高一数学指数函数复习

高一数学指数函数复习（共8篇）

高一数学指数函数复习 篇1

【过程与方法】

一、知识结构：

任意角与弧度制：单位圆任意角的三角函数三角函数线；三角函数的图象和性质三角函数线模型的简单应用

二、知识要点： 函数的基本关系式1.角的概念的推广：

(1)正角、负角、零角的概念：(2)终边相同的角：

同角三角诱导公式S{|k360,kZ} 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：① 象限角的集合：

第一象限角集合为：

； 第二象限角集合为：

； 第三象限角集合为：

； 第四象限角集合为：

； ② 轴线角的集合：

终边在x轴非负半轴角的集合为：

； 终边在x轴非正半轴角的集合为：

； 故终边在x轴上角的集合为：

； 终边在y轴非负半轴角的集合为：

； 终边在y轴非正半轴角的集合为：

； 故终边在y轴上角的集合为：

； 终边在坐标轴上的角的集合为：

.2.弧度制：

我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.在弧度制下，1弧度记做1rad.(1)角度与弧度之间的转换： ① 将角度化为弧度：

3602

180

② 将弧度化为角度：

1nn rad0.0174r5ad180180

2360

180

1rad(180)57.305718n（180n)

(2)把上述象限角和轴线角用弧度表示.(3)上述象限角和轴线角用弧度表示：

弧长公式：lr;

扇形面积公式：S1lR.2

3.任意角的三角函数：

(1)设是一个任意大小的角，其终边上任意一点P的坐标是(x,y)，它与原点的距离是r x2y20.yy比值叫做的正弦，记作sin，即sin;rr ①xx比值叫做的余弦，记作cos，即cos;rr ②yy比值叫做的正切，记作tan，即tan.xx ③(2)判断各三角函数在各象限的符号：

(3)三角函数线：

4.同角三角函数基本关系式：(1)平方关系： sincos1

tan(2)商数关系：5.诱导公式 诱导公式(一)

sincos

sin(2k)sin(kZ)cos(2k)cos(kZ)tan(2k)tan(kZ)

诱导公式(二)sin()sin cos()costan()tan

诱导公式(三)sin()sin cos()costan()tan

诱导公式(四)sin(－)=sin

cos( －)=－cos

tan(－)=－tan

诱导公式(五)sin(2)sincos(2)costan(2)tan

对于五组诱导公式的理解 ：

1.公式中的可以是任意角；

2.这五组诱导公式可以概括为：k360(kZ),  , 180 ,180,360的三角函数值，等 于它的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.函数名不变，符号看象限

利用诱导公式将任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤：

任意负角的三角函数诱导公式三或一

任意正角的三角函数 诱导公式一0o到360o角的三角函数

诱导公式二或四或五

锐角的三角函数

三、基础训练：

1.已知cos()3,且[,2],则sin的值为()2

1113 A.B.C.D.2222

110,且tan(3)tan,则cos(3)__________.3.若sin(3)-sin()cos(-)4.化简：_______.tan()

5.已知sincos 2,则tancot的值是()3

59518 A.B.C.D.-18445

6.已知sincos

四、典型例题： 3,且是第三象限角，则sincos_____.8

例1.(1)若是第二象限角，当其终边在按顺时针方向旋转630后成为角，则角是第_____象限角；(2)若角的终边经过点P(2,2),并且(360,360), 试写出角的集合A，并求出A中绝对值最小的角.例2.(1)计算： sin3___,cos43___,tan___,345(2)已知扇形的圆心角为 弧度，面积为30cm2,求扇形的弧长和半径长.12

sin(k)cos(k).设kZ,化简：sin[(k1)]cos[(k1)] 例3.五、课堂小结

高一数学指数函数复习 篇2

首先, 从概念入手, 高中对函数重新定义, 从集合的观点, 强调两个非空数集上的对应, 对A中的任何一个元素, 在B中有唯一确定的一个元素与它对应。实际上, 这与初中的定义 (某一变化过程中有两个变量X和Y, 对每一个X有唯一的一个Y值与之对应) 没有本质区别, 只是放在不同环境下而已。抓住两个重点, 一个是A, B是两个非空数集, 二是A满足任一性, B满足唯一性即可。适当找些练习巩固一下。

其次, 掌握函数学习的精髓即学会画、会看函数图象非常重要。函数的学习遵循从定义到图象到性质再应用, 灵活应用的规律, 图象是其中最关键的一个环节。先说分段函数, 要理解它是对什么进行分段, 实际上分段函数是对定义域进行分段的, 不同的定义域有不同的解析式 (即对应关系不同) , 作图时特别注意对相应定义域区间上对应的函数图象, 并且要知道分段函数各部分定义域是不相交的。函数的定义域是几段定义域的并集, 函数值域也是各段值域的并集, 还要注意一些关键点, 如与坐标轴的交点, 各段端点等等。

