相似三角形的性质 教案

相似三角形的性质 教案（通用15篇）

相似三角形的性质 教案 篇1

教学目标

1、经历探索相似三角形性质的过程，并会运用相似三角形的性质解决有关的问题。

2、通过探索相似三角形性质的过程，渗透逻辑推理的方法，引导学生从直观发现向自觉说理过渡，从而获得发现问题、解决问题的经验，发展了学生的数学问题意识和创新意识，为候机学习奠定基础。

3、通过相似三角形定理及应用的学习，培养学生类比思想、归纳思想及特殊到一般的认识规律，拓展学生思维。教学重点：

相似三角形性质及其应用。教学难点：

相似三角形判定和性质的综合运用。教学方法：

小组合作探究、启发式教学

教学过程

一：复习引入

1、什么样的三角形是相似三角形？

2、怎样判断两三角形是相似三角形？

3、我们已经知道了相似三角形的那些儿性质？

（①对应角相等，②对应边成比例）

相似三角形还有其他性质吗？

二：探究新知

问1：与三角形相关的线段我们学过哪些？

（中线、角平分线、高、中位线……）

思考：如果两三角形相似，且相似比为k，那两三角形对应的高会有怎样的关系？

已知如图△ABC∽△A1B1C1，且它们的相似比为k，AD、A1D1是对应高。求证:ADk.A1D1

证明：略（见课本87页）

定理1：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。

（相似三角形对应线段的比都等于相似比）注：对于对应的理解

三：典例分析

例1：如图，一块铁皮呈锐角三角形，它额边BC=80cm，高AD=60cm。要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形两边之比为2;1,且矩形长的一边在BC上，另两个顶点在边AB、AC上，求这个矩形零件的周长。

解：设PS为xcm，则PQ为2xcm.PQ//BC

APQABC AQPACB

APQ∽ABC

PQAE BCAD2x60x

即

8060

解得

x=24

2x=48



周长C=2（24+48）=144 cm

变式1：将例题中“矩形长的一边在BC上”改为“矩形短的一边在BC上”，其他条件相同，求矩形零件周长。

变式2：在例题中三角形中，如果是加工一个正方形零件，求正方形周长。

四：课堂小结

请同学回顾今天学的知识：1 相似三角形对应线段的比等于相似比 2 定理的简单应用

五：课堂作业

1必做题：①证明相似三角形的中线比等于相似比

②

相似三角形的性质 教案 篇2

1. 教材内容:

《相似三角形的性质与判定》是以北师大版义务教育八年级下册第四章的知识为背景建构的教学内容, 通过复习讲解相似三角形的性质与判定, 利用相似三角形的性质与判定相关的知识去解一些数学问题。

2. 教材的地位和作用:

本节课是在学完《相似三角形》、《探索三角形相似的条件》内容之后, 继续学习相似多边形的性质的准备。教学的内容培养学生观察思考, 从定义出发和举一反三的能力等都具有重要的作用。

二、教学目标

1. 知识目标

(1) 掌握相似三角形的性质和三角形相似的判定方法。

(2) 能根据具体的数学问题, 灵活选择解法。

2. 能力目标

体会“归一”原理的思想。能根据具体数学问题的特征, 灵活选择解题方法, 体会解决问题方法的多样性。

3. 情感目标

使学生知道相似三角形的性质和三角形相似的判定的重要性, 提高学生解题速度和准确程度。通过学生之间的交流、讨论, 培养学生的合作精神。

三、重难点分析

1. 重点:

掌握相似三角形的性质和判定定理。

2. 难点:

灵活应用相似三角形的性质和判定解决相关数学问题。

3. 关键:

让学生通过比较相似三角形的性质和判定的运用, 感悟用相似三角形的性质和判定去解决数学问题的重要性。

四、教学过程

1. 知识复习

相似三角形的定义:三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似。△ABC与△DEF相似, 记为:△ABC∽△DEF

相似三角形的性质:相似三角形的对应角相等、对应边成比例。

相似三角形的判定:

两角对应相等的两个三角形相似;

三边对应成比例的两个三角形相似;

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

2. 知识拓展

例1.如图所示, Rt△ABD中, ∠BAD=90°, AC垂直于BD。

求证: (1) AB2=BC·BD

(2) AD2=DC·BD

(3) AC2=DC·BC

(4) 若AC=6, BC=8, 求AD的长。

解: (1) 在△ACB与△BAD中,

(2) 在△ACD与△BAD中,

(3) ∵AC垂直于BD

(4) 方法一:△ABC是直角三角形

方法二:根据射影定理得:

例题分析:此题是对相似三角形的判定定理一知识的巩固, 是通过对例1中的 (1) (2) (3) 的证明, 给学生呈现射影定理的知识点, 并运用此知识点去解决例1中的第 (4) 小问, 并比较总结相似三角形的性质与射影定理的区别与联系。在这一个例题中, 对第 (4) 小问的解决, 可以引导学生去思考用多种方法解决问题, 达到通体异构的效果。

例2.如图△ABP的边上有C、D两点, 且△PCD是等边三角形。当△PCA∽△BDP时, AC、CD、DB满足怎样的关系?∠APB的度数是多少?

解:∵△PCD是等边三角形

小结:在这节课的学习中, 我们初步地复习了相似三角形的性质及其判定, 并运用这些知识作为数学工具去解决相关的数学问题, 并对同一问题采用了不同的方法去解决!希望同学们在今后的学习中多总结、多归类、达到举一反三的效果。

相似三角形的基本模型 篇3

（2015·江苏常州）如图1是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300 m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400 m到达梅花阁C，则点C的坐标是________.

【思路分析】“盆景园B向左转90°后直行400 m到达梅花阁C”，由这个条件可得：∠CBO=90°，于是，我们应该要想到构造“K”字型相似.过点B作BE⊥x轴，交x轴于E，过点C作CF∥x轴，交EB于点F，把“K”字型构造出来，可得出△CFB∽△BEO，利用相似的比例式可得答案.

解：过点B作BE⊥x轴，交x轴于E，过点C作CF∥x轴，交EB延长线于点F.

∵A（400，300），

∴OA=500（m），∴OB=800（m）.

∵BE⊥x轴，∴∠BEO=90°，

∴∠BEO=∠ADO，

∵∠BOE=∠AOD，∴△BOE∽△AOD，

∴ = = ，

∴ = = ，

∴BE=480（m），OE=640（m）.

∵∠BEO=90°，∴∠BOE+∠OBE=90°.

∵∠CBO=90°，∴∠OBE+∠CBF=90°，

∴∠BOE=∠CBF.

∵CF∥x轴，∴∠BEO+∠CFB=180°，

∴∠CFB=90°，∴∠CFB=∠BEO，

∴△CFB∽△BEO，

∴ = = ，

∴ = = ，

∴CF=240（m），BF=320（m），

∴C（400，800）.

二、 模型再现

“K”字型相似基本图形1

已知：B，C，E三点共线，∠B=∠ACD=∠E=90°.试说明：△ABC∽△CED.

【思路分析】核心条件1：B，C，E三点共线；

核心条件2：∠B=∠ACD=∠E=90°.

基本图形1是“K”字型相似问题中的一种特殊模型，解决此类问题的关键是发现“三点一线”（B，C，D三点共线），“三角相等”（∠B=∠ACD=∠E=90°）.

“K”字型相似基本图形2

已知：B，D，C三点共线，∠B=∠EDF=∠C=α.试说明：△BDE∽△CFD.

【思路分析】核心条件1：B，D，C 三点共线；

核心条件2：∠B=∠EDF=∠C=α.

基本图形2是“K”字型相似问题的一般模型，同样是要发现“三点一线”（B，C，D三点共线），“三角相等”（∠B=∠EDF=∠C=α）.

