教学并没有什么固定的模式，它要求教师灵活应变，因材施教。但是教案的撰写，却有一定的规律可循。其内容一般包括课程名称、课型、课时、教学目标、教学重点和难点、教具、教学方法、教学过程、作业设计、板书设计、课后反思等。下面是小编整理的《角的平分线性质教案》，仅供参考，希望能够帮助到大家。
角的平分线的性质教案
学习重点 掌握角的平分线的性质定理
学习难点 角平分线定理的应用
设置情景
1.什么是角的平分线?怎样画一个角的平分线?
2.如图,AB=AD,BC=DC, 沿着AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的角平分线, 你知道为什么吗
3.如根据角平分仪的制作原理如何用尺规作角的平分线?自学课本19页思考：为什么要用大于MN的长为半径
4.OC是∠AOB的平分线,点P是射线OC上的任意一点,
操作测量:取点P的三个不同的位置,分别过点P作PD⊥OA,PE ⊥OB,点D、E为垂足,测量PD、PE的长.将三次数据填入下表:
观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系,写出结论:____________
PD PE 第一次
第二次
第三次
命题:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
题设:一个点在一个角的平分线上
结论:它到这个角的两边的距离相等
结合第4题图形请你写出已知和求证,并证明命题的正确性
用数学语言来表述角的平分线的性质定理:
如上图∵OC是∠AOB的平分线,
∴
练一练:已知:在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.画图并求证:EB=FC.
超 市作业 1.在△ABC中,AC⊥BC,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,AB=7㎝,AC=3㎝,求BE的长。
A
2.在Rt△ABC中,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,则:
⑴图中相等的线段有哪些?相等的角呢?
⑵哪条线段与DE相等?为什么?
⑶若AB=10,BC=8,AC=6,
求BE,AE的长和△AED的周长
3.如图:在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF;
求证:CF=EB
4.已知:如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
循环小数教学设计 教学过程: 一动作游戏,过度铺垫
请一名学生做游戏,根据老师的指令,用手指向部位.(眼睛、鼻子、嘴巴、耳朵;眼睛鼻子嘴巴耳朵„„)结合动作口令,请学生说一说,游戏过程有什么特点.(理解关键次:依次、不断、重复出现)用游戏动作作铺垫,激发兴趣,使得学生迅速进入学习的境地，初步感知这节课的重要性语言,生动形象的理解无限、依次、重复等词语) 2生活中,还有哪些现象,象我们刚才的游戏那样,依照一定的次序不断重复出现的现象的呢? 请学生结合自己的生活实际找一找.(例如学生的回答:四季春夏秋冬的更替、一年12个月的交替、每周星期数、老和尚讲故事等) 3以此为契机引入新内容的探索,小数中也有这样有趣的现象,你想知道么?引入并板书课题:循环小数。 二新知探索.
1、课件出示情景图.例题1:王鹏跑400米只用了75秒,平均每秒跑多少米? (1)请学生说出已知条件和要求的问题. (2)列算式400÷75,讲明列式理由(速度=路程÷时间) (3)请学生在练习本上试算.教师行间巡视. (4)当学生露出疑问的神情，窃窃私语交流时，及时让学生停下来，说一说自己的疑问，也就是数谈一谈计算中发现算式的特点。余数25不断的重复出现，商一直商3.那么算式的结果怎样写呢?请学生说一说：可以写作5.333......，多写一个重复的数字3然后点上省略号，表示后面还有无数个3.
