二元一次方程组的应用

一、情境导入

1、列方程组解决问题的一般步骤是什么？

2、与销售问题有关的等量关系：

利润＝售价－成本（进价）；

现售价=原售价x打折数

利润率＝100%；

利润= x

售价=成本（1+利润率）

二、导学

填空：

2、一只钢笔原价40元，现打8折出售，现售价是 元.；若原价为元，现打7折出售，现售价是 元.；

3、某件商品进价100元，售价150元，则其利润是 元，利润率是 .

4、A服装进价为100元，现将A服装按40%的利润定价，则定价为元，再打8折销售，A服装的销售价为

5、一件服装进价200元，按标价的8折销售，仍可获利20%，设服装的标价为x元，则实际售价为 元，利润可表示为 （用含x的代数式表示）

根据题意列出方程为：

三、精讲点拔

例1、A、B两码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，求这艘轮船在静水中的速度和水流速。

自学指导：

1、题中的已知量有__________，未知量有___________。

2、顺流船的航速等于______________________________, 逆流船的航速等于_____________________________。

3、本题中的等量关系有哪些？

四、学习小结

1、在用二元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设定未知数，可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系？

2、小组讨论，你接触过的行程问题有哪些种？能说上来吗？

只需要列出方程组即可

1、A市至B市的航线长1200千米，一架飞机从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分，求飞机的速度与风速。

2、一船顺水航行45千米需3小时，逆水航行65千米需要5小时，求船在静水中的速度与水流速。

3.甲、乙两车从相距60KM的A、B两地同时出发，相向而行，1小时相遇；同向而行，甲在后，乙在前，3小时后甲可追上乙，求甲、乙两车的速度分别是多少？

4.甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行。如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？

5.某站有甲、乙两辆汽车，若甲车先出发1ｈ后乙车出发，则乙车出发后5ｈ追上甲车；若甲车先开出20ｋｍ后乙车出发，则乙车出发4ｈ后追上甲车．求两车速度．

1.A、B两地相距20千米，甲从A地向B地前进，同时乙从B地向A地前进，2小时后二人在途中相遇，甲返回A地，乙仍向A地前进，甲回到A地时，乙离A地还有2千米，分别求甲、乙两人的平均速度。若设甲、乙的平均速度分别为每小时x、y千米，可列方程组 。

2.小颖家离学校1200米,其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.她去学校共用了16分钟.假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时.若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（ ）

3.甲、乙两人在周长为400ｍ的环形跑道上练跑，如果同时、同地①相向②同向出发，经过80秒相遇；已知乙的速度是甲速度的2/3，求甲、乙两人的速度.

二元一次方程组的应用 篇2

一、整体代入(加减)消元法

例1解方程组

【解析】通过观察可发现上下两个方程都含有（x-1）/3与（y+2)/4这两个代数式,通常当成一个整体来解方程组.

解:由1+2,得

解得,x=16.

由2-1,得

解得,y=-10.

所以,方程组的解为

例2解方程组

解析 (x-y)与(x+y)这两个代数式以整体的形式出现在方程组中,所以可以运用整体思想解题.

解:由1-3×2,得:8(x+y)=24.

即x+y=3. 3

把3代入1,得

x-y=7. 4

由34联立,得

,解得.

二、巧用换元法

例3解方程

解析 本题可以用常规的代入消元法解题,若使用换元法会更方便.

解:设x/2=y/3=t,则x=2t,y=3t,

代入2,得19t=19,t=1.

所以

点评 本题系数为分数,若采用代入消元法,容易算错,而设整体为新的未知数t,避免了分数的计算,降低了计算错误的风险.

三、系数轮换方程的解法

例4解方程组

解析 本题x、y的系数较大,运用代入(加减)消元法不合适,观察易见两个未知数的系数出现轮换现象,我们一般称这种方程为系数轮换方程,抓住这个特征,将两个方程整体相加、整体相减,就会出现系数相同的情况,从而轻松解题.

解:由1+2,并化简,得x+y=1, 3

由2-1,并化简,得x-y=-11. 4

由34联立,得

,解得

点评 轮换方程组是一类重要的方程组,常见于各种数学竞赛,由于系数具有特殊的结构,用常规方法不易解决.

