柯西不等式及应用

柯西不等式及应用（精选8篇）

柯西不等式及应用篇1

(a)(b)(akbk)2等号成立的条件是akbk(k1,2,3n)

k

1k1

k1

nnn

二维柯西不等式：(x1x2y1y2)2(x12y12)(x22y22)

证明：（用作差法）

(x1y1)(x2y2)(x1x2y1y2)2x1y2x2y12x1x2y1y2(x1y2x2y1)20

2222222

2三维柯西不等式：(x1x2y1y2z1z2)2(x12y12z12)(x22y22z22)

证明：（构造空间向量法）设m

(x1,y1,z1),n(x2,y2,z2)

，所以：x1x2y1y2z1z2

x1y1z1x2y2z2，两边平方即可！

222222

n维柯西不等式：(a)(b)(akbk)2

k1

等号成立的条件是

akbk(k1,2,3n)

证明：（用构造函数法）（1）.当b1b2bn0时，不等式显然成立；（2）当b1,b2,bn不全为0时，构造f(x)（n

b

k1

2)x2(akbk)x(ak),所以有2

k1

f(x)(b)x2(akbk)x(a)(bkxak)20对任意xR恒成立，因此

k1

4(akbk)4(a)(bk2)0

k1

nnn

故：（a

k1

2k)(b)(akbk)2

2kk1

k1

柯西不等式的变式：(ak)(bk)(akbk)2

k1k1k1nnn

(a)(b)akbk 2

k2k

k1k1k1nnn

nak(akbk)()(ak)2等号成立的条件是当且仅当b1b2bn

k1k1bkk1

2naka()(k)2（在柯西不等式中令bk=1，两边同时除以n2即得）

k1nk1nnnn

2ak()

k1bkn(ak)2k1nnb

k1(等号成立的条件是akbk(k1,2,3n)k

二、练习：

x2y2z

21.已知x,y,z>0，且xyz1，求的最小值； y(1y)z(1z)x(1x)

2.已知a,b>0,求证：3111< a2ba4ba6b(ab)(a7b)

3.已知xyz2且x,y,z>0，求证：1119≥ xyyzzx

44.设a,b,c为正数且互不相等.求证:2229> abbccaabc

3111≥ a3(bc)b3(ac)c3(ab)25.设正实数a,b,c 满足abc1, 求证:

12100 3c

222abc17.设实数a,b,c 满足a2b3c6，求证：3927≥； 36.设a,b,c为正数, 且abc1,求证:(a)(b)(c)≥221a1b

8.已知x2y3z12, 求证:x2y3z≥24；

9.已知abc1, 求证:a1b23c333；

10.若a>b>c，求证：222114 abbcac

答案：

y(1y)y(xz)xyxz

1.证明：由xyz1得：z(1z)z(xy)zxyz

x(1x)x(yz)xyzx，所以有

x2y2z2x2y2z2

＝，由柯西不等式得：y(1y)z(1z)x(1x)xyyzzxyzxyzx

x2y2z2

[(xyyz)(zxyz)(xyzx)]()(xyz)2 xyyzzxyzxyzx

x2y2z2

所以有：[(xyyz)(zxyz)(xyzx)] xyyzzxyzxyzx

x2y2z2

即：2(xyyzzx)，xyyzzxyzxyzx

又2(xyyzzx)(xyz)2(x2y2z2)

xyzxyyzzx222xyz1 31x2y2z2

所有：，当且仅当xyz时取等号 xyyzzxyzxyzx2

32.证明：由柯西不等式可得：

(11121112)(111)a2ba4ba6ba2ba4ba6b

111]< 222(a2b)(a4b)(a6b)

（放缩）(121212)[3[111](ab)(a3b)(a3b)(a5b)(a5b)(a7b)



3111111()2baba3ba3ba5ba5ba7b（裂项相消）36b9311()2b(ab)(a7b)(ab)(a7b)2baba7b

3111< a2ba4ba6b(ab)(a7b)所以有：

3.证明：由柯西不等式得：

[(xy)(yz)(zx)]（111)(111)29，又xyz2xyyzzx3

所以有：11199≥.xyyzzx2(xyz)4

4.证明：与第3题的证法相同，最后说明a,b,c为正数且互不相等,所以不取等号；

5.证明：由abc1得：abc1，所以：2221122221bc,ac,2a2b2 22abc

111a3(bc)b3(ac)c3(ab)

b2c2a2c2a2b2b2c2a2c2a2b2

a(bc)b(ac)c(ab)abacabbcacbc

b2c2a2c2a2b2

[(abac)(abbc)(acbc)]()(bcacab)2 abacabbcacbc

b2c2a2c2a2b2(bcacab)2bcacab3a2b2c2

即： abacabbcacbc2(abbcac)22

又abc1，所以：3111≥ 333a(bc)b(ac)c(ab)2

6.证明：由柯西不等式

111111[1(a)1(b)1(c)]2(121212)[(a)2(b)2(c)2] abcabc

结合abc1 ***2所以：(a)(b)(c)[(abc)()][1()]abc3abc3abc

1111112又(abc)()(111)9 abcabc

1111211002所以：[1()](19) 3abc33

121212100故：(a)(b)(c)≥ 3abc

7.证明：

3a9b27c＝3a32b33c33a32b33c33(a2b3c)

