微分方程数值解法

微分方程数值解法（推荐12篇）

微分方程数值解法篇1

本课程既有数学上的严密性、逻辑性，又有数值计算的科学性，在数值分析中占有极其重要的地位。

双语教学是教育部积极倡导的一种教学模式，主要采用汉语和英语相结合的方式进行授课。

本文主要探讨该课程的双语教学模式，并对教学过程中出现的一些问题进行了思考。

关键词：微分方程数值解法双语教学有限差分法

微分方程数值解法就主要研究如何通过离散算法将连续形式的微分方程转化为有限维问题，如代数方程组，进而来求解其近似解[1]。

它以逼近论、数值代数等学科为基础，探讨有效的微分方程数值解法。

主要包括求解区域网格划分、离散方程的建立、方程性能分析、近似解收敛性分析等环节。

探索微分方程数值解法是有积极而重要的科学意义的，这是因为：(1)在实际应用中，我们只关心方程在某个范围内对应于某些特定的自变量的解的取值或近似值;(2)绝大多数情况下，无法找到方程的解析解，即使解析解存在也不一定能表示为显式解。

微分方程数值解法在计算物理、化学、流体力学航空航天等很多工程领域具有广泛的应用。

目前已发展成为一门计算技术学科，其核心理论内容也成为高校计算数学和应用数学等专业的核心基础专业课程之一[2]。

1 双语教学的必要性

现代社会的高素质专业人才不仅要具备扎实的专业知识，还须具备流利地应用英语进行沟通和交流的能力。

双语教学是教育部积极倡导的一种课堂教学模式，在公布的《关于加强高等学校本科教学工作提高教学质量的若干意见》中指出要“积极推动使用英语等外语进行教学”[3]，主要是在课堂教学过程中采用母语和以英文为代表的多种语言教学。

其目的就是为了跟上经济全球化的步伐和迎接科技革命的挑战。

对高新技术领域中的诸如信息技术、生物技术、金融、法律等专业，力争三年内，外语教学课程达到所开课程的5%～10%[3]。

，在教育部颁布的《关于进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见》中进一步要求高校要“以大学英语教学改革为突破口，提高大学生的国际交流与合作能力”，进一步明确了要“提高双语教学课程的质量并扩大双语教学的课堂数量”[4]。

可见，国家教育部门对高校采用双语教学给予了相当的重视和期望。

微分方程数值解法既有数学上严密的逻辑性、独特的理论结构体系，又在各种工程计算中有着重要的.应用，因此是联系纯数学理论和工程应用的桥梁和纽带。

另一方面，很多数值计算软件开发平台和帮助文件都是用英文开发的，而数值微分各种理论算法又可以直接用伪代码表示，如何对数学专业英语很娴熟，那么应用这些数值计算软件就得心应手，亦可以熟练与国际同行交流。

再者，该课程一般在高年级开设，通过大学两年的英语教学积累，大部分同学已经达到了大学英语四级水平，可以较容易的阅读数学专业文献。

同时，高年级的同学对数学基础理论知识，如数学分析、高等代数、数值分析、常微分方程、偏微分方程等有了较好的掌握，继续接受方程的数值解的概念和理论是顺理成章的事情。

因此，无论是实际工程需要还是学生自身素质，对微分方程数值解进行双语教学都是可行的、必须的。

本文拟结合重庆理工大学信息与计算科学专业课程的设置，对微分方程数值解法的双语教学模式进行探讨，以寻求适合我校数学专业课程的双语教学模式。

2 课堂教学模式探讨和上机实验

微分方程数值解法篇2

数学物理方程在科学研究和工程实践中都占有非常重要的地位, 但求解它的边值问题一般难度很大, 特别是在双曲型和抛物型微分方程的边值问题中, 第三边值条件的限定常常使得求解难度很大, 因此在科学研究及工程应用中时常寻找数值解法。然而在求数值解时, 通常必须进行编程计算完成大规模的递推关系, 这给应用中造成很大的不方便。在教学中深切感受到Excel表在数值计算中有着很大的应用潜能, 公式的复制十分突出地显示出它的递推运算优势, 可十分简便地处理一些复杂的递推关系的数值计算, 是一般应用软件无法比拟的[1]。同时, Excel对函数数值可做出非常直观的三维图像, 还可通过设置“控件”等多种手段改变图像的方位, 可以从不同角度来观察函数图像的特征, 这些操作简便、且运算和图像显示功能强大的优势为应用提供了很好的工具。下面通过用Excel表对典型的双曲型微分方程第三边值问题数值解的讨论, 给出用Excel求解这类边值问题的一般方法。

2双曲型微分方程的一般形式和差分格式

2.1双曲型微分方程的基本形式[2]

波动方程是典型的双曲型方程, 在区域G{0≤x≤1, 0≤t≤T}内函数u (x, t) 满足方程:

称为双曲型偏微分方程。

初始条件:

第三边界条件:

即双曲型微分方程第三边值问题的一般形式是:

其中f (x, t) , φ (x) , ψ (x) , α (t) , β (t) , φ0 (t) , φ1 (t) 都是已知函数。

2.2差分方程格式

要求方程数值解, 首先对区域G作网格分割, 取定h=Δx, τ=Δt, 在各节点 (xk, tj) ∈G上用u (x, t) 关于相应变量的一阶向前、向后或中心差商代替方程中相应变量的一阶偏导, 用二阶中心差商代替二阶偏导, 建立相应微分方程的差分方程, 并求解差分方程得数值解。在利用一阶向前、向后差商代替一阶偏导时较简单一些, 但得到的数值解的精度和稳定性较差些, 而用一阶中心差商代替一阶偏导时可得二阶精度数值解, 而且稳定性也好, 下面分别给出两种精度的差分格式[3]。

记uk, j=u (xk, tj) , fk, j=f (xk, tj) , φk=φ (xk) , ψk=ψ (xk) , αj=α (tj) , βj=β (tj) , s=τ/h。于是, 式 (1) 的差分格式为:

