考研数学概率论 题型训练的重要性（精选11篇）
一部分考生在概率论第一轮复习结束后，针对教材，对大纲要求的知识点认认真真地学习了一遍，并将课后题也全部都做了。在这个时候将一道题目放在他的面前，会出现这样一种情况：这个题目是考察哪个知识点或哪几个知识点的综合，做这类题目要用到哪几个公式，这些公式的应用条件是什么，这些全部都很清楚;可是做题还是感觉无从下手，这是什么原因呢?
出现这种情况主要是因为对题目要用到的公式理解的还不够深刻，公式中的各个量到底代表什么，每个量有什么特点，这些量在不同的题目中可能会出现哪些表现形式，没有太好的把握，不能做到正确的应用这些公式。这一类型的题目做的太少了。
解决这个问题需要做一定量的针对训练，在训练中借鉴别人总结的解题方法，并在此基础上得到自己的解题心得及注意事项，改正错误解题步骤，每做一道题目有一道题目的收获。每一次专项训练做多少题目合适因题型而异，有些公式及知识只要少量的题目训练就可以掌握(离散型随机变量的考察多是这种情况);而对于一些相对来说较复杂的公式，就需要我们通过大量的题目训练来掌握(连续性随机变量的考察多是这种情况)。在针对题型的`专项训练中，我们要处理各种各样的不同情况，在不断的总结这类题目的解题方法和解题技巧的同时，我们对于公式就有了更深一层次的理解和把握，从而可以不断提高做这类题目的正确率。
考研路上并不是一帆风顺的，在遇到困难时，积极地寻找解决方法，找到适合自己的解决办法，不断的进步，不断的提高，最后一定能走到胜利的终点!
题型1：抽样方法的识别与计算
主要考查题型：（1）根据所要解决的问题确定需要采用何种抽样方法；（2）根据各类抽象方法的具体特点求相关的数据.
【例1】 在1000个有机会中奖的号码（编号为000—999）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为88的号码为中奖号码，下列说法正确的有.
①该抽样运用的是简单随机抽样；
②该抽样运用的是系统抽样；
③该抽样运用的是分层抽样；
④以上均不对.
分析：实际“间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样.
解析：题中运用了系统抽样的方法确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988，故应填②.
点评：关于系统抽样要注意如下几个问题：（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然后按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法．（2） 系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先确定的规则抽取样本．（3）适用范围：个体数较多的总体.
一年级二年级三年级
女生373xy
男生377370z
【例2】 某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为.
分析：根据给出的概率先求出x的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了.
解析：二年级女生占全校学生总数的19%，即x=2000×0.19=380，这样一年级和二年级学生的总数是373+377+380+370=1500，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是642000×500=16人.
点评：本题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析问题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识.
题型2：总体分布的估计
此题型在高考中常常结合一些实际问题考查频率分布表、频率分布直方图、茎叶图，同时考查识图、用图的能力.主要题型：（1）根据表或图中数据求解限制条件下的个体频数与频率、平均数、方差(标准差)等相关的数据；（2）频率分布表或直方图的完善.
【例3】 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为
［45，55），［55，65），［65，75），［75，85），［85，95)，由此得到频率分布直方图如右图，则这20名工人中一天生产该产品数量在
［55，75)的人数是.
分析：利用频率分布直方图的表示的概率意义及相关数据进行计算即可.
解析：20×(0.040×10＋0.025×10)＝13.
点评：解答此类问题主要有三条途径：①利用所有分组对应的频率之和为1；②利用公式：频率＝矩形的面积＝纵坐标×横坐标，或利用公式：频数＝样本容量×频率；③利用频率分布直方图中的相关数据.
某笑星
8799
913x014
【例4】 “天下笑友会”笑星大比赛，9位评委对某笑星打出的分数记成茎叶图如下，记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核
时发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，
则数字x应该是，方差是.
分析：利用茎叶图表示的数据和平均数、方差(标准差)的意义进行相关计算.
解析：∵x=91 ,且最低分是87，∴x不是最高分，最高分应该是94，若记分员计算无误，则17［－2－2+0+2+(x－1)+1+0］=0 ，解得x=2 ，S2=17［(－2)2+(－2)2+0+22+1+1+0］=2 .故数字x应该是2，方差也是2.
点评：读懂统计图，熟记平均数、方差的公式是解这类题的关键，注意求平均数的简便方法.
题型3：线性回归分析
该题型主要是对线性回归方程：y∧=bx+a的简单考查，主要是两点：①了解y∧=bx+a经过点(x,y)；②能由y∧=bx+a进行简单的估算.
【例5】 调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y∧=0.254x+0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加万元.
分析：本题是利用线性回归方程进行简单估计.
解析：0.254
点评：线性回归分析在江苏高考中已经淡化，故只要了解最基本的内容，计算细心足可解答.
题型4：古典概型和互斥事件与对立事件
古典概型要求试验的所有可能结果数有限，且每一结果出现的可能性相等.在高考中，常常是将等可能、互斥和对立事件交汇在一起进行考查，主要考查综合计算方法和能力.此类问题一般都同时涉及几类事件，它们相互交织在一起，难度较大，因此在解答此类题时，在透彻理解各类事件的基础上，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所包含的所属的事件类型，特别是要注意挖掘题目中的隐含条件.
【例6】 已知方程x2+bx+c=0，设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2+bx+c=0有实根的概率为.
分析：骰子的点数是有限的，故本题是古典概型，只要枚举出所有的基本事件，然后按照条件对照，即可得到所求概率.
解析：“方程有且仅有一个实根” 记为事件B,“方程有两个相异实根”记为事件C,
先后抛掷一枚骰子的基本事件总数为6×6=36，事件B={(b,c)|b2－4c=0,b,c=1,2,…,6}，列数表易知满足事件B的有(2,1),(4,4) 两个基本事件,∴P(B)=236 ；
事件C={(b,c)|b2－4c>0,b,c=1,2,…,6}, 则满足条件C的数据有(3,1),(3,2), (4,1),(4,2) ，(4,3),(5,1),…(5,6),(6,1),…(6,6)，共有17个基本事件,∴P(C)=1736 .
又B、C是互斥事件,故所求的概率为P=P(B)+P(C)=236+1736=1936
∴方程x2+bx+c=0 有实根的概率为1936.
