反三角函数

反三角函数（精选14篇）

反三角函数 篇1

第1课时

[教材分析]：反三角函数的重点是概念，关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。内容上，自然是定义和函数性质、图象；教学方法上，着重强调类比和比较。

另外，函数与反函数之间的关系，是本节内容中的一个难点，同时涉及上学期内容，可能是个值得复习的机会。

[课题引入]：在辅助角公式中，我们知道

其中cosasinxbcosxa2b2sinx，aab22,sinbab22，这样表述相当烦琐，我们想是否有比较简明的方法来表示辅助角呢？这就是我们今天要引入的问题——反三角函数。

[教学过程]：

师：首先我们回顾一下，什么样的函数才有反函数？

答：一一对应的函数具有反函数，最典型的例子就是单调函数具有反函数（但反之不真）。师：我们知道正弦函数ysinx在定义域R上是周期函数，当然不是一一对应的，因而没有反函数。但是，如果我们截取其中的一个单调区间，比方说我们研究函数：

ysinx,x,，这个函数是单调函数，因而有反函数。

22师：现在我们来求这个函数的反函数，那么求反函数有哪些步骤？（反解，互换x,y）（这里我们使用符号arcsin表示反解）反解得xarcsiny，互换得yarcsinx，其中x1,1,y,，这就是要求的反正弦函数。

221． 反正弦函数的图象

反正弦函数yarcsinx，x1,1与函数ysinx,x个函数图象关于直线yx对称。2． 反正弦函数的性质（由函数图象可得）

因此两,互为反函数，22，1，值域为①定义域为1,； 22，1上单调递增； ②yarcsinx在定义域1xarcsinx ③yarcsinx是奇函数，即对任意x1,1，有arcsin3． 反正弦函数的恒等式

①由“一一对应”的性质知：对任意值x1,1，在,上都有唯一对应的角22arcsinx，使得它的正弦值为x，即得恒等式sinarcsinxx,x1,1；

②由“一一对应”的性质知：对任意角x在1，1上都有唯一对应的值sinx，,，22,。22sinxx,x使得它的反正弦值为x，即得恒等式arcsin例题选编：

[例1]：求下列反三角函数值：（1）arcsin31 ；（2）arcsin0（3）arcsin 22解：利用恒等式1来理解题意（1）： 记arcsin33sinx3sinx，也就是在,上找xsinarcsin22222一个角x，使得sinx3；（2）（3）类似。2说明：对于特殊值的反正弦函数值的处理，利用恒等式1理解是一种本人以为较为机械的方法；但不知是否适合于初学者，有待讨论。可能直接让他们感受概念会来得更为简单些吧，实际上教材P98的思路有点类似于本文的处理方式。[例2]：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x ：（1）sinx3,x,，5221,x,，422（2）sinx（3）sinx3,x0, 3解：利用恒等式2来理解题意：

sinx（1）33sinxarcsin3，arcsin而x,，故有xarcsin；

555223sinxarcsin3，而xarcsin,，故不能直接利用恒3322（3）sinx等式2，需要利用诱导公式，将角度转化到,上，此时涉及讨论： 22若x0,33，则 arcsinsinxarcsinxarcsin332若x,，则x0,，故有 223sinxarcsin3xarcsin3 arcsin333sinxarcsinarcsin即xarcsin3。3[例3]：化简下列各式：

（1）arcsinsin（2）arcsinsin95sin3.49 （3）arcsin6解：此题直接利用恒等式2，当区间不满足要求时，需要利用诱导公式转化区间。（1），，由恒等式2得arcsinsin； 9229955转化了； arcsinsin，这里将6666（2）arcsinsinsin3.49arcsinsin0.49 sin30.49arcsin（3）arcsinsin0.490.49。arcsin[例4]：判断下列各式是否成立：（1）arcsin3312k,kZ ；（2）arcsin；（3）arcsin22332（4）arcsinarcsin；（5）sinarcsin22

3322（6）sinarcsin1010 解：（1）对；（2）错；（3）当k0时对；（4）错，[例5]：写出下列函数的定义域和值域：

（1）y2arcsinx；（2）yarcsinxx 解：（1）

31,1；（5）错；（6）对。

2x1,1x0,1，由反正弦函数的单调性知y0,（2）xx1,1x21515,，22这是典型的复合函数求值域问题，由ux2x1,1和反正弦函数的单调性可知： 41yarcsin,

42[例6]：求下列函数的反函数：（1）ysin2x,x, 443, 22（2）y2sinx,x（3）y21arcsinx 2sin2x2x，解：（1）反解得arcsinyarcsin（恒等式2的运用，注意区间）

互换x,y即得反函数为y1arcsinx 2sinxarcsinsinxx，互换x,y即得反函（2）反解得arcsinarcsin数为yarcsin。（3）

作业：P99 练习1、2、3

反三角函数 篇2

题318作y=arcsin (sinx) 的图形。

题319作y=arcsin (cosx) 的图形。

题320作y=arccos (cosx) 的图形。

题321作y=arctan (tanx) 的图形。

不难看出, 如果我们能够求得这些函数的解析式, 则根据解析式很容易作出函数的图形。以题319为例, 常规求解方法[2]是从siny=cosx且出发, 先求出函数在-π≤x≤0以及0≤x≤-π的解析式:

