GPS测量技术的出现引起了测绘界一次新技术的革命, 由于GPS测量具有高精度、全球性、全天候等特点, 因此已被广泛应用到国民经济建设的各个领域。GPS的平面定位精度目前已达到毫米级, 可以满足工程建设中对平面位置的精度要求;GPS的高程精度对于20 km以内的短基线向量, 其高程分量的精度亦可以达到毫米级, 但GPS测高数据却没有像GPS平面成果那样被广泛应用, 这主要是因为GPS测量系统的测高数据为相对于椭球表面的大地高, 而在工程测量中, 地面点的高程通常采取的是相对于似大地水准面的正常高或者是相对于大地水准面的正高, 所以GPS高程只有经过高精度的高程异常改正才能应用于工程测量中。
(1) 通过参考椭球面为基准面的高程系统的为大地高。椭球面为基准面的大地高就是通过地面抹点的大地高 (H) 给定义为由地面点沿着改点通过的椭球法线到椭球面的距离。 (2) 通过大地水准面为基准面的高程系统的为正高。地面某点的正高 (Hg) 定义为由地面沿铅垂线至大地水准面的距离。
大地水准面至椭球面的距离为大地水准面差距 (N) :
(3) 正常高是以似大地水准面为基准面的高程系统。地面某点的正常高 (Hr) 定义为由地面点至似大地水准面的距离。
似大地水准面与椭球面之间的差距称为高程异常 (ξ) :
三个高程系统的关系如图1所示。
实际应用中的地面点高程是以似大地水准面为起算面的正常高, 而GPS高程是以WGS-84椭球面为基准的大地高。由前所述已知两者之间相差为高程异常ξ, 如 (2) 式。显然, 如果知道了各GPS点的高程异常ξ, 则可由各GPS点的大地高按 (2) 式反求得各点的正常高。
GPS水准就是在已获得大地高的GPS点上同时施测少量的几何水准点 (称这些点为已知点) , 按 (2) 式求出已知点的高程异常值, 再根据已知点的平面坐标和所求出的高程异常值, 采用数学拟合计算的方法, 拟合出测区内的似大地水准面, 从而据此解算出其它GPS点 (称这些点为待定点) 的高程异常值, 最后按 (2) 式反求出待定点的正常高。对于线性带状工程, 各GPS高程点的位置往往近似处于一条直线上, 当各点位于同一直线上时, 不能建立平面、曲面等面状拟合模型, 而当近似于直线时, 其面状拟合模型具有较大的不稳定性, 即当某点位置或高程有一些微小的变化时, 拟合的结果极不稳定。线性模型只顾及了纵向高程异常的变化而没有考虑横向的变化, 对带状区域其拟合高程比面状模型稳定, 适用于线性带状工程的GPS高程拟合。
针对线性带状工程的特点, 我们采用解析内插法来进行GPS高程的转换。本文主要论述多项式曲线拟合法和三次样条曲线拟合法。多项式曲线拟合法是用多项式曲线 (最小二乘曲线) 来拟合线性带状区域的高程异常模型, 并根据最小二乘原理来解算最优解的转换GPS高程方法。三次样条曲线的样条函数是一种连续和平滑的组合函数, 由三次多项式构成, 用来对高程异常值进行拟合。下面主要讨论用解析内插法进行线性带状区域的GPS高程转换的基本原理和方法。
插值点x0
区间[x0, xn]上y=f (x) 的三次样条插值函数S (x) 指的是满足下列三条件的函数。
(1) 在每一子区间[xj, xj+1]上S (x) 都是三次多项式。
(2) S (xj) =f (xj) =yj (j=0, 1, 2, ……, n) 。
(3) 在[x0, xn]上S (x) 有一至二阶连续导数 (保证曲线是光滑连接) 。
在子区间[xj, xj+1] (j=0, 1, 2, ……, n-1) 上
式中hj=xj+1—xj;mj=S′ (xj) 由下列方程组及边界条件确定:
计算时, 边界条件取自然边界条件, 即y0″=yn″=0
多项式曲线逼近 (曲线拟合的最小二乘法) 的一般原理是:设测点的ξi和ix (yi或拟合坐标) 存在如下函数关系:
根据最小二乘原理, 使节点处的残差Ri=ξi-ξi (x) 平方和为最小的条件下解出式 (3) 中的各系数, 即可按式 (3) 求出测线方向 (或方向线左右) 任一点的高程异程ξ值。
基本算法如下:
设已知n个数据点 (x i, y i) (i=0, 1, L, n-1) , 建立 (m-1) 次最小二乘拟合多项式:
其中mm≤n且m≤10。
设拟合多项式为各正交多项式Q j (X) (j=0, 1, L, m-1) 的线性组合:
其中Q j (X) 可以用以下递推公式来构造:
若设:
则:
可以证明, 由上述递推构造的多项式函数组
{Qj (x) } (j=0, 1, L, m-1) 是互相正交的。根据最小二乘原理, 可得
最后可以化成一般的m-1次多项式:
测区内的GPS测线共有10个GPS点, 平差后其平面点位误差均值为1.55 cm, 且各点均实测四等水准。
在计算时, 首先把GPS测线上的点旋转, 使GPS测线方向与y坐标轴大致相同, 然后以测线两端及中间的4个点为已知点, 用各点的y坐标值代入三次样条函数、最小二乘曲线拟合的计算公式进行计算, 求出6个待定点的高程异常及残差如表1所示。
从表中可看出, 各点的拟合残差均在5 cm以内, 而且两种拟合方法的拟合中误差, 分别为2.92 cm及3.02 cm。
由计算结果可知采用三次样条函数和最小二乘曲线拟合求出的GPS测线的高程异常值均较小, 可以满足工程的实际需要。三次样条函数的拟合结果仅略优于最小二乘曲线拟合的结果, 但二者相差不多, 这主要是因为测区的测线较短且高程异常值变化不大的缘故。然而当测线较长, 已知点多, 高程异常值变化大的时候, 按最小二乘曲线拟合解求的系数误差会增大, 拟合的高程异常值的误差有可能增大。如果进行整体拟合, 精度较低, 若分段拟合计算, 则分段点上将不连续, 也影响拟合精度, 为此, 采用三次样条曲线拟合的结果将会优于最小二乘曲线拟合的结果。
摘要：在介绍GPS水准原理的基础上, 论述了GPS测线高程拟合的两种方法, 即:三次样条函数拟合及最小二乘曲线拟合, 并根据实测资料应用这两种方法分别进行了计算分析, 结果表明最小二乘曲线和三次样条曲线拟合方法转换GPS高程的可行性和可靠性。
关键词：GPS水准,GPS测线,三次样条函数,最小二乘曲线拟合
[1] 陈俊勇.我国GPS水准网的布设及其精度的探讨[J].测绘学报, 1993, 22 (2) :1-4.
[2] 徐绍铨.拟合法求定GPS点的正常高[J].武测科技, 1992 (2) :12-18.
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