3.3解一元一次方程（共15篇）
3.3解一元一次方程（二） -―去括号与去分母（第1课时）教案
3.3解一元一次方程（二） ―――去括号与去分母（第1课时） 教学目标： (1)知识目标: 在具体情境中体会去括号的必要性，能运用运算律去括号。 (2) 能力目标: 探索总结去括号法则,并能利用法则解决简单的问题。 重点：去括号法则及其运用。 难点：括号前面是“―”号，去括号时，应如何处理。 教学过程: (一)创设情景,导入新课 问题 某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000度，全年用电15万度。这个工厂去年上半年每月平均用电多少度? (三)典例教学 例1．解方程 3x-7(x-1)=3-2(x+3) 例2．一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了2小时;从乙码头返回甲码头逆流行驶,用了2.5小时.已知水流的`速度是3千米／小时，求船在静水中的平均速度. 例3．某车间22名生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母.为了使每天的产品刚好配套,应该分配多少名工人生产螺钉,多少名工人生产螺母? (四)课堂练习1.（1）4x+3(2x-3)=12-(x+4) (2) 2.同步P79自我尝试 (五)课堂小结 去括号法则 (六)作业 P102 习题3.3 第2题 ， 同步学习P80开放性作业 教后思：
一、巧约公因数
例1解方程:40×25%= (40-x) ×20%.
解两边约去20%, 得50=40-x, ∴x=-10.
二、巧去括号
分析按常规运算顺序, 应先去掉分母再去中括号, 注意到互为倒数, 因此先去中括号比较简便.
三、巧去分母
分析此题按常规应先利用分数的基本性质将方程中的小数化为整数, 然后按步骤求解, 但我们发现, 巧妙地去掉分母, 从而简化解题过程.
解原方程可化为:
四、巧凑整
分析方程各项未知数的系数和常数项中, 注意到把各项拆开移项凑整, 比直接去分母简便.
五、巧用整体观点移项
分析题目中有两个 (x+1) 和 (x-1) , 可把它们看做整体, 先移项合并, 这样可化难为易.
即3 (x+1) =2 (x-1) , ∴x=-5.
六、巧用整体思想换元
例6解方程:3{2x-1-[3 (2x-1) +3]}=5.
分析把 (2x-1) 看做一个整体用y表示, 则可简化解题过程.
解设2x-1=y,
则原方程可化为3[y- (3y+3) ]=5,
七、巧用公式、法则、定律
例7解方程:2 (3x+1) -3 (6x+2) =- (21x+7) .
分析先去括号, 计算量较大, 仔细观察原方程可发现方程各项都有因式 (3x+1) , 故可逆用乘法分配律来简捷求解.
解原方程可化为:
合并, 得3 (3x+1) =0, 解得
八、巧组合
分析按常规解法方程两边同乘以72化去分母, 运算较复杂, 注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3, 左边的第二项和右边的第一项中的分母有公约数4, 移项局部通分化简.
化简, 得, 去分母, 得8x-144=9x-99, ∴x=-45.
总之, 解系数比较复杂的一元一次方程, 不要盲目地去分母和括号, 要认真观察系数之间的特殊关系, 找到最简捷的解决办法.
案例背景
近年来，笔者所在学校对以往教学模式进行了改变，让学生对自己做错的习题进行归纳总结，再积累到错题本上。这样，初步建立了整理错题和错题反思的习惯培养机制，把学生对错题的反思当成重要课题来进行研究。通过一个阶段的实践，已初显成效；然而，在实施过程中还有一些问题值得继续思考和探索。
比如，教师在安排学生对解一元一次方程的应用题的一些错题进行反思时，学生往往认为自己的错误只是应用题列法上，而不会将已经学过的一元一次方程在计算上的错误与其他同学进行交流，这样就造成了学生在解应用题的过程中主要问题解决了，而一些细枝末节却错误不断。也正说明学生在反思错题的过程中，容易忽略对已学知识的回顾与梳理。在今后的研究过程中，教师们要不断地进行深入实践、反思和改进，充分发挥小组合作的作用，调动学生在错题反思中，积极主动地对已学知识串联，使学生们在反思错题中养成温故知新、相互补充、共同完善的良好习惯。
案例描述
以笔者所教的一个班级第五小组的学生为例。在一次一元一次方程应用题的习题课上，学生已经将如何列储蓄问题的一元一次方程进行了相互讲解，于是，笔者要求每个小组都要对错题进行反思。同学们列举了自己在做储蓄问题时容易犯的错误：对利率的不理解；对计算利息时公式的遗忘；对利息税与利息之间关系的模糊。每位同学就自己错题的原因及教训进行了组内反思交流，然后把一元一次方程应用题中的储蓄问题进行了归纳和订正，最后整理到错题本上。笔者再从学生做错的题中抽取两道题进行小测，反馈后发现各小组的反思效果并不好，第五小组6人中竟有2人出现了列方程正确、而计算错误的现象。那么，学生经过整理、反思，为何反馈效果还是如此不尽如人意呢？
案例分析
从以上案例可以看出，学生已经意识到：错题反思是对自己数学学习活动过程的再思考、再审视。学生由以往的不注重对反馈结果的巩固发展到小组成员都把自己在解一元一次方程应用题中的做错原因与其他同学进行交流。这样，在组内就形成了相互提醒、相互督促的良好习惯，有效地杜绝了今后在这类应用题上的错误，因此，小组合作对错题进行反思的作用就变得尤为重要。