2、深入探索，说明竖式计算中的特点。
(1)出示练习：28÷18=
78.6÷11= (2)请学生观察算式中特点：第一个算式余数不断重复出现10，因此商不断重复出现5，所以商是1.55„„;第二个算式余数5和6依次不断的重复出现，因此商4和5也依次不断的重复出现，所以商是7.14545„„。
(3)观察写出的3个小数，像这样的小数就叫做循环小数。那么什么样的数叫做循环小数呢?请小组内集思广益交流一下。 (4)反馈交流内容：
a生：有一个数或者多个数不断的重复出现。
B生：小数部分有一个数或者几个数字不断的重复出现。
C生：小数部分有一个数字或者几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数。
师：刚才同学们都谈到了依次、不断、重复出现的数字，和课本上循环小数的科学定义进行比较。强调概念重点的词语，加重语气诵读两遍。 在实物投影器上用康熙词典展示“循环”词语的意思。(事物周而复始的运动和变化，叫做循环)
(5)开展写循环小数的比赛，比一比，一分钟谁写的个数多，种类也多。 教师行间巡视，挑拣出现的有典型错误的比赛内容，充分利用课堂生成性资源。比如挑选类似性质的题目：3.2828，5.1444„„，2.0141526„，5.8105105„„，正确的点头，错误的摇头，突出自己的课堂活跃氛围。
[让学生在尝试练习中认识循环小数，发现当两个数相除出现循环小数时商和余数的规律。让学生亲历知识形成的过程，有利于学生形成循环小数的概念。]
三、巩固练习，发散思维。
(1)请同学们判断下面哪几个数是循环小数，为什么?(课件显示) 0.999……
3.1415926…… 0.547745……
3.212121 5.02727…… 6.416416……
这些循环小数能不能简便写法，请自学课本，了解循环节和简便写法。只写出一个循环节，在循环节的首位和末位上面点上小圆点。 (2)将上面的循环小数用简便写法记录下来。
(3)式计算下面各题，哪些是循环小数?将循环小数表示出来。(课本29页第1题。)
5.7÷9
5÷8
6.64÷3.3 (4)跳起来摘葡萄。
循环小数0.48536536„„的小数部分第60位上的数是几?第100位上的数呢?
四、从质疑问难中，畅谈收获
通过这节课的学习，你有什么收获?或什么疑问?
<<角的平分线的性质>>教案
王彦坤
一.教学目标
1、知识与技能
(1)掌握用尺规作已知角的平分线的方法。 (2)理解角的平分线的性质并能初步运用。
2、过程与方法
学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。
3、情感态度与价值观
充分利用多媒体教学优势，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。
二.学情分析
刚进入初二的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学的意识和思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。
三.重点难点
教学重点为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。
难点为：(1)角平分线性质定理中，点到角两边的距离的正确理解;(2)对于性质定理的运用(学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明) 四. 教学活动
活动1：感悟实践经验，探索作已知角的平分线的方法 问题1：在纸上任意画一个角，怎样找到这个角的平分线? 问题2：用平分角的仪器可以平分一个角，你能说明其中蕴含的道理吗?
问题3：在画一个角的平分线时，这个仪器给了你什么启发吗?如何用尺规作图的方法，画已知角的平分线呢? 活动2：经过探究，猜想角的平分线的性质
问题1：让学生利用尺规，作任意角∠AOB的平分线OC。
问题2：在角平分线OC上，任意取一点P，过点P画OA、OB的垂线段，垂足分别为D、E。
动手测量PD、PE的长，并做好记录。你有什么发现?
问题 3：在角平分线OC上再任取几个点试一试，结论还是一样的吗? 问题4：图中点P到直线l的距离是什么?那么PD、PE的长可以看作是什么?
问题5：你能大胆提出猜想吗?
活动3： 经过推理，得到角的平分线的性质定理 问题1：上面的猜想出的命题一定是真命题吗? 问题2：命题中的已知和求证(题设和结论)是什么? 问题3：你能用数学语言表达已知和求证吗? 问题4：你可以证明这个命题吗? 问题5：回忆角的平分线的性质定理的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗?
问题6：角的平分线的性质定理作用是什么? 活动4： 运用性质定理，解决简单问题
(一)牛刀小试：
1、判断正误，并说明理由：
(1)如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF。
(2)如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF。
(3)如图3，P在∠AOB的平分线OC上，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm。
2、如图在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，AE+DE=_________。
(二)典例分析：
例1：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F。求证：∠B=∠C。
(三)拓展能力：
例2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
活动5 ：小结与作业 小结：
1、本节课你学习了哪些内容?
2、角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法?在应用此性质时应注意什么?
作业：课本51页第
1、2题
活动6【活动】活动6 ：设置疑问，为下节课铺垫
(想一想)如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路的距离与到铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉点的距离为500米。你认为应如何找出集贸市场的位置呢?(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)
角的平分线的性质
(一) 角的平分线的性质
(二)
角的平分线的性质
(一)
教学目标
1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理.
2.会用尺规作一个已知角的平分线.
教学重点
利用尺规作已知角的平分线.
教学难点
角的平分线的作图方法的提炼.
教学过程
Ⅰ.提出问题，创设情境
问题1：三角形中有哪些重要线段.
问题2：你能作出这些线段吗?
Ⅱ.导入新课
在学直角三角形全等的条件时有这样一个题：
在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB.MC与NC交于C点.