然后利用arcsin (cosx) 是周期为2π的函数这一性质, 求出函数在2kπ-π≤x≤2kπ以及2kπ≤x≤2kπ+π的解析式, 得到:

在教学过程中我们发现许多学生不太能够理解为什么先分-π≤x≤0, 0≤x≤π讨论, 也不知道如何求得 (1) 式, 自然也就难以导出 (2) 式。

本文利用导数给出该题一种新的求解方法。

记y1 (x) =arcsin (cosx) , x∈ (-∞, +∞) .根据复合函数求导法则:

(1) 当2kπ-π<x<2kπ时, sinx<0.由 (3) 式有:

将 (4) 式两边关于x积分得:

(2) 当2kπ<x<2kπ+π时, sinx>0.由 (3) 式有:

将 (7) 式两边关于x积分得:

综合 (1) ~ (2) , 并注意到函数y1 (x) 在区间 (2kπ-π, 2kπ) 和 (2kπ, 2kπ+π) 的端点处均连续, 可得y1 (x) 的解析式:

此即前面的 (2) 式。

值得指出的是我们这种解法具有一般性, 也适用于求另外几个函数的解析式。例如, 记:

两边关于x积分得:

取x=kπ代入 (12) 式知C=-kπ.因此:

摘要：本文利用导数给出了几道反三角函数习题一种新解法, 该方法可以比较方便地得到反三角函数的解析式。

关键词：导数,反三角函数,解析式

参考文献

[1]吉米多维奇.数学分析习题集[M].北京:人民教育出版社, 1978:35.

三角函数·任意角的三角函数 篇3

1. “[tanα=34]”是“[sinα=-35]”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

2. 已知[cos（π2+α）=35]，且[α∈（π2，3π2）]，则[tanα=]（ ）

A. [43] B. [34]

C. [-34] D. [±34]

3. 已知[tanθ=2]，则[sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ][=]（ ）

A. [-43] B. [54]

C. [-34] D. [45]

4. 已知[sin（π+θ）=45]，则[θ]角的终边在（ ）

A. 第一、二象限 B. 第二、三象限

C. 第一、四象限 D. 第三、四象限

5. 已知[α∈（0，2π）]，且[α]的终边上一点的坐标为[（sinπ6，cos5π6）]，则[α]等于（ ）

A. [2π3] B. [5π3]

C. [5π6] D. [7π6]

6. 若[0

A. [sinx<3xπ] B. [sinx>3xπ]

C. [sinx<4x2π2] D. [sinx>4x2π2]

7. [sin256π+cos253π-tan（-254）π=]（ ）

A. 0 B. 1

C. 2 D. -2

8. 若[α]是第四象限角，[tanα=-512]，则[sinα=]（ ）

A. [15] B. [-15]

C. [513] D. [-513]

9. 已知sin[（76π+α）=13]，则sin[（2α-76π）=]（ ）

A. [79] B. [-79]

C. [19] D. [-19]

10. 已知点[P（sinα-cosα，tanα）]在第一象限，则在[0，2π]内[α]的取值范围是（ ）

A. （[π4]，[π2]） B. （π，[54]π）

C. （[3π4]，[54]π） D. （[π4]，[π2]）[?]（π，[54]π）

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 若角[β]的终边与[60°]角的终边相同，则在[[0°]，[360°）]内，终边与角[β3]的终边相同的角为 .

12. 若角[α]的终边落在直线[y=-x]上，则[sinα1-sin2α+1-cos2αcosα]的值等于 .

13. 若[α]是第一象限角，则[sin2α]，[cos2α]，[sinα2]，[cosα2]，[tanα2]中一定为正值的有 个.

14. 若[α]是锐角，且[sin（α-π6）=13]，则[cosα]的值是 .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）设[α]为第四象限角，其终边上的一个点是[P（x，-5）]，且[cosα=24x]，求[sinα]和[tanα].

16. （10分）已知扇形[OAB]的圆心角[α]为[120°]，半径长为6，求：

（1）求[AB]的弧长；

（2）求弓形[OAB]的面积.

17. （12分）[A，B]是单位圆[O]上的动点，且[A，B]分别在第一、二象限. [C]是圆[O]与[x]轴正半轴的交点，[△AOB]为正三角形. 记[∠AOC=α].

（1）若[A]点的坐标为（[35]，[45]）. 求[sin2α+sin2αcos2α+cos2α]的值；

（2）求[|BC|2]的取值范围.

