离散数学模拟试题（共8篇）
月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1．若集合A={1，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是()．
A．2AB．{1}A
C．1AD．2 A
2．已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为
()．
A．6B．4C．3D．
53．设无向图G的邻接矩阵为
0111110011100001100111010
则G的边数为()．
A．1B．7C．6D．14 4．设集合A={a}，则A的幂集为()．
A．{{a}}B．{a，{a}}
C．{，{a}}D．{，a}
5．下列公式中()为永真式．
A．AB ABB．AB (AB)
C．AB ABD．AB (AB)
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6．命题公式PP的真值是
7．若无向树T有5个结点，则T的边数为．
8．设正则m叉树的树叶数为t，分支数为i，则(m-1)i
9．设集合A={1，2}上的关系R＝{<1, 1>,<1, 2>}，则在R中仅需加一个元素，就可使新得到的关系为对称的．
10．(x)(A(x)→B(x，z)∨C(y))中的自由变元有．
三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）
11．将语句“今天上课．”翻译成命题公式．
12．将语句“他去操场锻炼，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）
判断下列各题正误，并说明理由．
13．设集合A={1，2}，B={3，4}，从A到B的关系为f={<1, 3>}，则f是A到B的函数．
14．设G是一个有4个结点10条边的连通图，则G为平面图．
五．计算题（每小题12分，本题共36分）
15．试求出（P∨Q）→（R∨Q）的析取范式．
16．设A={{1}, 1, 2}，B={ 1, {2}}，试计算
（1）（A∩B）（2）（A∪B）（3）A （A∩B）．
17．图G=
（1）画出G的图形；
（2）写出G的邻接矩阵；
（3）求出G权最小的生成树及其权值．
六、证明题（本题共8分）
18．试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．
中央电大2010年7月离散数学
试题解答
(供参考)
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1．B2．D3．B4．C5．B
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6．假（或F，或0）
7．48．t-
19． <2, 1>
10．z，y
三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）
11．设P：今天上课，（2分）则命题公式为：P．（6分）
12．设 P：他去操场锻炼，Q：他有时间，（2分）则命题公式为：P Q．（6分）
四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）
13．错误．（3分）因为A中元素2没有B中元素与之对应，故f不是A到B的函数．（7分）
14．错误．（3分）不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤3v-6．”（7分）
五．计算题（每小题12分，本题共36分）
15．（P∨Q）→（R∨Q） ┐(P∨Q)∨（R∨Q）（4分）
(┐P∧┐Q)∨（R∨Q）（8分）
(┐P∧┐Q)∨R∨Q（析取范式）（12分）
16．（1）（A∩B）={1}（4分）
（2）（A∪B）={1, 2, {1}, {2}}（8分）
（3）A（A∩B）={{1}, 1, 2}（12分）
17．（1）G的图形表示如图一所示：ad1
5b c（3分）图一
（2）邻接矩阵：
01101111（6分）1101
1110
（3）最小的生成树如图二中的粗线所示：
a 3d5
b图二1c
权为：1+1+3=5
六、证明题（本题共8分）
18．证明：设xA，因为R自反，所以x R x，即< x, x>R；
又因为S自反，所以x R x，即< x, x >S．即< x, x>R∩S故R∩S自反．
岩石是一种含有大量细、微观裂纹的高度非均匀材料,其变形破坏过程实质上是岩石材料中裂纹的形成、扩展、相互作用直至最后贯通破坏的动态演化过程.由于演化过程涉及到不连续位移场的描述问题,有关岩石破坏过程的数值模拟至今仍是计算破坏力学中极具挑战性的难题[1,2,3].
传统的有限元模型[4]、离散元模型[5]、非连续变形分析模型[6]均采用界面裂纹扩展方法,裂纹沿着单元的边界扩展.该方法实现比较方便,但初始网格划分会对模拟结果产生较大影响,特别是在裂纹扩展路径难以预测的情况.另外一些数值模型采用网格重划分方法[7,8],将裂纹看作移动边界,在裂纹扩展过程中不断地进行网格拓扑调整.这种数值方法可以实现裂纹沿任意方向的扩展,但计算工作量相对前者较大,尤其是在模拟三维问题的情况.近年来发展的扩展有限元法[9,10,11]能够在无需网格重划分的情况下模拟裂纹扩展,但在处理大位移和非线性材料特性方面仍有大量工作有待开展.
本文在三维不规则、可变形块体离散元模型中,引入了一种基于块体细化的界面裂纹扩展方法,用以模拟岩石材料的脆性破裂过程.一方面,根据研究对象内部应力场状态,在计算过程中动态地选取裂纹可能扩展到的块体,并沿潜在破坏方向将该块体细化为子块体,消除裂纹扩展对初始网格的依赖性;另一方面,根据实际裂纹尖端应力场的分布情况,采用界面裂纹扩展技术实现裂纹的扩展.为验证模型的可靠性及适用性,文末将进行两个典型算例的计算及讨论.
1 三维不规则、可变形块体离散元模型
将求解区域划分为有限多个完全独立的块体集合.在几何形态上,每个块体为凸多面体,拥有独立的几何和拓扑信息;在力学性质上,每个块体为可变形体,通过内部的四面体网格划分,建立独立的动力学求解方程.块体与块体之间在未形成裂纹前完全连续,在出现裂纹后允许发生滑动或分离.