求证：∠MOC=∠NOC.
通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线.
受这个题的启示，我们能不能这样做：
在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC•与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了.
思考：这个方案可行吗?(学生思考、讨论后，统一思想，认为可行)
议一议：图中是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?
要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB.
∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了.
看看条件够不够.
所以△ABC≌△ADC(SSS).
所以∠CAD=∠CAB.即射线AC就是∠DAB的平分线.
由此，我们总结出作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：
①以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N.
②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C.
③作射线OC，射线OC即为所求.
议一议：
1.在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗?
2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗?
总结：
1.去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角平分线.
2.若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了.
3.角的平分线是一条射线.它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可.
4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.
探索活动
按以下步骤折纸
1.在准备好的三角形的每个顶点上标好字母;A、B、C;把角A对折，使得这个角的两边重合;
2、在折痕(即平分线)上任意找一点O;
过点O折AC边的垂线，得到新的折痕OD，其中，点D是折痕与AC的交点，即垂足;
4、将纸打开，新的折痕与AB边交点为E.我们由此得出：
角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
下面用我们学过的知识证明发现：
如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC.求证：OE=OD.
Ⅲ. 课时小结
本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质.
Ⅳ.思考
在一节数学课上，老师要求同学们练习一道题，题目的图形如图所示，图中的BD是∠ABC的平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学忽然兴奋地大声说：“我有个发现!”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法.他的方法是这样的，在AB上取点E，使BE=BC，然后画DE⊥AB交AC于D，•那么BD•就是∠ABC的平分线.
有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢?请你来说明理由.
角的平分线的性质
(二)
教学目标
1.角的平分线的性质.
2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.
3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.
教学重点
角平分线的性质及其应用.
教学难点
灵活应用两个性质解决问题.
教学过程
Ⅰ.创设情境，引入新课
拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么?把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么?
分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对.
Ⅱ.导入新课
如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?
PD、PE是否等长?
问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗?
[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等.
问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.
请填下表：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足.
由已知事项推出的事项：PD=PE.
于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?
问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠PDE=∠POD.
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上.
由此我们又可以得到一个性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这两个性质有什么联系吗?
分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换.
思考：
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处 500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)?
1.集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个问题?
2.比例尺为1：20000是什么意思?
结论：
1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点 500米处.
2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了. 1m= 100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中 1cm•表示实际距离 200m的意思.
作图如下：
第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.
第二步：在射线OP上截取OC= 2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了.
总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题.
III.例题
例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F.
因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上.
所以PD=PE.
同理PE=PF.
所以PD=PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
IV.课时小结
今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等;②到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了.像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等.
§13.3.2 角的平分线的性质
(二)
教学目标
(一)教学知识点
角的平分线的性质
(二)能力训练要求
1.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”. 2.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.
(三)情感与价值观要求
通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣.
教学重点
角平分线的性质及其应用.
教学难点
灵活应用两个性质解决问题.
教学方法
探索、归纳的方法.
教具准备
剪刀、折纸、投影片.
教学过程
Ⅰ.创设情境，引入新课
[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么?把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么?
[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对. [师]你的叙述太精彩了.这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题.
Ⅱ.导入新课
角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论.
操作：
1.折出如图所示的折痕PD、PE.
2.你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求.
画一画：
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长?
拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的.
第1页 共4页
[生]同学乙的画法是正确的.同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求. [生甲]噢，对于，我知道了.
[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象.
问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗? [生]角平分线上的点到角的两边的距离相等.
问题2：(出示投影片)
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.请填下表：
学生通过讨论作出下列概括：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足.
由已知事项推出的事项：PD=PE.
于是我们得角的平分线的性质：
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?(出示投影)
问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得
第2页 共4页 ∠PDE=∠POD.
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上. [师]这样的话，我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.同学们思考一下，这两个性质有什么联系吗?
[生]这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换. [师]对，这是自己的语言，这一点在数学上叫“互逆性”.
下面请同学们思考一个问题.
思考：
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)?
1.集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个问题?
2.比例尺为1：20000是什么意思?
(学生以小组为单位讨论，教师可深入到学生中，及时引导)
讨论结果展示：
1.应该是用第二个性质.•这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处.
2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了.1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表示实际距离200m的意思.作图如下：
第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.
第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了.
总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题. [例]如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
第3页 共4页
[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F.
因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上.
所以PD=PE.
同理PE=PF.
所以PD=PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
Ⅲ.随堂练习
1.课本P107练习.