18. （12分）求值：

（1）已知[sin（3π+θ）=14]，求[cos（π+θ）cosθcos（π+θ）-1+][cos（θ-2π）cos（θ+2π）cos（π+θ）+cos（-θ）]的值；

（2）已知[-π2反三角函数 篇4

注：以下来自《C++数值算法一书》，仅对章节内容做摘要，为的是给自己扫盲，不涉及算法。特殊函数其实是指一些常用的函数，它们通常有自己的软件包，本章的目的是为了理解它们的内部运行情况。

1.伽马函数、B函数、阶乘、二项式系数

思想：伽马函数满足递推式Γ(z+1)=zΓ(z)。如果z是整数那么这就是一个阶乘函数的变体。计算伽马函数的数值方法有很多，但都不如Lanczos导出的近似公式清晰。而计算lnΓ(z)比Γ(z)更好，不容易溢出。阶乘也容易溢出，对于小数字的阶乘，最好用查表法，稍大一些的用伽马公式计算。求解Beta函数和二项式系数是根据lnΓ(z)推导的。

2.不完全伽马函数、误差函数、χ2概率函数、累积泊松函数

思想：不完全伽马函数P(a,x)它的互补Q(a,x)=1-P(a,x)也是不完全伽马函数。P(a,x)可以由伽马函数求得，而Q(a,x)可以进行连分式展开；误差函数及其互补形式是不完全伽马函数的特例，因此可以用之前的方法加上一些它本身的特性，很方便地求取。累积泊松概率函数与都与不完全伽马函数有简单的关系，可以很容易推导出来。

3.指数积分

思想：指数函数是不完全伽马函数的特例，可以写成包含连分式的形式。对于x>=1的情况，连分式才可以很快收敛；对于0

4.不完全B函数、学生分布、F分布、累积二项式分布

思想：不完全B函数用连分式表示更为有效，学生分布、F分布和累积二项式分布概率函数可以用不完全B函数推导出来。

5.整数阶贝塞尔函数

思想：贝塞尔函数满足递推关系：

Jn+1(x)=(2n/x)Jn(x)-Jn-1(x)

Yn+1(x)=(2n/x)Yn(x)-Yn-1(x)

计算整数阶贝塞尔函数的实用策略分成两步：第一步，如何计算J0, J1, Y0和Y1；第二步，如何使用稳定递推关系找到其他J和Y。

6球面调和函数

思想：数学上可以将调和函数与连带勒让德多项式联系起来。求解连带勒让德多项式的方法有很多，它满足很多递推关系。

7.Fresnel积分、余弦和正弦积分

思想：Fresnel积分当x较小时，对任意的精度要求，计算函数值最方便的方法是幂级函数；x较大时，则用连分式。余弦和正弦积分可以用幂级数和复连分式相结合的方法求函数值。

8.Dwason积分

略

9.椭圆积分和雅可比椭圆函数

略

10.超几何函数

思想：通过复平面上的直线积分求此函数值的方法。

这章太长了，而且我完全不知道在讲什么+_+

反三角函数 篇5

题：4.3 任意角的三角函数

（二）1.三角函数在各象限内的符号规律：

记忆法则：

第一象限全为正,二正三切四余弦.2.诱导公式一（其中kZ）: 用弧度制可写成

sin>0cos<0tan<0cot<0sin<0cos<0tan>0cot>0 sin>0cos>0tan>0cot>0sin<0cos>0tan<0cot<0sin(k360)sinsin(2k)sin

cos(k360)cos cos(2k)cos tan(k360)tan

tan(2k)tan

讲解范例：

例1 确定下列三角函数值的符号

(1)cos250°（2）sin(4)（3）tan（－672°）(4)tan(11)3

例2 求下列三角函数的值(1)sin1480°10′

(2)cos911).

（3）tan(46

例3 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan4950°．

cosxtanx|cotx|sinx

例5 求函数y的值域 |sinx|cosxtanxcotx

例6 设是第二象限的角，且|cos

2|cos2,求2的范围.课后作业

1.确定下列各式的符号

(1)sin100°·cos240°

(2)sin5+tan5

2..x取什么值时,sinxcosx有意义? tanx

3．若三角形的两内角，满足sincos0，则此三角形必为……（）

A锐角三角形

B钝角三角形

C直角三角形

D以上三种情况都可能

4．已知是第三象限角且cos

20，问

是第几象限角？ 215．已知1，则为第几象限角？

2

反三角函数 篇6

用途：返回代表特定日期的序列号，

语法：DATE(year，month，day)

参数：year为一到四位，根据使用的日期系统解释该参数。默认情况下，Excel for Windows使用1900日期系统，而Excel for Macintosh使用1904日期系统。Month代表每年中月份的数字。如果所输入的月份大于12，将从指定年份的一月份执行加法运算。Day代表在该月份中第几天的数字。如果 day 大于该月份的最大天数时，将从指定月份的第一天开始往上累加。

注意:Excel按顺序的序列号保存日期，这样就可以对其进行计算。如果工作簿使用的是1900日期系统，则Excel会将191月1日保存为序列号1。同理，会将1月1日保存为序列号35796，因为该日期距离1900年1月1日为35795天。

实例：如果采用1900日期系统(Excel默认)，则公式“=DATE(，1，1)”返回36892。

2.DATEVaLUE

用途：返回date_text所表示的日期的序列号。该函数的主要用途是将文字表示的日期转换成一个序列号。

语法：DATEVaLUE(date_text)

参数：Date_text是用Excel日期格式表示日期的文本。在使用1900日期系统中，date_text必须是1900年1月1日到9912月31日之间的一个日期;而在1904日期系统中，date_text必须是191月1日到9999年12月31日之间的一个日期。如果date_text超出上述范围，则函数DATEVaLUE返回错误值#value!。

