初中数学代数知识盘点（精选8篇）
考研线性代数行列式与矩阵知识点复习。结合考试分析，建议考生从行列式自身知识、与其它知识的联系这两方面来把握该部分内容。
一、行列式
行列式是线性代数中的基本运算。该部分单独出题情况不多，很多时候，考试将其与其它知识点(矩阵、线性方程组、特征值与特征向量等)结合起来考查。行列式的重点是计算，包括数值型行列式、抽象型行列式和含参数行列式的计算。
结合考试分析，建议考生从行列式自身知识、与其它知识的联系这两方面来把握该部分内容。具体如下：
1. 行列式自身知识
考生应在理解定义、掌握性质及展开定理的基础上，熟练掌握各种形式的行列式的计算。行列式计算的基本思路是利用性质化简，利用展开定理降阶。常见的计算方法有：“三角化”法，直接利用展开定理，利用范德蒙行列式结论，逆向运用展开定理。
2. 行列式与其它知识的`联系
行列式与其它知识(线性方程组的克拉默法则、由伴随矩阵求逆矩阵、证明矩阵可逆、判定n个n维向量线性相关(无关)、计算矩阵特征值、判断二次型的正定性)有较多联系。考生应准确把握这些联系，并灵活运用。
二、矩阵
矩阵是线性代数的核心，也是考研数学的重点考查内容。考试单独考查本部分以小题为主，平均每年1至2题。但是矩阵是线性代数的“活动基地”，线性代数的考题绝大部分是以矩阵为载体出题的，因此矩阵复习的成败基本决定了整个线性代数复习的成败。
该部分的常考题型有：矩阵的运算，逆矩阵，初等变换，矩阵方程，矩阵的秩，矩阵的分块。其中逆矩阵考得最多。
结合考试分析，建议考生从以下方面把握该部分内容：
一、新教材编写的长处
第一, 实数及其运算部分, 新课标降低了实数运算的要求, 运算强调“以三部为主”, 二次根式只要求了解概念及其加、减、乘、除运算法则, 会用它们进行有关实数的简单运算, 不要求分母有理化, 采取了够用即可的方法, 但加强了对运算意义的理解.强化了根据问题的需要选择恰当运算方法和运算工具能力的培养, 所以从素养和能力的培养来看, 不是降低了难度, 而是提高了要求.
第二, 整式加减内容放在七年级方程内容前, 整式乘除放在七年级下册, 这样的编排得到广大教师的拥护, 教材对每个知识点的编排, 都是从几个具体的、简单的题目运算出发, 最后归纳出运算性质, 再进一步用于解决实际问题, 这种从具体到抽象, 再由抽象到具体的编排方式, 符合现阶段学生的认知水平.对整式的乘除法, 运算公式减少了, 从而降低了记忆的要求, 给学生留有充分的自主活动的时间和空间, 让学生自己去探索、去发现、去体验, 从而真正理解公式的来源、本质和用途.这部分内容的编排摆脱了过去“从概念到概念, 从公式到计算”的枯燥无味的模式, 有利于提高学生的学习兴趣和学习的主动性, 确保学生扎扎实实地学好代数式最基本、最有价值的主干内容, 也就是“有所为, 有所不为”的辩证法.
二、存在的不足
第一, 常言道, “良好开端是成功的一半”, 七年级《有理数》一章设计对学生学好初中数学在心理上至关重要, 一次次失败的打击无法树立学习的信心, 我在教学中碰到下面例子.
课例一:习题1.4第11题, 一架直升机从高度为450米的位置开始, 以20米/秒的速度上升60秒, 后以12米/秒的速度下降120秒, 这时直升飞机所在高度是多少?该题所要计算的式子 (450+20×60-12×120) 并不难, 但如何正确理解题意, 列出正确式子, 就要求有较强的能力.涉及到数形结合、正负数意义、路程时间速度公式等, 对刚进入初中的学生而言, 困难不小.
