2.1证明不等式的基本方法：比较法

2.1证明不等式的基本方法：比较法

2.1证明不等式的基本方法：比较法 篇1

（一）教学目标

1．知识与技能: 掌握比较法证明不等式的方法。

2.过程与方法: 通过糖水（盐水）不等式引入比较法；通过对比较法的两种形式，加深对比较法的理解。

3．情态与价值：体会数学在日常生活中无所不在，培养数学兴趣。

（二）教学重、难点

重点：掌握比较法证明不等式的方法。难点：比较法证明不等式的方法中的变形。

（三）教学设想 [创设问题情境]

一、作差比较法

3322例1 已知a,b都是实数,且ab,求证ababab

a例2 如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则其浓度为, b 若在上述溶液中再添mkg加白糖,此时溶液的浓度 am增加到,将这个事实抽象为数问学题,并给出证明.bm

解:可以把上述事实抽象如成下不等式问题:

ama,并ab且,则 已知a,b,m都是正数bmb

二、作商比较法

abba例3 已知a,b是正数,求证abab，当且仅当ab时,等号成立.abc 变式引申:求证:若a,b,cR,则aabbcc(abc)

3补充例题:已知a2,求证:loga(a1)log(a1)a 补充练习:若a,b,m,n都是正实数,且mn1，试证明manbmanb

三、小结：两种方法的步骤。

2.1证明不等式的基本方法：比较法 篇2

一、比较策略

即直接通过作差,比较不等式两边式子的大小.

例1.设数列{an}的首项a1∈(0,1),an.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设,证明bn

解:(1)由,n=2,3,4,…,整理得.

又1-a1≠0,所以{1-an}是首项为1-a1,公比为-的等比数列,得

(2)由(1)可知

那么

又由(1)知an>0且an≠1,故,因此bn

二、归纳策略

即用数学归纳法进行证明.

例2已知数列{an}中,n=1,2,3,….

(1)求{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}中n=1,2,3,,证明:

解:(1)由题设:

所以,数列是首项为公比为的等比数列,即an的通项公式为

(2)用数学归纳法证明

①当n=1时,因,b1=a1=2,所以,结论成立.

②假设当n=k时,结论成立,即,也即.

当n=k+1时,

又,所以.

也就是说,当n=k+1时,结论成立.

根据①和②知.

三、放缩策略

1. 对通项问题.利用题目不等关系进行反复迭代实现放缩.

例3设数列{an}满足a1=0,+1-c,c∈N*,其中c为实数.

(1)证明:an∈[0,1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0,1];

(2)设,证明:an≥1-(3c)n-1,n∈N*.

证明:(1)必要性因为a1=0,所以a2=1-c,又因为a2∈[0,1],所以0≤1-c≤1,即c∈[0,1].

充分性设c∈[0,1],对n∈N*用数学归纳法证明an∈[0,1].当n=1时,a1=0∈[0,1].假设ak∈[0,1](k≥1),则+1-c≤c+1-c=1,且.

所以ak+1∈[0,1],由数学归纳法知an∈[0,1]对所有n∈N*成立.

(2)设,当n=1时,a1=0,结论成立.当n≥2时,因为,所以.

因为,由(1)知an-1∈[0,1],所以

所以1-an≤3c(1-an-1).

所以1-an≤3c(1-an-1)≤(3c)2(1-an-2)≤…≤(3c)n-1(1-a1)=(3c)n-1.

所以an≥1-(3c)n-1(n∈N*)

2. 对不可直接求和型问题,先对通项进行放缩,转化为可求和型问题

例4在数列{an},{bn}中,a1=2,b2=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式.

(2)求证:.

解:(1)由条件得.

由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.

猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2.

用数学归纳法证明:

①当n=1时,由上可得结论成立.

②假设当n=k时,结论成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2.

那么当n=k+1时,ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),bk+1==(k+2)2.

所以当n=k+1时,结论也成立.

由①②,可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立.

