《一元二次方程的应用》教学设计
金水初中
朱健乐
一、教学目标：
a、知识与技能目标
（1）以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法。（2）通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会利用一元二次方程来解决有关利润问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程。
b、过程与方法目标
通过自主探索、合作交流等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识，激发学生学习热情。c、情感态度与价值观目标
使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学习活动中培养合作协助精神,增强国情教育，从而使学生获得成功的体验，建立自信心，更加热爱数学、热爱生活。
二、教学重点：
培养学生运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力，学习数学建模思想。
三、教学难点：
将同类题对比探究，培养学生分析、鉴别的能力。
四、教学内容：
问题1：如果每束玫瑰盈利10元，平均每天可售出40束.为扩大销售，经调查发现，若每束降价1元，则平均每天可多售出8束.如果小新家每天要盈利432元，那么每束玫瑰应降价多少元？
分析：本题是商品利润问题。解决这类问题必须明确几个关系：利润＝（售价－进价）×销售数量；
这是一个常规性的问题，只要结合生活常识稍加引导，学生不难找出等量关系，然后列方程解答。但是类似问题中，有时我们要对某些关键语句加以斟酌，或者讨论，才能得出结论。如： 问题2：
情急之下，小新家准备零售这批玫瑰.如果每束玫瑰盈利10元，平均每天可售出40束.为扩大销售，经调查发现，若每束降价1元，则平均每天可多售出8束.如果小新家每天要盈利432元，同时也让顾客获得最大的实惠.那么每束玫瑰应降价多少元？ 问题3：
小新家的花圃用花盆培育玫瑰花苗.经过试验发现，每盆植入3株时，平均每株盈利3元；以同样的栽培条件，每盆每增加1株，平均每株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，并尽量降低成本，则每盆应该植多少株？ 问题4：
某种服装,平均每天可销售20件,每件盈利44元.若每件降价1元,则每天可多售5件.如果每天盈利1600元,每应降价多少元?
问题5：
某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
引导学生积极参与探究、分析对比得出：问题1、3、4两题的两个答案都满足题意。问题2、5两题为尽快减少库存，只选取降价多的那个答案。学生进一步总结、归纳得出：若题中强调尽量减少库存或尽快减少库存，应只选取降价多的那个答案。若题中没有特殊要求，那么两个答案可能都满足题意（当然实际问题中不能取负）。
五、分层作业
1.必做题：作业本（复习题）
无论对哪一点知识的学习,都应从基础抓起,学生对应用题的畏难情绪实际上源自于对题目的不理解,简单的应用题背景较简单,语言较直接,容易使学生领会如何进行审题,但是销售问题因为存在众多的价格,就极易使学生产生混淆,所以必须学会理顺其中的量及他们之间的关系.如:
例1某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,在一定范围内,衬衫的单价每降价一元,商场平均每天可多售出2件.如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元,衬衫的单价应降多少元?
这道例题字数大约有100多个字,如果学生不善于从这100多个字中提取出有用的信息,就会干扰正常的做题思路,我在教学中,让学生通过反复阅读,把关键的、有用的信息画下来,最后发现仅有50个字不到(见例题中的划横线部分)在提取出关键信息后,还要学会分析这些信息的具体含义,如第一句含义为“20件的利润为40元”,第二句告诉我们“市场降价的目的”,这句话在决定最后的结果时会用到,第三句是本题的核心,说明“单价虽然低了一元,但是销售量却多出了2件,最后的利润还是有可能提高的”,最后一句话说明利润为多少,直接决定着最后的等量关系.
这样逐字逐句地引导学生来进行题目的分解,有利于帮助学生正确列出关系式,比如在学生跟着我读完例1后,我让学生尝试用同样的方法来阅读例2.
例2某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况,要使月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
学生很快就画出了题目中的重点信息,并且很快发现两个题目的不同,如果不去充分挖掘重点,而是一味地滥读,就不会提高解题的效率.所以列方程解应用题,弄清问题是关键,说到底,会不会读题是解决问题的首要条件.
二、列出基本式,教会学生如何审题
看到这里,可能大家会有所疑问:读题和审题有必要再分开来吗?我认为:如何读题和如何审题是有所不同的,读题要求是题目要看懂,审题的要求是题目要会解,会解题目就必须要列出方程,一般的方程应用题都是有它的基本式的,如行程问题中的基本式就是:路程=速度×时间.在销售问题中,基本式是:销售利润=销售量×单位利润,这里的销售量很好理解,单位利润就需要学生因题而异,搞搞清楚,一般来说,单位利润=单位售价-单位成本,比如例1中直接告诉我们降价之前的销售量和单位利润,降价之后的销售量和单位利润就可以在此基础上去变化,“降价1元,多卖2件”说明单位利润就减少1元,但销售量却增加了2件,这样在设出了衬衫的单价应降x元后学生很快列出了方程:(40-x)(20+2x)=1200.
在前面我们已经提到,学生在读完例2后发现两题有所不同,主要区别就是在单位利润上,第一题直接给出而第二题却绕了一下弯子,如果学生基本式很清楚的话,实际上很快就发现第二题涨价前的单位利润=单位售价-单位成本,即50-40=10,然后按照“销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克”去做变化,很快也会设出涨了x元,列出方程:8000=(10+x)(500-10x).
三、解出未知数,教会学生如何取舍
一元二次方程的应用题最后的结果往往是两个,到底最后符合题意的结果是几个,需要我们认真的进行取舍,当然前提是一定要按照解方程的步骤把方程解完,如果方程的两个解是一正一负,问题还不大,通常是把负值舍去,但如果出现两个正值,就需要进行权衡,如例1中最后的结果是10和20,就要根据我们画出的第二句关键语段来取舍,题目中说“为了扩大销售,增加盈利”,根据消费者的心理,当然是降价20元时销售量大了,所以应留20而舍10;而例2中的结果就不一样,因为题目中没有这样的限制,所以最后解出的两个结果10和30都符合题目的解.大部分同学认为,到此为止,两道题算是解完了,实际上并非如此,如果稍加注意,大部分同学会发现,例2所设的未知数并非要答的结果,因为题目问的是销售单价应定为多少,而我们设的是销售单价涨了多少,所以最后的售价应为50+10=60和50+30=80.可见,在读懂题目,列出方程后,如果在最后的结果上不小心弄错,那可就真是功亏一篑了.
四、提出新问题,教会学生如何拓展延伸
销售问题是一元二次方程中的重点,除了其数量繁多,关系复杂外,更因为其和二次函数的密切关系,所以在实际教学当中,如果仅限于解决当前问题就止步不前显然是不够的,在实际操作中,可以让学生主动去探索,去代入特殊值尝试,让他们去发现利润的最值问题,从而引出方程和函数的关系,引起学生的注意,为二次函数的学习埋下伏笔,这样就在学习中起到了承上启下的作用,从而进一步贯彻了新课标的精神.