课例二:1.5例4 (略)
学生的困难:一是负号的变化影响学生判断, 学生没有信心做出正确选择;二是题目呈现大量数据, 学生有畏难心理;三是教材解题文字说明与式子表达学生不易读懂.
第二, 八年级是初中生身体、心理走向成熟的关键一年, 虽有一定独立能力, 但仍没有摆脱儿童的依赖心理, 八年级上册的内容整体难度比较大, 只有实数一章能让学生感觉轻松些, 但教材在编写中, 把实数的概念和运算都与实际问题紧密联系联系起来, 加强知识间的纵向和横向的联系, 所以学生学习也碰到了不少困难.如:
课例三:《实数》第一节平方根例 (3) , “小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片, …裁出一块面积为300cm2的长方形, …长宽之比为3∶2, 不知能否裁出”.习题第9题“平面内有四个点, 它们的坐标分别是… (2) 求四边形面积; (3) 将四边形向下平移…”.复习题第8至第14题共7小题.
第三, 分式的运算编排在八年级下册, 课程标准提出三方面要求:一是借助分数知识学习分数的运算;二是以描述实际问题中的数量关系为背景, 抽象出分式的概念, 体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式;三是结合分式运算将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数, 构建和发展相互联系的知识体系.要求, 在体会数学实际应用中学习分式的运算, 在运算中体会分式的应用, 把两个难点交融在每节课里, 对学生的要求提高了, 我们在实际教学中处理两者关系时感觉困难.分式的许多例题和习题, 教师在教学实践中感觉处理难度大, 变换了多种方式, 但效果不佳, 学生总是在许多关键点理解不透, 学生感觉学习压力大, 如“我真笨”“我怎么总想不到”“数学怎么这么难”.
关键词： 基础数学 代数知识 融合思路
1.引言
目前国内使用的数学课本大都是将微积分与线性代数两门学科分开编写的，所以这两种学科的教学体系是封闭的，学生在学习这两门学科时会感觉这两门学科是不同的体系，这种现象对学生学习数学知识很不利。由于数学这门学科的逻辑性与系统性很强，教师在教学过程中需要对不同的知识进行融合，只有这样学生才能构建完整的数学知识体系，增加自己对数学知识的整体理解。针对此现象，应及时进行调整，使得基础数学教学与代数知识相融合。
2.基础数学教学与代数知识融合的必要性
基础数学也叫纯粹数学，专门研究数学本身的内部规律。我们所学的数学课本里介绍的代数、几何、微积分、概率论知识，都属于基础数学。代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切地说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。初等代数是更古老的算术的推广和发展。代数是研究数、数量、关系与结构的数学分支。初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想，研究当我们对数字做加法或乘法时会发生什么，以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。代数的研究对象不仅仅是数字，更是各种抽象化的结构。例如整数集作为一个带有加法、乘法和序关系的集合就是代数结构。这两种知识之间有很多可以相互促进的地方，融合起来教授课程可以帮助学生更好地学习数学。
2.1数学各学科之间相互渗透是数学发展的趋势。在教学实践中，我们不难发现，数学教学有相互融合发展的趋势，学科之间的融合促进更有利于数学教学的进行和数学事业的发展。比如基础数学教学中分析与代数知识的界限就相对模糊，分析中有很多集合都是代数中向量空间的例子，所以这些数学知识之间是相互贯通的。
2.2提高学生的学习能力。在基础数学教学中，将这种教学与代数教学相联系、融合，有助于学生在后期学习过程中，学会将数学知识融会贯通，用综合的数学思维解决问题。学生在这种教学模式下，能够学会用不同的知识对同一种问题进行分析，在无形中就培养了学生的多元化思维，帮助学生构建了更完整的数学框架。
2.3为学习更多的数学知识打下基础。学生后期学习中，会有很多地方用到基础数学与代数知识的融合，所以教学中将这两类知识进行融合是非常有必要的。比如数学分析中级数敛散性的知识就可以用于线性微分方程解的存在的唯一性的证明中，同时在代数知识中很多存在来自于基础数学分析的内积空间例子。
3.基础数学教学与代数知识的融合思路探究
3.1教师要完善教学体系。教师要进行基础数学教学与代数知识的融合，就需要对教学体系进行完善。首先教师要做的就是自己能够熟练地掌握基础数学知识，教师只有掌握了基础数学知识，才能给学生细致地讲解，回答学生的疑问；其次教师需要有融合基础数学教学和代数知识的方法，并根据实际教学对方法进行改正，适应实际教学的需要。