1.1 单个块体的几何、力学描述
考虑到裂纹在萌生及扩展过程中,初始块体可能被裂纹所切割,形成各种不规则形状的子块体.因此,将块体看作一个具有任意不规则形状的凸多面体,并借助顶点、棱边和表面三类几何元素来描述其几何、拓扑信息,如图1所示.其中,顶点代表块体的角点,表示空间中的单个位置,有X,Y,Z坐标值;棱边代表连接两角点之间的线段;表面代表由封闭棱边围成的外边界和零个内边界定义的二维多边形.
将块体看作内部没有任何不连续面的连续体.基于连续介质力学思想,块体的力学行为可采用三维动力学基本微分方程来描述,即
式中,σij,εij,ui和fi分别表示应力、应变、位移和体积力;ρ和μ分别表示质量密度和阻尼系数;Cijst为刚度张量;和分别为位移和力的边界条件;和分别为初始时刻的位移和速度.
为求解块体域内的动力学问题,采用四面体网格划分,将块体离散为四面体单元.如图2所示,每个四面体单元都包括1个位于块体体心处的节点、1个位于块体面心处的节点和2个位于块体表面内边端点处的节点.使用形函数插值方法,四面体单元内位移(uh,vh,ωh)由其4个节点位移(ui,vi,ωi)进行逼近,即
利用变分原理,联立方程(1)～(5),即可导出块体的动力学求解方程
式中,,和u(t)分别是块体内所有节点的加速度列阵、速度列阵和位移列阵,M,C,K和F(t)分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和节点外部荷载列阵,由各自的单元矩阵和列阵组装集成.
1.2 块体之间的作用方式
在相邻两块体的界面上,位于角点和面心处的节点尽管位置相同,但分属于不同块体.它们两两构成一对邻居节点.在离散元模型中,块体之间的相互作用正是利用连接于这些邻居节点之间的弹簧来实现的.考虑到块体之间既允许完全连续,也允许存在裂纹,将连接相邻块体的弹簧分为两种类型:连接型和接触型.
当相邻两块体之间完全连续时,邻居节点之间的弹簧为连接型弹簧,遵循线弹性本构关系
式中,un和us分别为邻居节点的相对位移在界面法向和切向上的分量;Fn和Fs分别为邻居节点间作用力在界面法向和切向的分量;E和G分别为界面的弹性模量和剪切模量;L和Ac分别为界面的等效厚度以及弹簧的代表面积.
当相邻两块体之间存在裂纹时,邻居节点之间的弹簧为接触型弹簧.为模拟裂纹面的分离或滑动,接触型弹簧遵循如下非线性本构关系
式中φ为界面的内摩擦角.
当连接型弹簧满足张拉-压剪复合破坏准则时,连接型弹簧将发生张拉或压剪模式的弹脆性破坏,转变为接触型弹簧.其中,张拉模式的弹脆性破坏采用最大张拉力准则模拟
压剪模式的弹脆性破坏采用莫尔-库仑准则模拟
式中,σt和C0分别为界面的抗拉强度和抗剪强度.
2 动态松弛方法
不同于有限元方法组装总刚度矩阵,三维不规则、可变形块体离散元模型在建立块体的动力学求解方程后,无需组装总刚度矩阵,而是采用动态松弛方法进行求解.动态松弛方法通过在动态计算中引入阻尼项,使得初始不平衡的振动系统逐渐衰减到平衡位置,是一种将静力学问题转化为动力学问题进行求解的显式方法.该方法基本流程如下:
(1)从已知的初始状态开始,在每一个时间步长(如第N步)结束后,固定研究区域内所有块体;
(2)根据式(8)或式(9),计算每个块体界面上节点的弹簧力,并将和已知外力求和得到节点合外力
(3)根据式(7),计算每个块体上节点的不平衡力
(4)根据每个块体上节点的不平衡力,计算这些节点的加速度
(5)根据加速度和时步Δt,同时放松所有的节点
(6)在新位置上固定所有节点,循环下一次迭代,直到满足收敛条件结束.
3 基于块体细化的界面裂纹扩展方法
在岩石材料脆性破裂过程中,由于裂纹产生的位置和它扩展的方向是在研究对象加载过程中动态生成的,裂纹经常不可避免地要从某些单元的内部穿越.传统界面裂纹扩展技术由于无法对初始网格拓扑进行调整,计算出的裂纹扩展路径往往并不准确.为消除裂纹扩展对初始网格的依赖性,将裂缝可能扩展到的块体进行细化,提前创建出潜在的裂纹扩展路径.
3.1 细化块体选取标准
在研究岩石材料脆性破坏问题时,通常将岩石的破坏方式分为两种:(1)由拉应力引起的张拉破坏,主要的破坏准则为Griffith准则
最有利破裂方向角与最大主应力所成角度
(2)由剪应力引起的剪切破坏,主要的破坏准则为Mohr-Coulomb准则
最有利破裂方向角与最大主应力所成角度
为创建潜在裂纹扩展路径,需要在块体真正破裂前就对其进行预先细化.基于Griffith准则和MohrCoulomb准则,本研究采用如下块体细化标准选取拟细化的块体
式中,和分别为张拉和剪切破坏发生前允许块体细化的阈值。块体选取后,它们的细化方向将沿式(14)和式(16)给出的破裂方向.考虑到块体在进行剪切模式细化时,同时存在两个剪动方向相逆的共轭剪裂方向,选择沿剪裂方向滑动趋势更为明显的一个作为细化方向.
