在数学物理方程中, 根据常见物理模型, 可以建立求解的偏微分方程。如在很多物理实际问题中要遇到的拉普拉斯方程、泊松方程、波动方程、热传导方程等等。对偏微分方程求解的讨论, 有很重要的意义和运用。对不同的偏微分方程, 往往有不同的求解方法, 这要根据方程本身的特点而定。选取合适的方法不仅可以使问题简化, 有时候也能体现出方程背后更深层次的物理意义。理想弦的振动方程就是一个一维波动方程的特例, 本文将给出不同情况下的弦振动偏微分方程, 并对它们的求解给予一定的讨论。
无界弦的自由振动问题即是满足下面条件的偏微分方程[1]:
对于该偏微分方程, 我们可用类似常微分方程初始问题的解法, 先求出通解, 然后把初始条件代入通解, 以确定任意常数, 从而求得初始问题的解。
这便是一维无界弦的自由振动解的表达式, 称作达朗贝尔公式。由于对u没有任何限制, 只要一维波动方程有解, 解必由达朗贝尔公式给出, 且解是唯一的。
描述两端固定的有界弦的自由振动的混合问题:
对于该问题, 适合用分离变量方法进行求解。
第一步, 分离变量, 分析求一族满足泛定方程和边界条件的分离变量形式的非零特解, 可以先不估计初始条件。
第二步, 解固有值问题。
第三步, 写出级数形式解。
由于方程和边界条件都是线性齐次的, 故由叠加原理, 级数:
该问题的偏微分方程为:
该问题即求下面问题的解[3]:
综上所述, 我们总结了在不同情况下弦振动偏微分方程的求解, 根据不同情况做出了不同的弦振动偏微分方程求解方法。这对我们学习和巩固偏微分方程在物理学中的应用有很好的应用, 便于我们深刻理解物理问题, 也对我们的实际生活有一定的指导意义。
摘要：本文列出了不同情况下的弦振动问题的定解方程及其成立条件, 给出了不同情况下偏微分方程的求解方法, 对于我们的生活和学习有一定的指导意义。
关键词：数学物理方程,偏微分方程,弦振动,拉普拉斯变换
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