关键词：初中数学；应用题；积极性
一、充分调动学生学习应用题的积极性，用所学知识解决身边的问题，让他们感到学有所用
黄金分割在生活中有大量的应用，它为美化生活、提高工作效率做出了较大的贡献，尤其是黄金比。上课时可以这样引入：同学们还记得黄金比吗？它是怎么求得的？引导学生用一元二次方程的知识加以解决。
例1：养鸭专业户李先生准备在一面临水的湖边滩地用100米长的竹篱笆围成一个矩形鸭场，如图所示，这个鸭场的面积是1250平方米。
试求：（1）这个鸭场的长与宽各是多少？
（2）用100米长的竹篱笆可否围出1500平方米的滩地鸭场？
通过解决这些问题，让学生感到所学知识可以解决身边熟悉的问题，从而调动他们学习数学的积极性。
二、一题多变，从多变中寻求不变
例2：新华都商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调查表明，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？每天应进多少台冰箱？
引导学生分清各种量，并寻找本题的主要等量关系：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=每天的销售利润，从而设未知数、列出方程、解方程、检验、答。学生是不难解决的。
本题表面上是一个销售问题，但从数量关系看它与工作效率×工作时间=工作总量，速度×时间=路程，长×宽=矩形的面积，等等实质一样，都是两个量的乘积等于第三个量，用式子表示为：A×B=C，如果将A、B、C赋予不同的含义，就可突破该例销售问题的界限，依照它给定的数量关系编出各种应用题。
如：某果园有一百棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量。试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个。如果要使产量增加15%，那么应多种多少棵桃树？
因为改编后的应用题等量关系未发生变化，所以学生在弄懂例题的前提下，能轻松解决。然后要求学生相互讨论，根据例题及改编的应用题，自编出其他类型的应用题。
让学生互相解編出的应用题，并不断修改、完善，然后把他们的应用题汇编成册。这样既让他们复习了所学的知识，也调动了他们学习的积极性，学生乐此不疲。
学生通过改编应用题，加上彼此的讨论、探讨，可收到举一反三、触类旁通的效果。学生会不同程度地体会到许多表象千差万别的应用题，从数学角度去看，它们的本质——等量关系是一致的，关键是认真分析应用题中的数量关系、等量关系，这才能使问题迎刃而解。紧接着再利用一个例题强化训练。
例3：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，减少库存，商场调查后发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天就多售出2件，若商场平均每天赢利1200元，则每件衬衫应降价多少元？
让学生通过解这道题，能更加熟练地解决这类应用题，同时明白：衬衫的销售利润不仅仅可以用“销价-进价”来表示，也可以用其他方式来表示，如用“原利润-上涨的价格”来表示，这样反而显得更简便。
再布置一道课后练习题，让学生能灵活运用所学知识解决类似的问题，增强解题能力。
某食品零售店为面包房代销一种面包，未售出的面包可退回面包房。从已统计的销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包的单价每提高1角钱，该零售店每天就少卖20个，考虑了所有因素后，该零售店每个面包的成本是5角。
设这种面包的单价为x角，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y角，（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数。（2）求y与x的函数关系式。（3）求此食品零售店每天获得利润为500角时，定价是多少？
三、一题多解，从多解中探究规律
对于例题2，能否直接设冰箱的定价为x元，或设每天应进y台冰箱呢？通过讨论，学生不难得出结论。
对应用题，寻求不同解法的过程，就是理清应用题中数量关系的过程。一道应用题，从不同的角度去思考，设出不同的x，列出不同的方程，有助于学生分清题中的量，哪些是已知，哪些是未知的，分清题目中的已知和未知这两类量之间的关系，从而能迅速、准确的解出应用题。为提高学生解应用题的能力，应在仔细分析其数量的基础上引导学生进行一题多设、一题多变、一题多解的训练。
在“一元二次方程的应用”的教学中，打破传统教学方法中的“类”的界限，进行整体教学的尝试，探索各类应用题之间的相互联系，在变中寻求不变，加深学生对列方程解应用题实质的理解，提高了学生分析、解决应用题的能力，也调动了他们学习应用题的积极性，取得了较好的效果。
（作者单位 福建漳平第二中学）
目标认知 学习目标：
(1)经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总
结运用方程解决实际问题的一般步骤.(2)通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.学习重点：
掌握运用方程解决实际问题的方法.学习难点：
建立方程模型.一、知识要点梳理
知识点
一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，或将一个量表示两遍，由此得到方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
答(切忌答非所问).知识点
二、数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位„„，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、„„，数位上的数字只能
是0、1、2、„„、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位
上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：
100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.知识点
三、平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：
平均增长率公式为a(1+x)n=b(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为a(1-x)n=b(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
知识点
四、利息问题
(1)概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率(税率是20%)
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-20%)]=本息和(收利息税时)
知识点
五、利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
知识点
六、形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.二、规律方法指导
1.利用一元二次方程解决实际问题，需注意把实际问题转化为数学问题，其关键是要找出等量关系.2.列一元二次方程解实际应用题的一般步骤和列一元一次方程与二元一次方程组解实际应用题的基本步骤相似.3.在总结答案之前对一元二次方程解的合理性进行检验.2 经典例题透析 类型
一、数字问题
1.两个连续奇数的积是323，求这两个数．
思路点拨：两个连续奇数相差2.解：设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1；依题意得：
(x-1)(x+1)=323
x2-1=323
x2=324
∴x1=18，x2=-18
当x=18时，18-1=17，18+1=19．
当x=-18时，-18-1=-19，-18+1=-17．
答：两个奇数分别为17，19；或者-19，-17． 举一反三：
【变式1】两个连续整数的积是210，求这两个数． 思路点拨：两个连续整数相差1.解：设较小的整数为x，则另一个整数为(x+1)
依题意得：
x(x+1)=210
x2+x-210=0
解之，得： x1=14，x2=-15
当x=14时，x+1=15；
当x=-15时，x+1=-14；
答：这两个数为14、15或-
15、-14.【变式2】已知两个数的和是12，积为35，求这两个数． 解：设其中一个数为x，则另一个数为(12-x)
依题意得：
x(12-x)=35
x2-12x+35=0
解之，得：
x1=5，x2=7
当x=5时，12-x=7；
当x=7时，12-x=5；
答：这两个数为5、7.2.有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数．
思路点拨：数与数字的关系是：两位数=十位数字×10+个位数字． 解：设个位数字为x，则十位数字为(x-2)，这个两位数为10(x-2)+x，依题意得：10(x-2)+x=3x(x-2)
整理，得： 3x2-17x+20=0
解之，得：x1=4，x2=
(不合题意，舍去)
当x=4时，10(x-2)+x=24
答：这个两位数为24.举一反三：
【变式1】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．
解：设原来的两位数的个位数字是x，则十位数字是(8-x)，原来的两位数为10(8-x)+x，依题意得：[10(8-x)+x][10x+(8-x)]=1855
化简得：x2-8x+15=0
解之，得：x1=3，x2=5
当x=3时，10(8-x)+x=53
当x=5时，10(8-x)+x=35
答：原来的两位数为53或35.类型
二、平均变化率问题
3.某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
思路点拨：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．•因为一月份是1万台，那么二月份应是(1+x)万台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即(1+x)+(1+x)x=(1+x)2万台，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．
解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，依题意得：1+(1+x)+(1+x)2•=3.31
去括号：1+1+x+1+2x+x2=3.31
整理，得：x2+3x-0.31=0
解得：x1=10%，x2=-3.1(不合题意，舍去)
答：二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为10%.举一反三：
【变式1】某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
思路点拨：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三个月的总营业额列出等量关系．
解：设平均增长率为x
则200+200(1+x)+200(1+x)2=950
整理，得：x2+3x-1.75=0
解得：x1=50%，x2=-3.5(不合题意，舍去)
答：所求的增长率为50%．
