倍的认识教案公开课

倍的认识教案公开课（精选8篇）

倍的认识教案公开课 篇1

教学内容：

教科书第50页的内容。

教学目标：

1.在充分感知的基础上，使学生经历认识“倍”的学习过程，初步建立“倍”的概念。

2.通过动手操作以及变与不变中，加深对倍的认识，培养学学生的理性精神。

3.让学生进一步体会数学与现实生活的联系，发展的学生观察、比较、推理、迁移、有条理地叙述的能力，培养学生思维的严谨性。

教学重点：理解“倍”的概念。

一、创设情境，导入课题

师：同学们喜欢上手工课吗？看我们班的孩子也在上手工课。他们在用卡纸剪出了一朵朵美丽的小花。

师：这是一个孩子的作品，剪了几种颜色的花（两种）,请你们数一数黄花有几朵，红花轻轻的数数有几朵？

师：只会数数还不算厉害，具有数学眼光的孩子还能根据这些信息提出一些数学问题，第一问题谁来提？

师：同学们刚才提了两类问题，一类是红花和黄花一共有几朵，还有类大家都提到了一个比字，哎！当两个量在比的时候除了同学们刚才

说的比多比少的关系，他们之间是否存在其他的关系呢？今天这节课咱们就一起来探究探究。

二、探索交流，解决问题 初步建立倍的概念

师：下面我们就拿红花和黄花比比看，看看他们之间是否还存在其他的关系？

师：老师摆了几朵黄花？

师：下面请同学们继续观察，老师是如何摆红花的？

师：下面请同学们再结合黄花一起看一看，和黄花想比，你又有哪些发现？

师：如果把3朵黄花圈起来看成一份，那红花的有这样的几份呢？ 师：红花朵数有这样的2份，也就代表了，红花有几个3朵？ 师：像这样黄花有3朵，红花的朵数有2个这样的3朵，我们就可以说红花的朵数是黄花的2 倍，今天我们就一起来学习倍的认识。师:哎！红花的朵数为什么是黄花的2倍呀，谁能结合着图再来说一说？

师：看来红花和黄花比的时候，除了存在比多比少的关系，他们之间还存在倍的关系。

三、在变化和操作中，加深对倍的认识

1.标准量变，比较量变

师：如果黄花的朵数不变，要让红花的朵数是黄花的4倍呢？又该怎么摆呢？谁上来试一试？（找生上台摆一摆并让生说一说）

师：孩子你能结合图说一说，你是怎么想的吗？

师：如果黄花的朵数不变，要让红花的朵数变成黄花的3倍，又该怎么摆呢？谁能上来在试一试？

师：下面请同学们想一想，如果3朵黄花不变，要让红花的朵数是黄花的8倍呢？20倍呢？100倍呢？ 2.标准量和比较量同时变，倍数关系不变

师：好请看大屏幕，此时红花的朵数是黄花的几倍？

师：如果老师把这里的黄花去掉1朵，红花的朵数还是黄花的3倍吗？ 师：谁能说说理由？

师：那让红花的朵数变成黄花的三倍，应该把红花怎么办？ 师：如果老师在这里填上一朵黄花，要让红花的朵数是黄花的3倍又改怎么办？

师：那这样看来，要想保证红花的朵数是黄花的3倍，黄花几朵一份，红花也应该几朵一份。3.比较量不变，标准量变

师：同学们，此时红花的朵数是黄花的几倍？

师：也就是说单凭红花这一个量能确定他们之间的倍数关系吗？ 师： 要想使红花的朵数是黄花的倍数，黄花可能是几朵呢？下面请同学们在练习纸上，试着猜一猜，圈一圈，填一填。（搜集学生的作品，并上台展示）

师：哎同学们红花朵数一直没有发生变化，为什么红花的朵数一会是黄花的6倍，一会是3倍，一会又是2倍，一会又是1倍呢？

师：也就是说尽管红花的朵数没有变，但黄花朵数却变了，也就是红花比的对象发生了变化，所以倍数也就变了。知识拓展（不是整数倍）

师：假如黄花有4朵，这时用倍该如何表示？

师：这是我们可以说红花的朵数比黄花的1倍多2或者也可以说红花的朵数比黄花的2倍少2.4．形状和位置改变，倍数关系不变

师：同学们，刚才我一直在研究红花与黄花朵数之间的倍数关系，那在其他事物中是否也存在倍数关系呢？我们一起来看一下。师：在这里红圆片的个数是黄圆片的几倍呀？ 师：能说一说你是怎么看出来的吗？

师：如果你还有点迷惑的话，我给大家变一变，你就明白了。（课件展示）

师：哎！这回大家能清晰的看出红圆片的个数是黄圆片的3倍了吗？ 师：在这里黄圆片有几个，而红圆片有几个3。所以片的个数是黄圆片的3倍。

师：请同学们仔细观察，老师给大家来个超级变变变。

师：圆片没有了，变成了一个黄色的正方形和3个红色的正方形此时谁的个数是谁的几倍？

师：老师在变，长方形没有了变成了正方形，这回谁的个数谁的个数又是谁的几倍呢？

师：老师在变，正方形没有了，变成了红线段和黄线段，这回谁起来说一说什么线段的长度是什么线段的几倍？

师：那如果把黄线段挪到这呢？红线段还是黄线段的3倍吗？在挪到这呢，在挪到这呢？

师：哎！为什么黄线段的位置一直的发生变化，红线段长度总是黄线段的3倍呢？

师：也就说两个量的倍数关系只和数量有关和位置没有关系。师：再看，如果这里的黄线段和红线段分别表示的是苹果的个数和梨的个数，这时谁又是谁的几倍呢？

师：那如果代表的是男生的人数和女生的人数呢？ 师：如果男生有5人，女生有多少人？ 师：如果男生有8人，女生有多少人？ 5.猜一猜，孟老师的年龄

师：同学们！请看这是我们班的一个孩子今年几岁了？

师：孟老师的年龄正好是她的倍数，谁来猜一猜，孟老师的年龄可能是她的几倍呢？

师：孟老师的年龄究竟是他的多少倍呢？请你仔细看，出示4倍。师：孟老师今年多大了？ 6.感受倍的威力

师：作为一名学生，经常会有浪费纸的现象。如果一名学生一天浪费的纸相当于1张A4纸。（课件出示）

师：假如一个班有50名学生，一个班浪费的纸将是一名学生的多少倍？

师：假如一个年级有10个班，一个年级浪费的纸是一个班的多少倍？ 师：一个学校有6个年级，一个学校浪费的纸是一个年级的多少倍？

四、回顾整理，反思提升

倍的认识教案公开课 篇2

笔者数十年一直从事教学管理和教学研究工作, 在管理教学和组织教研活动中, 进行“课例”研究, 是我们最常用的一种教研方式, 在教研活动实践中, 笔者对“做课”问题有些思考与认识, 不揣浅陋, 供商榷。

所谓“做课”, 其实是“教学课例”的展示和研究。根据不同目的, 课例大致分为“展示课”、“专题研究课”、“示范课”三类;按参与听课的人员范围又可分为校级、区级、市级和更高级别;按教学课型又可分为讲授课、实验课、活动课等不同方式。

无论是“展示课”、“专题研究课”还是“示范课”, 在备课中投入的精力、物力都比常态教学要多, 且范围越大, 级别越高, 投入就愈大。对“课例”展示和研究的这种高投入, 应与教学效益相对照去认识。为拿出一两节“课例”, 常要花费高于常态教学数倍的人力、物力, 但执教者本人在专业的领悟与提高上, 往往并不能取得很好的效果。但是从参与听课研究的教师来看, 这些参与听课的教师从中会得到启发, 从这点看, 公开课又有其积极的意义。

可见, “做课”的弊端应尽量消除;“做课”的提法应修正;“做课”本身不应全盘否定!