二次函数是考试的重点, 它的图象通常采取描点作图或平移作图法。描点作图通常取三个点, 一个是顶点, 再就是顶点左右两边各取一个点 (常取图象与X轴的交点) , 用光滑的曲线连起来。在这个过程中确定顶点和开口很重要, 通常对二次函数配方求顶点坐标及确定开口方向。平移变换作图的平移口诀是“左加右减, 上加下减”, 若是X的变化则左右移, 若是Y的变化则上下移。当开口不确定 (即二次项系数是参数) 时, 应分三种情况a>0, a<0, a=0讨论函数性质。然后再看对称轴, 把对称轴和区间端点值比较, 分三种情况即对称轴在区间左边, 中间, 右边讨论, 特别要注意讨论的时候应不重不漏。当然, 有时还需讨论与X轴交点情况。其中讨论对称轴位置是最常见的, 例如:

再说说指数和对数函数, 因为这两个函数是互为反函数的, 其图象关于直线Y=X对称, 而且底数a大于1 (增) 与小于1大于0 (减) 时单调性相同。对于指数函数y=ax, a>1时, a越大y轴右边图象越靠近y轴, 即越陡;当0<a<1时a越小y轴左边图象越靠近y轴。对数函数中, a>1时a值越大x轴上方图象越靠近x轴;0<a<1时a值越小图象越靠近x轴。

值得一提的是对数的运算性质, 学生往往记住一两天马上又忘了, 但教学生记住这个口诀应该不那么容易忘了:“真数相乘除, 对数相加减;对数乘方指数出。”

再次, 学会由图象归纳函数性质。通常函数性质从以下几个方面去分析:首先确定函数定义域和值域, 然后研究函数单调性, 奇偶性, 对称性, 最值, 周期性等等。当然并非每个函数都具备上述性质, 但定义域和值域每个函数都有, 它们是最基本的性质, 在解题时应抓住这一性质。如:

若2lg (x-3y) =lgx+lg (4y) , 则y/x的值等于_____.

解:x-3y>0且x>0, 4y>0得x>3y>0.

原式化简为:lg (x-3y) 2=lg4xy即x2-6xy+9y2=4xy.

特别是复合函数, 尤其要注意定义域优先原则。所有性质都应在定义域范围里研究, 而且复合函数单调性有里外两层函数同则增异则减的规律。

初学者对幂函数和指数函数容易混为一谈, 不易区分。其实只要告诉学生函数的名称是对自变量x所在地位置来命名的就容易区分了。幂函数只需掌握其中的五个函数图象, 即y=x-1, y=x1/2, y=x1/3, y=x2, y=x3.能准确画出图象并由图象分析函数性质。

高考数学三角函数复习专题分析 篇3

[关键词]高考数学 三角函数 复习

[中图分类号] G633.6

[文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2016）02-0049

三角函数是一种重要的初等函数，与其他代数、几何知识有着密切的联系，成为研究其他知识的重要工具.纵观近几年的高考题，尽管三角函数试题总体难度不大，但问题呈现的方式、问题的背景和问题的结构形式在不断变化，三角函数与相关知识交汇的深度、广度和难度也在不断变化，成为近几年高考考查的热点.这就提醒我们在高考复习中应给予三角函数足够的重视.下面介绍几个三角函数与其他知识点相结合的例题，希望给广大考生提供一些参考.

一、三角函数与不等式的交汇

三角函数与不等式相结合，主要考查基本不等式和均值不等式，也考查三角函数的图像和性质.利用三角函数的有界性构造不等式，是求参数取值范围的重要方法.

【例l】设两个向量a=（λ+2，λ?-cos?a）和b=（m，m/2+sina），其中λ，m，a为实数，若a=2b，则λ/m的取值范围是（）.

A.r 6，1]B.[4，8]C.（-∞，1]D.[-1，6]

解析：由a=2b，得λ?-cos?a=2（m/2+sina），∴λ?m=COS?a+2sina=2-（sina-1）?，所以-2≤λ?-m≤2.

又λ=2m-2，则2≤4（m-1）?-m≤2，解得：1/4≤m≤2.

二、三角函数与解析几何的交汇

在解析几何中，点的坐标为（x，y），有两个变量；若用参数方程，则只有一个变量.对于有定值和最值时.参数法显然比较简单.在研究曲线的有关性质中，有时引入一个适当的角，建立三角函数关系，然后利用三角函数知识这一有力的T具，可使复杂的问题简单化.

【例2】椭网原点，连接OP、OQ，若kop=-1/4.求证：OP?+ OQ?等于定值.

证明：设x=4cosθ，y=2sinθ，P（4cosθ1，2sinθ1）.Q（4cosθ2，2sinθ2）.

整理得，cosθ1 COSθ2+sinθ1sinθ2一0，即cos（θ1-θ2）=0.

∴OP2+OQ?=8+12（COS?θ1+ COS?θ2）=20+6（cos2θ1+CoS2θ2）=20+12cos（θl+θ2）cOs（θl-θ2）=20.

三、三角函数与函数方程的交汇

一些函数方程含有三角函数.解决这类问题主要是通过三角函数的性质、公式、恒等变换等手段进行化简，然后通过代换等方法，将其转化为非三角函数问题求解.

【例3】 已知关于x、的方程2cOs?（π+x）-slrx+a=o有实数解，求实数a的取值范围.

解析：由2cOs?（π+x）-sinx+a=0，得

2cos?x-sinx+a=0，即2sin?x+sinx-2-a=0.

令sirU=t（-l≤t≤1），则方程2t?+t -2-a=0在区间[-l，1]上有解.