点评：①枚举时必须按一定顺序，做到不重复不遗漏；②对于公式P(A+B)=P(A)+P(B) ，只有当A、B互斥时才能使用，不能乱套公式；③本题也可以从反面出发，考虑用对立事件的概率来解题，解法如下：
另解：“方程有实根” 记为事件A，则“方程无实根” 为A，A={(b,c)|b2－4c<0,b,c=1,2,…,6},
满足条件A的数据共有17个基本事件，∴P(A)=1736,∴P(A)=1－P(A)=1936.
点评：当分类讨论比较繁琐时可运用 “正难则反”的数学思想方法.
题型5：几何概型
几何概型实质是古典概型的推广，把结果数由有限推广到无限.此题型在高考中常常是结合一些实际问题考查，它的特点有下面两个：①试验中所有可能出现的基本事件有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等.
【例7】 在等腰直角三角ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一射线CM，与线段AB交于点M，求AM 分析：本题是在∠ACB作射线CM，等可能分布的是CM在∠ACB内的任一位置，因此基本事件的度量应是∠ACB的大小，故本题的测度是角度. 解析：由题意有AM 点评：几何概型的测度常常是：长度、角度、面积和体积等，因此找准测度是解决几何概率问题的关键. （作者：蒋建兵，常州市第一中学) 16.Suppose there were a flood or an earthquake and the people could not be reached by trains or trucks._______ packages of food could be dropped from planes, the people might starve.A.Until B.Before C.Unless D.If only 17.Mary has long had the desire _______ a famous writer even though the study of writing would require years of sacrifice on her part.A.for becoming B.to become C.of becoming D.becoming 18.This is so difficult a problem that the scientist is known to _______ on it for about ten years, but hasn’t found a solution yet.A.have worked B.have been working C.be working D.work on 19.A majority _______ collectively may be regarded as a being whose opinions and, most frequently, whose interests are opposed to those of another being, which is styled a minority.A.taking B.takes C.take 考研数学拿高分，掌握必要的做题方法和技巧尤为必要，下面和大家谈谈单选题、多选题及简答题的做题技巧，大家在复习做题时就可以应用检验。 一、选择题答题技巧 代入法：也就是说将备选的一个答案用具体的数字代入，如果与假设条件或众所周知的事实发生矛盾则予以否定。 演算法：它适用于题干中给出的条件是解析式子。 图形法：它适用于题干中给出的函数具有某种特性，例如奇偶性、周期性或者给出的事件是两个事件的情形，用图示法做就显得格外简单。 排除法：排除了三个，第四个就是正确的答案，这种方法适用于题干中给出的函数是抽象函的情况。 反推法：所谓逆推法就是假定被选的四个答案中某一个正确，然后做反推，如果得到的结果与题设条件或尽人皆知的.正确结果矛盾，则否定这个备选答案。 二、多选题 1、加强对基本范畴、规律和论断等的理解考生需要在考研政治的平时复习中对基本概念、规律、论断加强记忆，深入理解，注重平时的日常积累。 2、准确分析题干、备选答案，做到“正确、有关”考生要首先分析题干，了解题干的基本内涵，然后分析备选答案是否与题干相关。如果相关再看是否是正确观点。同时还要注意，只有直接有关联的才能选，间接关联的则不选。 3、加强真题演练，总结出多项选择题出题基本规律考生可以通过真题的多次演练、分析，了解多项选择题的出题特点、基本规律，从而在考场上稳重应对。 三、解答题 数学考试没有答题卡，在试卷上填写选择题答案。这里主要注意解答题的回答。尽量安排好回答的空间，如果不会做，可以先放一放，先把会做的题目答完，再回来做。 强烈建议，对于选择题和填空题，如果三分钟没有思考出来结果，就果断放弃。总之，选择题和填空题的解答时间不要影响后面的大题目，毕竟很多大题目还是很简单的。在解答主观大题目的时候，也一定要学会放弃不会做的题，或者是暂时放弃不会做的题，不要为了一道题目苦苦思考很长时间，每道题思考时间一般不应超过10分钟，否则容易导致概率和线性代数等部分的题目无法解答，其实我们仔细想想，概率和线性代数的题目相对要比高等数学的内容简单，题型也很可能是曾经做过的，因此不要为了一道题目耽误了后面20～30分的内容。每年考研均有人在此犯下错误。 数学科答题注意事项概括如下： 1)合理地安排好答题的答题空间，答题时尽量不要跳步，因为每一步都是有步骤分的。 2)合理的安排好自己的答题顺序，千万不要将大把时间浪费在分值较小的题上，这样会得不偿失。 考研数学数学一、数学三中概率论与数理统计占22%，两个大题三个小题，约34分。其特点是同学们学习不够重视，相对于高数、线代而言在三科中得分率最低。下面我们谈谈概率论与数理统计学习的策略。 一、把握学科核心主线 概率论与数理统计的核心主线就是分布与数字特征，所以两个大题一般就是从下列三个方面选两个： 1、一维随机变量及其函数的分布与数字特征 2、二维随机变量及其函数的分布与数字特征 3、点估计（矩估计、最大似然估计）与统计量的分布与数字特征 二、概率统计命题特点 纵观近十年概率统计真题，我们发现概率命题重视如下内容： 1、综合高数：现代概率统计的发展离不开高等数学、微积分知识。概率统计试题也与微积分知识密不可分，例如利用分布函数求一点处的概率就要用到分布函数的左极限。求离散型随机变量数字特征会用到级数求和，求连续性随机变量的数字特征肯定要用到积分。 2、分类讨论：例如一维、二维随机变量函数的分布问题，二维离散型随机变量与连续性随机变量综合问题等，我们一般都需要进行分类讨论，分类讨论要求既不重复又不遗漏，这就要求我们构造完备事件组进行全集分解。 3、数形结合：概率论中不少问题也有明显的几何意义，例如概率密度、分布函数、正态分布的对称性、分布函数的几何意义等。如果能够充分利用几何意义，我们将大大提升解题速度，化繁为简提高准确率。 4、正难则反：在处理概率大题过程中，如果我们遇到困难，无法继续做下去的时候，同学们要学会从反面来考虑，一般正面复杂的问题，反面往往比较简单，正难则反考察同学们的灵活性。 5、概率思维：近几年的.试题，我们发现越来越突出概率思维，即有些问题我们可以拼高等数学的知识做出来，但如果能结合概率思维（分布背景、统计替换的思想）可以大大简化计算，巧妙给出答案。 三、复习建议 一、随机抽样 考纲要求 （1）理解随机抽样的必要性和重要性. （2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样. 基本考点与题型 1. 简单的随机抽样 例1. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石 答案 B. 解析 设这批米内夹谷的个数为x，则由题意并结合简单随机抽样可知，=，解得x≈169，故应选B. 评注 本题以数学史为背景，重点考查简单的随机抽样及其特点，通过样本频率估算总体频率，难度不大.在高考中，考查简单的随机抽样的题目往往比较简单. 2. 系统抽样 例2.（2015·湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示. 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________. 答案 4. 解析 35÷7=5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人. 评注 本题将系统抽样与茎叶图综合在一起考查，难度不大.