线性代数证明题1

线性代数证明题1（共9篇）

线性代数证明题1 篇1

TTT11111证明：因为(AB1B1A)T(AB1)T(B1A)T(B)AA(B)BAABABBA则矩阵5.设T1

AB1B1A 是对称矩阵。

n1n阶矩阵的伴随矩阵为*，证明：**

0时，*0.*0，则知*可逆，*1.证明：因为

⑴当用反证法：假设在等式**O左右两边同时右乘，得到O，于是O，这与假设矛盾，n1可知当0时, 有*0；

⑵ 当0时，在等式*两边同时取行列式，得

**n

两边同时约去，得*n1.6.设向量b能由1,2,3这三个向量线性表示且表达式唯一, 证明：向量组1,2,3线性无关。证明：（反证法）如果a1,a2,a3线性相关，则有一组不全为0的系数1,2,3使1a1由已知设b（1），2a23a3=0 112233，结合（1）式得

b0b(11)a1(22)a2(33)a3（2）

由于1,2,3不完全为零，则17.设1,2,3是1，22，33与1,2,3不同，这与b表示法惟一相矛盾，故向量组1,2,3线性无关。

n阶方阵A的3个特征向量，它们的特征值不相等，记123，证明：不是

A的特征向量。

证明：假设AAA123A1A2A3112233，又： 123A112233

从而： 1122330，由于特征值各不相等，所以1,2,3线性无关，所以的1230123，矛盾。故不是

A的特征向量。

8.已知向量组a1,a2,a3线性无关，b12a1a2，b23a2a3，b3a14a3，证明向量组b1,b2,b3线性无关.证明 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式

20130 b1,b2,b3a1,a2,a31,记BAK，014设Bx0，以BAK代入得A(Kx)0，因为矩阵A的列向量组a1,a2,a3线性无关，知Kx0的系数行列式K250，知齐次线性方程组 Kx0只有零解x0。

0只有零解x0，故矩阵B的列向量组b1,b2,b3线性无关。所以，齐次线性方程组Bx9.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；（2）η0，η1，η2线性无关。

证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。（2）考虑k0η0+k1η1+k2η2=0，即（k0+k1+k2）η0+k1ξ1+k2ξ2=0.则k0+k1+k2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 k1ξ1+k2ξ2=0.又由Ax=0的一个基础解系, 所以，ξ1，ξ2线性无关，所以k1=k2=0，从而 k 0=0.故η0，η1，η2线性无关。

10.设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，AE可逆，且f(A)(EA)(EA)1。

f(A))(EA)2E；（2）f(f(A))A。证明（1）(E证明 ：（1）(Ef(A))(EA)[E(EA)(EA)1](EA)(EA)(EA)(EA)1(EA)(EA)(EA)2E

（2）f(f(A))[Ef(A)][Ef(A)]1

f(A)]1由（1）得：[E1(EA)，代入上式得 2111f(f(A))[E(EA)(EA)1](EA)(EA)(EA)(EA)1(EA)22211(EA)(EA)A 2211.设A与B相似，证明：AT与BT相似。

A与B相似，故存在可逆矩阵P，使得 证明：因为 B则 BTP1AP

(P1AP)TPTAT(P1)TPTAT(PT)1

T 且 P是可逆矩阵

于是

12.证明：矩阵AT与BT相似。

A与B是正定矩阵，证明：AB也是正定矩阵.证明：由题设，对任意x0都有 xTAx0,AB也正定矩阵.xTBx0xT(A+B)x0(x0)，由正定矩阵的定义，则13.一个n级行列式，假设它的元素满足aijaji,i,j1,2,,n,证明，当n为奇数时，此行列式为零。

aa12a1na22a2nan2ann11aaanaaaan，则A21证明：设Aananannan1的元素满足

aijaji,i,j1,2,,n，所以，a11ATa12a1n于是，当a21an1a22an2a2nanna11a21an1a12a1nA(1)nA，a22a2nan2annn为奇数时，由 AAT(1)nAA0.14.设矩阵A正交，证明：对于数k，若kA也正交,则k1

证明：因为A正交，所以ATA1。从而

kA正交(kA)T(kA)111A，k又ATA1，所以，(kA)TkATkA1kA111A，kk21k1.15设

1，证明：矩阵AB、AB 是正交矩阵。A、B为n阶正交矩阵，证明：因为A、B为n阶正交矩阵，所以AATE,BBTE

T

因为（AB)(AB)所以 ABBTATAEATAATE

AB是正交矩阵。

（即两个同阶的正交矩阵的乘积也是正交矩阵）

因为B是正交矩阵，所以B1也是正交矩阵（P115)