令、f（t）=2t?+t-2a，则二次函数y=f（t）的图像的对称轴为直线t=-1/4

4‘

所以方程f（t）=o在区间[-l，1]上有解等价于在区间[-1/4，1]上有唯一解.

四、三角函数与平面向量的交汇

平面向量与三角函数的交汇是高考重点考查的知识点之一.在三角函数，三角恒等变换、解三角形等问题中，均有平面向量的应用，主要体现在通过向量的基本运算.将向量问题转化为三角函数知识的运算.

故△ABC是直角三角形或等腰三角形.

高一数学函数教案21 篇4

1．掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程； 2．能较熟练地运用法则解决问题； 教学重点：对数运算性质

教学难点：对数运算性质的证明方法.教学过程：

一、复习引入：

1．对数的定义 logaNb 其中 a (0,1)(1,)与 N(0,)。2．指数式与对数式的互化

3.重要公式：

⑴负数与零没有对数； ⑵loga10，logaa1 ⑶对数恒等式alogaNN

amanamn(m,nR)4．指数运算法则(am)namn(m,nR)

(ab)nanbn(nR)

二、新授内容：

1.积、商、幂的对数运算法则：

如果 a > 0，a  1，M > 0，N > 0 有： loga(MN)logaMlogaN(1)MlogalogaMlogaN(2)

NlogaMnnlogaM(nR)(3)运算法则推导 用定义法：运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。（推导过程略）注意事项： 1语言表达：“积的对数 = 对数的和”„„（简易表达——记忆用）2注意有时必须逆向运算：如 log105log102log10101 3注意定义域： log2(3)(5)log2(3)log2(5)是不成立的log10(10)22log10(10)是不成立的 4当心记忆错误：loga(MN)logaMlogaN

loga(MN)logaMlogaN 2.常用对数的首数和尾数（大纲未要求，只用实例介绍）

科学记数法：把一个正数写成10的整数次幂乘一位小数的形式，即

若N>0,记N10nm,(nZ,1m10)，则lgN=n+lgm,其中nZ,0lm1;这就是说，任何一个正数的常用对数都可以写成一个整数加上一个零或正纯小数的形式.我们称这个整数为该对数的首数，这个零或正纯小数为该对数的尾数.如：已知lg1.280.1070,则

三、例题：

例1 计算

（1）log525，（2）log0.41，（3）log2（47×25），（4）lg5100 例2 用logax，logay，logaz表示下列各式：

lg128lg(1021.28)20.10702.1070;lg0.00128lg(101.28)30.10703.10703

xy(1)loga;z例3计算：(1)lg14-2lg

(2)logax2y3z

7lg243lg27lg83lg10+lg7-lg18(2)(3)3lg9lg1.2(1)分别用对数运算性质和逆用运算性质两种方法运算（答案：0）.lg243lg355lg35(2)2lg92lg32lg3lg27lg83lg10lg(3)lg23lg(10)322lg1.2lg10

四、课堂练习：课本P78 1，3

1.用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式：(3)1323123(lg32lg21)32

lg32lg212xy2xy3x(1)lg（xyz）；（２）lg；（３）lg；（４）lg2

zyzz

2.求下列各式的值：

（１）log2６－log2３（２）lg５＋lg２（４）log3５－log3１５

高一数学对数函数 (说课稿) 篇5

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对数函数说课稿

一、说教材

1、地位和作用

本章学习是在学生完成函数的第一阶段学习（初中）的基础上，进行第二阶段的函数学习.而对数函数作为这一阶段的重要的基本初等函数之一，它是在学生已经学习了指数函数及对数的内容，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用；“对数函数”这节教材，是在没学习反函数的基础上研究的指数函数和对数函数的自变量与因变量之间的关系，同时对数函数作为常用数学模型在解决社会生活中的实例有广泛的应用，本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供必要的基础知识.2、教学目标的确定及依据

依据新课标和学生获得知识、培养能力及思想教育等方面的要求：我制定了如下教育教学目标：

(1)理解对数函数的概念、掌握对数函数的图象和性质.(2)培养学生自主学习、综合归纳、数形结合的能力.(3)培养学生用类比方法探索研究数学问题的素养；

(4)培养学生对待知识的科学态度、勇于探索和创新的精神.(5)在民主、和谐的教学气氛中，促进师生的情感交流.3、教学重点、难点及关键

重点：对数函数的概念、图象和性质；在教学中只有突出这个重点，才能使教材脉络分明，才能有利于学生联系旧知识，学习新知识.亿库教育网

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http:// 难点：底数a对对数函数的图象和性质的影响；

关键：对数函数与指数函数的类比教学

［关键］由指数函数的图象过渡到对数函数的图象，通过类比分析达到深刻地了解对数函数的图象及其性质是掌握重点和突破难点的关键，在教学中一定要使学生的思考紧紧围绕图象，数形结合，加强直观教学，使学生能形成以图象为根本，以性质为主体的知识网络，同时在例题的讲解中，重视加强题组的设计和变形，使教学真正体现出由浅入深，由易到难，由具体到抽象的特点，从而突出重点、突破难点.二、说教法

教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质.根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法：