又由柯西不等式：

(1a22b3c)2[12(2)2(3)2][a2(2b)2(3c)2]

即：(a2b3c)6(a2bc)，结合a2b3c6

所以有：a2b3c6 2222222

即：33

所以：3(a2b3c)3361 3a19b27c≥ 3

8.证明：由

(1x22yz)2[12(2)2()2][x2(2y)2(z)2]

结合题目条件即可证出，与第7题一样；

9.证明：

(1a11b21c3)2(121212)[(a1)2(b2)2(c3)2]3[3(abc)6]

结合题目条件就可以证出了！

10.证明：由条件a>b>c得：ab>0,bc>0,所以

11)(11)2＝4 abbc

114所以： abbcac[(ab)(bc)]（点评： 1.（22ak1n2k)(b)(akbk)2中的求和展开式为： 2kk12nnk1(a1a2an)(b1b2bn)(a1b1a2b2anbn)2；

2.二维、三维、n维柯西不等式的证明分别用了作差法、向量法、构造函数法证明，其实这三种方法也可以相互迁移，尤其是向量法简洁明了，值得借鉴；

3.带条件的三元不等式很常见, 用柯西不等式来证的较多, 要适当选择ak 和bk, 便于运用柯西不等式(222a

k1n2k)(b)(akbk)2； 2kk1k1nn

4.结合柯西不等式及变式中的等号成立的条件，请读者自行研究以上不等式的取等号条件。

以上如有错误之处敬请原谅并给予批评指正

邮箱zgh9723008@sina.com或qq联系：934355819(验证信息填：柯西不等式)

柯西不等式及应用篇2

一、柯西积分定理

柯西积分定理:设C是一条周线, D为C的内部, 函数f (z) 在D内解析, 在D-=D+C上连续, 则∮cf (z) dz=0.

例1:

解:因为符合柯西积分定理的条件, 则有

令

所以

从例1我们可以看出, 如果按照常规方法, 将所要求解的, 用万能公式代换的话, 将变得相当复杂, 而柯西积分定理却避免了这种复杂性, 使得解题思路清晰, 解题过程简洁明了, 很大程度上提高了解题效率, 不失为求解这种实函数的好办法。

二、柯西积分公式

柯西积分公式:设区域D的边界是周线 (或复周线) C, 函数f (z) 在D内解析

例2:求积分从而证明:

证明:因为

即原式得证。

从例2我们可以看到, 如果单纯地去看所要求证的结果, 根本无法入手, 然而柯西积分定理却能完全不去顾及所要求证的结果, 轻而易举地解决这道实函数题目, 事半功倍。

摘要：通过柯西积分定理及柯西积分公式来求解或证明实函数积分, 可以简化实函数积分计算的问题。

关键词：柯西积分定理,柯西积分公式,实函数,积分

参考文献

[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社, 2004.

基本不等式及其应用篇3

基本不等式使用技巧：

（1）注意不等式成立的条件；

（2）如何凑配定理形式，一般有加减项变换，平方等；

（3）灵活变换基本不等式的形式并注重变形形式的应用．如[ab0),][b2a≥2b-a(a>0)]等；

（4）解题时不仅要运用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用，常见变形有：

①设[a]、[b∈R+]，则[21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22]（调和均值[≤]几何均值[≤]算术均值[≤]平方均值），当且仅当[a=b]时等号成立．

②若[a、b∈R,]则[ab≤(a+b2)2≤a2+b22]，当且仅当[a=b]时等号成立.

③若[a]、[b∈R+]，[(a+b)(1a+1b)≥4]．

④若[a]、[b∈R+]，[ba+ab≥2]．

例1 求证：对于任意实数[a]、[b]、[c]，有[a2+b2][+c2≥ab+bc+ca]，当且仅当[a=b=c]时等号成立.

分析所证不等式是关于[a、b、c]的轮换对称式，注意到[a2+b2≥2ab]，然后轮换共得三个不等式，再相加即可．

证明 [a2+b2≥2ab]，[b2+c2≥2bc]，[a2+c2≥2ac]，

把上述三个式子的两边分别相加，得

[2a2+b2+c2≥2ab+bc+ca]，

即[a2+b2+c2≥ab+bc+ca]，

当且仅当[a=b=c]时等号成立.