4.我国人均用纸为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出来的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．
(1)若我市2005年初中毕业生中环保意识较强的5万人，能把自己离校时的全部废纸送 4 到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？
(2)宜昌市从2001年初开始实施天然林保护工程，到2003年初成效显著，森林面积大约由1 374.094万亩增加到1 500.545万亩．假设该地区年用纸量的15%可以作为废纸回收利用，并且森林面积年均增长率保持不变，请你按宜昌市总人口为415万人计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市新增加的森林面积与因废纸回收利用所能保护的森林面积之和最多可能达到多少亩(精确到1亩)？
解：(1)5万名初中毕业生废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数为
5×104×10÷1 000×18÷80=112.5(亩)．
(2)设2001年到2003年初我市森林面积年均增长率为x，则1 374.094(1+x)2=1 500.545．
故x1=0.045=4.5%，x2=-2.045(舍去)．
所以2005年初到2006年初全年新增森林面积：
1500.545×104×(1+4.5％)2×4.5％≈737 385(亩)．
又全市回收废纸所能保护的森林面积最多为
415×104×28×１5％÷1 000×18÷50≈6 275(亩)．
新增森林面积和保护森林面积之和为：
737 385+6 275=743 660(亩)．
总结升华：此例不仅考查了同学们解答实际应用问题的能力，还对同学们发扬节约精神、增强环保意识起到潜移默化的作用． 类型
三、利息问题
5.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
思路点拨：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．
解：设这种存款方式的年利率为x
则：1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320
整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0
解得：x1=-2(不符，舍去)，x2=
答：所求的年利率是12.5%．
=0.125=12.5% 类型
四、利润(销售)问题
6.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?
思路点拨：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，•则每件平均利润应是(0.3-x)元，总件数应是(500+×100)5
解：设每张贺年卡应降价x元
则(0.3-x)(500+)=120
解得：x=0.1，x2=-0.3(不合题意，舍去)
答：每张贺年卡应降价0.1元．
举一反三：
【变式1】某超市将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500件．如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，假设超市为使这种商品每天赚得8 000元的利润，商品的售价应定为每件多少元?
思路点拨：本题中的不变量是每天赚得8 000元的利润．相等关系是：每件商品的利润×销售数量=8 000元．
解：设该商品的售价为每件(50+x)元，则每件商品的利润为[(50+x)-40]元，销售量为(500-10x)件．
根据题意，得[(50+x)-40](500-10x)=8 000．
解得x1=10，x2=30．
当x=10时，50+10=60(元)
当x=30时，50+30=80(元)
所以，每天要赚得8 000元的利润,这种商品的售价应定为每件60元或80元．
【变式2】某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每降价1元，每天可多销售5件，如果每天要盈利1 600元，每件应降价多少元？
思路点拨：设每件应降价x元，则根据题意，可得如下表格：
解：设每件服装应降价x元，根据题意，得
(44-x)(20+5x)=1 600，解得x1=36，x2=4．
答：每件服装应降价4元或36元．
【变式3】某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价(元)与产品的日销量(件)始终存在下表中的数量关系：
(1)请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量(元)与日销量减少的数量(件)之间的关系．
(2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到1 600元？
解：(1)由表格中数量关系可知：该产品每件售价上涨1元，其日销量就减少1件．
(2)设每件产品涨价x元，则销售价为(130+x)元，日销量为(70-x)件．
由题意，得［(130+x)-120］(70-x)=1 600，解得x1=x2=30，130+30=160(元)．
答：每件商品定价为160元时，每日盈利达到1 600元．
总结升华：随着市场经济的日益繁荣，市场竞争更是激烈．因此，“销售问题”还将是人们关注的焦点，还会被搬上中考试卷．这不仅较好地锻炼了学生分析问题、解决问题的能力，而且让同学们真正体会到数学的宝贵价值．值得说明的是，第(2)小题还可以用表格中其它两组数据列出方程，结果相同，同学们不妨试一试． 类型
五、形积问题
7.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米．现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
解：设这种运输箱底部宽为x米，则长为(x+2)米．依题意，得x(x+2)×1=15．
化简，得x2+2x-15=0．
解之，得x1=3，x2=-5(不合题意，舍去)．
所以这种运输箱底部长为5米，宽为3米．
由长方体展开图知，购买的矩形铁皮面积为
(5+2)×(3+2)=35(米2)．
故购回这张矩形铁皮要花35×20=700(元)．
总结升华：本题要深刻理解题意中的已知条件，弄清各数据的相互关系，布列方程，并正确决定一元二次方程根的取舍问题．解决此类问题要善于运用转化的思想方法，将实际问题转化为数学问题．
举一反三：
【变式1】一间会议室，它的地板长为20m，宽为15m，现在准备在会议室地板的中间铺一块地毯，要求四周没铺地毯的部分宽度相同，而且地毯的面积是会议室地板面积的一半，那么没铺地毯的部分宽度应该是多少？
思路点拨：本题的关键句是“地毯的面积是会议室地板面积的一半”，据此可得等量关系：地毯面积=会议室面积的一半．
解：设没铺地毯的部分宽为xm，则地毯的长为(20-2x)m，宽为(15-2x)m．根据题意，得
，解得x1=2.5，x2=15(不合题意，舍去)
答：没铺地毯的部分宽度应该是2.5m．
【变式2】某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
(2)如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
思路点拨：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，•渠底 7 为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．
解：(1)设渠深为xm，则渠底为(x+0.4)m，上口宽为(x+2)m.依题意，得：(x+2+x+0.4)x=1.6
整理，得：5x2+6x-8=0
解得：x1==0.8m，x2=-2(不合题意，舍)
∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．
(2)=25(天)
答：渠道的上口宽与渠底宽分别是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．
类型六、一元二次方程应用新题型
条件探求型
8.要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m．
(1)求鸡场的长与宽各是多少？
(2)题中，墙的长度a对题目的解起着怎样的作用？
思路点拨：第(2)小题着眼于作为条件出现的常数a，探索这一条件对题目的解有何影响，需根据第(1)小题的结果进行研究．
解：(1)设平行于墙的一边长为xm，则另一边的长为，根据题意，得
解得x1=15，x2=20．，当x=15时，；当x=20时，．
答：略．
(2)由题意可知：当a＜15时，此题无解；当15≤a＜20时，此题只有一个解；当a≥20时，此题有
两解．
方案设计型
9.某中学有一块长为am，宽为bm的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪．
(1)如图1，请分别写出每条道路的面积(用含a或含b的代数式表示)；
(2)已知a∶b=2∶1，并且四块草坪的面积之和为312m2，试求原来矩形场地的长
与宽各为多少米？
(3)在(2)的条件下，为进一步美化校园，根据实际情况，学校决定对整个矩形场地作如下设计(要求同
时符合下述两个条件)：
条件①：在每块草坪上各修建一个面积尽可能大的菱形花圃(花圃各边必须分别与所在草坪的对角线平
行)，并且其中有两个花圃的面积之差为13m2；
条件②：整个矩形场地(包括道路、草坪、花圃)为轴对称图形．
请你画出符合上述设计方案的一种草图(不必说明画法与根据)，并求出每个菱形花圃的面积．
解：(1)这两条道路的面积分别为2am2与2bm2．
(2)设b=xm，则a=2xm，依题意，得
x·2x-(2x+4x-4)=312．
整理，得x2-3x-154=0，解得x1=14，x2=-11(舍去)．
所以b=x=14，a=2x=28．
即矩形的长为28m，宽为14m．
(3)符合设计方案的一种草图如图2所示，其中四个菱形花圃中，第1个与第2个，第3个与第4个花圃 的面积分别相等．
设AE=x，则FB=14-2-x=12-x(m)，(m)．
依题意，得
解得x=7(m)．
．
所以大菱形花圃的面积为
(m2)，小菱形花圃的面积为
(m2)．
(注：其他符合设计方案的三种花圃见图3，图4，图5，同上法仍可求得大、小花圃的面积分别为45.5m2与32.5m2)9
学习成果测评 基础达标
一、选择题
1．某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%，若每年下降的百分数相同，则这个百分数为()
A．10%
B．20%
C．120%
D．180%
2．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为()
A．200(1+x)2=1000
B．200+200×2x=1000
C．200+200×3x=1000
D．200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
3．某商品计划经过两个月的时间将售价提高20%，设每月平均增长率为x，则列出的方程为()
A．x+(1+x)x=20%
B．(1+x)2=20%
C．(1+x)2=1.2
D．(1+x%)2=1+20%
4．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来
二、•三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是()