我们通常也将“K”字型称为一线三等角型或三角一线型.

三、 以三角形为载体

（2008·福建福州）如图4，△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）.作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

【思路分析】核心条件1：动点P沿AB匀速运动；

核心条件2：∠A=∠B=∠RPQ=60°.

由△APR∽△PRQ可得∠RPQ=∠A=60°，由QR∥BA可得△CRQ是等边三角形及其各线段的长度为（6-2t） cm，由∠A=∠B=∠RPQ=60°可得△APR∽△BQP，利用相似的比例式可解得t=1.2.

四、 以平行线为载体

已知：直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是2，线段AB的两端点分别在直线l1、l3上并与l2相交于点E，若以线段AB为一边作正方形ABCD，C、D两点恰好分别在直线l4、l2上，则sinα=________.

【思路分析】核心条件：由∠ADC=90°构造“K”字型.

过点D作DF⊥l1交于点F，延长FD交l4于点G，可证得△ADF≌△DGC，可得AF=DG=4，于是AD=2 ，所以sinα= .

五、 以矩形为载体

（2012·天津节选）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP.设BP=t.

（Ⅱ） 如图7，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；

（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）.

【思路分析】（Ⅱ） 核心条件1：

P为BC边上的动点，B′落在直线PC′上；

核心条件2：

∠OBP=∠OPQ=∠PCQ=90°.

可得△OBP∽△PCQ，利用相似的比例式可得：m= t2- t+6（0

（Ⅲ） 先得结论：PC′=PC=OC′=11-t，

核心条件1：B′落在直线PC′上，C′落在直线OA上；

核心条件2：∠PC′Q=∠C′AQ=90°.

作PE⊥x轴交x轴与点E，可得△PEC′∽△C′AQ，利用相似的比例式可得m=- t2+ t，由（Ⅱ）可得方程：- t2+ t= t2- t+6，解之得：x= ，

所以点P ，6.

通过以上的探索发现，“K”字型的相似在其基本模型中，可以加入不同的载体，比如三角形、平行线、矩形和动态几何等，可无论如何变化，其本质都离不开“三点一线，三角相等”.

《相似三角形的性质》教学设计 篇4

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）05-0394-01

【设计意图】：

本课是华师大版九年级上“相似形”一章的重要内容之一，是在学生学完相似三角形的定义及判定的基础上进一步研究相似三角形的特性以完成对相似三角形的全面研究，它是全等三角形性质的拓展，在圆中有着广泛的应用。同时，相似三角形的性质也是解决有关实际问题的重要工具，根据教学大纲的要求考虑到初三学生的年龄特点和心理水平将理解相似三角形的性质作为本节重点而将探究推导性质作为本节难点。本课通过学生动手作图，探究发现结论，体验成功的乐趣，培养学生探究问题的科学态度，促进创造性思维的发展，使学生尝到学习几何的乐趣，体会到实验几何，快乐几何。同时采用探究性学习方法自主地感受新知，将新知识纳入自己的认知结构中成为有效的知识。

【教学目标】：

（1）探索、归纳并掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）比、周长比、面积比与相似比之间的关系，掌握定理的证明方法；提高分析，推理能力。

（2）对性质定理的探究学生经历类比――猜想――论证――归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力。

（3）在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律；通过学生之间的交流合作，在合作中体验成功的喜悦，树立学习的自信心。

【教学重点】：理解相似三角形的性质。

【教学难点】：相似三角形性质定理的探索及推导

【教学过程】：

1.复习提问，温故而知新

请同学们以小组为单位共同回忆以下内容：

（1）.相似三角形与全等三角形的概念及关系；

（2）.全等三角形的性质及已学过的相似三角形的性质；

（3）.利用已有的全等三角形性质，你能推出全等三角形还有哪些性质。

2.实践交流，探索新知

问题1：类比全等三角形的性质，想一想可以从哪几个方面继续研究相似三角形的性质；

从相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）、周长及面积继续研究相似三角形的性质。

你是怎么想到这几个方面？主要是类比全等三角形的性质。

问题2：猜一猜，相似三角形还有哪些性质（分别用文字语言与符号语言表示，用符号语言表达时，要画图形）。

性质一：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线以及它们的周长的比等于相似比。

也可能有学生会提出其他错误的结论（如对应高、角平分线、中线相等；面积比等于相似比等），教师暂时不点破，由学生自己去证明后推翻原有的错误结论。

教师提问：你是怎么想到这几方面性质的？

学生回答后教师总结：猜想有类比猜想、归纳猜想（从特殊到一般）及逻辑推理等。

问题3：小组成员分工论证你们得到的猜想（每个同学至少证明其中一个命题）；或推翻、修正猜想，再论证。

这一阶段是本课的重点，主要是先由学生小组分工完成，可能是证明了正确的结论，也可能是推翻了之前的错误，教师主要是展示学生的成果，并给出适当的点评。

归纳出证明步骤：画图、写已知求证，证明

归纳出证明方法：大三角形相似小三角形相似结论

完成了以上两个探索三个问题之后由师生共同总结出：

性质一：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线以及它们的周长的比等于相似比。

性质二：相似三角形的面积比等于相似比的平方。

3.巩固练习，加深理解

3.1已知两个相似三角形一对对应中线的长分别是2cm和5cm，那么它们的相似比为________，对应高的比为_______，如果一对对应角平分线中较短的为3.6cm，则较长的为________。

3.2两个相似三角形对应高的比为7：5。其中一个三角形的周长为70cm，则另一个三角形的周长为________，若其中一个三角形的面积为490，则另一个三角形的面积为________.3.3已知：如图，DE∥BC，AB=30m，BD=18m，△ABC的周长为80m，面积为100m2，求△ADE的周长和面积？过E作EF∥AB交BC于F，其他条件不变，则△EFC的面积等于多少？平行四边形BDEF的面积为多少？（写出解答过程）

4.回顾反思，畅谈心得

本节课你有何收获？

（1）相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比及周长比等于相似比。

（2）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

（3）对性质定理的探究我们经历：猜想――论证――归纳的过程，其中猜想包括：类比猜想、归纳猜想（从特殊到一般）及逻辑推理。

论证的过程包括：画图，写已知求证，证明等步骤。

5.学以致用，作业布置

必做题：

（1）书本P81：习题第2题

（2）先画出一个边长分别为1、2、3的三角形，然后作出一个面积是它4倍的三角形。

选做题：同步练习P31

【板书合计】：

相似三角形的性质 教案 篇5

一、教材分析：

1、三维目标：

（1）知识目标：相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系及应用。

（2）能力目标：经历探索相似多边形的性质的过程，培养学生的探索能力，利用相似多边形的性质解决实际问题，训练学生的应用能力。

（3）德育渗透：学生通过交流、归纳，总结相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处；应用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识。

2、教学重、难点： 重点：（1）相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用。（2）用相似多边形的性质解决实际问题。

难点：相似多边形性质的灵活运用，及对“相似多边形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“面积比求相似比”的理解。

二、教学方法。

为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快的学习，使几何课上得有趣、生动和高效，教学中从简单到复杂，也就是从三角形到多边形的一个过程。教材并没有对结论进行严格的证明，教师在教学时应根据实际情况适当补充结论的证明方法，引导好学生从直观发现向逻辑推理过渡，培养学生的逻辑推理能力的同时，也为后续学习打下基础。在教学中，启发、诱导应贯穿于始终。

三、学法指导。

采用类比、转化的方法，以多种手段辅助教学，引导学生预习教材内容，养成良好的自学才惯，启发学生发现问题、思考问题，培养学生逻辑思维能力。逐步设疑，引导学生积极参与讨论，肯定成绩，使其具有成就感，提高他们学习的兴趣和学习的积极性。