如果省略参数date_text中的年代，则函数DATEVaLUE使用电脑系统内部时钟的当前年代，且date_text中的时间信息将被忽略。

实例：公式“=DATEVaLUE(“2001/3/5”)”返回36955，DATEVaLUE(“2-26”)返回36948。

3.DAY

用途：返回用序列号(整数1到31)表示的某日期的天数，用整数 1 到 31 表示。

语法：DAY(serial_number)

参数：Serial_number是要查找的天数日期，它有多种输入方式:带引号的文本串(如“/01/30”)、序列号(如1900日期系统的35825表示 的191月30日)，以及其他公式或函数的结果(如DATEVaLUE(“1998/1/30”))。

实例：公式“=DAY(“2001/1/27”)”返回27，=DAY(35825)返回30，=DAY(DATEVaLUE(“2001/1/25”))返回25。

4.DAYS360

用途：按照一年360天的算法(每个月30天，一年共计12 个月)，返回两日期间相差的天数。

语法：DAYS360(start_date，end_date，method)

参数：Start_date和end_date是用于计算期间天数的起止日期。如果start_date在end_date之后，则DAYS360将返回一个负数。日期可以有多种输入方式:带引号的文本串(例如:“1998/01/30”)、序列号(例如:如果使用1900日期系统，则35825表示1998年1月30日)或其他公式或函数的结果(例如，DATEVaLUE(“1998/1/30”))。

Method是一个逻辑值，它指定了在计算中是采用欧洲方法还是美国方法。若为FALSE或忽略，则采用美国方法(如果起始日期是一个月的31日，则等于同月的30日。如果终止日期是一个月的31日，并且起始日期早于30日，则终止日期等于下一个月的1日，否则，终止日期等于本月的30日)。 若为TRUE则采用欧洲方法(无论是起始日期还是终止日期为一个月的 31 号，都将等于本月的 30 号)。

实例：公式“=DAYS360(“1998/2/1

解读高考三角函数 篇7

对能力的考查主要是演绎推理能力、计算能力、综合应用知识解决问题的能力, 体现的数学思想有化归思想、分类讨论思想、函数思想等。

考查的知识点有三角函数的最小正周期、奇偶性、单调性、图象对称性, 二倍角公式, 两角和与差的正弦、余弦、正切公式, 三角函数的值域 (包括最值) 。

解题原则:注重通性通法, 淡化特殊技巧。

一、基本性质考查

三角函数的基本性质主要有最小正周期、奇偶性、单调性、图象对称性。

(1) 对于周期可以从以下两个方面考虑: (a) 形如f (x) =Asin (ωx+准) (ω>0) , 。 (b) 依据f (x+T) =f (x) 检验。

(2) 对于对称性, 已知x=b对称轴方程, 通常把x=b代入, 得或由f (b+x) =f (b-x) 解题, 若求对称轴方程, 通常令解出x即为对称轴方程;若图象关于点 (b, 0) 对称, 通常利用f (b+x) =-f (b-x) 或f (b) =0解题。

(3) 对于奇偶性与单调性只需用定义解题即可。

二、常用公式考查

三角常用公式有诱导公式及Sα±β, Cα±β, S2α, Tα±β, T2α。主要应用这些公式进行三角恒等变换。

三、三角函数综合应用

三角函数基本应用主要在解三角形中的应用及实际应用, 而实际应用题最终转化为解三角形, 三角形中的三角函数问题一直处于中档题, 只要将三角形中的特殊条件梳理清楚, 选用正弦定理或余弦定理, 问题基本就能顺利解决。

三角函数通常与数列、不等式等知识点的综合题往往有一定的难度。

范例分析:

例1:的最小正周期为π/5, 其中ω>0, 则ω=______。

例2:已知函数f (x) =sin (2x+φ) (-π<φ<0) 图象的一条对称轴是直线, 求φ。

解法一:∵是函数y=f (x) 的图象的对称轴,

解法二:函数f (x) =sin (2x+φ) (-π<φ<0) 图象的一条对称轴是直线,

解法三:由对称轴知, 。

简评:本题主要考查三角函数性质及图象的基本知识, 考查推理和运算能力。

例3:已知, 求函数f (x) 的最小正周期和图象的对称轴方程。

简评:本题考查了诱导公式, 二倍角公式, 两角和与差的正弦、余弦公式, 最小正周期及对称轴等知识点。解题过程是先进行三角恒等变形, 再求三角函数的图象的周期与对称轴。它属于常规题。

例4:在△ABC中, a、b、c分别为角A、B、C所对的边长, , 求A、B及b、c。

简析:本题先在三角形的条件下进行三角恒等变形, 用到切化弦、二倍角的正弦及两角和的正弦公式, 再由正弦定理解得b、c, 是一道中档题。

例5: (2008.湖南) 在一个特定时段内, 以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域, 点E正北55海里处有一个雷达观测站A。某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距海里的位置B, 经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ (其中) 且与点A相距海里的位置C。

(I) 求该船的行驶速度 (单位:海里/时) ;

(II) 若该船不改变航行方向继续行驶, 判断它是否会进入警戒水域, 并说明理由。

(Ⅱ) 略

简析:本题考查应用所学知识解决实际问题的能力, 解题的关键在于建立适当的直角坐标系, 计算船的行驶速度用余弦定理即可解决。

例6:△ABC的面积为1, , tan C=-2, 求△ABC的三边及△ABC外接圆的直径。

简析:本题是解斜三角形, 在三角恒等变形中用到了同角三角基本关系及诱导公式, 解三角形中用到正弦定理, 属中档题。

“三角函数”单元测试 篇8

1. 将分针拨快15分钟，则分针转过的弧度数是.