(1)启发引导学生思考、分析、实验、探索、归纳.(2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法.(3)体现“对比联系”、“数形结合”及“分类讨论”的思想方法.(4)投影仪演示法.在整个过程中，应以学生看，学生想，学生议，学生练为主体，教师在学生仔细观察、类比、想象的基础上通过问题串的形式加以引导点拨，与指数函数性质对照，归纳、整理，只有这样，才能唤起学

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http:// 生对原有知识的回忆，自觉地找到新旧知识的联系，使新学知识更牢固，理解更深刻.三、说学法

教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：

(1)对照比较学习法：学习对数函数,处处与指数函数相对照.(2)探究式学习法：学生通过分析、探索，得出对数函数的定义.(3)自主性学习法：通过实验画出函数图象、观察图象自得其性质.(4)反馈练习法：检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距.这样可发挥学生的主观能动性，有利于提高学生的各种能力.四．说教程

在认真分析教材、教法、学法的基础上，设计教学过程如下：

（一）创设问题情景、提出问题

在某细胞分裂过程中，细胞个数y是分裂次数x的函数y2x，因此，知道x的值（输入值是分裂次数）就能求出y的值（输出值为细胞的个数），这样就建立了一个细胞个数和分裂次数x之间的函数关系式.问题一：这是一个怎样的函数模型类型呢？ 设计意图：复习指数函数

问题二：现在我们来研究相反的问题，如果知道了细胞个数y，如何求分裂的次数x呢？这将会是我们研究的哪类问

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http:// 题？

设计意图：为了引出对数函数

问题三：在关系式xlog2y每输入一个细胞的个数y的值，是否一定都能得到唯一一个分裂次数x的值呢？

设计意图：一是为了更好地理解函数，同时也是为了让学生更好地理解对数函数的概念.（二）意义建构： 1． 对数函数的概念：

同样，在前面提到的放射性物质，经过的时间x年与物质剩余量y的关系式为y0.84x，我们也可以把它改为对数式，xlog0.84y，其中x年也可以看作物质剩余量y的函数，可见这样的问题在现实生活中还是不少的.设计意图：前面的问题情景的底数为2，而这个问题情景的底数为0.84，我认为这个情景并不是多余的，其实它暗示了对数函数的底数与指数函数的底数一样有两类.但在习惯上，我们用x表示自变量，用y表示函数值 问题一：你能把以上两个函数表示出来吗？

问题二：你能得到此类函数的一般式吗？（在此体现了由特殊到一般的数学思想）问题三：在y以解释.问题四：你能根据指数函数的定义给出对数函数的定义吗？

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http:// logax中，a有什么限制条件吗？请结合指数式给

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http:// 问题五：是什么? 问题六：处是什么?

与中的x,y的相同之处是什么?不同之处

与 中的x,y的相同之处是什么?不同之 设计意图：前四个问题是为了引导出对数函数的概念，然而，光有前四个问题还是不够的，学生最容易忽略的或最不理解的是函数的定义域，所以设计这两个问题是为了让学生更好地理解对数函数的定义域

2． 对数函数的图象与性质

问题：有了研究指数函数的经历，你觉得下面该学习什么内容了？

（提示学生进行类比学习）

合作探究1；借助于计算器在同一直角坐标系中画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，探求他们之间的关系.（1）y2;ylogxx2x

12x1（2）y,ylog2x

a合作探究2：当a0,a1,函数y与ylogax的图象之间有什么关系？（在这儿体现“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法）

合作探究3：分析你所画的两组函数的图象，对照指数函数的性质，总结归纳对数函数的性质.亿库教育网

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http://（学生讨论并交流各自的发现成果，教师结合学生的交流，适时归纳总结，并板书对数函数的性质）

问题1：对数函数y么？

问题2：对数函数ylogalogax（a0,a1,）是否具有奇偶性，为什

x（a0,a1,），当a1时，x取何值，y0，x取何值，y.0,当0a1呢？

问题3：对数式logab的值的符号与a，b的取值之间有何关系？请用一句简洁的话语叙述.知识拓展：函数yax称为yaxlogax的反函数，反之，函数ylogax也称为y的反函数.一般地，如果函数yf1f(x)存在反函数，那么它的反函数记作为y

（三）数学应用 1． 例题

例1：求下列函数的定义域

（1）y（2）ylog0.2(x)

(4x)

logax1（a0,a1,）

logx（该题主要考查对数函数ya的定义域(0,)这一限制条件根据函数的解析式求得不等式，解对应的不等式.同时通过本题也可让学生总结求函数的定义域应从哪些方面入手）

例2：利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小：

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http://（1）log23.4，log23.8

（2）log0.51.8，log0.52.1（3）loga5.1，log7a5.9

（4）log75，log6，（在这儿要求学生通过回顾指数函数的有关性质比较大小的步骤和方法，完成前3小题，第四题可通过教师的适当点拨完成解答，最后进行归纳总结比较数的大小常用的方法）