当习题课临近结束时，笔者通过第五组的小测所反馈回来的情况看出来：学生在反思错题时忽略了对一元一次方程计算的反思。原因是之前学生已经学习了如何解一元一次方程，并且做了很多的练习，而在进一步学习一元一次方程应用题的时候，学生就要根据应用题的题意先列出方程，然后再把方程解出来。学生出现错误的原因，大多是对应用题题意的不理解而造成他们无法正确列出应用题的方程，所以，学生在反思错误时，自然把着重点落在分析应用题的题意上，而忽略了对已学知识解方程的错误情况的反思。这些问题，表现了学生们在小组合作进行错题反思的时候常常就题论题，没有养成“根据已经学过的知识构建知识体系进行反思从而解决新问题”的习惯，导致了后来检测的错误。
案例对策与反思
通过本节课所出现的问题分析，笔者体会到利用小组合作来反思错题的重要性，也认识到反思错题中学生易忽略的问题。因此，笔者对习题课又进行了重新设计：课程的前半部分，笔者通过适时运用小组合作组织了积极的师生互动和生生互动。比如在小组进行反思时，通过“这个组反思的问题非常全面”等鼓励性评价语言和学校建立的课堂评价机制，对反思全面准确的小组进行鼓励性星级评价，以调动他们参与小组合作反思的积极性，鼓励他们采用把习题分类处理、运用小组合作等形式多样的办法参与合作。学生在笔者的引导下，学习兴趣大增。把解一元一次方程应用题的错误形式分成简单错误和复杂错误两类。学生在反思这两种错误类型的同时，相互合作的形式也变成一对一解决简单的错题，一对二、二对二解决复杂的错题，让小组成员真正知道：简单问题和复杂问题分别错在哪里，为什么错，以后该注意什么。在让学生反思的过程中，教师要根据学生的认知特点，合理选择和设计例题与练习，告诉学生要把列方程与解方程都当作错题反思的重点，在错题反思的学习中有意识地培养学生一起回顾、主动梳理、反思学过知识的习惯。经过对错题反思的习惯的培养，本课笔者留出5分钟时间，抽两道题测试学生已订正过的题，第五小组反思效果明显提升，抽测的试题全部做对。
教学过程
解一元一次方程来探究方程中含有括号的一元一次方程的解法.解方程2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x).分析 方程中有括号,设法先去括号.解2x-4-12x + 3 = 9-9x,„„„„去括号
-10x-1 =9-9x,„„„„„„ 方程两边分别合并同类项
-10x + 9x = 1 + 9,„„„„„„ 移项
-x =10, „„„„„„„„合并同类项
x =-10.„„„„„„„„系数化为1
注意(1)括号前边是“-”号,去括号时,括号内各项都要变号;
(2)用分配律去括号时,不要漏乘括号内的项;
(3)-x =10,不是方程的解,必须把系数化为1,得x =-10,才是结果.从上面的解方程可知,解含有括号的一元一次方程的步骤是:
(1)去括号;
(2)移项;
(3)合并同类项;
(4)系数化为1.三、实践应用
例1 解方程:3(x-2)+1 = x-(2x-1).分析 方程中有括号,先去括号,转化成上节课所讲方程的特点,然后再解方程.解 去括号
3x-6 + 1 = x-2x + 1,合并同类项
3x-5 =-x + 1,移项
3x + x = 1 + 5,合并同类项
4x = 6,系数化为1
知识目标：能熟练地求解数字系数的一元一次方程( 不含去括号、去分母)。
过程方法目标：经历和体会解一元一次方程中“转化”的思想方法。
情感态度目标：在数学活动中获得成功的喜悦，增强自信心和意志力，激发学习兴趣。
二、重难点：
重点：学会解一元一次方程
难点：移项
三、学情分析：
知识背景：学生已学过用等式的性质来解一元一次方程。
能力背景：能比较熟练地用等式的性质来解一元一次方程。
预测目标：能熟练地用移项的方法来解一元一次方 程。
四、教学过程：
(一)创设情景
一头半岁蓝鲸的体 重是22t，90天后的体重是30.1t，蓝鲸的体重平均每天增加多少?
(二)实践探索，揭示新知
1.例2.解方程： 看谁算得又快：
解：方程的`两边同时加上 得 解： 6x ? 2=10
移项得 6x =10+2
即 合并同类项得
化系数为1得
大家看一下有什么规律可寻?可以讨论
2 .移项的概念： 根据等式的基本性质方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边 ，这样的 变形叫做移项。
看谁做得又快又准确!千万不要忘记移项要变号。
3.解方程：3x+3 =12，
4.例3解方程： 例4解方程 ：
2x=5x-21 x- 3=4-
5.观察并思考：
①移项有什么特点?
②移项后的化简包括哪些
(三)尝试应用 ，反馈矫正
1.下列解方程对吗?
(1)3x+5=4 7=x-5
解： 3x+ 5 =4 解：7=x-5
移项得： 3x =4+5 移项得：-x= 5+7
合并同类项得 3x =9 合并同类项得 -x= 12
化系数为1得 x =3 化系数为1得 x = -12
2解方程
(1). 10x+1=9 (2) 2—3x =4-2x;
(四)归纳小结
1.今天学习了什么?有什么新的简便的写法?
2.要注意什么?
3. 解方程的 一般步骤是什么?
4.. (1) 移项实际上 是对方程两边进行 , 使用的是
(2)系数 化为 1 实际上是对方程两边进行 , 使用的是 。
(3)移项的作用是什么?
