排列组合解题方法

排列组合解题方法（精选8篇）

排列组合解题方法篇1

相离问题插空法主要用来解决2个或若干个不相邻元素的排列组合问题，是解决排列组合问题的常见方法之一。它是指先把无位置要求，无条件限制的元素排列好，然后对有位置要求，受条件限制的元素进行整理，再将受条件限制的元素插入到已排列好的无条件限制元素的间隙或两端中。

例1 在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种?

解析：该题若直接进行解答较为麻烦，此时可以借助相离问题插空法，可以使问题迎刃而解。先将原来的6个节目排列好，这时中间和两端有7个空位，然后用一个节目去插7个空位，有A种方法;接着再用另一个节目去插8个空位，有A种方法;将最后一个节目插入到9个空位中，有A种方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法AAA=504种。

例2 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种?

解析：先排好8辆车有A种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有C种方法。故共有AC种方法。

2.相邻问题捆绑法

相邻问题捆绑法作为排列组合题最为常见的解法之一，就是在解决对于某几个元素相邻问题时，将相邻元素作为整体加以考虑，视为一个“大”元素参与排序，然后再单独对大元素内部各元素间的排列顺序进行一一分析排列。

例3 有6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有多少种?

解析：由于甲、乙两人必须要排在一起，故可将甲、乙两人捆绑起来作为一个整体进行考虑，即将两人视为一人，再与其他四人进行全排列，则有A种排法，甲、乙两人之间有A种排法。由分步计数原则可知，共AA=240种不同排法。

例4 6个球放进5个盒子，每个盒子都要放球，有多少种不同的方法?

A. 3600 B. 1800 C. 360 D. 120

解析：此题共6个球要分为5份，那么必有两个球在一起，所以从6球当中选择两球捆绑在一起的情况为C种，那么此时将捆绑的两球作为一个整体和另外4球进行全排列，则总的情况为CA=1800种。故选B.

3.多元问题分类法

多元问题分类主要用解决元素较多，情况多种时的排列组合问题。它是在弄清题意的基础上，按结果要求将其分成不相容的几类情况加以考虑，分别计数，最后一一相加，进行总计。，

例5 设集合I={1，2，3，4，5}。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法有多少种?

A. 15 B. 39 C. 45 D. 49

解析：若集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，则有：

(1)从5个元素中选出2个元素，有C=10种选法，小的给A集合，大的给B集合;

(2)从5个元素中选出3个元素，有C=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法;

(3)从5个元素中选出4个元素，有C=5种选法，再分成1、3;2、2;3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法;

(4)从5个元素中选出5个元素，有C=1种选法，再分成1、4;2、3;3、2;4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法;总计为：10+20+15+4=49种方法，故答案为D。

4.特殊元素优先安排法

特殊元素优先安排法是指在具有特殊元素的排列组合问题中，应优先对特殊元素进行安排，再考虑其它元素。

例6 用0，1，2，3，4这五个数组成没有重复数字的三位数，其中属于偶数的共有多少(C).

A. 60 B. 40 C. 30 D. 24

解析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，又因为0不能排在首位，故0是其中“特殊元素”，应对其进行优选考虑。按0排在末尾和不排在末尾的情况可以分为两类，具体包括：

(1)0排在末尾，有A种;(2)0不排在末尾时，先用偶数排个数，再排百位，最后排十位，有AAA种;由分类计数原理，共有偶数30种，故答案选C。

5.顺序固定问题用“除法”

在解决某些元素顺序一定的排列问题时，可先将这些顺序一定的元素与其他元素一起进行排列，然后再用总的排列数除以这些元素的全排列数。

例7 有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左至右，女生从矮到高排列，则共有多少种排法?

解析：先在7个位置上作全排列，有A=5040种排法。其中3个女生因要求“从矮到高”依次进行排列，只有一种顺序，对应的排法为A=6种，所有共有A / A=A=840种。

排列组合解题方法篇2

一、利用加法及乘法原理

加法、乘法原理是计数的两条基本原理,全部计数公式的推导都基于这两个原理,所以常被用于排列组合的应用题中。除此以外,单独用加、乘原理来解题也有独到之处。

例1某少先队小队有10位同学,现每2人组成一个互帮互学小组,共有多少种分组方法?

解:将10位同学排成一横排,先由最左端的同学挑选一个伙伴,共有9种选法,再由剩余的8位同学中最左端的人挑选一个伙伴,有7种选法,……,一直下去,由乘法原理知共有9×7×5×3×l=945种分组方法。

二、分类法

将要计数的集合按同一标准划分成若干个两两不相交的子集,即把整体分成若干个局部,使每一局部便于计数,在分类时必须做到既不重复也不遗漏。

例2有11位翻译,其中5人只会英语,4人只会日语,2人既会英语又会日语。现从11位翻译中选4名英文翻译和4名日文翻译,组成一个翻译小组,共有多少种选法?

解:以5位英语翻译为标准进行分类:

在选派的4名英文翻译中

(1)4人都只会英语,共有C54C64种。

(2)有3人只会英语,1人会英、日语,共有C53C21C54种。

(3)有2人只会英语,2人会英、日语,共有C53C21C54种。

所以,总选法有C54C64+C53C21C54+C53C21C54=185种。

三、排除法

排除法的基本思想就是:若集合A=B∪C,且B∩C=φ,则|B|=|A|-|C|.(|A|表示集合A的元素个数)

例3集合A=(-3、-2、-1、1、2、3、4)a、b∈A,Z=a+bi所表示的幅角主值大于45°的不同复数共有多少个?

解:显然幅角主值大于45°的复数比幅角主值小于等于45°的复数要多。现求0≤arg Z≤45°的复数个数,因为0≤arg Z≤45°的充要条件是045°的复数共有72-10=39个。

四、优限法

通过优先安排受限制的特殊元素和特殊位置的方法.

例4分配6人担任6种工作,某甲不担任其中某两种工作,共有多少种不同的分工方法?