A．100(1+x)2=250
B．100(1+x)+100(1+x)2=250
C．100(1-x)2=250
D．100(1+x)2
5．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为()
A．(1+25%)(1+70%)a元
B．70%(1+25%)a元
C．(1+25%)(1-70%)a元
D．(1+25%+70%)a元
6．若两个连续整数的积是56，则它们的和是()
A．±15
B．15
C．-15
D．11
7．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共()
A．12人
B．18人
C．9人
D．10人
8．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为()
A．
B．
5C．
D．7
9．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是()
A．8cm
B．64cm
C．8cm
2D．64cm2
10．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，•则这个两位数为()
A．25
B．36
C．25或36
D．-25或-36
二、填空题
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______万kg，第三年的产量为_______万kg，三年总产量为_______万kg．
2．某糖厂2008年食糖产量为a吨，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2010年的产量将是
________．
3．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒
200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是_________．
4．一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是
_________．
5．某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了
20万人次．设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x，根据题意列出的方程是____________．
6．矩形的周长为，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．
7．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．
8．一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于160cm2，则这两个正
方形的边长分别为__________________．
三、解答题
1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2008年我省某地退耕 11 还林1600亩，计划到2010年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率．
2．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?
3．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花坛，要使花坛四周的平地宽度一样，则这个宽度为多少? 4．有一个两位数，两个数位上的数字之和是6，•这两个数位上的数字之积等于这个两位数的，求这个两位数．
能力提升
一、选择题
1．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％(即每100千克花生可加工成花生油50千克)．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为()
A．20％
B．30%
C．50%
D．120%
2．育才中学为迎接香港回归，从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树的年增长率相同，那么该校1997年植树的棵数为()
A．600
B．60
4C．595
D．605
3．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的宽比第一块的长少2m，长是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是()
A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长27m，宽16m；
B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长18m，宽10m；
C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长13.5m，宽7m；
D．以上都不对
4．某种出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3km都需付7元车费)；超过3km以后，每增加1km，加收2.4元(不足1km按1km计)，某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程()
A．正好8km
B．最多8km
C．至少8km
D．正好7km
二、填空题
1．某旅店底楼的客房比二楼少一间，各个房间住的人数同这层楼的房间数相同，现有36人，底楼都住
满，而二楼只剩下一间空房，则二楼的房间是______．
2．在一块长15cm，宽10cm的铁片的中间挖一个面积为36cm2的长方形的空间，且使剩下的四周一样宽，设这宽为x，则可得方程为_______________．
3．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，•且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小
4，设个位数字为x，则方程为________________．
4．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的
面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．
三、解答题
1．某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程．原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%．从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2．
求：(1)该工程队第一天拆迁的面积；
(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数．
2．某同学根据2004年江苏省内五个城市商品房销售均价(即销售平均价)的数据，绘制了如下统计图：
(1)这五个城市2004年商品房销售均价的中位数、极差分别是多少？
(2)若2002年A城市的商品房销售均价为1600元/平方米，试估计A城市从2002年到2004年商品房销售均价的年平均增长率约是多少？
3．常州春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 综合探究
1．某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30•节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里(包括50海里)范围内的目标．如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90海里，如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能，最早何时能侦察到?如果不能，请说明理由．
答案与解析 基础达标
一、选择题
1.B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.A 7.C 8.B 9.D 10.C
二、填空题
1.6(1+x)，6(1+x)2，6+6(1+x)+6(1+x)2； 2.a(1+x)2吨；
3.20%；
4.10%； ；
6.；
7.32cm；
5.8.12cm、4cm.三、解答题
1．解：设每年退耕还林的平均增长率为x，依题意，得1600(1+x)2=1936，解之，得x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合题意，舍)
答：每年退耕还林的平均增长率为10%.2．解：设多种x棵树，依题意，得(100+x)(1000-2x)=100×1000×(1+15.2%)，整理，•得•x2-400x+7600=0，解之，得x1=20，x2=380.答：应多种20棵或380棵桃树.3．解：设宽为xm，依题意，得(12-2x)(8-2x)=8
整理，得：x2-10x+22=0
(舍去)，x2=5-)m..解得：x1=5+
答：这个宽度为(5-
4．解：设两位数十位数为x，则个位数为6-x
依题意，得x(6-x)=
(10x+6-x)化简整理，得x2-3x+2=0 解之，得x1=1，x2=2 当x1=1时，6-x=5，此两位数为15 当x1=2时，6-x=4，此两位数为24 答：这个两位数是15或24.能力提升
一、选择题
1.A 2.D 3.B 4.B
二、填空题
1.5；
2.(15-2x)(10-2x)=36；
3.10(x+4)+x-4=(x+4)2+x2；
4.20m和7.5m或15m和10m
三、解答题
1．(1)1000m2；(2)20%．
2．(1)中位数是2534(元/平方米)；极差是3515-2056=1459(元/平方米)．
(2)设A城市2002年到2004年的年平均增长率为x，由题意，得
1600(1+x)2=2119．(1+x)2=1.324375，解之，得
(不合题意，舍)15
答：平均增长率约为15%．
3．解：设该单位这次共有
名员工去天水湾风景区旅游，因为，所以员工人数一定超过25人．可得方程
解得：．
当时，故舍去
当时，符合题意
答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游． 综合探究
1．能．解：设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰，依题意，得(90-30x)2+(20x)2=502
1、学生对例题的思考不够，虽然能听懂老师的思路，但是很快就忘记了，没有把老师的思路变成自己的思路。即使讲解完毕，也应该留出一定的时间让学生消化吸收。
2、课堂讨论流于形式化。学生讨论之前必须经过自己独立的思考，否则你一言他一语，即使讨论出来了孩子的思维仍然是不连续的，不利于孩子们逻辑思维能力的培养。举一反三比较困难。
3、学生利用数学知识解决数学问题的能力有待提高。首先表现为分析问题的能力差，可能源于缺乏相关联系。这肯定与孩子们的生活环境是分不开的，孩子们平时总是衣来伸手饭来张口，碰到任何问题都是父母帮助解决，自己却很少动脑筋思考问题。这种分析问题的能力在数学学习中是很需要的。
设问：已知一个数是另一个数的2倍少3，它们的积是135，求这两个数.
