真分数和假分数教学设计和反思（共16篇）
本课我主要采用自主探究、合作交流的教学方法，在教学中为学生提供充分的探索与交流的时间，让学生在观察、操作、分类、比较、交流等活动中，自己概括出真分数和假分数的意义。因为真分数和假分数是一节概念教学课，概念的形成是认识的发展过程。在教学真分数和假分数时，首先，放手让学生自主探究涂色表示分母是4的分数，重点在表示4/5上，再通过比较分数的分子和分母的大小和引导观察图形的涂色部分，以及学生根据分数的意义理解假分数与真分数的内在联系，对这些分数进行分类、比较，并在小组中交流自己的想法，从而形成表象，进而以归纳的方式抽象出真分数和假分数的本质属性，理解概念，牢固地掌握概念，正确地运用概念。同时学生通过自主探索与合作交流，提升了思维水平，提高抽象、概括等能力，而在整个教学过程中教师只是个学习的组织者、引导者与合作者。从学生练习反馈来说，学生对真分数和假分数意义掌握不错，能正确区分真分数和假分数，从而达到这节课的目标。
除了为学生的探究意识和能力而欣慰。同时也对本节课进行了反思，有一下三点遗憾：
1.表示4/5时，理解假分数的单位“1”时，1个单位“1”无能为力时，需要2个单位“1”，课前孩子们准备的圆形纸片一样大，单位“1”大小一样，但为了进一步理解，我课前准备了不同大小的单位“1”，进行辨析，加深认识，但课中忘记了这一环节。
1.正确理解百分数在生活中的实际意义。
2.准确表述分数与百分数的联系和区别。
二、育人目标
通过比较、交流、讨论、汇报归纳、整理等学习活动获得成功。
三、导学流程
(一) 回顾旧知
1.我们在学习数学的过程中, 已经和数打了五年的交道。回忆一下, 我们曾经学过哪些数?
2.参加会议的共有100人, 女士43人, 男士57人, 女士占总人数的 (—) , 男士占总人数的 (—) 。
说一说:这两个分数的分母有什么特点?各表示什么意义?
3.教师导入新课。
4.出示学习目标。
(二) 自主、合作探究、展示
学习活动一:学生展示方案
1.举例说明什么是百分数, 在哪里见过百分数。
2.展示组内不同的百格图。
3.与台下互动, 交流商标或资料中百分数的具体含义。
4.加上适当的肢体语言。
师提升:“比”表示两个数相除, “率”在字典中的解释是两个相关的数在一定条件下的比值, 如, 圆周率、银行的税率、种子的发芽率、近似率、优秀率、出勤率等。百分数就是表示这两个数之间的一种倍比关系, 所以, 百分数又叫百分率或百分比。
知识梳理:学生互批, 订正, 举例讲解百分数的读法和写法, 写百分号时注意什么?
师提升:百分数通常不写成分数的形式, 而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
这样的读法和写法, 与分数有联系, 但又能把百分数与一般分数区别开来。尤其是百分号%, 符号本身也隐藏着两个数相比的关系。百分数是一种特殊的分数。
(三) 当堂检测
1.选择合适的数填空。
100% 45% 55% 0% 200% 99.8% 200
(1) 这节课同学们学得积极主动, 老师希望理解百分数意义的同学占 () 。
(2) 一本书, 小红看了全书的 () , 还剩下全书的 () 。
(3) 一根铁丝长 () 米。
(4) 我认为大海捞针的可能性几乎是 () 。
2.拓展题:这些成语能用哪个百分数表示?
百里挑一 () 十拿九稳 ()
100%可以表示哪个成语?
(四) 总结
在紧张与兴奋气氛中, 我们这堂课已接近尾声了, 在这堂课中, 李老师有20%的紧张, 20%的兴奋, 60%的惊喜, 但却收获了100%的幸福。但愿同学们在今后也能以100%的热情投入到数学学习当中, 那你一定能收获100%成功的快乐!成功=1%的灵感+99%的汗水, 让我们一起把这句话作为获取成功的动力!
(五) 作业
这是小学数学实验教材（北师大版）三年级下册第五单元《认识分数》的第56页的内容——《分一分》。它是关于分数的初步认识的知识。本设计在整个教学过程通过涂一涂、折一折、说一说等自主学习活动，让学生积极主动的投入学习。
【设计理念】
目前，新课程的理念倡导动手实践、自主探索、合作交流的学习方式。教师由过去一味传授的教学模式转变为不再是单纯的传授知识、解答疑惑，而是引导学生自己去发现、探究知识。课堂成了一个师生互动、生生互动，互教互学的活动场面，让学生在愉快的活动中学习。因此，教师在上课时必须给学生足够的时间和空间使学生都参与到手脑并用的活動中，让他们自己去实践与探索，在快乐的活动中发展自我。本篇教学活动设计力图给予学生自主学习的时间和空间，让学生有所发现、有所创造、有所体味，使学生在自主探索的过程中掌握知识。
【活动目标】
1、结合具体情境和直观操作,通过“分一分”“涂一涂”“折一折”“辩一辩”等数学活动结合具体情境和直观操作，使学生初步理解分数的意义，体会学习分数的必要性。
2、会用折纸、涂色等方式，表示简单的分数。受到“认识源于实践”“部分与整体”的思想启蒙。
【活动准备】苹果、水果刀、学生练习纸、彩色笔、多媒体课件一套、半个橘子的卡片两张。
【活动过程】
一、创设情境，导入新课：
让学生用拍手的形式回答老师的问题。答案是几，就拍几下。
T： 老师知道同学们最喜欢玩游戏了，是不是？
今天我想和大家一起玩一个小游戏（放课件）“分水果”，你们愿意吗？
T：那好，游戏规则是：我来问，你来答，不过，要求同学们不许动口，而是用拍手的形式来回答老师提出的问题，答案是几就拍几下。
1、课件出示实物（4个草莓）问：老师这里有4个草莓，平均分给两个小朋友， 每个小朋友分几个？（学生拍手表示）
课件出示正确答案，（师评：你们的答案又快又准确，继续）
2、课件出示实物（2个桃子）问：如果老师手里有2个桃子，平均分给两个小朋友，每个小朋友分几个？（学生拍手表示）
课件出示正确答案，（师评：真不错，是不是很容易？还想不想再来？好，继续）
3、课件出示实物（1个橘子）问：如果老师手里有1个橘子，平均分给两个小朋友，每个小朋友分几个？（学生无法用拍手表示，学生思索，可能会有学生说用“半个”）
T： 怎么不拍手？噢，一个橘子被分成相等的两半了，像这样（课件演示平分橘子）对吗？
T：每个人 分到的半个橘子已经不能用拍手的形式表示了，因为我们以前还没有学过用来表示一半的数字，那么一半该怎么表示呢？你们能用自己喜欢的方式方法来表示橘子的一半吗？
T：下面就请大家发挥自己的想象，大胆地创造出表示一半的方法，好不好？
（先让学生自己创造，再和小组同学讨论交流，同时老师巡回指导，并请4名同学到前面去画或写表示一半的符号。）
T：刚才老师下去观察了一下，发现同学们都有自己的想法，那谁愿意先来向大家说说你是怎么表示一半的？说说你的想法。
（根据学生写、画或手势等多种形式，先让那4名学生说说自己的想法，再让组织其他学生发表自己的看法。）
二、直观认识，教学新课
（一）认识分数1/2
T：大家都能用自己喜欢的方式表示橘子的一半，说明你们很有办法，不过，今天我要向大家介绍一种更简便的表示方法，你们想学吗？
T：首先请大家先来想一想（课件出示问题：我们把一个橘子平均分成了几份？每份是多少？）
学生答略（课件出示小结：我们把一个橘子平均分成了2份，每份就是整个橘子的二分之一）
T：那么当一个橘子被平均分成2份之后，这其中的一份（老师贴出两个半个的橘子卡片），能用我们以前学过的数来表示吗？（不能）
T：下面，让我们一起来认识一下数家族的一位新朋友，名字叫“分数”（板书课题：认识分数）它能帮我们解决今天我们遇到的这个难题。
T：这半个橘子，我们就可以用数学符号1|2这个分数来表示(在半个橘子的下方板书1|2)
讲解:1/2就表示把一个整体平均分成两份,其中的一份就是1/2,提醒大家注意的是：一定要平均分（板书：平均分）
T：那么我们来看大屏幕（放课件：没被平均分的圆），这是二分之一吗？为什么？（不是，理由：没有平均分。）