四、教学过程的设计。

1、引入新课：

首先请同学们利用相似三角形的性质解决以下问题： 已知ΔABC∽ΔA B C ,且AB=3,BC=4,CA=5, A B =6.求ΔABC 与ΔA B C 的相似比，周长比，面积比？

说明：本节课通过相似的计算问题入手，既复习了相似三角形的基本性质，又使学生直接感受周长，面积问题与相似图形的关系，学生不一定能完成周长比面积比，问题可以先放置。但可以让学生清楚本节课所研究的问题，为后续学习做好铺垫。

2、自主预习：

自学：课本149页至151页 自学指导：（1）回顾相似三角形的性质

（2）利用等比性质推三角形周长比和相似比的关系。利用相似三角形的性质进一步推相似三角形面积比和相似比的关系。

（3）将四边形转化为三角形，解决有关相似多边形的周长比和面积比与相似比的关系

3、合作解疑：（1）已知ΔABC∽ΔA B C，相似比为。① 请你写出图中所有成比例的线段。② ΔABC与ΔA B C 的周长比是多少?你是怎样做的？ ③ ΔABC的面积如何表示？ΔA B C 的面积呢？ΔABC与ΔA B C 的面积比是多少？与同伴交流。说明：该问题是上节课的引例，学生比较熟悉，设计目的在于引导学生对旧知问题进行联系，不断思考问题的解决方式，渗透转化的思想方法。教学说明：

教学时要注意引导学生如何将边长与周长联系，如何求面积。计算的基本方法：利用等比性质通过边长比求面积比，渗透了数形结合的思想；作出高求面积，突出转化思想。这些思想方法的教学既是为题目本身服务的，又是必须向学生渗透的。（2）课本中议一议

说明：进一步研究相似四边形的情况。利用这种方法将四边形换成五边形、六边形等其他多边形，那么也有相同的结论。

由此可知：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

教学说明：本例的证明过程比较复杂，通过前面的铺垫学生对证明步骤应该不陌生，特别是利用等比性质将边长统一成周长的证明步骤体现了数学的严谨性。教学时并不要求学生掌握，知道如何得到的就行了。

4、反馈检测：

（1）课本随堂练习1，知识技能1题，2题。

（2）如图所示是某城市地图的一部分，比例尺为1：100000.①设法求出图上环形路的总长度，并由此求出环形快速路的实际长度。②估计环形快速路所围成的区域的面积，你是怎样做的？与同伴交流。

解：①量出图上距离约为20cm，则实际长度约为20千米。②图上区域围成的面积约为23.7 cm ².根据相似多边形面积的比等于相似比1：100000的平方，则实际区域的面积约为23.7平方千米。

5、作业设计：

课本习题4.11 必作题：知识技能3，4题 选择题：153页6题

6、回顾反思：

（1）总结归纳相似多边形的性质？

（2）在学习相似形的性质时我们运用过哪些数学方法？ 说明：两个问题概括了与相似形性质有关的大部分内容，教学的落脚点就是使学生会合理准确地使用这些性质，这就要求学生必须对知识的变化过程非常清楚、同时对每部分的关系心中有数。

五、教学设计与反思。

这节课，我们主要在如何把传授知识与培养能力有机地结合起来作了些尝试，具体地说，表现在：

（1）针对初中数学的特点，结合本节课的内容，制定了明确的教学目标。

（2）相似多边形的性质重点强调“用”，它是为计算和探究其它知识服务的，本课设计着重培养学生的应用意识和数学建模思想，简单地说就是使学生明确什么时候用相似比，什么时候用边之比，什么时候用角相等。这样能更好地培养学生的思维能力和实践能力，也使学生从中领悟到数学来源于实践，又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点。

相似三角形的应用教案设计 篇6

相似三角形的应用教案设计

相似三角形的应用教案设计 木厂口镇中 杨书云 一、教材分析： 教学背景分析 教学内容 本节主要探索的是应用相似三角形的识别、性质等知识去解决某些简单的实际问题(计算不能直接测量物体的长度和高度)。 学情分析 学生已经学过了相似三角形的概念、识别及性质，在次基础上通过本课的学习将对前面所学知识进行全面应用。初二学生在思维上已具备了初步的应用数学的意识。在心理特点上则更依赖于直观形象的认识。 教 学 目 标 知识目标 1、学生通过探索实际问题来体验测量中对相似三角形有关知识的应用。 2、经历应用相似三角形的有关知识去解决简单的实际问题的全过程。 能力目标 1、全力培养学生的应用意识，和把实际问题转化为数学问题并用数学方 法去分析、解决实际问题的能力。 2、通过开放的设计题来发展学生的思维，培养创造力。 情感目标 1、 通过如何测量旗杆的高度来激发学生学数学的兴趣，使全体学生积极参与探索，体验成功的喜悦。 2、 力求培养学生科学，正确的数学观，体现探索精神。 教学 重点 难点 教学重点 1、 引导学生根据题意构建出相似三角形模型，从而可以把实际问题转化为纯数学问题来解决。 2、 面对已设计出来的测量方案，应注意在实际操作中所出现的错误。 教学难点 通过审题、思考后，如何在实际问题中抽象出相似三角形的模型。 教学策略 针对以上教学难点、重点的.分析，本节课将应用启发式教学与探究式教学相结合来展开分解难点、突出重点。始终体现以学生自主学习及合作交流为主的新课程理念，从学生的经验、生活实际出发，创设情景，引导学生去发现、分析、解决问题。 教学关键 在实际生活中，面对不能直接测量出长度和宽度的物体，我们可以应用相似三角形的知识来测量，只要将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用线段成比例来求解。 二、教学流程： 流程 内容呈现 师生活动 意图设计 一、创 设 情 景 激 发 兴 趣 ⑴ 创设情景： 给我一个支点我可以撬起整个地球! ---阿基米德 师：(出示图片)著名的科学家阿基米德曾讲过如果给我一个支点我可以撬起整个地球。我们真佩服伟人的大气，其实这个杠杆图中有着一个数学知识，而且这个知识在生活中很常见。 生：观察图片，听教师讲述。 ⒈ 通过图片的展示及教师的娓娓讲述一开始就把学生的视觉、听觉深深的吸引牢了。 2、杠杆原理图中就隐藏着相似三角形的模型，因此可以自然的引出有关的实际问题。 3、 选择学生熟知的生活情景引入，激发兴趣，产生“要学习”的欲望。 二、授 人 以 鱼， 给 出 模 型 ⑴ 如图,铁道口的栏杆短臂长 1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高 m? ⑵ 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网球是直线运动) 师：给出两个小题，要求学生独立完成，完成后思考两题在解题过程中有何异同? 生：独立完成，并思考异同点。 由学生来讲解过程，并分析异同点。 师：两题都是通过构建相似三角形模型来解决的。 目的在于既可对相似三角形的识别与性质进行有效的复习,又可让学生形成初步应用相似三角形知识来解决实际问题的意识。 流程 内容呈现 师生活动 意图设计 三、抽 象 模 型， 感 受 过 程 感受建模过程： 小结： 在解决此类实际问题时，可构建相似三角形的模型，再利用对应边成比例建立等式，已知三个量去求第四个量。 师：教师利用电脑课件演示抽模过程。 生：去直观感受过程，留下印象，形成经验。 要想很好的解决实际问题就必须转化为数学问题。具体的就是构建数学模型。本题我先借助电脑来抽象模型让学生感受过程，即授人于鱼。在培养学习兴趣，逐步展开思维的同时，使学生形成将生活问题数学化意识。 四、授 人 于 渔， 动 手 实 践 之 一 1、同学们，若有一瓶牛奶，喝了一部分，如何来测量出剩余牛奶液面的高度呢? 2、若小明在测量时，将木棒一不小心滑到了底面的D处，那又该如何测量呢? 3、如果木棒底端在瓶底上的任意处，是否都可测量呢? 4、在测量和计算时应注意什么? 师： 创设一个有趣的情景给学生，同时，给出实践的目标。这三个问题是呈现递进关系的。并能充分的应用到相似三角形的知识。 生： 以同桌合作的形式动手操作(课前已让学生准备好易拉罐、筷子、刻度尺)，在操作中进行探索和思考。 教师来回巡视，观察学生操作进程，然后由学生上讲台来讲解过程。 师：需测量那几个量?测量时应注意什么? 小结： 在构建好模型后，成比例的四个量中，必须想方设法测出三个量才能解的第四个量。 1、本题是一道操作性强，且是半开放题型，是在前面“授人于鱼”基础上，让学生合作探索以达到“授人于渔”的效果，三个问题层层递进，直至最后规律的得出：无论木棒底端放在那里，都可以通过建立相似三角形模型来测量。 2、充分培养了学生的动手实践能力及数学建模思想。 流程 内容呈现 师生活动 意图设计 五、延 伸 拓 展， 动 手 实 践 之 二 利用所给的工具如何测量零件的内径呢? 师：亮出题目，讲清任务。 生：四人一组进行动手操作，寻求解决问题的方法。 最后，由学生来讲解解决方法的过程。教师与其他同学再补充。 如果前面一题侧重的于对“A”字形相似三角形的应用，那么这一题更侧重于对“X”字形相似三角形的应用。两题相互补充。完善了学生的知识结构。 六、 悟 其 渔 识， 设 计 方 案 流程 小小发明家： 怎样测量旗杆的高度? 测量工具：直尺、卷尺、标杆、镜子 如果给你一根2米高木棒，一把皮尺，一面平面镜。同学们，你能利用所学知识选择适当的工具来测出旗杆吗?(自主设计方案) 内容呈现 师：简单说明。 生：四人一组进行合作探索。 师：教师下讲台与学生一起交流，并汇总方案。 由学生来讲解设计的步骤，并讲清需要测量那些量及在测量时应注意什么? 师生活动 1、本题是一道完全开放的题目，可以让他们的思想插上翅膀，能培养学生的创新意识与探索精神。 2、单凭自己的力量是不够的，遇到困难自然想到要合作，这样可以培养学生的合作交流意识。 3、这是本课的最高境界――悟其渔识。全面引导学生进行开创性的思考和探索 预测说明 七、预 测 学 生 可 能 会 设 计 的 方 案 方案一 方案二 方案三 方案四 1、学生可能首先想到方案一 当方案一应注意的是木棒影子的顶端应该在旗杆影子的外面。 2、测量时，应让木棒顶端影子与旗杆顶端的影子相互重合于一点。 3、测量身高时 应该测量人的目高。 &nb