(由学生自己设未知数，列出方程).
问：所列方程是几元几次方程?由此引出课题.
(二)新课教学
1、对于上述问题，设其中一个数为x，则另一个数是2x-3，根据题意列出方程：
这是一个关于x的一元二次方程.下面先复习一下列一元一次方程解应用题的一般步骤：
(1) 分析题意，找出等量关系，分析题中的数量及其关系，用字母表示问题里的未知数;
(2) 用字母的一次式表示有关的量;
(3) 根据等量关系列出方程;
(4) 解方程，求出未知数的值;
(5) 检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤一样，只不过所列的方程是一元二次方程而非一元一次方程而已.
2、例题讲解
例1 在长方形钢片上冲去一个小长方形，制成一个四周宽相等的长方形框(如图111).已知长方形钢片的长为30cm,宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm,求这个长方形框的框边宽.
（三）分析：
(1)复习有关面积公式：矩形;正方形;梯形;三角形;圆.
(2)全面积=原面积 截去的面积 30
(3)设矩形框的框边宽为xcm,那么被冲去的矩形的长为(302x)cm,宽为(20-2x)cm,根据题意,得.
注意:方程的解要符合应用题的实际意义,不符合的应舍去.
例2 某城市按该市的.九五国民经济发展规划要求，的社会总产值要比1995年增长21%，求平均每年增长的百分率.
分析:(1)什么是增长率?增长率是增长数与原来的基数的百分比，可用下列公式表示：
增长率=
何谓平均每年增长率?平均每年增长率是在假定每年增长的百分数相同的前提下所求出的每年增长的百分数.(并不是每年增长率的平均数)
有关增长率的基本等量关系有:
①增长后的量=原来的量(1+增长率),
减少后的量=原来的量(1--减少率),
②连续n次以相同的增长率增长后的量=原来的量(1+增长率);
连续n次以相同的减少率减少后的量=原来的量(1+减少率).
(2)本例中如果设平均每年增长的百分率为x,1995年的社会总产值为1，那么
的社会总产值=
19的社会总产值= = .
根据已知,年的社会总产值= ,于是就可以列出方程:
3、巩固练习
p.152练习及想一想
补充：将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少?这时应进货多少?
(四)课堂小结
传统的教学法比较偏重理论的系统性, 往往对线性代数在其他领域的应用重视不够; 现行教材多重理论, 轻应用, 重公式推导, 轻数值计算, 教材大多忽略了概念, 原理和模型的实际意义. 往往学生学完线性代数这门课程后, 只会套用解题, 即“算数学”, 并不知道线性代数在哪些领域应用, 如何应用, 即“用数学”. 导致学生学习目的不明确, 为了应付考试而学习, 这不利于激发学生学习兴趣, 不利于培养学生创新能力和实践能力.
线性方程组是线性代数的核心, 行列式、矩阵、向量空间等都是为研究线性方程组创造的工具. 线性方程组广泛的应用于商业、经济学、社会学、生态学、人口统计学、遗传学、电子学、工程学以及物理学等领域, 大量实际问题都可以转换成线性方程组求解问题.
根据线性方程组的解的理论, 通常可用克莱默法则; 矩阵的逆以及更一般的将增广矩阵进行初等行变换的方法 ( 即高斯消元法) 求解. 本文将通过这几个方面给出线性方程组课堂教学的几个典型应用案例.
一、利用克莱默法则求解的应用案例案例1 “鸡兔同笼”问题
案例1“鸡兔同笼”问题
这是我国古代著名趣题之一, 记载于《孙子算经》之中.
问题设有若干只鸡和兔子, 它们共有88 个头, 244 只脚, 问鸡和兔各有多少只?
解设鸡和兔子各有x, y只,
案例2 在空间解析几何中的应用问题[1]
在解析几何中, 我们知道: 平面中建立了坐标系后, 一个二元一次方程就表示平面上的一条直线. 空间中建立了一个坐标系后, 三元一次方程表示一个平面. 因此线性方程组的理论在解析几何中有着重要的应用.
问题求通过空间不在同一直线上三点A ( x1, y1, z1) , B ( x2, y2, z2) , C ( x3, y3, z3) 的平面方程.
解设所求平面的方程为:
将上述三点坐标代入方程, 并和 ( 1) 合并得方程组:
( 2) 这是一个关于a, b, c, d的齐次线性方程组, 由于a, b, c, d不全为零, 即
方程组 ( 2) 有非零解, 故
( 3) 这就是通过空间不在同一直线上三点A ( x1, y1, z1) , B ( x2, y2, z2) , C ( x3, y3, z3) 的平面方程.
二、利用矩阵的逆求解的应用案例
案例3减肥食谱问题[2]
这是一种在20 世纪80 年代很流行的食谱, 是由Alan H. Howard博士领导的科学家团队经过八年对过度肥胖病人的临床研究, 在剑桥完成的, 称为剑桥食谱. 这种低热量的粉状食品精确地平衡了碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪、配合维生物、矿物质、微量元素和电解质. 近年来, 数百万人应用这一食谱实现了快速和有效的减肥.
设三种食物脱脂牛奶、大豆粉和乳清每100 克中蛋白质、碳水化合和脂肪的含量如下表.
问题如果用这三种食物作为每天的主要食物, 它们的用量应各取多少, 才能全面准确地实现这个营养要求?
解设x, y, z分别表示这些实物的数量 ( 以100 克为单位) , 则它们的组合所具有的营养应达到减肥所要求的每日营养量, 故
将对应的方程组的增广矩阵进行初等行变换得:
这样就能保证所需的综合营养量.