由以上结论得：AB1也是正交矩阵。

16.若0是可逆矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，证明：1是A1的特征值，是A1的属于

1的特征向量；

证明：因为

1A1AA1 从而 A1

线性代数复习提纲1 篇2

第一章． 行列式

1.排列的逆序数

2.对角线法则

3.具体数字行列式的计算（行列式的性质、展开定理）

4.余子式、代数余子式的线性组合的计算

5.特殊行列式（对角、三角、对称、反对称、范德蒙）

6.Cramer法则

第二章． 矩阵

1.矩阵的基本运算（转置、加法、数乘、乘法、方阵的幂、方阵的行列式、方阵的伴随、方阵的逆）及其运算性质

2.矩阵方程

3.具体数字矩阵求逆的三种方法（公式法、初等变换法、分块矩阵）

4.抽象矩阵证明可逆并求逆

5.初等矩阵与初等变换的关系

6.化行阶梯形、行最简形

7.求矩阵的秩（不带参数和带参数）

8.秩的性质（特别是乘积的秩、伴随的秩）

第三章． 向量组

1． 线性组合的概念和判断（带参数，不带参数）

2． 线性相关、无关的概念的判断（带参数，不带参数，注意有多种判断方法）

3． 线性相关、无关与线性组合的关系

4． 向量组与向量组之间的线性关系

5． 求向量组的秩和一个极大无关组

第四章． 线性方程组

1． 线性方程组解的判断

2． 解的性质（齐次，非齐次）

3． 齐次方程组的基础解系及通解

4． 非齐次方程组的通解

第五章． 相似矩阵

1． 向量的内积和正交性

2． 正交矩阵的概念和性质

3． 求特征值、特征向量

4． 特征值、特征向量的性质

5． 已知特征值求行列式

6． 相似对角化的判断

7． 实对称矩阵的特征的特殊性

第六章． 二次型

1． 二次型的矩阵

2． 二次型化标准形（配方法、对称变换法（合同变换法））

线性代数讨论课内容1 篇3

讨论课是以学生为主导，其内容包括理论内容的专题讨论、探究性应用案例的数学模型的建立。通过对理论内容的深入探讨，加深学生对知识的深刻理解与掌握，培养学生自主学习能力、逻辑思维能力、对知识的归纳梳理与综合能力，提高学生分析问题与数学建模的能力。

第一次讨论课内容

矩阵初等变换及其应用

请卓越班的同学们按照下面的提纲（内容包括概念、求解方法、举例、应用案例等）准备。要求做成word或PPT文档。同学们自荐或推荐上讲台讲课。希望同学们踊跃参与。

第一次讨论课的时间定在2012年5月25日。

讨论课要求：自由结组，每小组十人，每组选出一组长，关于讨论课的问题每人都要写一份报告整理修改后交给对应的课代表。关于报告，每小组经过讨论之后选出最好的一份，并在25日的讨论课上交流分享。

1.两个矩阵的等价

2.两个矩阵的乘积

3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型

4.求矩阵的秩

5.求可逆矩阵的逆矩阵

6.求线性方程组的解

7.判断向量组的线性相关性

8.求向量组的秩与极大无关组

9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）

10.二次型化为标准形

高淑萍

高中几何证明题 篇4

(2)求证，平面D1B1E垂直平面DCB1

证明：

1)：连接AD1，AD1²=AD²+DD1²=B1C1²+C1E²=B1E²

所以AD1=B1E

同理可证AB1=D1E

所以四边形AB1ED1为平行四边形，AB1//A1E

因为AB1在平面ACB1上

所以D1E//平面ACB1

2)：连接A1D,A1B1//CD,面A1B1CD与面CDB1为同一个平面

由(1)可知面D1B1E与面AD1B1E为同一平面

正方形ADD1A1的对角线AD1⊥A1D

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，CD⊥面ADD1A1,所以CD⊥AD1

AD1与A1D相交，所以AD1⊥AB1ED1

所以面A1B1CD⊥AD1B1E

即：面D1B1E⊥面DCB1

我现在高二，以前老师教几何证明没学好，现在想亡羊补牢.但不知道这类型题应抓什么学，找什么记，哪些是基础，证明的步骤....只有多练，真的，几何证明题有很多固定的结题模式，但是参考书不会给你列出来，老师也不讲，你随便买一本几何专题的练习书来做，或者，如果你定力不好的话，可以去报一个补习班，专门补习几何专题的。