对于系统抽样问题，我们要掌握两点：（1）分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本；（2）起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了. 3. 分层抽样 例3. 某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取学生________名. 答案 40. 解析 抽样比为=，∴A，B专业共抽取38+42=80名， 故C专业抽取120-80=40名. 评注 分层抽样是三种抽样方法中最重要的一种抽样方法，也是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题，且主要有以下几个命题角度：一是计算某一层应抽取的样本数；二是求样本容量. 二、用样本估计总体 考纲要求 （1）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点. （2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差. （3）能从样本数据中提取基本的数字特征（平均数、标准差），并给出合理解释. （4）会用样本的频率分布估计总体的分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想. （5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. 基本考点与题型 1. 频率分布直方图 例4.（2016·北京）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图： （1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？ （2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费. 答案 （1）3；（2）10.5元. 解析 （1）由用水量的频率分布直方图知： 该市居民该月用水量在区间[0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]，（2，2.5]，（2.5，3]内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15. 所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%. 依题意，w至少定为3. （2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表： 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为： 4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5元. 评注 本题主要考查频率分布直方图求频率，频率分布直方图求平均数的估计值.由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：（1）×组距=频率；（2）=频率，此关系式的变形为=样本容量，样本容量×频率=频数. 2. 茎叶图 例5. 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下： ①分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； ②分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； ③根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价. 答案 ①75，67. ②0.1，0.16. ③ 对甲部门评价较高. 解析 ①由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75. 50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为=67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67. ②由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为=0.1，=0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16. ③由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大. 评注 在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义. 3. 样本的数字特征 例6.（2015·广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图. （1）求直方图中x的值； （2）求月平均用电量的众数和中位数； （3）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？ 答案 （1）0.0075.（2）230，224.（3）5. 解析 （1）由（0.002 + 0.0095 + 0.011 + 0.0125 + x + 0.005 + 0.0025）×20=1得x=0.0075， ∴直方图中x的值为0.0075. （2）月平均用电量的众数是=230. ∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45<0.5， ∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，则： （0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5，解得a=224，即中位数为224. （3）月平均用电量在[220，240）的用户有0.0125×20×100=25户， 同理可求月平均用电量为[240，260），[260，280），[280，300）的用户分别有15户、10户、5户， 故抽取比例为=， ∴从月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户. 评注 样本的数字特征是每年高考的热点，且常与频率分布直方图、茎叶图等知识相综合考查.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，应注意这三者的区分：（1）最高的矩形的中点即众数；（2）中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 三、变量间的相关关系 考纲要求 （1）会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相关关系. （2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程. 基本考点与题型 1. 相关关系的判断 例7. 为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图（x轴、y轴的单位长度相同），用回归直线方程=bx+a近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（ ） A. 线性相关关系较强，b的值为1.25 B. 线性相关关系较强，b的值为0.83 C. 线性相关关系较强，b的值为-0.87 D. 线性相关关系较弱，无研究价值 答案 B. 解析 由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近，所以线性相关关系较强，且应为正相关，所以回归直线方程的斜率应为正数，且从散点图观察，回归直线方程的斜率应该比y=x的斜率要小一些，综上可知应选B. 评注 相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具备相关性. 2. 线性回归方程 例8.（2014·重庆）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为（ ） A. =0.4x+2.3 B. =2x-2.4 C. =-2x+9.5 D. =-0.3x+4.4 答案 A. 解析 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D. 