T：大家知道，我们身体的每一部分都有名字，分数的每一部分也有自己的名字。（给分数起名字，让学生明确知道分数是由分子、分母和分数线三部分组成的，并用书空的方法掌握分数的写法）
（二）加深对1/2的认识
1、直观操作：分苹果
T：现在我们知道什么是1/2了，大家看老师这里有一个苹果，我想得到一个1/2该怎么分呢？谁愿意帮老师分一分？（请一名学生前拉来分苹果）
师评：他分得好不好？为什么？（明确平均的问题）
你要把苹果分给谁吃？（生答略）那妈妈吃的这一半，也就是这个苹果的多少？那老师吃的这一半呢？（明确一个整体被平均分成两份后，其中的任意一份都是它的1/2）
2、涂一涂
T：我们能从实际操作中得到1/2，那么如果给你一些图形，你能从图形中找出1/2吗？
打开课本56页，先找出每个图形的1/2，再用你喜欢的颜色涂一涂，表示你们所找到的1/2
（涂完后，让学生说说自己是怎么找到这些图形的1/2的，再说说通过涂色知道1/2不仅可以表示半个橘子、半个苹果、还能表示……
3、折一折
T：我们大家不仅能够通过分实物得到1/2，还能从图形中找到1/2，纳闷如果让你创造一个1/2你会吗？
T：请拿出你们准备好的不同形状的纸，折出你们喜欢的图形的1/2，并图上你喜欢的颜色，来表示1/2，好不好？
（先自己创造，再同桌之间说说自己是怎么得到的）
T：我发现同学门讨论得可激烈了，那下面谁愿意到前面来展示一下你的成果？
（学生争先展示略）
（三）认识其他分数其实1/2还有好多朋友
T：刚才同学们已经认识了1/2，认识了1/2之后你有什么想法或问题吗？其实1/2还有好多朋友，你觉得1/2还可能有那些分数的朋友？（生答：1/3、1/4、1/5、1/6、1/7、1/8等等）你们想认识他们吗？
T：那下面就请你选一张自己喜欢的图形折一折，为1/2找到更多的朋友，再用涂色的形式表示你想认识的分数朋友（以小组形式进行交流讨论）
T：我发现同学们都认识了自己想认识的分数，为1/2找到了朋友，谁想到前边来向大家汇报一下，把你所认识的分数朋友介绍给大家认识认识？
（介绍的同时老师或学生自己来板书所认识的分数，老师要学生明确这些数和1/2一样都叫分数）
T：你们能说出这些分数各部分的名称吗？
T：通过折纸、涂色表示分数，你发现了什么？
T：同学们真了不起，不仅创造了这么多分数，还发现了分数的好多好多知识。
三、巩固练习（游戏：芝麻开门 闯难关）
第一关：判断题（课件出示文字判断题）
第二关：说一说图形阴影部分各占整个图形的几分之几
第三关：观察每一部分各占整体木版的几分之几。
（顺利地闯过三道难关后，课件出示阿里巴巴手举鲜花出门迎接向大家祝贺）
四、课堂小结
T：见到了阿里巴巴，你们高兴吗？那下面让我们向阿里巴巴汇报一下今天的收获吧，你这节课都学会了哪些知识？你对分数是怎样理解的？ 有何收获？有何感想？
让我们和阿里巴巴说说。（学生汇报略）
提示：（分数）怎样分呢？（把一个物体平均分成几份，其中的一份 就
★ 《真分数和假分数》说课稿
★ 把假分数化成带分数教学设计
★ 教学反思范文大全
★ 教学反思简短
★ 教学反思研究
★ 太阳教学反思
★ 演讲教学反思
★ 祝福教学反思
★ 嫦娥奔月教学反思
本节课采用了“先学后教，当堂训练”的教学模式，纵观整节课有以下几点特点：
1.将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力。
在整个过程设计中，我努力营造学生独立、主动的学习“时间”和“空间”，使学生成为课堂教学过程重要的参与者和创造者，引导学生去探究，自己去发现，使学生对新知沿着理解、掌握、熟练不断前进，从而获得了最佳效果。
2.通过自主探究与研究，学生的能力得以提升
教学中让学生在观察、比较、归纳等活动中自己领悟出真分数和假分数的意义。学生经历这一过程后，自学能力得到培养，提升了思维水平，提高抽象概括能力。从自学检测反馈来说，学生能正确辨别真分数和假分数，从而达到了这节课的学习目标。
在这节课上，学生都表现出积极主动参与课堂活动的精神，课堂的每个环节的设计层层递进，环环相扣，学生不知不觉地在教师的引导下掌握了本节课的知识点。课后学生反馈，表示很希望在课堂上表现自己并得到老师的奖励。教学效果好，进一步发展了学生的数学学习兴趣。
在新知的解决过程中，充分调用学生已有的知识经验，在交流、沟通的基础上，加深对异分母分数加关法计算法则的理解。以实现学习就是对话的基本理念。在巩固练习的过程中，设计不同层次的练习，实现让每一个孩子都得到不同的发展。本节课的教学完全打破了传统的教学方法，在情境中让学生发现问题，并让学生以小组合作的形式进行讨论，学生之间的知识进行互补，学生发现分数单位不同无法相加减，只有先通分划成同分母分数，然后按照同分母分数加减的法则进行计算。上述过程中，完全是学生自主探索的成果，而且在整个合作探究的过程中，学生合作学习的能力，主动探究的能力，发现问题的能力得到了培养，在自主探索的过程享受成功的喜悦。
在解决分数加减法的时候，我板书的通分的几个步骤用了递等式，事实上应该要用连等式，因为计算分数一步加减法时，本身就只有一步，中间部分在以后学生熟练做的时候是可以省略的。还有在练习改错题的`改正时，板书没有写出通分的过程，让学生看了很别扭，并且学生在指出错误的地方时就发现了没有通分。事实上，本节课是学习异分母分数加减法的第一节课，就必须把通分的过程板书出来。
我设计本节课是围绕教学重难点来展开的，对学生上课过程中临时出现的问题不能够很好的给予解答和讲解：这个问题本人认为自己可能上课的经验还是很少，不能很好的驾驭课堂，不能够灵活的处理课堂设计之外的问题。上课的语言不能很清楚地进行表达出来，语言组织能力不够，还需加强。我想这主要是上这样的公开课机会还是比较少，有些紧张，并且对临时出现的问题不能很好的组织语言进行讲解，我想这方面在以后的教学中还需加强锻炼。
1 分数阶微 (积) 分的定义
记信号x (t) 的傅里叶变换为X (iw) , 即:
由傅里叶变换的性质信号x (t) 的n (正整数) 阶微分 (t) 与n (正整数) 阶积分分别为:
如果令 (3) 中n的取负整数, 则有:
将 (2) 、 (4) 统一起来可得整数阶微积分的整数形式:
将整数n推广到复数z可得非整数解微积分公式:
为了方便, 将 (6) 式统称为分数阶微 (积) 分。
2 分数阶微 (积) 分器的滤波特性
由 (6) 式知:信号x (t) 通过一个阶数为z阶的微 (积) 分器后得到输出信号为:
明显可以看出输出信号的傅里叶变换为。。
设z阶的微 (积) 分器的频率响应为, 有:
当z为实数, 且大于0时, 微分器的幅频响应, 如图所示:
当z为实数, 且小于0时, 积分器的幅频响应, 如图所示:
记z阶微分器的频率响应为:
z阶积分器的频率响应为:
即将任意信号先通过微分器再通过同阶积分器将得到同样的信号。
3 基于分数阶微积分的一种降噪方法流程图
在发送端, 基带信号进过采样编码调制得到高频信号x (t) , 经过z阶微分后输出一个信号从发送端发射出去, 并且在信道中混入了加性噪声n (t) , 在接收端得到的接收信号就是。
在接收端, 将接收信号通过一个带通滤波器得到带限信
号是通过带通滤波器的窄带噪声, 然后再将带限信号通过阶数与微分器阶数相同的积分器得到, 此时信号x (t) 已被还原。由于积分器的幅频响应在高频部分几乎等于0, 而是高频窄带噪声, 在积分器作用下得到的能量几乎降低为0, 接收端的信噪比将变得很高, 此时再将接收信号解调译码就能得到几乎不失真的原始信号。
4 优点
(1) 对于信号x (t) 而言, 在发送端被z阶微分, 在接收端z阶积分将得到原始信号x (t) , 而对噪声n (t而言, 则只在接收端做了z阶积分, 相当于经过了一个近似的低通滤波器, 使得能量大大的降低, 在整个过程中, 信号x (t) 未发生改变, 而噪声n (t) 的能量大大降低, 因此信噪比得到了相应的极大的提高。