2005年10月, 天津市河北区确立了“案例+分析+研究”创新教研模式的研究课题, 在全区及各学校、各学段、各学科实践。初期, 河北区教师进修学校与教育部教育服务中心共同策划、举办了全国性“创新校本教研模式”大型研讨活动。这一活动的“基点”, 就是选取语文、数学两个学科的“课例”, 由与会者“品头论足”, 对课例进行分析、交流。同时, 邀请教学专家与执教者、与会者进行互动。两位执教者在广泛听取专家、与会教师评议后, 修改教学设计和教学环节, 换一个班, 以同课题再次上展示课。而后, 专家对第二次展示的“课例”, 作重点发言, 深入剖析, 并再次和与会教师展开互动。

专家有针对性地评析和引领, 大大促进了教学的明晰化, 提升了教师智慧。与会者对“如何上课”, “如何提高教学成效”, “如何引发学生主动求知、主动探究的兴趣和积极性”等问题都获得了可资借鉴、便于效仿、易于操作的范本。

最后一个活动环节, 由教学专家分别上一堂“示范课”, 从更高的层面上, 让大家感受教学艺术的魅力。全体与会人员都开阔了眼界, 提升了教育的品位。

这一活动, 以“展示课”和“示范课”为依托载体, 组织广大教师对话交流, 再由专家示范引领, 深入分析和研究, 构筑了理论与实践的桥梁, 充分显现出“课例”展示和研究的强大功能。

对当前数学公开课的再认识 篇3

摘 要数学公开课对推进当前我国新课改理念的传播与实践具有不可替代的作用，引起了数学教育工作者与一线教师的密切关注。然而，目前数学公开课在实践过程中出现了不少问题，如数学公开课以竞赛型为主，忽视了对日常数学课堂教学的示范、引领功能；数学公开课的评价主体单一，造成评价结果使用率不高；数学公开课评价体系运用得不够灵活，缺乏与质性研究的有效结合；数学公开课在反映教师教学水平、日常教学中可能出现的问题上有悖真实。本文将对数学公开课的类型、功能、评价主体、评价标准与结果使用方面进行阐述，并在此基础上分析目前数学公开课实践中出现的问题，以期为相关研究提供借鉴。

关键词数学公开课 数学公开课的功能 数学公开课的评价

数学公开课是一种有目的、有组织的，由数学教育专家、教师同行、学生及被评教师多方参与的一种教学研究、交流的专业活动。公开课于20世纪五六十年代在我国出现，当时采用的主要形式是请全国优秀教师为高师院校师范生做教学示范，即为职前培训。后来，为了进一步提升一线教师的教学素养，从80年代后期，公开课逐步转向中小学，成为一线教师进行课堂教学研讨的主要形式，在促进教师专业成长、更改不当教学行为等方面扮演着越来越重要的角色，并承担起为日常课堂教学提供借鉴、引导、示范的责任。随着我国新课程改革特别是课堂教学改革的不断深入，广大中小学数学教师对数学公开课的要求日益强烈，各级各类的数学课堂教学评比在促进教师专业发展及水平鉴别中的作用日渐突出。现阶段，竞赛型公开课逐渐成为数学公开课的主要类型甚至是唯一的类型。相比而言，传统的示范型、研讨型公开课却渐渐退出了人们的视野。

数学公开课对推进当前我国新课改理念的传播与实践具有不可替代的作用，引起了数学教育工作者与一线教师的密切关注。然而目前数学公开课在实践过程中出现了不少问题。本文首先将对数学公开课的类型、功能、评价主体、评价标准及结果运用进行阐述，并在此基础上分析目前数学公开课实践中出现的问题，以期为相关研究提供借鉴。

一、数学公开课的应有之义

1.数学公开课应以对常态数学教学提供示范、引领功能的示范型、研讨型为主，而以竞赛型为辅

数学公开课共有三种类型，示范型、研讨型及竞赛型三种，以下将对三种不同类型公开课的含义、功能进行阐述。

示范型公开课是指“专家型教师、优秀教师专门为新手教师或是教学能力比较弱的教师进行教学示范的一种教学交流活动”[1]，它具有引领常态教学、传播新课改理念、推广新课改经验、促进数学理论实践化的功能。一方面授课教师教学基本功是否熟练、教学经验是否丰富、对教学现场是否具有足够的驾驭力、对教学惯例的运用生成是否灵活都是判断一节课成功与否的重要标准。新手与优秀教师的区别恰恰就在这里，因此为新手教师提供教学示范，能够帮助他们在观看、分析、借鉴、内化吸收优秀教师成熟经验的过程中达到专业智慧综合成长、提升专业素质的目的，这对促进新老教师经验交流、加快年轻教师成长步伐具有重要意义。另一方面，数学新课改层次正不断加深，对教师教学素质与能力的要求也日渐提高，原有落后的教学观念无法适应新课改要求，因此对常态教学进行示范引领，能够加快新课改理念传播与实践化、教师不良教学行为改善的步伐，为新课改的深入化、实效化奠定基础。

研讨型公开课是指数学教育专家、优秀教师对某一类课堂教学中的常见问题进行诊断、提出解决对策、进行经验总结的一种教学交流活动，具有诊断、处理、推广经验的功能。研讨型公开课侧重于对课堂教学中的常见问题进行解答，帮助教师纠正思想与行为上的误区，在提出具体细节处理对策与注意事项的同时，推广优秀教师的成熟经验，达到促进教师陈旧观念转变、欠当行为更进的目的。

竞赛型公开课是指教师面对数学教育专家、教师同行评委进行授课的一种教学比赛活动，是数学新课改中推广新模式、传播新思路、解决新问题的重要展示平台，具有调动教师工作积极性、增强教职业荣誉感、引领教师专业成长的精神功能，也是教师本人教学能力达到一定水平的标志，可为其带来一定的物质奖励，具有实用性。

考虑到数学公开课的发展历史、数学新课改的有关理念及要求，笔者认为数学公开课最首要的类型就是对数学常态教学的示范、引领、更进的示范、研讨型，其次才是倡导教师间进行比较、排名的竞赛型，即要通过数学优秀教师的示范、引导，让那些即将成为教师的师范生、刚刚踏入教育领域的新老师、处于停滞阶段的老教师能够更好地进行数学教学。因此“示范、引领应该作为数学公开课的本体功能，而研讨、竞赛则可作为衍生功能”[1]。