合作探究4：已知logm4logn4，比较m，n的大小（该题不仅运用了对数函数的图象和性质，还培养了学生数形结合、分类讨论等数学思想.）

本题可以从以下几方面加以引导点拨 1.本题的难点在哪儿？

2.你希望不等式的两边的对数式变成怎样的形式，你能否找到它们之间的联系

本题也可以从形的角度来思考.（四）目标检测

P69 1，2，3

（五）课堂小结

由学生小结（对数函数的概念，对数函数的图象和性质，利用对数函数的性质比较大小的一般方法和步骤，求定义域应从几方面考虑等）

(六)布置作业 P70 1，2，3

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高一数学函数的单调性教案 篇6

教学目标

1．使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性． 2．通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力．通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力．

3．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．

教学重点与难点

教学重点：函数单调性的概念． 教学难点：函数单调性的判定．

教学过程设计

一、引入新课

师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？

（用投影幻灯给出两组函数的图象．）第一组：

第二组：

生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x的增大而减小．

师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对．他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别．当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小．虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质．我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象得到的．在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容．

（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意．）

二、对概念的分析

（板书课题：函数的单调性）

师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍．

（学生朗读．）

师：好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？

生：我认为是一致的．定义中的“当增大而增大；“当

时，都有

时，都有

”描述了y随x的”描述了y随x的增大而减少．

”和“

或师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！

（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣．）师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数图象，体会这种魅力．

和的（指图说明．）师：图中因此而图中因此对于区间[a，b]上的任意，当

时，都有，的单调增区间；，的单调减区间． 在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数对于区间[a，b]上的任意，当

时，都有在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．）

师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应„„（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．）生：较大的函数值的函数． 师：那么减函数呢？

生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数．（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．）师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？

（学生思索．）

学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力．

（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．）

生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．

师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？

生：不能．因为此时函数值是一个数．

师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？

生：不能．比如二次函数而我们不能说，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因是增函数或是减函数． 的图像，从“形”上感知．）（在学生回答问题时，教师板演函数师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．

师：还有没有其他的关键词语？

生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语． 师：你答的很对．能解释一下为什么吗？（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．）师：“属于”是什么意思？ 生：就是说两个自变量生：可以．

师：那么“任意”和“都有”又如何理解？

生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要，就必须都小于，或

都大于

．，必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．

师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？

师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？（让学生思考片刻．）生：可以构造一个反例．考察函数，定，显然，而，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值，有，若由此判是[-2，2]上的减函数，那就错了． 师：那么如何来说明“都有”呢？ 生：在[-2，2]上，当，这时就不能说，时，有

；当，时，有，在[-2，2]上是增函数或减函数．

师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量，根据它们的函数值

和的大小来判定函数的增减性．

（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力．）

师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系．

（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力．）

三、概念的应用

例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？

（用投影幻灯给出图象．）

生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．

生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？ 师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，b]上单调（增或减），且[]（增或减）．反之不然．

例2 证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．

师：从函数图象上观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径．

（指出用定义证明的必要性．）

师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．

（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较和的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．）师：对于和

我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果，]

[a，b]，则f（x）在[，a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．

生：（板演）设，是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当，所以f（x）是增函数．

师：他的证明思路是清楚的．一开始设设，是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并

时，（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看，这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么

＜0，没有用到开始的假设“

”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以，从而

＜0，即

．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．

这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以

小．

（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．）

调函数吗？并用定义证明你的结论．

师：你的结论是什么呢？

上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数． 生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），显然有，而不是

显然成立，而，因此它不是定义域内的减函数．

生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．

域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．

上是减函数．

（教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示：（1）分式问题化简方法一般是通分．（2）要说明三个代数式的符号：k，．

要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变．

对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视．）

四、课堂小结

师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．）

生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤．

五、作业

1．课本P53练习第1，2，3，4题．

数．

．（*）

+b＞0．由此可知（*）式小于0，即

．

课堂教学设计说明

函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理．

另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用．

高一数学指数函数复习 篇7

1 背景

1) 例1这个题目的选取基于在用导数研究函数的性质、不等式恒成立等问题时的两个例题.

题1 已知f (x) =ax-ln x, x∈ (0, e], g (x) =lnx/x, 其中e是自然对数.

(Ⅰ) 讨论a=1时, 函数f (x) 的单调性和极值;

(Ⅱ) 求证:在 (1) 条件下, f (x) >g (x) +1/2.

题2设l为曲线C:y=ln x /x在点 (1, 0) 处的切线.

(Ⅰ) 求l的方程;

(Ⅱ) 证明:除切点 (1, 0) 之外, 曲线C在直线l的下方.

此两题中都用到了函数f (x) =ln x/ x, 故联想到了2013年江苏高考第20题.

2) 正好接下来探究含参数函数的形态及零点问题, 故设计了该节课.

3) 学情:已复习过求切线方程、函数的极值最值, 在函数与方程中, 研究过简单的函数的零点问题, 有了一应的基础.

4) 教学目标:①函数 (含参) 零点问题的解决策略;②培养学生分析问题、解决问题的能力, 训练分类讨论的运算能力, 转化化归的解题能力;③使学生获得自信心和成功的情感, 思维得到拓展.

2 教学过程

2.1 基础训练

意图在于回顾零点问题的基本解决策略, 挖掘零点问题在思想、方法等方面的本质.

题1函数f (x) =x3-8的零点是_______.

题2 函数f (x) =3x+x2-2的零点个数是_________.

题3若函数f (x) =ex+x-2的零点在区间 (n, n+1) , n∈Z内, 求n=________.