2. 设m＜0，角α的终边经过点P（-3m，4m），那么sinα+2cosα=.

3. 函数y=asinx+1的最大值是3，则它的最小值为.

4. 集合M=α|α=kπ2-π5，k∈Z，N={α|-π＜α＜π}，则M∩N=.

5. 已知tanα=-2，则sinα·cosα的值为.

6. 已知sinα=2m-5m+1，cosα=-mm+1，且α为第二象限角，则m为.

7. 函数y=cos2x-sinx的值域是.

8. 若f（cosx）=cos2x，则f（sin15°）的值为 .

9. sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β=.

10. 设函数f（x）=2sinπ2x+π5，若对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为.

11. 如右图，在一平面镜MN的同侧，有相距13 cm的两点A和B，它们与平面镜的距离分别是2 cm和7 cm，现要使由点A射出的光线经平面镜反射后经过点B，则光线入射角∠AOC的正弦值为.

12. 给出下列命题：（1） 存在实数x，使sinx+cosx=π3；（2） 若α，β是锐角△ABC的内角，则sinα＞cosβ；（3） 函数y=sin

23x-7π2是偶函数；（4） 函数y=sin2x的图象向右平移π4个单位，得到y=sin2x+π4的图象.其中正确命题的序号是.

二、 解答题

13. 已知在△ABC中，sinA+cosA=23.

（1） 判断△ABC的形状；

（2） 求tanA-1tanA的值.

14. 已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，若存在正实数m，n，使得h（x）=mf（x）+ng（x）恒成立，则称h（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数.若f（x）=sinx2，g（x）=cos2x.

（1） 判断函数y=sinkx（k∈R）是否为f（x），g（x）在R上的生成函数，并说明理由；

（2） 记l（x）为f（x），g（x）在R上的一个生成函数，若lπ3=1，l（π）=4，求l（x）.

第15题图

15. 如右图，摩天轮的半径为40 m，圆心O点距地面的高度为50 m.摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.

（1） 已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）=Asin（ωt+φ）+h，求2 008min时点P距离地面的高度；

（2） 求证：不论t取何整数值，f（t）+f（t+1）+f（t+2）恒为定值.

巩固练习参考答案

《三角函数线学习要点及应用举例》

1. （1） {-1，3};（2） cos1＜sin1＜tan1;（3） （kπ-π4，kπ+π4）（k∈Z）;（4） ①③

2. 2kπ+π3，2kπ+5π6）（k∈Z）.

3. sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|，在Rt△OPM中，|OM|+|MP|＞|OP|，即sinα+cosα＞1.

4. 设α的正切线为AT，余弦线为OM，tanα=AT，cosα=OM，1+tan2α=1+AT2=OT2，又OTOP=OAOM，所以OT=OP·OAOM=1cosα，所以1 +tan2α=1cos2α.

5. 由于sin2x＞cos2x|sinx|＞|cosx|，由正弦线和余弦线知|MP|＞|OP|，易知x∈kπ+π4，kπ+3π4（k∈Z）.

《同角三角函数关系式在同角三角恒等式证明中的妙用》

1.左边=11+sin2α+11+csc2α+11+cos2α+11+sec2α+11+tan2α+11+cot2α

=11+sin2α+sin2α1+sin2α+

11+cos2α+cos2α1+cos2α+（cos2α+sin2α）

=1+1+1=3=右边.

2. 因为tanα=13，所以sinαcosα=13，设sinα=k，则cosα=3k，1=cos2α+sin2α=10k2，所以

左边=1cos2α-2sinαcosα+5sin2α

=10k29k2-6k2+5k2=54=右边.

3. 要证tanα·sinαtanα-sinα=tanα+sinαtanα·sinα，只需证tan2α·sin2α=tan2α-sin2α.

tan2α·sin2α=sin2αcos2α·sin2α

=（1-cos2α）sin2αcos2α

=sin2α-sin2αcos2αcos2α

=tan2α-sin2α.

故所证等式成立.

《三角函数图象综合问题选解》

1. 2+22

2. f（x）=sin2x+π4.

3. φ=π2，ω=23或ω=2.

《正、余弦函数有界性的三大应用》

1. ［-2，2］.2. ［-4，4］.3. -12-2，1.

4. （-2，2-1］.

5. 设∠AOB=θ，则AB=asinθ，OA=acosθ，

所以S=asinθ·2acosθ=a2sin2θ，

当sin2θ=1时，S取得最大值a2，此时θ=π4，OA=OD=22a.