(2)证明:由(1)得:

所以,即原不等式成立.

例5各项为正数的数列{an}满足

求证(1)an+1<1;(2) Sn<2a1.

证明:(1)由

(2)由经反复迭代得

所以.

四、构造策略

即根据条件,构造适当的函数,通过研究函数性质,借助函数性质证明数列不等式.

例6数列{an}满足:求通项公式(2)设,且,求证.

解:(1)(过程略).

(2)欲证只需证ln(1+Tn)0),则

所以f(x)在(0,+∞)上递减,所以f(x)

2.1证明不等式的基本方法：比较法 篇3

≥0.

思路二 图形法：构造如下平面图形.

图1中的面积关系可说明不等关系（a+b）2≥4ab（基本不等式的变形）；图2中的面积关系可说明不等关系a2+b2≥2ab.注意，其中a，b取正实数.

思路三 三角形法：在Rt△ABC中，设∠C=Rt∠，AB=c，AC=b，BC=a，则有a=csinA，b=csinB，所以2ab=2c2sinAsinB=2c2sinAcosA=c2sin2A≤c2=a2+b2，当且仅当sin2A=1，即A=B=45°，即a=b时，等号成立.

思路四 向量法：设m=（a，b），n=（b，a），则|m|==|n|，m•n=ab+ba=2ab.由m•n≤|m||n|，得a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.

不等式链≥≥≥=（a＞0，b＞0），即“平方平均数”≥“算术平均数”≥“几何平均数”≥“调和平均数”是高中数学中重要的结论，在教材及高考卷中屡见不鲜.

1. 几何证法

先看一道课本题与一道高考题：

题目1 （人教A版必修5第三章第4节）在图3中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连结AD，BD.你能利用这个图形，得到不等式≤（a>0，b>0）的几何解释吗？

题目2 （2010年湖北理科卷）设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图4，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作OD的垂线，垂足为E．连结OD，AD，BD．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段的长度是a，b的几何平均数，线段的长度是a，b的调和平均数．

再解决高考题：

解析 在Rt△ADB中，CD为高， 则由射影定理可得CD2=AC•CB，故CD=，即CD长度为a，b的几何平均数.

在Rt△OCD中，CE为高，则将OC=a－=，CD=，OD=代入OD•CE=OC•CD， 可得CE=，于是OE==，所以DE=OD－OE=，故DE的长度为a，b的调和平均数.

然后改编高考题：

变式1 在图4中作出长度为（平方平均数）的线段.

然后解决变式1：

解析 如图5，过点O作OR⊥AB，交半⊙O于点R，连结CR.

因为OR==，OC=，在Rt△ROC中，CR==，故CR即为所求.

最后证明重要不等式链：

证明 由图5中线段的长度CR≥OR=OD≥CD≥DE，即可证明≥≥≥.

2. 代数证法

证明 （1） 将（a－b）2≥0（a，b∈R）展开，得a2+b2≥2ab（a，b∈R）①；

（2） 将①式两边都加上a2+b2，得2（a2+b2）≥（a+b）2（a，b∈R）②；

（3） 由②式变形，得≥（a，b∈（0，+∞））；

（4） 将①式两边都加上2ab，得（a+b）2≥4ab（a，b∈R）③；

（5） 将③式变形，得≥（a，b∈（0，+∞））；

（6） 将上式两边都乘以，得≥（a，b∈（0，+∞））.

综上，得≤≤≤（a，b

∈（0，+∞））.

例1 已知函数f（x）=x（a，b∈（0，+∞）），A=

f，B=f（），C=f，则A，B，C的大小关系为（）

A. A≤B≤CB. A≤C≤B

C. B≤C≤AD. C≤B≤A

解 因为f（x）=x在R上是减函数，又由不等式链≤≤，得答案为A.

例2 设a，b，c均为正数，求证：++≥（a+b+c）.

证明 由≥（a+b），≥

（b+c），≥（c+a）三式相加，得++≥（a+b+c）.