2.2提炼思想、方法

通过这3个题目, 我们得到解决函数零点问题主要有两个思路:“解” (方程) 和“画” (图像) .

题1函数f (x) 的零点就是方程f (x) =0的根, 直接将方程的根解出来.题3根据零点存在性定理“算”, 判断零点的存在性.这两题都是“解”零点.题2令f (x) =3x+x2-2=0, 化为方程2-x2=3x, 转化为函数y=3x, y=2-x2图像的交点个数, 即为零点个数.这种解法就是“画” (函数y=f (x) 的零点, 直接画函数f (x) 的图像, 或者转化为两个函数, 画两个函数的图像, 求两个函数的交点个数) .以上总结可由学生归纳得出.

2.3 数学应用

例1 (2013年江苏卷20) 设函数f (x) =ln x-ax, g (x) =ex-ax, 其中a为实数.

(Ⅰ) 若f (x) 在 (1, +∞) 上是单调减函数, 且g (x) 在 (1, +∞) 上有最小值, 求a的取值范围;

(Ⅱ) 若g (x) 在 (-1, +∞) 上是单调增函数, 试求f (x) 的零点个数, 并证明你的结论.

分析第2问, 若g (x) 在 (-1, +∞) 上是单调增函数, 可得g′ (x) =ex-a≥0在 (-1, +∞) 上恒成立, 则a≤ (ex) min, 故a≤1/e.所以问题是在a≤1/e条件下, 讨论含参数的函数f (x) 的零点的个数问题.

引导提问:研究函数零点有哪些方法可用?

学生A分析:数形结合法, 直接研究函数f (x) 的单调性画出函数的草图, 研究函数图像与x轴的交点个数.

问:如何想到的?

答:从零点定义出发, 直接求函数f (x) 的图像.

点评研究函数的性态, 得到函数的图像, 研究图像与x轴的交点, 是通常的解决策略.

一起探究, 板演.

解g′ (x) =ex-a≥0

在 (-1, +∞) 上恒成立, 则a≤ (ex) min, 故

问:目标是什么?

答:求函数的单调区间.

下面讨论不等式1-ax>0 的解集, 得到函数的单调区间, 以此作为分类讨论的标准, 故分3种情况a>0, a=0, a<0.

(1) 若0<a≤1/e, 令f′ (x) >0得增区间为 (0, 1/a) ;令f′ (x) <0得减区间 (1/a, +∞) .函数f (x) 有极大值 (最大值) , 无最小值.当x=1a时, f (x) min=f (1/a) =-ln a-1≥0, 当且仅当a=1/e时取等号.

问:有了函数的单调性与最值, 接下来目标是什么?

答:数形结合看图像, 探究图像与x轴的交点.

问:方法是什么?

答:找函数值 (应用零点存在性定理) .

因为可以取到最大值, 故结合图像只需f (x) max≥0 就有零点, 再分f (x) max>0 和f (x) max=0讨论零点个数.

第1种情况, 当f (x) max=0时, 即a=1/e时, f (1/a) =0, 故f (x) 有1个零点;

第2种情况, 当f (x) max>0时, 即当0<a<1/e时, f (x) max=f (1/a) =-ln a-1>0.

问:在哪里找特值?

答:在两个单调区间上.

问:一般来讲, 找哪些特值?

答:端点值, 整数值.很遗憾, 很难得到.

且f (e-1) =-1-ae-1<0, 据零点存在性定理f (x) 在 (e-1, a-1) 上有1个零点;

又x∈ (a-1, +∞) 时, 需证

即证x>e时, ex>x2.只要构造函数y=ex-x2, 研究其单调性即可得证, 过程略.故f (x) 在 (a-1, +∞) 上有1个零点.所以

0<a<1/e时, 函数有2个零点.

(2) 若a=0, 则f (x) =ln x, 易得f (x) 有1个零点.

(3) 若a<0, 则f′ (x) =1/x-a>0在 (0, +∞) 上恒成立, 即f (x) =ln x-ax在 (0, +∞) 上是单调增函数, 且f (1) = -a>0, f (ea) =a (1-ea) <0.此时, f (x) 有1 个零点.

说明:2 个值1, ea通过尝试, 大部分同学不难获得.

综上所述, 当a=1/e或a≤0时, f (x) 有1个零点;当0<a<1/e时, f (x) 有2个零点.

问:以上解答过程的关键是什么, 哪些地方是我们需要特别注意的?

答:……

点评该解法很容易想到, 是解决零点问题的通法, 即讨论函数的形态, “画”函数的图像, 看f (x) 图像与轴的交点情况.有几个值得注意的地方:①含参函数的单调区间的讨论是难点;②本题一定要用零点存在性定理, 难点是找到特值.一般来讲, 取整数值, 如-1, 0, 1, 2等等, 取端点值, 如本题中1, e-1, 对对数函数, 取e-1, e, e2等, 本题中ea-1, 学生无法获得, 是对学生思维层次的一种区分;③分类讨论思想是解决含参数问题的主要方法, 对能力要求高;④本题在讨论 (1) 时, 学生卡在那里, 可能放弃后面 (2) (3) 探究, 故讨论顺序 (3) (2) (1) 比较好, 但鼓励学生放弃 (1) , 直接讨论 (2) (3) 这也是限时考试的策略, 提醒学生注意即可.

