求解高次方程的新方法及其计算机实现

多元线性方程组可以采用消元法来解决,但是对于多元非线性方程组也即是多元高次非线性方程组的求解,消元法虽然可行但是计算量太大,这里介绍一种求解高次方程的新方法:利用Groebner基求解。此方法最大的优越性在于可以借助数学软件Maple实现,从而避免了繁杂的人工计算。Groebner基理论的形成可追溯到1927年F.S.Mlaculy的工作。他首先将全序的概念引入到多变元多项式环中单项式全体组成的集合中,研究其理想的某些不变量。历经接近40年的时间,H.Hironaka引进了多元多项式的除法算法。1965年,B.Buchberger利用除法算法系统的解决了域上多元多项式环的理想生成元问题。他的基本思想是在单项式的集合中引入保持单项式的乘法运算的全序,称之为项序,为保证多项式相除后所得的余项唯一,他引进了S-多项式,并给出了一种算法,使得多项式环中任意给定的理想,从它的一组生成元出发,可计算得到一组特殊的生成元,即现在我们通常所说的Groebner基。下面首先介绍域上Groebner基的基本理论。

研究多项式环S的兴趣在于理想是否总是有限生成的,Dickson证明了仅单项式生成的理想是有限生成的。到了19世纪末,Gordan用Dickson的结果证明了一般的理想也是有限生成的。而Gordan给出的证明其本质就是用到了Groebner基的理论,他的思想在当时来讲已经超前地预测了遥远的未来--现在活跃的Groebner基。

引理5(Dickson引理)S的单项式理I想是有限生成的

命题6(Hilbert定理)S的理想I是有限生成的

根据In(I)的有限生成性,上面的程序进行有限步之后就会结束。这样我们就求出Groebner基。

下面通过具体的例子介绍如何求Groebner基。

从上面的解题过程可以看出两种解法的结果相同。第一种解法在计算的时候用了一个微妙的手法进行处理,而第二种解法则是借助于Groebner基的性质,从表面上看计算量相当大,但是通过借助计算机软件如Maple,Mathematica利用Groebner基进行求解则是非常简便的。

下面简单介绍Groebner基理论在求解方程组中的应用。

2.2 Maple应用(The Application of Maple)

Maple是常用的求解Groebner基的软件,它本身自带处理Groebner基的相关程序,因此在应用时就避免了烦琐的程序输入,只需在应用的时候调用Groebner程序包即可,下面简单的介绍如何利用Maple软件解题。

结语:本文主要介绍一种求解高次非线性方程组的Groebner基求法及其算法实现,利用这种方法可以借助计算机方便的解出高次非线性方程组。

摘要：本文主要介绍一种求解多元非线性方程组的新的方法,即利用Groebner基求解线性方程组;并介绍如何利用计算机实现这一过程。

关键词：多元非线性方程组,理想,Groebner基,Maple

参考文献

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