在许多电路分析教材中, 对叠加定理论述后一般告诫读者:原电路的功率不等于按各分电路计算所得功率的叠加, 这是因为功率是电压和电流的乘积[1], 或曰:功率是电压或电流的平方, 是激励源的二次函数, 不可叠加[2]等等。我认为这些说法是不完善的, 电路中功率能否叠加是有条件的, 条件不同会有不同的结论。下面通过把线性电路中电源按频率分类可以看出, 利用功率叠加定理, 对功率可以进行叠加计算。本文只讨论线性电路情况。
在电路中, 可能有直流电源、正弦交流电源和非正弦周期性电源, 对非正弦周期性电源可以用傅氏级数展开, 分解为直流分量和各次谐波分量, 根据叠加定理, 这些分量可以认为是不同频率电源的组合。为了分析方便, 对各个电源按频率分类组合, 把频率相同的电源组成一个系统, 叫电源系。在线性电路中, 若由两个或两个以上电源系供电的电路叫多电源系线性电路。
功率叠加定理:在多电源系线性电路中, 所有电源同时作用时, 某等效电阻吸收的功率等于各个电源系分别作用时该电阻吸收的功率之和, 下面证明该定理。
虽然在定理的叙述中容许有任意数目和任意种类型的独立源, 但为了简单起见, 设有三个电源系S0、S1、S2作用于无源线性电路N0, 如图1所示。S0是由直流电源组成, S1是由频率为f1的正弦交流电源组成, S2是由频率为f2的正弦交流电源组成。N0内第K条支路的等效电阻为R。
当S0单独作用时, 通过R的电流为I0, R吸收的功率为P0=RI02;
当S1单独作用时, 通过R的电流为1i=Im1sin (ω1t+ψ1) , R吸收的功率为P1=RI12;
当S2单独作用时, 通过R的电流为i2=Im2sin (ω2t+ψ2) , R吸收的功率为P2=RI22;
当S0、S1、S2同时作用时, 根据叠加定理, 通过R的总电流是S0、S1、S2分别作用于电路时通过R电流的叠加, 即i=I0+i1+i2, (设参考方向一致) , R吸收的功率为:
判断电路中功率能否叠加计算, 关键看 (1) 式是否等于零。因为电路中不同频率的电源产生的电流或电压的频率也不同, 在某电阻上这些电流或电压的平均功率等于零, 即 (1) 式等零, 所以可以用功率叠加定理进行功率计算;假如上述各电源的频率相同, 若是直流, 则I0、i 1、i2频率相同, 使得 (1) 式不等零, 电路中功率就不能进行叠加计算。
当S1单独作用时, 等效电路如图4所示,
故由功率叠加定理得各电源同时作用时, R3吸收的功率为。
若电路是单一频率电源供电时, 还有一些特殊情况可以从原电路计算的功率等于按各分电路计算所得功率的叠加, 其中一个电路如图6所示[3]。R1=R2=2Ω, Us=2V, Is=4A, 当两电源同时作用时, 取参考点为o点,
对图6电路可以证明, 只要R1=R2时, P=P1+P2都成立。然而, 这只是一个特例。
对于多电源系线性电路而言, 因为, 不同频率的电源产生的电流或电压的频率也不同, 这些电流或电压在某电阻上的平均功率等于零, 所以, 这类电路可以应用功率叠加定理进行功率的叠加计算。
对于单一频率电源供电的线性电路而言, 只能说:原电路的功率一般不等于按各分电路计算所得功率的叠加。主要原因是, 电路各处电压或电流频率相同, 由不同电源的电压或电流在某电阻上构成平均功率不等零, 另外, 还有极少数功率是可以叠加的情况 (如图6电路) 。在单一频率电源供电的线性电路中计算功率时, 一般先计算出原电路中各支路电流或电压, 然后由它们再求出功率, 这是可靠方法。
摘要：本文深入讨论了线性电路中功率能否叠加问题, 通过对电源按频率分类, 提出功率叠加定理并进行了证明, 在多电源系线性电路中, 对功率可以进行叠加计算。而对于单一频率电源供电的线性电路而言, 原电路的功率一般不等于按各分电路计算所得功率的叠加。
关键词：叠加定理,功率叠加,多电源系,功率叠加定理
[1] 邱关源[主编].电路[M].北京:高等教育出版社, 1999 (4) .
[2] 石生[主编].电路基础分析[M].北京:高等教育出版社, 2003 (2) .
[3] R.E.斯科特[著], 郑翔, 等[译].线性电路[M].北京:高等教育出版社, 1965.