2.数学公开课的评价主体应呈现多元化的特征

评价主体是指“参与评价的人员或机构”[2]。数学公开课上的评价主体由数学教育专家、教师同行、学生、授课教师本人四部分组成。数学教育专家、教师同行组成的评委由于与被评教师接触时间较短、对后者教学风格及个人特征缺乏充足了解，只能通过一节课的课堂教学表现对其进行评判，可能会因为个人偏好、见解的不同造成结果与实际出入，因此数学公开课的评价主体应呈现多元化，将学生评价与教师自我评价结果纳入进来。

学生与授课教师亲身参与教育实践活动，对数学公开课过程中存在的优势与不足、教学任务是否有效有着深刻的认识与优先发言权；此外，教师最为清楚自身的教学特色与风格，因此将教师的自我评价、反思结果融入到公开课评价结果中，有利于结论的有效、真实、契合性。“现代教学评价不仅要强调自身以外的评价者，而且也还要强调评价对象的自我评价。即使两者并不统一时，评价者也要注意评价对象的意见与其自我评价的结果，将此作为进一步评价的基础。”[3]

3.数学公开课应采用灵活的量化研究与评价指标体系，结合一定的质性研究

目前通常采用层次分析法和模糊综合评判相结合的模糊综合评判模型来分析数学公开课教学质量，这种方法“可以尽可能地删除主观成分，可以使定性分析与定量分析得到较好的融合，克服主观随意性，提高了模糊综合评判的可靠性、准确性和客观公正性”。[4]具体方法是使用数学课堂教学评价量表，由数学教育专家制定量表中的评价指标体系与权重。

而数学课堂教学现场的复杂性、数学教学活动的丰富性、教学系统元素的关联性造成单一使用量化研究方法的局限性，并不能反映出数学教学特征与全貌，因此需要将质性方法纳入到数学公开课的评价方法体系中来。新课改背景下的公开课不仅应该关注教师教学基本功是否扎实、精神面貌是否饱满真实，更应该关注学生课上的学习表现和精神状态、教师与学生是否有情感、精神上的交流与互动。因此，数学公开课极力倡导量化评价与质性评价的统一，在使用量化研究时，一方面要注意对评价指标体系的灵活运用，要对评价项目及对应权重进行适当的调整与变动，以适应不同数学公开课的内在需求，另一方面还需注意与质性研究的有效结合。

4.数学公开课的结果应该指向日常教学质量提升、教师专业成长，淡化功利主义

数学公开课的类型及功能决定了评价结果具有两个方面用途，一是帮助被评教师对自身教学特色认识得更加明晰，对教学过程中出现的问题进行诊断与行为纠正，达到更新教学理念、积累教学经验、提升专业智慧、引领职业成长的目的，是教师职业生涯中宝贵的经历与财富；二是公开课的竞赛性质决定了评价结果的适用意义，它是教师本人教学能力达到某种程度的重要标志，说明其已然获得了数学教育界一定范围内的肯定、欣赏与鼓励，是数学教师获得荣誉、提升地位、扩大知名度和影响力的捷径。

另外，数学公开课除了帮助授课教师本人带来荣誉及奖励外，其所在的教学团队、学校都会收益良多，很多学校、数学教研组都会将获得国家、省市级优质课教师的名单、照片、个人简介放在校园最显著的位置上，成为学校展现师资力量的主要形式。

5.数学公开课最重要之处在于真实

数学公开课是数学课堂教学课的一种特殊形式，同样遵循数学课堂教学的基本规律，是师生、生生之间进行知识、情感、精神层面上的交流、互动与生成过程；此外数学公开课的引领、示范功能也要求数学公开课以日常数学教学为基础，不仅应该体现出新课改倡导的新理念、新要求，更应该反映出当代数学课堂教学的基本特点，在数学教学方法、教学观念、教学内容与活动形式的安排上贴合真实情况，以此达到通过展示课堂常态、反映真实问题最终实现教学能力提升的目的。

因此，数学公开课的关键之处在于真实，这“是公开课立课的生命线与存在的本初意义之所在”[5]，事先的美化、不断修改及预演遮蔽了教学中潜在的问题，在“一定程度上助长了不少教师临时抱佛脚、不顾日常教学质量投机取巧之风。长期以来也使竞赛成为数学公开课唯一的功能”[6]，失去了数学公开课的真实意义。

二、数学公开课实践中的问题审视

1.数学公开课以竞赛型为主，遗忘了对日常数学课堂教学的示范、引领

数学公开课的首要功能在于对常态数学教学的示范、引领，以示范型、研讨型为主要形式，竞赛型公开课应作为一种辅助形式。但现实情况是，竞赛型成为数学公开课的主要甚至是唯一形式，示范型、研讨型两种反而渐渐淡出人们视野；此外教师们也越发重视起公开课给教师、教研组与学校带来的荣誉、知名度等外在功利功能，数学教师是否参与公开课、最后名次如何总是与其奖惩、升降职等功利化目的挂钩，成功的公开课会给教师个体带来荣誉、晋升机会，而它促使教师专业发展、指向教师生命成长、提升职业素养的内在精神价值常被有意或暗地中被忽视了。

具体而言，参与数学公开课评比的教师早就接到通知，通过提前精心构思教学设计、雕琢教学表现、预演教学流程，最终将一堂数学教学课完美地展现在大家面前，并通过反复修改、多次筛选和重组，在很大程度上弥补了教师由于先前理念上的偏差、经验的欠缺造成的教学行为不当。但这种公开课是并没有从实质上帮助被评教师实现教学理念的更新、教学实践智慧的积累、教学行为的精进，对提升教师专业素养的意义不大；更大的危害在于，这种类型的公开课会为不少数学教师带来认识上的偏差，助长他们投机取巧、临阵磨枪、不顾平日教学行为改进的应付心理。

因此，强调数学公开课的示范、引领功能，淡化数学公开课的功利主义，改变目前数学公开课依赖数学教师“事前准备、最终表演”的唯一途径，倡导对评比教师常态教学观摩、评价的新思路，并结合抽查、临时听课等方式，达到全面展示教学风格、增进评委对教师深刻了解的目标，从根本上发挥出数学公开课的导向功能，使数学公开课贴近课堂教学常态，从真正意义上促进评比教师的智慧成长。

2.数学公开课的评价主体单一，并造成评价结果使用率不高

前面提到，数学公开课应该采用由数学教育专家、教师同行、授课学生组成的他人评价与授课教师自我评价相结合的形式；主客观评价方式的结合有利于评价结果的真实、有效、适切性，但目前数学公开课的评价主体仍存在着单一化的不足，具体表现为学生无法参与到评价教师工作当中来，授课教师自身对自己在数学公开课上的表现也没有多大的发言权。