从创建潜在裂纹扩展路径的角度讲,一个块体细化出的子块体数越多,沿块体边界扩展的界面裂纹可选择的扩展路径就越多,数值模拟给出裂纹路径准确度也越高.另一方面,块体细化数目的增多将导致计算规模的增大以及网格质量的下降,计算精度将随之降低.综合以上两方面的考虑,对于每一个选定细化的块体,使用间距相等、方向沿该块体破裂方向的3个切割平面,将该块体细化为4个子块体.
3.2 块体细化技术
在确定细化块体及其切割平面后,采用扩展有限元中使用的level set函数[9]来实现块体快速、有效的细化.具体算法如下:
(1)对于给定的切割平面方程Φ(x)=0,给出切割面Γ、切割面上方Ω+和切割面下方Ω-的level set函数
(2)利用level set函数遍历块体所有表面,检查各表面与切割面之间的关系:(a)当表面节点集合If中元素的坐标满足条件
该表面未被切割面切割,将归属于位于切割面上部的子块体;(b)当If中元素的坐标满足条件
该表面未被切割面切割,且归属于位于切割面下部的子块体;(C)当If中元素的坐标满足条件
该表面将被切割面切割为上、下两个子面,并分别归属于位于切割面上部和下部的子块体.为产生位于切割面上部和下部的两个子面,采用与式(19)同样的方法,使用level set函数检查该表面上每条边的归属.如果边未被切割面穿过,则该边归于上子面或下子面中的某一个;如果被穿过,则该边被切割成两条子边,分属于两个子面,每条子边包含细化块体上的一个节点及与切割面的交点.交点坐标由下式获得
式中,x1,x2为细化块体边上两个节点的坐标;(d)将所有交点构成一个单独的表面,分别归属于上部和下部子块体,构成切割面上部块体和下部子块体之间的接触表面.
(3)分别根据归属于上部和下部子块体的表面,形成上部和下部子块体.同时,为子块体添加质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵等力学信息以及两子块体界面间的弹簧信息.
尽管块体细化技术必然产生新的单元和节点,模型的拓扑结构随着裂纹的发展而不断变化,但由于采用动态松弛方法,新产生的子块体只需要代替原有块体即可.与传统有限元每计算一步需要集成一次整体刚度矩阵相比,块体细化技术将不会导致求解计算效率的降低.
3.3 节点插值技术
当1个细化块体被分裂为4个子块体后,将出现这几个子块体同时共有一个邻居块体情况,如图3所示.在子块体与邻居块体之间的界面上,子块体上的一些节点位置与其相邻块体的节点不重合,无法形成邻居节点关系.以图4为例,子块体表面A'E'F'D'上的节点E'和另一子块体表面B'C'F'E'上的节点F',在表面ABCD上都找不到与之对应的邻居节点.由于在这些新产生的、没有邻居的节点上无法产生弹簧力,如何计算它们的位移和速度将成为困难.
为解决上述问题,采用了节点插值技术:
(1)对应于这些新产生的、没有邻居的节点,在邻居块体上设置插值节点,并在节点之间建立弹簧。例如,对应于节点E'和F'在表面ABCD上分别设置插值节点E和F,并在节点E'-E和F'-F之间设置弹簧;
(2)由于插值节点不是独立节点,为满足邻居块体内位移和速度的连续性,插值节点的位移和速度需要由邻居块体其他3个节点的位移u和速度v根据线性插值函数
来获得.式(20)中,Ni为邻居块体第i个节点的权重,ui和νi为第i个节点的位移和速度.如插值节点E的位移由A,B,O三个节点的位移插值;
(3)根据式(12a),(12b)计算出插值节点的不平衡力Fout-of-balance,并将该力利用插值函数
,i=1,2,3 (22)
分别施加于邻居块体的那3个节点上.如插值节点E处计算的不平衡力将分别返回A,B,O三个节点上.
4 计算实例
4.1 岩样单轴压缩破坏
为了验证程序的适用性,首先开展单轴受压岩石试件破坏过程模拟.岩样的长、高和厚度尺寸分别为0.3 m,0.3 m和0.03 m,岩石材料参数见表1.该试件前后两面进行法向位移约束,底面3个方向进行位移约束,顶面水平两个方向进行位移约束,竖直方向施加30 MPa的面力.初始时刻该岩样被划分为100个正方体块体,每个块体的边长为0.03m.采用MSC.Patran作为位移场显示工具.
荷载一次加载,弹性阶段计算收敛之后判断单元破坏切割,得到的切割图像如图6.允许接触面弹簧破坏之后的X方向位移云图,如图7.从图7的计算结果可以看出破坏形态是呈X型,与实验结果一致.
4.2 三点弯曲梁预设偏裂缝扩展
用预设裂缝的三点弯曲梁算例验证程序.所用材料为岩石,岩石材料参数见表2.岩样的长、高和厚度尺寸分别为1.23 m,0.30 m和0.03m,初始时刻岩样被划分为410个均匀的正方体块体,每个块体边长0.03 m (如图8所示).前后方向法向位移约束,底面左端和右端处3个方向位移固定,顶面正中处施加P=2.5×104 N竖向压力,在底面偏离正中0.18 m处预设裂缝,裂缝高度0.03m.采用MSC.Patran作为位移场显示工具.