例3 甲、乙两同学同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步.如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（）

A. 甲先到教室B. 乙先到教室

C. 两人同时到教室D. 不确定

解 设从寝室到教室路程是s，甲（乙）跑步和步行速度分别为a，b，甲、乙两人所用时间分别为t1，t2，则+=t1，a+b=s，故t1=，t2=.

由＜（a≠b），所以t1＞t2，故选B.

1. 已知x，y∈（0，+∞），且9x+16y=144，求xy的最大值.

2. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确.有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量，这种说法对吗？并说明你的结论.

2.1证明不等式的基本方法：比较法 篇4

【学习目标】

能熟练运用综合法与分析法来证明不等式。

【新知探究】

1．用综合法证明不等式：从已知条件出发，利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法，又称为顺推证法或由因导果法。

2．用分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件或充要条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立的方法叫分析法，又称为逆推证法或执果索因法。

3．不等式证明方法多，证法灵活，其中比较法、分析法、综合法是基本方法，要熟练掌握，其他方法作为辅助，这些方法之间不能截然分开，要综合运用各种方法。我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达

【自我检测】

1．分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的A.充分条件 B.必要条件C.充要条件

2．若a＞b＞c，则D.既不充分又不必要条件 113+_______.（填“＞”“=”“＜”）abbcac

222222【典型例题】 例1．已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(bc)b(ca)c(ab)6abc．

变式训练：课本P25页习题2.2第2题

例2．已知x1x2x3xn1且x1,x2,,xn都是正数，求证：(1x1)(1x2)(1xn)2.例3．求证2736

变式训练：课本P26页习题2.2第3题

–“学海无涯苦作舟，书山有路勤为径” n

a2b2b2c2c2a

2abc.例4．若a,b,c>0，求证：abc

变式训练：已知：abc0，求证：abbcca0.例5．设a、b∈R，关于x的方程x2＋ax＋b＝0的实根为α、β.若｜a｜＋｜b｜＜1，求证：｜α｜＜1，｜β｜＜1.变式训练：课本P26页习题2.2第6题

yyxx例6．是否存在常数C，使得不等式+≤C≤+对任意正数x、y恒成2xyx2yx2y2xy

立?试证明你的结论.【课堂练习】课本P26页习题2.2第4，5，7，8，9题

不等式证明的基本依据 篇5

例5-2-1 求证：

(1)若x≠1，则x4+6x2+1＞4x(x2+1)；(2)若a≠1，b≠1，则a2+b2+ab+3＞3(a+b)；(3)若a＜b≤0，则a3-b3＜ab2-a2b． 解(1)采用比差法：

(x4+6x2+1)-4x(x2+1)(作差)=x4-4x3+6x2-4x+1(变形)=(x-1)＞0(判断正负)4所以 x4+6x2+1＞4x(x2+1)(2)(a2+b2+ab+3)-3(a+b)

所以 a2+b2+ab+3＞3(a+b)(3)(a3-b3)-(ab2-a2b)=(a3-ab2)+(a2b-b3)=a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a+b)2(a-b)而a＜b≤0，所以a-b＜0，(a+b)2＞0，所以

注 用比差法时，常把差变形为一个偶次方或几个偶次方的和的形式；有时把它变形为几个因式的积的形式，以便于判断其正负．

例5-2-2 若a＞0，b＞0，c＞0，求证：

(2)因1＜x＜10，0＜lgx＜1。于是 logx2-(lgx)2=lgx(2-lgx)＞0

又由0＜lgx＜1，知lg(lgx)＜0，所以 lgx2＞(lgx)2＞lg(lgx)(3)因1＜x＜10，故0＜lgx＜1，从而log2(lgx)＜0。又因为x+