(五)作业
1.课堂作业：课本习题4.2第二题
知识与技能目标：
1.掌握解一元一次方程中去分母的方法，并能解此类型的方程。
2.了解一元一次方程解法的一般步骤。
数学思考目标：
1.通过去分母，体会划归的数学思想方法。
2.通过归纳一元一次方程解法的一般步骤，体会解方程的程序化思想方法。
解决问题目标：
经历把实际问题抽象为方程的过程，发展用方程方法分析问题、解决问题 的能力。
情感态度目标：
1.通过具体情境引入新问题（如何去分母），激发学生的探究欲望。
2.通过埃及古题的情景感受数学文明。
教学重点：通过去分母解一元一次方程。
教学难点：探究通过去分母的方法解一元一次方程。
教辅工具：多媒体
教学过程设计：
程序
问题与情境
师生行为
设计意图
创设问题情境
引言：这件珍贵的文物是纸莎草文书，师古代埃及人用象形文字在一种特殊的草上的著作，至今已经有3700多年的历史了，在文书中记载了许多有关数学的问题。
问题（1）
一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33.能不能用方程解决这个问题？
问题（2）
能尝试解这个方程吗？
问题（3）
不同的解法由什么各自的特点？
教师展示幻灯片，呈现问题。
学生思考并回答问题。
教师对学生的回答进行总结。
学生独立完成解方程。
教师巡视，观察学生的解题方法，展示不同解法，并请学生表述解法及解法依据。
1.接合并同类项的方法；
2.去分母的方法。
教师引导学生分析并对比两种解法，得到共识。当方程中含有分数系数时，先去分母可以使解题更加方便、快捷。
教师给出本节课题。
本次活动中，教师应重点关注：
学生能否体会到去分母的必要性；
学生是否明确去分母的可行性；
学生能否总结出去分母的一般方法
学生能否正确表达自己的想法，能否倾听、思考、理解他人的想法。
利用列方程，解方程解决实际问题，再一次让学生感受到方程的优越性，提高学生主动使用方程的意识。
经过对同一方程不同解法的分析，首先让学生亲自感受到去分母能够使解方程的过程更加便捷，明白为什么要去分母，知识去分母这一步骤的必要性，同时，让学生认同去分母是科学的、可行的。明确为什么能去分母。这样，学生就会自觉参与探索去分母的一般做法的活动，从而发现方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数这一方法。
通过交流，让学生用自己的语言清楚的表达解决问题的过程，提高学生的语言表达能力。
探究
过程
问题1：下面方程
可以怎样求解？
学生观察方程特点，回答问题。教师提出问题并对学生的回答进行总结，先去分母。
在独立思考的基础上，学生分组交流，并汇总得到去分母的正确方法。
教师深入小组参与活动、指导、倾听学生的交流。
归纳总结去分母的方法，在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数，依据是等式的性质2。
呈现不同学生的阶梯过程，选取学生在去分母过程中出现的典型错误，引导全体学生共同分析错误的原因，发现去分母的易错点。
本次活动是活动1的延续和发展，通过解这个方程，进一步晚上用去分母的方法解方程时具体操作方法及注意事项。
通过对错例的辨析，加深学生对去分母的认识，避免解方程时出现类似错误。
探究过程
解去掉分母后的这个方程
学生独立完成解方程。
教师巡视、指导学生完成解题过程。
师生共同归纳出正确解题过程。
去掉分母后，方程即转化为熟悉的形式，新旧知识自然衔接，使学生体会到，只要把新问题想办法合理转化为熟悉的知识，问题就能得以解决，通过在解方程过程中去分母这一步骤体会转化思想。
练习巩固
解方程：
学生独立完成解方程过程，教师巡视、指导。
用实践来加深对去分母的方法解一元一次方程的认识。
归纳总结一元一次方程解法的一般步骤，巩固所学的解法。
小结
教师指导学生共同归纳本节的知识。
复习、巩固本节的知识，学会总结反思。
一、移项时不改变符号
例1.解方程5x+2=7x-8
错解:移项, 得5x+7x=2-8
合并同类项, 得12x=-6
错因:这里出现了移项不改变符号的错误, 造成错误的原因是粗心大意或考虑问题不够全面.减少此类错误产生的方法是细心周到, 及时检查.如果变形得到的方程中的项和原方程中的对应项的位置分别在方程的两边, 则改变符号, 否则不改变.
正解:移项, 得5x-7x=-2-8
合并同类项, 得-2x=-10
二、去括号时未遵循法则
例2.解方程4x-3 (20-x) =3
错解:去括号, 得4x-60-x=3
移项合并同类项, 得3x=63
错因:这里出现了去括号时未遵循法则的错误, 这是解一元一次方程时常出现的一种错误.利用乘法分配律去括号时, 除了不漏乘外, 还应遵循去括号时法则, 特别要注意括号前有负号的情况.减少此类错误产生的方法是用乘法分配律去括号时应注意: (1) 使用项与项相乘; (2) 牢记去掉括号和括号前面的负号时括号中所有的项都应改变符号, 从首项直到末项.
正解:去括号, 得4x-60+3x=3
移项合并同类项, 得7x=63
三、去分母时, 漏乘了没有分母的项
例3.解方程
错解:去分母, 得3x-7=9x-2
移项合并同类项, 得-6x=5
错因:去分母时, 在方程的两边同乘以各分母的最小公倍数时, 漏乘了不含分母的项, 这也是解一元一次方程时常出现的一种错误, 应引起高度重视.减少此类错误产生的方法是用各分母的最小公倍数去分别乘以方程式中的各项, 从左往右, 并检查无分母的项乘了没有.
正解:去分母, 得3x-42=9x-2
移项合并同类项, 得-6x=40
四、去分母时, 忽视了分数线有括号的作用
例4.解方程
错解:去分母, 得4x+1-5x-1=6
移项合并同类项, 得-x=6
错因:去分母时, 忽视了分数线有括号的作用, 这又是解一元一次方程时常出现的一种错误.减少此类错误产生的方法是当分子是多项式时, 应将分子用括号先括上, 再应用去括号法则.
正解:去分母, 得2 (2x+1) - (5x-1) =6
移项合并同类项, 得-x=3
五、将方程ax=b (a≠0) 的系数化为1时, 把分子分母的位置颠倒了
例5.解方程15x=7
错解:将未知数的系数化为1, 得
错因:这里出现了把分子分母的位置颠倒了的错误, 造成错误主要是因粗心大意或得意忘形.减少此类错误产生的方法是牢记将系数化为1时, 将方程的两边都除以的是未知数的系数, 未知数的系数只能作分母.
列方程解应用题是初中数学的重要内容，它不但能培养同学们分析问题和解决问题的能力，而且对其今后的数学学习起着关键性的作用.下面，我们利用一道典型习题讲述分析问题的方法.