(2) 功率谱为的噪声n (t) 称为γ阶分形噪声, 对于一个γ阶的分形噪声, 如果通过一个频率响应H (iw) 为的滤波器, 即阶数为的积分器。此时输出端的随机过程的功率谱为:
即功率谱为的白噪声。由于微分器和积分器均是线性滤波器, 因此当在信道中混入的噪声是γ阶分形噪声时, 将微分器和积分器的阶数均调为, 那么在输出端的信号中混入的噪声就被白化为了功率谱为的白噪声。
(3) 在发送端微分和在接收端积分时, 只要二者的阶数相同就能够达到降噪的目的。但是以频带在10MHZ-12MHZ的信号为例, 使用1阶微 (积) 分时, 信噪比将提高5d B, 如果使用2阶微积分时, 信噪比将提高10d B.当为2阶以上整数阶时, 性噪比提高的大小是离散的 (阶数提高1阶, 信噪比提高5d B) 由香农信道容量公式知:对某一传输速率的通信系统, 只要信噪比达到某一临界值, 那么就能达到理论上的无差错传输。例如现有某一传输速率的通信系统, 经过计算它要达到无差错传输所要求的性噪比为1d B, 而现在接收端实际的性噪比只能达到-1d B, 若用1阶微 (积) 分滤波器, 接收端的性噪比将达到4d B, 大大超过了所要求的1d B, 实际浪费了发送端的能量, 若此时使用的是1/2阶的微积分滤波器经过计算, 性噪比将提高2d B, 恰好能达到所要求的1d B的信噪比要求, 与整数阶的相比, 节约了发送端的能量。
(4) 保密通信的要旨是要用某种方法将被传送的信息加密。在分数阶微分中, 阶数z的选取具有极大的自由度, 此处的z可作为密钥使用, 因为当接收端不知道阶数z的具体值时, 即使截获到信号也不能解调, 当把阶数z推广到复数时, 想要找出z的值就更为困难, 所以这种调制方法会提高保密性, 并且还可与经典的加密方法同时使用, 不存在替代关系。
(5) 设备简单, 只需要在发送端增加一个分数阶微分器, 在接收端增加一个同阶的分数阶积分器。与匹配滤波器相比, 不管发送信号的波形如何, 都可以使用同一个接收机;与分集接收相比, 接收端只需要一个接收机即可。
5 结语
分数阶微 (积) 分是传统的整数阶微 (积) 分的推广, 利用分数阶微分器和积分器滤波特性之间的良好的对偶关系设计出的这种降噪方法具有在保证有用信号x (t) 不变的基础上极大地降低噪声功率的优点, 并且在分数阶微 (积) 分器的工程实现简单, 包括分数阶微积分数字滤波器实现和模拟电路实现[3]。之后还将进行的工作包括: (1) 在积分器阶数和微分器阶数的差小于某个值时, 可以近似的认为有用信号x (t) 被还原。 (2) 对于不同的调制方式 (QAM、MSK、GMSK) , 该方法降噪效果的差别。
参考文献
[1]Fractional differential equations
[2]张辉, 曹丽娜.现代通信原理与技术西安电子科技大学.
关键词：分数；百分数；倍数关系
一、揭示研究百分数的必要性
百分数在工农业生产、科学技术及各种实验中有着十分广泛的应用，特别是在进行调查、分析比较时，经常要用到百分数，所以我们才有必要研究和学习百分数。这期间涉及百分数的意义，它看似容易理解，但在实际教学中百分数的意义并非教师想象的那样能让学生接受，而造成这一现象的原因是什么呢？究竟百分数的意义是什么？怎样给学生讲解清楚它表示两个数量之间的倍数关系？不妨我们做如下解释。
二、探讨问题，形成概念
（一）分数和百分数的差别
分数主要是表达出个体占总体的一个比例，区别于百分数，分数的分母是随意的，多用于日常生活中人们的习惯表达；分数有时候表示一个具体的数量，也可以表示一种关系，即两个数的比：××吃了1/2块蛋糕，××吃了这块蛋糕的1/2；××喝了1/3瓶的水，××喝了这瓶水的1/3；而百分数，它的分母固定为一百，是形容部分占总体的一个比例，但因为百分数可以很方便地转化为小数，也很容易相互之间比较大小（因为分母是相等的嘛），所以书面上即官方上表达个体占总体的比例时，在分数的基础上又以100做基数，发明了百分数。
所以百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比。百分数通常不写成分数的形式，而采用符号“%”（叫做百分号）来表示：像90%、80%、75%、45%、100%、22%、117.5%等这样的数就是百分数。
（二）探索百分数的倍数关系
在教学中经常会遇到这样的问题：（1）某校五年级的100名学生中有三好学生17人，问三好学生人数占五年级的百分之几？（2）一个工人从一批产品中抽出100件，经过检验有49件合格，问这批产品中合格产品占产品总数的百分之几？结合例1、例2，利用我们所学知识很容易解决像17%，49%应该注意它的读法和写法，写的时候先写数，再写百分数；读的时候先读%再读数。但是我们有时也会遇到这类问题：（3）你爸爸的年龄是36岁，你的年龄是12岁，爸爸的年龄是你的年龄的几倍？学生很容易做出答案：36÷12=3（倍一般不作單位名称）这个问题不难；试着再问：（4）爸爸的年龄是你年龄的百分之几？学生思考后，仍然列出算式：36÷12=3=300%。那这里，怎么理解这个得数300%呢？它仅仅表示一种关系，这种关系首先要求教师对新旧知识融会贯通，结合3倍和300%倍，教师把这两者的迁移、变通明确后，再循序渐进地建立“关系”的概念，切不可采用“填鸭式”教学方法，需要慢慢渗透这种关系。“我和××是师生关系”“××和××是朋友关系”“你和××是母子关系”等，这种关系看得见吗？摸得到吗？学生回答：看不见，摸不到。教师需要解释这种似乎离我们挺遥远的，但实际上离我们又那么近的问题。这种数学中的倍数关系是源于生活而高于生活的，从生活中提取和抽象出来的。可以理解为：一堆煤，运走了50%，还有50%没有卸；一盘水果，同学们吃了它的30%，还有70%没有吃；花园里有盛开的鲜花，有40%是红色的，有60%是黄色的；姚明投篮的命中率是46.8%；一件衣服的棉材料的含量是80%；一个班级的出勤率是90%等等。教师在教学中可以通过生动具体的事例向学生讲解，一点一点灌输这种关系的必要性和重要性，教师要用自己的理解，自己的感悟，自己的语言把百分数的意义讲得透彻，讲得灵活，因为生活需要数学的眼光去发现，数学的思维模式去始终贯穿于生活。教师在教给学生具体、抽象的数学知识的同时，更要大胆尝试和引导，引导孩子们爱数学，学数学，用数学；用一颗激情和火热的心去迎接数学中的种种问题，克服数学中的困难；教给他们知识，带他们在数学王国里自由遨游，乐此不疲地投身于数学的研究与探讨中，真正地理解并热爱这门学科。“传道，授业，解惑也”，这是一种追求，更是一种境界。
而分数和百分数的最大区别就在于百分数仅仅表示一种关系，不表示具体的数量。如果我们通常讲：一段绳子长29%米，这堆煤有70%吨，有70%个苹果等都是错误的，在教给学生做选择或判断的时候，必须明确百分数是一种关系，它不能带表示计量的单位名称。如果这样说是正确的：陆地的面积占地球表面积的21%，我国发射人造卫星的成功率是100%。在这里我想稍做一点解释：语文中常提到倍数和分数。表示数目减少，一般用分数，表示数目增加，一般用倍数。可我们数学中，我认为有些区别，表示数目减少，也可以用分数，也可以用百分数。如：今天看节目的人数比昨天减少了1/5（20%），减少了——不包括单位“1”的量即昨天看节目的人数，意味着今天看节目的人数减少了，减少到单位“1”的量，即昨天看节目的人数的4/5（80%）。今天看节目的人数比昨天增加了100%，——增加了不包括单位（“1”）的量，昨天看节目的人数。如果改为：今天看节目的人数是昨天的200%，这意味着今天看节目的人数增加了，增加到单位“1”的量即昨天看节目的人数的200%，也就是今天看节目的人数是昨天的2倍。而这里的2倍恰恰就是200%倍，由上面的例子更容易得出结论：百分数表示一个数是另一个数的百分之几，百分数表示两个数量之间的倍数关系。