3.2将基础数学教学与代数知识进行整体讲解，合理安排教学顺序。在进行基础数学教学与代数融合的时候，教师需要根据教学需要对所教授的课程进行合理安排。基础数学授课与代数知识教学课程一般是分离的，采用将两者融合的方法促进学生的数学学习存在困难，所以对课程做出合理的安排对方法的实行有很大的促进作用。在实践中，教师可以先讲解代数中的逻辑、集合映射、群、环、域等内容，针对这些内容，讲解基本数学中的单变量微积分，这项工作完成之后，再讲解代数知识中的矩阵、行列式、矩阵空间，与这些代数知识相联系的是多变量微积分。通过这样的讲解方式，学生能够很清楚认识到基础数学知识与代数知识是密不可分的，它们之间的融合更能促进学生对数学的学习。
3.3教师在教学过程中要多设置两者都能解答的题型。利用这两种制式相融合的方式进行数学知识的讲授，后期的练习是不可少的。所以教师需要为学生搜集既能用基础数学知识进行解答的问题，又能用代数知识进行解答的问题，通过后期的练习，学生才能真正在这种教学方法下完善自身的数学知识体系，提高学生的能力。
4.结语
为了让学生更好地理解和学习数学知识，将数学知识融会贯通，教师需要采用基础数学教学与代数知识相融合的教学方式，帮助学生理解基础数学与代数知识之间的内在联系。教师通过认识到基础数学教学与代数知识相融合的必要性，从而对自己的教学方法进行调整的方式传授给学生更实用的知识和方法，帮助学生提高自己的能力。
参考文献：
[1]徐登明.浅谈本科基础数学教学中分析与代数知识的融合.大学教育，2015（4）.
[2]马俊玉.逻辑代数在中等职业学校中教学初探.中国校外教育（上旬刊），2014（2）.
[3]刘德广.几何画板优化初中数学教学的研究.中学生数理化（教与学），2015（4）.
线性代数的概念很多，重要的有：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。跨考李老师为大家分析考研数学线性代数重要知识点。
一、课程特点
特点一：知识点比较细碎。
如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多。
特点二：知识点间的联系性很强。
这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。
复习线代时，要做到“融会贯通”。
“融会”--设法找到不同知识点之间的内在相通之处;
“贯通”--掌握前后知识点之间的顺承关系。
二、行列式与矩阵
第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型;主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列式的`求值，考点不在求行列式，而在于相关性质，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。
三、向量与线性方程组
向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节;后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组(一般式)
还具有两种形式：(1)矩阵形式，(2)向量形式。
1.齐次线性方程组与线性相关、无关的联系
齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立;印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性此方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量组是否线性相关无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。
2.齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系
同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过“秩→线性相关无关→线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。
3.非齐次线性方程组与线性表示的联系
非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示，使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。
四、特征值与特征向量
相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容--既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。本章知识要点如下：
1.特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。