在计算中分步骤控制切割细化的过程,即在前一步细化之后,等计算能量收敛并且细化单元之间的弹簧充分破坏之后,再进一步细化,共细化3次,其偏裂纹扩展结果如图9,接触面弹簧破坏之后的X方向位移云图如图10.可以发现,偏裂缝有向中间发展的趋势,扩展的路径在位移云图的X向正负位移的分界线上可以体现出来.计算得到的裂缝扩展路径与实验结果一致.
5 结论
本文采用离散元的思路研究岩石脆性材料的破裂,离散元在计算的弹性阶段可以得到与其他数值方法一致的结果,在处理破裂问题时,离散元相比其他数值方法更简洁、方便.在计算过程中采用动态松弛法,避免了组装总刚度矩阵,简化了计算.当细化网格时,只需要用新生成的单元代替原单元,也非常适合用动态松弛法处理.引入了基于块体细化的界面裂纹扩展方法,这种方法根据内部应力场分布而动态选取裂纹扩展到的块体单元,并将该单元细化,从而生成潜在破坏面.单轴压缩和三点弯曲梁预设偏裂缝2个算例表明,本方法可以得出与实验现象一致的结果.
摘要：发展一种能够模拟岩石材料脆性破裂过程的三维不规则、可变形块体离散元模型.一方面,在裂纹扩展过程中动态地将潜在破坏的连续块体沿潜在破坏方向细化为若干子块体,并在子块体之间的界面上设置连接型弹簧;另一方面,连接型弹簧在满足张拉-剪切复合破坏准则时发生脆性破裂,转变为接触型弹簧,实现材料由连续到非连续的破裂.借助动态松弛技术完成求解,通过计算实例验证该方法的适用性.
关键词：岩石材料,脆性破坏,离散元,张拉-剪切复合破坏
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摘要： 为研究磨介细观运动过程及粉碎机理，构建基于离散元法之振动磨磨介流数值模拟模型，按频幅大小设定两种振强等级、4种模式的工况组合，导出筒体运动方程，求得筒体中心运动轨迹、磨介流速矢场、速度云图等真实运动，数值模拟结果表明：相对其他模式，C模式（中频高幅）乏能区至少减小8%，筒内前端磨介动能分别为其他模式的1.26～22.31倍，其动能增加使得磨介间撞击效果强，为超微颗粒细化试验的参数优化提供了富有价值的参考；在普通和新型振动磨上分别进行试验，经激光粒度仪检测、高速摄影机记录，分别取得d（50） = 1.6，0.2 μm、带宽4.8，0.3 μm的检测结果，明显体现出新型振动磨颗粒细化和带宽窄化效果，成为超硬超微粉体细化方面的技术试验实证。关键词： 磨介流； 离散元法； 数值模拟； 振强等级； 试验比对
中图分类号： TD453+.2文献标识码： A文章编号：1004-4523（2016）03-0479-09
DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.03.014
引言
作为一种较为理想的细磨与超细粉磨设备，振动磨的结构有多种形式[12]，以单筒下置式振动磨为例，物料和磨介装在弹簧支撑的筒体内，偏心激振器将激振力传递给与之刚性连接的筒体，筒体将运动和力传递给筒内磨介，使物料在磨介撞击等力能作用下被研磨或粉碎。磨介的运动形式直接影响着振动磨的粉磨效果，故分析磨介细观运动过程是研究振动磨的关键问题之一[3]。
为研究磨介的细观运动特性，近年来诸多学者不断进行探索。苏乾益等利用高速摄像机对磨介运动进行拍摄，获得磨介的分布图像，建立了振幅和能量的数学模型[4]；尹忠俊等人通过摄像技术记录磨介的运动过程，建立磨介间的冲量与能量传递的数学模型[5]；唐果宁等通过高速摄像建立磨介的运动模型[6]。由于磨介运动的复杂性，高速摄像虽能观察磨介分布随时间变化的情况，却不能具体到每个磨介的运动方向与速度；数学模型通常是基于图像信息和一定假设建立的，能够描述磨介整体的宏观运动，对于磨介群体内部以及单颗磨介的细观运动很难涉及。
离散元法（Distinct Element Method，DEM）是研究不连续离散体力学行为的一种数值方法[7]，该方法在粉体的流动、分叉或成流等过程的模拟中获得了成功应用；PFC是基于离散元法来模拟圆形颗粒运动和相互作用的软件，在水利地质、岩土力学等领域，分析离散颗粒工程问题中已有应用。
V Murariu用PFC模拟不同密度、不同粒径圆形粒子在FHS中的运动及碰撞[8]；B P BHoomans利用PFC模拟在颗粒与墙体是完全弹性与完全光滑情况下，相同密度但不同粒径的颗粒的分离情况[9]；R D Morrison用PFC对粉碎机进行模拟取得一定进展[10]；在振动磨中应用PFC模拟振动磨磨介群及磨介形成的磨介流细观力学的情况，尚未见报道。
参照作者超微颗粒细化样机的试验数据，建立筒体截面的PFC模型，旨在模拟不同频幅组合下磨介流的真实运动，可获得筒体形心轨迹，磨介流速度矢场图像，再现磨介流运动过程，获得高速摄像试验中无法得到的磨介流内部流动信息，即不同参数组合下磨介的响应程度，为单个磨介的运动轨迹和速度分析，以及筒内磨介流的动能应变能变化、力链分布、力矢场、温度场等动力学分析作铺垫，为破解超微颗粒的聚团瓶颈[1112]，获取超微颗粒细化试验所需的参数选择调整，提供有价值的参考，为深入了解磨介流的动力学特性及能量分布打下基础。
5结论