三、浅谈“1”的问题
1.如果另一个数是单位“1”，一个数是另一个数的百分之几，实际就是求一个数占单位“1”的百分之几，或几分之几。
2.生活中的百分数有时小于100%或等于100%，比如说：种子的发芽率，产品的合格率，班级的出勤率，小麦的出粉率，可能小于100%或等于100%；生活中的百分数有时大于100%，比如说：老师布置了10道题，小明完成了15道题，小明完成题目占布置题目的150%，就大于100%；小麦比去年增加20%，今年是去年的120%，大于100%；棉材料占衣服材料的80%，涤纶材料占衣服材料的20%，果汁的质量占总质量的100%。教师在解决这些问题要有意识地强调“1”的重要性和如何选择“1”。
在百分数的认识中，学生学习了百分数的意义和读写，百分数和分数，小数的互相转化，百分数的简单应用，运用方程解决简单的百分数问题。理解了百分数的意义，对于今后的百分数应用题有很大帮助，对以后涉及的利息、成数及折扣的问题都有很好的辅助作用。学生会用数学的眼光看待生活问题，体会数学价值这也是我们教学的真正目的。
参考文献：
[1]权松爱.百分数的应用教学设计[J].数学教学与研究，2011（17）.
[2]邱爱渠.感知、理解与应用：“百分数的应用（一）”之教学谈[J].学园，2013（16）.
定义1(份数定义)：分数是一个单位平均分之后中的一份或几份。
定义2(商定义)：分数是两个数相除的商。
定义3(比定义)：分数是q与p之比。
定义4(公理化定义)：有序的整数对：(p,q),其中p≠0.
在我们现有的教材中的定义为：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。这样定义的好处是直观，明白易懂，强调了“平均分”，特别是对“几分之几”做了贴切说明，对理解以后的分数运算也有重要的价值。
但是，用份数定义分数，也有一些问题。首先，一份或几份的说法，仍然和自然数靠得很近，没有显示出这是一种新的数。其次，平均分一个月饼之后的的一份或几份的说法，常常会误解为分数总小于1(比一个月饼小)。最后，由于份月饼或其它直观图的思维定势，不能适当选择单位，形成思维上的僵化。
分数的真正来源，在于自然数除法的推广。一个月饼，平均分成三份，得到有确定大小的一块。对于这个客观存在的量，依除法的意义，应该看做1÷3所得的商。可是这种除数大，被除数小的的除法，如果运用以前的知识就成了解决不了的问题，于是“分数”这个新朋友就闪亮登场了。这样，就突出了数系扩张的本质。因此，分数的份数定义可作为教学起点，但是，不宜过分强调，应该迅速向更抽象的分数定义转移。
本节课充分运用多媒体进行教学，整节课的设计自始至终使用一个情景来贯穿，围绕篮球的命中率来做文章，结合计算投篮命中率的实际情景，解决数学问题。教学中，努力发现学生的“闪光点”，对他们实施鼓励性评价，教师一个真正的微笑，一缕肯定的目光，一句热情的话语，如：“你的想法真独特!”“善于思考的孩子总会有不同的发现”等鼓励用语，这些评价都会给学生精神上的鼓励;采取小组合作探究的学习方法，小组交流，给予学生充足的时间，说生活中的百分率，讨论篮球命中率的意义,更好地理解百分率的概念;学生经历了分数、小数化成百分数的过程，并把自己遇到的问题，通过独立思考、小组合作，得以解决。在不断更新自己知识的同时，也享受到了发现问题、解决问题的乐趣，确实体现了当数学与生活相结合时，它必将焕发生命的活力，体验到数学的价值。
1、找准认知起点。
《分数的意义》的教学是建立在三年级初步认识分数的基础上的，学生已经初步认识几分之一、几分之几，能进行简单的分数加、减法计算的知识基础和丰富的平均分的生活经验。我在教学《分数的意义》时直接由复习引入新课，课件出示把一个圆平均分成四份，其中一份涂色，可以用一个什么数表示涂色部分呢？引出四分之一以及分数的读法、写法、各部分的名称，四分之一表示什么意义呢？引出了“平均分”、平均分的份数和取出的份数，这样导入新课虽然没有精雕细琢情景渲染那么新颖独特，但很快找到了学生心理接受契合点，为后面的新课教学做好铺垫。
2、追求简约美。
“把复杂的内容教简单，把简单的内容较厚重”是我一直以来的追求。《分数的意义》的课堂教学结构简约：复习引出1/4→理解1/4（→用一个物体表示1/4→用一些物体表示1/4）→揭示单位“1”→理解2/3（用一些物体表示2/3）→揭示分数的意义→点击生活→游戏强化分数意义的理解。结构简约但思维得到有效训练，如在学生明白用一个物体表示1/4的含义后，出示四条金鱼（图片）。
师：你能表示其中的1/4吗？
生：学生指着其中一条鱼，并指出这就是1/4。
师：这是谁的1/4？
生：这是四条金鱼的1/4。
师：为什么呢？
生：可以把四条金鱼看成一个整体，平均分成四份，每份是一条金鱼，也就是1/4。
师：那它的2/4、3/4、4/4呢？
生：它的2/4、3/4、4/4分别是2条、3条、4条啊。
师：课件出示8朵鲜花，你还能找出它的它的1/4吗？说说你的理由。生：如果把8朵花看成一个整体，平均分成4份，每份是2朵花，就是这个整体的1/4。
师：那它的2/4、3/4、4/4呢？
它的2/4、3/4、4/4分别是4朵、6朵、8朵啊。
师：同样是1/4，前面表示1条，而这里却是2朵呢？
生：只要把一个整体平均分成4份，每一份都是整体的1/4，因为整体的数量不一样，所以表示1/4的数量也不一样》
师：真棒！
在这揭示分数意义的重要环节，避开被分物体数量的干扰，始终将分数的本质（“总数量平均分成几份”和“这样的1份或者几份”）作为学习主线；始终围绕“变”（整体表示的数量和每份表示的数量）中之“不变”（这样的份数）强化分数意义的理解。
3、多媒体让课堂增量增效。
我在教学《分数的意义》时采用操作体验与多媒体展示的有效结合，先让学生运用金鱼、鲜花、可乐等图片进行操作表示出1/4、2/3等分数，然后利用多媒体把表示的过程灵动的展示出来，增强了学生理解整体（单位“1”）、平均分的份数、取的份数和对应的数量的直观性和逻辑性。分数产生于测量、分物或者计算方方面面而历经3000多年，要想及其有限的时间讲清楚如此复杂的内容实属不易，教学时有效利用远教资源在短短1分钟就迎刃而解了！
4、偶发事件让课堂掀起波澜。
当把一个长方形平均分成三份，其中两份涂成红色，涂色部分用2/3表示，然后把这个长方形平均分成六份，涂红色部分变成了四份用4/6表示，最后再把这个长方形平均分成九份，涂红色部分变成了六份用6/9表示，非常顺利的得出2/3、4/6、6/9这三个分数。可是，就在这时有同学产生了疑问：为什么这个大长方形没有变，涂色部分也丝毫没有变化，而表示涂色部分的分数发生了变化呢？我没有及时给予解答，也表现出了疑问状。就在这时陆续举起了一双双小手，老师我想试着解释一下：“大长方形没有变表示整体（单位“1”）没有变，虽然涂色部分的大小丝毫没有变，但是把整体平均分成的份数变了，涂色的份数也变了，所以表示的分数变了，2/3表示把长方形平均分成3份，其中的2涂成红色，涂色部分是整个长方形的2/3……”老师我还有补充：“涂色部分虽然用不同分数表示，我发现2/3=4/6=6/9。”顿时响起了热烈的掌声！这些小主人的掌声是会心地祝贺自己学习取得了成功。
5、游戏把课堂推向了高潮。
当学生对分数的意义有全面的理解之后，我没有按常规进行看图填空等巩固练习和分层提高练习，而是理解单位“1” 、平均分、份数与数量的对应关系融入游戏之中：展示台上出示9颗糖，甲同学取9颗的1/3，乙同学取剩下的1/3，甲、乙同学同样取了1/3，为什么取的数量不一样呢？（甲3颗、乙2颗）丙取剩下（剩下4颗）的1/2，乙取走了1/3，丙却取走了1/2，但为什么乙和丙都取走了2颗呢？丁要取走剩下的糖（2颗），可以用什么分数表示呢？学生看到糖果是个个摩拳擦掌，面对接踵而至的赋予挑战的问提更是亢奋不已，难怪学生在数学日记中竟然用“如痴如醉”“恋恋不舍”“流连忘返”等词来形容数学课。