聚焦中考真题谈相似三角形的复习 篇7

从上表可以看出, 近9年中, 相似三角形是年年必考, 在连续性考查的同时, 考点内容又相对稳定. 如作图考查了3次, 判定考查了4次, 性质则是每年必考, 同时注重学科内知识的综合. 尤其值得一提的是, 9年中有6次出现了对相似基本图形的考查. 这些信息给我们的中考复习带来有效的指导笔者不避粗陋, 来谈谈相似三角形的复习, 与同仁分享, 也请大家指正.

一、注重知识的重组优化

片段一下列命题中哪些是正确的, 哪些是错误的? 请说明理由.

(1) 所有的直角三角形都相似 ;

(2) 所有的等腰三角形都相似 ;

(3) 所有的等腰直角三角形都相似 ;

(4) 所有的等边三角形都相似 ;

(5) 有一个角是100°的两个等腰三角形相似 ;

(6) 有一个角是70°的两个等腰三角形相似.

判断一系列特殊的三角形间是否具备相似性, 复习了相似三角形的判定定理, 在学生说理中, 加强对知识的辨析与巩固, 开拓了学生的空间想象能力和思维能力, 获得知识的重新构建.

巩固提升:如图1~6, 请写出相似的三角形, 并证明.

从说理到证明, 训练学生口头表达及书写能力, 并提高学生图形语言、符号语言、文字语言等的灵活应用. 图1和图4都是平行条件下相似三角形的A型和X型. 当两个三角形存在公共角时, 若公共角的对边不平行, 如果满足另一组角对应相等或是公共角的两边对应成比例, 也就是图2, 3, 5, 就是仿A型, 其中图3的三个直角三角形都相似, 又称为母子型. 若上述公共角为对顶角, 则是仿X型, 如图6.

二、注重基本图形的应用

片段二新基本图形:M型

我们要从复杂图形中分离出基本数学模型, 这样对解决问题有化繁为简的效果.

(2004年安徽 , 19) 如图7, 已知△ABC, △DEF均为正三角形, D, E分别在AB, BC上.请找出一个与△DBE相似的三角形, 并证明.

证明△DBE∽△ECH. 理由如下:

法一∵△DBE与△ECH中,

∴∠B = ∠C = ∠DEF = 60°,

∴∠BDE + ∠BED = 120°,

∠BED + ∠CEH = 120°,

∴∠BDE = ∠CEH.

∴△DBE∽△ECH.

法二∵△DBE与△ECH中,

∴∠B = ∠C = ∠DEF = 60°,

又∵∠CEH + ∠DEF = ∠BDE + ∠B,

∴∠BDE = ∠CEH, ∴△DBE∽△ECH.

解法一用到了三角形内角和定理与平角的定义, 解法二则用到了三角形外角和定理的推论, 即三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和, 由此可看出, 本题中的60°并没有起到实质 性的作用 , 只要∠B = ∠C = ∠DEF, 就必有△DBE∽△ECH, 同理我们还能得到△DBE∽△GAD. 不难发现∠B, ∠C, ∠EDF这三个相等的角的顶点在同一条直线上, 把具备这种条件的图形称为“一线三等角”型基本图形.

为了和前面的A型、X型等基本图形叙述上的一致, 并且便于学生直观形象记忆, 笔者习惯上把它称为M型 (折线段BDEFC就像大写字母M) .

(2009年安徽 , 22) 如图8, M为线段AB的中点 , AE与BD交于点C, ∠DME =∠A = ∠B = α, 且DM交AC于F, ME交BC于G.图 8

(1) 写出图中三对相似三角形 , 并证明其中的一对;

当年的评分标准是写出两对相似的三角形即可, 其中△AFM∽△BMG是M型, 是学生不容易找出来的. 若是熟悉了M型, 问题也就迎刃而解了.

三、注重对“翻新题”的试题研究

中考一直强调对创新意识和自主探究能力的考查, 中考命题从2004年起经历了起步期、发展期, 近年来考题已趋于稳定, 有很多中考题都是以往中考题的“翻新题”. 如2003年和2011年的第10题, 都是动点问题, 都是利用相似三角形对应边成比例这一性质定理得到的分段函数关系式, 体现了数形结合和分类讨论思想. 八年后, 题目重现, 只是条件中的平行四边形改成菱形, 更为特殊了, 是一道翻新题.

四、注重数学思想方法的教学

片段三如图9, 在Rt△ABC中, ∠C =90°, 点D在AC上 , 已知AB = 5, AC = 3, AD = 1.图 9

(1) 在AB上取一点E, 使△AED与原三角形相似;

(2) 在三角形边上取一点 , 使△AED与原三角形相似.

