众所周知, 计算杆件在外力作用下的应力和变形时, 截面的几何性质——惯性积和惯性积、主惯性轴和主惯性矩的确定占有非常重要的地位。对于初学者来说, 利用解析法确定截面的主惯性轴和主惯性矩的数值难以理解和记忆。在应力和应变分析中, 常用图解法——应力圆和应变圆确定斜截面上的应力和应变、主应力、主应变的数值及其方向。与应力圆和应变圆类似, 本文提出了惯性矩圆的概念, 利用惯性矩圆可以非常直观地确定截面的惯性矩和惯性矩的转轴公式、主惯性轴的位置及主惯性矩的数值。该法相对于解析解来说, 便于理解、记忆和掌握。
设一面积为A的任意形状截面。截面对于通过其上任意一点O的两个相互垂直的坐标轴x和y的惯性矩和惯性矩分别为Ix、Iy和Ixy, 根据定义有:
若A坐标轴x、Ay绕O点旋转Aα角 (α以逆时针向旋转为正) 至xα、yα位置, 则截面上任一面积元素dA在新、老坐标系内的坐标 (xα、yα) 和 (x、y) 间的关系为:
将式 (2) 代入式 (1) 就得到截面对于新坐标轴ααyx、的惯性矩 (yxααII, ) 和惯性积 (xyαI) :
式 (3) ～ (5) 即为惯性矩和惯性矩的转轴公式。
由式 (3) 和式 (5) 得:
如果用σα代替Ixα, τα代替Ixyα, σx代替Ix, σy代替Iy, τxy代替Ixy, 就可以获得人们所熟悉的应力圆。
根据惯性轴的定义, 存在一对坐标轴xα0、yα0使得Ixyα0=0, 此时这对坐标轴xα0、yα0称为主惯性轴。而截面对于主惯性轴的惯性矩Ixα0、Iyα0称为主惯性矩。
主惯性矩的确定:由图2可以看出, 惯性矩圆与Ixα轴的交点A1 (Ixα00, ) 和A2 (Iyα0, 0) , 两交点上惯性积Ixyα0=0, 所以1A和A2两点分别对于两个惯性主轴xα0和yα0, 两点的横坐标分别为相应的两个主惯性矩Ixα0和Iyα0, 它们就是通过该点的所有轴的惯性矩中的最大值和最小值。即:
图2中B1 (Ix, Ixy) 和B2 (Iy, -Ixy) 点的横坐标分别截面对x轴和y轴的惯性矩, 纵坐标Ixy为对x轴和y轴的惯性积, -Ixy为x轴和y轴逆时针转π/2后的惯性积。
主惯性轴位置的确定:由图2可以看出1B旋转到1A位顺时针转向, 其圆心角为:
惯性矩和惯性积的转轴公式的确定:当坐标轴x轴逆时针旋转α角到αx位置对于惯性矩圆上1D点, 1B点与坐标轴相同转向旋转2α圆心角到1D点。1D的横坐标为关于αx轴的惯性矩, 1D的纵坐标为关于αx和αy轴的惯性积。
将式 (8) ～ (10) 中的三角函数展开, 并利用图2中的关系, 整理后即可得到式 (3) ～式 (5) 转轴公式。
解: (1) 先计算截面形心位置, 及过形心C的坐标轴Cx和Cy的惯性矩和惯性积。
(2) 作惯性矩圆如图4所示。
惯性矩圆的圆心 (189.4×104mm4, 0)
惯性矩圆半径:
(3) 计算主惯性轴和主惯性矩。
主惯性轴Cαx 0与Cx轴夹角:
α0=-132.4ο/2=-66.2ο, 顺时针转向。
过形心的主惯性矩为:
(4) 计算当坐标轴x、y逆时针转30°时的惯性矩和惯性积。
本文给出了利用图解法——惯性矩圆计算一对坐标轴绕其原点转动时, 截面对于转动前、后的两对坐标轴的惯性矩。惯性积之间的关系转轴公式。利用惯性矩圆可以方便、直观地确定截面的主惯性轴的位置, 截面的主惯性矩。
惯性矩圆上任一点的横、纵坐标分别对于着截面对某一轴的惯性矩和惯性积, 该轴和与该轴垂直的两个坐标轴的惯性积。坐标轴绕某点转过α角, 在惯性矩圆上按相同转向转过2α角。惯性矩圆上任一直径两端点坐标, 分别对应着截面对相互垂直的两个坐标轴的惯性矩和惯性积。
摘要：本文提出了利用图解法——惯性矩圆, 计算一对坐标轴绕其原点转动时, 截面对于转动前、后的两坐标轴的惯性矩、惯性积之间的转轴公式, 并给出了利用惯性矩圆确定截面主惯性轴及主惯性矩的方法。该方法相对于解析解来说, 便于理解和掌握。
关键词：惯性矩圆,图解法,惯性矩,惯性积,主惯性矩
[1] 孙训方, 等.材料力学 (第4版) [M].高等教育出版社, 2002, 8.
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