案例4生产总值问题[1]
一个城市有三个重要的企业: 一个煤矿, 一个发电厂和一条地方铁路. 开采一元钱的煤, 煤矿必须支付0. 25 元的电费来驱动它的设备和照明, 还需支付0. 25 元的运输费.而生产一元钱的电力, 发电厂需支付0. 65 元的煤作燃料, 自己亦需支付0. 05 元的电费来驱动辅助设备及支付0. 05元的运输费. 而提供一元钱的运输费, 铁路需支付0. 55 元的煤作燃料, 0. 10 元的电费驱动它的辅助设备. 某个星期内, 煤矿从外面接到50000 元钱煤的订货, 发电厂从外面接到25000 元电力的订货, 外界对地方铁路没有要求. 问这三个企业在那一个星期内生产总值多少时才能精确地满足它们本身的要求和外界的要求?
解对于一个星期的周期
x1表示煤矿的总产值; x2表示电厂的总产值; x3表示铁路的总产值.
根据题意, 得
则上式写为: X - CX = d即 ( I - C) X = d,
因为系数矩阵行列式I - C = 0. 62875≠0, 根据克莱默法则, 此方程组有唯一解, 其解为:
得煤矿总产值为102087 元, 发电厂总产值为56163 元, 铁路总产值为28330 元.
这是宏观经济学中投入—产出模型中的开式模型. 投入—产出模型是哈佛大学教授瓦西里·列昂惕夫 ( Wassily Leontief, 1906 - 1999) 于1949 年夏末提出的. 并由此诞生了研究宏观经济学的投入- 产出法, 它是列昂惕夫的杰出创作, 编制投入- 产出表、建立相应的线性代数方程体系, 就能综合分析和确定国民经济各部门之间错综复杂的联系, 分析重要的宏观经济比例关系及产业结构等基本问题. 总之, 投入- 产出模型就是用数学形式体现投入产出表所反映的经济内容的线性代数方程组. 列昂惕夫由于从事“投入产出分析”, 于1973 年获得第五届诺贝尔经济学奖, 他的一生研究是数学在经济领域里应用的最好典范.
三、利用高斯消元法求解的应用案例
案例5百鸡问题
该问题记载于我国古代算书《张邱建算经》中. 百鸡问题是中国古代解一次不定方程的整数解一种方法, 导致三元不定方程组, 其重要之处在于开创“一问多答”的先例, 这是过去中国古算书中所没有的.
问题: 今有鸡翁一, 值钱伍; 鸡母一, 值钱三; 鸡刍鸟三, 值钱一. 凡百钱买鸡百只, 问鸡翁、母、刍鸟各几何? 答曰: 鸡翁四, 值钱二十; 鸡母十八, 值钱五十四; 鸡刍鸟七十八, 值钱二十六. 又答: 鸡翁八, 值钱四十; 鸡母十一, 值钱三十三, 鸡刍鸟八十一, 值钱二十七. 又答: 鸡翁十二, 值钱六十; 鸡母四, 值钱十二; 鸡刍鸟八十四, 值钱二十八.
解设公鸡、母鸡、小鸡分别为x, y, z只, 由题意得:
可求得符合题意的四组不同的整数解:
如果不考虑问题的实际背景, 由于这个三元一次方程组中有两个方程、三个未知数, 那么它有无穷多组解.
案例6 交通流量问题[3]
某城市有两组单行道, 构成了一个包含四个节点ABCD的十字路口, 如图1, 在每个进出口都记录有单位时间内进出该路段的流量 ( 每小时的车流数) . 试问每两个节点之间路段上的交通流量是多少?
解决此问题可假设: 每两个节点之间路段上的交通流量为:
D→A: x1, A→B: x2, B→C: x3, C→D: x4.
且假设针对每个节点, 进入和离开的车流数相等, 则由已知条件可建立四个节点的流通线性方程组:
上面线性方程组有无穷多个解:
此时方程组有无穷多组解, 表明: 如果有一些车围绕十字路D→A→B→C绕行, 流量x1, x2, x3, x4都会增加, 但并不影响出入十字路口的流量, 仍然满足方程组.
案例7 化学方程式配平问题[2]
化学方程式描述了化学反应的物质消耗和生产的数量. 例如, 当丙烷气体燃烧时, 丙烷 ( C3H8) 与氧 ( O2) 结合生成二氧化碳 ( CO2) 和水 ( H2O) , 按照如下形式的一个方程式:
为了“配平”这个方程式, 需要适当的选择其中的x1, x2, x3, x4, 使得方程式两边的碳、氢和氧原子的数量分别相等 ( 因为在化学反应中原子既不会被破坏, 也不会被创造) .
配平化学方程式的一个系统方法是建立描述一个化学反应中每一种类型的原子的数目的一个向量方程. 由于方程式包含三种类型的原子 ( 碳、氢、氧) , 给上式的每一种反应物和生成物构造一个属于R3的向量, 列出每个分子的组成原子的数目如下:
要配平方程式, x1, x2, x3, x4的系数必须满足:
将右边项移到等式左边 ( 修改第三和第四个向量的符号) 得到:
将方程组的增广矩阵进行初等行变换得到通解:
因为化学方程式的系数应为整数, 取x4= 4, 则x1= 1, x2= 5, x3= 3, 配平的方程式为:
如果方程式中的每个系数乘两倍的话, 该方程式也是配平的. 然而在一般情况下, 人们更倾向于使用全体系数尽可能小的数来配平方程式.
总之, 线性方程组的应用非常广泛, 小到“鸡兔同笼”问题, 大到国民经济“投入产出”问题, 从“减肥食谱”问题到“化学方程式配平”问题等等. 教师在讲授线性方程组理论时, 可从实际问题出发, 通过对实际问题的分析引入线性方程组, 再从解决实际问题的需要, 运用矩阵相关理论, 可使用数学软件解决实际问题. 这样, 一方面能让学生认识到学习线性方程组理论的重要性和必要性, 另一方面能让学生了解运用数学知识解决实际问题的基本过程, 培养学生应用数学知识解决实际问题的能力. 当他们了解到现实中许许多多实际问题与复杂线性方程组的联系时, 就能认识到学习线性代数的必要性.
摘要：线性方程组是线性代数的核心, 但是传统的教学法重理论、轻应用, 不利于激发学生学习兴趣.本文从求解线性方程组的不同方法入手介绍线性方程组课堂教学的几个典型应用案例, 培养了学生运用数学知识解决实际问题的能力.
关键词：线性方程组,克莱默法则,矩阵的逆,高斯消元法
参考文献
[1]归行茂, 曹冬孙, 李重华.线性代数的应用[M].上海:上海科学普及出版社, 1994.
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[3]白梅花.线性方程组若干应用实例举例[J].科技资讯, 2011 (27) 200.
[4]曹铁川等.应用线性代数[M].大连理工大学出版社, 2011.
[5]李尚志.从问题出发引入线性代数概念[J].高等数学研究, 2008 (9) 6-15.