6、情境导入，激起学习欲望。
新课伊始，教师为学生提供了一个生活中所熟悉的、易以操作的情境：测身高，由于某某同学的身高不是整数米，也就不能用整数来表示，怎么办？此时学生就产生了一种心理矛盾，一种渴望解决问题的求知欲，为新课的探究学习提供了一個很好的开端。这一环节情景的创设，正是以学生已有的经验为着力点，既关注了学生已有的知识经验，又关注了学生思维的创造性，也蕴涵了分数就在身边的真正含义。遗憾的是此处情境创设没有让学生真正去感受测量中所遇到的疑问，没能使全体学生激起问题情境所产生的疑惑，以至于过渡到新课探究似乎有些牵强。
7、比较教学，突破教学难点。
片段一:初步探究算法
(1) 小芳做3朵这样的绸花, 一共用几分之几米绸带?
1.引导学生列式说理由、总结意义 (过程略)
师:不用老师讲, 你们能算吗?你能联系学过的知识解决此问题吗?请自己动笔吧。 (师巡视, 将学生不同计算过程逐一按序写与黑板)
让提供式子的学生分别说说是怎样算的, 有什么优点, 有无不足。
(通过研讨、辨析, 学生自然而然认为生4方法好)
5.你能从算式的意义这个角度进一步说明分数与整数相乘的方法吗?
6.让学生试着概括分数乘整数的计算方法, 互说交流。
……
教学反思:
课程标准指出:“教师不要急于评价各种算法, 应引导学生通过比较各种算法的特点, 选择合适方法。”学生的知识经验、思维品质各不相同, 对算法的感悟也存在着差异。教师切不可把自己的想法和观点强加于学生, 使学生被动地接受。教师要舍得放手, 要相信学生, 让每一个学生在面对数学问题时能独立思考和探究, 尽可能自己找出解决问题的方法。本片段在研究分数乘整数算法的过程中, 能为学生提供充分探索的时间和空间, 鼓励算法多样化, 对每种算法都使学生在优越性上进行比较分析, 做到既尊重学生, 又注重计算法则的抽象过程, 使他们学会理性地思考、批判性地思维。这其中学生是探索的主体, 是研究者、发现者, 突破者, 他们的理解是深刻的, 获得的知识是扎实的, 课堂教学是高效的。
片段二:巩固深化算法
出示 (2) :小华做5段这样的绸花, 一共用几分之几米绸带?
1.自己列式说理讲意义。
2.让学生独立计算。 (师巡视, 让学生将不同的过程板演于黑板)
3.分析算法。
师:比较这两种计算过程, 你们在解题时都经历了一个什么样的过程?
生:约分。
师:这两种约分的过程有什么不同?
生1:先相乘再约分。 (师:我们就简称“先乘再约”)
生2:先约再乘。
师:“先乘再约”与“先约再乘”哪种方法好, 为什么?
师:还要注意, 分子上约分的结果要写在分子上面, 分母上约分的结果要写在分母下面。
5.强化巩固。
(1) 下面各题可以先约后乘吗?谁和谁约?你有什么经验告诉同学?
(2) 计算上面各题。
教学反思:
先约再乘是分数乘除法计算中的难点, 它便于简算, 如何有效地突破这个难点, 将这个要求真正内化为学生计算的需求, 值得我们思考。我想应该是让学生在充分占有感性材料的基础上进行感悟, 在悟的基础上让学生交流和比较, 从而抽象概括出算理。适时出示正反事例让学生辨析, 通过正反例子对比、反衬, 能使学生对知识的本质有更深刻的认识。以上教学片段就是沿着感悟——明理——辨析——深入的过程引导学生充分地去思考, 引导学生去发现, 使学生的思维发生碰撞, 从而不断提升他们的数学思维能力。
一点体会:
小河中心校：许泽基
本节课是教学百分数的第一节课，通过本节课的学习，学生会说出百分比数的意义，会读写百分数，并且会区别百分数和分数区别。
上完这一节课，我觉得学生对这一节内容掌握得还是比较扎实的，绝大部分学生对百分数的读法、写法和意义都理解的比较透彻，完成后面的练习也很好。学生学习的积极性也很高，知识都是学生自己经历探索、交流得到的，充分体现了新课改的精神。
具体优点如下：
在教学材料的安排上，让学生充分收集有关百分数的资料，所以孩子们在原有知识经验的基础上，能具体谈谈每个百分数包含的具体的意义，进而总结概括出百分数的意义，并充分体会到百分数认识与我们的生活实际的紧密联系。
以学生为主体，为孩子们提供了一个可供独立思考，又开放的课堂教学环境。在教学第一个环节时，以幻灯片新式提供有关百分数时，出现了困难。我意识到此时是他们相互交流，互相合作的最好时机，我抓住这个机会，给他们合作的空间，这个问题很快得到解决。学生在总结分数与百分数意义联系和区别时，又一次遇到困难，迫切需要交流，在学生激烈的争论中，把分数与百分数意义本质上的区别和联系总结的非常完成。两次交流就把本节课的重点和难点都得到了有效
解决，学生也感受到了成功的喜悦。
尊重学生，全体参与。在教学过程中我以多种形式的教学，多媒体教学作为辅组，鼓励大胆发言，以尊重学生个性，发展学生思维为
目标，从而提高了学生的素质。
但也有很多不做之处：
1、在处理学习百分数的意义方面。没有让学生做好充足的准备，还是觉得很遗憾。虽然也让学生结助幻灯片，结合现实生活谈了百分数的意义，还是觉得学生没能亲自体会百分数在生活中是无处不存在的。还须进一步思考如何更好的使学生理解百分数的意义，让孩子们深刻领悟到意义的内涵。
2、本节课还有两个知识点我没有讲到。第一个是百分数的分数的单位，在学生会读写百分数之后，我也应该把这个内容顺势让学生理解，我没有做到。
本单元内容分为三小节，其逻辑联系性强。先学习同分母分数加减法，理解相同单位的分数相加减的算理，为异分母分数加减法的学习搭好阶梯;再学习异分母分数加减法，引入转换的思想方法，即将异分母分数转换成同分母分数计算，形成基本的分数加法运算能力;最后学习加减混合运算，学习整数加法运算律推广到分数，提高分数运算的合理性和灵活性。
本单元的教学应注重以下四个方面：
1、加强直观，凸显过程，培养数感。
学习分数加、减法的关键是让学生理解“只有相同分数单位的数才可以直接相加、减的算理”。让学生经历为了帮助学生理解，在教学过程中，一方面应注意充分利用数形结合的方法，加强直观认识，借助直观图的演示或学具操作，建立表象，理解算理;另一方面要为学生创设参与、探索、概括计算法则的空间，让学生经历观察、操作、猜想、验证的过程。鼓励学生有条理的表达自己的思考过程，揭示算理，培养数感。
2、加强对比，沟通联系，促进迁移。
本单元虽内容较少，但无不体现着知识之间的内在联系。教学中，应充分利用这种内在联系，注意对比沟通，利用学生已有的知识和经验，感悟新旧知识之间的共同点，让学生通过自己的探索学习新知，这样更能省时、突出重点，培养学生学习过程中的迁移、类推能力。
3、重视口算，强化关键，培养能力。
本单元中涉及的分数分子、分母都较小，应提倡学生口算，以便提高学生的计算熟练程度和口算能力。除此之外还应注意练习的针对性，注意指导学生的计算法则，适当省略计算步骤，简缩思维过程，培养求简思维。
4、认真审题，自觉检查，培养习惯。
2009年厦门市思明区小学数学毕业考试卷的填空题中有这样两道题:
第3小题:一瓶可乐5升, 喝了1/2升, 还剩 () 升。
第12小题:把m平方分米的纸片平均分成5份, 每份占它的 () , 每份的面积是 () 平方分米。
分数概念的教学是分数教学中最基本、最核心的内容。在小学引进分数概念是数的概念的一次重要扩展。从整数到分数, 无论在意义上、读写方法上以及计算方法上, 都有很大的差异, 而学生在生活中遇到分数又比较少, 这部分内容一直是教学中的一大难点。虽然教师在教学中反复强化练习, 但这两道题的错误率仍然很高, 前者达30.2%, 后者达19.4% (不完全统计) 。
为什么学生在建立分数的概念上产生错误呢?如何使学生更好地理解分数的两种意义?