例 一艘轮船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共用4个小时.已知船在静水中速度为7.5千米/时，水流速度为2.5千米/时，AC两地相距10千米.求AB两地相距多少千米？
一、审题，读一遍题目后要明确
（1）题中的内容涉及哪些等量关系或公式，并统一题目中各量的单位.
S1=V顺水·t1 S2=V逆水·t2
V顺水=V静+V水 V逆水=V静-V水
（2）题中所求的问题是等量关系或公式中的哪个量，并假设为x，这样就把未知量变成了已知量，本题设AB两地相距x米.
（3）读第二遍题目时根据题意画出草图分析题中各个量之间的关系，将已知量标在图上.
二、分别列出表达式，即将题目中的等量关系或公式用代数式表示出来
顺流所用的时间t1= ，逆流所用的时间t2= ，且 t1+t2=4.
再进一步将等量关系或公式中没有直接给出的量表示出来.如：V顺=7.5+2.5，V逆=7.5-2.5.
三、 列方程
当C地在A、B之间，如图1.根据分析建立方程
解得x=20千米.
当C地在BA的延长线上时，如图2，列方程
解得x=6 千米.
(1)-4y-1=3y-8
(2)0.5n-3=1.5n+2让学生动手去做，仔细观察学生练习过程，出现了不少问题。
课后总结一下，大致有以下几种比较常见的情况：
①含未知数的项不知道如何处理;
②移项没有变号
③没有移动的项也改变了符号。
出现以上情况，主要是在教学设计中没有把本节课困难想到，总以为这节课很简单，没有困难，学生应该很轻松解决问题，以致于课后作业中也出现两大问题。
第一：解题中部分同学仍采用原来的等式性质解题，
在教学这节课之前，我做了大量的工作，汲取同事的建议，尽量使预设达到完美。
教学设施中，我非常重视开头的引入教学，激发学生学习的兴趣。注意鼓励学生大胆发言，注意从现实生活出发，展现知识的形成过程，使学生能够利用已有的生活知识和数学知识，通过知识迁移、类比的方法归纳得出同类项的概念以及合并同类项的概念。使他们不会觉得数学概念学习的单调乏味，逐步提高学生抽象概括的能力。教学同类项的概念时，利用字母a和x2分别代替“笑脸”和“鸭子”的感性材料的作用，以启发和讨论交流为主，让学生自己观察，总结出合并同类项的特征。“总结出两不变，两无关”的观点介绍给大家，利于大加深对概念的理解。对于例题的教学，我也是充分发挥学生的主体性，启发学生进行化简时，要先观察，再下手，归纳出一找、二移、三并的步骤，我觉的课堂的有效性效果还可以。
讲完这节课后，我觉得自己设计时想得太多了，有点怕这怕那的感觉，造成前松后紧的局面。自己讲得有点多，虽然学生思考的时间多，但学生没有板演的机会，所以有些问题只能在作业中才能发现。成功之处有：通过本节课的教学，让学生进一步体会，数学来源于生活，又作用于生活，提供学生生活中熟悉的材料作背景，学生学习兴趣很高，同时教学的设计比较合理。首先电脑出示一幅图片，图片上有葡萄、梨、蘑菇、香蕉，让学生根据自己的想法分类，并说明理由；接着，利用元和元，角和角可以相加，为下面同类项可以合并打下基
一、 注意去分母时，各项都要乘以分母的最小公倍数
例1解不等式：－＞1．
分析：本题有分母，根据解不等式的步骤，先去分母，不等式两边各项同乘以分母的最小公倍数6.
解：去分母得：3x－2x＞6．
合并同类项，得：x＞6.
注意点：去分母时，要注意1作为单独一项不要忘记乘6.这是很多同学发生错误较多的地方.
二、 注意变号
例2解不等式：－3x＋1≥－4x．
分析：本题没有分母也没有括号，根据解不等式的步骤，先移项．移项时，各项要改变符号.－4x移到不等式左边要变成＋4x，＋1移到不等式右边要变成－1.
解：移项得：4x－3x≥－1．
合并同类项，得：x≥－1．
注意点：很多同学往往忘记改变符号或者只改变其中一项的符号.要注意，移到不等式另一边的各项都要改变符号.
三、 注意不等号的方向
例3解不等式：－＞1．
分析：本题有分母，根据解不等式的步骤，先去分母，不等式两边同乘以6.
解：去分母得：2x－3（x－1）＞6．去括号，得：2x－3x＋3＞6．移项，得：2x－3x＞6－3．合并同类项，得：－x＞3．系数化成1，得：x＜－3.
注意点：系数化成1时，如果不等式两边同除以（或同乘以）的是负数，不等号要改变方向.许多同学往往只记住改变3的符号，忘记改变不等号的方向.要注意符号和不等号方向的改变.
例4 解不等式：3＜3（x＋2）－2（x＋3）．
分析：本题有括号，根据解不等式的步骤，先去括号，括号前的数要与括号里的各项相乘.
解：去括号得：3＜3x＋6－2x－6．合并同类项得3＜x，即x＞3．
注意点：当合并同类项出现3＜x时，实质上已经得出答案了.但是很多同学却在这儿犯了错误.要注意把x写在不等号左边，3写在不等号右边.
四、 注意用数轴正确表示不等式的解集
例5 在数轴上表示下列不等式的解集：
①x＜2； ②x≥2．
分析：用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向.有等号用实心点，没有等号用空心圈，大于向右，小于向左.
解：①②
注意点：确定边界和方向，这是很多同学容易犯错误的地方．一定要记牢上面的那句话.
五、注意出现字母系数时要分情况讨论
例6 关于x的不等式a（x＋3）≤－2ax的解集是.
分析：本题含有字母系数.解题时前4个步骤与解不含字母系数的不等式的步骤是一样的.第5步时要对系数的取值进行讨论.
解：去括号得：ax＋3a≤－2ax．移项得：ax＋2ax≤－3a ．合并同类项得3ax≤－3a，即ax≤－a．系数化成1得：当a＞0时，x≤－1；当a＝0时，x为一切实数；当a＜0时，x≥－1．
注意点：解含有字母系数的不等式时，要注意不等式两边同乘以（或同除以）含字母的式子时，要对式子的取值进行讨论.