一、通过方程解法与算术解法的比较，让学生了解方程解法的优势
刚开始接触学列方程的时候，学生仍用已掌握的算术解法，對列方程解法很不适应，会更倾向于算术解法，但是有些题是必须通过方程解法来得出答案的，所以让学生适应，然后灵活运用方程解法显得尤为重要。因此，在教学过程中就需要老师通过例题，培养学生分别用算术解法和列方程解法进行分析解答的能力，探索出两种方法的特点，比较两者之间的差异，最后让学生认识到方程解法的优越之处。不断地进行训练，从而使学生逐步适应并熟练掌握方程解法，逐步做到从算术解法到列方程解法的过渡，并且让学生看到从算术方法到方程解法的进一步推进。事实上，算式法和解方程是相同的，但算式的得出是从要求的数值反推回去，是把未知量放在特殊的位置，用已知量求出未知量，是逆向思维的，这样难于思考，而且一次性地计算出问题的结果来，学生也难以做到；而方程的解法是利用未知数x将有关的量用含未知数的式子表示出来，然后依题意列出方程，最后将未知数求出来，由执果索因的分析法，是顺向思维，便于思考，易于列出关系式。
二、培养学生列解方程式的能力
让学生适应方程式的方法解题之后，就要探讨如何让学生更好更准确地列出方程式，就是要培养学生熟练地游走于未知数和已知数中间。简单来说，首先要训练学生对数学语言与代数方程式之间的编码和解码。这种互译的训练方法可以使得列方程解应用题更加容易，快捷。
例如：（1）用数学语言叙述下列代数式：
①9x-27②6×12-30x
（2）用代数式表示下列数量关系
①x与40.5的和，②22与y的差
其次，反复训练学生将日常生活中表达的语言“翻译”成方程的形式。当然如果把日常生活用语“翻译”为方程，还是要以数学语言为中介的，不然所有的“翻译”也就毫无意义。比如：比如：“儿童漫画比趣味童年的4倍少19本”先翻译为数学语言“比某数的4倍少19”，再翻译为代数式，“4x-19”。这样的训练就是使学生能够真正理解每个方程的实际意义，这不仅是学习解方程式应用题的前提，也是提高学生将实际问题与抽象数学公式链接能力基础。
三、帮助学生寻找等量关系，提高解题能力
列方程解应用题的关键就在于寻找数量关系式，在教学过程中，教师要引导学生根据题意寻找合适的等量关系，从而建立相应的等式，那么解应用题接可以迎刃而解了。例如：“甲为x，乙是甲的2倍少6.5，乙是多少？”，这样的问题来引导学生寻找简单的等量关系，因为学生能够准确地找出题目中“是”，也就是“等于”的意思这样的判断句式，学生根据这一等量关系来解题就轻而易举了。可以说任何应用题中的等量关系都是由这些基本的关系构成的。那么教师在教学过程中，要引导学生在理解题意的基础上，对数量关系要有一定的了解，才能够根据等量关系来列方程解应用题。同时还可以从常见数量关系中寻找等量关系，如：路程=时间×速度，工作总量=工作效率×时间，总价=单价×数量等等，经常性的复习一些常见的等量关系，有利于学生列方程时寻找等量关系。
四、培养学生设未知数的能力
在应用题中，特别是遇到未知量较多的应用题时，如果能够准确地设出未知数，就会给列方程带来很大便利。如果一道题只有一个未知数那就很好设未知数，一旦遇到一道应用题可能会有几个未知数同时存在但是只能够设一个未知数，选择哪个未知数来设方程式显得尤为重要。而且设未知数也是列方程解应用题的第一步，一般来讲解应用题有两种设未知数的方法：
1.直接设未知数
根据题目里问的问题，直接以问题设未知数。这样设未知数，对于得出问题的答案就很直接，只要得出方程的解就可以。对于小学数学的应用题来说，基本都是采用直接设未知数法来解决问题的。
例如：红红今年9岁，红红的爸爸今年28岁，几年后父亲的年龄是女儿的年龄的2倍. 这道题就可直接设x年后父亲的年龄是女儿的年龄的2倍来解：
x+28=2（x+9）
2.间接设未知数
一些题目中，若采用直接设未知数法，会给列方程增加麻烦。如果采用间接设未知数法，即通过间接的桥梁作用，达到求解的目的。如按比例分配问题，和、差、倍、分问题，整数的组成问题等均可用间接设未知数法。间接设未知数的具体做法是设一个不是问题的未知数为“x”，然后用含有字母的代数式来表示所问的未知量，求得未知数的值后，再求出表示未知量的整式的值，最后回答问题。
总之，列方程解应用题是小学数学教学的难点，教师在教学过程中要重视培养学生的整体发散思维，锻炼学生的数学思维，培养其良好的思维习惯，从而能够运用所学的数学知识构建方程来解决生产和日常生活中的实际问题。
浅谈列一元一次方程解应用题的教学
摘要： 本文分析出七年级学生学“列一元一次方程解应用题”难的原因，指出突破的方法，教会学生根据实际问题巧设未知数的方法。
关键词： 一元一次方程解应用题难点突破技巧
列一元一次方程解应用题，既是七年级上学期数学的重点，又是教师教学的难点，并且是运用初中数学知识解决实际问题的重要素材，它对于培养及提高学生的思维能力和分析能力具有重要的意义。那么，怎样才能使七年级的学生学好“列一元一次方程解应用题”呢？
在教学中，教师要理论联系实际，结合学生的实际来解决问题。用代数法处理一些实际问题对于七年级的学生来说确实有点难度，究其原因是以前很少接触，这一点主要表现在以下四个方面：
1.学生不习惯利用代数法来处理问题，还停留在小学的算术解法上；
2.抓不住相等关系。有些应用题中“能够表达应用题全部含义的相等关系”比较隐蔽，从题目字面上较难找出来，需要认真分析关键词语，细心揣摩，有时还要借助图形分析才能找出，这确实对七年级的学生来说，难度比较大，所以他们时常感到无从下手；
3.即使找出相等关系，也不能顺利地列出代数式及方程；
4.当问题中含有不只一个未知量时，由于审题、分析能力较差，不知道该选择哪一个未知量作为未知数才简单。
通过这几年的实际教学经验，笔者就此谈谈自己在教学中突破这些的方法。
一、要让学生感觉到代数解法的优越性
初列方程，对学生来说确实不适应，这就要求教师在教学中运用例题对算术法和代数法作比较，找出两种方法的特点，让学生认识到代数解法的优点，反复训练，使学生逐渐体会到代数法的妙处。
例如：把一些图书分给某个班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本，如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？
算术法：（20+25）/（4-3）=45（人）
这对一般学生来说，是很难做到的。
代数法分析：设这个班有x名学生，共分出3x本，加上剩余20本，这批书共有（3x+20）本，每人分4本，需要4x本，减去缺的25本，这些书共有（4x-25）本。
等量关系：第一种分法书的总量=第二种分法书的总量
解：设这个班有x名学生，根据题意得
3x+20=4x-25
解得：x=45.
答：这个班有45名学生。
二、教会学生自己寻找相等关系
列方程解应用题一般有五步：弄清题意，找出能够表示应用题全部含义的相等关系，设出未知数进而列出方程，解这个方程，答。其中最关键的一步是正确找出“能够表示应用题全部含义的相等关系”.