解法一:优先安排特殊元素甲,我们从甲可担任的4种工作中选一种结果有C41种,再安排其余的5人有A55种,由乘法原理知共有C41A55=480种分工方法。

解法二:优先安排特殊位置“某两种工作”,我们从除甲外的5人选2人出来担任甲不能担任两种工作,共有A52种,再给余下的4人担任余下的4种工作,共有A44种,由乘法原理知共有A52A44=480种分工方法。

五、大元法

对于若干个元素要在一起的问题,通常是将这几个元素看成是一个大元素,再与其余的元素一起参加排列组合,这种方法就称为大元法。

例5把n个不同的球放入n个不同的匣子中,求恰有一个空匣子的放法?

解:先从n个不同的球中选出2个球,有Cn2种选法,并把选出的这两个球视为一个大元,与其余的有n-2个球一起放入n个匣子中,有Ann-1种放法,此时必有一个空匣,由乘法原理知,总的放法数为Cn2Ann-1种。

六、插空法

所谓插空法就是将一类元素或符号插入另一类元素的空档中,使之互不相邻的方法。

例6将8个“+”号和6个“-”号排成一排,求这些符号恰好变化5次后的排列种数。

解:先将6个“-”号排成一排,并从中间的5个空档中选出2个插入两块隔板“|”,将其任意分成有顺序的3组,这时,有C52种分组方法,其次再将8个“+”排成一排,这时有9个空档,我们将上述分成3组的6个“-”号中的前两组插入“+”中间7个空档中的2个,再把剩下的一组数放到首尾的空档中的一个,这时,有C72C21种插法,且这些符号恰好变化5次,故总的排法种数为C52C72C21=420种。

七、集合法

设集合Ai有ni个元素(i=1、2、…、r),则从每一个集合各取一个元素的所有不同取法有n1n2…ni种,这种方法称之为集合法。

例7某体育室现有相同的篮球5个,排球3个,足球2个,一个学生去借这些球一次借n个不限,问共有多少种借法?

解:因为篮球有不借、借1个、……、借5个共6种借法,我们把这些借法用集合A={0、1、2、3、4、5}表示,同理排球和足球的借法分别用集合B={0、1、2、3}和C={0、1、2}记之,由集合法知不同的借法为6×4×3=72种。由于在集合A、B、C中都取0表示不借应排除,故满足题设的不同借法为72-l=71种。

八、配对法

配对法主要是基于配对原理:设集合A、B,若A与B能建立起一一对应关系,则|A|=|B|。

例8在装有号码为1、2、…、N的球的球箱中,有放回地摸了n次球,依次记下其号码,试求这些号码按严格上升次数排列的可能种数。

解:一个从N个元素中选n个元素的组合对应一种从N个元素中选n个元素的严格上升排列,反之亦然。所以二者之间有一一对应关系。由于N个元素中选n个元素的组合有CNn种。故按严格上升次序的排列数也应有CNn种。

九、对称法

根据某事件或元素的对称地位来计数的方法。

例9从a、b、c、d、e、f中选4个作排列,求字母a在b前面的排法有多少种?

解:因为a、b以同等机会排在4个位置上,所以a排在b前面的排法与b排在a前面的排法种数一样多,又由于包含a、b在内的4个元素的排列,共有C42A 44种,所以a排在b前面的排法共C42A 44/2=72种。

十、递推法

所谓递推法就是利用递推关系找出计数方式的方法.

例10 5个方格排成一行,用红、黄、蓝3种颜色上色,但相邻两格不能同时涂上红色,求这5个方格有多少种上色方式。

解:用an表示这n个方格上色的种数。如果第一个方格涂红色,则第二个方格只能有黄色或蓝色两种选择,这时,后面的n-2个方格有an-2种上色方式,如果第一个方格涂黄色或蓝色,这时后面n-1个方格有an-1种上色方式,由此得递推式:

易求得当n=1时,a1=3;当n=2时,a2=8.

由递推式,a5=16a2+12a1=164,所以5个方格共有164种上色方式。

排列组合解题方法篇3

一、分组（堆）问题

分组（堆）问题的6个模型：①无序不等分;②无序等分;③无序局部等分;④有序不等分;⑤有序等分;⑥有序局部等分.

处理问题的原则：

（1）若干个不同的元素“等分”为n堆，要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以n！;

（2）若干个不同的元素局部“等分”有k个均等堆，要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以k！;

（3）非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积;

（4）要明确堆的顺序时，必须先分堆后，再把堆数当作元素个数进行全排列.

例1 有4项不同的工程，要分包给3个工程队，要求每个工程队至少分到一项工程，共有多少种不同的分包方式？

解：要完成分包这件事，可以分为两个步骤：

①先将4项工程分为3“堆”，有C24C12C11A22=6种分法;

②再将分好的3“堆”依次分给3个工程队，有3！=6种分法.所以，共有6×6=36种不同的分包方式.

二、不相邻元素“插空法”

解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素，然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.

例2 7人排成一排，甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？

解：分两步进行：

①把除甲乙以外的其他5人排列，有A55=120种排法;

②将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中（插空），有A26=30种插入法.

所以，共有120×30=3600种排法.

注意：几个元素不能相邻时，先排一般元素，再让特殊元素插空.

三、相邻元素“捆绑法”

相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.

例3 6人排成一排，甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？

解：可分两步进行：

①把甲乙排列（捆绑），有A22=2种捆法;

②把甲乙两人的捆看作一个人与其他的4人排队，有A55=120种排法.

所以，共有2×120=240种排法.

注意：几个元素必须相邻时，先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.

四、消序法（留空法）

几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序，或者先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.

例4 5个人站成一排，甲总是站在乙的右侧有多少种站法？

解法1：将5个人依次站成一排，有A55种站法，然后再消去甲乙之间的顺序数A22，所以甲总站在乙的右侧站法总数为A55A22=A35=60.

解法2：先让甲乙之外的3人从5个位置选出3个站好，有A35种站法，留下的两个位置自然给甲乙，有1种站法.所以，甲总站在乙右侧的站法总数为A35×1=A35.

五、隔板法

n个相同小球放入m（m≤n）个盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同的小球穿成一串，从间隙里选m-1个结点剪截成m段.

例5 某校准备参加今年高中数学联赛，把16名选手名额分配到高三年级的1～4个教学班，每班至少一个名额，则不同的分配方案共有种.