2.2.1一阶精度的差分格式

取网格分割为

在点 (xk, t0) 、 (x0, tj) 处利用向前差商逼而在点 (xN, tj) 处利用向后差商逼近这样得出初始条件式 (2) 的差分格式为:

即

得出第三边界条件式 (3) 的差分格式为:

于是关于双曲型微分方程第三边值问题式 (4) , 得到一阶精度的差分方程格式:

2.2.2二阶精度的差分格式

在x轴上拓展边界, 取网格分割为

在点 (xk, t0) 、 (x0, tj) 、 (xN, tj) 处利用中心差商逼近一阶偏导, 这样得出初始条件式 (2) 的差分格利用式 (5) 消去了uk, -1后为:

得出第三边界条件 (3) 的差分格式:

即

于是关于双曲型微分方程第三边值问题式 (4) , 得到二阶精度的差分方程格式为[4]:

可以利用式 (9) 或式 (13) 求双曲型微分方程第三边值问题式 (4) 的数值解。

3双曲型方程第三边值问题在Excel表上数值解法

问题1求解第三边值问题

对式 (14) 应用式 (13) 在Excel表上求数值解。对区域作网格分割, 取h=Δx=0.2, τ=Δt=0.1, 则m0=20, N=10, s=τ/h=0.5。

得式 (14) 的差分格式为[5]

在Excel表上按式 (15) 求数值解, 在Excel表 (图1) 上首先输入网格节点和初始条件值:

A列的A 2:A 22输入tj的值:0, 0.1, 0.2, …, 1.9, 2;

在第一行B 1, M 1输入xk的值:-0.1, 0.1, 0.3, 0.5, …, 1.9, 2.1;

第二行C 2:L2输入初始条件uk, 0=φk=φ (xk) 的值: (xk-1) 2-1;

B列的B 2:B 22输入边界条件u-1, j的值:即将B 2:”=1.5×C 2+0.5× (A 2-1) 2”复制到B 2:B 22;

M列的M 2:M 22输入边界条件uN, j的值:即将M2:”=1.5×L2+0.5× (A2-1) ^2”复制到M2:M22;

第三行的C3:L3输入由初始条件导出的 uk, 1 :

C3: “=-0.82+ ( (D1-1) ^2-2× (C1-1) ^2+ (B1-1) ^2) /8+ (C1-1) ^2 ”, 复制到C3:L3。

其次, 创建解的递推公式:

在C4输入公式 “=s2 (uk+1, j+uk-1, j) +2 (1-s2) uk, j-uk, j-1-s2h2fk, j”。

即 C4:“=0.5^2× (D3+B3) +2* (1-0.5^2) ×C3-C2-0.1^2×4”

将C4复制到C4:L22, 则在区域C2:M22内数据即为边值问题式 (14) 的数值解u (xk, tj) 的值, 如图1所示。将区域C2:M22的数据绘制成函数曲面图, 如图2。

问题2 [受压杆的振动]设长为l的杆, 两端受压从而长度缩为l (1-2ε) , 放手后自由振动, 记杆的位移u (x, t) , 则有边值问题[6]

对式 (16) 应用式 (9) 在Excel表上求数值解。取l=1, ε=0.01, 对区域作网格分割, 取h=Δx=0.1, τ=Δt=0.05, 则

$m_{0} = 20 ‚ Ν = 10 ‚ s = τ / h = 0.5 ‚ {\begin{cases} t_{j} = j τ = 0.05 j, j = 0, 1, 2, \dots, 20 \\ x_{k} = k h = 0.1 k, k = 0, 1, 2, \dots, 10 \end{cases}$

得式 (16) 的差分格式为[7]

在Excel表上按式 (17) 求数值解, 在Excel表 (图3) 上首先输入网格节点和初始条件值:

A列的A2:A22输入tj的值:0, 0.05, 0.1, 0.15, 0.2, …, 1.95, 2;

在第一行B1, L1输入xk的值:0, 0.1, 0.2, 0.3, …, 0.9, 1;

第二行C2:L2输入初始条件uk, 0的值:2*0.01* (0.5-xk) ;

B列的B2:B22输入边界条件u0, j的值 (=u1, j) , 即将B2:”=C2”复制到B2:B22;

L列的L2:L22输入边界条件uN, j的值 (=uN-1, j) , :即将 L2:”=K2”复制到L2:L22;

第三行的C3:K3输入由初始条件导出的 uk, 1=uk, 0:即将C3:”=C2” 复制到C3:K3;

其次, 创建解的递推公式:

在C4输入公式 “=s2 (uk+1, j+uk-1, j) +2 (1-s2) uk, j-uk, j-1-s2h2fk, j”

即 C4:“=0.5^2× (D3+B3) +

2* (1-0.5^2) *C3-C2”

将C4复制到C4:K22, 则在区域C2:L22内数据即为边值问题式 (16) 的数值解u (xk, tj) 的值, 如图3。将区域C2:L22的数据绘制成函数曲面图, 如图4。

上面只讨论了双曲型微分方程第三边值问题用Excel求数值解, 给出的方法也可应用于其他类似的方程求数值解问题, 该方法具有较高的应用推广价值。

摘要：通过求双曲型微分方程第三边值问题数值解的讨论, 给出了用Excel求双曲型微分方程第三边值问题数值解的一般方法。使得在理论和实际应用中普遍感到求解困难的这一问题, 用Excel表简单地操作可求其数值解, 大大简化了计算。所导出的方法也有助于在相关的科学研究和工程实践中更好地开发和利用Excel表的这些特殊功能。

关键词：双曲型微分方程,第三边值问题,差分,数值解,Excel表

参考文献

[1] (日) 涌井良辛.Excelで学ぶ统计解析.东京:株式会社ナッメ社, 2003

[2]谷超豪, 李大潜, 等.数学物理方程.北京:高等教育出版社, 2002

[3]孙志忠.偏微分方程数值解法.北京:科学出版社, 2005

[4]Kincaid, D.数值分析.王国荣, 俞耀明, 徐北亮, 译.北京:机械工业出版社, 2005

[5]陆金甫, 关治.偏微分方程数值解法.北京:清华大学出版社, 2004

[6]南京大学数学系.偏微分方程数值解法.北京:科学出版社, 1979

一阶微分方程的初等解法及应用篇3

摘要：随着常微分方程在实际生活中变得越来越重要，因此研究常微分方程的解题方法变得十分必要.本文主要介绍一阶微分方程的初等解法及其某些实际应用，初等积分法是一阶常微分方程最基本的解法，它主要在于把求解问题向积分问题转化，求解的表达式由初等函数或者超越函数表示，而能用这种方法求解的微分方程称为可积方程.本文就一般的可积方程进行归纳，由抽象到一般，总结出具体规律.

