Minkowski不等式的证明(积分形式)

Minkowski不等式的证明(积分形式) 篇1

在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski不等式）表明Lp空间是一个赋范向量空间

。设是一个度量空间，那么

如果，等号成立

当且仅当，或者，我们有：

闵可夫斯基不等式是中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：

对所有

实数，这里

是的维数；改成复数同样成立，没有任何难处。

值得指出的是，如果以变为。

积分形式的证明，则可

我们考虑的次幂：

（用三角形不等式展开）

用赫尔德不等式（见下文）继续运算可得

（利用，因为）

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项，除以最后那个表达式的后面那个因子，我们得到

因为，我们最终得出：

这就是我们所要的结论。

对于序列的情况，证明是完全类似的。

赫尔德（Holder）不等式

设ai,bi1in是2n个正实数，0,0,1,n

a则

i1







aibii1i1





.[证明] 令Aa

i1,B

b

i1

那么







a

i1





aibi

i1AB



lg

aiA

lg

biB

lg



ailg

lg



ai

bi







aibi

利用Jensen不等式有AB



aiA



B成立



i1

aibi

AB







aA

i1





bB

i1

1



即

a

i1





AB



aibi,得证。

i1i1



Minkowski不等式的证明(积分形式) 篇2

积分不等式的证明是高等数学诸多问题中难度较大、技巧性较强、涉及知识面较广的问题。本文结合若干典型例题较全面地给出了一些证明积分不等式的方法以供大家参考。

1 利用定积分的性质

利用定积分的比较定理,估值定理和绝对值不等式等定积分的性质分析证明积分不等式。

例1设f(x)在[0,1]上连续且单调非增,试证a∈[0,1]有

证明利用换元法与定积分的性质

因f(x)单调非增,0≤a≤1,所以f(ax)≥f(x)

即

2 利用单调性证明积分不等式(构造辅助函数)

当被积函数连续时,可以把积分上限或下限中的一个作为变量,构造一个变上限或变下限积分,然后通过考察该积分的单调性推证积分不等式。

例2设f(x)在[0,b]上连续且单调递增。试证:当0<a≤b时,有

(因为f(x)递增,f(u)-f(x)≥0)

于是,由拉格朗日中值定理,有

即成立。

3 利用判别式(适用于被积函数含有f2(x)或f′2(x)的情形)

引入适当的参数,构造合适的函数,讨论参数的判别式,以便证明所求证的积分不等式。

例3设f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续,证明

证明考察函数f(x)-λg(x),因为[f(x)-λg(x)]2≥0

有λ2g2(x)-2λf(x)g(x)+f2(x)≥0

两边积分得

不等式的左端可看成λ的二次三项式,对任意λ,不等式均成立,且因此,判别式

4 利用Canchy-Schwarz不等式

Canchy-Schwarz不等式只要求f(x)、g(x)在闭区间上可积,条件很少,利用它可以证明一些积分不等式。

例4设f(x)在[a,b]上有连续的导数,f(a)=f(b)=0,且

证明由Canchy-Schwarz不等式

5 利用微积分中的中值定理

当被积函数在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导时,对微分中值定理或积分中值定理中带ξ的项作适当的变化,可证得某些积分不等式。

例5设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,｜f′(x)｜≤M,证明

证明由拉格朗日中值定理

例6设f(x)是[0,1]上单调减少的正值连续函数,证明

6 利用Taylor公式

当被积函数含有高阶导数,最高阶导数的符号已知时,可用Taylor公式证明积分不等式。

例7设f(x)在[0,a]上二阶可导,且f″(x)≥0,证明

证明将f(x)在a/2处用Taylor公式展开

其中,ξ在x与a/2之间,利用f″(x)≥0,可得

f(x)叟f(2a)+f′(2a)(x-2a)

7 利用二重积分

这里D={(x,y)│a≤x≤b,a≤y≤b}

可用来证明含双积分号的不等式。

例8设f(x)在[0,1]上连续,证明

证明由上面叙述知

其中D={(x,y)│0≤x≤1,0≤y≤1},

8 利用函数图形的凹凸性

利用函数图形的凹凸性定义可证某些积分不等式。

例9设f(x)在[0,1]上连续,且其图形是凹的,f(0)=0,证明

9 利用概率方法

在概率论中,连续性随机变量的概率分布函数,数学期望与积分都有密切的联系,所以我们可以用构造概率分布函数、概率密度函数等概率方法证明某些积分不等式。

例10设f(x)与g(x)是[a,b]上的正值连续函数,证明

由于f(x)与g(x)为[a,b]上的正值连续函数,所以,E[f(ξ)g(ξ)]≥0。

将各相应值代入,

即证得

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析.北京:高等教育出版社,2001.