另证 [a2+b2+c2-ab+bc+ca]

[=122a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca]

[=12a-b2+b-c2+a-c2≥0]，

即[a2+b2+c2≥ab+bc+ca]，

当且仅当[a=b=c]时等号成立.

变式1 已知[a、b、c∈R+,]

求证[bca+acb+abc≥a+b+c]．

证明因为[bca+acb≥2abc2ab=2c，]

即[bca+acb][≥2c].

同理[bca+abc≥2b]，[abc+acb≥2a.]

所以[2(bca+acb+abc)≥2(a+b+c)]，

因此[bca+acb+abc≥a+b+c]．

例2 已知[a>0,b>0,a+b=1]，

求证：[a+12+b+12≤2]．

分析1为脱去左边的根号，将[a+12、b+12]看成是[1•(a+12)、1•(b+12)]，然后用均值定理可证．

证明1 因为[a+12=1⋅(a+12)≤1+a+122]

[=34+a2,]

[b+12=1⋅(b+12)≤1+b+122][=34+b2,]

所以[a+12+b+12≤34+a2+34+b2=2]．

分析2 利用不等式

[a2+b22≥(a+b2)2⇒a+b2≥(a+b2)2]

[(a>0,b>0)]．

证明2由[(a+12+b+122)2≤a+b+12]，

得[a+12+b+12≤2a+b+1]，

因为[a+b=1]，所以[a+12+b+12≤2.]

变式2 已知[a>0,b>0,a+b=1]，

求[2a+1+2b+1]的最大值．

解[∵][2a+1•2≤2a+1+22=a+32] ，

[2b+1•2≤2b+1+22=b+32]，

[∴2(2a+1+2b+1)≤a+b+3=4,]

[∴2a+1+2b+1≤22]，

当且仅当[a=b=12]时取等号，

所以[2a+1+2b+1]的最大值为[22].

例3 甲、乙两人同时从[A]地出发，沿同一条路线行到[B]地. 甲在前一半时间的行走速度为[a]，后一半时间的行走速度为[b]；乙用速度[a]走完前半段路程，用速度[b]走完后半段路程；问谁先到达[B]地？

解设[A、B]两地的距离为[s]，甲、乙两人用时分别为[t1]、[t2]，

则[s=a⋅t12+b⋅t12=12t1a+b]，

[t2=s2a+s2b=14t1a+b1a+1b]

[=14t12+ab+ba≥t1].

所以，当[a=b]时，[t2=t1]，甲、乙两人同时到达[B]地；当[a≠b]时，[t2>t1]，甲先到[B]地．

另解设[A、B]两地的距离为[s]，甲、乙两人用时分别为[t1]、[t2]，平均速度分别为[v1]、[v2]，则

[s=a⋅t12+b⋅t12t2= s2 a+ s2 b][⇒][v1=st1=a+b2v2=st2=1121a+1b=21a+1b]

[⇒][v1≥v2].

因而，当[a=b]时，[v1=v2]，甲、乙两人同时到达[B]地；当[a≠b]时，[v1>v2]，甲先到[B]地.

2．利用基本不等式求最值

（1）使用情形

①如果[x>0,y>0,xy=P]（定值），那么当且仅当[x=y]时，[x+y]有最小值[2P]，简记为“积定、和有最小值”.

②如果[x>0,y>0,x+y=S]（定值），那么当且仅当[x=y]时[xy]有最大值[S24]，简记为“和定、积有最大值”.

（2）注意事项：

①[x、y]一定都是正数.

②求积[xy]的最大值时，应看和[x+y]是否为定值；求和[x+y]的最小值时，应看积[xy]是否为定值.

③等号是否成立.

以上简记为“一正二定三相等”.

例4 设[0

分析本题中[x]与[8-2x]的和不是定值,但易发现[2x]与[8-2x]的和为定值8,而且满足“一正”的条件,因此可以运用基本不等式求解．

解因为[0

所以[0<2x≤4]，[8-2x≥4>0]，

故[f(x)=x(8-2x)][=12⋅2x⋅(8-2x)]

[=12⋅2x⋅(8-2x)≤12⋅82=22,]

当且仅当[2x=8-2x,]即[x=2]时取等号，

所以当[x=2]时，[ymax=22]．

例5分别求当[x>0、x<0]时，函数[y=(x+4)(x+16)x]的最值．

分析如果直接应用基本不等式，就忽略了应用基本不等式的“一正”前提，导致错误. 而函数[y=(x+4)(x+16)x]的定义域为[(-∞,0)⋃(0,+∞),]因此必须对[x]的正负加以讨论．

解（1）当[x>0]时，

[y=20+x+64x≥20+2x⋅64x=36]，

当且仅当[x=64x,]即[x=8]时取等号，

所以当[x=8]时，[ymin=36].