2.相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：
3.矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件1是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;充要条件2是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。
4.实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于对角阵。
五、二次型
本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵存在正交矩阵使得可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。
大家好!今天我说课的题目是《义务教育课程标准实验教科书· 数学》(人教版)七年级上册第五章第二节《代数式》这一课的内容。根据《课程标准》对这部分内容的要求及本课的特点，结合学生的实情，我将本节课分为五部分：教材分析、教法分析、学法分析、教学过程分析，几点说明。
一、教材分析
(一)教材的地位和作用
1.代数式是学生在学习了用字母表示数的基础上，进一步拓宽知识，是对上一节内容的深化，通过这节课要培养学生合理、规范、准确的数学表达方式和书写习惯，这是体验数学的美感和锻炼数学逻辑思维的必不可少的步骤。
2.代数式既是有理数的概括与抽象，又是整式运算的基础，也是学习方程及函数知识的基础。列代数式即用字母把数和数量关系简明地表示出来，结合学生已有的生活经验使学生的思维实现由数到式的飞跃，数学的文字语言与符号语言的转换，它可以帮助人们从数量关系的角度更清晰地认识、描述和把握现实世界，使学生体验到数学与现实生活的密切联系。
(二)教学目标及确立的依据
本教案力求通过富有吸引力、生动有趣的教学过程，充分体现以“教师为主导，学生为主体”的教学原则，调动学生的积极性，在教学中，引导学生自主探究，合作交流，引导学生在获取知识的过程中，学会观察、探究、概括、表达等数学方法，所以本节课我确定了三个教学目标。
1.知识目标：通过实例让学生经历代数式概念的产生过程，了解代数式的概念，学会用代数式表达简单的数量关系，深化符号感，掌握代数式的有关书写格式。
2.能力目标：通过丰富的例子使学生体验从语言叙述到代数表示，从代数表示到语言叙述的双向过程，能解释一些简单的代数式的实际背景或几何意义，培养学生的分析问题能力、数学语言表达能力、自主学习的能力、合作与探究的意识。
3.情感目标：提供多个实际生活情景，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，在合作交流中享受广阔的思维空间。通过列代数式表示生活中简单的数量关系使学生体验到代数式的实际意义及建模思想方法的实际应用价值，与同学互动过程中学会和人交流和合作，体验互相支持互相关怀的美好情感。
(三)教学的重点及难点
1.教学重点：代数式的概念和如何根据文字的意义列代数式。
2.教学难点：学生自己构造现实情境，去解释不同代数式的意义。
突破重难点的方法是：通过探究性教学方法激发学生兴趣和好奇性，引导学生积极主动地去领悟新知识，并让学生在主动思考探究的过程中自然地获取知识，去亲身体会学习知识的过程，从而加强学生主动探索，敢于发现的科学精神，充分运用多种教学手段，设置问题，探究讨论，例题讲解，课后小结，布置作业，突出主线，层层深入，逐一突破重难点。
二、教法分析
1.学生以自主合作的方式为主进行学习，教师以启发等方式进行引导，课堂以小组合作学习为主要的教学组织形式。遵循因材施教，循序渐进以及理论联系实际的原则，突出体现了“全面参与、全员参与、全程参与”与“自主性、互助性、创造性”的教学思想，逐步培养了学生运用基本的数学思想方法去发现问题、分析问题和解决问题的能力，全面提高学生的综合素质。
2.通过“激发兴趣、引入新课，观察联想、形成概念，应用拓展、巩固概念，反思辩论、深化概念，纵横发散、智能升级，学以致用、运用知识，自我反思、课外拓展”的教学程序，优化教育教学过程，提高教学三位目标的达成度。
三、学法分析
古人言：“授人以鱼，供一饭之需，教人以渔，则终身受用无穷。”教给学生如何学是教师的职责。因此在本节课的教学中，让学生主动观察、比较、分析、讨论、交流，使学生的手、脑、嘴充分调动起来，在轻松愉快的课堂气氛中亲身体验知识的形成过程。
四、教学过程分析
(一)创设情境，授之以欲
师(热情地)：同学们喜欢做游戏吗?老师今天就来和同学们做一个猜数的游戏好不好?下面我来讲解一下游戏的规则--同学们任意想好一个数，不要说出来，然后先把向好的这个数乘以2结果加上8，再除以2，最后减去所想的数。现在由老师猜同学们的计算结果(教师同时给几个学生发放事先写好答案的纸条)。请这几位同学告诉大家，老师猜的对吗?谁能找到老师猜对答案的奥秘呢?