例5如果a、b、c均为正数,且

,求abc的值.

解析 本题很难直接求解,观察方程结构特征,a、b、c三个未知数具有轮换的特征,可以考虑三式整体相加,可求出ab+bc+ca的值,继而求出ab、bc、ca的值,将它们相乘即可求出abc的值.

解

由1+2+3,得ab+ac+bc=242, 4

将4-1,得bc=90,

将bc=90代入23,得ab=72,ac=80,

所以ab·bc·ac=72×90×80,

即(abc)2=(720)2,

因为a、b、c均为正数,所以abc=720.

浅析二元一次方程组的解法 篇3

一、基本解法

1.代入法

（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解.

（2）主要步骤：我将代入法主要步骤概括为四个字：变、代、求、写.

变：即变形，通常选择系数较小的方程变形，将方程中系数最小（系数为1的最好）的未知数用含有一个未知数的代数式表示；

代：将变形后的方程代入另一个方程，实现消元转化；

求：求出两个未知数的值；

写：写出二元一次方程组的解.

例1.解方程组2x+y=2 ①3x-2y=10 ②

分析：①中x与y的系数都较小，故选用①变形，而y系数为1，所以用x表示y.

解：由①得y=2-2x ③

将③代入②，得3x-2（2-2x）=10

解之，得x=2.

把x=2代入③，得y=-2.

所以这个方程组的解是x=2 y=-2

2.加减法

运用加减法解二元一次方程组时，一般先将二元一次方程组化为标准形式a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2再观察能否直接使用加减法解方程组.

主要步骤：（1）加减：观察某一未知数的两系数是否存在相等或互为相反数的特点；若相等则方程两边对应相减，若互为相反数则相加，从而消去这一未知数.（2）求：求两未知数的值.（3）写：最后写出原方程组的解.

例2.解方程组3m+2n=16 ①3m-n=1 ②

分析：方程组中m的系数相同，故两式相减消去m.

解：①-②，得3n=15，解得n=5.

将n=5代入②，得3m-5=1，

解得m=2.

所以方程组的解为m=2 n=5

说明：为减少运算量，求出一个未知数的值后，在求另一未知数的值时，通常选择相对简单的方程代入求值.

例3.解方程组2x+3y=12 ①3x+4y=17 ②

分析：当方程组中不存在某一未知数的系数相等或互为相反数的特点时，必须用等式性质来改变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值相等的新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件.

解：①×3得：6x+9y=36 ③

②×2得：6x+8y=34 ④

③-④得：y=2，

把y=2代入①，解得x=3，

所以原方程组的解是x=3 y=2

总之，解二元一次方程组时，多观察、多思考，根据方程组的特征，灵活运用一些技巧便可取得事半功倍之效。

解二元一次方程组的评课稿 篇4

一、说教材分析

1、教材的地位和作用

二元一次方程组安排在学生已经学过代数式和一元一次方程的知识之后，它是学习三元一次方程组的重要基础，同时也是以后学习函数、平面解析几何等知识以及物理、化学中的运算等不可缺少的工具。对于学生理解并掌握方程思想、转化思想、消元法等重要的数学思想方法有着重要的意义。本节课是在学生学习了代入法解二元一次方程组的基础上，继续学习另一种消元的方法---加减消元，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。教材的编写目的是通过加减来达到消元的目的，让学生从中充分体会化未知为已知的转化过程，体会代数的一些特点和优越性；理解并掌握解二元一次方程组的最常用的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础.2、教学目标

通过对新课程标准的的学习，结合我班学生的实际情况，我把本节课的三维教学目标确定如下：

（一）知识与技能目标：

1、会用加减消元法解简单的二元一次方程组。

2、理解加减消元法的基本思想，体会化未知为已知的化归思想方法。

（二）过程与方法目标：

通过经历加减消元法解方程组，让学生体会消元思想的应用，经过引导、和交流让学生理解根据加减消元法解二元一次方程组的一般步骤。

（三）情感态度及价值观：

通过交流学习获取成功体验，感受加减消元法的应用价值，激发学生的学习兴趣，培养学生养成认真倾听他人发言的习惯和勇于克服困难的意志。

3、教学重点、难点：

由于七年级的学生年龄较小，在学习解二元一次方程组的过程中容易进行简单的模仿，往往不注意方程组解法的形成过程更无法真正理解消元的思想方法。而大家都知道，数学的思想与方法才是数学的精髓，是联系各类数学知识的纽带，所以我将本节课的重点和难点确定如下