且直线必过点（3，3.5）代入A，B，得A正确. 评注 回归直线方程 = x+必过样本点中心（，）. 四、随机事件的概率 考纲要求 （1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率意义以及频率与概率的区别. （2）了解两个互斥事件的概率加法公式. 基本考点与题型 1. 随机事件概率的求法 例9. 随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下： （1）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； （2）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率. 解析 （1）在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为=. （2）称相邻的两个日期为“互邻日期对”（如，1日与2日，2日与3日等）.这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为. 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为. 评注 本题主要考查随机事件的概率与频率的关系和随机事件概率的求法：（1）频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.（2）利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率. 2. 互斥事件与对立事件的概率 例10. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ） 答案 A. 解析 不输包括和棋与获胜两种情形，故甲不输概率为+=. 评注 运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法，本题属于简单题. 五、古典概型 考纲要求 （1）理解古典概型及其概率计算公式. （2）会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率 基本考点与题型 1. 简单的古典概型 例11. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ） 答案 C. 解析 开机密码的可能有： （M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15种可能， 所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是. 评注 作为客观题形式出现的古典概型试题，一般难度不大，解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏，避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举. 2. 复杂的古典概型 例12. 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人） （1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； （2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3. 现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率. 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的. 事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个. 因此A1被选中且B1未被选中的概率为P=. 评注 此类问题一般以解答题的形式出现，基本方法有：（1）将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解.（2）先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解. 3. 古典概率与统计的综合 例13. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表. B地区用户满意度评分的频数分布表 （1）在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）； （2）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级： 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由. 解析 （1）如图所示： 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散. （2）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”. 由直方图得P（CA）的估计值为（0.01+0.02+0.03）×10=0.6， P（CB）的估计值为（0.005+0.02）×10=0.25. 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 评注 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点.概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决. 六、几何概型 考纲要求 （1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率. （2）了解几何概型的意义. 基本考点与题型 1. 与长度有关的几何概型 例14. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） 答案 B. 解析 因为红灯持续时间为40秒. 所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=. 评注 对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法，本题的测度为长度，是高考中经常出现的一类几何概型送分题. 2. 与面积有关的几何概型 例15. 从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ） 答案 C. 解析 利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为==，所以π=. 评注 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解. 3. 与其它知识交汇的几何概型 例16. 在区间[0，1]x+y≤上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则（ ） 答案 D. 解析 如图，满足条件的x，y构成的点（x，y）在正方形OBCA内，其面积为1.事件“x+y≤”对应的图形为阴影△ODE，其面积为××=，故p1=<. 事件“xy≤”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于， 故p2>，则p1<评注 与其它知识交汇的几何概型以测度为面积的居多，解决这类问题的关键是根据题意画出图形，并计算相关面积.这类问题综合性较强，有一定的难度. 变式训练 1. 某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到的编号之和为48，则抽到的最小编号为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值=（ ） 8. 某单位为了了解用电量y（度）与当天平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的当天平均气温与用电量（如下表），运用最小二乘法得线性回归方程为=-2x+a，则a=________. 9. 