1y中至少有一个小于2. yx

放缩法证明不等式

13.证明不等式：1111121231

123n2

214.设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4SnannN,且

14n1,

a2,a5,a14构成等比数列.

(1) 证明：a2

(2) 求数列an的通项公式;an2n1

(3) 证明：对一切正整数n，有11a1a2a2a311. anan12

15.设数列an的前n项和为Sn.已知a11,2Sn12an1n2n,nN*. n33

(Ⅰ) 求a2的值;a24 (Ⅱ) 求数列an的通项公式;ann2 (Ⅲ) 证明:对一切正整数n,有数学归纳法证明不等式

16.(本小题满分12分)若不等式11

n1n21a对一切正整数n都成立，求正3n12411a1a217. an4

整数a的最大值，并证明结论.25

17.用数学归纳法证明不等式：

.

第8篇：数列不等式的证明

数列和式不等式的证明策略

罗红波洪湖二中高三

(九)班周二第三节(11月13日)

数列和式不等式的证明经常在试卷压轴题中出现，在思维能力和方法上要求很高，难度很大，往往让人束手无策，其实，这类不等式的证明，是有一定的规律的，利用S1

n

a1q

来证明也能事半功倍，下面用几个例子来简述数列和式不等式的证明

S1

n

a1q

常用策略。

一、基础演练：

1、 等比数列{an}，公比为q，则{an}的前n项和Sn为()

na1(q1A.)

an

a1(1q)1(1qn)a

1q(q1) B.na1C.1qD.11q

2、正项等比数列{an}，公比为q，0q1 ，{an}的前n项和Sn， 以下说法正确的是() A.S1n

a11qB. Sa11qC. Saa

nn1qD. Sn11q

3、正项数列{a}，{a的前n项和Sa

nn}n，要证明S1n1q

，其中0q1，

可以去证明() A.

an1qB. an1aqC. an1qD. a

n1aq nnanan

二、典例精讲：

例

1、等比数列{a1

n}，a11,q2

，{an}的前n项和Sn，求证：Sn2

变式

1、正项等比数列{an}，{a1n}的前n项和Sn，a11,Sn2恒成立，求证：0q

2例

2、已知数列{an}，an1

2n

1

，{an}的前n项和S5n，求证：Sn2(Sn3?)

aann变式

2、数列{n1n}，a3232n1，a11，{a3

n1n}的前n项和Sn，求证：Sn n

2例

3、(09四川理22)数列{an}的前n项和Sn，对任意正整数n， 都有a4an

n5Sn1成立，记bn1a(nN). n

(1) 求数列{bn}的通项公式;

(2) 记c

nb2nb2n1(nN)，{c3

n}的前n项和Tn ，求证：Tn

2变式

3、已知a1n

2，求证Sn(1)a1(1)2a2(1)nan1

(2)n

1

3三、小结

四、课后作业：

1、等比数列{a1

n}，a12,q

3

，{an}的前n项和Sn，求证：Sn3

2、已知数列{an}，an

14n2

，{an}的前n项和Sn，求证：S2

n

3