此题通过作平行线构造相似三角形的A型来研究, 使学生加深对判定定理的理解及应用, 同时考虑到结论的不唯一性, 培养学生分类讨论的思想. 2013年第23题也用到同种方法

以图形巧记“相似三角形的应用” 篇8

“举一反三”的学习方法是一种让学生脱离“题海”战术的有效手段，但它要求学生在学习过程中要善于捕捉同一知识点在不同题目中的相同作用。所以，这是一个长时间的知识积累过程。这种技能的学习也需要“举一反三”！现将自己在教学过程中遇到的一个实例列举出来，供大家参考。

“相似三角形”多应用于实际问题中求树高、房高等，主要用到“相似三角形对应边成比例”这一性质，而在教学过程中，我引导学生将例题、练习题中涉及的图象加以归纳，整理成以下几个典型图象。而我们平常遇到的一些相似应用问题，只需在这几个图象的基础上稍加变化，既可解决，从而达到事半功倍的效果。

这类题型，全可借助定理：平等于三角形一边的直线和其它两边（或延长线）相交，所构成三角形与原三角形相似。先证明三角形相似后再求所需线段长度。

例1：如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，楼高CD是多少？

这是例1的一个变例，利用矩形对边相等，将线段加以换算，其余解法与例1一致。

例2：为了测量大树的高度，小华在B处垂直竖起一根长为2.5m的木杆，当他站在点F处时，他的眼睛E、木杆顶端A、树端C恰好在一条直线上，量得BF=3m，BD=9m，小华的眼睛E与地面的距离EF为1.5m，求大树的高度。

此类问题利用光线的平行投影及折射原理，用两角相等证两个三角形相似，从而求出所求线段长度。

例3：小刚和他爸爸在阳光下的广场散步，当他看到自己和爸爸的影子随着步伐的移动而移动时，他灵机一动，想出一个问题要考考爸爸：“我的身高为1.2m，你的身高为1.8m，你知道我和你的影子的长度之比吗？”听到这个问题，小刚的爸爸笑了：“这个问题简单，我马上就能说出答案来。”你能说出答案吗？

几乎所有的“相似三角形应用”问题，都可以用以上三组图象解决。所以，将这三组图象的构成及应用原理理解透彻，就掌握了这一系列问题，可说是一个“举一反三”学习方法的成功应用。

相似三角形的判定数学教学教案 篇9

《相似三角形的判定》是在学生认识相似图形，了解相似多边形的性质的基础上进行学习的，是本章的重点内容。本课时首先利用“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。”证明两个三角形相似，然后引导学生通过测量来探究得到两角分别相等的两个三角形相似，继而引导出相似三角形的判定：“两角分别相等的两个三角形相似”。通过类比的方法进一步研究三角形相似的条件，是今后进一步研究其他图形的基础。

通过这节课的教学，我有以下几点反思： 成功方面：

1、绝大多数学生都能参与到数学活动中来。

2、通过出示学习目标，让学生对本节课的学习内容有清楚的认识，学生明确了本节课的学习任务;

3、通过对两角分别相等的两个三角形相似定理及推论的观察-探索-猜测-证明，部分学生理解并掌握了两角分别相等的两个三角形相似定理及推论;

5、通过学习，部分学生能运用本节课所学的知识进行相关的计算和证明;

6、本节课基本调动了学生积极思考、主动探索的积极性。 存在的不足之处是：

1、少数学生不理解相似比具有顺序性，在写相似三角形时不注意字母的对应关系，在找对应边时很容易出错;

2、少数学生在自主探究中，不知如何观察，如何验证;

3、少数学生在探究两角分别相等的两个三角形相似定理时，不会用学过的知识进行证明;

4、学生做练习时不细心，出现常规错误，做题的正确率较低;

沪教版相似三角形教案及练习 篇10

一、相似三角形的定义：

对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

二、相似三角形的判定方法(一)

判定方法（1）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

判定方法（2）：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

判定方法（3）：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似。

除了上述三种判定方法外，还有以下三种判定方法：

（1）定义法：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似（这种方法一般不常用）

（2）平行于于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。

（3）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形原三角形相似。(此知识常用，但用时需要证明)

三、判定相似三角形的思路

1、有一对等角，找 :①、另一对等角

②、等角的两边对应成比例

2、有两边对应成比例，找：①、夹角相等

②、第三边也成比例

3、直角三角形，找一对锐角相等

4、等腰三角 形，找：①、顶角相等

②、一对底角相等

③、底和腰成比例

四、在做题过程中，某些图像出现的频率会比较高，所以我们要熟知这些常见的图形，并学会从习题中基本图形很快的寻找和发现相似：

1、平行线型：

A E D

A

E D

B B C

（1）

（2）

（a）如图1，“A” 型：即公共角的对边平行

(b)如图2，“X”型：对顶角的对边平行

C

2、斜交型：指公共角的对边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对的边延长线相交，其中再有一角相等，或其公共角（或对顶角）的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似，基本图形常见如下：

A

A

A

C E E D

D B

B

B C C D

(3)

(4)

(5)

a、如图3，若 ∠D=∠B 或 ∠ACB=∠AED ,或AB:AD=AC:AE，则△ABC∽△ADE；

b、如图4，若∠ACD=∠B 或 ∠ADC=∠ACB，或AC:AB=AD:AC, 则△ACD ∽ △ABC；

C、如图5，若∠AED=∠C 或 ∠ADE=∠B，或 AD:AB=AE:AC, 则△ADE ∽ △ABC；

D A

O

B

C

(6)

d、如图6，若∠A=∠D , 或 ∠B=∠C ,或OA:OB=OD:OC,则△AOB ∽ △DOC;

五、相似三角形面积之比等于相似比的平方

例题、习题

1、P是ΔABC中AB边上一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截ΔABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样的条件的直线最多有（）条

A

2条

B

3条

C

4条

D 5条

A

2、如图，已知D为△ABC内一点，3 E为△ABC外一点，且∠1＝∠2，D ∠3 ＝∠4。1

求证 ： △ABC ∽ △DBE

B 4 C 2

E

3、如图，菱形ABCD的边长为3，延长AB到E，使EB＝2AB，连接EC并延长交AD延长线于F，如果△EBC∽△EAF，试求AF的长

F D

C

A

B

E

4、如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE=梯形BCDE的周长。

2BC=2cm，△ADE的周长为10cm，求3A

D E

BC

5、如图，△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分，且DE∥FG∥BC。求DE：FG：BC。

A

S1 DES2 FGS3

BC

三、训练题：

1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD分成两部分面积的比是1：2，EF是中位线，则被EF分成的两部分面积之比为SAEFD：SBCFE=（）

A、3：4 B、4：5 C：5：7 D、7：9

2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△AOD:S△ACD=1：3，则S△AOD:S△BOC等于（）

A、1：6 B、1：3

C、1：4

D、1：6

3、如图，DE∥BC，DE把△ABC的面积分成相等的两部分，那么DE：BC等于（）

A、1：2 B、1：4

C、2：2 D、2：2

4、如图，将△ABC的高AD三等分，过每一个分点作底边的平行线，这样把三角形分成三部分，设这三部分的面积为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=（）

A、1：2：3 B、2：3：4 C、1：3：5 D、3：5：7

5、如图，在△ABC中，∠CBA=90°，BD⊥AC于D，则下面关系式中错误的是（）

A、AB2=AD×AC B、BD2=AD×DC C、AB2=AC2－BC2 D、AB2=AC×DC

6、如图，在△ABC中，AD⊥BC，PQMN为正方形，且顶点在△ABC各边上，BC=60cm，AD=40cm，则正方形边长为（）

A、12cm

B、16cm

C、20cm

D、24cm

7、如果两个相似三角形的对应边的比是4：5，周长的和为18cm，那么这两个三角形的周长分别为_______________。

8、△ABC中，BC=54cm，CA=45cm，AB=63cm，另一个与它相似的三角形的最短边为15cm，则周长为_______________。

9、在△ABC中，点D、E分别为AB、AC上的点，DE∥AC，AB：DB=2：1，F为AC上任一点，△DEF面积为22，则S△ABC=_________________。

10、如图，D、E分别是AB、AC上的点，ADAE3，△ABC的角平分线AH交ACAB5DE于点F，过点F作BC的平行线，分别交AB、AC于点G、K。已知BC=20cm，求GK。

A

D

KG FE

CBH

11、点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，过M作MD⊥AB交AC于D，交BC的延长线于E。求证：MC是MD、ME的比例中项。

判断三角形相似三绝招 篇11

第一招：两组角对应相等的两个三角形相似

例1 如图1，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2.点D在BC上运动（不能到达点B）.过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．求证：△ABD∽△DCE．

分析：△ABD、△DCE中已有一组相等的角，即∠B=∠C.若再能找到一组相等的角，即可证明△ABD∽△DCE．

证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°．

又∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC，而∠B=∠ADE=45°，

∴∠BAD=∠EDC.