我从你想知道的这些知识觉得你有点急于求成，但是学好几何不是一天两天的事，其实高考的几何也不会很难的。

做得多，有了感觉，考试的时候自然得心应手，这是实话。

已知pA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,M,N分别是AB,pC的中点.(1)证MN⊥CD.(2)若∠pDA=45度,求证MN⊥平面pCD

第一问,我证出来了.麻烦能讲下解这类题的思路

满意答案好评率：100%

对于这种空间几何题，用向量解决是一种通法，不知你学过没。但对于这一题，立体几何的知识足够解决了，记住面线垂直判定的方法，本质为证明线线垂直，找到平面内的两条相交直线与那条直线垂直，即可得证。此题(2)问，只要找pD和CD即可，注意∠pDA=45度这个条件即可证pD⊥MN。不懂追问。

继续追问：

∠pDA=45度这个条件即可证pD⊥MN?

初二数学证明题 篇5

.解答：证明：∵∠BAC=90°，CE⊥AE，BD⊥AE，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°.∴∠ABD=∠DAC.又∵AB=AC，∴△ABD≌△CAE(AAS).∴BD=AE，EC=AD.∵AE=AD+DE，∴BD=EC+ED.2、△ABC是等要直角三角形。∠ACB=90°，AD是BC边上的中线，过C做AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F,求证∠ADC=∠BDE

解：作CH⊥AB于H交AD于p，∵在Rt△ABC中AC=CB，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°.∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA.又∵中点D，∴CD=BD.又∵CH⊥AB，∴CH=AH=BH.又∵∠pAH+∠ApH=90°，∠pCF+∠CpF=90°，∠ApH=∠CpF，∴∠pAH=∠pCF.又∵∠ApH=∠CEH，在△ApH与△CEH中

∠pAH=∠ECH，AH=CH，∠pHA=∠EHC，∴△ApH≌△CEH(ASA).∴pH=EH，又∵pC=CH-pH，BE=BH-HE，∴Cp=EB.在△pDC与△EDB中

pC=EB，∠pCD=∠EBD，DC=DB，∴△pDC≌△EDB(SAS).∴∠ADC=∠BDE.2证明：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠3=∠4，∴OE=OF.(问题在这里。理由是什么埃我有点不懂)

∵∠1=∠2，∴OB=OC.∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL).∴∠5=∠6.∴∠1+∠5=∠2+∠6.即∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形

过点O作OD⊥AB于D

过点O作OE⊥AC于E

再证Rt△AOD≌Rt△AOE(AAS)

得出OD=OE

就可以再证Rt△DOB≌Rt△EOC(HL)

得出∠ABO=∠ACO

再因为∠OBC=∠OCB

得出∠ABC=∠ABC

得出等腰△ABC

41.E是射线AB的一点，正方形ABCD、正方形DEFG有公共顶点D，问当E在移动时，∠FBH的大小是一个定值吗?并验证

(过F作FM⊥AH于M，△ADE全等于△MEF证好了)

2.三角形ABC，以AB、AC为边作正方形ABMN、正方形ACpQ

1)若DE⊥BC，求证：E是NQ的中点

2)若D是BC的中点，∠BAC=90°，求证：AE⊥NQ

3)若F是Mp的中点，FG⊥BC于G，求证：2FG=BC

3.已知AD是BC边上的高，BE是∠ABC的平分线，EF⊥BC于F，AD与BE交于G

平行证明题 篇6

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E、F分别是棱AD、PB的中点，求证：直线EF∥平面PCD

P

D

F

C

E

A

B

2.如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是AA1、AD、B1C1、的中点。求证：平面EFG∥平面ACB1

C1

D1

1G

B1

D

F

A

B

3.如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，E是PD的中点.求证：PB∥平面AEC

E

A B D

4．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为A1C1的中点。求证：

（1）BC1∥平面AB1D;

（2）若D1为AC的中点,求证平面B1DA∥平面BC1D1.AB1

高考几何证明题 篇7

高考几何证明题

输入内容已经达到长度限制

∠B=2∠DCN

证明：

∵CN⊥CM，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠4=90°;

又∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴∠BCD=2∠DCN;

∵AB//DE，∴∠B=∠BCD;

于是∠B=2∠DCN。

11

输入内容已经达到长度限制

∠B=2∠DCN

证明：

∵CN⊥CM，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠4=90°;

又∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴∠BCD=2∠DCN;

∵AB//DE，∴∠B=∠BCD;

于是∠B=2∠DCN。

12、

空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。

如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键.