解：问题等价于把16个相同的小球放入4个盒子里，每个盒子里至少有一个小球的放法种数问题.将16个小球穿成一串，截为4段有C315=455种截断法，对应放到4个盒子里.因此，不同的分配方案共有455种.

变式：某校准备参加今年高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的1～4个数学班，每班的名额不少于该班序号数，则不同的分配方案共有多少种？

解：问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把剩余的10个相同小球放入4个盒子里，每个盒子至少有一个小球的方法种数问题.将10个小球穿成一串，截为4段，有C39种截法，对应放到4个盒子里.因此，不同的分配方案共C39=84种.

六、错位法

编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里，每个盒子里放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列.

例6 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里，每个盒子放一个小球，其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有多少种？

解：选取编号相同的两组球和盒子的方法有C26=15种，其余4组球与盒子需错位排列有9种方法.故所求方法有：15×9=135种.

七、剔除法

从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性.

例7 以正方体的顶点为顶点的四面体有多少个？

解：正方体8个顶点从中每次取4个，理论上可构成C48种四面体，但6个表面和6个对角面的4个顶点共面就不能构成四面体.所以四面体实际有C48-12=58个.

变式：某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种.

解法1：分两类：①A类选修课2门，B类选修课1门，有C23×C14种;②A类选修课1门，B类选修课2门，有C13×C24种.故共有C23×C14+C13×C24=30种.

解法2：从7门中任意选修3门，有C37种，减去3门同时在A类选修课（C33）或B类选修课（C34）中，故共有C37-C33-C34=30种.

八、圆排问题线排法

n个元素圆排列数有n！n种.

例8 5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同的站法？

解：根据乘法原理，分两步：第一步是把5对姐妹看作5个整体，进行排列有5！种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圆圈，就会产生5个重复，因此实际排法只有5！5=24种.第二步每一对姐妹之间又可以相互交换位置，也就是说每一对姐妹均有2种排法，共有25=32种.所以应有24×32=768种站法.

九、可重复的排列求幂法

重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复.把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是正确判断哪个是底数，哪个是指数.

例9 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有种.

解：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能.因此共有83种不同的结果.

排列组合解题方法篇4

排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合问题是历年国家公务员考试行测的必考题型，“16字方针”是解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

一、试验：题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。

例、将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4，的方格中，每方格填1个，方格标号与所填数字均不相同的填法种数有()

A6 B.9 C.11 D.23

解析：第一方格内可填2或3或4，如第一填2，则第二方格可填1或3或4，若第二方格内填1，则后两方格只有一种方法;若第二方格填3或4，后两方格也只有一种填法。一共有9种填法，故选B

二、不相邻问题用“插空法”：对某几个元素不相邻的排列问题，可将其他元素排列好，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。

三、合理分类与准确分步：含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

四、消序

例、4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。

解析：先在7个位置中任取4个给男生，有种排法，余下的3个位置给女生，只有一种排法，故有种排法。

五、顺序固定用“除法”：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。

经验分享：虽然自己在这帖子里给大家发了很多感慨，但我更想跟大家说的是自己在整个公务员考试的过程中的经验的以及自己能够成功的考上的捷径。首先就是自己的阅读速度比别人的快考试过程中的优势自然不必说，平时的学习效率才是关键，其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。公务员考试这种选人的方式第一就是考解决问题的能力，第二就是考思维，第三考决策力（包括轻重缓急的决策）。非常多的人输就输在时间上，我是特别注重效率的。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出20几分钟，这在考试中是非常不得了的。论坛有个帖子专门介绍速读的，叫做“得速读者得行测”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了笔试的好成绩。其实，不只是行测，速读对申论的帮助更大，特别是那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。当然，有经济条件的同学，千万不要吝啬，花点小钱在自己的未来上是最值得的，多少年来耗了大量时间和精力，现在既然势在必得，就不要在乎这一刻。建议有条件的同学到这里用这个软件训练速读，大概30个小时就能练出比较厉害的快速阅读的能力，这是给我帮助非常大的学习技巧，极力的推荐给大家.（给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl键，然后鼠标左键点击本行文字）

六、对应

例、在100名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场失败要退出比赛)最后产生一名冠军，要比几场?

解析：要产生一名冠军，要淘汰冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，要淘汰一名就要进行一场，故赛99场。

七、分排问题用直接法：把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的排方法来处理。

八、住店法：解决“允许重复排列问题”要区分两类元素，一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作店，再利用分步计数原理直接求解称“住店法”

例.7名学生争五项冠军，获得冠军的可能种数有()

A.种 B.种 C.种 D.种

解析：七名学生看作七家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个客有7种住法，由分步计数原理可得种，故选A

九、特殊元素的“优先排列法”：对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考其他的元素。

十、相邻问题用捆绑法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。

十一、探索：对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要认真分析，探索出其规律

例、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法种数有多少种。

解析：两个数相加中以较小的数为被加数，1+100>100，1为被加数时有1种，2为被加数有2种，…，49为被加数的有49种，50为被加数的有50种，但51为被加数有49种，52为被加数有48种，…，99为被捕加数的只有1种，故不同的取法有(1+2+3+…+50)+(49+48+…+1)=2500种

排列组合典型例题篇5

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：

如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．

如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．

如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．

解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有A9个；

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有A4A8A8（个）．

∴ 没有重复数字的四位偶数有

11232296

A9A4A8A85041792个．

解法2：当个位数上排“0”时，同解一有A9个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：13A4(A9A82)个

3311

2∴

没有重复数字的四位偶数有

A9A4(A9A8)50417922296个．

解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有

A5A5A8个

干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有

11A4A4A82个 11231

32∴ 没有重复数字的四位偶数有

A5A5A8A4A4A82296个．

解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．

没有重复数字的四位数有A10A9个．

其中四位奇数有A5(A9A8)个

/ 13

***∴ 没有重复数字的四位偶数有

4313333A10A9A5(A9A82)10A9A95A95A82

34A95A82

36A825A82

41A82

2296个

说明：这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用．

典型例题二

例2 三个女生和五个男生排成一排

（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？

（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有A6种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有A3对种不同的排法，因此共有A6A34320种不同的排法．