关键词：一阶常微分方程初等解法教学应用

一阶常微分方程是数学中常见而基础的一类微分方程，通常写成如下的形式：dy/dx+P（x）y=Q（x）（因为它对于未知函数及其导数均为一次的）.

如果Q（x）恒等于零，则方程称为齐次的；

如果Q（x）不恒等于零，则方程称为非齐次的.

一阶微分方程的解法技巧性很强，下面我将介绍一些简单的方法和其应用，如变量变换法，常数变易法，恰当微分方程的求法及一阶隐式微分方程的参数表示法.

一、分离变量法

如果一个一阶常微分方程能写成如下形式：

五、伯努利方程

像+P（x）y=Q（x）y这样的方程我们称之为伯努利微分方程，令u=y，有du=（1-n）ydy，代入得到+（1-n）P（x）u=（1-n）Q（x），下面的解法就与齐次微分方程一样了.

六、结语

一阶常微分方程的解法就是把微分方程的求解问题转化成为积分问题.然而对于给定的常微分方程，未必都恰好是本文所介绍过的几种类型，因此，在解一阶常微分方程时，不仅要准确判断它属于哪种类型，还需要注意解题技巧，再根据方程本身的特点，引出变换，将方程转化为我们所能求的类型.

参考文献：

[1]伍卓群，李勇编.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]周义仓.常微分方程及其应用[M].北京：科学出版社，2005.

[3]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].北京：高等教育出版社出版，2008.

[4]石瑞青，闫晓红，郭红建.常微分方程全程导学及习题全解[M].北京：中国时代经济出版社，2009.

《分式方程的解法》教学反思篇4

昨天设计这一节课时，我先讲解一个例题，并且说出解分式方程的思想编成一段文字，让孩子们记住，并且讲解难点――找最简公分母恶几种情况。然后让同学们练习。但就在昨晚入眠前的那一刻，我改变了主意。

这节课，我让孩子们先做三道典型的题目，由于我没有预先教孩子们怎么做，肯定困难重重，这又何妨呢?我让孩子们自己克服困难去琢磨书本的例题后再来解答例题，很多同学通过观察例题很规范的搞定书后的练习。同时黄杰，懿嘉，芊悦三名同学自觉上台来解答并板书后，让他们给全班讲解这三题的思路。最后当堂检测学习效果。

1、不要怕学生有困难，不要总是给学生理好思路，让孩子模仿;这一节课中，如果按照我先前的设计，可能很多同学都很快掌握，但孩子的学习能力没有实质性提高，没有深度体验到学习的快乐，成了训练的机器。所以这一节课中，让孩子自学，陈芊悦上台前根本就不会做这一题，但她大胆的.走上台，在台上临时学习，自行琢磨书上例题后解答出来最难的一道练习，相信她很有成就感。事实上，很多同学都能通过自学搞定。同时也暴露自己学习中的问题，让大家来帮忙。

2、让孩子们学会倾听;当同学在台上讲解时，下面的同学要仔细听，找到他讲解的漏洞，或者语言表达中的问题。然后提出自己的意见。这一点很多同学做到了，但还要强化少部分同学的这种能力。

3、什么内容适合学生讲解?并不是每一部分内容都适合讲解，同学讲解前，一定是所有的同学对问题有了深入的研究，有了自己的想法思路，然后和讲解者产生共鸣，这样的讲解才有效果。包括老师给同学讲解前也要遵循同样的道理，所以要先学后教。如果还有少数同学不懂，一定得借力周围的同学去把问题搞懂后再听台上同学讲解。

《一元二次方程解法》教学反思篇5

本节共分3课时，第一课时引导学生通过转化得到解一元二次方程的配方法，第二课时利用配方法解数字系数的一般一元二次方程，第3课时通过实际问题的解决，培养学生数学应用的意识和能力，同时又进一步训练用配方法解题的技能。

在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，因此在教学过程中及课后批改中发现学生出现以下几个问题：

在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加。

在开平方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方。

当一元二次方程有二次项的系数不为1时，在添项这一步骤时，没有将系数化为1，就直接加上一次项系数一半的平方。

因此，要纠正以上错误，必须让学生多做练习、上台表演、当场讲评，才能熟练掌握。

二、用公式法解一元二次方程教学反思

通过本节课的教学，使我真正认识到了自己课堂教学的成功与失败。对我今后课堂教学有了一定引领方向有了很大的帮助。下面我就谈谈自己对这节课的反思。

本节课的重点主要有以下3点：

1.找出a,b,c的相应的数值。

2. 验判别式是否大于等于03. 当判别式的数值符合条件,可以利用公式求根。

在讲解过程中,我没让学生进行(1)(2)步就直接用公式求根,第一次接触求根公式,学生可以说非常陌生,由于过高估计学生的能力,结果出现错误较多。

其实在做题过程中检验一下判别式着一步单独挑出来做并不麻烦,直接用公式求值也要进行,提前做着一步在到求根公式时可以把数值直接代入.在今后的教学中注意详略得当,不该省的地方一定不能省,力求收到更好的教学效果。

3、板书不太理想。板书可以说在课堂教学也起关键作用，它可以帮学生温习本课的内容，而我许多本该板书的内容全部反映在大屏幕上，在继续讲一下个内容时，这些内容也就不会再出现，只给学生瞬间的停留，这样做也有欠妥当。