1） 进行4种频幅组合模式的PFC振动磨运动学数值模拟，获得筒体中心运动轨迹、磨介流的速矢场等运动图像，通过比对分析可知，高幅情况下磨介速度场的梯度分布明显，磨介可形成单股磨介流；高频组合下则磨介为多股磨介流，在磨介流分岔与汇合处形成低速区；两种高振强组合的粉磨效果要明显优于一般振强的组合：在高频中幅的D模式中，磨介运动速度是B模式的约2倍，磨介流形成的规模大，碰撞效果显著，但两者的磨介平均速度都不大；与A，B，D模式相比，中频高幅的C模式磨介流成流曲率大、速度大，能量传输快，能量利用率高，高速磨介多，磨介间的冲击碰撞效果强，有利于实现超微颗粒细化。
2） 在普通和新型振动磨上，同时进行两磨机基本技术参数相同的金刚石超微粉磨试验，以便验证数值模拟结果，经MS 2000型马尔文激光粒度仪检测数值、Mikrotron Gmbh高速摄影机记录图像，表明中频高幅的C模式与其它模式相比，在磨介流形成的速矢及平均速度相对较大，速矢无明显分叉，成股性好，试验及检测记录显示出C模式的新型磨机粉体细化及窄化带宽的明显效果，成为超硬颗粒振动粉碎细化方面的技术进步实证。
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Discrete element on the numerical simulation and experiment of
vibration grinding medium flowYANG Xiaolan1，2， LIU Jifeng2，1， ZHOU Yajun2， WANG Zhijin1（1.College of Mechanical Engineering，Nanjing Institute of Technology， Nanjing 211167， China；
一、单项选择题(每小题2分，共10分)1.命题公式(PQ)Q为()
(A)矛盾式(B)可满足式(C)重言式(D)合取范式
2.设C(x): x是国家级运动员，G(x): x是健壮的，则命题“没有一个国家级运动员不是健壮的”可符号化为()
(A)x(C(x)G(x))(B)x(C(x)G(x))
(C)x(C(x)G(x))(D)x(C(x)G(x))
3.设集合A={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}}，则下式为真的是()
(A)1A(B){1,2, 3}A
(C){{4,5}}A(D)A
4.设A＝{1,2},B={a,b,c},C={c,d}, 则A×(BC)=()
(A){<1,c>,<2,c>}(B){
5.如第5题图所示各图，其中存在哈密顿回路的图是()
二、填空题(每小题3分，共15分)
6.设集合A={,{a}}，则A的幂集P(A7.设集合A={1,2,3,4 }, B={6,8,12}, A到B的关系R＝{x,yy2x,xA,yB},那么R1＝
8.图G如第8题图所示，那么图G的割点是－abfced第8题图
9.连通有向图D含有欧拉回路的充分必要条件是.10.设X＝{a,b,c}，R是X上的二元关系，其关系矩阵为
101，那么R的关系图为MR＝100100
三、化简解答题(每小题8分，共24分)11.简化表达式(((A(BC))A)(B(BA)))(CA).12.设代数系统(R*, )，其中R*是非0实数集，二元运算为：a,bR, ab=ab.试问是否满足交换律、结合律，并求单位元以及可逆元素的逆元.13.化简布尔表达式aab(cab).四．计算题(每小题8分，共32分)
14.求命题公式(PQ)(PQ)的真值表.15.试求谓词公式x(P(x)xQ(x,y)yR(x,y))A(x,y)中，x,x,y的辖域，试
问R(x,y)和A(x,y)中x,y是自由变元，还是约束变元？16.设R1是A1＝{1,2}到A2＝(a,b,c)的二元关系，R2是A2到A3＝{,}的二元关系，R1= {<1,a>,<1,b>,<2,c>}, R2={,
217图G如第17题图
求图G的最小生成树.v4v
3第17题图
五、证明题(第18题10分，第19题9分)18.证明(PQ)((QR)R)(PS))S19.设G为9个结点的无向图，每个结点的度数不是5就是6，试证明G中至少有5个度数为6的结点，或者至少有6个度数为5的结点.《计算机数学基础》离散数学试题
之五解答
一、单项选择题(每小题2分，共15分)1.B2.D3.C4.A5.C
二、填空题(每小题3分，共15分)6.{,{},{{a}},{,{a}}}
7.{<6,3>,<8,4> }8.a, f9.D中每个结点的入度＝出度.10.见第10题答案图.三、化简解答题(每小题8分，共24分)(((A(BC))A)(B(BA)))(CA)
c第10题答案图
(A(B(~BA)))(CA)（2分）
(A(AB))(CA)AC~A)
（4分）
（6分）（8分）
12.a,b,cR*, ab=ab=ba=ba，可交换；(2分)(ab)c=abc=abc=a(bc)=a(bc)=a(bc)，可结合.(4分)易见，单位元为1.(6分)
对aR*, aa1=aa1=1=a1a＝a1a，故a的逆元：a1
－
－
－
－
(8分)a
13.aab(cab)
＝aabcaab(2分)
＝aab(5分)＝(aa)(ab)ab(8分)
四、计算题(每小题8分，共32分)
表中最后一列的数中，每对1个数得2分.15.x的辖域：(P(x)xQ(x,y)yR(x,y))(2分)x的辖域：Q(x,y)(4分)y的辖域：R(x,y)(6分)R(x,y)中的x,y是约束变量，A(x,y)中的x,y是自由变量.(8分)