笔者针对这一问题, 选取目前福建省较广泛使用的人民教育出版社 (以下简称人教版) 、北京师范大学出版社 (以下简称北师大版) 、江苏教育出版社 (以下简称苏教版) 三种版本的教材作为依托, 进行比较研读, 试图从教材的编写中寻找原因及对策。
二、概念错误的成因
(一) 小学数学中分数有两种实际含义
第一、分数m/n表示用B度量A的结果。用B度量A时, 把B作为单位“1”, 平均分成n份, 这样的一份叫做B的n分之一, 记作1/n, 再用1/n作为新的度量单位去量A, 量m次正好量尽, A中含有m个1/n, 就是m/n。
在上图中, 把B平均分成6份, 1份就是1/6。用分数单位1/6去量A, 量11次正好量尽, A中含有11个1/6, 就是11/6。
第二、商。即我们可将3/4看成3÷4。应当注意的是, 这里仍有两种不同的理解。 (郑毓信《国际视角下的小学数学教育》)
(1) 分配。分数m/n可以理解为把m个单位平均分成n份, 表示其中一份的数。也就是说, 分数m/n表示m除以n所得的商。例如, 把3个饼平均分给4个人, 求每人分得多少个?算式是3÷4, 商是多少呢?这在整数范围内是无法解决的, 现在我们可以这么办:
如图, 3/4就是3÷4的结果, 即3÷4=3/4。
(2) 商除。分数m/n还可以理解为数m是数n的n分之m (或m是n的m/n倍) 。3/4可以理解为3是4的3/4。
郑毓信教授在《国际视角下的小学数学教育》一书中指出:就有理数的教和学而言, 应当首先强调的一个基本事实是:有理数具有多种不同的解释, 或者说, 即是涉及到了多种不同的心理建构。其次, 就有理数的理解而言, 不能停留于某种特定的解释, 也不能将所说的各种解释看成互不相关、彼此独立的;恰恰相反, 只有将有理数的各种解释 (或者说, 相应的心理建构) 很好地联系起来, 才能达到真正的理解。从这样的角度去分析, 有理数的教学也就可以说突出地表明了“综合”与“转换”的重要性, 即是应当将同一概念的不同解释或方面加以整合, 并能根据需要在不同的解释与方面之间灵活地进行转换。
本文开头提到的学生常常出错的两道题, 学生不能很好地理解分数的两种意义, 不能根据需要在不同的解释之间灵活地进行转换, 究其根源, 笔者认为原因在于教材没有将分数的这两种解释很好地联系起来, 没有将同一概念的不同解释加以整合, 使学生无法真正地理解分数的概念。
(二) 三种版本教材的比较分析
人教版与苏教版教材在“分数的意义”的编写上基本相同, 按照小学生的认知规律, 教材有层次地呈示了本知识, 但是在概念出现的先后顺序和表述上稍有不同。 (1) 人教版教材在直观感知的基础上先概括出分数的意义, 然后再指出:一个整体可以用自然数1来表示, 通常把它叫做单位“1”。苏教版则先概括出单位“1”的概念, 接着由“大象”博士让学生说说:上面的分数分别是把单位“1”平均分成几份, 表示这样的几份?在此基础上总结归纳出分数的意义。 (2) 人教版教材中分数的意义表述为:一个物体或一些物体等都可以看做一个整体, 把这个整体平均分成若干份, 这样的一份或者几份都可以用分数来表示。苏教版教材中分数的意义表述为:把单位“1”平均分成若干份, 表示这样的一份或几份的数, 叫做分数。
北师大版教材编写有两个显著特点:一是突出对分数意义的感悟, 使学生充分认识“整体”与“部分”的关系, 深化对分数本质的理解, 教材没有出现文字表述的概念;二是创设了丰富的情境和活动, 教材中创设了“拿铅笔”“看书”“画图形”等丰富的情境和活动, 渗透分数的相对性。同时渗透“求一个数的几分之一、几分之几是多少”的问题研究, 以此深化对分数意义的理解。
从对三种版本教材编写的比较中可以看出, 三种版本的教材都只是片面地从分物引入, 没有涉及度量活动。在第一学段, 教材唯一地强调了从“部分与整体的关系”这一角度去理解分数, 甚至于在学生的知识结构中, 分数就被想象成圆的一部分。第二学段中, 苏教版教材在认识分数中给分数下的定义是:把单位“1”平均分成若干份, 表示这样的一份或几份的数, 叫做分数。人教版教材在“分数的意义”一节中对分数的概念表述为:一个物体或一些物体等都可以看做一个整体, 把这个整体平均分成若干份, 这样的一份或几份都可以用分数来表示。可以看出教材对于分数这一概念的解释角度比较单一。人教版教材第一节是分数的产生和分数的意义, 在第二节安排分数与除法的关系。苏教版例1是分数的意义和分数单位, 而把分数与除法的关系这一内容编排到例6教学。这种编排方式无形中割裂了分数的两种意义, 使学生把分数的两种解释看成是互不相关的、彼此独立的, 造成学生对分数意义的理解局限于“部分与整体的关系”这一心理图像, 从而必然造成概念错误。
三、对教材编写的一些建议
有理数的概念主要只能通过学校中的教学与学习活动才能得到建立, 特别是, 我们应创立各种情境以帮助学生很好地理解有理数的各种意义, 并能根据需要在各种意义之间灵活变换。
1.增加“测量活动”, 使学生从多个角度理解分数的产生。分数产生的真正根源在于测量。在测量中, 人们发现, 用一个长度单位去测量某个物体的长度时, 往往不能得到整数的结果。用作为标准的量去度量另一个量, 如果量若干次不能正好量尽, 就把作为标准的量平均分成若干份, 用其中的一份去量, 这时可能有两种情况:一是无论把标准量平均分成几份, 用其中的一份来度量, 都不能量尽。在这种情况下, 不能用整数来表示度量结果, 这就需要引进无理数。二是把作为标准的量平均分成若干份, 用其中的一份去度量, 恰好量尽。在这种情况下, 也不能用一个整数表示度量结果, 这就需要引进新的数——分数。
2.在一开始引入分数的概念时, 就同时渗透分数意义的两种解释, 使学生对于分数的认识不至于在早期学习中就局限于“部分与整体的关系”这一个角度。
3.第二学段中对于分数的概念定义不应只局限于“把单位‘1’平均分成若干份, 表示这样的一份或几份的数, 叫做分数”, 正确的定义是:形如m/n (n为大于0的自然数, m为自然数) 的数叫做分数。或者不对分数下明确定义, 而是指出分数m/n可以理解为:把单位“1”平均分成n份, 表示这样的m份的数。在“分数与除法”中指出分数m/n可以表示m除以n的商, 它可以理解为:把m个单位平均分成n份, 表示其中一份的数;或者表示数m是数n的n分之m (即m是n的m/n倍) 。
4.此外, 建议在分数的教学体系中引入“分数墙”这一活动课, 帮助学生将分数概念的不同方面联系起来加以整合, 从而更好地理解分数的意义。
“分数墙”教材编写建议如下:
我们一起来搭建一堵“分数墙”。
准备四条长度相等的纸条。
先将第一条贴在纸上, 设它为一个长度单位。
再将第二条平均分成两份, 并如下图所示涂上颜色。把纸条贴在纸上。
将第三条先分成二等份, 再把每等份又各分成二等份, 并如下图所示涂上颜色。把纸条贴在纸上。
将最后一条先分成二等份, 再把每等份又各分成二等份, 最后再把分成的每等份各分成二等份, 如下图所示涂上颜色。把纸条贴到纸上。
想一想, 你将这根纸条共平均分成了几份?每一份是一个长度单位的几分之几?