（2）当[x<0]时，[-x>0,-64x>0,]

[(-x)+(-64x)≥2(-x)(-64x)=16]，

[y=20-(-x)+(-64x)≤20-16=4]，

當且仅当[-x=-64x,]即[x=-8]时取等号，

所以当[x=-8]时，[ymax=4].

例6已知[x、y∈R+,且1x+1y=1,]求[u=2x+y]的最小值.

错解因为[2x+y≥22xy],[1x+1y≥21xy]，

所以 [u=(2x+y)(1x+1y)≥22xy⋅21xy=42.]

错解原因在于两个不等式不能同时取等号,故取不到最值．

正解[u=(2x+y)(1x+1y)]

[=3+2xy+yx]

[≥3+22]．

当且仅当[2xy=yx,]即[x=2+22,y=1+2]时，等号成立,所以[umin=3+22].

点评运用基本不等式时,一定要遵循“一正，二定，三相等”的原则. 特别的,在取不到等号时,应借助函数单调性求解;在多次运用基本不等式时,应使满足等号的条件一致.

[【练习】]

1. 证明：对任意[a>1]、[b>1]，有不等式[a2b-1+] [b2a-1≥8.]

2. 求函数[y=x2+2x2+1(x∈R)]的最小值．

3. 已知[x>3]，求函数[y=2x+8x-3]的最小值．

4. 求函数[y=xx2+x+1]的最大值．

5. 已知[12≤x≤52]，求函数[y=2x-1+5-2x]的最大值．

6. 设[x>0]，求[y=(2+1x)(1+x)]的最小值．

[【参考答案】]

1. 这是一个对称不等式，当且仅当[a=b=2]时，等号成立，此时，[a2b-1=b2a-1=4=4(a-1)=4(b-1).]所以本题构造数组的结构应该是“[m2n-1,4(n-1)]”[.]

2. [x=0]时，[ymin=2]

3. [x=5]时，[ymin=14]

4. [ymax=13]

5. [x=32∈[12,52]]时取等号，所以[ymax=22]

柯西不等式及应用篇4

1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.１．算术平均数：几何平均数

２．设a≥0,b≥0则a+

2【精典范例】

例1．.设a、b为正数,求证明：

a+b³

2点评：１．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法

２．本题对a≥0,b≥０时仍成立，且题中等号当且仅当a=b时成立．

３．把不等式a+b³2(a≥0,b≥0)称为基本不等式

4.由本题可知，两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相等

5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．

例2.利用基本不等式证明下列不等式：

(1)已知a>0,求证 a+

(3).已知x , y , z是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证:(1³2(2).已知a, b, c∈R , 求证: a2+b2+c2≥ab+bc+ac.a111-1)(-1)(-1)>8 xyz

点评：1..基本不等式的变形公式：

2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．３．注意严格不等式的证明方法．

思维点拔：

1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会不等式证明的基本方法．

２．基本不等式的推广：n个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若ai≥0(i=1,2,„,n),则

追踪训练

１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数．（１）２与８（２）３与１２（３）Ｐ与９Ｐ（４）２与２

２．已知a>1求证a+

３．已知a , b , c不全相等的三个正数, 且abc=1 , 求证:

第2课时

1≥3３．已知a+b+c=1,求证a2+b2+c2≥

3a-1

a． abc

学习要求

1.理解最值定理的使用条件：一正二定三相等． 2.运用基本不等式求解函数最值问题．

１．最值定理：若x、y都是正数，(1)如果积xy是定值P , 那么当且仅当x=y时, 和x+y有最小值．.(2)如果和x+y是定值S , 那么当且仅当x=y时, 积xy有最大值．