6. 原式化为sinx-ycosx=2-2y，即sin（x-φ）=2-2y1+y2.故|2-2y|1+y2≤1，解得4-73≤y≤4+73.

所以ymax=4+73，ymin=4-73.

16. 已知函数f（x）=Asinωx-π3+B（A＞0，ω＞0）的一系列对应值如下表：

x-π6π35π6

4π311π67π317π6

y-1131-113

（1） 根据表格提供的数据，求函数f（x）的一个解析式；

（2） 根据（1）的结果，若函数y=f（kx）（k＞0）周期为2π3，当x∈0，π3时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围.

17. 函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f（x）=1-2sinxcosx+1+2sinxcosx的性质，并在此基础上，作出其在-π2，π2上的图象.

三角函数公式 篇9

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

三角和

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

两角和差

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

和差化积

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

积化和差

sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2

cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

诱导公式

sin(-α) = -sinα

cos(-α) = cosα

tan (—a)=-tanα

sin(π/2-α) = cosα

cos(π/2-α) = sinα

sin(π/2+α) = cosα

cos(π/2+α) = -sinα

sin(π-α) = sinα

cos(π-α) = -cosα

sin(π+α) = -sinα

cos(π+α) = -cosα

tanA= sinA/cosA

tan(π/2+α)=-cotα

tan(π/2-α)=cotα

tan(π-α)=-tanα

tan(π+α)=tanα

诱导公式记背诀窍:奇变偶不变，符号看象限

万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]

cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]

其它公式

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可

(4)对于任意非直角三角形,总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证:

A+B=π-C

tan(A+B)=tan(π-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得证

同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

三角函数教学反思 篇10

1.探索与实践环节

设计目的是让学生感受到复习课，不仅是已学知识的整理复习，同时还是所学知识的延续，更是探索新知的起点。我设计的题目是应用三角形的内角和来探索n边形的内角和，同时也想渗透一点完全归纳法的思想，当然并不是要让学生知道完全归纳法。

2.数学的发展史环节

主要是让学生了解三角形知识的发展史，既是数学的发展史。通过神秘的金字塔中三角形知识的运用，让学生体会到数学历史以及学习数学的快乐，增强学习数学浓厚兴趣。

3.评价与反思环节

设计目的是让学生初步感受更深层次的数学学习评价，让学生逐渐明白学习数学不仅仅只有通过单元测试卷这种书面的形式来评价自己的学习能力和水平，还有更多的评价方法和评价标准，特别是要提醒学生，评价自己是否掌握了学习数学的方法往往比做对了一道题更为重要。

三角函数考点预测 篇11

一、三角函数式的化简与求值

利用有关三角公式对三角函数式进行化简与求值，是历年高考的必考内容，通常以选择题或填空题形式出现，也会出现在解答题中，难度中等，主要考查同角三角函数关系式，诱导公式和两角和与差的三角函数公式及二倍角公式的灵活应用.

说明：三角函数的化简是指综合利用三角公式，将较复杂的三角函数式进行化简.三角函数的求值问题要始终围绕“角”做文章.特殊角的相互转换，角的分解，角的合并等都在求值的过程中起着重要作用.此外，在运用同角三角函数关系及诱导公式时，要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，在进行开方时要根据角的象限或范围判断符号.

说明：此类问题在备考时需要注意以下几点：

（1）对于涉及向量问题，只需利用向量的运算法则把原问题转化为纯三角函数问题；

（2）对于涉及解三角形的问题，要分清条件和所求的结论，然后选择是用正弦定理，还是用余弦定理；

（3）对于求值的问题，要熟练地利用三角形中三角的关系，将所给式子转化为只含有一个角的形式，通过三角变换使其变为y=Asin（ωx+φ）的形式，然后求解即可，解题时不要忽视三角形内角的限制条件.

七、实际应用性问题

与三角函数有关的实际应用性问题，在高考中一般会出现两种情形，一是利用三角函数模型解决实际问题；二是正、余弦定理的实际应用.由于在新课标高考中，实际应用性解答题通常被概率与统计“占位”，故三角函数有关的实际应用性问题往往以小题形式出现，难度中等.

预测题7. 1（改编自课本练习题） 在滨河公园中有半径为8m的一个大风车，12分钟旋转一周，刚开始旋转时它的翼片的一个端点P位于离地面2m的最低点A处（如图所示），则20分钟后风车翼片的一个端点P离地面距离为________.

点拨：建立直角坐标系，将风车翼片的端点P的位置用h（t）来刻画，进而求当t=20时的函数值.

解析：以最低A点处的切线为x轴，最低点A为坐标原点建立直角坐标系如图1，则风车翼片的端点所在位置P可由函数x（t）、y（t）来刻画，且h（t）=y（t）+2，故只需考虑y（t）的表达式.

说明：（1）三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.

（2）应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：①分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；②根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；③将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；④检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.

“锐角三角函数”测试卷 篇12

1. 如图, 在△ABC中, ∠C=90°, AB=5, BC=3, 则sin A的值是 () .