用字母表示数是跨入代数大门的第一步，代数的重要特点是广泛地应用字母表示数，它是数学发展的一个飞跃，是我们进一步研究和解决许多数量关系的基础。我国古代“代数思想”的出现是领先世界的(可向学生简单介绍代数学的发展史)，我们在为先人做出的成就感到骄傲的同时，也要反思一下未来我国数学发展的责任要落到谁的肩上你?大家想不想进一步学习知识呢?
【设计意图】
创设愉悦宽松的游戏氛围，让学生在完全放松的情绪下感知生活，增加新鲜感，激发学生兴趣，锻炼学生的反应能力，体会代数式的重要意义。产生学习代数的兴趣，激发学习数学的热情，同时也进行了思想及责任感教育。教育家霍姆林斯曾经说过：如果教师不想方设法使学生进入情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么这种知识只能使人产生冷漠的态度，而不动感情的脑力劳动就会带来疲惫。
(二)形成概念，授之以渔
1.实例引领
例：用代数式表示(1)乙数比甲数大3;(2)甲乙两数的和为10;(3)甲数是乙数的5倍;(4)乙数比甲数的平方少2.(5)某班有共青团员m名分成两个小组，第一组有x人，第二组由有多少人?(5)已知正方体盒子的棱长为b厘米，则该盒子的体积是多少立方厘米?表面积是多少平方厘米?
(学生独立完成，请一生板演答案，师生共同纠错，重点强调做题的细节，如(4)题中的括号不能漏掉，(5)题中用乘方来表示)
【设计意图】英国数学教育心理学家斯根普指出：概念教学应该从大量实例出发，用实例直观地帮助完成定义而不是就定义教定义。因此，教师在课本已有的加、减、乘、除的基础上适当地增加了两个实例，(4)是减法运算，(5)是乘方运算，这位后面概括代数式的意义及代数式的书写规则做了一定的准备，并进一步体现了字母代数的数学思想，有利于突破教学难点。
2.概念生成
(1)观察：上述问题中出现的式子：a+3,10-a,1/5a……这些都称为代数式。
(教师指导学生观察，小组讨论并发言，应适时进行点拨，目的是让学生归纳出上述式子的共同特点，并总结出怎样的式子是代数式。
(2)联想：如50，a等单独的一个数或者一个字母是不是代数式?(学生思考讨论并举手发言)
(3)质疑：何为运算符号?运算符号是+，-，*，/，乘方，开方。而=，大于，小于，等等是关系符号而不是运算符号，凡由这些符号连结的式子都不是代数式而符号两边的式子是代数式。
(4)归纳：
代数式的特征
a.代数式是用运算符号把数或表示数的字母连接而成;
b.单独一个数或字母也是代数式.
c.代数式中不含等号和不等号。(学生归纳，教师板书，概括要点和关键字)
【设计意图】此阶段通过“观察-联想-质疑-归纳-表达”展现知识的形成过程和学生的思考过程，发展学生的智力品质，让学生在获取知识的.同时领会一定的数学思想和思维方法，实现学法指导的目的。
3.巩固联系，联系实际，贴近生活
学生独立做课本上第120页1题，两生板演答案，师生共同纠正书写问题。
【设计意图】设计此练习，让学生积极主动自我尝试、剖析、修正和反思，使其真正理解代数式概念的内涵。让学生能在实际情境中准确地用代数式解决实际问题，并记住相关题目对学生进行勤俭节约教育和刻苦学习的教育。
(三)自我归纳，授之以鱼
1.结合上面的练习中出现的问题，组织学生思考小组讨论后总结出代数式的书写规则，请代表发言补充.