２．最值定理中隐含三个条件：．【精典范例】

例1．(1).已知函数y=x+

51(x>－2), 求此函数的最小值.(2)已知x<, 求y=4x－1+的最大值;x+244x-5

(3)已知x>0 , y>0 , 且5x+7y=20 , 求xy的最大值;(4)已知x , y∈R+ 且x+2y=1 , 求

+的最小值.xy

例2.（１）求

2(x∈R)的最小值..（２）已知x , y∈R+ 且x+４y=1，求

11+ xy的最小值．

思维点拔：

１．利用基本不等式求最值问题时，一定要交代等号何时成立，只有等号成立了，才能求最值，否则要用其它方法了．而在证明不等式时，不必要交代等号何时成立．

２．例2是常见典型错误，它违背了最值定理使用前提：“一正二定三相等”中的后两条。

追踪训练一

1.2.3.已知x>1 ,0

【选修延伸】

利用函数单调性求函数最值.例3:求函数

9求函数y=4x+

1+x2的最小值；已知x<0 , 求y=

x的最大值；

已知x , y∈R, 且+

-x2+

3=1 , 求x+y的最小值;已知x>-2 , 求y=的最大值；

x+2

yx

(x4)的最小值.x2

思维点拔：

利用基本不等式求解时,等号不能成立,故改用函数单调性求解.追踪训练二

求函数

第3课时

y

sin2x的最小值.2

sinx

学习要求 1.初步学会不等式证明的三种常用方法：比较法，综合法，分析法。

2.了解不等式证明的另三种方法：反证法，换元法，放缩法.【精典范例】

例１．（１）已知a,bÎR+,且a¹b，求证：a3+b3>a2b+ab2

（2）已知

a<1,b<1，求证：

a+b

1+ab

追踪训练一

１．已知a,b,mÎ

R+,且a

a+ma

>．

b+mb

２．已知a,b,cÎR,且a+b+c=1，求证：ab+bc+ca3

例２.（１）已知a,b,cÎ(0,1),求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于

1．4（２）已知a

+b2=1,x2+y2=1，求证：ax+by 1

（３）求证：

a+b1+a+b

a1+a

b1+b

追踪训练二

1．求证：1+

111+++<2 22223n

学习要求

1．会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。2.通过对实际问题的研究，体会数学建模的思想。3．开拓视野，认识数学的科学价值和人文价值．【精典范例】

例１．用长为4a的铁丝围成一个矩形, 怎样才能使所围矩形的面积最大.(用基本不等式求解)．

例２．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池, 其容积为4800m3, 深度为3m , 如果池底每1m2的造价为150元, 池壁每1m2的造价为120元, 怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价为多少元?

例３．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台, 每批都购入x台(x为正整数), 且每批需付运费400元, 储存购入的电视机全年所付保管费用与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比, 若每批购入400台, 则全年需用去运费和保管费43600元, 现在全年只有24000元资金可用于支付这笔费用, 能否恰好当地安排每批进货的数量, 使资金够用, 写出你的结论, 并说明理由.选修延伸：

先建目标函数，再用基本不等式求最值，这是一种很常见题型，加以理解和掌握．

追踪训练

１．建造一个容积为8m3, 深为2m的长方体无盖水池, 如果池底的造价为每平方米120元, 池壁的造价为每平方米80元, 求这个水池的最低造价.２．巨幅壁画画面与地面垂直, 且最高点离地面14米, 最低点离地面2米, 若从离地面1.5米处观赏此画, 问离墙多远时, 视角最大?

1．进一步会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。2.通过对实际问题的研究，进一步体会数学建模的思想。.设x>0时, y=3－3x－的最大值为______________x

【精典范例】

例１．过点(1 , 2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点, 当△AOB的面积最小时, 求直线l的方程

例２．如图(见书P93), 一份印刷品的排版面积(矩形)为A , 它的两边都留有宽为a的空白, 顶部和底部都留有宽为b的空白, 如何选择纸张的尺寸, 才能使纸的用量最小?

练习1过第一象限内点P(a , b)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点, 当直线l的方程.2汽车行驶中, 由于惯性作用, 刹车后还要向前滑行一段距离才能停住, 我们把这段距离叫做“刹车距离”, 在某公路上, “刹车距离”S(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式: S=

PAPB

取最小值时, 求

325

v+v, 为保证安全行驶, 要求在这条公路上行驶着的两车之408

不等式和分式应用题篇5

2、有10名菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,已知甲种蔬菜每亩可收入

0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元,若要使总收入不低于15.6万元,则应该如何安排人员？

3、出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费),达到或超过5km

后,每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计),现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程大约是多少?

4、在双休日,某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园,公司先派一个

人去了解船只的租金情况,这个人看到的租金价格表如下:

那么,怎样设计租船方案才能使所付租金最少?(严禁超载)

5、(2001安徽)某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

6、某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为

600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

7、某公司到果品基地购买某种优质水果慰问医务工作者，果品基地对购买量在3000kg

以上（含3000kg）的顾客采用两种销售方案。

甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回。已知该公司租车从基地到公司的运输费用为5000元。

（1）分别写出该公司两种购买方案付款金额y（元）与所购买的水果量x（kg）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

（2）当购买量在哪一范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由

8、某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、•乙两种机器

供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．

（1）按该公司要求可以有几种购买方案？

（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应

选择哪种方案？

9、水果店进了某中水果1t，进价是7元/kg。售价定为10元/kg，销售一半以后，为了

尽快售完，准备打折出售。如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？

10、“中秋节”期间苹果很热销，一商家进了一批苹果，进价为每千克1.5元，销售中有

6%的苹果损耗，商家把售价至少定为每kg多少元，才能避免亏本？

11、阳光中学校长准备在暑假带领该校的“市级三好生”去青岛旅游，甲旅行社说“如果

校长买全票一张，则其余学生享受半价优惠.”乙旅行社说“包括校长在内，全体人员均按全票的6折优惠”.若到青岛的全票为1000元.（1）设学生人数为x人，甲旅行社收费为y 甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出

