数学是自然科学研究和工程技术应用的重要工具, 在理工科院校中, 高等数学是一门非常重要的基础课, 是学生学好其他基础课和专业课程学习的基础[1]。高等数学还是理工科学生攻读研究生所必须参加的一门考试课, 在本科生学习中所占的学时多, 在研究生期间也是其他专业课学习的基础。该门课程十分抽象, 教学缺乏生动性, 很难做到教学互动, 学生学习普遍感到非常困难。
在国外, 很多知名高校都将数学软件引入到高等数学、线性代数和概率论等课程教学中, 通过实例分析、模拟仿真等来加强课堂所学理论知识[2]。
在我国, 应用计算机软件进行高等数学教学还处于起步阶段。在高等数学教学中引入数学将能很好弥补传统教学的不足, 提高教学效率, 激发学生主动学习的积极性, 为学生灵活应用数学知识解决专业问题打好基础[3]。
MATLAB是矩阵实验室 (Matrix Laboratory) 的简称, 是美国Math Works公司出品的商业数学软件, 用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。它和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。M A T L A B的基本数据单位是矩阵, 它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似, 故用M A T L A B来解算问题要比用C, F O R T R A N等语言完成相同的事情简捷得多。
M A T L A B简单易学, 学生不需要丰富的计算机编程基础知识, 稍加讲解就能上手。通过M A T L A B实验, 有利于学生对课本定义定理的理解, 培养学生学习数学的兴趣和数学应用意识。在教学中引入M A T L A B增强了学生使用计算机解决专业问题的能力, 提高了学生运用数学知识和计算机技术分析和解决实际问题的能力。
M A T L A B中包括大量的绘图函数, 直接调用这些函数可以方便实现高等数学中的函数图形的绘制, 形象生动地展示函数的各种特性。应用M A T L A B进行高等数学的计算机辅助教学, 能够使学生对图像有更直观的理解, 有利于极限、单调性、凹凸性、最值、多元函数性质、级数展开以及曲面和空间立体图形的教学;能使学生更加具体生动地了解所学理论知识, 培养学生的空间想象能力。
在高等数学中, 判断函数的单调性、极值和最值是学习其他内容的基础。对于一般的函数学生还比较容易理解, 但是对于多元函数或者高维函数, 学生普遍反映理解困难。如果能结合M A T L A B将这些图形生动地展示在学生面前, 将能大大提高其学习效率。
(1) 单调区间, 凹凸性和拐点。
从传统的角度分析该问题, 学生很难有直观的认识。我们可以编写如下程序, 将图形 (见图1) 直观展现在学生面前, 则问题迎刃而解。
MATLAB程序如下:
在结合图1的基础上, 上述问题就不难解答了。
(2) 隐函数和多元函数图像。
对于隐函数和多元函数, 学生普遍反映很难学习掌握, 而其中的难点就在于很难在头脑中构建这些函数的轮廓。通过MATLAB可以使学生对该类型函数有一个直观的认识。
例2:分析隐函数χ4+y4-64χy=0、椭圆抛物面函数z=χ2+y2和双曲抛物面z=χ2-y2的特点。
M A T L A B绘制图形命令如下:
ezplot%%绘制隐函数χ4+y4-64χy=0的图像, 见图2。
M A T L A B绘制图形命令如下 (图形见图3) :
subplot (1, 2, 1) , [x, y]=meshgrid (-10:0.2:10) ;z= (x.^2+y.^2) ;mesh (x, y, z) ;title ('椭圆抛物面') ;
%绘制椭圆抛物面函数z=χ2+y2的图像;
subplot (1, 2, 2) , [x, y]=meshgrid (-10:0.2:10) ;z= (y.^2-x.^2) ;mesh (x, y, z) ;title ('双曲抛物面') ;
%绘制双曲抛物面函数z=χ2-y2的图像
(3) 级数及其展开。
级数是高等数学中非常重要的内容, 关于常用函数的泰勒级数展开, 学生往往只能从公式上理解, 缺乏直观的认识。通过M A T L A B编程, 可以将不同级数的展开式在图形上反映出来, 以便学生更好理解。下面以函数y=eχ为例进行说明。
例3:分别y=eχ在χ=0处泰勒多项展开式的前1~3项, 并对这些级数进行比较。
MATLAB命令如下 (图形见图4) :
syms x;%定义符号变量
f=exp (x) ;a=0;%定义函数f
f1=taylor (f, 1, x, a) ;%计算泰勒多项展开式的前1项f1
f2=taylor (f, 2, x, a) ;%计算泰勒多项展开式的前2项f2
f3=taylor (f, 3, x, a) ;%计算泰勒多项展开式的前3项f3
ezplot (@exp) ;set (findobj (gca, 'Type', 'line', 'Color', [0 0 1]) , 'Color', 'black', 'Line Width', 2) ;hold on%绘制原始函数图形
ezplot (f1) ;set (findobj (gca, 'Type', 'line', 'Color', [0 0 1]) , 'Color', 'green', 'Line Width', 2) ;hold on%绘制f1函数图形
ezplot (f2) ;set (findobj (gca, 'Type', 'line', 'Color', [0 0 1]) , 'Color', 'red', 'Line Width', 2) ;hold on%绘制f2函数图形
ezplot (f3) ;set (findobj (gca, 'Type', 'line', 'Color', [0 0 1]) , 'Color', 'blue', 'Line Width', 2) ;hold off%绘制f3函数图形
legend ('f', 'f1', 'f2', 'f3') ;title ('泰勒级数展开图') %%进行标注
本文的所有源代码在MATLAB 2010a中调试通过。
M A T L A B强大的图像处理能力使复杂的函数图像和高维空间的函数关系能生动地体现出来, 使得高等数学教学更加具体和形象。在高等数学的教学过程引入M A T L A B软件进行图像处理使上课更加形象生动, 培养学生的空间想象能力, 能让学生能够更好地理解所学知识, 激发了学生的学习热情, 大大地提高了课堂效率。
在授课中引入M A T L A B程序设计方法讲解, 使学生对计算机编程有了初步的认识, 为学生将来的科研和工作打下了较好的基础。实践教学表明, 在高等数学多媒体教学中使用M A T L A B能明显增强教学效果。
摘要：针对传统高等数学教学枯燥、不直观等的缺点, 充分利用MATLAB软件在绘图功能上的优势, 应用MATLAB对高等数学中几种典型的图型问题进行分析, 并附以相关的程序和中间图形进行了演示, 教学实践表明MATLAB能有助于课堂的直观、生动, 提高学生学习高等数学的兴趣。
关键词：MATLAB,高等数学教学,建模仿真,绘图
[1] 薛定宇, 陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解[M].北京:清华大学出版社, 2004.
[2] 罗汉, 万中, 王利平.数学实验课程的内容体系及教学模式[J].数学理论与应用, 2001, 21 (4) :105.
[3] 朱汉敏.MATLAB用于《高等数学》的教学[J].计算机辅助工程, 2004 (2) :78～81.
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