又|ab|=|a|·|b|＜1，故1+ab＞0。于是，最后不等式成立，从而原不等式成立。

例5-2-5 证明：

(1)若a＞0，m，n∈N，且m＞n，则

(2)若a＞0，b＞0，n∈N，且n≠1，则

当且仅当a=b时取“=”；

(3)对于n∈N，若α＞-1，则(1+α)n≥1+nα。解(1)原不等式可等价地变为

又当n=1时，原不等式成为等式，故对一切n∈N，都有(1+α)n≥1+nα

注(3)中的不等式一般是利用二项式定理或数学归纳法证明。这里引进一个简单不等式给出的简捷证法，别有风味。读者不妨仿此证明(2)中的不等式。

例5-2-6 已知a＞0，b＞0，求证：对任意r，s∈R+，若r＞s，则 ar+br≥ar-sbs+asbr-s 当且仅当a=b时取等号。

解 因为a，b，r，s∈R+，且r-s＞0，所以由幂函数的单调性可知，as-bs与ar-s-br-s当a＞b时同为正数；当a＜b时同为负数；当a=b时同为零。故总有(as-bs)(ar-s-br-s)≥0。于是

(ar+br)-(ar-sbs+asbr-s)=(ar-ar-sbs)-(asbr-s-br)=ar-s(as-bs)-br-s(as-bs)=(as-bs)(ar-s-br-s)≥0 所以 ar+br≥ar-sbs+asbr-s 当且仅当a=b时取等号。

2.1证明不等式的基本方法：比较法 篇6

（一）比较法证明不等式

amamam1,求证:1.已知a,b,m,nR,且bnbn bn

2.a,b,m,nR

3.ab,求证：abmnbmn1a2abab1b2mnnm 21a20,求证:()21b2()a

3322ab0ababab4.已知，求证：

（二）综合法证明不等式

a,b,cR1.设,3332222222(abc)abacbabccacb6abc.求证:

a,b,cR2.已知,且abc1,求证: 1119(1)abc

12418(2)abc

1b)(1c)(3)(1a)(8abc111(1)(1)(1)8(4)abc

（三）分析法证明不等式

1.证明：3222722x3y3已知x0，y0xy2.ab0abab 3.设,求证:

4.若a,b,c三数均大于1,且ab=10,求证:logaclogbc4lgc

41ab.5.已知a0,b0,ab,且abab，求证：33322

6.实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,求证:

a,bR,2cab,求证: 7.已知bac3a.2

2.1证明不等式的基本方法：比较法 篇7

第四十课时基本不等式(1)

【教学目标】

1．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式

【教学难点】 的证明过程；

基本不等式

【教学过程】 等号成立条件

引入新课

1．当a，b满足条件__________时，基本不等式abab成立，2

该不等式取符号的条件是____________________________________．

2．算术平均数的定义：

3．几何平均数的定义： 4．算术平均数与几何平均数的关系

（1）基本公式：abab及语言叙述 2

（2）基本不等式的证明方法（3）基本不等式成立的条件

（4）基本不等式的变形

例题剖析

（1）

例1设a，b为正数，证明下列不等式： ba2；ab（2）a12． a

变化：若a，b都为负数，则分别比较

ba1与2；a与2的大小． aab

第1页（共4页）

例3若a，b都是正整数，求证：2ab

abab

2．巩固练习

1． 证明：（1）a2b22ab；（2）x212x；（3）x1

x2

2．设x，yR，求证：x24y222x4y．

3．求证：(ab2a2

2)b2

2．课堂小结

基本不等式证明方法；理解当且仅当ab时取“”号．

第2页（共4页）(x0)．

第四十一课时基本不等式(2)