某次测量发现一组数据（xi，yi）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y1）因书写不清楚，只记得y1是[0，3]上的一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为________.（残差=真实值-预测值） 10. 已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点. 在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|<的概率为________. 11. 某网站针对“2016年法定节假日调休安排”展开的问卷调查，提出了A，B，C三种放假方案，调查结果如下： （1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持A方案”的人中抽取了6人，求n的值； （2）在“支持B方案”的人中，用分层抽样的方法抽取5人看作一个总体，从这5人中任意选取2人，求恰好有1人在35岁以上（含35岁）的概率. 12. 某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人. （1）求该班学生中“立定跳远”科目的成绩为A的人数； （2）已知该班学生中恰有2人的两科成绩等级均为A，在至少有一科成绩等级为A的学生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A的概率. 变式训练参考答案与解析 1. B. 2. D. 3. A. 4. C. 5. D. 6. C. 7. C. 8. 60. 9. . 10. +. 11. （1）n=40；（2）. 12.（1）3；（2）. 1. 系统抽样的抽取间隔为=6，设抽到的最小编号为x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，解得x=3. 2. 根据茎叶图，得乙组的中位数是33，甲组的中位数也是33，即m=3，又甲=（27+39+33）=33，所以乙=（20+n+32+34+38）=33，解得n=8，所以=. 3. 分数低于112分的人对应的频率/组距为0.09，分数不低于120分的人数对应的频率/组距为0.05，故其人数为×0.05=10人. 12.（1）因为“铅球”科目的成绩等级为E的学生有8人，所以该班有8÷0.2=40人，所以该班学生中“立定跳远”科目的成绩等级为A的人数为40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3. （2）由题意可知，至少有一科成绩等级为A的有4人，其中恰有2人的两科成绩等级均为A，另2人只有一个科目成绩等级为A. 设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩等级都是A的同学，则在至少有一科成绩等级为A的学生中，随机抽取2人进行访谈，基本事件空间为Ω={（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）}，一共有6个基本事件. 题型一向量的线性相关性 向量的线性相关性是最近几年考研数学真题中线性代数的一个常考题型，比如在2014年、、及都有出现，大多以选择题或者填空题的类型出现，属于比较简单的类型，同学们定要重视一下以免造成无谓的丢分。 题型二行列式的计算 行列式的.计算和其他类型相比算是比较简单的类型，在以往的真题试题中大部分是计算n阶特殊的行列式。这种题型称得上是“送分童子”。 题型三关于对称矩阵的问题 关于对称矩阵，围绕这类矩阵来出题显得更加灵活，最常见的类型是求对称矩阵或者二次型 对应的矩阵的所有特征值以及所对应特征向量，有时还要求考生求一正交变换使对称矩阵能够对角化并化成标准型或者规范化，虽然2014年真题中没有出现，但在、20、20、20的考研数学中都有涉及到，或者是根据对称矩阵在正交变换下的标准型反过来求矩阵例如的考研数学中；再者就是根据对称矩阵的秩或者二次型的解的个数来求解矩阵中出现的参数比如在年、20、年的数学考研中；最后是根据矩阵中已给出的特征值和特征向量求出所有的特征值和特征向量或者是反求出矩阵年、年、的考研数学中均有出现。今年考的几率很大望引起你的重视。 题型四有关线性方程组的解的问题 线性方程组关于解的问题是线性代数的基础，这类题中大多是根据对应矩阵中的参数变化来确定解的情况，比如方程组有唯一解、无穷多解还是无解以及求第三矩阵。例如2014年、2012年、2010年、20等的历年考研中都有出现，这方面的应用一定要熟练掌握。 题型五矩阵之间的相似、合同和等价 这类题主要是填空、选择或者证明题的的形式出现（例如2014年的第21大题）还有就是判断它们之间的关系或者根据它们之间的关系求其中的参数或者特征值。 题型六矩阵或者向量的秩来出题 这类题的形式比较多（多数是求参数题），但多是一些较简单的题目来出现。 题型七矩阵的行、列初等变换的题目 多以选择或者填空的形式出现，要求真正理解。 (1)事件之间的关系与运算，以及利用它们进行概率计算；(2)概率的定义及性质，利用概率的性质计算一些事件的概率；(3)古典概型与几何概型； (4)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率；(5)事件独立性的概念，利用独立性计算事件的概率；(6)独立重复试验，伯努利概型及有关事件概率的计算。 要求：考生理解基本概念，会分析事件的结构，正确运用公式，掌握一些技巧，熟练地计算概率。随机变量及概率分布考查的主要内容有： (1)利用分布函数、概率分布或概率密度的定义和性质进行计算； (2)掌握一些重要的随机变量的分布及性质，主要的有：（0-1）分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布、均匀分布、指数分布和正态分布，会进行有关事件概率的计算； (3)会求随机变量的函数的分布。 (4)求两个随机变量的简单函数的分布，特别是两个独立随机变量的和的分布。要求：考生熟练掌握有关分布函数、边缘分布和条件分布的计算，掌握有关判断独立性的方法并进行有关的计算，会求两个随机变量函数的分布。 随机变量的数字特征考查的主要内容有：(1)数学期望、方差的定义、性质和计算；(2)常用随机变量的数学期望和方差；(3)计算一些随机变量函数的数学期望和方差；(4)协方差、相关系数和矩的定义、性质和计算； 要求：考生熟练掌握数学期望、方差的定义、性质和计算，掌握由给出的试验确定随机变量的分布，再计算有关的数字的特征的方法，会计算协方差、相关系数和矩，掌握判断两个随机变量不相关的方法。大数定律和中心限定理考查的主要内容有： (1)切比雪夫不等式；(2)大数定律；(3)中心极限定理。 要求：考生会用切比雪夫不等式证明有关不等式，会利用中心极限理进行有关事件概率的近似计算。数理统计的基本概念考查的主要内容有： (1)样本均值、样本方差和样本矩的概念、性质及计算；(2)χ2分布、t分布和F分布的定义、性质及分位数； (3)推导某些统计量的（特别是正态总体的某些统计量）的分布及计算有关的概率。要求：考生熟练掌握样本均值、样本方差的性质和计算，会根据χ2分布、t分布和F分布的定义和性质推导有关正态总体某些统计的计量的分布。参数估计考查的主要内容有：(1)求参数的矩估计、极大似然估计；(2)判断估计量的无偏性、有效性、一致性；(3)求正态总体参数的置信区间。 要求：考生熟练地求得参数的矩估计、极大似然估计并判断无偏性，会求正态总体参数的置信区间。假设检验考查的显著的主要内容有： (1)正态总体参数的显著性检验；(2)总体分布假设的χ2检验。 要求：考生会进行正态总体参数的显著性检验和总体分布假设的χ2检验。常有的题型有：填空题、选择题、计算题和证明题，试题的主要类型有： (1)确定事件间的关系，进行事件的运算；(2)利用事件的关系进行概率计算；(3)利用概率的性质证明概率等式或计算概率；(4)有关古典概型、几何概型的概率计算；(5)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率；(8)利用随机变量的分布函数、概率分布和概率密度的定义、性质确定其中的未知常数或计算概率；(9)由给定的试验求随机变量的分布；(10)利用常见的概率分布（例如（0-1）分布、二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布等）计算概率；(11)求随机变量函数的分布(12)确定二维随机变量的分布；(13)利用二维均匀分布和正态分布计算概率；(14)求二维随机变量的边缘分布、条件分布；(15)判断随机变量的独立性和计算概率；(16)求两个独立随机变量函数的分布；(17)利用随机变量的数学期望、方差的定义、性质、公式，或利用常见随机变量的数学期望、方差求随机变量的数学期望、方差；(18)求随机变量函数的数学期望；(19)求两个随机变量的协方差、相关系数并判断相关性；(20)求随机变量的矩和协方差矩阵；(21)利用切比雪夫不等式推证概率不等式；(22)利用中心极限定理进行概率的近似计算；(23)利用t分布、χ2分布、F分布的定义、性质推证统计量的分布、性质；(24)推证某些统计量（特别是正态总体统计量）的分布；(25)计算统计量的概率；(26)求总体分布中未知参数的矩估计量和极大似然估计量；(27)判断估计量的无偏性、有效性和一致性；(28)求单个或两个正态总体参数的置信区间；(29)对单个或两个正态总体参数假设进行显著性检验；(30)利用χ2检验法对总体分布假设进行检验。 