同学们，上面解一元一次不等式的方法和注意点你掌握了吗？不妨用下面的练习题测试一下自己.如果全做对了，说明你已经掌握了.如果还有错误，说明你没有掌握好，还需要继续努力.
<\192.168.0.129本地磁盘 (d)王玲霞数据八年级数学北师大08年1-2期版式+图jjgg.TIF>[练习]
1． 解不等式：y－1＞7－y．
2． 解不等式≤＋4，并把它的解集在数轴上表示出来.
3． 解关于x的不等式：＋3＞x＋a．
参考答案
1． y＞4．
2． x≥－3.图略.
3． 去分母得：ax＋9＞3（x＋a）．去括号得：ax＋9＞3x＋3a．移项得：ax－3x ＞3a－9．合并同类项得：（a－3）x ＞3（a－3）．系数化成1得：当a－3＞0时，即a＞3时，x＞3；当a－3＝0时，即a＝3时，无解；当a－3＜0时，即a＜3时，x＜3．
研究发现：人类进化速度正在加快
一项最新的研究称，世界也许变得越来越像地球村，但地球村居民在遗传方面却越来越不同，这是因为人类进化的速度在加快.
遗传学家们说，自智人从非洲迁移到其他大陆的4万年来，人口数量猛增，人类进化速度与在此之前的进化速度相比要快得多.
现代人类的进化速度比在1万年前的冰川期快100倍.这使得不同种族之间的差异越来越大.
参与这项研究的专家指出：“在遗传方面，我们与生活在5 000年前的人的差异比他们与尼安德特人（约10万年前的一种早期智人）的差异要大.”这个研究结果建立在一项国际基因组计划所进行的数据分析的基础上.科学家小组对来自四个不同种族的270个人的DNA进行研究.研究人员的分析显示，自然选择的进程加快了.这与传统观点相反.传统观点是，人类进化已经变得很慢，甚至在现代人身上停滞了.
研究人员在论文中写道：“人口迅速增多与文化和生态环境的巨大变化相结合，为人类提供了新的适应机会.”这篇论文刊登在美国《国家科学院学报》上.
“1万年来，人类的骨骼和牙齿迅速进化，并出现对饮食和疾病新的遗传反应.”（摘自2007年12月12日早报网）
误区1:移项忘记变号致错
例1解不等式5x+1≤3x+7
错解:移项得5x+3x≤1+7,即8x<8,解得x≤1
错因剖析:移项法则掌握不牢,和解方程一样,不等式中的项从不等式的一边移到另一边时,一定要改变符号.
正解:移项得5x-3x≤7-1,即2x≤6,解得x≤3
误区2:违背不等式的基本性质致错
例2解不等式3x+4≤5x-2
错解:移项得3x-5x≤-2-4,即-2x≤-6,解得x≤3
正解:x≥3
误区3:违背去括号法则致错
例3解不等式5x-2(8-x)≥6x-3(4-x)
错解:去括号得5x-16-x≥6x-12-x
移项,合并同类项得-x≥4
解得x≤-4
错因剖析:上述去括号有两点错误:1一个数与多项式相乘,去括号时,应将这个数与括号内的每一项相乘;2括号前面是负号,去括号时括号内的每一项都要改变符号.
正解:去括号得5x-16+2x≥6x-12+3x
移项,合并同类项得-2x≥4
解得x≤-2
误区4:去分母时漏乘某些项致错
例4解不等式
错解:去分母得3(2x+1)≥2(x-1)+1
去括号、移项,合并同类项得4x>-4
解得x>-1
错因剖析:错解对不等式的基本性质2理解不透,在去分母时,应将最简公分母乘以不等式的每一项.
正解:去分母得3(2x+1)≥2(x-1)+6
去括号、移项,合并同类项得4x>1
解得x>1/4
误区5:忽视分类讨论致错
例5解关于x的不等式3x-a≤ax+1
错解:移项,合并同类项得(3-a)x≤a+1
系数化为1得
错因剖析:由于不能确定未知数的系数的符号,所以必须分类讨论.
正解:移项,合并同类项得(3-a)x≤a+1
当a<3时,当a=3时,不等式的解集为全体实数;当a>3时,
误区6:忽视分数线的括号作用致错
例6解不等式
错解:去分母得2y+1-6y-5≥12
移项得2y-6y≥12-1+5
合并同类项得-4y≥16
系数化为1得y≤-4
错因剖析:分数线具有“括号”作用.所以,在去分母时,分数线上面的多项式应作为一个整体,加上括号.