2. 在Rt△ABC中, ∠C=90°, 若, 则cos A的值是 () .

3. 在Rt△ABC中, 各边的长度都扩大两倍, 那么锐角A的各三角函数值 () .

A.都扩大两倍B.都缩小到1/2C.不变D.都扩大四倍

4.△ABC中, a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边, 如果a2+b2=c2, 那么下列结论正确的是 () .

A.c·sin A=a B.b·cos B=c C.a·tan A=b D.c·tan B=b

5.计算6tan45°-2cos60°的结果是 () .

6.在△ABC中, 若, 则∠C的度数是 () .

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°

7. 河堤横断面如图所示, 堤高BC =6 米, 迎水坡AB的坡比为, 则AB的长为 () .

8. 如图, 在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站, AB=2 km, 从A测得船C在北偏东45°的方向, 从B测得船C在北偏东22.5°的方向, 则船C离海岸线l的距离 (即CD的长) 为 () .

二、填空题

9. 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AB=2BC, 现给出下列结论:, 其中正确的结论是________. (只需填上正确结论的序号)

10. 若α为锐角, 且sin30°=cosα, 则α的度数为________.

11. △ABC中, ∠C=90°, AB=8, , 则BC的长_______.

12. 如图, 在⊙O中, 过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线, 切点为D.若AC=7, AB=4, 则tan C的值为_______.

13.在Rt△ABC中, ∠C=90°, ∠A=30°, a=5, 则b=_______.

14.sin47°、cos55°与tan52°的大小关系为______________.

15. 如图, 两条宽度都为1的纸条, 交叉重叠放在一起, 且它们的交角为α, 则它们重叠部分 (图中阴影部分) 的面积为_______.

16. 如图, 在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°, 底部D处的俯角为45°, 则这个建筑物的高度CD=_______________米. (结果可保留根号)

17. 如图, 每个小正方形的边长为1, A、B、C是小正方形的顶点, 则∠ABC的正弦值为_______.

18.如图, AB是⊙O的直径, A⊙D=D⊙E, AB=5, BD=4, 则sin∠ECB=_______.

三、解答题

19.计算:

20.如图, 已知两点A (2, 0) , B (0, 4) , 且∠1=∠2, 求tan∠OCA的值.

21.在Rt△ABC中, ∠C=90°.根据下列条件解直角三角形.

22. 如图, 在△ABC中, BC是以AB为直径的⊙O的切线, 且⊙O与AC相交于点D, E为BC的中点, 连接DE.

(1) 求证:DE是⊙O的切线;

(2) 连接AE, 若∠C=45°, 求sin∠CAE的值.

23. 如图, 已知△ABC.按如下步骤作图:1以A为圆心, AB长为半径画弧;2以C为圆心, CB长为半径画弧, 两弧相交于点D;3连接BD, 与AC交于点E, 连接AD, CD.

(1) 求证:△ABC≌△ADC;

(2) 若∠BAC=30°, ∠BCA=45°, AC=4, 求BE的长.

24. 如图, 从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ, 测得杆顶端点P的仰角是45°, 向前走6 m到达B点, 测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.

(1) 求∠BPQ的度数;

(2) 求该电线杆PQ的高度. (结果精确到1 m, 备用数据:)

三角函数教案2 篇13

即:一角的正弦大于另一个角的余弦。

2、若 ,则 ,

3、 的图象的对称中心为 ( ),对称轴方程为 。

4、 的图象的对称中心为 ( ),对称轴方程为 。

5、 及 的图象的对称中心为 ( )。

6、常用三角公式:

有理公式: ;

降次公式: , ;

万能公式: , , (其中 )。

7、辅助角公式: ,其中 。辅助角 的位置由坐标 决定,即角 的终边过点 。

8、 时, 。

9、 。

其中 为内切圆半径, 为外接圆半径。

特别地:直角 中,设c为斜边,则内切圆半径 ,外接圆半径 。

10、 的图象 的图象( 时,向左平移 个单位, 时,向右平移 个单位)。

11、解题时,条件中若有 出现,则可设 ,

则 。

12、等腰三角形 中,若 且 ,则 。

13、若等边三角形的边长为 ,则其中线长为 ,面积为 。

反三角函数 篇14

[本周教学重点] 掌握函数单调性的定义，会用定义法证明函数的单调性及其步骤。

(1)设x1，x2是定义域上的任意两个值，且x1

(2)作差f(x1)-f(x2)并将其变形为可判断符号的形式；

(3)判断f(x1)-f(x2)的正、负；

(4)结论

理解函数奇偶性的定义及奇、偶函数定理，能判断、证明一些简单函数的奇偶性，会利用函数奇偶性求解有关函数问题。

(1)函数的定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要条件。

(2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)是奇函数。

f(x)=f(-x)f(-x)-f(x)=0f(x)是偶函数。

由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是侧重于函数解析式的变形去证明f(x)的奇偶性；而f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通过运算去证明f(x)的奇偶性，两种定义形式各具不同优势。