这一部分主要考查概率论与数理统计的基本概念、基本性质和基本理论，考查基本方法的应用。对历年的考题进行分析，可以看出概率论与数理统计的试题，即使是填空题和选择题，只考单一知识点的试题很少，大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力。要求考生能灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。 在解答这部分考题时，考生易犯的错误有： （1）概念不清，弄不清事件之间的关系和事件的结构；（2）对试验分析错误，概率模型搞错；（3）计算概率的公式运用不当； （4）不能熟练地运用独立性去证明和计算； 来源：跨考教育发布时间：2011-11-15 16:28:26 近年来考研数学试题难度比较大，平均分比较低，而高等数学又是考研数学的重中之重，如何备考高等数学已经成为广大考生普遍关心的重要问题，要特别注意以下三个方面。第一，按照大纲对数学基本概念、基本方法、基本定理准确把握(也即三基的重要性务必引起重视)。数学是一门逻辑学科，靠侥幸押题是行不通的。只有对基本概念有深入理解，对基本定理和公式牢牢记住，才能找到解题的突破口和切入点。分析近几年考生的数学答卷可以发现，考生失分的一个重要原因就是对基本概念、定理理解不准确，数学中最基本的方法掌握不好，给解题带来思维上的困难。 第二，要加强解综合性试题和应用题能力的训练，力求在解题思路上有所突破。在解综合题时，迅速地找到解题的切入点是关键一步，为此需要熟悉规范的解题思路，考生应能够看出面前的题目与他曾经见到过的题目的内在联系。为此必须在复习备考时对所学知识进行重组，搞清有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。解应用题的一般步骤都是认真理解题意，建立相关数学模型，如微分方程、函数关系、条件极值等，将其化为某数学问题求解。建立数学模型时，一般要用到几何知识、物理力学知识和经济学术语等。第三，重视历年试题的强化训练。统计表明，每年的研究生入学考试高等数学内容较之前几年都有较大的重复率，近年试题与往年考题雷同的占50%左右，这些考题或者改变某一数字，或改变一种说法，但解题的思路和所用到的知识点几乎一样。通过对考研的试题类型、特点、思路进行系统的归纳总结，并做一定数量习题，有意识地重点解决解题思路问题。对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。尽管试题千变万化，其知识结构基本相同，题型相对固定。提练题型的目的，是为了提高解题的针对性，形成思维定势，进而提高考生解题的速度和准确性。 下面以数学一为主总结一下高数各部分常见题型。 一、函数、极限与连续 求分段函数的复合函数;求极限或已知极限确定原式中的常数;讨论函数的连续性，判断间断点的类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。 二、一元函数微分学 求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论;利用洛比达法则求不定式极限;讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式;利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足....。.”，此类问题证明经常需要构造辅助函数;几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间;利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。 三、一元函数积分学 计算题：计算不定积分、定积分及广义积分;关于变上限积分的题：如求导、求极限等;有关积分中值定理和积分性质的证明题;定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等;综合性试题。(注;高数中解答题的最后一步往往是求解一个积分，故积分的各种求解方法务必熟练再熟练!) 四、向量代数和空间解析几何 计算题：求向量的数量积，向量积及混合积;求直线方程，平面方程;判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角;建立旋转面的方程;与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。此题型考研中占的分值较少，且若考的话直接考查概念。 五、多元函数的微分学 判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续;求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数;求二元、三元函数的方向导数和梯度;求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习;多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意。 六、多元函数的积分学 二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序;第一型曲线积分、曲面积分计算;第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用;第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用;梯度、散度、旋度的综合计算;重积分，线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。每年会有一道解答题出现! 七、无穷级数 判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛;求幂级数的收敛半径，收敛域;求幂级数的和函数或求数项级数的和;将函数展开为幂级数(包括写出收敛域);将函数展开为傅立叶级数，或已给出傅立叶级数，要确定其在某点的和(通常要用狄里克雷定理);综合证明题。 八、微分方程 求典型类型的一阶微分方程的通解或特解：这类问题首先是判别方程类型，当然，有些方程不直接属于我们学过的类型，此时常用的方法是将x与y对调或作适当的变量代换，把原方程化为我们学过的类型;求解可降阶方程;求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;根据实际问题或给定的条件建立微分方程并求解;综合题，常见的是以下内容的综合：变上限定积分，变积分域的重积分，线积分与路径无关，全微分的充要条件，偏导数等。 总之，对考生来说，要想在数学考试中取得好成绩，必须认真系统地按照各类考试大纲的要求全面复习，掌握数学的基本概念、基本方法和基本定理。平时注意抓题型的解决方法和技巧，不断总结。最后按规定时间做几份模拟题，了解一下究竟掌握到什么程度，同时知道薄弱环节，抓紧时间补上。如果考生能够通过做题，将遇到的各种题进行延伸或变式，做到融会贯通，一定会取得好的成绩。数学的学习要做到一步一个脚印，步步为营才能取得理想中的成绩，未来是属于我们的也是属于你们的，但归根结底还是属于你们的! 考研数学教材三大重视原则 基础功夫要做牢：数学教材的三大“重视”原则 基础阶段的学习，我们的目标是通过对教材的复习理解大纲中要求的三基本--基本概念、基本理论、基本方法。考研试卷中大部分试题是以考察基本概念，基本的公式，基本的理论为主。在这个阶段，大家在看教材应遵循下面的三大主要原则。 重视结合大纲复习 大纲不仅是命题人要遵循的法律也是我们复习的依据。现在大家用08年的大纲也完全可以。数学的试题不同于政治的试题，数学试题具有连续性和稳定性。