4、本节课没有激情，学习的积极性调动不起来，对学生地鼓励性的语言过于少，可以说几乎没有。

三、分解因式法解一元二次方程的教学反思

教学时可以让学生先各自求解，然后进行交流并对学生的方法与课本上对小颖、小明、小亮的方法进行比较与评析，发现分解因式是解某些一元二次方程较为简便的方法。利用分解因式法解题时。很多同学在解题时易犯的错误是进行了非同解变形，结果丢掉一根，对此教学时只能结合具体方程予以说明，另外，本节课学生易忽略一点是“或”与“且”的区别，应做些说明。

对于学有余力的学生可以介绍十字相乘法，它对二次三项式分解因式简便。

微分方程数值解法篇6

本节课内容是在讲完一元二次方程的四种解法之后的一堂复习课，开始用四道小题引领大家复习四种解法的步骤，同学们大多数都能解出方程的解，但是，却不能口述解题步骤，还有些同学，计算错误，加上同学们很是紧张，所以，课堂前面显得耽误时间了。

后来我让学生在前面讲述做题过程和步骤，现在想想，好像这里没有必要！做完四道题后，进行小结，让同学们呢感受做题时简单的方法，在感受的同时进行小结，说明这四种方法的特点，然后，确定选择方法的先后顺序，再给出几道题，让同学们精挑细选，这里进行比较成功，让学生体会到简单的方法的美妙！最后，发展学生的发散思维，自主选择几道题，用你觉得更合适的方法进行解题！

关于一阶微分方程各类解法的研究篇7

一个微分方程, 首先应掌握方程类型的判别, 因为不同类型的方程有不同的解法, 同一个方程也可能属于多种不同的类型, 同时也有多种不同的解法, 我们则应该选择较易求解的方法.对于一阶微分方程, 通常可按照可分离变量的方程、一阶线性方程、齐次方程的顺序进行.

一阶微分方程的一般形式为F (x, y, y′) =0或y′=f (x, y) .其中最基本的类型是变量可分离的方程和一阶线性方程, 而齐次方程可通过变量替换也可转化为变量可分离的方程.

二、一阶微分方程变量可分离类型解法

1.一般变量可分离方程

一般的, 如果一个一阶微分方程能写成g (y) dy=f (x) dx (1) 的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含有y的函数和dy, 另一端只含有x的函数和dx, 那么原方程就称为可分离变量的微分方程.假定方程 (1) 中的函数g (y) 和f (x) 是连续的, 设y=h (x) 是方程 (1) 的解, 将它代入到 (1) 中得到恒等式g[h (x) ]h′ (x) dx=f (x) dx.将上式两端积分, 并由y=h (x) 引进变量y, 得

∫g (y) dy=∫f (x) dx.

设G (y) 及F (x) 依次为g (y) 和f (x) 的原函数, 于是有

G (y) =F (x) +C. (2)

因此, 方程 (1) 的解满足关系 (2) .反之, 如果y=H (x) 是由关系式 (2) 所确定的隐函数, 那么在g (y) ≠0的条件下, y=H (x) 也是方程 (1) 的解, 事实上, 由隐函数的求导法可知, 当g (y) ≠0时, $Η^{'} (x) = \frac{F^{'} (x)}{G^{'} (y)} = \frac{f (x)}{g (y)} .$

这就表示函数y=H (x) 满足方程 (1) .所以, 如果已分离变量的方程 (1) 中, g (y) 和f (x) 是连续的, 且g (y) ≠0, 那么 (1) 式两端积分后得到的关系式 (2) 就用隐式给出了方程 (1) 的解, (2) 式就叫做微分方程 (1) 的隐式解.又由于关系式 (2) 中含有任意常数, 因此 (2) 式所确定的隐函数是方程 (1) 的通解, 所以 (2) 式叫作微分方程 (1) 的隐式通解.

2.齐次方程

如果一阶微分方程可化成 $\frac{d y}{d x} = h (\frac{y}{x})$ 的形式, 那么就称为这样的方程为齐次方程.在齐次方程 $\frac{d y}{d x} = h (\frac{y}{x})$ 中, 引进新的未知数 $u = \frac{y}{x}$ , 就可以把它转化为可分离变量的方程求解, 然后把u代回, 便得所给齐次方程的通解.

三、一阶线性方程类型的解法

方程 $\frac{d y}{d x} + p (x) y = q (x) (3)$ 叫做一阶线性微分方程, 因为它对于位置函数y及其导数是一次方程.如果q (x) =0, 则方程称为齐次的;如果不等于零, 则称为非齐次的.

1.积分因子法

将上面一阶线性方程的两边同时乘以积分因子

u=e∫p (x) dx.

则上式改写为 $[e^{\int p (x) d x} y] ´ = q (x)$ e∫p (x) dx.

积分便可得到通解方程为

ye∫p (x) dx=∫q (x) e∫p (x) dxdx+C.

2.公式法

此方法过于固定, 适用场合有限, 有时需要自己分析处理转换后方可应用.根据非齐次方程的通解公式为

y=e-∫p (x) dx $(\int q (x) e^{\int p (x) d x} d x + C)$ ,

相应的齐次方程的通解为y=Ce-∫p (x) dx.

将相应的函数和数值带入, 即可得到方程的通解.

3.常数变易法

常数变易法是解一阶线性方程常用的方法, 先用分离变量法求相应的齐次方程的通解为y=Ce-∫p (x) dx. (4)

然后将C换成x的未知函数u (x) , 即作变换

y=ue-∫p (x) dx, 则 $\frac{d y}{d x} = u^{'}$ e-∫p (x) dx-up (x) e-∫p (x) dx.

将上式都带入原式 (3) , 得

u′e-∫p (x) dx-up (x) e-∫p (x) dx+p (x) ue-∫p (x) dx=q (x) .

即u′e-∫p (x) dx=q (x) , u′=q (x) e∫p (x) dx.

两端积分, 得u=∫q (x) e∫p (x) dxdx+C.

将此式代回 (4) 式, 即得到非齐次线性方程的通解为

y=e-∫p (x) dx $(\int q (x) e^{\int p (x) d x} d x + C) .$

改为两项之和形式

y=e-∫p (x) dx∫q (x) e∫p (x) dxdx+e-∫p (x) dxC.