两家旅行社的收费表达式.（2）就学生人数x，讨论哪家旅行社更优惠？

12、某用煤单位有煤m吨，每天烧煤n吨，现已知烧煤三天后余煤102吨，烧煤8天后

余煤72吨.(1)求该单位余煤量y吨与烧煤天数x之间的函数解析式；(2)当烧煤12天后，还余煤多少吨？(3)预计多少天后会把煤烧完？

13、重量相同的两种商品，分别价值900元和1500元,已知第一种商品每千克的价值比第二种少300元,分别求这两种商品每千克的价值。

14、某客车从甲地到乙地走全长480Km的高速公路，从乙地到甲地走全长600Km的普通公路。又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。

15、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。

16、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一台乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？

17、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。求A、B每小时各做多少个零件。

18、某甲有25元，这些钱是甲、乙两人总数的20%。乙有多少钱？

19、某甲有钱400元，某乙有钱150元，若乙将一部分钱给甲，此时乙的钱是甲的钱的10%，问乙应把多少钱给甲？

20、我部队到某桥头狙击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。

21、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。

22、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。求先遣队和大队的速度各是多少？

23、某人现在平均每天比原计划多加工33个零件，已知现在加工3300个零件所需的时间和原计划加工2310个零件的时间相同，问现在平均每天加工多少个零件。

24、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。

25、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。

26、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？

（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有

多少人？

27、某项紧急工程，由于乙没有到达，只好由甲先开工，6小时后完成一半，乙到来后俩人同时进行，1小时完成了后一半，如果设乙单独x小时可以完成后一半任务，那么x应满足的方程是什么？

28、走完全长3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少？

29、对甲乙两班学生进行体育达标检查，结果甲班有48人合格，乙班有45人合格，甲班的合格率比乙班高5%，求甲班的合格率？

30、某种商品价格，每千克上涨1/3，上回用了15元，而这次则是30元，已知这次比上回多买5千克，求这次的价格。

31、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普和文学书的价格各是多少？

32、甲种原料和乙种原料的单价比是2：3，将价值2000元的甲种原料有价值1000元的乙混合后，单价为9元，求甲的单价。

33、某商品每件售价15元，可获利25%，求这种商品的成本价。

34、某商店甲种糖果的单价为每千克20元，乙种糖果的单价为每千克16元，为了促销，现将10千克的乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克17.5元，那么混合销售与分开销售的销售额相同，这包甲糖果有多少千克？

35、两地相距360千米，回来时车速比去时提高了50%，因而回来比去时途中时间缩短了2小时，求去时的速度

柯西不等式及应用篇6

均值不等式的应用

教学要求：了解均值不等式在日常生活中的应用

教学过程：

一、情境引入；

日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中起到了不容忽视的作用。下面，我主要谈一下均值不等式和均值定理的应用。

在生产和建设中，许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来解决。平均值不等式知识在日常生活中的应用，笔者虽未亲身经历，但从电视、报纸等新闻媒体及我们所做的应用题中不难发现，均值不等式和极值定理通常可有如下几方面的极其重要的应用：（表后重点分析“包装罐设计”问题）实践活动已知条件最优方案解决办法

设计花坛绿地周长或斜边面积最大极值定理一

经营成本各项费用单价及销售量成本最低函数、极值定理二车船票价设计航行里程、限载人数、票价最低用极值定理二求出速度、各项费用及相应最低成本，再由此比例关系计算出最低票价

（票价=最低票价+ +平均利润）例

1、包装罐设计问题

1、“白猫”洗衣粉桶

“白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱（如右图所示），若容积一定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是什么关系时用料最省（即表面积最小）？分析：容积一定=>лr h=V（定值）

=>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2)≥2л3(r h)/4 =3 2лV(当且仅当r =rh/2=>h=2r时取等号), ∴应设计为h=d的等边圆柱体.例

2、“易拉罐”问题

圆柱体上下第半径为R,高为h，若体积为定值V,且上下底厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最省（即表面积最小）？

柯西不等式及应用篇7

虽然同学们都能够记住解题步骤,但是在解这类应用题时由于经验不足、抓不到关键词、概念混淆、思维定式等原因的存在,使学生们在解题过程中遇到困难,而不能得到正确的解.