【教学目标】

1．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式

【教学难点】 的证明过程；

基本不等式

【教学过程】 等号成立条件

一 基础题

1．若ab1，P

A．RPQ

A．a lgalgb，Q1ab(lgalgb)，Rlg，则（）22B．PQRC．QPRD．PRQ

2．若ba0，则下列不等式一定成立的是（）ababb 2ababaC．b2

3．（1）P(4a)(42aba 2abab D．ba2B．bab1)，Q24，则P与Q的大小关系为_________． 2a

1a1log2a与Qlog2的大小关系为_________． 22

2abab． )，求证：4．设a，b(0，ab（2）已知a1，则P

二 提高题

5．设x，yR，求证：xy52(2xy)．

第3页（共4页）

6．已知a0，b0且ab，求证：ab

222(a2b2)． a2b2

1． 7．已知a，bR，求证：a1b12

三 能力题

8．求证：（1）log1(ab)log12ab；

2222（2）log1(211)ab1． ab44

不等式的多种证明方法 篇8

摘要：数学是生活中的一门自然科学，而不等式则是构成这门自然科学的众多基础中相当重要的组成之一，因此本文专门介绍不等式的各种证明方法。

根据在校期间从大学课程中所学的专业知识，通过课本、资料及网络等渠道收集各种类型的不等式习题，然后依据其不同的思想与方法可以归纳为三大类型，即基础类证明方法、延伸类证明方法和特殊类证明方法。其中基础类证明方法是最简单的证明，包括比较法、分析法、放缩法、综合法；延伸类证明方法则是通过代换、构造、转化等思想将原不等式变化为简单的形式再予以证明，比如换元法、引入参变量法、构造辅助函数法等等；特殊类证明方法是针对一些特殊类型的不等式结构或提问方式，采取相应的特殊证明方法可以使得证明更加简洁，就像反证法、数学归纳法、数形结合法等等。本文就是依上述介绍的各种方法进行展开介绍的，所选的例题皆比较简单，求证方法简洁合理，易于接受，为的只是借此传达各种证明方法的思想。

数学；不等式；证明；方法

目录

1.引言.................12.基础类证明方法..............1

2.1比较法.................1

2.2分析法.................22.3放缩法.................32.4综合法.................53.延伸类证明方法..............6

3.1换元法.................6

3.2引入参变量法...........8

3.3构造辅助函数法................8

3.4转化为向量不等式法...........11

3.5转化为复数法..........11

3.6分解、合成法..........1

14.特殊类证明方法.............1

24.1反证法................12

4.2数学归纳法............1

34.3借助证明法..........1

54.4数形结合法............16

5.结束语..............16

参考文献.................17

不等式的多种证明方法

汪洋，合肥师范学院

摘要：数学是生活中的一门自然科学，而不等式则是构成这门自然科学的众多基础中相当重要的组成之一，因此本文专门介绍不等式的各种证明方法。

根据在校期间从大学课程中所学的专业知识，通过课本、资料及网络等渠道收集各种类型的不等式习题，然后依据其不同的思想与方法可以归纳为三大类型，即基础类证明方法、延伸类证明方法和特殊类证明方法。其中基础类证明方法是最简单的证明，包括比较法、分析法、放缩法、综合法；延伸类证明方法则是通过代换、构造、转化等思想将原不等式变化为简单的形式再予以证明，比如换元法、引入参变量法、构造辅助函数法等等；特殊类证明方法是针对一些特殊类型的不等式结构或提问方式，采取相应的特殊证明方法可以使得证明更加简洁，就像反证法、数学归纳法、数形结合法等等。本文就是依上述介绍的各种方法进行展开介绍的，所选的例题皆比较简单，求证方法简洁合理，易于接受，为的只是借此传达各种证明方法的思想。

关键词： 数学；不等式；证明；方法

Various Methods of Inequality Proof

Wangyang, Hefei Normal University

Abstract: Mathematics is a natural science of the life, and the inequality is an important component of many bases which constitute the natural science.So this article dedicated to a variety of proven methods of inequality.According to the professional knowledge from university courses during the school, I collect all types of inequality problem by books, material and network channels.Then according to different ideas and methods, I put them into three types of proof, which is base class identification method and extension methods of proof and special class methods.The base class method is the simplest proof, and it include the comparison and analysis, and the method of techniques and so on.Extension methods are proved by such substitution, structure, the inequality of thought for the form of simple changes to prove.For example, substitution method, the introduction of parametric method, constructs the auxiliary function method, etc.Special class that is for some special types of inequality structure or form of a question takes a special method of proof which can be made more concise proof, as required, mathematical induction, several form combination, etc.This topic is introduced by the start of various methods described, and the examples are relatively simple, the method is simple and reasonable, and acceptable, which is just only to convey various methods of thought.Key words: Mathematics;Inequality;Proof;Method

