代数是研究数、数量、关系与结构的数学分支, 其研究对象不仅是数字, 而是各种抽象化的结构。按照研究对象不同, 代数可以分为初等代数, 线性代数, 抽象代数, 泛代数以及计算代数等几类。近世代数 (或叫抽象代数) 课程是高校开设的代数课程之一。
近世代数是研究各种代数结构的性质与分类的一门学科, 是现代数学的基础。该课程具有形式化推理多、应用范围广、抽象程度高、逻辑性强等特点。近年来, 近世代数的基本思想、基本理论与方法已经渗透到科学领域的很多方面, 实际应用也日趋广泛。同时近世代数课程具有高度的抽象性, 它的内容很难与现实生活中的实际形体相联系, 理论上具有很强的逻辑性, 并且近世代数的习题比较难, 再加上学时有限, 要想让学生在这有限的学时内较好的掌握近世代数的内容要领, 在讲课方法上必须仔细揣摩。传统的近世代数课程教学是单纯地追求概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性和体系的完整性, 这样势必会使近世代数课程的知识与现实脱节, 导致一些学生感到近世代数枯燥乏味、无用, 从而直接影响了学生对近世代数课程和后继课程的学习热情。所以, 近世代数课程的教学改革势在必行, 在教学内容、教学方法、教学手段上都必须进行改革。
近世代数研究各种代数结构的性质和分类, 形式化推理多, 习题比较难。数学的抽象是各种具体对象中提炼出共性, 从而使应用更加广泛。而学生通常就会问:为什么要学近世代数?以及近世代数是如何演化而来的?历史上, 伽罗华研究高次代数方程根式可解性提出群的思想, 高斯研究二次型整数解讨论高斯整数环的惟一因子分解, 库默尔研究费马猜想导致环中的理想概念, 但是这些内容 (以及用域的扩张解决三等分角和正多边形尺规作图等等) 大都要到课程的最后才讲到, 甚至由于学时太少不能讲 (详见参看文献[6]) 。学生只能盲目的为了学习而学。因此, 在近世代数第一堂课上, 首先介绍近世代数课程相关的背景知识是非常有必要的。
要讲好近世代数这门课程, 我们就必须重视由具体到抽象原则的讲课方法。所谓由具体到抽象的原则是指先举出具体实例, 由具体实例得出性质、结论, 进而猜想抽象到一般情况是否成立, 再利用逻辑推演证明其正确性, 若能按照这样的思路来处理每一个问题, 势必会使学生感觉到近世代数也不是那么难, 也是有例可寻的。比如, 在学习群的概念时, 可以依次地列举下面例子:以学生在中学里学过的有理数为例列举非零有理数乘群和正有理数乘群, 使学生容易接受;接着再从前修课程高等代数的特殊矩阵集合中引出一般线性群和特殊线性群, 使学生感到亲切熟悉。以后再介绍n次单位根群和四元数群这些比较抽象的例子时, 学生就不会感到这个概念难懂了。
《近世代数》课程属于代数范畴, 粗略地说, 代数分成初等代数、高等代数和抽象代数三大部分, 在进入大学之前我们学习的内容就是初等代数, 初等代数以方程理论为核心内容, 侧重计算和分析能力的培养。初等代数和高等代数都是抽象代数的前期铺垫, 近世代数是初等代数和高等代数的后继与提高。但是, 大部分的学生都没有意识这一点, 在他们的印象中, 他们大学里学的每门课程都是互相独立的, 彼此之间似乎没有什么联系, 我们可以通过把近世代数的部分知识与高等代数等基础课程联系起来, 加深对这部分知识点的理解。
近世代数中很多定义或定理可以看作是高等代数中相关定义或定理的推广。所以在给出这些定义或定理的时候, 可以让学生用联系的观点, 先回忆一下以前在高等代数中学过的类似的结论, 这样学生对这些概念或定理既易于接受, 印象也会非常深刻。比如:在环里, 1-ɑb有逆元, 则1-bɑ也有逆元。我们的问题首先是这只是个证明, 如果你要导出逆元的关系, 恐怕就更难了, 相当于我们要完成数学归纳法的结果探索过程。其次这个结论类似的我们在矩阵中见过, 那就是E-AB和E-BA的关系。同学们马上反映出了矩阵环其实就是不可换环的典型例子。再次就是无论是矩阵也好, 一般环的元素也好, 有逆元就能看作数有倒数一样, 原来1/1-ɑb还可以用级数的方法展开!最后我们的同学超乎想象, 根本就导出了两个逆元之间的关系。
初等数论是进一步学习近世代数的必要课程, 由于教学时数的限制, 很多学校不再开设。我校也是, 在学习代数系列课程时有必要介绍初等数论整数的整除理论、同余理论等内容, 这个课对新生有亲近感, 是联系中学和大学数学的一个纽带, 保持他们对抽象数学的兴趣。初等数论中的同余类环是有限交换群和交换环的最基本例子, 数论中的原根与指数就是循环群的生成元和群中元素的阶, 同余类本身可引伸出群对子群的陪集分解, 以及商群和商环的思想等等。通过简要介绍初等数论的知识让学生心中有足够多的例子, 通过这些例子直观地体会抽象概念和定理的意义, 然后把握和应用它, 使得学生在接触新的概念时不至于太生疏和突然, 我们可以用两到三个学时向学生介绍了初等数论的主要内容, 学生能听懂、喜欢听, 后来的教学中也说明加入初等数论内容对代数课程的学习是非常必要性的。