高三一轮复习课, 学生有很多自己的想法.

提问:对参数a, 我们有哪些处理方法?

答:分离变量和数形结合 (解法1) .

学生B分析:可以将ln x与ax分离, 转化为对数函数曲线y=ln x与过原点的直线y=ax的交点个数问题.

问:你是怎样想到这些的呢?

答:首先想到了对数函数的图像 (曲线) , 再结合y=ax的图像是直线, 图像易画, 研究交点个数, 只需求曲线的切线即可.

学生解答, 投影展示.

解设切点坐标 (x0, ln x0) , 则切线斜率k=1/x0, 所以切线方程为

所以

解得

即当a=1/e时, 直线y=ax与曲线y=ln x相切.

结合图像得:

斜率a>1/e时, 直线与曲线相离, 无交点;

当a=1/e时, 相切, 一个交点;

当0<a<1/e时, 相交, 有2个交点;

当a=0时, 相交, 一个交点, 交点为 (1, 0) ;

当a<0时, 相交, 一个交点.

所以当a=1/e或a≤0时, f (x) 有1个零点;当0<a<1/e时, f (x) 有2个零点.

点评此方法是先转化, 后“画”图像, 看两个图像的交点情况.该学生注意到了对数函数这个基本初等函数, 将参数分离转化为曲线与直线 (切线) 的关系问题, 是值得肯定的, 一直一曲也是我们常用的策略.

该学生并未按照我引导的, 将参数分离, 而是将函数分解为两个基本初等函数, 但也把问题解决了.

因为可以直接分离, 学生并未得出, 故继续引导提问:可以怎样分离参数a呢?

学生C分析:可分离参数转化为a=lnx/x的根, 再数形结合转化为函数y=a, y=lnx/x的交点个数.

问:你是怎样想到的呢?

答:注意到了函数y=ln x/ x, 上节研究过其图像.

问:其他同学也是这样想到的吗?

直到有同学回答, 实质就是分离参数法为止.

学生解答:g′ (x) =ex-a≥0在 (-1, +∞) 上恒成立, 则a≤ (ex) min, 故a≤1/e.函数f (x) 的零点是方程a=ln x/ x (x>0) 的根, 也是函数y=a与函数y=ln x/ x图像交点的横坐标, 故本题也可转化为研究函数y=ln x/ x的图像.

令m (x) =ln x /x, 则由函数y=ln x /x的图像得当a=1/e或a≤0时, 函数m (x) 与函数y=a图像有且只有1个交点, 所以f (x) 有1个零点;当0<a<1/e时, 函数m (x) 与函数y=a图像有2个交点, 所以f (x) 有2个零点.

点评数形结合法思维逻辑推理, 不是太严密;函数f (x) =ln x /x的图像要特别注意函数在 (e, +∞) 上时有渐近线 (x轴) .

学生小结:含参函数的零点解决策略:①数形结合法 (直接画y=f (x) 的图像, 需讨论含参函数的单调性) ;②分离变量法 (转化后, 画两个函数图像求交点情况) .实质:“画”出零点.

这样的一个思维过程, 培养了学生的思维能力, 通过一题多解, 加强了学生多角度分析问题突破问题的能力, 感受到了代数法的逻辑严密性和几何方法的直观性, 体现了数学思想和方法, 训练了学生的发散思维.在高三教学中, 需要对经典题目进行联系、变化、挖掘, 重新整合它们的关系, 学生从中可以进行基础知识的训练, 可以进行思维的碰撞, 激发自己解决问题的欲望, 提高了课堂效率.

2.4变式训练和课堂练习

题1 函数f (x) =ax3-x2+x+1 在 (0, +∞) 上有且只有一个零点, 求实数a的取值范围.

(a的取值范围是{5/27}∪ (-∞, 0])

题2 (2012年天津文20 (2) ) 已知函数, x∈R, 其中a>0.若函数f (x) 在区间 (-2, 0) 内恰有两个零点, 求a的取值范围.

题3 (2014 年高考数学新课标 Ⅰ (理科) 11题) 已知函数f (x) =ax3-3x2+1, 若f (x) 存在唯一的零点x0, 且x0>0, 求a的取值范围.

(a<-2)

2.5课堂小结

函数零点的基本解决策略;数学思想方法的运用;分析问题, 找到突破口, 抓住难点, 考虑对策, 联想构造的思维过程和方式.

3 反思

1) 本节课研究了含参函数零点问题的两种基本解题方法, 运用了分类讨论思想、转化化归思想、数形结合的思想、函数与方程的思想.

2) 分类讨论思想, 个人认为是此题的初衷, 也是本节课的重点和难点.对学生思维能力的全面考察和区分.能力要求很高, 随时可能出错, 难点太难.

3) 数形结合思想, 解此题很简便, 但逻辑不严密, 提请学生注意.此法在课堂上解决了, 但在高考中据说用此法的并不太多.但平时上课, 教师往往先强调用分离参数法, 后用分类讨论.说明, 平时学生的效率差, 能力提高慢.此法的目的在于开阔学生思维, 在解填空题时常用.