数学公开课单一的评价主体模式存在着不少弊端，数学公开课评价结果合理性、代表力差。由数学教育专家、教师同行组成的评委并非真正参与到课堂教学实践，与被评教师接触时间较短，两者间存在一定的距离与隔膜，对后者的教学风格与特色缺乏充足的认识与了解，加上主观偏爱、观点偏差，势必会使评价结果与真实情况存在差异，不可作为评价教师教学素养唯一、乃至最为关键的因素，必须要将数学教师的自我评价结果考虑进来。而目前授课教师对评价结果几乎没有发言权，仍然处于被动、消极、待评价的尴尬地位，也由此造成了数学公开课的结果使用率不高。由于评委与教师间存在隔阂，就使不少教师比赛结果的不认同，如果教师事后缺少进行反思的意识与努力，就会失去进一步提升数学教学质量与水平的机会与可能。

此外，目前对学生在数学公开课的地位缺乏明确的认识，他们在评价授课教师教学效果方面的作用得不到重视。只有他评、教师自评形式的结合方可构建出数学公开课评价的完整体系，保证评价结果的合理与真实性，从而使被评者心服口服地制定、实施教学改进策略，达到提高数学教学效益、促进生命成长的初衷。

未来的数学公开课评价将更多的突出师生地位，善于倾听师生意见、切实感受，加强对一线数学教师教学评价理论、方法运用的培训，增强他们对数学公开课评价指标体系的内在情感认同与深刻认识，为评价数学公开课培养后备力量。

3.数学公开课评价体系的运用不够灵活，缺乏与质性研究的有效结合

目前常见的误区在于量化研究中数学评价指标体系的运用不顾客观差异、盲目套用，且缺乏与质性研究的有效融合。因此，需要根据数学公开课在授课内容、课型、学生需求与特征间存在的差异来对量化研究的评价指标体系进行调整、变动，“要在众多的评价指标中筛选出一部分最能反映出事物本质特性的指标，而舍弃某些虽有影响，却属于非本质的、次要的目标”[7]，从而使评价结果更具可比性、契合性、适用性。

当前就存在着不少评委漠视客观差异、运用相同眼光看待不同，陷入“只见表不见人”的可悲现象。数学公开课的评价内容比较繁多，被评教师实难面面俱到，为了迎合评价指标而忽略数学教学规律的行为是本末倒置、得不偿失的。只有当被评教师充分认识到这一点后，才可以充分抵制为提高评价分数而东拼西凑、为追求形式上的最佳而导致整体公开课课堂教学效益低下的“花架子”；其次，数学课堂教学的动态生成性也要求数学公开课评价标准具有一定的灵活性，评委需要具有动态、生成思维，运用辩证、系统的视角看待数学教学过程中的“事件”、“偏差”，观察教师是否能够灵活处理珍贵的课堂生成资源，实现对教学惯例的熟练运用与超越，并结合质性评价方法，通过观察、记录、分析、评价教师对教学细节的处理，来对教师的教学观念、教学基本功水平、精神面貌进行综合评价。

4.数学公开课在反映教师教学水平、日常教学中可能出现的问题上有悖真实

目前数学公开课在反映教师实际教学能力与水平、日常教学中可能出现的问题上有悖真实，教师经过长期的准备、修改与预演，修正了本应出现的教学观念、教学行为问题，影响了公开课调整、示范日常课堂教学过程实效的发挥。因此，笔者认为，对被评教师的评价应是一个长期的过程，不可一蹴而就，而应将其平日教学表现纳入进来，将一段时间内教学观念、教学行为表现上的进步作为一个指标，并通过结合临时听课、抽查等形式，弥补公开课评价方式的不足，达到对被评教师的深入理解，最终完成评价的整个过程。

三、欣赏、学习是广大一线教师对数学公开课的正确态度

在对数学公开课类型、功能、评价主体、标准及结果使用方面的应有之义与存在问题进行梳理后发现，欣赏、借鉴、学习是数学教师对数学公开课的正确态度。

新课改要求数学教师要在教学观、知识观、学生观上有所更新及突破，但由于教师行为具有一定的累积性，难以实现快速转变，教师缺乏进行相关培训与系统学习的精力与机会，再加上传统教育评价制度、功利主义教育价值观束缚等原因就造成不少数学教师的举步维艰、停滞不前。而数学公开课作为“数学新课程改革的重要载体”[1]，在推广新课改理念、示范新课改成果、传播新课改经验、总结新课改成果、促进教师专业成长方面具有不可替代的作用，因此教师对数学公开课态度是否端正、认识是否明确对数学公开课使用效果至关重要。

就竞赛型数学公开课而言，作为评委的数学教师应该以欣赏、客观的视角对待公开课，避免带着挑错、找茬的错误心理对待授课教师；作为观众的数学教师应该以扬弃、借鉴的视角对待公开课，需要设身处地地构思自己处于同样教学情境下的个体行为，并与台上教师的教学行为表现、细节处理间存在的异同进行比较，达到丰富教学经验、积累教学案例、提升专业智慧的目标；而作为参与比赛的数学教师应该端正态度，保持平和的心态，正确对待比赛结果，抵制功利主义，将评委老师的意见及建议、课下反思、教学结果反馈当做引领专业成长的重要资源，在对教学理论与实践智慧不断的积累、灵活运用中达到职业成长水平的新阶段。

参考文献

[1] 安富海.公开课问题再审视.中国教育学刊，2013（5）.

[2] 范晓玲.教学评价论.长沙：湖南教育出版社，1999.

[3] 王淑慧.多元化教学评价的研究——基于芙蓉中华中学华文多元化教学评价的个案分析[D].华中师范大学博士学位论文，2011（5）.

[4] 丁家玲，叶金华.层次分析法和模糊综合评判在教师课堂教学质量评价中的应用.武汉大学学报（社会科学版），2003（6）.

[5] 宋立华.走向真实的公开课——为何、何为与达成之策.中国教育学刊，2012（10）.

[6] 徐丹，傅海伦.对数学课堂教学评价的再认识.教育科学研究，2013（4）.

球的认识公开课教案 篇4

一、教学目标：

1、知识目标——认识并掌握球的特征和各局部的名称：知道并能想象出球体的球心,球半径,球直径以和它们之间的关系；了解截面的形状和大小，会量球的直径。

2、能力目标——引导同学经历猜测、实践、类推等实践活动，初步认识球的形状和特征；在交互的环境中，培养同学探索新知、自主学习、合作学习的能力；进一步提高同学动手操作、观察比较、总结归纳的能力，发展同学的空间想象能力。

3、情感目标——在丰富、直观的学习资源中，生动、活泼、主动地探究数学知识；渗透初步的几何思想，培养同学善于观察比较，勤于考虑，勇于探索的精神；体验学习的胜利，学会与他人合作交流，乐于与他人分享所得；养成对日常生活勤于观察、乐于发现，积极地使用数学知识解决实际问题，形成评价与反思的意识，培养自主学习和自主创新的习惯，同时进行实践第一的辨证唯物主义启蒙教育。