正解:去分母得2(y+1)-3(2y-5)≥12
去括号得2y+2-6y+15≥12
移项得2y-6y≥12-2-15
合并同类项得-4y≥-5
本节课的设计思路是从实际问题出发，引导学生自主学习，积极探究，合作交流，总结提高。用列方程的方法解决实际问题，在教学过程中通过连串问题去引导学生审题、分析题意、寻找等量关系等，使学生初步了解“建模”的数学思想。在课堂中让学生带着思考，带着问题，教师组织学生讨论的目的是为了充分暴露出学生的问题，让学生在谈论、合作、交流的过程中解决问题，在通过老师的总结归纳，学生的认识得到升华，因此本节课采取的是学生合作探究的教学方法。
在教学过程中，教师不断地提出问题，明确要达到的目的，并在学生遇到困难的时候提供指导性建议，但不提供具体的解决过程和问题的答案。学生则围绕确定的问题，在教师的指导性帮助下，通过自己的思考和相互间的交流，达到预定的目标。
显然，这样的教学给学生带来的发展是多方面、多层次的，不同的学生在学习过程中都有不同程度的收获。
这节课学生大多能积极思考，认真学习，课后作业都能及时完成。作业质量较好，基本达到了预定的教学目标，主要存在问题是去括号时个别同学不注意符号或出现漏乘情况。
一、内容和内容解析 1．内容
一元一次方程的合并同类项解法． 2．内容解析
方程的解法是“数与代数”的核心内容，也是本章的核心内容．解方程是求出方程中的未知数的值的过程．合并同类项是整式运算的基础，也是解方程、解不等式的基本步骤之一，是一种恒等变形．合并同类项的运算依据是分配律，解一元一次方程时，同类项有两类：未知数的一次项和常数项．
合并同类项解一元一次方程是解方程的基本步骤之一，而列出正确的方程却是基础，因此，列方程在本章非常重要，它将实际问题中的相等关系描述出来，这种建模思想贯穿于全章的始终．
在这里学生初次接触解方程的化归思想，也就是把多个同类项转化为一项，从而使方程更接近xa的形式．
二、目标和目标解析 1．目标
（1）掌握运用合并同类项解简单的一元一次方程；
（2）经历运用方程解决实际问题的过程，体验方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型．
2．目标解析
达成目标（1）的标志是：给定一个方程，能够准确地通过合并同类项解方程．知道合并同类项的作用是简化方程．
达成目标（2）的标志是：通过问题探究找出实际问题中的相等关系，设出未知数，依据相等关系列出方程．体验一元一次方程的应用价值．
三、重点难点
教学重点：建立方程解决实际问题，会利用合并同类项解一元一次方程．
教学难点：寻找实际问题中的相等关系列一元一次方程，正确地通过合并同类项解方程．
四、教学过程设计
1．用《花拉子米及〈对消与还原〉》视频介绍数学史，创设情境
公元约825年，阿拉伯数学家阿尔-花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》．“对消”与“还原”是什么意思呢？
师生活动：视频展示数学史，了解数学史记载的内容，从而引出新课题． 此环节利用数学史激发学生的学习兴趣．
设计意图：让学生了解数学史，为引出课题以及后面合并同类项学习做好铺垫． 2．创设问题情境，探究新知
问题1 某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍．前年这个学校购买了多少台计算机？
师生活动：学生读题后，老师引导学生思考． 问题探究：（1）寻找题中的已知量和未知量；
（2）这个问题中存在怎样的等量关系．
师生活动：学生思考，讨论回答，然后完成以下问题：
已知量：①三年购买计算机的总量为140台；②去年购买数量是前年的2倍；③今年购买数量是去年的2倍．未知量：选合适的未知量设未知数：
题目中的相等关系：（前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台）用未知数分别表示出：前年购买量，去年购买量，今年购买量． 请根据以上的相等关系列出方程．
方法1：设前年购买计算机x台，根据题意，得x2x4x140． 引导学生思考其他解法，学生讨论解法，找学生口述： 方法2：若设去年购买计算机x台，根据题意，得方法3：若设今年购买计算机x台，根据题意，得
xx2x140． 2x4x2x140．
此环节教师应关注：（1）学生能否正确地找出相等关系，列出方程；（2）学生能否多角度地分析问题；（3）学生参与合作学习的程度．
设计意图：实际问题的引出，让学生感受方程解法的讨论源于实际问题的需要．学生经历寻找已知量、未知量、设未知数、寻找相等关系、列出方程的过程，对前面学习的列方程的方法起到巩固的作用．从三种不同的角度去设未知数，让学生体验数学多角度思考问题的灵活性．
3．合作探究，归纳方法
问题2 通过问题1列出了三个一元一次方程，如何求上述的第一个方程旳解？ 师生活动：学生观察，思考解方程的思路．
找学生回述，教师用框图的形式表示具体过程如下：
x2x4x140
思考系数化为1的依据是什么？（生答师强调）板书解方程步骤： 解：x+2x+4x=140，合并同类项，得7x=140，系数化为1，得x=20．
问题3 解方程时“合并同类项”起到什么作用？
师生活动：学生思考回答．合并同类项的目的就是化简方程，它是一种恒等变形，可以使方程变得简单，并利于求出方程的解．
此环节教师应关注：（1）教师应根据学生具体情况，适时复习回顾合并同类项的相关知识和内容；（2）学生能否主动积极地思考出方法，理解合并同类项的作用；（3）学生能否明确解方程的实质就是将方程化归为xa的形式．
设计意图：让学生思考解决问题，有助于学生形成思考问题的习惯，为后面学习其他方法提供思考的方向性．用框图表示解方程的过程，使学生清晰地了解解方程的步骤．对合并同类项作用的思考，有助于加深对解方程实质的理解．
4．例题示范，巩固新知 例1 解下列方程：（1）2x5x68； 2（2）7x2.5x3x1.5x15463．
师生活动：学生口述解题，教师板书规范思路、格式． 解：
（1）合并同类项，得
1x2.2系数化为1，得
x4．
（2）合并同类项，得
6x78.系数化为1，得
x13．
此环节教师应关注：（1）学生是否掌握解方程的方法；（2）表达步骤是否清晰准确． 设计意图：加深对合并同类项解方程的理解和掌握，规范解方程的步骤．
例2 有一列数，按一定规律排列成1，-3，9，-27，81，-243，„．其中某三个相邻数的和是-1 701，这三个数各是多少? 问题探究：
1．观察数列存在什么规律？ 2．如何设未知数表示这三个数？
师生活动:教师提出问题引导学生思考，知道三个数中的一个就能知道另外两个，根据学生回答设未知数解方程．
学生板演，老师巡视，发现问题及时纠正． 解：方法一：设所求的三个数分别是x，-3x，9x． 由三个数的和是-1701，得方程x3x9x1701． 合并同类项，得7x1701． 系数化为1，得x =-243． 所以-3x =729，9x2187．