现在, 我们就得到了一堵“分数墙” (如下图) 。
请你依据上图, 填齐下列各式的分数。
你有什么发现?在小组里交流。
练一练:下面我们用方格纸来做“分数墙”。
一条12厘米长的纸条, 设它为一个长度单位。
仿照上图画下来, 并涂上颜色。
想一想:图中的A、B、C各是长度单位的几分之几?
填一填:
5.折纸活动。
皮亚杰理论的倡导者美国数学教育教授柯普兰写了《儿童怎样学习数学》一书。他重视数学概念性知识的作用, 认为数学学习是一种概念及概念之间关系的学习, 教师应鼓励儿童理解数学概念及其关系, 要让学生具有独立思考的机会和发现数学知识的乐趣。根据皮亚杰的理论, 他提出儿童对数学概念的理解必须由他们自己获得, 教师的责任是提供良好的教学环境, 提供适当的问题来引导儿童和少年学习。他认为数学操作活动对于学生学习数学概念具有重要作用。
折纸是儿童普遍喜爱的日常活动之一。在教学中, 为帮助学生更好地理解分数的概念以及分数乘分数的意义, 可以设计如下折一折、画一画的活动。
折一折:
(1) 这个大长方形被分成了五等份, 阴影部分是大长方形的。
(2) 在大长方形被分成五等份以后, 又将每等份平均分成三份。
想一想:
(1) 这个大长方形共被分成了多少份?
(2) 每份是这个大长方形的几分之几?
请试着用折纸的方法求下列各数:
【关键词】分数的简单计算 教学实录 分数 整数 教学设计 反思
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）11A-0090-03
教学内容：小学数学人教版三年级上册第96页，例1、2。
教材分析：《分数的简单计算》是人教版数学三年级上册的内容，是学生在认识了几分之一和几分之几，对分数有了初步认识之后，第一次接触的有关分数计算的问题。它既是对分数含义的再理解，又是对分数含义的灵活运用;既是学习分数简单计算的起始，又是今后学习分数加减计算的基础，所以这部分内容起到了承上启下的作用。
学情分析：学生已经学过了整数加减法的计算，初步认识了几分之一和几分之几，在具体的情境中列出加法算式，应该是没有问题的。考虑到学生极有可能受整数加法的影响，将[28]+[18]写成[316]，而忽视了对分数含义的理解，因此课上教师需要做的是引导学生回忆[28]、[18]的含义、通过动手操作、小组合作、展示交流、质疑释疑等方法，引导学生探究得出简单的分数加减法的算理和算法。
教学目标：
1.知识与技能：理解简单的同分母分数加减法的算理并掌握计算的方法。
2.过程与方法：通过自主探究、合作交流、动手操作等方式，培养学生的观察能力及归纳概括能力。
3.情感态度价值观：培养学生自主探索的学习理念，使之获得运用知识解决问题的成功体验。
教学重点：学会简单的同分母分数的加、减法的计算方法，能正确计算。
教学难点：说清分数简单计算的道理，正确计算。
教学过程：
（一）复习旧知，导入新课
1.依次出示图形
师：图1涂色部分可以用什么分数表示？
生1：第一幅图的涂色部分可以用[12]表示。
师：为什么用[12]来表示？
生1：一个长方形平均分成了2份，取其中一份就是它的[12]。
师：图2呢？
生2：可以用[34]表示。
师：[34]里有几个[14]？
生2：[34]里有3个[14]。
师：图3呢？
生3：第三幅图可以用[56]表示，[56]里有5个[16]。
师：图4呢？
生4：用[38]表示，[38]里有3个[18]。
师：看来同学们对前面分数的知识掌握得都不错。正好有小朋友遇到了和分数有关的数学问题，需要帮助，我们一起去帮帮忙吧！
【设计意图】第一个环节是复习环节，对于“涂色部分可以用什么分数表示”这个问题，教师依次出示4幅图，让学生复习几分之一、几分之几的含义，为后面学习同分母分数加减法做准备。
（二）探索交流，总结算法
1.同分母分数加法
（1）课件出示分西瓜的情境图
师：现在请同学们自己默读题目。（学生独立阅读题目）“求一共吃了这个西瓜的几分之几”我们可以怎样列式呢？
生：[28]+[18]=（师根据生的回答板书：例1：[28]+[18]=）
师：这道题是用“[28]+[18]”来解决的。那么它的答案究竟是多少呢？
（2）任务一：看分数涂一涂，算一算。
师：请同学们拿出任务单，借助任务一的图形动手涂一涂，看看它能不能表示。
（学生活动）
师：同学们，都完成了吗？完成的同学可以看看你的同桌和你涂的是不是一样。（引入）[28]+[18]等于多少？有两个同学是这样算的（课件出示）小明：[28]+[18]=[38]，小红：[28]+[18]=[316]。他们谁算得对？为什么？请你结合涂好的图形和同桌说一说理由。（师巡视）
谁来说一说你的想法？（学生结合自己的图汇报展示）你认为谁说的对？
生1：我认为小明说的对。因为[28]里有2个[18]，[18]里有1个[18]，合起来就是3个[18]，所以[28]+[18]=[38]。
师：你们同意吗？
生：同意。
师：还有谁能像他这样说一说你是怎样想的呢？
生2：小红把下面的分母加在了一起，然后分子相加得到[316]，她这样计算不正确。因为[28]里有2个[18]，[18]里有1个[18]，合起来就是3个[18]，所以应该等于[38]。
师：同学们听明白了吗？小红为什么没算对？有谁能把理由再说一说？
生3：[28]里面有2个[18]，[18]是1个[18]，合起来是3个[18]，所以等于[38]。
[28]+[18]=[38] 2个[18] 1个[18] 3个[18]
（根据回答，教师把算式补充完整）
（3）教师小结（相应出示课件）：刚才我们在计算“[28]+[18]”时是这样想的：[28]里面有2个[18]，加上这1个[18]，得到了3个[18]，也就是[38]，所以[28]+[18]=[38]。同学们真能干，顺利解决了问题，最后我们可不要忘了写上“答”字。（出示“答”）
【设计意图】第二个环节是探索交流。首先是对“同分母分数加法”的探究，这里教师通过具体形象的现实情境，让学生感受分数计算的价值。在探索计算过程中，教师让学生用任务单上的圆形进行涂色，辅助思考，进行计算;要求学生完成操作后，结合涂色的结果，同桌互相交流讨论[28]与[18]的和;然后汇报展示，教师结合学生回答加以引导。在学生自主探究计算的过程中，教师充分利用课件和学生的动手操作开展教学，让学生在操作与争辩中理解算理、感知同分母分数加法的计算方法;引导学生经历探究“分数的简单计算”的过程，培养学生的数感，发展学生观察、动手操作、比较、概括等能力。
2.同分母分数减法
师出示课件：[56-26]= ，问：你们能运用刚才的方法自己计算出这道题吗？请打开课本第96页，独立完成例题2。
（学生做题时，教师板书：例2：[56-26]=）
师：[56-26]你是怎样计算？有没有不明白的地方？
生：没有。
师：[56-26]等于多少？
生：[36]。（生回答时，师补充板书：[36]）
师：你们同意吗？
生：同意。
师：你能结合课本上的内容说一说你是怎样计算的吗？
生：5个[16]，小女孩拿掉2个[16]，还有3个[16]，所以[56-26=36]。
师：听清楚了吗？有谁能像他那样再说一说[56-26]是怎样计算的？