二、教学重点、难点：

教学重点：感知球的特征。

教学难点：发展同学的空间观念。

三、教具准备：课件,篮球一个

四、学具准备：可切割球形学具一个，小刀，带小棒的圆形纸片，橡皮泥，直板2块，尺，球、长方体、正方体的实物各一个

五、教学过程

（一）、活动导入

1．实践活动（一）：让同学玩一玩自身准备的立体图形和球．

（1）提出活动目标：看看有什么发现？球和其他立体图形有什么异同？

（2）同学活动、交流、汇报．

同学可能有以下发现：

发现一：长方体和正方体有几个平面，而球没有．

发现二：球体和圆柱体都可以滚动，但是滚动的方向不同，球可以向各个方向滚动．

发现三：圆锥体、圆柱体和球都有一个曲面．

……

2．谈话：你能用自身的话描述球吗？

鼓励同学用自身的话说一说，教师先不予评价．

3．实践活动（二）：让同学用橡皮泥搓一些球．

（1）给予一定的时间让同学活动．

（2）同学展示作品，比一比谁搓的最像球？

4．设疑：在日常生活中你还在哪些地方看见过球？

5．导言：球体在日常生活中应用很广泛，让我们一起来研究研究，学习“球的认识”．

出示课题：球的认识

（二）、探究新知

1．猜测（一）：你认为球与什么图形有联系呢？

（1）让同学大胆猜想，教师先不予评价．（同学猜想：圆．）

（2）同学自主设计验证方案，选择自身喜欢的方式验证猜测．

（3）同学汇报，交流设计方案．

同学可能有以下设计：

设计一：用一根铁丝围着球绕一周，将球拿去后剩下的就是一个圆，所以圆与球有联系．

设计二：把一个球破开后，它的横切面就是一个圆，所以球与圆之间有关系．

设计三：将一个圆形物体（如硬币）高速旋转，我们可以看到一个球．

设计四：我们可以把一个半圆绕着它的直径旋转一周就形成一个球，

2．合作活动．

（1）课件展示：各种水果的实物图，让同学想一想，比比看，哪些水果像球？

（2）同学活动，用刀将桔子切一切（提醒同学注意平安），然后把切开的桔子面印在白纸上，你有什么发现？

（3）同学活动、交流、汇报．

（4）课件展示将球切开的立体图．

（5）交流：通过活动和对课件展示的立体图的观察，你有什么发现？

同学可能有以下发现：

发现一：桔子切开面印在纸上是一个圆。

发现二：切开的两个面都是圆，而且两个面面积相等。

发现三：各个圆的面积是不同的。

发现四；从中间切，得到的两个截面是最大的。

……

3．猜测（二）：根据你的发现，请猜一猜球有哪些特征？

（1）小组讨论后，交流想法．

同学可能有以下推测：

推测一：球与平面图形──圆有联系，所以它也应该有圆心、半径和直径．

推测二：在同一个球内有无数条半径和直径，而且半径（或直径）的长度都相等．

推测三：在同一个球内，直径的长度等于半径长度的两倍，或者说半径的长度等于直径长度的一半．

推测四：半径和直径的关系用字母表示为──d＝2r或r＝．

……

（2）同学验证推测是否正确．

可以让同学看书自学，也可以让同学自身设计一些实验验证．

注意：①完善半径和直径的概念．

1、我们已经知道从圆心到圆上任意一点的线段叫做圆的半径，从球心到球面的任意一点的线段叫什么？（球的半径）

2、球的直径一定要符合什么条件？（通过球心，两端都在球面上）。

②球的中心叫球心，而不是叫圆心．

③同学汇报，课件展示：出现一个立体框架球，当同学汇报球心时动过球心和字母O；汇报半径时闪动半径和字母r；汇报直径时闪动直径和字母d．

4．练习：教科书第47页“做一做”的第1、2题．

（三）、实践活动

（1）现在我们对球的各局部有了细致的.了解，切开球，我们能很容易地找出球的各局部，球是圆滚滚、滑溜溜的，假如不进行切割，你能丈量出它的直径吗？先说说看

（2）课件展示活动方法：先出示用两块木板平行夹着球，任意转动球的画面，再出现尺子丈量两块木板之间距离的画面．

随着画面出现话外音：你发现两块木板的距离有什么变化吗？你知道是什么原因吗？

（3）同学进行活动，可以让不同同学反复实践几次．

（4）同学讨论、交流发现的原因．

（5）动动手，小组合作丈量自带的实物球的直径。选择几个同学汇报一下。（交流时说说丈量时注意什么）

（6）出示学具篮球，估计他的直径是多少？再估计一下直径是4厘米的球体可能是什么？

（四）、联系生活，感受球的美3、

同学们,在我们生活中,只要你细心观察就会发现,数学就在我们身边,下面让我们一起来看看我们生活中那些地方有球的身影？（运动中的球、装饰中的球……）

欣赏：教师展示一组关于图片。点击“美丽的球”，欣赏有关球的图片。

师：大下不同的圆旋转出的球的大小怎样？

用橡皮泥搓一个球。比一比谁搓的球最规范最美观。你在搓球的时候运用了有关球的什么知识？

在这神奇的宇宙空间,也充溢着数学的奥妙.我们所赖以生存的地球就可以看作一个近似的球体。（出示地球图）这条红色曲线所在的位置你知道是什么吗?赤道绕地球一周是一个什么形状?对,赤道绕地球一周就是一个近似的圆.这个近似圆的半径大约是6370千米，假如一架普通飞机的时速大约是800千米,根据这两个信息,你能提出什么问题?同学计算所提问题。（列出算式，利用电脑上的计算器计算）

（五）、课堂总结、拓展延伸

学习了球的知识，得知了球的秘密，带着学到的数学知识，让我们来解决一个生活中的数学问题，好吗？

老师的一个好朋友快过生日了，我精心挑选了一样礼物，那是6只精美的直径是8厘米的玻璃彩球，请你设计一下怎样包装漂亮而且又省资料呢？

和板书设计

球

特征一：球与平面图形──圆有联系，所以它也应该有球心、半径和直径．

特征二：在同一个球内有无数条半径和直径，而且半径（或直径）的长度都相等．

特征三：在同一个球内，直径的长度等于半径长度的两倍，或者说半径的长度等于直径长度的一半．

特征四：半径和直径的关系用字母表示为──d＝2r或r＝1/2 d．

六、反思

1、创设动手操作和自主探索的机会，让同学在活动中学数学

同样由于球的特殊性，单靠视觉获得的知识比较肤浅，因此课堂教学教师尽可能引导同学开展观察猜测、动手操作、推理交流等活动，让同学通过自主多样化的探究活动来完成具有挑战性的问题，加深对球的知识的了解，并在此过程中获得知识和技能，发展思维，培养情感。

2、给同学留有广阔的合作交流，体验胜利的机会。

在动手操作过程中，教师为同学的学习提供大量合作与交流的机会，让同学小组合作，自由发展见解，学会倾听意见，合理补充、调整自身的观点，达到较为完善的认知状态，获取自主学习的胜利，让同学在合作交流中体验胜利，在实践活动中获取良好的情感体验。

3、密切数学与生活的联系。

公开课6、7的认识教案 篇5

师：总是听潘老师说我们一B 班的同学个个都很爱劳动，因此特地让潘老师拍了一张同学们积极打扫卫生的画面，同学们想不想看看啊？

生：想

师：出示主题图片，你们看到了什么？ 生：。。（加分用6或者7来加分）师：有多少个？ 生：6 师：真的吗？动手数一数，为了保证我们不漏数，我们一定要按照一定顺序来数，如按照从上往下或者从左往右的顺序。