1.引言

用不等号连结两个代数式所成的式子叫做不等式，是描写不等号两边式子的大小关系。不等式理论是等式、方程、函数论进一步的深入和发展，是数学知识又一次扩展的重要内容，是掌握初等数学不可或缺的重要部分，学习了等式后再学习不等式，使式的内容更加充实，更加完善，是我们进一步扩大数学视野，增加数学知识的必要基础。不等式的重要作用是十分明显的，因为在日常的生活、生产和科学研究中到处用到不等式的知识；而不等式的证明更体现了不等式的另一方面，它在数学领域中占有核心地位，它贯穿于初等数学和高等数学的方方面面。

著名数学家D.S.Mitrinovic在他的名著《Analytic Inequalities》的序言中都引述到:“所有分析学家要花费一半的时间通过文献查找他们想要用而又不能证明的不等式”。分析学家Michiel Hazewinkel在《Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives》一书的序言中也讲道:“有时我有这样的感觉，数学(特别是分析学)就是不等式”。由此可见，给出一个关于不等式方面系统的、全面的证明方法具有很现实的意义。

因此，本文将对各种各样的不等式给出相应的证明方法，尽量把不等式的证明方法系统化、全面化。

2.基础类证明方法

在此介绍的四种方法仅需要根据命题本身的已知条件或常用结论即可证明。

2.1比较法

即借助不等式两边做差或做商的结果与0或1比较来证明不等式的方法。如果

一个经典不等式的多种证明方法 篇9

12n1

在高考数学试卷中，各省的压轴大题很多都是数列与不等式的结合。下面我们就来就一个高考试卷中经常出现的不等式做出讨论。

证明：1

(1

(1

我们先来看看这个不等式的左边到底是什么情况，不等式的左边

2n11)

2(21n)

2n11)(1n)

n1n221n

34

n

换句话说证明11

等价于22证

明

n1n2

21n

n2

既然如此我们就从这两个方面着手来解决这个问题。

方法1：我们看到n1

21n可以想到常用的一个关于对数函数的不等式我们

ln（1)想给出这个不等式



既然我们要证明

21n我们可以用这个不等式的前半段n1ln(1n)来

解决问题。ln(1)ln(12n

1)

n2

2n

我们将这n个不等式叠加起来可以不难得到，n1

21nln(11n)

ln(12n)ln(1n)ln2，因此不等式得证。

ln20.6930.707故ln2

这个证明方法就是记得要我们记得常见的不等式n1

ln(1)nn及其相关应

用。

方法2（裂项法）：裂项法是证明不等式的非常有效的方法，下面我们就用这个方法。1

4



n2

11212

34



n(2n1，下面我)2

们来研究一下该如何裂项。我们考虑通项(2n1)2n，易知

(2n1)2n

(2n)，这样的话我们可以对(2n)(2n)(2n)进行裂项

(2n)(2n)从

第二

()，这样就可以前后相消了，下面我们

22n2n

项开始放

3缩

可得：

而2

(2n1()24

25，1)2n

故不等式得证。

50.7

注：处理(2n11)这个式子还有其他的方法。我现在简单的，所以我们很容易可以得到以下结果

(2n2)1(2n1)(2n1))

4

1，4n4

阐述一下，因为

1111

(2n1(22312341)2n

(3224



(2n21)21)2

我们就将这个和处理到位了，如果要得到题目中的不等式的结果，那么就不能只保留

第一项，从第二项开始放缩。那么就应该多保留几项然后从后面开始放缩，这样就可以得到想要的结果。

方法3（柯西不等式）：利用柯西不等式可以得到以下结果

(

2n)