(探索归纳出)书写代数式请注意以下几点：
(1)x×y×z通常写为x·y·z或xyz(乘号省略)
(2)把数字写在字母的前面，如6*b常写作6·b或6b。如果数字是带分数的要写成假分数。
数字和数字之间相乘用*
(3)10÷m通常写作 (除号用分数线表示)
(4)若最后结果是加减关系的须写单位时，则将整个式子括起来再写单位。
(5)相同字母或因式的积，要写成乘方的形式。
2.补充练习
下列代数式中符合书写要求的是A.xy2 B.1-x C.-x2y D.xy/2
【设计意图】一是培养学生勤于动脑思考，善于总结归纳的良好数学思维品质和语言表达能力;二是可使学生运用批判性的思维找出代数式书写中的错误，进一步加深理解代数式的书写规则。
3.纵横发散，自主创新
人人来当老师
(1).请同学们用10x+5y赋予实际生活背景或几何背景设计一道数学题!
(教师可类比英语中的英汉互译，使学生明白此题与前面的练习是一个双向的过程，是互逆思维，鼓励学生结合生活经验大胆想象出此代数式的实际背景.)
(2).抛砖引玉，分组竞赛
让学生结合生活经验对下列代数式做出解释。a+b,ab,6p.
【设计意图】通过同一代数式让学生说出不同的生活意义，以培养学生的发散思维能力和语言表达能力，培养学生的自主创新精神。
4.学以致用，关爱生命
例：现代营养专家用身体质量指数来判断人体的健康状况。这个指数等于人体质量(千克)与人体身高(米)平方的商。一个健康的人身体质量数在20-25之间，身体质量指数低于18属于不健康的瘦，高于30属于不健康的胖。(1)设一个人的质量w(千克)身高为h(米)求他的身体质量指数。(2)老师的身高是1.60米，体重是55千克，帮老师计算一下我的身体状况属于哪一类型?(3)请同学们判断自己的身体状况属于哪一类型?
【设计意图】人们越来越关注生活质量，关注健康，此应用题的教学使学生体验到数学与现实生活的密切联系。同时也为下一节列代数式及后面要学习的代数式的值做延伸和铺垫。
(四)课堂小结
1、谈谈你的收获;
2、谈谈你的疑问，
3、解疑。
(小组畅所欲言，互讲本节课的内容，总结本节课所学习的知识和应注意的问题，教师对小组总结情况进行评价)
【设计意图】在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学生概括归纳知识的能力，从而不所学的知识系统化、条理化，提高他们的表达能力和归纳总结能力。
(五)分层作业，自由拓展
(1)必做题：课本105页2、3题
(2)选做题：课本121页1题
【设计意图】由于学生在知识、技能、能力等方面的发展不尽相同，所以分层次布置课外作业，兼顾学习有困难的和学有余力的学生，使他们都能达到数学标准中规定的基本要求并使部分学生能发展他们的数学才能。
五、几点说明
1.板书设计
(1)代数式的特征
(2)书写代数式请注意以下几点
(3)补充练习
2.时间安排
(1)创设情境，授之以欲 (5分钟)
(2)形成概念，授之以渔(15分钟)
(3)自我归纳，授之以鱼(15分钟)
(4)课堂小结 (5分钟)
3.设计特色
在探究过程中确保学生主体作用得到充分发挥，让学生从被动学习到主动学习、自主学习，让学生从接受知识到探究知识，真正焕发教学活力，让他们自己往前走，自己去锻炼去创造。
代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代
所以
a+b+c=0或bc+ac+ab=0．
若bc+ac+ab=0，则 数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．
1．利用因式分解方法求值
因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．
分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．
解 已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以
6x4+15x3+10x2
=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1
=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1
=0+1=1．
说明 在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．
例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：
a2+b2+c2=1，①
求a+b+c的值．
解 将②式因式分解变形如下
即
(a+b+c)
2=a2
+b2
+c2
+2(bc+ac+ab)
=a2
+b2
+c2
=1，所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．
说明 本题也可以用如下方法对②式变形：
即
前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．
2．利用乘法公式求值
例3 已知x+y=m，x
3+y3
=n，m≠0，求x2
+y2的值．
解 因为x+y=m，所以
m3
=(x+y)3
=x3
+y3
+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以
求x2
+6xy+y2的值．
分析 将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．
解 x2
+6xy+y2
=x2
+2xy+y2
+4xy
=(x+y)2
+4xy
3．设参数法与换元法求值
如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．
分析 本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．
x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．
所以
x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．
u+v+w=1，①
由②有
把①两边平方得
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即
两边平方有