师：出示六个同学，我们可以用那个数字来表示呢？ 生：6（板书6的认识）

师：数一数，图中还有数量是6的人和事物吗？ 生：六张桌子（加分）

师：那如果老师问你图中一共有多少人？你知道吗？ 生：六个同学再加上一位老师一共有七人。

师：说的真不错!那么又可以用那个数字表示呢？ 生：7，（板书7的认识，齐读课题）

师：那么现在同学们能用你们明亮的眼睛在我们的身边找到用6或者是7表示的事物吗？

生：同桌互相说一说 师：我要表扬谁，（加分）一B的同学那么爱劳动，爱动手，今天老师就让大家动动手，请同学们拿出学具盒，从学具盒里面数出六根小棒摆一摆，看你们你摆出什么图形？那么七根小棒呢？

生：说一说

师：今天课堂上老师还给大家带来了计数器，出示课件，有五颗珠子，添上一是几呢？

生：6（加分）

师：5添一就是6，现在有6颗珠子，添上一又是几呢？ 生：7（加分）

师：6添一就是7个。

师：我们一B班的小朋友很听话，但是数字6、7可调皮了，在和同学们玩捉迷藏的游戏呢？你知道它在哪儿吗？出示直尺图

生：5的后面是6（加分）生：6的后面是7.（加分）

师：真厉害！他们被你们找到了，可我们的6和7还要考考大家！师：出示课件中的三个问题。生回答，答对加分

师：同桌两人讨论一下，看着尺子图，你还能想到什么？ 生说一说

师：邹老师看到课堂上同学们这么精彩的表现，非常开心！所以决定给大

家来个奖励，轻松一下，玩个游戏！（我真的很不错！）

师：从你们的表现可以看的出，我们一B 班的同学不仅爱劳动而且爱学习，所以我们继续来探索新的知识吧！

师：如果数字一表示的是一个圆点，那么数字六表示的是几个圆点呢？邹老师请六位坐姿最端正的同学将它展示出来，提示：两人一组，一个人拿，另一个人贴。在老师画好线的地方贴，注意要贴的工整漂亮。

师：请小老师评价

师：今天课堂上老师还想给大家变个魔术！谁愿意当老师的小助手呢？点名一人上台

师：老师想把最右边的这幅点子图用数子7来表示，那应该怎么变？ 生：添上一个（并说明为什么）（加分）师：再请一位小助手，（点名一人上台）,老师想把最左边这幅点子图用数字5来表示，怎么变呢？

生：拿下一个（并说明为什么）（加分）

师：老师请的两位小助手可真棒！没露馅对吧！师：请看第一副电子图可以用那个数字表示？ 生：5（在下面贴5）

师：我们学过如何在日字格里面写5，那么今天我们来看看如何在日字格里面的写6、7。

师：出示课件，先看看6、7像什么？师示范如何写：写6时，从右上角写起，往左下方行笔，到左下半格画一个圆圈，注意下半部分要圆，充满下半格。写7时，从左上角写起，往右写横，再往左下方行笔，注意竖要倾斜一点儿。

师：同学们看的这么认真，你会写吗？打开书第40页，现在书上照着描一个，然后再在空格里写一个。

师：点名几个写的真好！

师：现在请同学们继续看黑板，你能从这三个数字中任意选择两个来比一比他们的大小吗？请同桌之间相互说一说。

生：5小于6，6大于5，7大于6，6小于7 师：好！现在又到了奖励环节，请同学们拿出老师给你们准备的神秘礼物!(卡片和扑克牌)(轻松一刻！)师：出示课件，按照老师的要求，看谁找的又对又快!师：刚刚学过的知识大家都记在脑海里了吗？那么现在就请大家带着这些知识来闯关，有信心闯过吗？

师：请看第一关，按顺序填数（加分）师：请看下一关，看图写数。（加分）

师：关关都能通过，看来难不倒大家啊！好,请看下一关更精彩。（数一数，比一比）（加分）

师：看来邹老师要出绝招了，来个难度大一点的。（连一连）（加分）师：一B 班的同学真是太厉害了!接下来我们来谈谈本节课的收获，看看那个小组最棒，是今天的冠军组。

小学数学《认识小数》公开课教案 篇6

p.44，完成练习与应用第1~5题。

教学目标：

1、通过回顾与整理、练习与应用等学习活动，进一步加深对小数的意义和性质的理解。

2、通过复习和整理建立合理的认知结构，发展数学思考和实践能力。

3、在学习活动中体会现实生活里的数学，发展对数学的兴趣，培养交往、合作和探究的意识和能力。

教学过程：

一、整理和复习（有关重点知识点写在作业本上）

1、复习的数位顺序表，回答并板书成：……亿、千万、百万、十万、万、千、百、十、个、十分、百分、千分。

亿级、万级、个级、小数部分、整数部分要求学生熟练掌握数位顺序。

并回答以下问题：

小数点左边的是部分，右边的是（）部分小数点右边第一位是（）位，表示几个（）；左边第二位是（）位，表示几个（）；千分位是小数点（）边的第（）位。小数部分的最高位是（）位，整数部分的最低位是（）位。

（补充：整数部分的最高位没有，小数部分的`最低位没有。）整数部分和小数部分一样，相邻数位的进率是10。

2、复习小数性质：

（要求一字不差的背诵并用来做相关的练习的）。

小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。

3、求近似数：

举例：9.8125分别保留整数、一位小数、两位小数、三位小数。

方法指导（以整数为例）：

先看整数部分，是“9”，两种可能：不变“0”，多1“10”；

再看后面一位，是“8”，那就多1是“10”。

4、复习“改写”：指名说说“改写”的要求：

大小不变。

举例：5403000添上分级线，读一读。

改写成万为单位的：540.3万（小数点向左移动4位）。

改写成亿为单位的：0.05403亿（小数点向左移动8位，不够的的位数用“0”补足。）。

5、说说分数和小数的联系。

二、练习与应用

1、下面每个大正方形都表示整数“1”。先分别把图中的涂色部分用小数表示出来，再读一读。

说一说：条形表示十分之几，用一位小数表示；

方格表示百分之几，用两位小数表示。

指名说说各个小数，特别是最后一个，有可能会出现“2.6”，要引导学生说出思考的方法。

2、你能在方框里填上合适的小数吗？

补充另一个相似的数轴，把0.1、0.2等换成1、2学生观察两条数轴后说说每一小格分别表示多少。

再依次填写各个对应的方框。书上的第一个方框有可能会出现0.3，要引导学生辨析。

3、写一写、读一读：学生独立填写后交流。

图1：价钱一般要用两位小数来表示。

图2：一大格平均分成了10份，每份就是十分之几，用0.7表示。

图3：温度计上的刻度由于太密，有的数简写了。37是人体的正常体温。

图4：可能会问题比较多，可一一板书后加以辨析。

特别是“13.5”，强调单位名称的不同，前面的数也不同；

以“米”为单位的，第一位小数表示的是分米，第二位表示的是厘米，第三位表示的是毫米。

4、读出下面各数，再说一说各是几位小数。

重点指名让学生说说各数中的“5”分别表示多少？

5、完成书上的填空。

其中第2小题，要区别“计数单位”和“数位名称”的联系。

倍的认识教案公开课 篇7

最近听了一节六年级数学课———《倒数的认识》。 整堂课上得行云流水, 每个教学环节的处理, 都能看出教师的用心所在。 这是个长年执教高年级教材老师所上的课, 因为教材中每一个学生可能出现的错误或难点, 教师在课堂中都能有效布控, 从容解决。 从这节课中, 我们看到了一个男教师所特有的睿智与幽默, 上课条理非常清晰, 有条不紊, 没有多余的废话。这也是我一直希望能达到的高度。