一、解题中遇到的困难及常见错误

1. 生活经验的不足及问题信息量大是造成初中生解应用题难的两大屏障

例1地砖按每块5.5元出售,地砖每边长35厘米,用这种砖铺满长7.8米、宽5.7米的房间,需花费多少钱购买地砖?

评析要正确地解应用题,必须读懂题目中语言文字表达的问题条件和问题要求.本题中,学生必须清楚“地砖”、“出售”、“购买”、“铺”等词语的含义,否则不能读懂题意.“地砖问题”中的事实知识包括长方形、正方形的概念,以及米与厘米之间的进率换算.像这类与生活综合知识联系较紧的应用题还有很多,信息量大,经验不足导致学生读不懂题目,不知从何下手,是学生最伤脑筋的.总之,学生的生活经验、课外知识、社会知识的储备量,已成为度量学生解答应用题思维厚度的一把标尺.

2. 思维定式造成设未知数出错并带来列式困难

例2苏科版八年级下教科书20页练习第1题.

某班学生外出春游时合影留念,1张彩色底片的费用为1元,冲印1张彩照需0.6元.如果每人预定1张彩照,且每人所花费用不超过0.8元,那么参加合影的学生至少有多少人?

错解设参加合影的学生至少有x人,(错误原因:设未知数不确切,应改为设“参加合影的学生有x人”)

则1+0.6x≥0.8x,(错误原因:列式时不等号反向)

解这个不等式,得x≤5.

答:参加合影的学生有5人.(错误原因:认为此题结果是确定值,而此题结果是一个取值范围)

评析在列不等式解应用题中,学生设未知数时,往往受方程应用题的迁移,沿用求什么设什么的做法,常给列式带来困难,甚至出错.

3. 列不等式(组)时忽视关键词

例3 (2011山东枣庄)某中学为落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香校园”.计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.

(1)符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来;

(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明(1)中哪种方案费用最低,最低费用是多少元?

解(1)设组建中型图书角x个,则组建小型图书角为(30-x)个.由题意,得

解这个不等式组,得18≤x≤20.

由于x只能取整数,∴x的取值是18,19,20.

当x=18时,30-x=12;当x=19时,30-x=11;当x=20时,30-x=10.

故有三种组建方案:方案一,中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,中型图书角19个,小型图书角11个;方案三,中型图书角20个,小型图书角10个.

(2)方案一的费用是:860×18+570×12=22320(元);

方案二的费用是:860×19+570×11=22610(元);

方案三的费用是:860×20+570×10=22900(元).

故方案一费用最低,最低费用是22320元.

评析解这类应用题的难点在于理清题意,寻找题目中的关键词语.例3中的两个关键词“不超过”、“不少于”是列不等式(组)的依据.另外还要注意所设未知数受实际情况的制约,此例中中型图书角的个数x应是正整数.

不等式应用题的取材广泛,又紧密结合实际生活,解这类题首先要理清题意,寻找关键词,比如“不少于”、“不大于”、“大于”、“小于”、“比……要节省”等,从而找到不等关系,列出不等式(组),通过解不等式确定不等式的解,最后要检验所求解是不是与实际问题相符合.

4. 移项或两边同乘(除)负值时不变号

根据题意正确地列出不等式(组)后,最重要的是解不等式(组).

例4解不等式:2x+4>x-1.

错解移项,得2x+x>-1+4.

即3x>3,则x>1.

例5解不等式:-3x+9<0.

.错解移项,得-3x<-9.

系数化为1,得x<3.

评析上面两例均犯了不变号的错误.例4、例5分别因“移项要变号”、“不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向应改变”这类知识点不能及时回应所致.因而求解时应在掌握知识点的基础上再加细心.例4的正确结果应为x>-5,例5的正确结果应为x>3.

5. 概念或意义不明确

例6求不等式2x-4<0的非负整数解.

错解因为2x-4<0的解为x<2,所以它的非负整数解为1.

例7解不等式:|x|<3.

错解x<3.

评析例6和例7错误的原因主要是对某些概念不明确或混淆,如“非负整数解”、“绝对值”等.非负整数应包括0和一切正整数,故例6正确解为:0和1.绝对值的意义是指在数轴上某个数到原点的距离,故例7的正确解为:-3

6. 去括号时不遵守运算法则

例8解不等式:3x-2(1-2x)≥5.

错解去括号,得3x-2-2x≥5,

故x≥7.

评析本题有括号,根据解不等式的步骤,要先去括号.括号前的数要与括号里的各项相乘.去括号时,除应遵循乘法的分配律不能漏乘外,还应遵循去括号法则:去括号时,括号前面为“-”,去括号要将括号里的各项都变号.本题产生错解的原因有两点:括号外的数只与第一项相乘,括号前面是负号只对第一项变号.因此本题的正确解应为x≥1.