细心的同学可能注意到了，对不同知识点大纲有不同的要求，有要求理解的，有要求了解的，有要求掌握的，也有要求会求会计算的。那么我们应该怎么来对待呢？在基础阶段复习中，大家不要在意这几个字的区别，从历年试卷的内容分布上可以看出，凡是考试大纲中提及的内容，都有可能考到，甚至某些不太重要的内容，也可以以大题的形式在试题中出现。由此可见，以押题、猜题的复习方法来对付考研靠不住的，很容易在考场上痛失分数而败北，应当参照考试大纲，全面复习，不留遗漏。 当然，全面复习不简单的就是生记硬背所有的知识，相反，是要抓住问题的实质和各内容、各方法的本质联系，把要记的东西缩小到最小程度，要努力使自已理解所学知识，多抓住问题的联系，少记一些死知识，而且记住了就要牢靠，事实证明，有些记忆是终生不忘的，而其它的知识又可以在记住基本知识的基础上，运用它们的联系而得到。这就是全面复习的含义我们都需要把它掌握了。而在以后提高阶段中，我们就需要有针对性的复习，在考试大纲的要求中，对内容有理解，了解，知道三个层次的要求；对方法有掌握，会(能)两个层次的要求，一般地说，要求理解的内容，要求掌握的方法，是考试的重点。在历年考试中，这方面考题出现的概率较大；在同一份试卷中，这方面试题所占有的分数也较多。“猜题”的人，往往要在这方面下功夫。一般说来，也确能猜出几分来。但遇到综合题，这些题在主要内容中包含着次要内容。这时，“猜题”便行不通了。我们讲的这时要突出重点，不仅要在主要内容和方法上多下功夫，更重要的是要去寻找重点内容与次要内容间的联系，以主带次，用重点内容提挈整个内容。主要内容理解透了，其它的内容和方法迎刃而解。即抓出主要内容不是放弃次要内容而孤立主要内容，而是从分析各内容的联系，从比较中自然地突出主要内容要求理解，掌握的考的频率高，常常是以大题的形式出现，大家需要重点来复习，把它吃透；要求了解，会求，会计算的知识点考得频率低一点，所以要求也稍微弱一点，大家花在上面的时间可以相对少一点。这样复习的时候才能做到有的放矢。 重视做题质量 基础阶段的学习过程中,教材上的题目肯定是要做的，那是不是教材上的所有题目都需要做呢？具统计，《高等数学》的教材上题目共1900多道，《线性代数》教材上共400多道题目，《概率论与数理统计》教材上共230多道。学习数学，要把基本功练熟练透，但我们不主张“题海”战术，其实上面我们已经清楚大约要做的题目数量，这阶段我们提倡精练，即反复做一些典型的题，做到一题多解，一题多变。要训练抽象思维能力，对些基本定理的证明，基本公式的推导，以及一些基本练习题，要做到不用书写，就象棋手 下“盲棋”一样，只需用脑子默想，即能得到正确答案，这样才叫训练有素，“熟能生巧”。基本功扎实的人，遇到难题办法也多，不易被难倒。相反，作练习时，眼高手低，总找难题作，结果，上了考场，遇到与自己曾经作过的类似的题目都有可能不会；不少考生把会作的题算错了，将其归结为粗心大意，确实，人会有粗心 的，但基本功扎实的人，出了错立即会发现，很少会“粗心”地出错。 重视复习效果 看教材不是看小说，看完就算了。看的过程中一方面要提高数学的复习效率，不和别人比速度。要做到能用自己的语言叙述大纲中的概念和定理，切忌“一知半解”。不要一味做题而不注意及时归纳总结。及时总结可以实现“量变到质变”的飞跃。不要急于做以往的“考研试卷”，等到数学的三门课复习完毕并经过第二阶段的复习再做，这样的效果会更好些。既可了解考什么、怎么考，又可检验自己复习的情况。同学们还要不骄不躁，持之以恒。另外，我们一定要对自己看过的东西进行检验，看完一章后要看下自己是否可以继续下一章节的学习。那如何来检验呢？我们的方法是：做和考研比较接近的测试题。一般来说书后习题是不能反映出大家对每一章的掌握情况的。因为我们的目标不是期末考试而是考研，课后题是不能说明问题的，大家应该通过做一些难度适中的题目才能解决这个问题。 只要坚持并把握好以上三点重视原则，相信你的数学复习一定会顺利。最后，祝愿所有备考考生都能取得令自己满意的数学成绩。 名师指导：2012年考研数学解题技巧 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学试卷题型及分值分布：选择题8个，每个4分，共32分;填空题6个，每个4分，共24分;解答题9个，共94分。满分150分。 对于四选一的选择题，其中三个都是干扰项，一个是正确选项，答案只给出正确选项前面的字母，不给出推导过程，选对得满分，选错得0分，不倒扣分。选择题有多种解题方法，常用的方法有：首肯法、排除法、反例法、图示法、逆推法等。如果各种方法都不奏效，鼓励考生猜测选项。选择题属客观题，答案是唯一正确的，数学考试中的多选题也都以单选的形式出现，最终答案只有一个，评分是不偏不倚的。对于考生来说，会做的题目靠扎实的知识得分，不会做的只能靠自身的运气。选择题的难度一般适中，以2011年试卷为例，其中的选择题都是中等难度，没有特别难的题目，也没有一眼就能看出答案的题目。选择题主要考查考生对数学概念、数学性质的理解，要求考生能进行简单的推理、判定、计算和比较。这一部分的32分需要考生在读书的时候深入思考，并要不完全依赖臆想，而要思考与动手相结合才能稳拿。 填空题的答案是确定和唯一的，只填出最终结果，不需给出推导计算过程，答对得满分，答错得0分。这部分题目一般需要进行有一定技巧的计算，但不会有太复杂的计算题。题目 难度与选择题不相上下，即难度适中。方法只有一个：认真审题，高效率计算。填空题总共只有6个，高等数学(4个)、线性代数(1个)、概率论与数理统计(1个)各有分布，主要考查的是数学基本概念、基本原理、基本方法及数学的重要性质。这一部分24分的获取需要基础复习阶段就融会贯通的知识作保障。 解答题占总分的百分之六十多，其中有计算题、证明题及其他解答题，一般都会有多种解题方法和证明思路，有些甚至有初等解法，但考试解答时尽量用与《考试大纲》规定的考试内容和考试目标相一致的解法和证明方法，步骤表述清楚，避免因表达不清而失分。每题的分值与完成该题所花费的时间以及考核目标的有关，综合性较强的试题，推理过程较多的试题和应用性的试题分值较高。基本计算题、常规性试题和简单应用题的分值较低。解答题属主观题，其答案有时并不唯一，这就要求考生不仅要能处理一个题目，更要能看到出题人的考核意图，选择合适的方法解答。 计算题的正确解答要靠平时对各种计算方法，以及对综合题如何选择有效的解题方法的熟练掌握。如二元函数求最值的方法和步骤，曲线积分、曲面积分的计算方法及其与重积分的关系，以及格林公式、高斯公式等，重积分的计算方法及一些特殊结论(如积分区域对称，被积对象具有一定的奇偶性时的情形)等都需要非常熟悉。证明题是大多数考生感到无从下手的题目，所以一些简单的证明题在考试中也会得分率极低。证明题考查最多的是中值定理(微分中值定理及积分中值定理)，其次从题型来说就是不等式的证明，方法却比较庞杂，但仍然是有章可寻的。考生如果在平时就没有留太多的精力在证明题上，那么在考前的这两个月可以给出一点时间琢磨一下推理的问题，只要腾出一点脑力思考一下，这个东西并不难。解答题除考查基本运算外，还考查考生的逻辑推理能力和综合运用能力，需要考生在强化阶段加强提高这方面的能力。 考研复习新大纲刚刚出台，考生应仔细阅读《大纲导读》一类的辅导书，以求更准确的瞄准目标进行重点复习备考! 高等数学（微积分）推荐绿皮儿的同济大学第五版（或之后更新的）《高等数学》，里面有大量对定理的证明过程；线性代数当然是清华的黄蓝相间的教材《线性代数》最权威，但千万别通读；而概率论首选浙江大学出版的《概率论与数理统计》，比较通俗易懂。教材一定要吃透，把基础打牢，每一个公式、定理、每一道例题都要信手拈来，不能有丝毫差错。建议教材至少要过三遍，第一遍认真学习每一个知识点，做每一道习题，注意做题前不要看参考答案，做到独立思考。第二遍总结各知识点，做到所有的知识点都能够记在心里面，张嘴就能从头到尾说出来，甚至于达到能说出来在哪里能出什么题。第三遍查找自己的知识死角，弱点，难点，重点。三遍之后，可以开始大量的做题，包括市面上或者辅导班发的类似100题、200题的这种，而且每个题集最好做两遍，第二遍主要是针对那些在第一遍中做错的题，通过不断地纠错来提高自己的数学水平。考研数学主要是考查对基础知识的掌握，里面并没有特别难的题，只要我们对所有的知识点都有深刻的了解，再通过大量的做题来掌握做题技巧，那考试的时候就会感觉所有的考题平时都见过，做起来当然就得心应手了。 说到做题，数学最忌讳眼高手低。一定要动手做，不过也不能纯粹求量搞题海战术，而是要更重视质的提高，同时数学是一门讲究手感的东西，中断它的复习，要花更多的时间找回手感，得不偿失。所以从你决定考研开始到考研前一天，都不能停止数学的复习。 经过前面试间的复习，到大四开学的时候，建议开始做套题，而且最好是每天的上午，而时间也是按照考试的3小时来控制。