110
16.MR1,(2分)
001
01
(4分)MR20100
01
11001(6分)MR1R201
0010000
R1R2{1,}(8分)
v217图G的最小生成树，如第17题答案图.首先选对边(v 1, v 2)得2分，再每选对一条边得分.v4v
3第17题答案图
五、证明题(第18题10分，第19题9分，共19分)18.①QRP（2分）②RP(4分)
③Q①，②析取三段论
④PQP(7分)
⑤P③，④拒取式⑥PSP
⑦S⑤，⑥析取三段论(10分)
19.由第5章定理1(握手定理)的推论，G中度数为5的结点个数只能是0,2,4,6,8五种情况；(3分)此时，相应的结点度数为6的结点个数分别为9，7，5，3，1个，(6分)
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2002年4月离散数学试题答案
课程代码：02324
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)
1.B
2.D
3.A
4.A
5.D
6.D
7.D
8.C
9.D
10.B
11.A
12.A
13.C
14.B
15.C
二、填空题 16.0 17.1
0 18.单位元
19.x∩y
x∪y 20.入射
满射
21.［x］R=［y］R
22.A(x)
B(y)23.(M(x)→D(x))
M(x)→D(x)24.可满足式
永假式(或矛盾式)25.陈述句
真值
三、计算题
1126.M=10222M=21442ij***10011
01 11Mi1j118, Mij6
i1
2G中长度为2的路总数为18，长度为2的回路总数为6。27.当n是偶数时，x∈P(A),xn=
当n是奇数时，x∈P(A),x=x
于是：当n是偶数，(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n｛a｝-n｛b｝n｛a｝n
=(｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝n=
当n是奇数时，n
(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n｛a｝-n｛b｝n｛a｝n
-1-1nnn
=｛a｝｛b｝｛a｝(｛a｝)｛b｝｛a｝
-1-=｛a｝｛b｝｛a｝｛a｝｛b｝｛a｝= 28.(1)偏序关系R的哈斯图为
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(2)B的最大元：无，最小元：无；
极大元：2，5，极小元：1，3
下界：4，下确界4；
上界：无，上确界：无
29.原式(┐(P→Q)→(P→┐Q))∧((P→┐Q)→┐(P→Q))
((P→Q)∨(P→┐Q))∧(┐(P→┐Q)∨┐(P→Q))
(┐P∨Q∨┐P∨┐Q)∧(┐(┐P∨┐Q)∨(P∧┐Q))
(┐(P∧┐Q)∨(P∧┐Q))
(P∧Q)∨(P∧┐Q)
P∧(Q∨┐Q)
P∨(Q∧┐Q)
(P∨Q)∧(P∨┐Q)
命题为真的赋值是P=1,Q=0和P=1,Q=1 30.令e1=(v1,v3)，e2=(v4,v6)
e3=(v2,v5)，e4=(v3,v6)
e5=(v2,v3)，e6=(v1,v2)
e7=(v1,v4)，e8=(v4,v3)
e9=(v3,v5)，e10=(v5,v6)
令ai为ei上的权，则
a1
取a1的e1∈T,a2的e2∈T,a3的e3∈T,a4的e4∈T,a5的e5∈T,即，T的总权和=1+2+3+4+5=15 31.原式┐(x1F(x1,y)→y1G(x,y1))∨x2H(x2)
(换名)
┐x1y1(F(x1,y)→G(x,y1))∨x2H(x2)
x1y1┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨x2H(x2)
x1y1x2(┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨H(x2)
四、证明题
32.设T中有x片树叶，y个分支点。于是T中有x+y个顶点，有x+y-1 条边，由握手定理知T中所有顶点的度数之的
xy
d(vi)=2(x+y-1)。
i又树叶的度为1，任一分支点的度大于等于2
且度最大的顶点必是分支点，于是
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xy
d(vi)≥x·1+2(y-2)+k+k=x+2y+2K-4 i1
从而2(x+y-1)≥x+2y+2k-4
x≥2k-2 33.从定义出发证明：由于集合A是非空的，故显然从A到A的双射函数总是存在的，如A上恒等函数，因此F非空
(1)f,g∈F,因为f和g都是A到A的双射函数，故fg也是A到A的双射函数，从而集合F关于运算是封闭的。
(2)f,g,h∈F,由函数复合运算的结合律有f(gh)=(fg)h故运算是可结合的。
(3)A上的恒等函数IA也是A到A的双射函数即IA∈F,且f∈F有IAf=fIA=f,故IA是〈F，〉中的幺元
(4)f∈F,因为f是双射函数，故其逆函数是存在的，也是A到A的双射函数，且有ff=ff=IA,因此f-1是f的逆元