引导学生进行课前预习, 课后复习以及归纳总结, 锻炼学生自主学习的能力。通过预习对新课有个整体的了解, 对新课要讲什么, 重点和难点是什么, 做到心中有数, 给接着要上的新课打好基础, 提高听课效率。课后习题是为巩固学习效果而安排的作业, 既可以作为学生理解知识的基本训练, 又能作为深化知识认识的增长点, 是学习过程中不可跳跃的一环, 要求学生给予高度重视。近世代数的每一章都有很多概念定理等新的知识点, 易出现几种概念混淆、定理之间的联系不十分清楚的现象, 因此, 在学习过程中有必要及时地归纳总结, 做到对所学知识的透彻掌握。比如群和环是我们接触到的最基本的两个代数系统, 在讲授环的理论时, 引导学生对它们的定义和性质进行比较, 达到温故而知新、系统掌握这两种代数系统的目的
另外, 我们要培养学生发现问题以及解决问题的能力。我们的学生在大学之前, 都是被动的接受知识, 都是为了学习知识而学习。显然, 这种被动接受知识的思想, 在如今严峻的就业形势下, 已经完全的被淘汰。所以进入大学我们应该着重培养学生自主学习的能力, 并且培养学生发现问题, 进而思考如何解决问题的能力。这样我们的学生在以后的生活工作中更好地把握机遇。
近世代数课程理论性强、内容抽象, 学生学习有一定困难, 特别是对一些概念的理解、性质的运用容易出现偏差。而学生最大的问题是心中没有多少例子, 不知道形式化推理在干什么, 不了解为什么要研究群、环、域这些代数结构。而通过正反举例帮助学生理解概念、掌握性质有着重要的作用。例如, 正规子群概念:设N是群的一个子群, 若对每个ɑ∈G, 都有ɑN=Nɑ, 则称N是群G的一个正规子群。教授此概念时, 举一些正反方面的例子, 使学生容易理解正规子群是集合的相等, 而不是对应元素的相等。正例:N={ (1) , (123) , (132) }是三次对称群S3的正规子群。反例:子群H={ (1) , (12) }不是S3的正规子群, 因为 (13) H≠H (13) 。
又设 (G, ·) 为半群。问题:何时 (G, ·) 为群?可以证明如果半群G有左 (右) 单位元, 并且每个元素都有左 (右) 逆元, 则G为群。那么如果半群G有左 (右) 单位元, 并且每个元素都有右 (左) 逆元, 则G是群吗?回答是否定的。既然不一定是群, 那么能否给出反例呢?反例:设G1为群, I为非空集合。令X=G1×I={ (g, t) |g∈G1, i∈I}, 并在X上定义运算: (g, i) · (h, j) = (gh, j) , g, h∈G1, i, j∈I。可以验证 (X, ·) 为半群。设e=G1为G1的单位元。则对任意i0∈I, (e, i0) · (g, i0) = (g, i0) , 坌g∈G1, 表明 (e, i0) 为X中一个左单位元。又当|I|>1时, X中左单位元不唯一。即半群X的左单位元不唯一。又对任意的 (g, i) ∈X, 就有 (g, i) · (g-1, i0) = (e, i0) , 表明半群X的每个元素都有右逆元。但显然X不是群, 因为X中没有单位元。
近世代数的生命力在于其深刻的理论和广泛的应用, 其实, 一般来说, 深刻的理论和广泛的应用是相辅相成的。但是教材中不讲应用。经常会有学生问:学近世代数有什么用?有时候教师也回答不清, 不免使学生感到失望, 大大打击了学生的学习兴趣。事实上, 近世代数有广泛的应用, 如晶体的对称性、三大几何作图难题、同余方程组、一些组合计算问题等。2O世纪初群论已经应用于理论物理和分子化学, 而到2O世纪中叶, 理想理论和域论在计算理论、编码、信息安全等领域更是大显身手。因此, 教师讲授时适当地介绍近世代数的应用, 一方面可让学生看到该理论的巨大应用价值, 另一方面, 也可大大调动学生的学习兴趣。
对于近世代数教学教法的改革必须贯彻以学生为主, 通过各种教学手段和教学方法的改进来提高学生对该课程的学习兴趣, 培养学生的逻辑思维、抽象思维能力, 使学生掌握基本的代数方法, 掌握具体与抽象、一般与特殊的辩证关系, 培养学生自主学习的能力以及发现问题的能力, 为以后的学习工作打下牢固的基础。
摘要：《近世代数》是我校数学与应用数学专业开设的一门内容高度概括、抽象、逻辑推理严谨、系统的课程。随着科学技术的发展, 近世代数的基本思想、理论与方法已经渗透到科学领域的各个方面。本文从分析近世代数课程特点和当前教学面临的现状出发, 结合对近世代数课程的教学实践和经验, 提出了在近世代数教学中提高教学质量的一些建议。
关键词：近世代数,课程改革,教学实践
[1] 张禾瑞.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社, 1978.
[2] 杨子胥.近世代数 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2003.
[3] 石生明.近世代数初步 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2006.
[4] 韩士安, 林磊.近世代数 (第二版) [M].北京:科学出版社, 2009.
[5] 李浏兰, 邓义华, 杨柳, 黄灿.数学与应用数学专业抽象代数课程分层次教学的探索[J].高等函授学报:自然科学版, 2012 (2) :38-39.
[6] 冯克勤.高校代数课教学的些作法和看法[J].大学数学, 2004, 20 (5) :5-7.
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