7. 去分母时,漏乘不含分母的项

例9解不等式:

错解去分母,得x-1+2≥-4x.

移项、合并同类项,得5x≥-1,即x≥-

评析本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质,去分母时,不等式的两边同乘各分母的最小公倍数,漏乘不含分母的项,漏乘了常数项,这是解一元一次不等式(组)时常出的错误之一,应引起高度重视.因此本题的正确解应为x≥.

8. 分子是多项式,去分母时忽视了分数线的括号作用

例10解不等式:

错解去分母,得4x-1-3x-1>0,

移项、合并同类项,得x>2.

评析去分母时,当分子是多项式时,各分式的分子必须看成一个整体.忽视分数线的括号作用也是解一元一次不等式时常出的错误之一.为避免出这类错,应分别对分子添加括号,再运用去括号法则.例10中没有添加括号导致了错误.

正确去分母,得2(2x-1)-3(x-2)>0.

去括号,得4x-2-3x+6>0,

移项、合并同类项,得x>-4.

二、学好解一元一次不等式(组)及应用题的策略

1. 理解有关的概念

①不等式:用“<”或“>”号表示大小关系的式子,叫做不等式.

②一元一次不等式:含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式.分母中不能含有未知数.

③不等式的解:在含有未知数的不等式中,把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.不等式若有解,一般它的解有无数个.

④不等式的解集:如果一个不等式有解,能使不等式成立的未知数的取值范围,叫做不等式的解的集合,简称解集.不等式的解集包括所有能使不等式成立的未知数的值.

2. 领悟不等式的三个基本性质

①不等式的两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.

②不等式两边同乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.

③不等式的两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

不等式的三个基本性质是进行不等式变形的根本依据,其中前两个性质类似于等式的性质,而在运用性质③时,要注意必须改变不等号的方向,这是不等式特有的性质.

3. 牢固掌握不等式(组)的解法

解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程相同:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化成1.

各步需注意事项:①去分母:不要漏乘不含分母的项,是否改变不等号的方向;②去括号:括号前是负号时,括号内各项均要变号;③移项:移项要变号;④合并同类项:系数相加,字母及字母指数不变;⑤系数化成1:是否改变不等号的方向.

4. 牢固掌握列不等式(组)解应用题的步骤,抓住不等关系关键词,挖掘隐含的不等关系

在能构建不等式的题目中往往有表示不等关系的词语,如“大于、小于、不大于、不小于、超过、不超过”等.我们一定要利用好这些关键信息,列出不等式(组)以解决实际问题.

有些题目中无明显表示不等关系的关键词,而是深藏于题意中,这就要求老师引导学生根据问题的实际意义,深入挖掘蕴含其中的不等关系.

5. 重视不等式(组)应用题的教学

在平时的教学过程中,教师既要注重知识的传授和题目的解答,也要重视学生的实践性活动的开展和教学,这样才会避免数学和实际生活脱节,同时教学中要不断地增加新的背景和内容,跟上时代,弥补生活经验的不足,激发学生学习的热情.对于不等式(组)应用题文字较多学生获得信息困难的问题,教师平常在教学中在应用题上要多停留,有耐心.

在实际问题中,有许多用方程很难解决的问题,而用不等式去处理则可轻易解决.应用题是初中数学的重点,列不等式解应用题是初中数学的难点,根据题意正确地列出不等式(组),解应用题就成功了一半.一元一次不等式(组)的解法十分重要,它与一元一次方程的解法有许多相似之处,但又有其自身特点,同学们要认清两者解法的联系与区别.正确应对学生在解题过程中遇到的困难,提高学习的积极性,增加学习数学的兴趣,才有可能应用一元一次不等式(组)去解决生活中的实际问题.

摘要：现实世界既包含大量的相等关系,又存在许多不等关系.解决实际问题的过程中,有时不能确定或无需确定某个量的具体取值,但可以求出或确定这个量的变化范围,不等式(组)就是探求不等关系的基本工具.列不等式(组)解决实际问题是初中数学中的难点,同时也是中考的热点.解这类题的关键是在实际问题中找出相等关系和不等关系,列出方程和不等式.但在解不等式(组)时有的同学常因基础不扎实、概念不清、粗心大意,而在解题过程中遇到各种困难.

关键词：初中生,一元一次不等式(组)应用题,应对策略

参考文献

[1]钟山.不再让学生的困惑成为课堂教学的遗憾——《一元一次不等式组》教学片段所感[J].学生之友(初中版)(下), 2010(11).

[2]赵春祥.列一元一次不等式解应用题[J].初中生, 2009(6).

[3]石卫东.解一元一次不等式的常见错误分析[J].中学生数学,2003(10).

[4]任保平.解一元一次不等式常见错误剖析[J].数理化学习(初中版),2003(3).