∴△ABD∽△DCE．

点评：“两组角对应相等的两个三角形相似”是判定三角形相似最简单、好用的方法.在应用时，注意寻找“∠A+∠B=∠C+∠D，由∠B=∠D，则∠A=∠C”类型的角的相等关系．

第二招：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似

例2 如图2，△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1.连接BF．

求证：△BFG∽△FEG．

分析：△BFG与△FEG有一个公共角∠G.已知条件告诉了等腰三角形的边长，现只需证明夹∠G的两组边对应成比例，即可证明△BFG∽△FEG．

证明：由题意知FG=FE=AB=，EG=BC=1，BG=3BC=3.

∴==，==.

∴=．

又∵∠G=∠G，

∴△BFG∽△FEG.

点评：利用“两组边对应成比例且夹角相等”判定三角形相似，类似于三角形全等的“边角边”的判定方法.运用时注意把握好两边与夹角的位置关系．

第三招：三组边对应成比例的两个三角形相似

例3 如图3，在2×5的正方形网格中（每个小正方形边长均为1），有格点△ABC和格点△ADE．

（1）证明：△ABC∽△ADE；（2）求∠1+∠2．

分析：（1）△ABC、△ADE中，角之间的相等关系不明显，所以第一招、第二招都不好使用.考虑到△ABC、△ADE是正方形网格中的格点三角形，可以利用勾股定理求得各边的长，然后判定三组对应边是否成比例，从而确定三角形相似与否．（2）利用相似三角形的性质，求出∠ADE的大小，即可计算出∠1+∠2．

解：（1）由勾股定理得：

AD==，DE==，AB==，AC==．

又因为AE=5，BC=2，所以==，= ，==.

∴==.

∴△ABC∽△ADE．

（2）因为△ABC∽△ADE，所以∠ADE=∠ABC=90°+45°=135°，故∠1+∠2=180°－135°=45°．

直角三角形的性质教案 篇12

本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址直角三角形的性质

【知识与技能】

（1）掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用.（2）继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律.【过程与方法】

（1）经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法.（2）培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力.（3）培养识图的能力，提高分析和解决问题的能力，学会转化的数学思想方法.【情感态度】

使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综合意识.【教学重点】

直角三角形斜边上的中线性质定理的应用.【教学难点】

直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法.一、情境导入，初步认识

复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？

学生回答：（1）在直角三角形中，两个锐角互余；

（2）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.二、思考探究，获取新知

除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？现在我们一起探索！

.实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片.（1）量一量边AB的长度；

（2）找到斜边的中点，用字母D表示，画出斜边上的中线；

（3）量一量斜边上的中线的长度.让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系.2.提出命题：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3.证明命题：

你能否用演绎推理证明这一猜想？

已知，如图，在Rt△ABc中，∠AcB=90°，cD是斜边AB上的中线.求证：cD=AB.【分析】可“倍长中线”,延长cD至点E，使DE=cD，易证四边形AcBE是矩形，所以

cE=AB=2cD.思考还有其他方法来证明吗？还可作如下的辅助线.4.应用：

例如图，在Rt△AcB中，∠AcB=90°,∠A=30°.求证：Bc=AB

【分析】构造斜边上的中线，作斜边上的中线cD，易证△BDc为等边三角形，所以Bc=BD=AB.【归纳结论】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.三、运用新知，深化理解

.如图，cD是Rt△ABc斜边上的中线，cD=4，则AB=______.2.三角形三个角度度数比为1∶2∶3，它的最大边长是4cm，那么它的最小边长为______cm.3.如图，在△ABc中，AD是高，cE是中线，Dc=BE，DG⊥cE,G为垂足.求证：（1）G是cE的中点；

（2）∠B=2∠BcE.第3题图

第4题图

4.如图，△ABc中，AB=Ac，∠c=30°，AB⊥AD，AD=2cm,求Bc的长.【答案】

.8

2.2

3.证明：（1）连接DE.∵在Rt△ADB中，DE=AB，又∵BE=AB,Dc=BE,∴Dc=DE.∵DG⊥cE,∴G为cE的中点.（2）∵BE=ED=Dc,∴∠B=∠EDB,∠EDB=2∠BcE,∴∠B=2∠BcE.4.6cm

【教学说明】可由学生小组讨论完成，教师归纳.四、师生互动，课堂小结

相似三角形的性质 教案 篇13

难点15 三角函数的图象和性质

三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.●难点磁场

(★★★★)已知α、β为锐角，且x(α+β－＜2对一切非零实数都成立.●案例探究

［例1］设z1=m+(2－m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范围.命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目.知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决.错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题.技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.解法一：∵z1=2z2，m2cos∴m+(2－m)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴ 22m22sin

22)＞0,试证不等式f(x)=(cossin)(xcossin)x∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2(sinθ－当sinθ=1414)2－

98.时λ取最小值－

98，当sinθ=－1时，λ取最大值2.m2cos解法二：∵z1=2z2

∴ 22m22sinmcos2∴, 2sin2m22∴m42(2m2)422=1.∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,设t=m2,则0≤t≤4，0344022令f(t)=t－(3－4λ)t+4λ－8λ,则或f(0)·f(4)≤0 2f(0)0f(4)0京翰教育http:///

高考网 http:/// ∴549834或02 2或0∴－98≤λ≤0或0≤λ≤2.98∴λ的取值范围是［－，2］.［例2］如右图，一滑雪运动员自h=50m高处A点滑至O点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O点保持速率v0不为，并以倾角θ起跳，落至B点，令OB=L，试问，α=30°时，L的最大值为多少？当L取最大值时，θ为多大？ 命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题.错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活.技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.解：由已知条件列出从O点飞出后的运动方程：

SLcosv0tcos12 hLsinv04singt2① ②

Lsint12gt.由①②整理得：v0cosθ=14Lcost,v0sin14Lt2∴v0+gLsinα=2gt+22

Lt22≥2gt222=gL

12运动员从A点滑至O点，机械守恒有:mgh=

v02mv02, ∴v0=2gh,∴L≤2g(1sin)1422ghg(1sin)2=200(m)即Lmax=200(m),又gt=

Sht2Lt22.∴t2Lg,SLcosv0tcos2gh2Lgcos

得cosθ=cosα,∴θ=α=30°∴L最大值为200米，当L最大时，起跳仰角为30°.［例3］如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求这段时间的最大温差.京翰教育http:///

高考网 http:///(2)写出这段曲线的函数解析式.命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则.属★★★★级题目.知识依托：依据图象正确写出解析式.错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母.技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式.解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；