由此可知, 一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.

四、变量交换型的解法

当一阶微分方程的形式如下

$\frac{d y}{d x} = \frac{h (y)}{p (y) x + q (y)} .$

则可通过改变自变量和因变量的方式来求解微分方程, 交换后得

$\frac{d x}{d y} = \frac{p (y)}{h (y)} x + \frac{q (y)}{h (y)} .$

这可以看作以y为自变量, x为因变量的一阶线性方程, 然后再用上面介绍的方法即可求出方程的通解.

5.结束语

本文介绍一些一阶微分方程各类解法的研究.文章开始我们主要介绍几类一阶微分方程类型, 主要基本的类型是变量可分离的方程和一阶线性方程两种, 然后分别对两种类型方程的求解作了详细叙述.其中变量交换型是属于特殊类型, 不怎么常见但方法比较固定.希望本文对一阶微分方程解法的研究, 对以后人们成功解决一阶微分方程问题起到一个很大的帮助.

一道空间直线方程例题的多种解法篇8

关键词:直线方程 ; 方向向量 ; 点向式方程; 两点式方程;垂足。

在空间解析几何教学中,学生解题是往往很难下手,不知怎么解题,这就说明学生对所学的知识掌握的不够熟练和灵活,知识能否灵活与综合运用是教师考察学生是否掌握所学知识的关键,一题多解是检验知识掌握的灵活熟练程度的重要环节,注重一题多解可以提高学生分析问题、解决问题、理解和掌握所学知识以及运用知识的能力,本文介绍一道空间直线方程的多种解法。

文[1 ]中有一道关于空间直线方程解法的例题:求过点 (2, 1, 3)且与直线垂直相交的直线方程.

分析因为点在所求直线上,所以只要求出所求直线的一个方向向量,代入直线的点向式方程

即可得到所求直线的方程。

解法1;(教材中解法)在所求直线上寻求异于的另外一点 (即垂足)的坐标,再求出所求直线的一个方向向量

先作一个平面过点且垂直于已知直线,则易知该平面方程为

即①

再求已知直线与平面①的交点,由于已知直线的参数方程为

②

将②代入① 解得 ,故交点为

于是所求直线的方向向量为 ,

故由直线的点向式方程得到所求的直线方程为

③

解法2:(利用两个向量的向量积求出所求直线的方向向量)

设是所求直线L的一个方向向量,已知直线为,可知的方向向量为。因为点在直线 ,所以设直线和向量所在直线确定的平面为 ,则平面的一个法向量为

因为,且, 所以且,于是可得

故得到所求的直线方程③.

解法3;(利用两个向量的数量积和向量积求出所求直线的方向向量)

由解法二可知且 ,所以有, ,

即

解得, ,故可取

因此同样得到所求的直线方程③.

解法4:(利用三个向量的混合积求出所求直线的方向向量)

因为所求的直线L、向量所在直线与已知直线共面,所以三个向量, ,的混合积为零,即

于是得 ④

又因为,所以 ,

即⑤

联立④,⑤解方程组得 , ,于是可取,

因而得到所求直线方程③.

这三种解法灵活运用了两个向量的向量积、数量积和三个向量的混合积等相关知识,巧妙地求出了所求直线的一个方向向量 ,然后代入直线的点向式方程得到所求直线的方程。显然这三种解法比解法1简捷、独到和新颖,但学生一般不易想到,解法1具有一般性。

下面我们从不同的角度求出所求直线上异于点的另外一点(垂足) 的坐标,然后代入直线的两点式方程即可得到所求的直线方程。

解法5:设所求直线与已知直线的交点(垂足)为 ,则所求直线的一个方向向量为,由于所求直线与已知直线垂直,所以有 , 即

即⑥

因为点在已知直线上,所以满足该直线方程,

即

令

得⑦

将⑦代入⑥ 得故点

再将、两点的坐标代入直线的两点式方程

并化简即可得到所求直线方程③

通过本例题的多种解法,不仅教给学生灵活使用多种求解直线方程的方法,更重要是巩固了学生所学的知识,训练了学生的思维,开拓学生的视野,培养学生的创新意识和探究精神。从而提高学生分析问题、解决问题和综合运用知识的能力。

参考文献

[1 ] 同济大学数学教研室.高等数(上册)[M].北京:高等教育出版社,1996,12: 429—430

[2 ] 郭永发,全生寅,赵延忠.高等数学简明教材[M].兰州:甘肃教育出版社,2003:21—22

[3] 王晓静,侍爱玲,张艳.一道空间解析几何习题的探讨[j].广西师范大学学报,2009,27(1):264—265.

[4] 朱鼎勋,陈绍菱.空间解析几何[M].北京:北京师范大学出版社,1983,5:19—35

微分方程数值解法篇9

《一元二次方程的解法》的教学反思

(1)一元二次方程是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型，引课时从生活中常见的“梯子问题”出发，根据学生应用勾股定理时所列方程的不同，引导学生对所列方程的解法展开讨论，进而获得开平方法。引课时力求体现“问题情境――建立数学模型――解释、应用与拓展”的模式，注重数学知识的形成与应用过程。

(2)如何配方是本节课的教学重点与难点，在进行这一块内容的`教学时，教师提出具有一定跨度的问题串引导学生进行自主探索;提供充分探索与交流的空间;在巩固、应用配方法时，从一元二次方程二次项系数为1讲到二次项系数不为1的情况，从方程的配方讲到代数式的配方与证明，呈现形式丰富多彩，教学内容的编排螺旋式上升。这既提高了学生的学习兴趣，又加深了对所学知识的理解。

微分方程数值解法篇10

知识点回顾：

定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

解法一 ——直接开方法

适用范围：可解部分一元二次方程

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)的方程，其解为x=m±√n

归纳小结：

共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=

转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）

2=p（p≥0），那么mx+n=，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解

自主练习：1：用直接开平方法解下列方程：

（1）x2225；（2）(x1)2

9；

（3）(6x1)2

250．（4）4(x2)2

810

（5）5(2y1)2

180；（61(3x1)264；（7）6(x2)2

41；

2.关于x的方程x29a212ab4b2

0的根x1，x2．

3.关于x的方程x2

2axb2

a2

0的解为解法二——分解因式法

适用范围：可解部分一元二次方程

因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。解下列方程．

（1）2x2+x=0（2）3x2+6x=0

上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:

2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：

（1）x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0

因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是：

（1）x=0或2x+1=0，所以x11=0，x2=-

2．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．

因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1．解方程

（1）4x2=11x（2）（x-2）2=2x-4分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次

式的乘积，•另一边为0的形式解：（1）移项，得：4x2-11x=0

因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0或4x-11=0

x111=0，x2=

（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0

（x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得x-2=0或x-4=0x1=2，x2=

4例2．已知9a

2-4b2

=0，求代数式aba2b2

baab的值．

分析：要求aba2bb2

aab的值，首先要对它进行化简，然后从已知条

件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比

较容易发生错误．

解：原式=

a2b2a2b2ab2b

∵9a2-4b2=0

∴（3a+2b）（3a-2b）=0

3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b当a=-23b时，原式=-2b

=3，当a=2b时，原式23=-3．

例3．（十字相乘法）我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．

（1）x2-3x-4=0（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0

上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．一：用因式分解法解下列方程：(1)y2

＋7y＋6＝0；(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；

(3)(2x－1)(x－1)＝1．(4)x2

＋12x＝0；

(5)4x2－1＝0；(6)x2

＝7x；

(7)x2

－4x－21＝0；(8)(x－1)(x＋3)＝12；

(9)3x2＋2x－1＝0；(10)10x2

－x－3＝0；

(11)(x－1)2

－4(x－1)－21＝0．

解法三——配方法

适用范围：可解全部一元二次方程引例：：x2+6x-16=0

x2+6x-16=0移项→x2+6x=16

两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9

左边写成平方形式 →（x+3）=25降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2=-8 像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方拓展题．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6

分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）

看为一个数y，那么（6x+7）=y2，其它的3x+4=6x+7）+

211，x+1=6x+7）26

-，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法． 6

1111y+，x+1=y-解：设6x+7=y则3x+4=

法．

可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．

配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．

用配方法解一元二次方程小口诀

二次系数化为一；常数要往右边移；一次系数一半方；两边加上最相当例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0（2）x2-2x-

=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．

例3．解下列方程

（1）2x2+1=3x（2）3x2-6x+4=0（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0

分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．

2266

依题意，得：y2（12y+12）（16y-

16）=6

去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72

y2（y2-1）=72，y4-y2=72

（y2-12）2=2894y2-1172=±2

y2=9或y2=-8（舍）

∴y=±3

当y=3时，6x+7=36x=-4x=-

当y=-3时，6x+7=-36x=-10x=-53

所以，原方程的根为x2

51=-3，x2=-3

例5.求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0.一元二次方程解法——因式分解、配方法

2013-7-14***（李老师）姓名：

（一）1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7

B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x2

31=5，x2=

5C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x两边同除以x，得x=

12．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（）．

A．0个B．1个C．2个D．3个

3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．A．-

12B．-1C．1

D．1 4．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．

5．方程（2x-1）

2=2x-1的根是________．

6．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________

；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．

8．用因式分解法解下列方程．

（1）3y2-6y=0（2）25y2-16=0

（3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0

9．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．

（二）1．配方法解方程2x2-

4x-2=0应把它先变形为（）．A．（x-13）2=89B．（x-221281210

3）=0C．（x-3）=9D．（x-3）=9

2．下列方程中，一定有实数解的是（）．

A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（x-a）22

=a 3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．A．1B．2C．-1D．-2 4．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）A．（x-2）2+3B．（x-2）2

．

-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-3 5．已知A．x2x2-8x+15=0-8x+（-4）2，左边化成含有=31B．x2x的完全平方形式，其中正确的是（-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2）．

-4x+4=-116．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．

A．1B．-1C．1或9D．-1或9 7．方程x2+4x-5=0的解是________． 8.方程x2



x10左边配成一个完全平方式，所得的方程是． 9．代数式x2x2

x21的值为0，则x的值为________．

10．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．

11．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数． 12．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________． 13．用配方法解方程．

（1）9y2-18y-4=0

（2）x2

（3）x2

x10（4）3x2

6x10

（5）(x1)22(x1)

14．如果x-4x+y2

（6）2x25x40 0

（4）x23x2（5）(2x＋3)－25＝0.（6）2x27x20（7）（x-1）=2x-2（8）6x2-x-2=0，求（xy）的值．

15.用配方法证明：

（1）a2

a1的值恒为正；（2）9x2

8x2的值恒小于0．

（3）多项式2x4

4x2

1的值总大于x4

2x2

4的值．

16.用适当的方法解下列方程

（1）x2

-4x-3=0（2）（3y-2）2

=36（3）x2-4x+4=0

（9）(3x+1)2=7

（11）4(x+2)2-9(x-3)2=0

（13）3x2

+1=2

x（10）9x2-24x+16=11

微分方程数值解法篇11

关键词：一元二次方程

我们都知道一元二次方程的解法有四种：直接开平方法、因式分解法、配方法和求根公式法。其中，直接开平法和因式分解法解一元二次方程的速度较快，正确率较高，但这两种方法只能对于特殊的一些方程才能采用。而配方法和求根公式法对所有的方程都能采用，但配方法对于二次项系数不为1，以及一次项系数较大，且不能被二次项系数整除的时候，就显出它的麻烦来了。所以，更多难解的方程需要靠求根公式来解，特别是在实际问题中，例如解应用题，有些数字并不容易凑好，所以在这种问题中的解方程更多的是靠公式法。而我在最近初三的教学中发现公式法也有特殊的利用法，可以使计算过程简单一些，下面我就针对实际问题来谈谈如何巧妙利用公式法。