方法二：设所求三个数中的第二个数是x，则第一个数和第三个数分别是由三个数的和是-1701，得方程合并同类项，得x3 和-3x．
xx(3x)1701． 373x1701．
系数化为1，得x = 729． 所以x243，3x2187． 3x9 和方法三：设所求三个数中的第三个数是x，则第一个数和第二个数分别是
x． 3由三个数的和是-1701，得方程
xxx1701． 93合并同类项，得79x1701．
系数化为1，得x2187．
所以xx243，729． 93设计意图：通过解决实际问题，体会方程的作用，并巩固合并同类项解方程的方法． 5．课堂练习
练习1：解下列方程：
（1）5x2x9；（2）
x3x7； 22（3）3x0.5x10；（4）7x4.5x2.535．
师生活动：找四名学生板演，教师巡查，关注学生的解题情况，发现错误，及时纠错．对黑板上的错误，找学生分析错误原因．
答案：
（1）5x2x9
3x9，x3．
（2）x3x7 222x7，x7． 2（3）3x0.5x10
2.5x10，x4．
（4）7x4.5x2.535
2.5x2.5，x1．
练习2：某所中学现有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校在校生将增加10%．问：这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数分别是多少？
参考答案：
解：设这所学校现在的初中在校生人数为x人，则现在的高中在校生为（4200-x）人，由题意可得8%·x+（4200-x）×11%=4200×10%，解得x=1400．
当x=1400时，4200-x=2800．
答：这所学校现在的初中在校生人数为1400人，现在的高中在校生人数为2800人． 师生活动：学生自主练习，教师巡视，关注学生的解题情况，发现错误，及时纠错． 此环节教师应关注：（1）学生是否比较顺利地完成解方程；（2）学生书写是否规范． 设计意图：进一步巩固合并同类项解方程的步骤． 6．归纳小结 学生回顾本课收获：
（1）合并同类项解一元一次方程的步骤：合并同类项，系数化为1；（2）能根据实际问题列一元一次方程，并进行求解．
虽然同学们都能够记住解题步骤,但是在解这类应用题时由于经验不足、抓不到关键词、概念混淆、思维定式等原因的存在,使学生们在解题过程中遇到困难,而不能得到正确的解.
一、解题中遇到的困难及常见错误
1. 生活经验的不足及问题信息量大是造成初中生解应用题难的两大屏障
例1地砖按每块5.5元出售,地砖每边长35厘米,用这种砖铺满长7.8米、宽5.7米的房间,需花费多少钱购买地砖?
评析要正确地解应用题,必须读懂题目中语言文字表达的问题条件和问题要求.本题中,学生必须清楚“地砖”、“出售”、“购买”、“铺”等词语的含义,否则不能读懂题意.“地砖问题”中的事实知识包括长方形、正方形的概念,以及米与厘米之间的进率换算.像这类与生活综合知识联系较紧的应用题还有很多,信息量大,经验不足导致学生读不懂题目,不知从何下手,是学生最伤脑筋的.总之,学生的生活经验、课外知识、社会知识的储备量,已成为度量学生解答应用题思维厚度的一把标尺.
2. 思维定式造成设未知数出错并带来列式困难
例2苏科版八年级下教科书20页练习第1题.
某班学生外出春游时合影留念,1张彩色底片的费用为1元,冲印1张彩照需0.6元.如果每人预定1张彩照,且每人所花费用不超过0.8元,那么参加合影的学生至少有多少人?
错解设参加合影的学生至少有x人,(错误原因:设未知数不确切,应改为设“参加合影的学生有x人”)
则1+0.6x≥0.8x,(错误原因:列式时不等号反向)
解这个不等式,得x≤5.
答:参加合影的学生有5人.(错误原因:认为此题结果是确定值,而此题结果是一个取值范围)
评析在列不等式解应用题中,学生设未知数时,往往受方程应用题的迁移,沿用求什么设什么的做法,常给列式带来困难,甚至出错.
3. 列不等式(组)时忽视关键词
例3 (2011山东枣庄)某中学为落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香校园”.计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.
(1)符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来;
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明(1)中哪种方案费用最低,最低费用是多少元?
解(1)设组建中型图书角x个,则组建小型图书角为(30-x)个.由题意,得
解这个不等式组,得18≤x≤20.
由于x只能取整数,∴x的取值是18,19,20.
当x=18时,30-x=12;当x=19时,30-x=11;当x=20时,30-x=10.
故有三种组建方案:方案一,中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,中型图书角19个,小型图书角11个;方案三,中型图书角20个,小型图书角10个.
(2)方案一的费用是:860×18+570×12=22320(元);
方案二的费用是:860×19+570×11=22610(元);
方案三的费用是:860×20+570×10=22900(元).
故方案一费用最低,最低费用是22320元.
评析解这类应用题的难点在于理清题意,寻找题目中的关键词语.例3中的两个关键词“不超过”、“不少于”是列不等式(组)的依据.另外还要注意所设未知数受实际情况的制约,此例中中型图书角的个数x应是正整数.
不等式应用题的取材广泛,又紧密结合实际生活,解这类题首先要理清题意,寻找关键词,比如“不少于”、“不大于”、“大于”、“小于”、“比……要节省”等,从而找到不等关系,列出不等式(组),通过解不等式确定不等式的解,最后要检验所求解是不是与实际问题相符合.
4. 移项或两边同乘(除)负值时不变号
根据题意正确地列出不等式(组)后,最重要的是解不等式(组).
例4解不等式:2x+4>x-1.
错解移项,得2x+x>-1+4.
即3x>3,则x>1.
例5解不等式:-3x+9<0.
.错解移项,得-3x<-9.
系数化为1,得x<3.
评析上面两例均犯了不变号的错误.例4、例5分别因“移项要变号”、“不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向应改变”这类知识点不能及时回应所致.因而求解时应在掌握知识点的基础上再加细心.例4的正确结果应为x>-5,例5的正确结果应为x>3.
5. 概念或意义不明确
例6求不等式2x-4<0的非负整数解.
错解因为2x-4<0的解为x<2,所以它的非负整数解为1.
例7解不等式:|x|<3.
错解x<3.