不过在这节完美的课中, 老师还是出现一个失误。教育教学永远是个遗憾的艺术, 所有再精彩的课也有不尽如人意的地方。在教学的最后一个环节, 教者将昨天学生的预习作业与课堂练习同步进行, 边练习边指导, 当出示一位学生的作业时, 教者问道:“我为什么给这个学生打错呢?” (同时示题1/11× (11/1) =1) 对于学生所填的11/1老师给予学生一个“×”。并说明这里就写成11, 以后遇到此类题目都要写成整数。教师绝对化的语言让学生与听课者都留下了深刻的印象。当时我就想, 老师想得出最适合写法是有必要的, 但是11/1的写法本身并没有错误, 只是一般情况下, 我们并不这样写。教师用绝对话的语言与一个鲜红的“×”给所有的学生设置了关卡, 只此一路别无他法。无独有偶, 在学生继续练习的过程中, 竟然也有一题与练习中出现的情况是一致的。这时教师瞠目结舌。教者是机智的, 因为此时刚好下课, 老师想借机过场了。但是这个班的学生反应却很快, 不停追问老师这种情况怎么办。这让教者很是尴尬。如在平时, 教者可以直接将自己的意见继续贯彻下去, 但现在有很多老师在听课, 他不能轻易否定教材中出现的情况为错。如果认为教材有错, 那么他需要绝对的权威证明教材有误, 但是他不能这样说。因为11/1本身并没有错, 只是习惯上我们并不这样书写而已。教者的绝对语言在此出现了致命一击, 这个突发状况的产生, 至少让人清楚教者在备课过程中出现了两个问题。第一, 教师受以往教学经验的影响, 为防止学生今后出现类似于11/1的情况, 就强行将这一可能出现状况提早掩埋掉。为了让学生加深印象, 教者将这一环节进行强化, 鲜红的“×”与教师绝对的语言, 让学生清楚明白了教者的意图。第二, 教师在对教材进行整理、疏通时忽视了练习题的设置情况, 未曾预料到教材中竟有与自己意见相反的习题。至此教者发现自己刚才的话语说得太绝对了, 意识到11/1本身不是一种错误, 而自己刚才在讲解过程中, 由于语言的使用不当, 使学生的认识产生了偏差。但此时又不知如何回头了。我想, 此时老师如能及时承认自己刚才言语中错误成分, 换种说法的话, 学生肯定是允许的, 你的尊严也不会受到什么影响。

通过这件事, 让我想到, 我们平时在教学中应注意自己教学语言的处理。 有些事物的存在不是对与不对的问题, 而是习不习惯、适不适合的问题。 面对此类问题, 教师要慎用语言, 不要将事物绝对化。 例如:有的教师在进行几何图形面积公式的运用中, 经常会提到这样一个问题, 就是要求这个图形的面积, 一定要知道什么? 学生在老师多次引导下, 往往就会说, 要求这个问题, 一定要知道底与高, 其实在解决实际问题时, 有时并不需要一定知道底和高, 如果告诉你底与高的乘积, 也能顺利算出某些图形的面积。 这种教学行为在日常教学中是经常出现的, 却不被广大教师注意到。 教师的语言往往带有指导性与方向性, 一旦被学生接受, 如果不能及时修正, 则往往会成会学生今后学习中的隐患。 因此, 教师面对自己所说的话一定要思虑再三, 不能为了消灭学生可能出现的一些问题, 不能单纯为了提高学生的解题能力, 就将教学语言绝对化。 这种做法好比杀鸡取卵或饮鸩止渴, 这种做法是应试教育留下的直接隐患, 是埋藏在教者内心深处的一种情结, 一种教育理念。

摘要：教师平时在教学中, 应注意教学语言的处理。有些事物的存在不是对与不对的问题, 而是习不习惯、适不适合的问题。教师要慎用语言, 不能将事物绝对化。在解决实际问题时, 教师的语言往往带有指导性与方向性, 一旦被学生接受下来, 如果不能及时修正, 往往会成为学生今后学习中的隐患。

“倍的认识”一课的教学与思考 篇8

一、教师眼中的“倍”

从众多发表的文章中，我们可以发现，多数教师把“倍”看成是刻画两个量之间关系的一种表达方式，其数学核心思想是：用一个量去刻画另一个量。“倍”代表着两个数量间的比较关系，它产生的前提和基础是两者比较，而关键是要把其中一方以另一方为标准，分成相同的几份。[1]“倍”是学生在刻画两个量之间关系的时候，第一次从绝对数量的比多少，到相对数量的关系的转变。对于中高年级即将接触到的“分数”“百分数”“比”甚至以后的函数等内容的学习，起着至关重要的作用。还有教师认为：“倍”是刻画两个量之间关系的众多表达方式中的一种，和其他的刻画方式属于同等位置，应该和众多的刻画方式建立起联系，并将“倍”的刻画方式准确地纳入到表达关系这一知识体系当中。

目前，从研究现状来看，多数一线教师对“倍”的理解到了“关系”的层面，北京教育学院刘加霞老师认为“倍”是从加法结构到乘法结构的转折点。小学生的数学认知结构主要是加法结构和乘法结构，而乘法结构是在加法结构基础上产生的高层次的数学认知结构。乘法结构不是指单一的认识乘法，而是一个概念体系，基本概念是乘法与除法，与之相关的倍、最大公因数、最小公倍数、运算律甚至面积、体积、表面积、速度等概念和定律。[2]从现状来看，从乘法结构的角度去进一步研究“倍”未必不是一个新的研究方向，我们既可以从乘法结构聚焦到“倍的认识”，也可以从“倍的认识”辐射到乘法结构。

二、教师在教学时关注到了什么

（一）学生学习的基础

美国著名认知心理学家奥苏伯尔说：“如果我不得不将教育心理还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学。”一线教师在“倍”的教学时，能从学生的已有认知出发，帮助学生建立新旧知识之间的联系。教材中“倍”的概念是依据乘除法知识中“几个几”“份”的概念扩展而来的，通过两个数量的比较，由“份”引出“倍”，使学生初步认识“倍”的含义，这就是学生已经具备了的认识“倍”的基础。[3]针对“倍”的意义理解，就是要让学生对乘法意义中的“几个几”与新知“几倍”形成关联。教师应引导学生运用已有知识经验来认识概念的本质，建立新旧概念间的联系，以促进知识的有效迁移。