首推的当然是《历年考研试题》，基本上要做十年的吧。这十套真真正正的考研题要陪你度过余下的时光。作完第一遍十套真题，开始找权威的《模拟试题》，但是这是要有极好的心理承受能力，因为极有可能模拟试题是在考察你没有复习到的漏洞，这时要端正态度，不必过分担心自己的水平不够。事实是，把这些漏洞补上，你就是个考研数学的高手了。 最后，还有一点要建议：考前买本背公式背概念的小册子，随时忘随时翻，尤其是概率论那一块儿的参数估计、假设检验、线性代数的概念性质，确实要既深刻理解又可以快速写出来。（海天教育） 高等数学：同济五版 线性代数：同济六版 概率论与数理统计：浙大三版 推荐资料： 1、李永乐考研数学3--数学复习全书+习题全解(经济类) 2、李永乐《经典400题》 3、《李永乐考研数学历年试题解析（数学三）真题》 考研数学规划： 课本+复习指导书+习题集+模拟题+真题= KO 复习资料来说：李永乐的不错，注重基础；陈文灯的要难一些。 经济类一般都用李永乐的（经济类数学重基础不重难度），基础好的话可以考虑下陈文灯的书。 在考研(微博)数学科目考试中，概率这门学科与别的学科是不太一样的。概率要求对基本概念、基本性质的理解比较强，对计算的技巧要求反而较少，很多同学都说概率这门课要么考高分，要么考低分，考中间分数的人很少，所以说同学们重点把基本概念搞清楚，把公式把握好，就不会有什么大问题。 但是也有不少同学反映这样的问题，说概率的公式概念比较多比较难背，怎么办呢? 老师告诉大家，背下来是基本的要求，但概率的公式和高等数学的公式相比，仅仅记住它是不够的，比如给一个函数求导数，你会做，因为你知道是求导数，概率问题，比如全概率公式，考试的时候从来没有哪一年是请你用全概率公式求求某概率，所以从分析问题的.层面来说概率的要求高一点，但是从计算技巧来说概率的技巧低一些。 比如二向概率公式，可以这么记，记一个模型，把一枚硬币重复抛N次，正面冲上的概率是多少呢?这个公式哪一个符号在实际问题里面是什么东西，这样才是在理解的基础上记忆，当然就不容易忘记了。 概率论与数理统计很多考生认为公式、概念比较多，形式比较繁杂，尤其是数理统计部分。其实不然，这门课程的最大特点是题型比较单一，规律性较强，解题方法也是相对较固定。比如概率的两道解答题，大多集中于第三章二维随机变量及其分布、第四章数字特征、数理统计中的基本概念以及参数估计。只要考生在这些章节重点进行复习，得分应该不是特别困难。考生复习起来比较困难的地方，集中在两点，一是古典概率，那块儿的计算一不小心就数错了，或者是不知道怎么来数数，其实这个大家放心，考研只会考简单的古典概率的计算，复杂的不会考，所以这部分可以很快通过；二是数理统计部分，这部分式子比较复杂，很多人学到这里就脑袋大，其实不用担心，这部分需要你真正去记忆的很少。考研 教育网 概率论与数理统计一共是八章，前五章是概率论，数学 一、数学三都要考的。数理统计是后面三章，数学一和数学三是要考的，但是估计量的评选标准、置信区间和假设检验只有数学一要求。 第一章是随机事件和概率，是后续各章的基础。它的重点内容主要是事件的关系和运算，条件概率及独立性，五大公式（加法公式、减法公式、乘法公式、全概公式和贝叶斯公式）。第一章出解答题的可能性很小，但也可能会在选择、填空中出现。 第二章是一维随机变量及其分布，该章节是学习二维随机变量的基础，掌握两大类随机变量：离散型随机变量和连续型随机变量、常见分布以及随机变量函数的分布。 第三章二维随机变量及其分布，重点内容是二维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布，以及随机变量函数的分布。当然，也会有一些小的知识点，如随机变量的独立性。二维离散型随机变量的联合分布律，主要是结合第一章的古典概率进行考查。二维连续型随机变量的边缘概率密度和条件概率密度的计算，很多考生计算存在误区，一定要注意。第三章还有一个重点和难点内容就是随机变量函数的分布，这在2009年以前经常以解答题的形式考查，所以考生也应该引起足够的重视。 第四章随机变量的数字特征，每年必考，主要和二维随机变量及其分布和数理统计部分相结合。一般是一道客观题和一道解答题中的一问，所以要重点复习。第四章是考试的重点，但是不是考试的难点，考生掌握相应的公式进行计算即可。 第五章有三个内容，分别是切比雪夫不等式、大数定律和中心极限定理。这不是考试的重点，至今只考过三次。所以本章主要掌握它们的条件和结论即可。 数理统计部分，第六章数理统计的基本概念主要是以客观题的形式进行考查。还有一种题型是结合数字特征进行考查，主要是出现在数一的试卷中。 第七章参数估计中的点估计是考试重点，经常是以解答题的形式进行考查，经常是试卷的最后一道题目。如果考试试卷中出现了这类题目，其实考生是完全能轻松拿到满分的，但是通过对历年试卷的分析，此类题目的得分并不是很理想，考生要注意答题顺序。估计量的评选标准只有数一的要求，数三不做要求。置信区 间也是只有数一的要求，它的考试频率非常低，主要是以客观题的形式考查，考生只需要记住相应的公式即可。 第八章假设检验只有数一要求。在1998年数学仅考过一道题，后来就没有考过，所谓第八章不作为重点。 总之，概率论与数理统计部分没有任何技巧，只要把基本概念、基本方法掌握住的话，肯定会把这部分题答好。因为建议考生重点掌握一些基本的理论、方法、公式，再适当的练习一些相应的题目即可。 2014年考研数学大纲解析 极限与导数 一、极限 极限是考研数学每年必考的内容，在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。考研 教育网 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度；在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效；夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算；单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。 与极限计算相关知识点包括： 1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左、右极限，分段函数的连续性问题关键是分界点处的连续性，或按定义考察，或分别考察左、右连续性； 2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数的定义直接计算或检验，存在的定义是极限存在，求极限时往往会用到推广之后的导数定 义式； 3、渐近线（水平、垂直、斜渐近线）； 4、多元函数微分学，二重极限的讨论计算难度较大，多考察证明极限不存在。 二、导数 求导与求微分每年直接考查的知识所占分值平均在10分到13分左右。常考题型： （1）利用定义计算导数或讨论函数可导性；（2）导数与微分的计算（包括高阶导数）；（3）切线与法线；（4）对单调性与凹凸性的考查；（5）求函数极值与拐点；（6）对函数及其导数相关性质的考查。 对于导数与微分，首先对于它们的定义要给予足够的重视，按定义求导在分段函数求导 中是特别重要的。应该熟练掌握可导、可微与连续性的关系。求导计算中常用的方法是四则运算法则和复合函数求导法则，一元函数微分法则中最重要的是复合函数求导法及相应的一阶微分形式不变性，利用求导的四则运算法则与复合函数求导法可求初等函数的任意阶导数。幂指函数求导法、隐函数求导法、参数式求导法、反函数求导法及变限积分求导法等都是复合函数求导法的应用。 导数计算中需要掌握的常见类型有以下几种： 1、基本函数类型的求导； 2、复合函数求导； 3、隐函数求导，对于隐函数求导，不要刻意记忆公式，记住计算方法即可，计算的时候要注意结合各种求导法则； 4、由参数方程所确定的函数求导，不必记忆公式，要掌握其计算方法，依据复合函数求导法则计算即可； 5、反函数的导数； 6、求分段函数的导数，关键是求分界点处的导数； 7、变上限积分求导，关键是从积分号下把提出； 【考研数学概率论 题型训练的重要性】推荐阅读： 考研数学概率论与数理统计指导10-20 【考研数学辅导班】考研数学一：高等数学考研大纲_启道09-16 概率口诀【考研】09-07 考研数学备考阶段要注意的三大误区05-29 考研数学难度值07-01 考研数学高频考点07-24 考研数学 高分复习方法05-28 考研数学暑期如何复习06-24 考研数学分析真题07-06 考研数学复习策略指引10-152015考研英语 语法题型训练 篇3
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