矩阵理论是工科线性代数中的一个重要内容, 而逆矩阵是其非常重要并且是较难理解的一部分内容, 然而在许多线性代数教科书中逆矩阵相关知识点的应用几乎未涉及到, 以至于很多学生错误地认为所学东西没有多大用处。
为了使学生对所学逆矩阵有具体地, 形象地认识, 而不只是停留在抽象的概念, 结论的机械记忆上, 为了能让学生掌握逆矩阵的本质, 在实际教学中应多提及其实际应用例子或应用背景相关的例子。
本文介绍可逆矩阵在保密通信中应用。
保密通信是当今信息时代的一个非常重要的课题, 而逆矩阵正好在这一领域有其应用。我们可以用逆矩阵对所传递的明文消息进行保密措施后 (即密文消息) 发给接收方, 而接收方则可以采用相对应的某种逆运算将密文消息编译成明文。
设有矩阵方程C=AB, 其中B为明文矩阵, A为加密矩阵, 用加密矩阵与明文矩阵的乘积来对所发送消息实施了加密, 得到密文矩阵C。如果A为可逆矩阵, 则方程有唯一解B=A-1C, 其中A-1为A的逆矩阵。
例如:发送的明文是“send money”, 则首先可将明文用9个整数构成的矩阵来表示:
假设进行加密的矩阵A为:
则密文矩阵C为:
所以发送的消息为:31, 80, 54, 37, 83, 67, 29, 69, 50。
解密时, 采用下面矩阵乘法:
例如:针对上面的加密矩阵A, 因A可逆, 可得:
故明文矩阵为:
初等矩阵都是可逆的, 而且初等矩阵的乘积仍然是可逆的。因此, 通信中可以考虑利用若干个初等矩阵的乘积作为加密编码矩阵。它的生成方法如下:从单位矩阵出发, 反复运用第一类和第三类初等变换矩阵去乘它, 而其中的乘数k必须取整数。这样得到矩阵将满足A=±1, 而A-1也将具有整数元素。例如:上面例子中的可逆的加密矩阵A就是此方法可得。
例:小王的朋友给小王发来一封密信, 它是一个三阶方阵他们约定:消息的每一个英文字母用一个整数来表示:约定好的加密矩阵是试求小王的朋友发的密信内容。
解:试求密信内容, 先假设密信内容矩阵为X, 则:
可用matlab来求解此题, 易得满足题意的只有一个矩阵:
由英文字母与整数之间的对应关系即得密信内容为“I LOVE YOU”。
摘要：本文介绍了可逆矩阵在通信中的应用, 同时例举了具体的应用实例。
关键词：逆矩阵,通信,应用实例
[1] 同济大学数学系.工程数学.线性代数[M].北京:高等教育出版社, 2007.
[2] 熊小兵.可逆矩阵在保密通信中的应用[J].大学数学, 2007, 23 (3) :108～111.
[3] 陈怀琛, 高淑萍, 杨威.工程线性代数 (MATLAB版) [M].北京:电子工业出版社, 2007.
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