（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有A5种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有A6种方法，因此共有A5A614400种不同的排法．

（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A5种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A6种排法，所以共有6A52A614400种不同的排法． 2635353636

解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有A8种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A3A7种排法和女生排在末位的A3A7种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有A3A6种不同的排法，所以共有

2617178 2 / 1 8176A82A3A7A32A614400种不同的排法．

解法3：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有A6种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有A5种不同的排法，所以共有35A6A514400种不同的排法，53（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有A5A7种不同的排法；如果首位排女生，有A3种排法，这时末位就只能排男生，有A5种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有A6种不同的排法，这样可有A3A5A6种不同排法．因此共有A5A7A3A5A636000种不同的排法．

解法2：3个女生和5个男生排成一排有A8种排法，从中扣去两端都是女生排法A3A6种，就能得到两端不都是女生的排法种数．

因此共有A8A3A636000种不同的排法．

说明：解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法．

若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件．

若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素．

间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快．

捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用． ***6171典型例题三

例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？

（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？

解：（1）先排歌唱节目有A5种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有A6中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：A5A6＝43200.（2）先排舞蹈节目有A4中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：A4A5＝2880种方法。

说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。

4545454 3 / 1 如本题（2）中，若先排歌唱节目有A5，再排舞蹈节目有A6，这样排完之后，其中含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求。

54典型例题四

例4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法．

分析与解法1：6六门课总的排法是A6，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有A5种排法，如图中Ⅰ；数学排在最后一节有A5556种排法，如图中Ⅱ；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中Ⅲ，这种情况有A4种排法，因此符合条件的排法应是：

A62A5A4504（种）．

分析与解法2：根据要求，课程表安排可分为4种情况：

（1）体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有A4A4种；

（2）数学排在第一节但体育不排在最后一节，有排法A4A4种；

（3）体育排在最后一节但数学不排在第一节，有排法A4A4种；

（4）数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法A这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有：

A4A4A4A4A4A4504（种）．

分析与解法3：根据要求，课表安排还可分下述4种情况：

（1）体育，数学既不在最后也不在开头一节，有A412种排法；

（2）数学排在第一节，体育不排在最后一节，有4种排法；

（3）体育在最后一书，数学木在第一节有4种排法；

（4）数学在第一节，体育在最后一节有1种排法．

上述 21种排法确定以后，仅剩余下四门课程排法是种A4，故总排法数为21A4504（种）．

下面再提出一个问题，请予解答．

问题：有6个人排队，甲不在排头，乙不在排尾，问并肩多少种不同的排法．

请读者完成此题．

说明：解答排列、组合问题要注意一题多解的练习，不仅能提高解题能力，而且是检验所解答问题正确与否的行之有效的方法．

***46544 4 / 1

3典型例题五

例5 现有3辆公交车、每辆车上需配1位司机和1位售票员．问3位司机和3位售票员，车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？

分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：，然后把3名司机和3名售票员分别填入．因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题．

解：分两步完成．第一步，把3名司机安排到3辆车中，有A36种安排方法；第二步把3名售票员安排到3辆车中，有A36种安排方法．故搭配方案共有

33A3A336种．

33说明：许多复杂的排列问题，不可能一步就能完成．而应分解开来考虑：即经适当地分类成分或分步之后，应用分类计数原理、分步计数原理原理去解决．在分类或分步时，要尽量把整个事件的安排过程考虑清楚，防止分类或分步的混乱．

典型例题六

例6 下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？

学校 1 2 3 1 1 1 专业 2 2 2

分析：填写学校时是有顺序的，因为这涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的问题；同一学校的两个专业也有顺序，要区分出第一专业和第二专业．因此这是一个排列问题．

解：填表过程可分两步．第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并加排列，共有A4种不同的排法；第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有A3A3A3种．综合以上两步，由分步计数原理得不同的填表方法有：A4A3A3A35184种．

说明：要完成的事件与元素的排列顺序是否有关，有时题中并未直接点明，需要根据实际情景自己判断，特别是学习了后面的“组合”之后这一点尤其重要．“选而且排”（元素之间有顺序要求）的是排列，“选而不排”（元素之间无顺序要求）的是组合．另外，较复杂的事件应分解开考虑．

32222223典型例题七

/ 1

3例5 7名同学排队照相．

(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？

(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？

(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照，7人中有4名男生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 3名女生，分析：(1)可分两步完成：第一步，从7人中选出3人排在前排，有A7种排法；第二步，剩下的4人排在后排，有A4种排法，故一共有A7A4A7种排法．事实上排两排与排成一排一样，只不过把第4~7个位子看成第二排而已，排法总数都是A7，相当于7个人的全排列．(2)优先安排甲、乙．(3)用“捆绑法”．(4)用“插空法”．解：(1)A7A4A75040种．

(2)第一步安排甲，有A3种排法；第二步安排乙，有A4种排法；第三步余下的5人排在剩下的5个位置上，有A5种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有115A3A4A51440种．

5***(3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余4个元素排成一排，即看成5个元素的全排列问题，有A5种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有A3种排法．由分步计数原理得，共有A5A3720种排法．

(4)第一步，4名男生全排列，有A4种排法；第二步，女生插空，即将3名女生插入4名男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，易知有A5种插入方法．由分步计数原理得，符合条件的排法共有：A4A51440种．

说明：(1)相邻问题用“捆绑法”，即把若干个相邻的特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，与其他普通元素全排列；最后再“松绑”，将这些特殊元素进行全排列．(2)不相邻问题用“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．

43353534典型例题八

例8 从2、3、4、5、6五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和．

分析：可以从每个数字出现的次数来分析，例如“2”，当它位于个位时，即形如

/ 1 的数共有A4个（从

3、，当这些数相加时，由“2”4、5、6四个数中选两个填入前面的两个空）所产生的和是A42．当2位于十位时，即形如

222的数也有A4，那么当这些数相加时，2由“2”产生的和应是A4210．当2位于面位时，可同理分析．然后再依次分析3、4、5、6的情况．

解：形如2的数共有A4个，当这些数相加时，由“2”产生的和是A42；形如

222的数也有A4个，当这些数相加时，由“2”产生的和是A4210；形如

2的数也有A42个，当这些数相加时，由“2”产生的和应是A42100．这样在所有三位数的和中，由“2”产生的和是A42111．同理由3、4、5、6产生的和分别是A43111，A44111，222111(23456)26640． A45111，A46111，因此所有三位数的和是A4222说明：类似于这种求“数字之和”的问题都可以用分析数字出现次数的办法来解决．如“由1,4,5,x四个数字组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，求数x”．本题的特殊性在于，由于是全排列，每个数字都要选用，故每个数字均出现了A424次，故有24(145x)288，得x2． 4典型例题九

例9 计算下列各题：

m1nmAnA1nm(1)A；

(2)A；

(3)； n1An121566(4)1!22!33!nn!