(3)若f(x)是奇函数且允许x=0，则f(0)=0，即f(x)的图象过原点。

(4)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则f(x)=0。

(5)同为奇函数，同为偶函数的两个函数之积是偶函数；一奇一偶两个函数之积是奇函数。

(6)定义在R上的任意一个函数f(x)都可表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)的和。

即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=[f(x)-f(-x)]，h(x)=

[f(x)+f(-x)]。

理解反函数的概念，掌握求反函数的方法步骤。

(1)由原函数y=f(x)求出它的值域；

(2)由原函数y=f(x)反解出x=f-

1(y)；

(3)交换x，y改写成y=f-1(x)；

(4)用f(x)的值域确定f-1(x)的定义域。

[例题分析]

例1．证明函数f(x)=

在定义域上的单调性。

[分析与解答] 函数的单调性必须在定义域内进行考查。由x2+x≥0得f(x)定义域为(-∞，-1][0，+∞)。

函数定义域不是一个连续的区间，应分别考查在每一个区间上的单调性，用定义法证明时，只需任取x1

任取x1

==

当-∞0。

∴ f(x1)-f(x2)>0，∴ f(x)是(-∞，-1]上的单调递减函数。

当0≤x10。

>0。

∴ f(x1)-f(x2)<0，∴ f(x)是[0，+∞)上的单调递增函数。

例2．函数f(x)是[0，+∞)上的单调递减函数，f(x)≠0且f(2)=1，证明函数F(x)=f(x)+在[0，2]上的单调性。

[分析与解答]函数f(x)没有给出解析式，因此对F(x)的函数值作差后，需由f(x)的单调性，确定作差后的符号。任取0≤x1

由F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1)-f(x2)+

=[f(x1)-f(x2)]·[1-]

∵ 0≤x1f(x2)≥f(2)=1。

∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x1)·f(x2)>1，<1，1->0，∴ F(x1)-F(x2)>0，F(x)是[0，2]上的单调递减函数。

例3．证明函数f(x)=的奇偶性。

[分析与解答] 函数的奇偶性必须在其定义域内考查。

由 函数f(x)定义域为[-1，0)(0，1]。

∴ |x+3|-3=x+3-3=x。即f(x)=，由f(-x)=

=-f(x)，∴ f(x)是奇函数。

例4．设f(x)是定义在R上的函数，对任意x1，x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f(x)不恒为0，证明

f(x)的奇偶性。

[分析与解答] 函数f(x)没有给出解析式，这就必须从定义域，法则，及f(x)不恒为0去分析，完成奇偶性的证明。由f(x)定义域为R，显然允许x=0，所以f(0)=0是f(x)的奇函数的必要条件。

令x1=x2=0，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)得f(0+0)=f(0)+f(0)，整理得f(0)=0，对任意x∈R，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)知f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0，∴ f(-x)=-f(x)，∵ f(x)不恒为0，∴f(x)不可能既是奇函数又是偶函数，所以f(x)是R上的奇函数。

例5．已知函数f(x)=(a，b，c∈Z)是奇函数，且f(1)=2，f(2)<3。

(1)求a，b，c的值；(2)用定义法证明f(x)在(0，1)上的单调性。

[分析与解答](1)∵ f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即

=-，解出c=0，∴ f(x)=，∵ f(1)=2，∴ =2，∴ 2b=a+1。

∵ f(2)＜3，∴<3。将2b=a+1代入，∴ <3，解出-1

(2)f(x)==x+。任取0

f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-)

∵ 01，1-<0，∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x)是(0，1)上的单调递减函数。

例6．证明函数f(x)=

(x≠)的图象关于直线y=x对称。

[分析与解答] 由反函数定理可知，当两个函数互为反函数时，它们的图象关于直线y=x对称，所以要证明 f(x)=(x≠)的图象关于直线y=x对称，只需证明f(x)的反函数是其自身即可。

∴ f(x)的值域为{y|y≠，y∈R}。

由y=，∴ ayx-y=x-1，(ay-1)x=y-1。

∵ y≠，∴ ay-1≠0，x=，即f-1(x)=

(x≠)，显然f(x)与f-1(x)是同一函数，所求f(x)的图象关于直线y=x对称。

[参考练习]

1．设f(x)是定义在R上的任意一个增函数，F(x)=f(x)-f(-x)必是（）。

A、增函数且是奇函数

B、增函数且是偶函数

C、减函数且是奇函数

D、减函数且是偶函数

2．已知y=f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则f(x)在R上的表达式是（）。

A、y=x(x-2)B、y=x(|x|-1)C、y=|x|·(x-2)D、y=x(|x|-2)

3．若点(1，2)在函数y=的图象上，又在它的反函数的图象上，则（）。

A、a=3，b=-7 B、a=3，b=7 C、a=-3，b=-7 D、a=-3，b=7

4．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则（）。

A、f(3)+f(4)>0 B、f(-3)-f(2)<0 C、f(-2)+f(-5)<0 D、f(4)-f(-1)>0

5．设f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数且是单调减函数，求解关于x的不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集。

[参考答案]：

1.A 2.D 3.D 4.D

5.由f(1-x)+f(1-x2)<0，∴ f(1-x)<-f(1-x2)，∵ f(x)是(-1，1)上的奇函数，∴ f(1-x)