立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行;二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。

以下用向量法求解的简单常识：

1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得 或对空间一定点O有

2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若： (其中x+y+z=1)，则四点P、A、B、C共面.

3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量 (k∈R).

4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量 .

5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取 ，求： 的问题.

6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题： .

7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标.

13

空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。

如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键.

立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行;二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。

以下用向量法求解的简单常识：

1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得 或对空间一定点O有

2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若： (其中x+y+z=1)，则四点P、A、B、C共面.

3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量 (k∈R).

4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量 .

5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取 ，求： 的问题.

6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题： .

7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标.

首先该图形能建坐标系

如果能建

则先要会求面的法向量

求面的法向量的方法是 1。尽量在土中找到垂直与面的向量

2。如果找不到，那么就设n=(x,y,z)

然后因为法向量垂直于面

所以n垂直于面内两相交直线

可列出两个方程

两个方程，三个未知数

然后根据计算方便

取z(或x或y)等于一个数

然后就求出面的一个法向量了

会求法向量后

1。二面角的求法就是求出两个面的法向量

可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积

如过在两面的.同一边可以看到两向量的箭头或箭尾相交

那么二面角就是上面求的两法向量的夹角的补角

如果只能看到其中一个的箭头和另一个的箭尾相交

那么上面两向量的夹角就是所求

2。点到平面的距离就是求出该面的法向量

然后在平面上任取一点(除平面外那点在平面内的射影)

求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量记为n1

全等三角形证明题练习(提高题) 篇8

1.如图所示，△ABC≌△ADE，BC的延长线过点E，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD= 10°，∠B=50°，求∠DEF的度数。

O

2.如图，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转52°得到△A′OB′边 A′B′与边OB交于点C（A′不在OB上），则∠A′CO的度数为。

3．如图所示，在△ABC中，∠A=90°，D,E分别是AC,BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数是。

4.如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C,A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A=。

A

D C C B B D A E5．已知，如图所示，AB=AC,AD⊥BC于D,且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm,则AD=.6．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,分别过点B，C,作过点A的直线的垂线BD,CE,垂足为D,E，若BD=3，CE=2,则DE=.7．如图所示，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, △ABC的面积是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE 的长。

B D C

8.如图所示，已知，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F ,且有BF=AC,FD=CD.求证：BE⊥AC

B

D

E

C

9．△DAC, △EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,求证：（1）AE=BD(2)CM=CN(3)△CMN为等边三角形（4）MN∥BC

C

B

10．已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交

MC于点E，BM交CN于点F．(1)求证：AN=BM；(2)求证：△CEF为等边三角形；

(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90 O，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．

11．如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形。下列结论：① AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；

④∠AHC=600,⑤△BFG是等边三角形；⑥ FG∥AD。其中正确的有（）A 3个B 4个C 5个

D 6个

A

B

D

12.已知：BD，CE是△ABC的高，点F在BD上，BF=AC,点G在CE的延长线上，CG=AB.求证:AG⊥AF

C

13.如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证：（1）AD=AG，（2）AD与AG的位置关系如何。

G

F

EA

B

14.如图，已知E是正方形ABCD的边CD 的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE.求证：AF=AD+CF

C

A D

E

B

F

C

15.如图所示，已知△ABC中，AB=AC,D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且DE=DB,求证：AC=BE+BC

E D

B

C

16.如图所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC,DF⊥AC,垂足为F,DB=DC.求证：BE=CF.C

F

17.已知：如图3-50，AB=DE，直线AE，BD相交于C，∠B＋∠D=180°，AF∥DE，交BD于F．求证：CF=CD．

18.已知：如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且

BD=CD求证：⑴△BDE≌△CDF⑵点D在∠A的平分线上

E

D

B

AC

F

初中几何证明题思路 篇9

几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的“因为”、“所以”逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。

一、证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

12.两圆的内（外）公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

二、证明两角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等

三、证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

四、证明两直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

11.利用半圆上的圆周角是直角。

五、证明线段的和、差、倍、分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

六、证明角的和、差、倍、分

1.作两个角的和，证明与第三角相等。

2.作两个角的差，证明余下部分等于第三角。

3.利用角平分线的定义。

4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

七、证明两线段不等

1.同一三角形中，大角对大边。

2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。

5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。

6.全量大于它的任何一部分。

八、证明两角不等

1.同一三角形中，大边对大角。

2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。

4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。

5.全量大于它的任何一部分。

九、证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。2.利用内外角平分线定理。3.平行线截线段成比例。4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

5.与圆有关的比例定理--相交弦定理、切割线定理及其推论。

6.利用比利式或等积式化得。