(5)

123n1 2!3!4!n!解：(1)A151514210；(2)A66!654321720;(3)原式62(n1)!1(nm)!

[n1(m1)!](n1)!(n1)!1(nm)!1；

(nm)!(n1)!(4)原式(2!1)(3!2!)(4!3!)[(n1)!n!]

/ 1 (n1)!1；

(5)∵n111，n!(n1)!n!123n1 2!3!4!n!1111111111． 1!2!2!3!3!4!(n1)!n!n!∴说明：准确掌握好排列公式是顺利进行计算的关键．

本题计算中灵活地用到下列各式：

n!n(n1)!；nn!(n1)!n!；

n111；使问题解得简单、快捷． n!(n1)!n!典型例题十

例10 a,b,c,d,e,f六人排一列纵队，限定a要排在b的前面（a与b可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法．对这个题目，A、B、C、D四位同学各自给出了一种算式：A的算式是161111144A2A3A4A5)A4；C的算式是A6； A6；B的算式是(A124．上面四个算式是否正确，正确的加以解释，不正确的说明理由． D的算式是C62A4解：A中很显然，“a在b前的六人纵队”的排队数目与“b在a前的六人纵队”排队数目相等，而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和．这表明：A的算式正确．

B中把六人排队这件事划分为a占位，b占位，其他四人占位这样三个阶段，然后用乘法求出总数，注意到a占位的状况决定了b占位的方法数，第一阶段，当a占据第一个位置时，b占位方法数是A5；当a占据第2个位置时，b占位的方法数是A4；„„；当a占据第5个位置时，b占位的方法数是A1，当a，b占位后，再排其他四人，他们有A4种排法，可见B的算式是正确的．

1411C中A64可理解为从6个位置中选4个位置让c,d,e,f占据，这时，剩下的两个位置依前后顺序应是a,b的．因此C的算式也正确．

这两个位置让a,b占据，显然，a,b占D中把6个位置先圈定两个位置的方法数C62，据这两个圈定的位置的方法只有一种（a要在b的前面），这时，再排其余四人，又有A4种排法，可见D的算式是对的． 8 / 1 说明：下一节组合学完后，可回过头来学习D的解法．

典型例题十一

例11 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？

解法1：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况．应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：

215215A4A2A5A4A4A58640(种)．

解法2：采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法．把“甲坐在第一排的八人坐法数”看成“总方法数”，这个数目是A4A7．在这种前提下，不合题意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法．”这个数目是A4C2A3A4A5．其中第一个因数

111A4表示甲坐在第一排的方法数，C2表示从乙、丙中任选出一人的办法数，A3表示把选出

1111517的这个人安排在第一排的方法数，下一个A4则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排的方法数，A5就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为

1711115A4A7A4C2A3A4A58640(种)． 51说明：解法2可在学完组合后回过头来学习．

典型例题十二

例12 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有（）．

A．A4A

5B．A3A4A5

C．C3A4A5

D．A2A4A5

解：将同一品种的画“捆”在一起，注意到水彩画不放在两端，共有A2种排列．但4幅油画、5幅国画本身还有排列顺序要求．所以共有A2A4A5种陈列方式．

∴应选D．

说明：关于“若干个元素相邻”的排列问题，一般使用“捆绑”法，也就是将相邻的若干个元素“捆绑”在一起，看作一个大元素，与其他的元素进行全排列；然后，再“松绑”，将被“捆绑”的若干元素，内部进行全排列．本例题就是一个典型的用“捆绑”法来解答的问题．

***典型例题十三

/ 1

3例13 由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（）．

A．210

B．300

C．46

4D．600 解法1：（直接法）：分别用1,2,3,4,5作十万位的排列数，共有5A5种，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有

5155A5300个． 265解法2：（间接法）：取0,1,,5个数字排列有A6，而0作为十万位的排列有A5，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有

165(A6A5)300(个)． 2∴应选B．

说明：(1)直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法，何时使用直接法或间接法要视问题而定，有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦，这时应考虑能否用间接法来解．

(2)“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”具有对称性，这两类的六位数个数一样多，即各占全部六位数的一半，同类问题还有6个人排队照像时，甲必须站在乙的左侧，共有多少种排法．

典型例题十四

例14 用1,2,3,4,5，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）． A．24个

B．30个

C．40个

D．60个

分析：本题是带有附加条件的排列问题，可以有多种思考方法，可分类，可分步，可利用概率，也可利用本题所提供的选择项分析判断．

解法1：分类计算．

将符合条件的偶数分为两类．一类是2作个位数，共有A4个，另一类是4作个位数，也有A4个．因此符合条件的偶数共有A4A424个．

解法2：分步计算．

先排个位数字，有A2种排法，再排十位和百位数字，有A4种排法，根据分步计数原理，三位偶数应有A2A424个．

解法3：按概率算．

用15这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有A560个，其中偶点其中的32222121222．因此三位偶数共有6024个． 55解法4：利用选择项判断．

/ 1 用15这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有A560个．其中偶数少于奇数，因此偶数的个数应少于30个，四个选择项所提供的答案中，只有A符合条件． ∴应选A．

3典型例题十五

例15(1)计算A12A23A38A8．

(2)求Sn1!2!3!n!(n10)的个位数字．

分析：本题如果直接用排列数公式计算，在运算上比较困难，现在我们可以从和式中项的特点以及排列数公式的特点两方面考虑．在(1)中，项可抽象为nnnnn1nnAn(n11)An(n1)AnnAnAn1An1238，(2)中，项为n!n(n1)(n2)321，当n5时，乘积中出现5和2，积的个位数为0，在加法运算中可不考虑．

解：(1)由nAn(n1)!n!