由此上知〈F，〉是群 34.证明(x)(A(x)→B(x))
x(┐A(x)∨B(x))
(┐A(a1)∨B(a1))∨(┐A(a2)∨B(a2))∨…∨(┐A(an)∨B(an)))
(┐A(a1)∨A(a2)∨…∨┐A(an)∨(B(a1)∨B(a2)∨…∨(B(an))
┐(A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an))∨(┐B(a1)∨B(a2)∨…∨(B(an))
┐(x)A(x)∨(x)B(x)(x)A(x)→(x)B(x)
五、应用题
35.令p：他是计算机系本科生
q：他是计算机系研究生
r：他学过DELPHI语言
s:他学过C++语言
t:他会编程序
前提：(p∨q)→(r∧s),(r∨s)→t
结论：p→t
证①p
P(附加前提)
②p∨q
T①I
③(p∨q)→(r∧s)
P(前提引入)
④r∧s
T②③I
⑤r
T④I
⑥r∨s
T⑤I
⑦(r∨s)→t
P(前提引入)
⑧t
T⑤⑥I 36.可以把这20个人排在圆桌旁，使得任一人认识其旁边的两个人。
根据：构造无向简单图G=
Vi∈V,d(vi)是与vi相互认识的人的数目，由题意知vi,vj∈V有d(vi)+d(vj)20,于是G中存在汉密尔顿回路。
2007年招收硕士学位研究生入学考试试题
报考专业：计算机各专业考试科目：离散数学（复试）
1.设A,B为非空集合,ρ(A)=ρ(B),求证A=B
2.S＝{
求证若R为等价关系，则S为等价关系
3.从以下题目中任选一道，多选按最低分计算
(1)设
(2)没做，4.设T为非平凡无向树,T中度数最大的节点有两个,且度数K>=2,求证T叶子节点的数量>=2K-2
5.一个推理理论的题目.前提：1.所有学生都得参加考试；
2.通过考试的学生都很高兴；
3.所有学习努力的学生都可以通过考试；
4.有些学生学习努力；
简洁性是数学美的基本表现形式之一,作为反映现实世界量及其关系规律的数学来说,那种最简洁的数学理论最能给人以美的享受。例如:“命题——具有惟一判断结果的语句。”像这种一目了然的感觉会让我们感觉到淡淡的美。最简单的例子就是离散数学中为了区分集合的种种概念而设计的符号=、-、U等等。
二、和谐美
离散数学的教学中有许多内容是和谐性的教育,和谐美也有助于开拓学生的解题思路、培养学生的解题能力。和谐美给人以自由的感觉,人对客观事物的感受只有是和谐之后才能产生更丰富的感觉。和谐的意义是:对立事物之间在一定的条件下、具体、动态、相对、辩证的统一,是不同事物之间相同相成相辅相成、互利互惠、互促互补、共同发展的关系。例如:布尔代数在逻辑线路中的应用中的线路布尔式的构造原则:串联对应布尔式的积,并联对应布尔和。这其中的两个对应告诉我们串联于并联的条件,即结果和条件相辅相成;集合的运算率中的交换律A∩B=B∩A,A∪B=B∪A、结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)、分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)这让我们眨眼一看就是和谐的感觉。
三、对称美
对称性是指组成某一事物或对象的两个部分的对等性。离散数学中数学形式和结构的对称性、离散数学的命题关系中的对偶性、离散数学的方法中的对偶原理方法都是对称美的自然表现。毕达哥拉斯说:“一切立体图形中,最美的是球形,一切平面图形中最美的是圆形。”因为这两种形体在各个方向上都是对称的。在代数中轮换对称式表明了代数式中字母可以互换的对称关系。在数学解题方面,对称方法和反射方法往往使问题解决的过程简捷明快。这种由图形带给我们的美也会充斥在我们所学的离散数学中。使我们边学习边欣赏美丽的图案,即离散数学中的对称美。
四、奇异美
笔者欣赏离散数学中的奇异美分四种:一是,数之奇异美;二是,形之奇异美;三是,方法之奇异美;四是,结论之奇异美。离散数学中的集合可以表示为{1,2}、(-1,2000),集合中的数字可以是随意的让我们无从下手的感觉到奇、异;形之奇异美有很多的例子,在大家所学的“树及其应用”中就有很多奇特的“树”的图形。在求一个函数的反函数时所用的方法中我们都会感觉反函数的概念抽象,但当我们用对方法求出其结果是就会觉得其中的方法很奇异,令我们产生美感;学习离散数学的同学会觉得有时候我们做出的结果会出乎我们的预料,是的离散数学中有很多结果会带给我们奇异的感觉。
五、创新美
思考的充分自由是创新的前提。康泰尔说:“数学的本质在于思考的充分自由。”这句话道出数学与创新不可分割,那么数学中的美即可认为是创新美。创新的定义对于我们都不会陌生的,那么相信大家对创新美也会有一定程度的了解。现在和大家分享一下离散数学中的创新美,在之前提到的离散数学的简洁美、和谐美、对称美、奇异美都可以认为是离散数学的创新美。因为数学伴随着创新,这门学科中蕴含着的所有的美学都可以看作是创新美。
六、统一美
统一性是指部分与部分,部分与整体之间的内在联系或共同规律呈现出来的协调、一致。离散数学美中的统一性在离散数学中有很多体现。离散数学推理的严谨性和矛盾性体现了一致;表现在一定意义上的不变性,反映了不同对象的协调一致。例如在牛顿二项式定理与牛顿二项式系数、生成函数的定义及其性质等等离散数学定理与推论中的严谨性与矛盾性体现了统一,突出其统一美。还有容斥定理所阐述的定义的不变性,反映了不同对象的协调一致。因为数学中的每一个知识点都是严谨的,数学所阐述的一致性,所以体现出统一美。