浅论定积分与不等式证明篇3

一、定积分

1. 定积分的定义

在闭区间[a, b]内任取n - 1 个分点:

它们把[a, b]分成n个小的闭区间 Δi= [xi -1, xi], i =1, 2, …, n这些分点或这些闭区间构成对区间[a, b]的一个分割, 记为T, 小区间 Δi的长度为 Δxi= xi- xi -1, 记, 称为分割T的细度, 小区间 Δi都有 Δxi≤‖T‖, i = 1, 2, …, n, 当 ‖T‖ 很小时各个Δxi也一定很小 ( 反之亦然) . 所以细度是衡量分割T把区间[a, b]分得细密的程度. 一旦T给定了, 则细度‖T‖ 也确定了, 但是有同一细度的分割却有无限多个.

在分割下所属的各个小区间上, 各任取一点 ξi∈Δi, i = 1, 2, …, n称为介点.

全体介点{ ξ1, ξ2, …, ξn} 构成一个属于T的介点集. 虽然当分割T取定后, 介点集还可以有无限多种取法, 但总有

设函数f ( x) 定义在区间[a, b]上, 对[a, b]上的一个分割T及属于它的介点集{ ξ1, ξ2, …, ξn} , 作和式, 称和式为f ( x) 在[a, b]上属于分割T的一个积分和, 也称为黎曼和.

定义:设f (x) 是定义在[a, b]上的一个函数, J是一个确定的常数.若对任给的正数ε, 总存在某一个正数σ, 使得[a, b]上的任何分割T, 只要它的细度‖T‖≤σ, 属于T的所有积分和∑f (T) 都满足|∑f (T) -J|<ε,

则称函数f ( x) 在区间[a, b]上可积. 数J称为f ( x) 在[a, b]上的定积分, 或黎曼积分, 记作:

其中f ( x) 称为被积函数, x称作积分变量, [a, b]称为积分区间, a, b分别称为这个定积分的下限和上限.

另外, 定积分还可以定义为以下形式:

设函数f ( x) 定义在[a, b]上, 任给[a, b]的一个分割T, 作积分和, 如果当‖T‖ → 0 时, 积分和∑f ( T) 存在极限J, 即

而且J与分割T无关, 也与介点集 ( ξ1, ξ2, …, ξn) 的取法无关, 则称f ( x) 在[a, b]上可积, J称为f ( x) 在[a, b]上的定积分 ( 黎曼积分) , 记作: J = ∫abf ( x) dx.

其中f ( x) 称为被积函数, x称作积分变量, [a, b]称为积分区间, a, b分别称为这个定积分的下限和上限.

注: 定积分作为积分和的极限, 它的值只与被积函数f ( x) 和积分区间[a, b]有关, 而与积分变量所用符号无关, 即

2. 定积分的几何意义

当函数f (x) ≥0时, 定积分表示以曲线y=f (x) , 直线x=a, x=b以及x轴为边的曲边梯形的面积A (如图1) :

当函数f ( x) ≤0 时, - f ( x) ≥0, 因而曲边为y =f ( x) 的曲边梯形的面积为:

一般情况下, 当函数f ( x) 在区间[a, b]上有正有负时 ( 如图2) :

定积分的几何意义为:介于x轴、函数f (x) 的图像及直线x=a, x=b之间的各部分面积的代数和.在x轴上方的面积取正号, 在x轴下方的面积取负号.

下面我们来剖析定积分概念的建立及其特征, 从前面定积分的定义可知, 为了求函数f ( x) 在区间[a, b]上的定积分, 一般分为如下四个步骤: ① 从要求的整体出发, 将整体“化整为零”; ② 在被分割开的每一个局部范围内“以直代曲”, 用初等代数、初等几何方法求出各个局部近似值; ③“积零为整”求出整体近似值; ④“无限求和”达到最终目的, 即求出整体的精确值.

从以上四个步骤可以看出: 定积分的概念的建立和求积分的过程是采取“由精确到近似, 再由近似到精确”的迂回曲折的手段和途径. 通过这种曲折的道路, 使得所求的整体由未知转化为已知, 实现了“直”与“曲”、“有限”与“无限”、“近似”与“精确”的矛盾转化. 利用这种矛盾转化的规律性, 解决了用初等代数、初等几何方法无法解决的问题, 创造了一种全新的数学方法. 下面我们就用这种数学方法来证明中学里面用初等代数、几何方法不易解决的不等式问题[1].