评析例6和例7错误的原因主要是对某些概念不明确或混淆,如“非负整数解”、“绝对值”等.非负整数应包括0和一切正整数,故例6正确解为:0和1.绝对值的意义是指在数轴上某个数到原点的距离,故例7的正确解为:-3
6. 去括号时不遵守运算法则
例8解不等式:3x-2(1-2x)≥5.
错解去括号,得3x-2-2x≥5,
故x≥7.
评析本题有括号,根据解不等式的步骤,要先去括号.括号前的数要与括号里的各项相乘.去括号时,除应遵循乘法的分配律不能漏乘外,还应遵循去括号法则:去括号时,括号前面为“-”,去括号要将括号里的各项都变号.本题产生错解的原因有两点:括号外的数只与第一项相乘,括号前面是负号只对第一项变号.因此本题的正确解应为x≥1.
7. 去分母时,漏乘不含分母的项
例9解不等式:
错解去分母,得x-1+2≥-4x.
移项、合并同类项,得5x≥-1,即x≥-
评析本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质,去分母时,不等式的两边同乘各分母的最小公倍数,漏乘不含分母的项,漏乘了常数项,这是解一元一次不等式(组)时常出的错误之一,应引起高度重视.因此本题的正确解应为x≥.
8. 分子是多项式,去分母时忽视了分数线的括号作用
例10解不等式:
错解去分母,得4x-1-3x-1>0,
移项、合并同类项,得x>2.
评析去分母时,当分子是多项式时,各分式的分子必须看成一个整体.忽视分数线的括号作用也是解一元一次不等式时常出的错误之一.为避免出这类错,应分别对分子添加括号,再运用去括号法则.例10中没有添加括号导致了错误.
正确去分母,得2(2x-1)-3(x-2)>0.
去括号,得4x-2-3x+6>0,
移项、合并同类项,得x>-4.
二、学好解一元一次不等式(组)及应用题的策略
1. 理解有关的概念
①不等式:用“<”或“>”号表示大小关系的式子,叫做不等式.
②一元一次不等式:含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式.分母中不能含有未知数.
③不等式的解:在含有未知数的不等式中,把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.不等式若有解,一般它的解有无数个.
④不等式的解集:如果一个不等式有解,能使不等式成立的未知数的取值范围,叫做不等式的解的集合,简称解集.不等式的解集包括所有能使不等式成立的未知数的值.
2. 领悟不等式的三个基本性质
①不等式的两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
②不等式两边同乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
③不等式的两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
不等式的三个基本性质是进行不等式变形的根本依据,其中前两个性质类似于等式的性质,而在运用性质③时,要注意必须改变不等号的方向,这是不等式特有的性质.
3. 牢固掌握不等式(组)的解法
解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程相同:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化成1.
各步需注意事项:①去分母:不要漏乘不含分母的项,是否改变不等号的方向;②去括号:括号前是负号时,括号内各项均要变号;③移项:移项要变号;④合并同类项:系数相加,字母及字母指数不变;⑤系数化成1:是否改变不等号的方向.
4. 牢固掌握列不等式(组)解应用题的步骤,抓住不等关系关键词,挖掘隐含的不等关系
在能构建不等式的题目中往往有表示不等关系的词语,如“大于、小于、不大于、不小于、超过、不超过”等.我们一定要利用好这些关键信息,列出不等式(组)以解决实际问题.
有些题目中无明显表示不等关系的关键词,而是深藏于题意中,这就要求老师引导学生根据问题的实际意义,深入挖掘蕴含其中的不等关系.
5. 重视不等式(组)应用题的教学
在平时的教学过程中,教师既要注重知识的传授和题目的解答,也要重视学生的实践性活动的开展和教学,这样才会避免数学和实际生活脱节,同时教学中要不断地增加新的背景和内容,跟上时代,弥补生活经验的不足,激发学生学习的热情.对于不等式(组)应用题文字较多学生获得信息困难的问题,教师平常在教学中在应用题上要多停留,有耐心.
在实际问题中,有许多用方程很难解决的问题,而用不等式去处理则可轻易解决.应用题是初中数学的重点,列不等式解应用题是初中数学的难点,根据题意正确地列出不等式(组),解应用题就成功了一半.一元一次不等式(组)的解法十分重要,它与一元一次方程的解法有许多相似之处,但又有其自身特点,同学们要认清两者解法的联系与区别.正确应对学生在解题过程中遇到的困难,提高学习的积极性,增加学习数学的兴趣,才有可能应用一元一次不等式(组)去解决生活中的实际问题.
摘要：现实世界既包含大量的相等关系,又存在许多不等关系.解决实际问题的过程中,有时不能确定或无需确定某个量的具体取值,但可以求出或确定这个量的变化范围,不等式(组)就是探求不等关系的基本工具.列不等式(组)解决实际问题是初中数学中的难点,同时也是中考的热点.解这类题的关键是在实际问题中找出相等关系和不等关系,列出方程和不等式.但在解不等式(组)时有的同学常因基础不扎实、概念不清、粗心大意,而在解题过程中遇到各种困难.
关键词：初中生,一元一次不等式(组)应用题,应对策略
参考文献
[1]钟山.不再让学生的困惑成为课堂教学的遗憾——《一元一次不等式组》教学片段所感[J].学生之友(初中版)(下), 2010(11).
[2]赵春祥.列一元一次不等式解应用题[J].初中生, 2009(6).
[3]石卫东.解一元一次不等式的常见错误分析[J].中学生数学,2003(10).
[4]任保平.解一元一次不等式常见错误剖析[J].数理化学习(初中版),2003(3).
【3.3解一元一次方程】推荐阅读：
解一元一次方程--移项教学设计专题07-05
解一元一次不等式习题11-14
初中一元一次方程教案06-02
初一数学一元一次方程09-17
一元一次方程定义教案10-04
一元一次方程去括号-教案09-13
一元一次方程《去括号》的教学反思06-24
4.4一元一次方程的应用例07-21
一元一次方程的认识和解法教案10-20
一元二次方程教学设计06-27