(n12)

n（22)



1)(n(2)

1

1则)

((n21)(n2)2(21)(11n)2

(21)n)2

1)

n((n21)(n2)2

n(n(n1)(n1)(n2)1

(2n1)(2

n))

(故21n)，故不等式得证。

这个方法看似巧妙但是这是建立在对柯西不等式有一定了解的基础上的，但是对与于高考压轴题，柯西不等式确实是解决不等式的重要手段。希望广大的考生好好培养对于柯 西不等式的认识。希望文章对大家有帮助！

2.1证明不等式的基本方法：比较法 篇10

2018考研高数：不等式证明的方法

不等式证明是考研数学试卷中的中上等难度题目，下面凯程网考研频道简单讲一下不等式的几种证明方法，希望考生能够详细地去做题验证，灵活把握。

利用微分中值定理：微分中值定理在高数的证明题中是非常大的，在等式和不等式的证明中都会用到。当不等式或其适当变形中有函数值之差时，一般可考虑用拉格朗日中值定理证明。柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，当不等式或其适当变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值时，可考虑用柯西中值定理证明。

利用定积分中值定理：该定理是在处理含有定积分的不等式证明中经常要用到的理论，一般只要求被积函数具有连续性即可。基本思路是通过定积分中值定理消去不等式中的积分号，从而与其他项作大小的比较，进而得出证明。

除此之外，最常用的方法是左右两边相减构造辅助函数，若函数的最小值为0或为常数，则该函数就是大于零的，从而不等式得以证明。

其实看看凯程考研怎么样，最简单的一个办法，看看他们有没有成功的学生，最直观的办法是到凯程网站，上面有大量学员经验谈视频，这些都是凯程扎扎实实的辅导案例，其他机构网站几乎没有考上学生的视频，这就是凯程和其他机构的优势，凯程是扎实辅导、严格管理、规范教学取得如此优秀的成绩。

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任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。

sos方法证明不等式 篇11

SOS方法证明不等式（sum of squares）

SABSabcSbcaScab0

性质一：若Sa,Sb,Sc0，则SABSabcSbcaScab0.222222性质二：若a,b,c,Sa,Sb,Sc且满足

（1）SaSb,SbSc,ScSa0，（2）若abc或abc，则Sb0, 那么SABS222

abcSbcaScab0

性质三：若a,b,c,Sa,Sb,Sc且满足

若abc或abc，则Sa,Sc0且Sa2Sb,Sc2Sb0，那么 SABSabc2S2

bcaScab20

性质四：若a,b,c，Sa,Sb,Sc且满足

若abc或abc，则S2

a,Sb0且bScc2Sb0，那么

SABS22

abcSbcaS2

cab0

性质五：若a,b,c,Sa,Sb,Sc且满足

（1）SaSb,SbSc,ScSa0，（2）SaSbSbScScSa0那么 SABS222

abcSbcaScab0

性质六：若a,b,c,Sa,Sb,Sc且满足

（1）若Sa2或abc

（2）存在0,使得若S22

aSc1Sb0；

abcbcbab

（3）scsb0或sasb0 那么

sc1ss1b0asb0

Sa(bc)2Sb(ca)2Sc(ba)20

S=A-B=

二.常见的恒等式

(ab)2(ac)2(cb)2

(1)abcabbcac2

(2ab)(ab)2(2bc)(cb)2(2ca)(ac)2

333222(2)abcabbcac3 222(ab)(ac)(cb)(3)a3b3c33abc(abc)2

(ab)3(ac)3(cb)3

222222(4)abbccaabbcca3222

(5)a4b4c4a3bb3cc3a

(3a22abb2)(ab)2(3b22cbc2)(cb)2(3c22aca2)(ac)2

abc(6)a3bb3cc3ab3ac3ba3c3

[(ab)3(ac)3(cb)3]