二、用定积分证明不等式

由于利用定积分的定义证明不等式, 过程往往比较复杂, 适合于抽像的积分形式的不等式的证明, 不太适合用于证明中学里面常见的不等式, 下面介绍一种较适用的方法, 即利用定积分的几何意义证明不等式.定积分的几何意义就是表示其曲边梯形的面积, 因此, 用定积分的几何意义来证明不等式, 其实就是比较不等式两边所对应的被积函数所围成的曲边梯形的面积的大小, 作为定积分的几何意义的一个应用, 我们首先来证明一个定理[2].

定理1 设f是闭区间[0, c]上严格递增的连续函数, 若f ( 0) = 0, a ∈[0, c]. b ∈[0, f (c) ]则∫0af (x) dx + ∫0bf-1 (x) dx ≥ ab. 其中f-1是f的反函数, 上式等号成立当且仅当b = f (a) .

证明如图3 所示, 设曲边三角形OPa, ORb, Oa Db的面积分别为S1, S2, ab.

由图3 及平面图形面积的性质, 易知

当b ≠ f ( a) 时, 有S1+ S2> ab; 当b = f ( a) 时, 有S1+ S2= ab. 这就有S1+ S2≥ ab ( 其中等号成立当且仅当b = f ( a) . )

根据定积分的几何意义, 当f在[0, c]上严格递增且连续, 且f (0) = 0, a ∈[0, c], b ∈[0, f (c) ]时, 有

代入S1+ S2≥ ab, 即得

(其中等号成立当且仅当b=f (a) .)

上式也可写成:

这个定理证明完了, 它到底有何用处, 我们不妨举几个例子来看看.

例1 证明:设a≥0, b≥0.p, q均为正数, 若, 则不等式成立.

证明: 作辅助函数f (x) = xp -1 ( p > 1) 在[0, c] ( c为任意正数) 上连续, 严格递增, 其反函数为, 并且取充分大的c可以使a ∈ [0 , c], b ∈ [0 , f ( c) ]故由定理1 得,

又因为. 得. 代入 ( 1) 得

例2 证明ab≤alna-a+eb (a≥1, b>0) .

证明:作辅助函数f (x) =ln (1+x) (如图4) , 其反函数为x=ey-1, 于是由定理1得:

例1、例2 都是直接利用定理1 来证明不等式, 其实我们还可以根据定积分的几何意义, 直接比较面积的大小来证明不等式, 下面我们就本着这个思想来证明几个不等式[3].

例3已知0 < a < b, 求证: 2ab ( lnb - lna) < b2- a2.

证明: 作辅助函数 ( x > 0) . ( 如图5) f ( x) 为下凹函数. 由定积分的几何意义有:

即

所以2ab (lnb-lna) <b2-a2.

在此题中, 我们发现可以先对不等式进行变换得到可以直观的表示某种平面图形的面积的式子, 这也是利用定积分的几何意义证明不等式的一种技巧.

例4 证明 (n>1) .

证明: 作辅助函数f ( x) = xn, x ∈[0, 1], 当n > 1时, f ( x) 在[0, 1]内是上凹的, 将区间n等分 ( 如图6) , 由定积分的几何意义有:

小矩形的面积之和< 曲边梯形的面积< 小梯形的面积之和.

由左边不等式得,

由右边不等式得,

我们知道在中学证明涉及自然数“n”的不等式都是用数学归纳法来证明的, 在这里, 可以用定积分的几何意义简捷的证明这类不等式, 下面再看几个这种类型的不等式.

例5 ( n ≥ 2) .

证明: 作辅助函数 ( x > 0) 如图7.

由定积分的几何意义有,

例6 证明.

证明:作辅助函数, 如图8, 由定积分的几何意义得

例7 证明 (n∈N) .

证明:作辅助函数 (x>0) , 如图9, 由定积分的几何意义得,

所以原不等式成立.

结合放缩法等一些基本的不等式证明方法, 通过比较面积大小、分析被积函数图像的位置关系等途径, 利用定积分证明了一些不等式, 在证明中所用的不等式关系中, 经常用到的和式就是定积分近似计算时常用的矩形法和梯形法公式, 我们发现用定积分, 特别是定积分的几何意义, 在不等式的证明中是非常有用的, 这说明高等数学与初等数学之间有着密切的联系, 相信读过本文后, 将不会有“在大学里学了那么多知识, 但对中学数学教学似乎没有多大用处”的感觉了, 而且经过不断的探索, 定积分将会在更多类型不等式的证明中得到运用.

参考文献

[1]吕世虎, 等.从高等数学看中学数学[M].科学出版社, 1995.59.

[2]李元章, 等.数学分析的基本概念与方法[M].高等教育出版社, 1989.156.