实例1：某工厂第一季度生产机床400台，如果每季度比上一季度增长的百分数相同，结果第二季度与第三季度共生产了1056台机床，求这个百分数。

分析：这是一道增长率问题，等量关系是：第二季度产量+第三季度产量=1056。

解：设这个百分数为x，根据题意，得：

400（1+x）+400（1+x）2=1056

400[（1+x）+400（1+x）2]=1056

25（3x+x2+2）=66

25x2+75x-16=0

x2+3x-■=0

x=■=■

=■=■=■

即x1=■=■=■，x2=■=■=-■（舍去）

答：这个百分数为20%。

在上面这道题的解题过程中，我仍然利用的是求根公式，区别就在于将一次项系数尽可能减小，因为利用公式法时，我们都知道要计算出b2-4ac，在这里，b2-4ac=752+4×25×16=5741，不仅要花点时间，而且就算计算出来了，那么5741的算术平方根是多少呢？还需要去筛选一下，面对现在中考计算量较大的情况，哪有这么多的时间呢？而我这种方法不需要打草稿，完全可以口算出来，花的时间也较短。除了在增长率的问题中可以应用外，在其他问题中也可以适当应用，比如这一道。

实例2：有一间长20m，宽为15m的长方形会议室，在会议室的中间铺一块地毯，要求地毯面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，求留空的宽度。

■

分析：等量关系是：地毯面积= 会议室的面积。

解：设留空的宽度为xm，根据题意，得：

2（10-x）（15-2x）=10×15

（10-x）（15-2x）=5×15

（20-2x）（15-2x）=■×20×15

2x2-35x+75=0

■x2-7x+15=0

x=■=■

=■=■

即x1=■=■=15（舍去），x2=■=■

答：留空的宽度为2.5m。

此题和上一题差不多，在利用公式法计算b2-4ac时，出现b2-4ac=352-4×2×75这种较大的数字，计算的结果是1825，不仅要花点时间，且在求它的算术平方根时，还要费点功夫，所以我就直接减小b值，全部通过口算解决问题。当然，在减小b值时也可以除以7，或者直接除以35都可以的，关键在于如何能快速计算出b2-4ac的值，这还需要多练习练习，自己发现有何技巧。

按照我的方法，下面我们一起来做这两题，试一试：

1.某人购买了1000元债券，定期一年，到期兑换后他用去了440元，然后把剩下的钱又全部购买了这种债券，定期仍为一年，到期后他兑现得款624元。求这种债券的年利率。

解：设这种债券的年利率为x，根据题意，得：

[1000（1+x）-440]（1+x）=624

（560+1000x）（1+x）=624

40（14+25x）（1+x）=624

5（14+25x）（1+x）=78

5（25x2+39x+14）=78

125x2+195x-8=0

25x2+39x-■=0

■x2+13x-■=0

x=■

=■=■

即x1=■=■=■=4%，x2=■=■=-■（舍去）

答：这种债券的年利率为4%。

2．某科技公司研制成功一种产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，贷款的合同上约定两年到期时，一次性还本付息，利息为本金的8﹪。该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本息外，还盈余72万余。若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数。

解：设这个百分数为x，根据题意，得：

200（1+x）2-200（1+8%）=72

200（1+2x+x2-1.08）=72

200（x2+2x-0.08）=72

100（x2+2x-0.08）=36

100x2+200x-8-36=0

100x2+200x-44=0

50x2+100x-22=0

25x2+50x-11=0

5x2+10x-■=0

x=■

=■=■

即x1=■=■=20%，x2=■=■（舍去）

答：这个百分数为20%。

不知道你们做对了吗？这些是我在最近教学时的一些体会和收获，在自己班上教给学生这些方法时，学生也觉得对自己的解方程有很大的帮助，希望我的这些方法对你们也有一定的帮助。当然其中也有一些不足之处，还请大家多提意见。

总之，针对2009年本省中考的最后一题需要大量计算能力和技巧，希望大家在平时多练习，多发现，从而熟能生巧。计算，是做对题目的关键！

微分方程数值解法篇12

在《高等数学》课程中, 常微分方程的基本解法是课程的重要部分, 这部分内容的难点集中在二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法[1,2]. 笔者在教学中发现很多学生对这种方程的特解公式难以掌握, 又由于计算量较大, 许多学生即使掌握了求特解的公式, 但在计算待定系数时错误仍然较多. 例如求系数的代数方程列错, 或代数方程列对, 但结果求错.

本文介绍二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法, 归纳记忆特解公式的几个原则, 并提出求待定系数的简化公式法. 利用简化公式法, 更容易得到待定系数的代数方程.

2. 特解公式及其记忆原则

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为

其中p, q为常数, f ( x) 为非齐次项, 或称为自由项, 不恒等于0. 下面介绍f ( x) 为多项式、指数函数 ( 以e为底) 、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.

其解法是先求对应齐次方程y″ + py' + qy = 0 的通解Y, 再求方程 ( 2. 1) 的一个特解y* , 则 ( 2. 1) 的通解为y = Y +y* . 对于齐次方程的通解Y的求法, 本文不作介绍. 我们只介绍 ( 2. 1) 的特解y* 的求法.

对于f ( x) = Pm ( x) ekx的二阶常系数非齐次线性微分方程 ( 2. 1) , 可设特解为y* = xsQm ( x) ekx, 其中Qm ( x) 是和Pm ( x) 同次 ( m次) 的系数待定的多项式, s的取值为

对于f ( x) = eαx[Pm1 ( x) cosβx + Pm2 ( x) sinβx], 同样用待定系数法, 可设 ( 2. 1) 的一个特解为y* = xseαx[Ql ( x) cosβx + Rl ( x) sinβx],

其中l = max{ m1, m2} , Ql ( x) , Rl ( x) 为l次系数待定的多项式, s的取值为

求特解y* 的关键是如何正确设出y* 的形式. 初学者常常设错, 为此我们归纳设y* 的几个基本原则.

原则一: 与自由项形式相同原则

该原则是指, 当k或 α ± βi不是方程的特征根, 则所设特解y* 与自由项f ( x) 的形式相同.