2.课本P108习题13.3─2.
在这里要提醒学生直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等.
Ⅳ.课时小结
今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等;②到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性，可以看出，随着研究的深入，解决问题越来越简便了.像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等.
Ⅴ.课后作业
课本习题13.3─
3、
4、5题.
第4页 共4页
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人教版八年级上第十一章第三节 角平分线 教案
第2课时 11.3.
2角平分线(2)
【教学目标】：
1、知识与技能：
1、角的平分线的性质
2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”. 3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.
2、过程与方法：
灵活应用两个性质解决问题. 探索、归纳的方法.
3、情感态度与价值观：
通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣. 【教学情景导入】： 创设情境，引入新课
[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么?把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么?
[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对. [师]你的叙述太精彩了.这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题. 导入新课
角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论.
操作：
1.折出如图所示的折痕PD、PE.
2.你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求.
画一画：
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长?
拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的.
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[生]同学乙的画法是正确的.同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求. [生甲]噢，对于，我知道了.
[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象.
问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗? [生]角平分线上的点到角的两边的距离相等.
【教学过程设计】： 问题2：(出示投影片)
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.请填下表：
学生通过讨论作出下列概括：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足.
由已知事项推出的事项：PD=PE.
于是我们得角的平分线的性质：
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?(出示投影)
问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
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[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠PDE=∠POD.
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上. [师]这样的话，我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.同学们思考一下，这两个性质有什么联系吗?
[生]这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换. [师]对，这是自己的语言，这一点在数学上叫“互逆性”.
下面请同学们思考一个问题.
思考：
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)?
1.集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个问题?
2.比例尺为1：20000是什么意思?
(学生以小组为单位讨论，教师可深入到学生中，及时引导)
讨论结果展示：
1.应该是用第二个性质.•这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处.
2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了.1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表示实际距离200m的意思.作图如下：
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第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.
第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了.
总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题. [例]如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F.
因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上.
所以PD=PE.
同理PE=PF.
所以PD=PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
【课堂作业】
1、如图，直线L
1、L
2、L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有_______处.( )
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A.一 B.二 C.三 D.四
2、如图，一块三角形玻璃片碎成如图所示的三块碎片，•现要去玻璃店配一块完全一样的玻璃片，最省事的办法是( )
A.只带Ⅰ B.只带Ⅱ; C.只带Ⅲ D.只带Ⅰ、Ⅱ
3、如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB.
求证：AD=CD+AB.
4、△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB•上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长.请说明理由.
答案：
1、略解： •两外角平分线交点可有三个地址可选，三内角平分线交点可有一个地址可选，所以选D.
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2、解：利用全等三角形知识可知只带Ⅲ(ASA)，所以选C.
3、证明：过M作ME⊥AD，交AD于E.
因为DM平分∠ADC，
又因为∠C=90°.
所以MC=ME.
根据“HL”可以证得Rt△MCD≌Rt△MED，
所以CD=ED.
同理可得AB=AE.
所以CD+AB=ED+AE=AD.
即AD=CD+AB.
4、解：过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求.
因为∠C=90°，AC=BC，
又∵DE⊥AB，∴DE=EB.
∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB，
∴CD=DE.
由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△AED.
∴AC=AE.
∴L△BDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB =AC+EB =AE+EB =AB.
【教学反思】
今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等;②到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性，可以看出，随着研究的深入，解决问题越来越简便了.像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等.
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(二)
教学目标
1.角的平分线的性质.
2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.
3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.
教学重点
角平分线的性质及其应用.
教学难点
灵活应用两个性质解决问题.
教学过程
Ⅰ.创设情境，引入新课
拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么?把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么?
分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对.
Ⅱ.导入新课
如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?
PD、PE是否等长?
问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗?
[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等.
问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.
请填下表：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足.
由已知事项推出的事项：PD=PE.
于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?
问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠PDE=∠POD.
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上.
由此我们又可以得到一个性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这两个性质有什么联系吗?
分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换.
思考：
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处 500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)?
1.集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个问题?
2.比例尺为1：20000是什么意思?
结论：
1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点 500米处.
2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了. 1m= 100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中 1cm•表示实际距离 200m的意思.
作图如下：
第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.
第二步：在射线OP上截取OC= 2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了.
总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题.
III.例题
例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F.
因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上.
所以PD=PE.
同理PE=PF.
所以PD=PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
IV.课时小结
今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等;②到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了.像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等.