所以
4．利用非负数的性质求值
若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．
例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求yx的值．
分析与解 x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．
因为x2
-4x+|3x-y|=-4，所以
x2
-4x＋4＋|3x-y|=0，即(x-2)2
+|3x-y|=0．
所以 yx
=62
=36．
例9 未知数x，y满足
(x2
＋y2)m2
-2y(x+n)m+y2
+n2
=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．
分析与解 两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．
将已知等式变形为
m2
x2
+m2y2
-2mxy-2mny+y2
+n2
=0，(m2x2
-2mxy+y2)+(m2y2
-2mny+n2)=0，即(mx-y)2
+(my-n)2
=0．
5．利用分式、根式的性质求值
分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门
讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．
例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：
分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．
解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为
3．已知a+b+c=3，a+b+c=29，a+b+c=45，求零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．(改)母变为与第四个相同．
2．已知x+y=a，x+y=b，求x+y的值．
(第一个分母改为x)
5．设a+b+c=3m，求(m-a)+(m-b)+(m-c)-3(m-a)(m-b)(m-c)的同理
8．已知13x-6xy+y-4x+1=0，求(x+y)^13·x^10的值．
1.383
2.(b+2ab-a)/2 3.42 4.2 5.0 6.2 分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．
7.8 8.8
值．
分析 计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是
同样(但请注意算术根！)
将①，②代入原式有
[关键词]初中数学 数与代数 教学价值 教学理念 教学方法
一、初中数学“数与代数”的教学价值
（一）培养学生现实应用的能力
通过“数与代数”的学习，学生能够体会到数学与现实生活的联系，认识到数、符号是刻画现实世界数量关系的重要语言，方程、不等式与函数是现实世界的数学模型，从而认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，从中感受到数学的价值，初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，增强应用意识，培养初步的应用能力。
（二）提高学生创新及发现问题的能力
在“數与代数”的学习过程中，通过对现实世界中数量关系及其变化规律的探索，数的概念的建立、扩充以及数的运算，公式的建立和推导，方程的建立和求解，函数关系的探究等活动，激发学生学习数学的兴趣，提高学生解决问题的能力和自信心，初步形成创新意识和发现能力。
（三）帮助学生形成辩证科学的数学观念
在“数与代数”中，不仅知识中存在着正数与负数、加法与减法、乘方与开方、变量与常量、精确与近似等对立和统一，而且在研究过程中也充满已知与未知、特殊与一般、具体与抽象等对立与统一。同时，在变量和函数的研究中，还充满着运动、变化的思想。因此，学习“数与代数”，有助于培养学生的辩证唯物主义观点，有利于学生用科学的观点认识现实世界。
（四）陶冶学生情操，形成良好品质
“数与代数”的学习过程，是学生在教师指导下合作交流、自主探究的过程，在这个过程中，可以培养学生的合作意识和团队精神；“数与代数”的学习还可以培养学生细心严谨、一丝不苟的态度和知难而进、坚忍不拔的品质；“数与代数”内容中蕴含着丰富的数学美，可以培养学生发现美、欣赏美、创造美的能力，陶冶学生的情操。
二、新课标下“数与代数”的教学理念
传统的数学教学，教师是课堂的主宰者、知识的传递者，学生则是知识的接受者。在新课标理念下，教师的角色和教学方式、学生的学习方式都发生了很大变化。
（一）教师角色的转变
在新课标理念下，教师不再是单一的数学知识的传授者，而是学习的组织者、引导者、合作者；不再是课程的被动实施者、执行者，而是课程的开发者、建设者；不再是习题和试题的编制者，而是拥有先进理念、懂得现代教育技术、善于学习和合作的教育理论和实践的研究者。
（二）教师教学方式的变化
教师角色的转变，必将带来教学方式的改变。教学方式改变集中体现在使学生成为学习的主人。这要求教师以学生为中心进行教学设计，教学评价要以学生发展为核心。教师要善于激发学生学习动机，使学生经历数学知识的形成过程，鼓励学生自主探索与合作交流，满足学生的个性化学习需要。
（三）学生学习方式的改变
数学学习活动不能单纯依赖模仿和记忆，应当是一个生动活泼、主动和富有个性的过程。学生应当有充分的时间和空间从事观察、实验、验证等活动，应当独立思考、合作交流。在新课程理念下，学生的学习方式将由单一的接受式学习方式向多样化学习方式转变，自主学习、合作学习、探究学习将成为主要的学习方式。
三、新课程标准下“数与代数”的教学方法
（一）培养学生数感
数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法表示数；能在具体情境中把握数的相对大小关系；能用数表达和交流信息；能为解决问题选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。在教学过程中，教师要创造条件，帮助学生在对现实背景的感受和体验中建立数的概念，使学生具体地理解数的意义。
（二）创设情境，培养学生符号感