1(7)a4b4c4a2b2a2c2c2b2[(ab)2(ab)2(cb)2(cb)2(ac)2(ac)2]2

三．例题

1.已知正数a,b,c，求证：（ab）(19)>=(ab)24

12.已知正数a,b,c满足min{a,b,c}max{a,b,c}4 2191(a-b)求证（ab）()>=+(ab)2416(ab)2

4.已知正数a,b,c，试求最优常数k，使 111abbcac(abc)()k29k22abcabc

5.已知正数a,b,c，试求最优常数k，使得

6．已知正数a,b,c为三角形三边，求证 bc3 b2c2ka25

abcacb（3+）2（)3 bcacba

7.已知正数x,y,z，求证:

x2y2z2xyxzyz（8.已知正数a,b,c，且abc=1，求证：

11131112(222)2 22abcabcaccabc9已知正数a,b,c且ab+bc+ac=1 求证：

数学不等式证明方法论文开题报告 篇12

本科毕业论文（设计）开题报告 题目高中数学不等式的证明方法

姓名梁艳平学号 ***7 专业年级

2011级数学与应用数学 指导教师付应雄职称副教授

2015年03月03日

本课题的研究目的及意义

现实世界中的量有相等关系，也有不等关系，凡是与比较量的大小有关的问题，都要用到不等式的知识。不等式在解决最优化、最优控制、经济等各类实际问题中有广泛的应用，它是学习和研究现代科学和技术的一个基本工具。

不等式在中学数学中占有重要地位，在历年高考中颇为重视。由于不等式的形式各异，所以证明方法灵活、技巧多样，因此不等式的证明也是中学数学的难点之一。为了突破难点，我认为有必要对一些常见的证明方法和典型例题进行一些思考、研究和总结。

已了解的本课题国内外研究现状。

不等式的证明方法在国内外的研究都趋于高深、复杂、多方向化。不等式的证明方法也大多用于竞赛和考察数学素养。

本课题的研究内容

本课题主要研究不等式一些常见的证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，构造法和判别式法等。

本课题研究的实施方案、进度安排。

首先通过查阅国内外相关文献资料对不等式的证明方法做一个全面的了解，并了解学生对于不等式的证明方法的掌握程度与思考方式，其次，对于每种方法要举出一个典型的例子来帮助读者理解。

2015年1月——2014年2月：搜集、分析资料，确定题目；

2015年3月初：开题报告；

2015年3月初——3月底：撰写论文初稿；3月31日前提交纸质版初稿；

2015年4月中旬前：修改论文，定稿：外文翻译；

2015年4月底：论文答辩。

已查阅的主要参考文献

[1]胡汉明.不等式证明问题的思考方法.数学通讯.2004（11）.[2]韩京俊.初等不等式的证明方法.哈尔滨工业大学出版社.[3]严镇军.不等式.人民教育出版社.[4]王胜林.卫赛民.证明不等式的几种特殊方法，数学通讯.[5]张联升.名师伴你行.北京光明日报出版社.2006.01.26-27页

[6]马勇.新课标高中基础知识点.北京教育出版社.2007.113-114页

[7]李长明，周焕山.初等数学研究.高等教育出版社（253-262页）

[8]韩京俊.初等不等式的证明方法.哈尔滨工业大学出版社.[9]王胜林.卫赛民.证明不等式的几种特殊方法.数学通讯.[10]华罗庚.数学归纳法.北京科学出版社，2002.[11]南山.柯西不等式与排序不等式.上海教育出版社，2007.[12]E.贝肯巴赫，R.贝尔曼.不等式入门.北京大学出版社，1985.[13]G.H.哈代，J.E.李特伍德，G.波里亚.不等式.北京科学出版社，1965.指导教师意见 签名： 年月日

系或专业审核意见1．通过；

负责人： 年月日

2．完善后通过；