生：[56]里有5个[16]，减掉2个[16]，还有3个[16]，所以[56-26=36]。
（结合学生的回答，教师用课件演示过程）
（5）个[16]去掉（2）个[16]，剩下（3）个[16]，所以[56-26=36]。
（2）师小结：[56-26]，同学们都知道是从5个[16]，去掉2个[16]，剩下3个[16]，所以等于[36]。
（教师小结同时完成板书）例2： [56 - 26 = 36]
5个[16] 2个[16] 3个[16]
【设计意图】由于有了加法的基础，在教学同分母分数减法时，教师可以直接让学生尝试独立计算，进行知识的迁移，并通过反馈交流引导学生正确地说清算理。
3.巩固练习，归纳算法
（1）师：刚才同学们通过图形的分析，自己找出了这两道算式的答案，你们可真会开动脑筋啊！现在请同学们用同样的方法独立完成任务二的第一题。
<P：＼广西教育＼2016＼201611A＼图片＼X21.tif>
[28+58=] [36-16=]
师：第一题谁来说一说？
生1：[28+58=][78]。
师：你是怎么算的？
生1：因为2个[18]加5个[18]等于7个[18]，所以[28+58=78]。
师：第二题谁来说一说？
生2：[36-16=26]，因为[36]里有3个[16]，减1个[16]，还有2个[16]，所以[36-16=26]。
师：同学们不仅会算，还知道是怎么算出来的，真棒！
【设计意图】学习了例1、例2之后，引导学生运用同样的方法进行看图计算的练习，巩固算理。
师：这一道题没有图形给你们看了，你还会算吗？请同学们快速完成任务单上的第二题，看谁算的又快又好。
[24+14=] [27+47=]
[48+18=] [15+35=]
[46-36=] [45-25=]
[67-47=] [59-39=]
（完成后让学生汇报）
师：他做对了吗？其他同学用一个手势来判断。同学们算的又对又快。有什么窍门吗？
生1：我发现下边的分母都是一样的，分子该加就加，该减就减。
师：有谁没听懂她的意思？如果都听懂了，谁来说说她讲的是什么意思？
生2：它们的分母都是相同不变的，得数分子变了，相加或者相减。
师：（引导归纳计算方法）是的，像这样分母相同的分数加减法，分母不变，分子相加或相减。揭示课题：今天我们学习的内容就是分数的简单计算。（板书课题）
【设计意图】从“看图计算”到无图的“看谁算的又快又好”，从中让学生发现计算的窍门，培养学生的归纳概括能力。
师：好，利用刚才你们发现的方法，完成任务单上的第三题。
[38+] = [67-] =
师：有的同学已经写完了。我们要养成好的学习习惯，再认真检查运算符号有没有看错，数字写对了没有，结果有没有写错。
【设计意图】让学生运用自己发现的方法对同分母分数加减进行计算，巩固算法。
（三）闯关游戏
1.师：现在我们来玩一个闯关游戏，看看谁能打开这里的智慧大门！
出示：[（ ）5]+[（ ）5]+[（ ）5]+[（ ）5]=[45]
[（ ）5]+[（ ）5]+[（ ）5]=[45]
[（ ）5]+[（ ）5]=[45]
师：这三道算式应该怎么填呢？请同学们在草稿本上算一算，看谁能把算式补充完整。（学生独立计算后汇报，教师根据学生回答出示答案）
生1：[15+15+15+15=45]
生2：[25+15+15=45]
生3：[25+25=45]
师（追问第三小题）：可以吗？还有没有不同答案？
生4：[35+15=45]
【设计意图】设计了有关分数单位的填空练习，帮助学生更好地理解和巩固算理。
师：大家闯关成功！恭喜大家打开了第一扇智慧大门！欢迎大家来到游乐场。接下来第二扇智慧大门，你们还敢不敢挑战？（出示[35+25=] ）这道题的和是多少？我们能不能借用前边学习的方法来解决这道题呢？请同学们在草稿本上动手试一试，画一画吧！（学生活动后汇报）
生1：[55]。
师：你们同意吗？有没有不同的答案？
生2：1。
师：为什么等于“1”？
生：因为一个图平均分成了5份，取5份就是那一整个。
师：（配合课件进行说明）刚才同学们用不同的图形表示了[35+25]的和，老师也画了一个长方形来表示。看，把一个长方形平均分成5份，这里涂了3个[15]，再涂2个[15]，合起来涂了5个[15]。看，这5个[15]，刚好把这一整个长方形涂满了，我们就可以用哪个数表示？
生：1。
师：大家用画图的方法又解决了一个新问题，真能干！恭喜大家连闯两关。让我们一起来打开第二扇大门——这里是南宁市凤岭儿童公园，欢迎大家来到南宁市凤岭儿童公园。
【设计意图】借助于“和是1的同分母分数加法”这道题目，学生初步知道，当分子与分母相同时，表示取的份数与分的份数同样多，就是1。这不仅为教学例3做好了准备，而且也让学生初步体会到分数和整数的联系。
（四）全课总结
师：今天这节课我们学习了什么内容？
生：分数的简单计算。
师：计算分数加减法时，需要注意什么？
生1：分子分母相同时，就是1。
生2：计算时，分母不变，分子该加就加该减就减。
师：还有什么不明白的地方吗？
生：没有了。
【设计意图】让学生在总结中收获知识，提高学习数学的兴趣。
板书设计：
分数的简单计算
例1： [28 + 18 = 38]
2个[18] 1个[18] 3个[18]
例2： [56 - 26 = 36]
5个[16] 2个[16] 3个[16]
教后反思：
本节课是在学生认识了几分之一、几分之几的基础上学习的。在教学过程中我们把目标定位在理解分数意义上，使学生学会解决简单的有关分数加、减法的实际问题。
第一次试教，我们发现有的学生通过预习很快知道“同分母分数加减”计算时，分母不变、分子加减的计算方法，但对其所表示的意义不是很理解，只会硬套计算方法算出得数，没有理解说清算理。针对此现象，我们决定在复习引入环节中，结合图形复习分数的意义，加强学生对几分之一、几分之几含义的理解，为后面学习同分母分数加减法做准备。
第二次试教，在动手操作环节中我们决定设计任务单，“看分数涂一涂、算一算”，直接给出2个已经平均分好8份的圆，让孩子在平均分成8份的圆上表示出“[28+18]”的算式意思，把更多的时间放在学生汇报展示、说清算理上。另外，我们将课本例1静态图的思考过程，改成以动态的形式呈现，帮助学生更好地理解“[28+18]”的算理。
从课堂上学生的反馈来看，由于在复习环节设计了有针对性的分数单位的练习，以及在教学例1时注重实际操作，学生能很容易理解并说出“[28+18]”是怎样计算的。之后通过让学生反复说几个几分之几加几个几分之几等于多少，或几个几分之几减几个几分之几等于多少的练习，使学生理解、巩固了算理。
本节课的练习是比较充足、有层次的。在例1、例2学习之后，运用同样的方法进行看图计算的练习，再从“看图计算”的练习到无图的“看谁算的又快又好”，从中让学生发现计算的窍门，培养学生的归纳概括能力。从练习反馈中可以看出，学生对本节课的知识点理解得还不错。这节课体现了新课程的理念，让学生理解性地学习数学，培养了学生的学习能力，达到了预期的教学效果。
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