七、结语
关键词：离散数学；教学设计；创新思维；任务驱动
G642.4
一、引言
离散数学（Discrete mathematics）是研究离散结构和离散数量相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它是计算机专业基础理论的核心课程，同时也是很多专业课程的先修课，比如高级语言程序设计、数据结构、操作系统、编译原理、数据库、算法设计与分析等。在计算机科学中离散数学中的基本概念、基本思想和方法被普遍采用。例如，集合论的概念和方法，代数的概念和方法等。所有这些都使得离散数学在计算机科学中的地位和作用越来越重要，成了必不可少的工具，因此有人把离散数学称为“计算机数学”。在计算机科学中，离散数学有两个主要用途：一是描述计算机科学理论、方法和技术的主要工具，为理论计算机科学提供坚实的基础；二是为形式描述技术奠定数学基础，而形式描述技術则是描述和验证计算机系统的数学表示方法[1]。因此，学好离散数学对计算机后续专业课程的学习发挥着重的作用。
二、传统教学设计
（一）传统授课过程
①撰写教案：确定教学目标、教学参考、教学重难点；
②教学过程的实施：传统授课，板书及多媒体教学辅助；
③课后作业；
④教学反思。
（二）传统教学实施过程的不足
1.教材内容抽象，数学味浓。教学内容是纯数学理论，在习题上的设置也大多是计算或证明，这对学生来讲，理论性太强，不太好调动学生的学习兴趣。
2.教学形单一枯燥。采用传统的授课方式，老师的传统理论讲解，利用板书向同学传授数学原理，最多加之幻灯片辅助。定义、定理、计算、证明等教学内容充实了整个课堂，课后布置一定量的作业，这样单一的传统教学过程无法激发学生的兴趣，教学效果也就无法显现。
3.课程考核传统。离散数学课程考核学大多采用传统的闭卷考试方式，不能很好的体现学习过程的考核，这样无法体现学生的学以致用能力和实践动手能力，无法真正体现计算机专业基础课的特点，为后续专业课程的服务也就无法突显。
三、基于任务驱动的创新教学设计
基于任务驱动教学模式强调以学生为中心，强调学生的学习过程必须与学习任务相结合，通过完成任务来激发学生的兴趣和动机。根据任务驱动式教学过程的 3 个要素——教师、学生、任务，利用驱动的理论基础提出 教师经过1：课前准备 2：任务设计 3：任务分配 4：实施任务 5：监督指导 学生经过1：课前预习 2：接受任务 3：明确任务 4：执行任务 5：完成任务 6：共享交流 最后老师学生相互进行反思评价。基于这样的任务驱动式教学模式，加强学生计算思维的培养。
该模式在任务驱动的主线下把教师的教学活动和学生的学习活动以任务为主线贯穿起来，通过任务来驱动教学活动，并在整个教学活动中贯穿计算思维的一系列方法：递归、抽象、分解、在不确定性情况下的规划和利用启发式的推理来寻求解答等，通过教学内容的选择、教学过程设计和教学评价体系的构建实现对计算思维能力的培养[2]。
四、创新教学设计的实施过程
（一）准备工作
教师课前准备，要对教学内容进行任务设计，确定教学目标、教学任务、教学预期效果，对任务进行总体策划，收集整理相关资料。学生要根据教师的上次课要求进行课前预习，阅读相关参考资料，了解命题公式及分类的基本教学内容。教师结合授课内容，组织授课只是层次模块，方便激发学生的学习兴趣和计算思维[3]。
（二）教学设计的实施过程（以命题逻辑为例）
1.学生分组：根据班级规模将班级分成4个学习小组，每组选出一位小组长。
2.问题设计：教师结合问题的应用领域设计相关问题并创设问题情境，呈现问题。教师针对命题逻辑部分内容的教学给出一个理论练习和一个生活中的问题：a）构造真值表判定公式类型；b）“楼梯的灯由上下2个开关控制， 要求按动任何一个都能打开或关闭灯，试设计一个这样的线路。”（此处需同学查找资料，门电路符号，与门、或门和非门）。设p，q为开关的状态，F：灯的状态，打开为1， 关闭为0。不妨设当2个开关都为0时灯是打开的，根答案可得： F=m0∧m3= （x∧y）∨（x∧y）。（解题过程对学生屏蔽）
3.接受任务：小组长代表小组接受教师安排的任务，明确任务，查阅教材及相关的资料。
4.任务执行：小组分工协作，逐项完成任务。小组学习记录任务完成的全过程，真值表和应用题解题过程。
5.小组长集中，教师分别检查各组任务的执行情况，分享过程和心得，小组对各组的任务给出量化评分，这样会激励各组在后期的任务学习过程中投入更多的精力去准备，当然，在这个过程中就掌握了知识和技能，这种不是教师灌输式的教学，效率高，效果好。
6.最后10分钟进行课堂小结和教学反思，布置下次课教学任务。
五、结束语
作为一门计算机的专业基础课《离散数学》在计算机学科领域中发挥了重要的作用。如何培养学生学习兴趣和学习效果，是每位教师需要多加思考的问题，结合多年工作经验，对本课程的创新教学设计和实践取得了明显的效果，然而学生的计算思维能力需要长期不断地培养积累和沉淀，但我们要坚定培养目标，在探索中提高、在提高中不断总结，争取更好地效果。
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