重点：用加减法解二元一次方程组。

难点: 灵活运用加减消元法的技巧，把“二元”转化为“一元”

二、说教法与说学法

结合七年级学生的年龄特征和认知特点，在教学中我主要采用讲解加上诱导.英国教育学家斯宾塞说过：“教课应该从具体开始，而以抽象结束。”因此，在教学中，为了让学生在自学阅读课本前，我先让学生做好预习，以便学生在自学时有明确自学探索方向，知道要解决什么问题，然后我明确地告诉学生这节课需要达到的目的。

三、教学方法及手段

在教学中，采用“先学后教，当堂训练”法，使学生在课堂学习中动静分明，养成良好的学习习惯。

四、说教学过程

1、复习

用代入法解方程的关键是什么？

二元通过消元转化为一元

2、解二元一次方程组的基本思路是什么？ 消元:二元转化为一元

3、用代入法解方程的步骤是什么？

主要步骤：

a、变形：用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数,写成y=ax+b或x=ay+b b、代入：把变形后的方程代入到另一个方程中，消去一个元 c、求解：分别求出两个未知数的值 d、写解：写出方程组的解

（通过这几个问题既复习前面所学的内容，增加学生的学习兴趣，又为接下来的学习做铺垫。）

五、新课探究

（进一步探讨例题，更加深刻理解加减消元解二元一次方程。）

六、总结

当两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。可用四个字总结：同减异加。

七、练习

用加减法解二元一次方程组。

八、小结

加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：变；加减；求解；写解。

二元一次方程组的应用 篇5

学习目标：

1．通过探索，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，化二元—次方程组为一元一次方程。2．了解“代人消元法”，并掌握直接代入消元法。

3．通过代入消元，初步理解把“未知”转化为“已知”，和复杂问题转化为简单问题的思想方法。

重点：代入法解二元一次方程组。

难点：用含一个未知数的代数式表示另一个方程。

一、【温故知新】

1.什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程组？什么叫二元一次方程组的解？ 2.把下列方程写成用含y的式子表示x的形式：如，x+y=2，则x=2-y（1）2x－5y＝3（2）3x＋8y－1＝0(3)3y-2x =-1

二、【创设情境】

诸城市将举行篮球联赛，比赛规则：每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，我校为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得40分，请计算一下我校的胜负场数各是多少。1）如果设一个未知数：胜x场，可得一元一次方程． 2）如果设两个未知数：胜x场，负y场，可得方程组

3）请以小组为单位思考：得出的一元一次方程与二元一次方程组有什么关系？

三、【探索新知】

（一）情境分析：

用一个未知数表示另一个未知数 ⑴x+2y=4，所以x=________；⑵3x+4y=5，所以x=________，y=________．

（二）合作探究:

探究一：

1、在方程组①中，方程②说明y和4x是相等的，因此方程①中的y可以用————代替，从而方程①y=4x②

可变成一元一次方程，解这个一元一次方程可得x=，再把x的值代入①或②，可得到y=x=解：把代入得（②说明y和4x相等）

（①中消去y，只剩x，从而变为一元一次方程）

解得：x=（解出x的值）

把x=代入②得（可以代入①求y吗？）y=(求出y的值)

所以（写出方程组的解）

y=

2、二元一次方程组中有个未知数，消去其中的一个未知数，就把二元一次方程组转化成了我们熟悉的，我们可以先求出，然后再求出，这种将未知数由化，逐一解决的思想叫做消元思想。