（二）教学情境

北师大版教科书以快乐的动物为情境，通过问题串一步步引导学生对不同动物的只数进行比较，从而认识“倍”的概念。人教版教科书则是让学生在用小棒拼摆图形的过程中建立“倍”的概念。在实际的教学中，教师进一步把它转换成了各种各样有趣的情境，有的以猜数游戏开始，有的先利用拍手歌激趣，有的是先动手摆不同颜色的图片再发现数量关系的问题，有的是比较不同事物的数量关系，有的是比较物体的长度关系，有的创设挑战三个卡通人物带来的数学问题的情境，等等。无论什么样的问题情境，目的都是让学生在其感兴趣的情境中，获得积极的情感体验，在感受数学的魅力的同时掌握“倍”的概念。

（三）从关系入手，理解“倍”的意义

前文中提到，多数教师把“倍”看成是刻画两个量关系的一种表达方式。因此教师往往从研究关系入手，来理解“倍”的意义。例如北京海淀教研室的郭丽军老师在教学时先出示3个红圆片、3个黄圆片，问两种圆片的数量有怎样的关系？然后增加3个黄圆片，再让学生说一说3个红圆片和6个黄圆片又有怎样的关系。学生最先会发现多少的关系，然后教师慢慢地引导学生从多少的关系过渡到倍的关系，也就是让学生的思维从加法结构上升到乘法结构。

（四）注重动手操作，利用画图表征，促进“倍”的理解

教师一般通过引导学生画一画、比一比等操作活动，引发、激活学生头脑中的原有认知，并使之外显；然后引导学生进行讨论和交流，从“几个几”的角度初步认识“倍”的含义。认知心理学认为，概念形成其实可以概括为两个阶段，即从完整表象上升为抽象概念，实现抽象概念在思维过程中的具体再现。在这两次必备转换过程中形成完整表象是最重要的一个环节。但由于低年级学生表达能力的欠缺，让学生通过画图表征来表达出自己构建的概念表象就显得尤为重要。画图表征在实物操作与抽象思维之间架起了桥梁，让学生在圈一圈、画一画中初步建立“倍” 的表象，有利于学生有效表达自己构建的概念表象。

（五）在不断对比与抽象中， 逐步理解“倍”的意义

乌申斯基说：“比较是一切理解和一切思维的基础。我们正是通过比较来了解世界上的一切的……”通过画图等手段初步认识了“倍”后，如何让学生进一步理解“倍” 的概念呢？这就需要在不断对比与抽象中，舍弃各种非本质的特征，在变化中抓住“不变”， 而这“不变” 就是它们的量性特征，就是“倍” 的本质。许多教师会设计多个比较的环节，例如：一份数不变，几份数在变，倍数也随之变化；一份数在变，几份数也在变，倍数却不变。通过比较，引导学生逐步明晰和把握概念的本质，使认知和理解走向深入。

三、“倍”的认识的新思考

虽然我们认识了“倍”的本质，虽然我们了解了学生的学习基础，但是对于“倍”的理解，学生还是有一定困难的，虽然学生能够说出谁是谁的几倍，也能借助乘法进行计算，但这并不表示学生真正认识、理解了“倍”，在运用时仍然会出现许多困难。这首先受到儿童自身的认知结构水平的影响，从加法结构到乘法结构，学生认知结构需要发生一定程度“质”的变化。倍的学习是发生质的变化的第一次机会，学生学习“倍”都要经历从加法结构到乘法结构的转变，认知结构的转变是学生学习的最大困难。[4]其次是因为该知识点本身的难度，“倍”不是单一的乘法结构，它是乘法意义的拓展延伸，但同时也包含对除法意义的理解，这无疑会对初次理解“倍”的概念的学生造成一定的困难。

学校最近开展了“课堂观察”研究，通过教师和学生一对一的课堂细致观察，我们还发现了学生在学习“倍”的过程中有如下三个问题。

（一）学生对“关系”不理解

“关系”一词在现代汉语词典中的解释是：事物之间相互作用、相互影响的状态。日常生活中我们经常会用到这个词，感觉理解起来很简单，但孩子对于用在数学背景中的“关系”一词并不是很理解，大多数学生听到教师提出的问题“它们之间有什么关系？”时表现出了听不懂的状态，所以教师在这时不妨停一停，可以举个例子来进一步说明，这样学生才能更好地继续下面的学习。

（二）理解“倍”的概念不能只通过观察

通过对文献的梳理，我们发现许多一线教师都是让学生直接通过观察静止的事物来找数量之间的关系，例如黑板上摆好的教具或画好的简单图形。当教师在黑板上摆出6个红色圆片和3个白色圆片时，学生会很快说出6比3多3或者3比6少3，但很难想到6里面有2个3，或者是6是3的2倍，这也恰恰说明了儿童的认知从加法结构上升到乘法结构是十分困难的。怎样能让学生自然地过渡呢？通过尝试，我们发现“动手操作”是一个可行的办法。课前为学生准备一些可以摆动的学具，例如最简单的小圆纸片，学生在摆一摆学具的过程中，会非常自然的产生分堆的想法（如下图），他们会把3个白纸片摆成1堆，把6个红纸片摆成两堆，这里的“一堆”就是“1份”或者叫作“1倍量”最好的形体展示，这样学生从形上更自然地想到6里面有2个3，这就是学生脑子中最初的“倍”。

许多教师为了让学生更好地理解“倍”，看清数量之间的关教师一上课就让学生去圈一圈，然后直接引出了“倍”的概念。笔者认为这样做也许有点太快了，“倍”的认识需要一个时间的等待，我们不妨放慢脚步，在学生初步建立“倍”的概念时，能通过教师的引导动手摆一摆，其实摆出的“1堆”和圈出的“1份”能达到异曲同工之妙，而动手摆一摆会让学生对“倍”的认识更加深刻。

（三）“倍”难于表达

学生能够说出谁是谁的几倍，也能借助乘法进行计算，但在描述时仍然会出现许多困难。认识“倍”就要求学生能够理解“倍”的含义并学会表达“倍”。在表达“倍”时，我们不要急于给学生标准的表达形式，而要等待。根据学生的年龄特点，学生的理解能力前于学生的表达能力，所以我们认为学生表达不清楚是正常的。在表达“倍”的时候，我们可以尝试用画图的方式进行多个角度的表达以加深理解。

“倍的认识”一课不是一节新课，但是作为一名青年教师，我们需要有把它看成一节新课去研究的意识，我们更需要有站在前辈的肩膀上去思考、去研究、去创新的精神。

注释：

[1] 高丽杰.从“形”到“数”，在不断对比与抽象中认识“倍”[J].小学教学（数学版），2010（1）.

[2][4]刘加霞.从加法结构到乘法结构：“倍”是转折点——评析高丽杰老师的“倍的初步认识”[J]. 小学教学，2010（07～08）.

[3]顾晓东. 基于已有经验的意义关联——“倍的认识”教学反思与改进[J].小学教学参考，2014（1）.