4) 学生方面, 眼高手低现象很普遍, 运算和逻辑推理有待加强.

高一数学指数函数复习 篇8

关键词：函数学习；问题；对策函数知识的学习对培养学生的思维能力具有重要作用，函数在某种程度上是初中代数知识的重要纽带，代数中的代数公式、方程、不等式、数列排列等与函数密切关联。为此，教师要着重注重学生的函数学习。高一是高中数学学习的基础阶段，这个时期函数知识的把握程度决定了日后函数知识的深化学习效果，需要教师予以重视。

一、高一学生函数学习存在的问题

1.学生对基础知识掌握不充分

（1）对函数概念理解不透彻。函数概念相比其他数学知识来讲较为抽象，学生在对函数概念理解不透彻的情况下很难解决函数问题。教材语言对函数概念的界定晦涩，学生无法充分把握函数的概念。

（2）对函数性质把握不到位。函数学习涉及的函数性质较多，如函数的单调性、奇偶性。如果学生对性质把握不到位，函数学习会出现很大的困难。

（3）无法充分运用数形结合思想。数形结合思想贯穿高中数学学习始终，学习中难以理解的问题大多都可以通过图形来表达，从而方便问题的解决。但是在函数学习中，学生对函數图形不敏感，无法从函数图像中获得解题信息。

2.主客观因素

（1）学生对函数学习存在畏难情绪。高一学生在函数学习之前就已经从课本上了解到函数知识在整个高中数学阶段学习中所占的比例，也了解到函数学习的困难，由此产生了强烈的学习畏难情绪。

（2）审题不清。函数解题涉及范围广，一道题目中往往涉及多个函数知识点。在无法对所学函数知识灵活运用的情况下，学生难以读懂题目要求，忽略必要解题信息，导致无法正确解题。

（3）语言方面制约问题的理解。藏族地区高中教学使用的语言以藏语为主，学生对数学符号、数学专业用语的理解能力较差，且学生对函数图像的观察能力较弱。

二、高一学生函数学习问题的解决策略

1.加强对函数变量概念的理解

函数变量是函数概念的核心，对函数解题具有重要意义。在高一学生学习函数之前，学生在以往的代数式、方程式等内容的学习中对函数变量有了一定理解。通过一元二次方程，学生了解到方程“y=2x+1”存在无数个有序数满足方程解。这种认识是学生对变量理解的基础，为此，教师可以从这里入手，向学生渗透“变量能够在约束条件下取不同的数值”的知识，加强学生对变量的理解。

2.通过典型案例的练习，提高动手能力和理解能力

指数函数的学习是高中函数学习的关键。为此，教师在函数教学中要注重对典型指数函数知识的教学和练习，加强学生对函数学习的理解。对于指数函数的学习，学生往往很容易搞混指数函数的表达式。比如，对于y=kax+b这样的函数，很多学生不加考虑地就认为这种是指数函数。同时，对于y=akx（a>0，a≠1，k≠0）这样的函数，有些学生认为不是指数函数。针对学生的这种错误认识，教师需要在教学中引导学生进行全面思考，让学生动手画出指数函数的图形，从而了解指数函数性质，加强对指数函数的正确辨别。

3.加强对数形结合思想的应用

函数解题过程中最常应用的思想是数形结合思想，通过数形结合思想的应用能够提升函数解题效率，加强学生对函数题目的直观理解。为此，教师需要加强训练学生应用数形结合解答函数问题的能力。比如，在人教版高中一年级数学必修一函数求近似根的学习中，求“x2+3x=20”的近似根。对近似根的求值可以应用函数图像将这道题目要表达的内容进行展示。首先，教师根据函数解析式，向学生说明函数表示出来的抛物线开口方向朝上，根据对称轴计算公式可知抛物线的对称轴表示为x=-，由此画出函数的大致图像。之后，求出函数图像和x轴的两个交点分别是（-6.22，0）、（3.22，0）。透过图像能够将题目中所表达的内容直观化展示，加强学生对问题本质的把握。

4.结合生活实际加强学生对函数的理解学习

函数较为抽象，在学习的时候，很多学生无法理解函数的本质。为此，教师要根据教材要求充分挖掘生活中的函数知识，实现生活化函数教学。比如，生活中的喷水池、出租车计价等问题的解决都需要运用到函数知识。教师可以让学生自主调查出租车计价问题，在开拓学习思维的同时提升学生分析、调查和解决问题的能力。以人教版高一必修一第一章“集合和函数概念”学习为例，教师在教学的时候可以应用踢足球的例子向学生展现函数概念的本质对应关系。在足球活动开展中，足球能够给一名或者多名学生玩，通过这个实际让学生理解函数一对一和多对一的对应关系，从而让学生更好地理解函数概念。

综上所述，函数知识的学习是高一数学学习中的重要内容，在教材中被安排在必修一的第一章中，可见函数对于整个高中阶段学习的意义。函数教学的基础是加强学生对函数概念和性质的理解，并能够应用数形结合思想解决函数问题。为此，教师要提高学生对函数知识学习的重视，并结合生活实际，为学生设计函数解题案例，促进学生的函数学习。

参考文献：

[1]邹文英.高一学生指数函数理解水平分析及教学策略[J].西部素质教育，2016（17）：146-148.