3、把二元一次方程组中一个方程的一个未知数，用含另一个未知数的表示出来，再代入，从而转化为，进而求得这个二元一次方程组的解，这种消元方法叫代入消元法，简称代入法。探究二： 写出解二元一次方程组

xy22　①2xy40　②的过程

结论：用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：

(1)将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含另一个未知数的代数式表示；

(2)用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；

(3)把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值；(4)写出方程组的解。

四、【巩固提升】

1、把方程2x＝3y+7变形，用含y的代数式表示x，x＝；用含x的代数式表示y，则y＝。2.⑷

8x3y20

4x5y80



五、【课堂小结】

通过本节课的学习,谈谈你的收获和疑问。

六、【达标检测】

1、若

3x5a2b1y2

与5x6y3a2b14

是同类项，则，2、二元一次方程组xy1





kx2y5的解是方程x－y=1的解，则k=。

3、如果（5a-7b+3）2

+3ab5=0，求a与b的值。

4、若方程组

4xy5axby1与3xy9

二元一次方程组的应用 篇6

我校青年教师汇报课活动开始了，5月18日我讲解了《表格信息题与二元一次方程组》一课，表格信息题是近几年中考中的热门话题，出题率较高，这种题型以实际生活为背景，以表格为呈现方式，通过表格获取有价值的信息，结合题意运用数学知识加以解决。以下是我讲完课的反思：

1、设计主线鲜明，贴学生实际生活。

本节课以“春游”活动为主线，租客车、逛公园买门票、住旅店三个问题组成本节课内容，学生对春游活动兴趣高涨，非常向往，三个问题自然地过渡，互相联系。这些问题就存在学生身边，学生也有生活经验和亲身感受，让学生理解体会数学的价值与作用，充分体现了数学源于生活，又服务于生活课标理念。

2、问题设计由易到难，阶梯上升。

活动一租车问题较简单，放在第一题。学生分析题意后，用二元一次方程组和一元一次方程都能解决，学生大多数用二元一次方程组，做题的准确性较高，自信心也较高。活动二逛公园买门票，难度适中，学生读完表格后，师提问几个简单问题，检验学生是否理解、读懂表格。此题运用二元一次方程组最合适，列方程组时要注意人数的范围与所花钱相对应，解题也有技巧。活动三住旅店问题，难度加强，对学生有一些挑战，列方程组时，要注意审题，题中有打五折要求，如果学生不认真审题很容易列错，解题也有一定难度。安排的.三个问题难易适中，可以满足不同学生的需求。

3、注重基础知识、发展基本技能，培养学生的数学思维。

三个问题都围绕二元一次方程展开的，解二元一次方程组和运用二元一次方程组解决实际问题是考试的基本要求，通过本节课的学习巩固学生的基础知识，培养学生运用数学知识解决实际问题的技能，经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型。每个问题都可以用二元一次方程组和一元一次方程解决，从中对比得出二元一次方程组的优越性，活动三用了两种方法解，体现一题多解，引导学生从不同角度分析问题、解决问题，拓宽了学生的解题思路。

通过本节课的讲解，我也感到存在一些不足，时间把握方面，探讨完三个问题后，没有时间进行当堂检测，还有应加强对学，活动二和活动三在独学的基础上开展对学，老师对对学要求不到位，没有及时加分和扣分。

二元一次方程组的应用 篇7

例1 已知（y+z）/x=（z+x）/y=（x+y）/z=k,那么k等于（）。

A. 2.B.-1C. 2或-1D.无法确定

分析 本题未知数较多，难以求出每个未知数的值，如果能运用整体思想，求k值还是比较方便的。

解 由已知得y+z=kx①z+x=ky②x+y=kz③

①+②+③得2（x+y+z）=k(x+y+z)。

若x+y+z不等于0，则两边同时除以(x+y+z),得k=2。

若x+y+z=0，则y+z=-x,（y+z）/x=-1,即k= -1。

故选C。

点评 通过整体代换，避免了不必要的运算，简化了解题过程。本题还要考虑两种情况，不能遗漏。

例2 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？

分析 要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，要把甲、乙、丙各1件的钱一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可解决。

解 设购甲、乙、丙各1件分别需x元、y元、z元。

依题意，得3x+7y+z=3.154x+10y+z=4.20，即2(x+3y)+(x+y+z)=3.153(x+3y)+(x+y+z)=4.20。

解关于x+3y，x+y+z的二元一次方程组，可得x+y+z=1.05（元）。

答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元。

点评 由于我们所感兴趣的不是x、y、z的值，而是x+y+z这个整体的值，所以目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果。

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