例如, 若0 不是方程的特征根且f ( x) = x3+ 1, 则设y*=Ax3+Bx2+Cx+D;

若5不是方程的特征根且f (x) =4e5x, 则设y*=Ae5x;

若2不是方程的特征根且f (x) =e2x (x2-1) , 应设y*=e2x (Ax2+Bx+C) ;

若 ± 4i不是方程的特征根且f ( x) = sin4x, 应设y* =Acos4x + Bsin4x; 等等.

原则二: 乘以x或x2的原则

若k或 α ± βi为方程的单特征根, 则所设的特解中除了包含与自由项形式相同的部分, 还应乘以x; 若k或 α ± βi为方程的二重特征根, 则所设的特解中除了包含与自由项形式相同的部分, 还应乘以x2.

原则三: 叠加原理求特解原则

该原则是指: 若自由项较为复杂, 应将自由项拆成若干Pm ( x) ekx和eαx[Pm1 ( x) cosβx + Pm2 ( x) sinβx]的形式和, 从而将方程拆成若干个简单 ( 即自由项为以上两种情况) 的二阶常系数非齐次线性微分方程, 每个简单方程分别求出特解, 则原方程的特解即为这些简单方程特解的和.

例如, 若f ( x) = f1 ( x) + f2 ( x) 且f1 ( x) , f2 ( x) 都是Pm ( x) ekx或eαx[Pm1 ( x) cosβx + Pm2 ( x) sinβx]的形式, 则先分别对f1 ( x) , f2 ( x) 求出特解y1*, y2*. 利用叠加原理, 其和y1*+ y2*为f ( x) 的特解.

原则一和原则二说明, 方程 ( 2. 1) 的一个特解的形式常从自由项f ( x) 的形式推出. 从本质上讲, 这整个工作只不过是作一种巧妙的猜测, 其中包含足够多的待定系数供调配, 以适合各类函数的要求.

3. 求待定系数的简化公式法

设非齐次方程的特解y*的形式掌握后, 剩下的就是计算问题. 但由于计算量较大, 初学者错误较多, 一般错误集中在求系数的代数方程列错. 下面我们提出求待定系数的简化公式法, 利用该方法, 可更为便捷地计算待定系数.

假设方程 ( 2. 1) 的自由项f ( x) = G ( x) ekx, 其中G ( x) 是没有指数形式的x的函数. 设y*= H ( x) ekx为方程 ( 2. 1) 的一个特解, 其中H ( x) 是x的待定函数.

将y*= H ( x) ekx代入方程 ( 2. 1) 进行计算并消去ekx≠0, 得

要得到原方程的特解y*, 即要求出H ( x) , 而这只需比较 ( 3. 1) 左右两端的系数.

因此, 当我们设好了特解y*, 无须把y*代入原方程, 只要确定了y*中的H ( x) , 将H ( x) 直接代入 ( 3. 1) 式即可. 用公式 ( 3. 1) 的优点在于, 不需要把y*中的指数函数ekx代入原方程求导, 这极大简化了中间计算过程. 而且当k是方程的特征根, 还可以更加简单. 在计算时, 按照k可以分成三种情况:

( 1) 如果k是方程的二重特征根, 那么k2+ pk + q = 0 且2k + p = 0, 此时 ( 3. 1) 式简化为H″ ( x) = G ( x) .

( 2) 如果k是方程的单重特征根, 那么k2+ pk + q = 0, 但2k + p≠0, 此时 ( 3. 1) 式简化为H″ ( x) + ( 2k + p) H' ( x) =G ( x) .

( 3) 如果k不是方程的特征根, 那么k2+ pk + q ≠0 且2k + p≠0, 此时 ( 3. 1) 式不能简化.

例3 求微分方程y″ + 4y' + 3y = xe- 3x的通解.

一般解法: 特征方程r2+ 4r + 3 = 0, 解得r1= - 1, r2=- 3, 所以原方程对应的齐次方程通解为Y = C1e- x+ C2e- 3x.再求原方程的一个特解y*. 因为原方程自由项为f ( x) =xe- 3x, 而- 3 是特征方程的单根, 故可设特解形式为y*=xe- 3x ( Ax + B) , 其中A, B为待定系数. 将y*= xe- 3x ( Ax + B) 代入原方程. 为此, 需先计算

再将 ( y*) '和 ( y*) ″代入原方程, 得

化简, 得e-3x (-4Ax-2B+2A) =xe-3x,

亦即-4Ax-2B+2A=x.

由2A - 2B = 0, - 4A = 1, 得

所以原方程的通解为

可以看到, 设好特解y*后, 求 ( y*) '和 ( y*) ″的计算量很大. 下面我们利用公式 ( 3. 1) 的方法来进行计算.

简化公式法: 求对应齐次方程的通解Y和设原方程的一个特解y*= xe- 3x ( Ax + B) 与一般解法一样, 我们此处不再赘述. 下面我们来计算A和B. 为利用公式 ( 3. 1) , 先找出G ( x) = x, H ( x) = Ax2+ Bx, k = - 3, p = 4, q = 3. 因为k =- 3 是特征方程的单根, 故公式 ( 3. 1) 为H″ ( x) + ( 2k + p) H' ( x) = G ( x) ,

即2A+ (-6+4) (2Ax+B) =x,

亦即-4Ax+2A-2B=x.

接下来的解法与一般方法一样, 通过比较系数求得, 从而.所以原方程的通解为

4. 结论

从第3 节例子可以看到, 一般解法中将y*代入原方程的计算量往往非常大. 大部分学生都只能设出特解, 解不出待定系数或解出的结果有误.

利用简化公式法, 可以避开求 ( y*) '和 ( y*) ″的过程, 而是计算更简单的H″ ( x) , H' ( x) , 这将使计算量大为减少.在教学中我们发现, 采用简化公式 ( 3. 1) , 大部分学生都能算正确结果.

参考文献

[1]张效成, 刘克勤, 孙凤芝.高等数学 (下) [M].北京:北京邮电大学出版社, 2012:242-248.

[2]陈新明, 胡新姣.常系数线性非齐次微分方程的简单解法[J].大学数学2008, 3:156-159.

[3]赵志勇, 薛运华.高等数学习题课讲义 (下) [M].天津:南开大学出版社, 2008:190-194.

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