∴原式2!1!3!2!9!8!9!1!362879．(2)当n5时，n!n(n1)(n2)321的个位数为0，∴Sn1!2!3!n!(n10)的个位数字与1!2!3!4!的个位数字相同．而1!2!3!4!33，∴Sn的个位数字为3．

说明：对排列数公式特点的分析是我们解决此类问题的关键，比如：求证： n123n11，我们首先可抓等式右边的 2!3!4!(n1)!(n1)!nn11n1111，(n1)!(n1)!(n1)!(n1)!n!(n1)!∴左边11111111右边． 2!2!3!n!(n1)!(n1)!典型例题十六

例16 用0、组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个1、2、3、4、5共六个数字，无重复数字的3位偶数？(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数？

/ 1 分析：3位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是0，由于个位用或者不用数字0，对确定首位数字有影响，所以需要就个位数字用0或者用

2、一个自然数能被3整4进行分类．除的条件是所有数字之和是3的倍数，本题可以先确定用哪三个数字，然后进行排列，但要注意就用与不用数字0进行分类．

解：(1)就个位用0还是用2、2、3、4中任取两4分成两类，个位用0，其它两位从

1、数排列，共有A412(个)，个位用2或4，再确定首位，最后确定十位，共有224432(个)，所有3位偶数的总数为：123244(个)．

(2)从0、1、2、3、4、5中取出和为3的倍数的三个数，分别有下列取法：(012)、(015)、(024)、(045)、(123)、(135)、(234)、(345)，前四组中有0，后四组中没有0，用它们排成三位数，如果用前4组，共有42A216(个)，如果用后四组，共有4A324(个)，所有被3整除的三位数的总数为162440(个)． 32典型例题十七

例17 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻空位不相邻，共有几种坐法？

分析：对于空位，我们可以当成特殊元素对待，设空座梯形依次编号为1、2、3、4、5、6、7．先选定两个空位，可以在1、2号位，也可以在2、3号位„共有六种可能，再安排另一空位，此时需看到，如果空位在1、2号，则另一空位可以在4、5、6、7号位，有4种可能，相邻空位在6、7号位，亦如此．如果相邻空位在2、3号位，另一空位可以在5、6、7号位，只有3种可能，相邻空位在3、4号，4、5号，5、6号亦如此，所以必须就两相邻空位的位置进行分类．本题的另一考虑是，对于两相邻空位可以用合并法看成一个元素与另一空位插入已坐人的4个座位之间，用插空法处理它们的不相邻．

解答一：就两相邻空位的位置分类：

若两相邻空位在1、2或6、7，共有24A4192(种)坐法．

若两相邻空位在2、3，3、4，4、5或5、6，共有43A4288(种)不同坐法，所以所有坐法总数为192288480(种)．

解答二：先排好4个人，然后把两空位与另一空位插入坐好的4人之间，共有4A4A52480(种)不同坐法．

44解答三：本题还可采用间接法，逆向考虑在所有坐法中去掉3个空位全不相邻或全部相

/ 13

邻的情况，4个人任意坐到7个座位上，共有A7种坐法，三个空位全相邻可以用合并法，直接将三个空位看成一个元素与其它座位一起排列，共有A5种不同方法．三个空位全不相邻仍用插空法，但三个空位不须排列，直接插入4个人的5个间隔中，有A410种不同方法，所以，所有满足条件的不同坐法种数为A7A510A4480(种)．

排列组合教案篇6

引例1

现有四个小组，第一组7人，第二组8人，第三组9人，第四组10人，他们参加旅游活动：

(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法。

(2)每组选一名组长，共有多少种不同的选法4

评述：本例指出正确应用两个计数原理。

引例2

(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条?

(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?

评述：本例指出排列和组合的区别。

求解排列组合应用题的困难主要有三个因素的影响：

1、限制条件。2、背景变化。3、数学认知结构

排列组合应用题可以归结为四种类型：

第一个专题排队问题

重点解决：

1、如何确定元素和位置的关系

元素及其所占的位置，这是排列组合问题中的两个基本要素。以元素为主，分析各种可能性，称为“元素分析法”;以位置为主，分析各种可能性，称为“位置分析法”。

例：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法?

分析：这可以说是一道较简单的排列组合的题目了，但为什么有的同学能做出正确的答案(种)，而有的同学则做出容易错误的答案(种)，而他们又错在哪里呢?应该是错在“元素”与“位置”上了!

法一：元素分析法(以信为主)

第一步：投第一封信，有4种不同的投法;

第二步：接着投第二封信，亦有4种不同的投法;

第三步：最后投第三封信，仍然有4种不同的投法。

因此，投信的方法共有：(种)。

法二：位置分析法(以信箱为主)

第一类：四个信箱中的某一个信箱有3封信，有投信方法(种);

第二类：四个信箱中的某一个信箱有2封信，另外的某一个信箱有1封信，有投信方法种。

第三类：四个信箱中的某三个信箱各有1封信，有投信方法(种)。

因此，投信的方法共有：64(种)

小结：以上两种方法的本质还是“信”与“信箱”的对应问题。

2、如何处理特殊条件——特殊条件优先考虑。

例：7位同学站成一排，按下列要求各有多少种不同的排法;

甲站某一固定位置;②甲站在中间，乙与甲相邻;③甲、乙相邻;④甲、乙两人不能相邻;⑤甲、乙、丙三人相邻;⑥甲、乙两人不站在排头和排尾;⑦甲、乙、丙三人中任何两人都不相邻;⑧甲、乙两人必须相邻，且丙不站在排头和排尾。

第二个专题排列、组合交叉问题

重点解决：

1、先选元素，后排序。

例：3个大人和2个小孩要过河，现有3条船，分别能载3个、2个和1个人，但这5个人要一次过去，且小孩要有大人陪着，问有多少种过河的方法?