符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。应创设空间，逐步渗透，帮助学生建立符号感。培养学生的符号感，必须有目的、有意识、有计划、有步骤地渗透于数学教学的始终。
（三）主动探究，培养学生的应用意识
学生只有不拘泥于教师提供的案例，而能主动地寻求数学知识的实际背景，才能为知识的应用找到生长点，也才有可能进一步探索其应用，体会数学的应用价值。可以说，主动寻求新知识的实际背景，是增强应用意识的重要一环。尤其是在强调努力把科技成果转化为生产力的今天，主动寻求知识的应用领域，开辟更广阔的应用空间，显得格外重要。
线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，太奇考研专家们提醒广大的的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对考研的同学们学习有帮助。
行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《20xx年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。
矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。
向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。
往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论).主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。
特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化.重点题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。
由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础.重点内容包括：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念;了解二次型的规范形和惯性定理;掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法.重点题型有：二次型表成矩阵形式、化二次型为标准形、二次型正定性的判别。
一、行列式与矩阵
行列式、矩阵是线性代数中的基础章节，从命题人的角度来看，可以像润滑油一般结合其它章节出题，因此必须熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式——具体行列式的计算和抽象行列式的计算。其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型，主要方法是应用行列式的性质及按行(列)展开定理化为上下三角行列式求解;而对于抽象行列式而言，考点不在如何求行列式，而在于结合后面章节内容的相对综合的题。
矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵各种运算律、矩阵的基本性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩、初等矩阵等。
二、向量与线性方程组
向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，而其后两章特征值和特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式——矩阵形式和向量形式;二是线性方程组与向量以及其它章节的各种内在联系。
(1)齐次线性方程组与向量线性相关、无关的联系
齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立——印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系——齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。
(2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系
同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过 “秩→线性相关、无关→线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。
(3)非齐次线性方程组与线性表出的联系
非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量
三、特征值与特征向量
相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关性，“牵一发而动全身”。
本章知识要点如下：
1. 特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。
2. 相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：
3. 矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件一是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;二是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。
4. 实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于以其特征值为对角元素的对角阵。
四、二次型
这部分所讲的内容从根本上讲是特征值和特征向量的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵，必存在正交矩阵，使其可以相似对角化”，其过程就是上一章实对称矩阵相似对角化的应用。
本章核心要点如下：
1. 用正交变换化二次型为标准型。
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