在应用题中，相等关系主要有两类：一类是题目给出条件的等量关系，如教材中的“等积变形”问题，“行程”问题等，可按事物发展的顺序来找等量关系。
如：将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？
这是一个典型的等积变形问题，不管锻压前还是锻压后，总有下面的等量关系：
锻压前的体积=锻压后的体积
另一类是可在事物之间的内在联系中找到相等关系，如“工作问题”D“浓度问题”等就要在问题的内在联系中去找等量关系。
如：要把150克浓度为95%的硫酸溶液加水稀释成35%的稀硫酸溶液，需要加多少水？
这一问题中，由于是在原来的.硫酸溶液中又加入一部分水，虽说总重量和浓度都变了，但是纯硫酸（溶质）的重量却没有变，于是即有下面的相等关系：
加水前纯硫酸的重量=加水后纯硫酸的重量
三、列方程解应用题常用的分析方法
1.代数式法
用代数式将题目中的数量及数量之间的关系表示出来，找到相等关系，列出方程。如：“数字”问题，“和、差、倍、分”问题等多运用这种方法。
2.图示法
有些问题可以用示意图表示出题目中的条件及它们之间的关系，这类问题可以通过画出图形，可由图中有关基本量的内在联系找到相等关系，列出方程，如行程问题、等积问题多运用这种方法。
3.表格法
我们可将题目中有关数量及其关系填在设计的表格中，然后根据表格逐层分析，由各量之间的内在联系找到相等关系，列出方程，如“日历中的方程”问题、“浓度配比”问题及其它条件较多的题目多运用这种方法。
四、指导学生掌握设未知数的技巧和方法
应用题中，如果未知量特别多时，我们若能巧妙地设未知数，可以给列方程带来很大方便。设未知数是列方程解应用题的第一步，对含有多个未知量而又只允许设一个未知数的问题时，选择适当的未知量设为未知数直接关系到列方程的难易程度。一般来说，有两种设法：一种是直接设法，就是题目怎样问，就怎样设。这种方法主要用于简单的问题中，如：小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后每周树苗长高约5厘米，大约几周后树苗长高到1米？这个问题就宜采用直接设法；另一种是间接设法。有些问题，若采用直接设法，会给列方程增加麻烦，就采用间接设法。如一个两位数，各位上的数字之和是7,若把它们十位上的数字与个位上的数字对换，所得的两位数比原来的两位数大27,求这个两位数？此问题就应选用间接设法。
总之，列方程解应用题虽然是七年级教学中的一个难点，但是，只要我们认真分析，具体问题具体对待，就一定能掌握列一元一次方程解应用题的方法和技巧。
授课教师：
2014年月日
一、教学目标：
（一）知识与技能：
1、培养学生列二元一次方程组解决实际问题的意识，并进一步提高学生解方程组的技能；
2、进一步体会方程和方程组是刻画现实世界的有效数学模型。
（二）过程与方法：
1、使学生掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤，让学生亲自经历和体验运用方程（组）解决实际问题的过程；
2、进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的抽象、概括、分析解决实际问题的能力。
（三）情感态度价值观：
培养学生的合作意识，在现实情境中，使学生感受到数学思想的运用与解决实际问题的联系，提高学生解决问题的能力和自信心，进而让学生体会数学的价值。
二、教学重难点：
1、重点：根据实际问题找出等量关系并列出二元一次方程组。
2、难点：（1）读懂古算题;
（2）根据实际问题找出等量关系并列出二元一次方程组。
三、教学方法：
自主发现法，让学生在教师的引导启发下对问题进行分析，然后组织学生自主交流讨论，探索方程建模的过程，从而培养了他们敢于面对挑战和勇于克服困难的意志。
四、教学过程：
师：同学们，刚才我们已学习了二元一次方程组的一种解法即代入消元法，下面我们运用所学的知识一起来研究一个有趣的数学题目。
生1（迫不及待地）：老师是什么问题啊？
师：同学们，《孙子算经》是我国南北朝时期一部重要的数学著作。是我国古代《算经十书》之一，许多问题浅显有趣。其中“鸡兔同笼”流传尤为广泛，它还漂洋过海流传到了日本等国呢！
师：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
意思是：有若干只鸡和兔在同个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？同学们你们会解吗？
【同学们一阵思考讨论后】
生2：老师，我会解。（用小学算术方法求解）
生3：老师我有另外的解法。（学生用一元一次方程求解）
【学生小组讨论非常激烈】
生4：用今天所学的二元一次方程组的方法，这个问题就更容易解决了。设鸡有x只，兔有y只，则根据题意有：
x+y=35,①
2x+4y=94.②
用代入消元法解这个方程组得x=23,y=
12.师：同学们的解法都很好，特别是生4的解法，他把我们今天所学的知识都应用进来了，使我们更容易理解。那你们知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？
【学生们流露出迫切想知道的神情】
师：原来孙子提出了大胆的设想。他假设砍去每只鸡和每只兔二分之一的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，而每只兔就变成了“双脚兔”。这样，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚就由94只变成了47只；而每只“鸡”的头数与脚数之比变为1：1，每只“兔”的头数与脚数之比变为1：2。由此可知，有一只“双脚兔”，脚的数量就会比头的数量多1。所以，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与他们的头的数量之差，就是兔子的只数。
生5：孙子真伟大啊，《孙子算法》真棒！
师：孙子的这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。
生6：老师，什么是化归法啊？
师：化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。我现在问你们一个问题：今天我们的方程组是怎么来解的啊？
生7：用代入消元法啊。就是先把方程组变形，使得一个未知数能用含另一个未知数的代数式表示，然后把它代到另一个方程，变成一个一元一次方程来解。
师：对，我们今天学习的是用代入消元法来解二元一次方程组的。它的数学思想就是把二元一次方程组转化为我们已很熟悉的一元一次方程，而一元一次方程我们很容易解决。其实代入消元法的思想就是孙子的化归法啊。只不过我们发现用今天的二元一次方程组来表示，更清楚明了罢了。
生：8原来我们今天的解法的思想我们祖先早就会运用了啊。真了不起！
师：是啊，我们祖先用他们的聪明才智创造了世界奇迹。《孙子算法》中还有一个很著名的数学问题，它的发现比西方要早很多，那个问题的推广及解法被称为中国剩余定理，它在近代抽象代数中占有非常重要的地位。希望同学们能够学习先人，努力学习，争取创造更多的“中国定理”哦！（同学们鼓掌，出现了本节课的又一个小高潮）
【同学们热情高涨】
师：同学们，老师现在还有一题类似的题目，有没有兴趣再来解一下啊？！
生（争前恐后地举手）：想！
师：今有牛五，羊二，直金十两。牛二，羊五，直金八两。牛羊各直金几何？
【本节课气氛非常好，学生的积极被极大地调动，在解决本节教学问题的同时，有效而又无痕地渗透了德育。正所谓的“润物细无声”啊！】
五、总结：
1、通过本节课的教学，进一步丰富了学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识；
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