分析：设1号船载3人，2号船载2人，3号船载2人，小孩显然不能进第3号船，也不能二个同时进第2号船。

法一：从“小孩”入手。

第一类：2个小孩同时进第1号船，此时必须要有大人陪着另外

2个大人同时进第2号船或分别进第2、3号船，先选3个大人之一进1号船，

有(种)过河方法

第二类：2个小孩分别进第1、2号船，此时第2号船上的小孩必须要有大人陪着，另外

2个大人同时进第1号船或分别进第1、3号船，有过河方法

(种)。

因此，过河的方法共有：(种)。

法二：从“船”入手

第一类：第1号船空一个位，此时3条船的载人数分别为2、2、1，故2个小孩只能分

别进第1、2号船，有过河方法(种);

第二类：第2号船空一个位，此时3条船的载人数分别为3、1、1，故2个小孩只能同时进第1号船，有过河方法(种);

第三类：第3号船空一个位，此时3条船的载人数分别为3、2、0，故2个小孩同时进第1号船或分别进第1、2号船，有过河方法(种)。因此，过河的方法共有：(种)。

2、怎样界定是排列还是组合

例：①身高不等的7名同学排成一排，要求中间的高，从中间看两边，一个比一个矮，这样的排法有多少种?

②身高不等的7名同学排成一排，要求中间的高，两边次高，再两边次高，如此下去，这样的排法共有有多少种?

答：①种②=8种

本来①是组合题，与顺序无关，但有些学生不加分析，看到排队就联想排列，这是一个误区。至于②也不全是排列问题，只是人自然有高低，按人的高低顺次放两边就是了。

又例：7名同学排成一排，甲、乙、丙这三人的顺序定，则不同排法有多少种?

分析，三人的顺序定，实质是从7个位置中选出三个位置，然后按规定的顺序放置这三人，其余4人在4个位置上全排列。故有排法=840种。

3、枚举法

三人互相传球，由甲开始传球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有

(A)6种(B)8种(C)0种(D)12种

解：(枚举法)该题新颖，要在考试短时间内迅速获得答案，考虑互传次数不多，所得选择的答案数字也不大，只要按题意一一列举即可。

第三个专题分堆问题

重点解决：

1、均匀分堆和非均匀分堆

关于这个问题，课本P146练习10如此出现：8个篮球队有2个强队，先任意将这8各队分成两个组，(每组4个队)进行比赛，这两个强队被分成在一个小组的概率是多少?

由于课本后面出现这样的练习题，所以前面应对这些问题有所分析，尤其为什么均匀分堆有出现重复?应举例说明。

例：有六编号不同的小球，

①分成3堆，每堆两个

②分成3堆，一堆一个，一堆两个，一堆三个

③分成3堆，一堆一个，一堆一个，一堆四个

在①、②、③的条件下，再分别给三个小朋友玩，每人一堆，有多少种分法?

分析：①、②、③都是分堆，其中①是三个均匀分堆，有3!重复，③是两个均匀分堆，有2!重复，如此类推。②是非均匀分堆，不可能出现重复。在教学中应用数字表示球，通过列举法说明重复的可能，以及避免重复。

例：有六编号不同的小球，

①分成3堆，每堆两个

②分成3堆，一堆一个，一堆两个，一堆三个

③分成3堆，一堆一个，一堆一个，一堆四个

在①、②、③的条件下，再分别给三个小朋友玩，每人一堆，有多少种分法?

分析：①、②、③都是分堆，其中①是三个均匀分堆，有3!重复，③是两个均匀分堆，有2!重复，如此类推。②是非均匀分堆，不可能出现重复。在教学中应用数字表示球，通

过列举法说明重复的可能，以及避免重复。

答案：①②③④再乘以

2、为什么有重复，怎样避免重复

例：从4名男生、5名女生中任选3人参加学代会，至少男生、女生各一名的不同选法有多少种?

有些学生这样想：先从4人中选一人，再从5人中选一人，最后在剩下的7人中选一人，结果是结果是错误的。因为后面的7人与前面已选的人可能出现重

复，正确的答案是。

又例：有4个唱歌节目，4个舞蹈节目，2个小品排成一个节目单，但舞蹈和小品要相隔，不同的编排有多少种方法?

有些学生这样想，先定位4个唱歌，有5个位插入小品两个位，此时有7个位再插入4个舞蹈，故的表达式是。

其实，这里又出现了重复，正确的列式是

第四个专题直接法和间接法的区别及运用

重点解决：

1、选择集合的元素有交集问题;

例：七人并坐一排，要求甲不坐首位，乙不坐末位，共有几种不同的坐法?

法一：直接法

第一类：甲在第2—6号位中选一而坐，接着乙在第1—6位中余下的5个位中择一而坐，剩下的任意安排(种);

第二类：甲在第7号坐，剩下的任意安排，有坐法数(种)。

因此，不同的坐法数共有(种)。

法二：间接法

七人并坐，共有坐法数(种)。甲坐首位，有种方法;乙坐末位，亦有种方法。甲坐首位、乙坐末位都不符合题目要求，所以应该从扣除，但在扣除的过程中，甲坐首位且乙坐末位的情况被扣除了2次，因此还须补回一个。因此，不同的坐法数有(种)

2、选择元素中有至少、至多等问题。

在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从100见产品中任意抽取3件，(1)至少有一件是次品的抽法有多少种?(2)至多有一件次品的抽法有多少种?

答：(1)解法1：

解法2：

(2)

以上的处理，主要有如下几个好处：

①教学比较自然、流畅，容易对近似概念进行比较，找到其相同点和不同点，更深刻的从外延到内涵掌握概念及其数学意义。

②把相关概念弄清楚后，能给学生有足够的工具，使学生解决应用题时不在被工具而困扰，形成良好知识结构，解决问题的思路容易畅通

③重点突出，学生就比较容易把每一个难点和重点给予突破，减轻学生的负担又能实现学生的学习落到实处。

排列、组合题的解题策略篇7

我们知道, 排列的定义是:从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素, 按一定的顺序排成一列, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.而排列数的定义是:从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素的所有排列的个数, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.