(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象.∴

1112=14－6,解得ω=,由图示A=(30－10)=10，b=(30+10)=20，这时2228y=10sin(348x+φ)+20,将x=6,y=10代入上式可取φ=

34π.综上所求的解析式为y=10sin（8x+ π)+20,x∈［6,14］.●锦囊妙计

本难点所涉及的问题及解决的方法主要有： 1.考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.2.三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.3.三角函数与实际问题的综合应用.此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用.●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)函数y=－x·cosx的部分图象是（）

2.(★★★★)函数f(x)=cos2x+sin(A.非奇非偶函数

2+x)是（）

B.仅有最小值的奇函数

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高考网 http:/// C.仅有最大值的偶函数

二、填空题

3.(★★★★)函数f(x)=（1D.既有最大值又有最小值的偶函数)｜cosx｜在［－π，π］上的单调减区间为_________.4.(★★★★★)设ω＞0，若函数f(x)=2sinωx在［－范围是_________.］上单调递增，则ω的取值,，3

4三、解答题

5.(★★★★)设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论α、β为何实数恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0.(1)求证：b+c=－1；(2)求证c≥3；

(3)若函数f(sinα)的最大值为8，求b，c的值.6.(★★★★★)用一块长为a，宽为b(a＞b)的矩形木板，在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值.7.(★★★★★)有一块半径为R，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.8.(★★★★)设－6≤x≤

4，求函数y=log2(1+sinx)+log2(1－sinx)的最大值和最小值.589.(★★★★★)是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a·cosx+

a－

32在闭区间［0，2］上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.参考答案

难点磁场

证明：若x＞0，则α+β＞∴0＜sin(cosαsin22∵α、β为锐角，∴0＜

2－α＜β＜

2;0＜

2－β＜

2,2－α)＜sinβ.0＜sin(cossin－β)＜sinα，∴0＜cosα＜sinβ,0＜cosβ＜sinα,∴0＜

2＜1,0＜＜1,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴f(x)＜f(0)=2.若x＜0,α+β＜2,∵α、β为锐角，0＜β＜α,0＜sinα＜sin(2－α＜

2,0＜α＜

2－β＜

cossin2,0＜sinβ＜sin（cossin2－α),∴sinβ＜cos－β),∴sinα＜cosβ,∴＞1, ＞1, ∵f(x)在(－∞,0）上单调递增，∴f(x)＜f(0)=2,∴结论成立.歼灭难点训练

一、1.解析：函数y=－xcosx是奇函数，图象不可能是A和C，又当x∈(0, y＜0.答案：D 2.解析：f(x)=cos2x+sin（2

22)时，+x)=2cosx－1+cosx

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高考网 http:/// =2［(cosx+答案：D 122)218］－1.二、3.解：在［－π,π］上，y=｜cosx｜的单调递增区间是［－f(x)依｜cosx｜取值的递增而递减,故［－4.解：由－222,0］及［

2,π］.而,0］及［

2,π］为f(x)的递减区间.2≤ωx≤

2，得f(x)的递增区间为［－,2］，由题设得

3323[,][,], 解得:,0.3422222

4三、5.解：(1)∵－1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立，∴f(1)≥0 ∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立.∴f(1)≤0.从而知f(1)=0∴b+c+1=0.(2)由f(2+cosβ)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因为b+c=－1,∴c≥3.(3)∵f(sinα)=sin2α+(－1－c)sinα+c=(sinα－

1c21c2)2+c－(())，2当sinα=－1时，［f(sinα)］max=8,由1bc81bc0解得b=－4,c=3.6.解：如图，设矩形木板的长边AB着地，并设OA=x，OB=y，则a2=x2+y2－2xycosα≥2xy－2xycosα=2xy(1－cosα).∵0＜α＜π,∴1－cosα＞0,∴xy≤

a22(1cos)absin2(当且仅当x=y时取“=”号)，故此时谷仓的容积的最大值V1=（12xysinα)b=

144(1cos)14abcos22.同理，若木板短边着地时，谷仓的容积V的最大值V2=∵a＞b,∴V1＞V2

ab2cos

2, 从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为14abcos2

2.7.解：如下图，扇形AOB的内接矩形是MNPQ，连OP，则OP=R，设∠AOP=θ，则

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高考网 http:/// ∠QOP=45°－θ，NP=Rsinθ,在△PQO中，PQsin(45)Rsin135，∴PQ=2Rsin(45°－θ).S矩形MNPQ=QP·NP=2R2sinθsin(45°－θ)=θ－45°)－2222R2·［cos(2］≤212212R，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S矩形MNPQ的值

2最大且最大值为R2.工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB，以扇形一半径OA为一边，在扇形上作角AOP且使∠AOP=22.5°，P为边与扇形弧的交点，自P作PN⊥OA于N，PQ∥OA交OB于Q，并作OM⊥OA于M，则矩形MNPQ为面积最大的矩形，面积最大值为8.解：∵在［－

212R2.,］上，1+sinx＞0和1－sinx＞0恒成立，∴原函数可化为y= 6464log2(1－sin2x)=log2cos2x，又cosx＞0在［－,x∈［ －2≤cosx≤1.,］上，264］上恒成立，∴原函数即是y=2log2cosx,在∴log2ymin=－1.22≤log2cosx≤log21，即－1≤y≤0，也就是在x∈［－

,］上，ymax=0, 649.解:y1cosxacosx当0x若a22时,0cosx1.258a32(cosxa2)2a2458a12.1时,即a2,则当cosx1时,ymaxa2013a2322(舍去),a258a321a若0a若a2

时,ymaxa21,即0a2,则当cosx或a40(舍去).458a1210,即a0,则当cosx0时,ymax58a121a125(舍去).综合上述知，存在a32符合题设.京翰教育http:///

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相似三角形的性质 教案 篇14

例1 某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量.

方法如下：如图1，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米.然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图1，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米.

如图1，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度.

【解析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，进而利用相似三角形的性质得出AB的长.

因为△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，

则[ABED]=[BCDC]，[ABGF]=[BFFH].

即[AB1.5]=[BC2]，[AB1.65]=[BC+182.5].

解得AB=99.

答：“望月阁”的高AB的长度为99米.

例2 如图2，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米.已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为多少？

【解析】在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例.根据这一模型可以避免直接测量较高的物体如高楼、旗杆等的高度.只需测量出人与人影、楼影这些较易测量的长度就能计算出楼高.

由△BAC∽△EDF可得BC∶AC=EF∶DF，再将AC=1.6米，EF=15米，BC=0.5米代入，可求得大楼的高度为48米.

例3 如图3，小丽利用影长测量学校旗杆的高度.由于旗杆靠近一个建筑物，在某一时刻旗杆影子中的一部分映在建筑物的墙上，小丽测得旗杆AB在地面上的影长BC为20m，在墙上的影长CD为4m，同时又测得竖立于地面的1m长的标杆影长为2m，请帮助小丽求出旗杆的高度.

这个问题有以下三种构造相似模型的方法：

方法一：如图4，延长AD、BC交于点E.可知在没有建筑物的情况下旗杆的影子应为BE，根据标杆的有关情况即可知AB∶BE=1∶2.再由△EAB∽△EDC可得DC∶AB=EC∶EB，从而可求得EC=8m，EB=28m，则旗杆高度AB=14m.

方法二：如图5，过C作AD的平行线交AB于E.此时四边形ADCE为平行四边形，AE=DC=4m.而BE的影长即为BC，由已知可求得BE=10m.因此旗杆高为14m.

方法三：如图6，过点D作DE⊥AB于点E，易得BE=CD=4m，BC=DE=20m.AE的影长可看作DE，由标杆条件可得AE=10m，因此旗杆高度为14m.