组合的定义是:从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素, 并成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合数的定义是:从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素的所有组合的个数, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.

排列与组合二者最根本的区别在于是否与顺序有关.下面, 笔者就教学中的排列、组合的一些解题策略作一阐述.

一、解排列应用问题常见方法

1.无限制条件的简单排列应用问题, 可直接用公式求解.

2.有限制条件的排列问题, 可根据具体的限制条件, 用“直接法”或“间接法”求解.

3.“相邻”问题在解题时常用“捆绑法”, 可以把两个或两个以上的元素当做一个元素来看, 这是处理相邻问题最常用的方法.

4.“不相邻”问题在解题时最常用的是“插空法”.

二、解组合应用问题常见方法

1.无限制条件的简单组合应用问题, 可直接用公式求解.

2.有限制条件的组合问题, 可根据具体的限制条件, 用“直接法”或“间接法”求解.

三、均匀编号分组的常见解法

n个不同元素分成m组, 其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序, 其分法种数为， (A为非均匀不编号分组中的分法数) .

题型一:排列的应用

例1有5名男生, 4名女生排成一排:

(1) 从中选出3人排成一排, 有多少种排法?

(2) 若男生甲不站排头, 女生乙不站排尾, 有多少种不同的排法?

(3) 要求女生必须站在一起, 有多少种不同的排法? (4) 若4名女生互不相邻, 有多少种不同的排法?解: (1) 只要从9名学生中任选三名排列即可, 共有A93=9×8×7=504 (种) 排法.

(2) 将排法分成两类:一类是甲站在排尾, 其余的可全排列, 有A88种排法:另一类是甲既不站排尾又不站排头有种站A71法, 乙不站排尾而站余下的7个位置中的一个有A71种站法, 其余人全排列, 于是这一类有A71·A71·A77种排法.

由分类计数原理知, 共有A88+A71·A71·A77=287 280 (种) 排法.

(3) 女生先站在一起, 是女生的全排列, 有A44种排法, 全体女生视为一个元素与其他男生全排列有A66种排法, 由分步计数原理知, 共有A44·A66=17 280 (种) 排法.

(4) 分两步走, 第一步:男生的全排列有A55种排法;第二步:男生排好后, 男生之间有4个空, 加上男生排列的两端共6个空, 女生在这6个空排列, 有A64种排法, 由分步计数原理知, 共有A55·A64=43 200 (种) 排法.

题型二:组合应用题

例2“抗震救灾, 众志成城”.在我国青海玉树抗震救灾中, 某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴前线, 其中这10名医疗专家中有4名是外科专家, 问:

(1) 抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?

(2) 至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?

解: (1) 分步:首先从4名外科专家中任选2名, 有C42种选法, 再从除外科专家的6人中选取4人, 有C64种选法, 所以共有C42·C64=90种抽调方法.

(2) “至少”的含义是不低于, 有两种解答方法:

法一 (直接法) :按选取的外科专家的人数分类:

一类:选2名外科专家, 共有C24·C46种选法;

二类:选3名外科专家, 共有C34·C36种选法;

三类:选4名外科专家, 共有C44·C26种选法.

根据分类计数原理知, 共有C42·C64+C43·C63+C44·C62=185 (种) 抽调方法.

法二 (间接法) :不考虑是否有外科专家, 共有C610种选法;考虑选取1名外科专家, 共有C41·C65种选法;没有外科专家参加, 有C66种选法, 所以共有C610-C41·C65-C66=185 (种) 抽调方法.

题型三:分组问题

例3 6本不同的书, 按下列要求处理, 分别有多少种分法?

(1) 分三堆, 一堆1本, 一堆2本, 一堆3本.

(2) 分给甲、乙、丙3人, 甲1本, 乙2本, 丙3本.

(3) 分给甲、乙、丙3人, 一人1本, 一人2本, 一人3本.

(4) 分三堆, 有两堆各1本, 另一堆4本.

解: (1) 先在6本书中任取一本, 作为一堆, 有C61种取法, 再从余下的5本书中任取两本, 作为一堆, 有C52种取法, 最后从余下的三本中取三本作为一堆, 有C33种取法,

故共有分法C61·C52·C33=60 (种) .

(2) 由 (1) 知, 分成三堆的方法有C61·C52·C33种, 而每种分组方法仅对应一种分配方法, 故甲得一本, 乙得二本, 丙得三本的分法亦为C61·C52·C33=60 (种) .

(3) 由 (1) 知, 分成三堆的方法有C61·C52·C33种, 但每一种分组方法又有A33不同的分配方案, 故一人得一本, 一人得二本, 一人得三本的分法有C61·C52·C33·A33=360 (种) .

(4) 平均分堆要除以堆数的全排列, 不平均分堆则不除, 故共有 (种) .

总之, 处理排列、组合问题的总原则是:

(1) 弄清事件的情景:首先, 搞清有无“顺序”要求, 若有则用Anm, 反之用Cnm;其次, 弄清目标的实现, 是分步达到的, 还是分类达到的, 从而正确选用计数原理, 一个复杂问题往往是分类与分步交织在一起的;最后看一下元素可否重复.

(2) 掌握“双向”解题路径, 即“正面凑”与“反面剔”, 一道题目“正面凑”繁, “反面剔”简, 反之亦然.

排列组合问题的解题技巧与策略篇8

一、特殊元素的优先安排法

对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排.操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”.

例1.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）

二、相邻问题的捆绑法

对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看做一个元素再与其他元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排.

例2.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）

A.60 B.48 C.42 D.36

解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记做A，（A共有6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记做甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端.则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求），此时共有6×2=12种排法（A左B右和A右B左），最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以共有12×4=48种不同排法.

三、不相邻问题的插空法

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可.

例3：马路上有编号为1、2、3…9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？

解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有种.

四、顺序固定问题的选位不排法

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数.或先在总位置中选出顺序一定元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列.也可先放好顺序一定元素，再一一插入其他元素.

例4：5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？

六、分排问题的直排法

把n个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法处理.

例6：7个人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有种排法.

解：7个人，可以在前后两排随意就座，没有其他的限制条件，故两排可以看成一排处理，所以不同的坐法有.

七、允许重复排列的住店法