除了测量高度，相似模型还应用于测量各种距离，如河面的宽度等，这样既简化了测量过程，也节约了操作成本.

其实，利用相似三角形模型解决实际问题，仅仅是它在生活应用中的一小部分.至于相似模型具体还能有哪些巧妙的应用，就等待着同学们再去探索！

《相似三角形的判定》说课稿 篇15

一、说教材

《相似三角形的判定》是华东师大版九年级上册中继学生学习了相似图形相似图形的性质判定、相似三角形之后的一个学习内容。它为后面测量和研究三角函数做了铺垫，在学习习近平面几何中起着承上启下的作用。因此必须熟练掌握三角形相似的判定，并能灵活运用。教材从三对角、两对角、一对角对应相等的顺序展开探究，符合学生认知规律。

二、说学情：

学生通过前面的学习已认识了相似图形的性质和判定，认识了相似三角形，这为探究三角形相似的判定做好了知识上的准备。九年级学生动手操作能力逐渐成熟，能主动参与本节课的操作、探究，充分体验获得知识的快乐。

三、说教法与学法指导：

本节课我将采用三学两测的模式进行教学，即学案引领自主探索、同伴合作，交流归纳、教师点拨，启发引导在生生互动，师生互动中借助多媒体开展教学。并进行基础知识测试综合能力测试来反馈课堂效果。

在学法指导上，激励学生积极参与、观察、发现，充分引导学生积极思维，鼓励学生进行合作学习，让每个学生都动口、动手、动脑，体会数学内容之间的联系，在解决问题的过程中，培养学生学习的主动性和积极性，让学生在愉悦的气氛中感受到数学学习的无穷乐趣。

四、说教学目标：

知识目标：

(1)探索判定两个三角形相似的条件，经历利用操作、归纳获得数学结论的过程。

(2)掌握如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，并应用其解决相关问题。

能力目标：通过观察、归纳、测量、实验、推理等手段，让学生充分体验得出结论的过程，感受发现的乐趣。让学生在观察中学会分析，在操作中学会感知，培养学生的合情推理能力、有条理的表达能力。

情感目标：培养学生的合作交流意识，培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现的科学精神。

五、说重点与难点：

重点：探究两个三角形相似的判定方法

难点：想方设法验证猜想

六、说教学过程的设计

新课程的理想课堂应该蕴含以下理论：生活性，发展性，主体性。应遵循以下原则：与学生生活实际联系紧，直观性强，动手要多，使学生兴趣要高，自信心要强，即用经验动手操作，观察，思考，释疑，归纳。所以本节课，我从学生的实际经验出发，引导学生观察，猜测，想像，验证，在动手实践中让学生自主地获取知识，理解知识，应用知识。利用多媒体展示学生的思维过程。利用实物投影展示学生动手过程，从而突破难点。并用课件设置了大量的不同梯度，不同类型的习题，扩大了课堂容量。

具体程序如下：

(一)复习旧知，导入新课

1、我们在判定两个三角形全等时，需要几个条件?

2、我们现在判定两个三角形是否相似需要哪些条件?是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢?你认为判定两个三角形相似至少需要几个条件?

(设计意图：在学生原有的知识基础上探究，让学生有信心。采用类比的方法思考，降低知识难度。鼓励学生大胆猜想，为后续学习铺垫)

(二)小组合作，探究新知

1、观察猜想：

学生观察自己与老师的30与60直角三角尺 问

1、学生与老师的三角尺看起来是否相似?

(设计意图：用同学们身边熟悉的两块同样角度的三角板的相似让同学们观察，对一个三角形分别与另一个三角形的三个角对应相等时，这两个三角形相似有一个具体的感知，为后面解决一般情况下的两个任意三角形的相似奠定了直观认识，体现数学中的从特殊到一般的思想渗透。)

问

2、从直观来看，这两个三角形的相似是因为哪些元素的关系而相似的?(三个角对应相等)

问

3、任意两个三角形的三个角对应相等，它们相似吗?

(设计意图：一个问题串引导学生思考，猜想，给出探究问题，指明研究方向)

2、合作探究：

在课前准备的方格纸上任意画两个三角形，使其三对角分别对应相等。用刻度尺量一量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边是否成比例，你能得出什么结论?(设计意图：在学生提出猜想后，通过用学生的实际操作来验证猜想，获取直观结论后，再用三组边对应成比例，三组角对应相等的两个三角形相似判定所画的三角形相似)

3、交流发现：

它们的对应边成比例，这两个三角形相似。即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4、小组讨论，形成结论：

根据三角形的内角和等于180，我们能不能得到判定两个三角形相似的简便方法?

我们知道如果两个三角形有两对角分别对应相等，那么第三对角也一定对应相等。所以如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

(设计意图：学生以前有过这样的经历，放手让学生尝试寻找简便方法，给学生思考的空间。)

5、深入思考，强化理解

思考问题：(投影)

1、如果两个三角形仅有一对角对应相等的，那么它们是否一定相似?

2、有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否一定相似?

3、顶角相等的两个等腰三角形是否一定相似?

4、有一个角相等的两个等腰三角形相似。

(设计意图：思考题的目的是为了让学生深入地理解相似三角形的判定方法中两个三角形必须满足两个角对应相等的条件，为更好地应用做准备，同时发展学生的说理能力。)

(三)例题精讲，规范解答：

例1 已知如图在△ABC中,已知ACB=90，CDAB于D，请找出图中的相似三角形，并说明理由。解：△CBD ∽△ABC ∽△ACD

∵ B CDB=ACB=90

△CBD ∽△ABC

同理△ABC ∽△ACD

△CBD ∽△ABC ∽△ACD

例2已知如图在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，证明：△ADE∽△EFC。

证明：∵DE∥BC，EF∥AB

ADE=EFC，AED=C，△ADE∽△EFC(如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似)(设计意图：在分析两个例题的过程中教会学生审题的方法，一方面从条件出发，通过思维的发散，得出一些结论;另一方面根据解决问题的需要明确要寻找的条件，做的有的放矢，提高学生合情推理的能力。两道例题的解题过程的书写是为了加强对推理过程的理解，并能运用自己的方式有条理的表达推理过程。)

(四)基础知识检测：

如图,□ABCD,过点A的直线交BD、BC、DC的延长线于点E、F、G.(1)与△ABD相似的三角形有____________________;

(2)与△AED相似的三角形有____________________;

(3)与△AEB相似的三角形有____________________;

(4)与△GFC相似的三角形有____________________;

(5)图中共有__________对相似三角形。(设计意图：为了进一步巩固相似三角形的判定方法，并熟悉由平行线构造的另一类相似的基本图形X型。)

(五)综合能力检测：

1、在△ABC与△DEF中, A=70B=42D=70E=68，这两个三角形相似吗?为什么?

2、已知：Rt△ABC中，ACB=90，点E是AC边所在直线上一点，且EDAB交AB(或AB延长线)于点D。思考：当点E在直线AC上运动时观察图中出现的相似三角形。

(设计意图：习题是让学生在探究过程中体验到在找对应角相等时要十分重视隐含条件，如公共角、对顶角、直角等，培养学生养成认真观察，注意寻找图形中的隐含信息的意识，设置开放性练习，拓展学生思维空间)

(六)课堂总结： 本节课你有什么收获?

(让学生从各个角度谈自己的收获)

1.、相似三角形的判定方法：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.2、在找对应角相等时要十分重视隐含条件，如公共角、对顶角、直角等。

3、掌握由平行线构造的两类相似图形：一类是A字型，另一类是X型。

4、常用的找对应角的方法：①已知角相等;②已知角度计算得出相等的对应角;③公共角;④对顶角;⑤同角的余(补)角相等。

(七)布置作业，巩固知识：课后习题。

(八)教学反思：