等比数列求和练习（共12篇）
1、有一个数列，4、10、16、22 …… 52，这个数列有多少项？
2、一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10。它的末项是多少？
3、求等差数列1、4、7、10 ……，这个等差数列的第30项是多少？ 4、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75＝（）5、2＋6＋10＋14＋ …… ＋122＋126＝（）
6、已知数列2、5、8、11、14 ……，47应该是其中的第几项？
7、有一个数列：6、10、14、18、22 ……，这个数列前100项的和是多少？ 练习题： 1、3个连续整数的和是120，求这3个数。2、4个连续整数的和是94，求这4个数。
3、在6个连续偶数中，第一个数和最后一个数的和是78，求这6个连续偶数各是多少？
4、丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中共学会了多少个单词？
5、有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
一、周期法
数列是一种特殊的函数, 所以数列中也必然存在着周期问题.有些数列题, 表面上看与周期无关, 但实际上隐含着周期性, 一旦揭示了其周期性, 问题便迎刃而解.
例1数列{an}中, a1=1, a2=2, 若对一切n∈N*有anan+1an+2=an+an+1+an+2, 且an+1an+2≠1, 则该数列前2008项的和S2008的值是_______.
解:由a1=1, a2=2, 得a3=3, 所以S3=6.
两式相减得an+1an+2 (an+3-an) =an+3-an, 又an+1an+2≠1, 所以an+3=an, 故周期T=3.
所以S2008=S2007+a2008=669S3+a1=4015.
二、并项法
有些题目可根据题目特点合理并项, 从而简化运算.
例2已知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+…+ (-1) n-1· (4n-3) .求S16的值.
解:把和式依次两项一组, 分为8组, 并项求和.
三、裂项相消法
把数列的通项分裂成几项的和或差, 求和时一些正负项相互抵消, 于是前n项的和变成首尾若干项之和, 这一求和方法称为裂项相消法.
四、拆项分组法
把数列的每一项分拆成几项, 然后重新组合, 使其化归为特殊数列 (可直接用等差数列、等比数列求和公式, 正整数平方和公式或无穷递缩等比数列求和公式) , 再进行求和, 这一求和方法称为拆项分组法.
例4求数列1×n, 2 (n-1) , 3 (n-2) , …, (n-1) 2, n×1的和.
解:由ak=k (n-k+1) =nk-k2+k (k=1, 2, …, n) .
例5数列{an}的相邻两项an, an+1是方程的两根, 又a1=2, 求无穷数列c1, c2, …, cn, …所有项的和.
故数列{a2n-1}是首项为2, 公比为的等比数列;数列{a2n}是首项为, 公比为的等比数列.
五、错位相减法
高中数学教材中推导等比数列前n项和公式的思想方法, 为我们提供了一种数列求和的重要方法, 即错位相减法.这种方法求解“等差数列{an}与等比数列{bn}对应项之积构成的数列{anbn}的求和问题”, 很奏效, 因为SnqSn (Sn为数列{anbn}的前n项和, q为数列{bn}的公比) 必是一个易于求和的形式.
得
六、倒序相加法
如果一个数列, 与首末等距离的两项之和等于首末两项之和, 则可把“正着写的和式”与“倒着写的和式”相加, 得到一个常数列的和, 这种求和方法称为倒序相加法.
七、导数法
抓住数列通项的结构特征, 启迪直觉, 类比“记忆模式”, 精心联想, 构造恒等式, 借助导数, 获得新的恒等式, 出奇制胜.
例8已知n∈N*, 求和Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn
解:由 (1+x) n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn, 两边求导得
令x=1, 得Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n·2n-1.
评注:此题也可用倒序相加法.
八、数学归纳法
有些题目可通过求出{an}的前几项之和, 猜想出Sn, 然后用数学归纳法给予严格的证明.
例9设数列{bn}的前n项之和为Sn, 满足3 (Sn+nbn) =1+2bn (n∈N*) , 求Sn.
解:因为S1=b1, 由3 (Sn+nbn) =1+2bn, 得3 (S1+S1) =1+2S1, 所以.
而b2=S2-S1, 所以3[S2+2 (S2-S1) ]=1+2 (S2-S1) , 得.
下面用数学归纳法加以证明.
(1) 当n=1时, 结论显然成立.
(2) 假设n=k时, 结论成立, 即.
由题设有3[Sk+1+ (k+1) bk+1]=1+2bk+1, 得.
又因为Sk+1=Sk+bk+1, 所以, 解得.
这就是说n=k+1时, 结论亦成立.
根据 (1) 、 (2) , 对于n∈N*, 总成立.
九、通项法
通项法是指求出数列的通项公式, 借助数列通项公式研究其规律, 进而解决问题的方法, 是一种重要的数列求和方法.
所以, 原式, 故选 (C) .
例11已知等差数列{an}的公差d≠0, 在{an}中取出部分项ak1, ak2, ak3, …, akn恰好为等比数列, 其中k1=1, k2=5, k3=17.求数列{kn}的前n项和Sn.
因为 (a1+4d) 2=a1 (a1+16d) a1=2d, 所以ak2=6d, 所以q=3.
所以akn=a1+ (kn-1) d= (kn+1) d, akn+1= (kn+1+1) d.
所以kn+1=2×3n-1, 所以kn=2×3n-1-1, 所以Sn=3n-n-1.
十、综合法
将自己置身于解题的更高境界:灵活运用数学思想方法, 高屋建瓴, 把握知识的本质和内在规律, 迅速找到突破口, 机智转化, 绕过难点, 顺利获解.
1.学习一个数学公式的基本任务有哪些？
（1）等差数列、等比求和公式内容是什么？公式怎么用？
（2）推导公式的方法怎么用？
2.拿到一个新题目怎么想？
（1）现有的相关公式能否用上？
（2）非等差、等比数列求和能否化为等差、等比数列求和？
（3）已经用过的相关方法能否用上？
问题一：求数列，，，…，，…的前n项和;
分析：数列的分子成等差数列，分母成等比数列，可用错位相减法求和;
Sn=+++…++其中等比数列的公比q=;
Sn=+++…++;
两式错位相减得：
Sn=++++…-
=-+2（++++…+）-
∴Sn=3-
小结：设数列an的等比数列，数列bn是等差数列，则数列anbn的前n项和Sn求解，均可用错位相减法.
问题二：已知a≠0，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…前n项和.
点拨：字母的系数等差，字母项等比，但需要对字母讨论.
解：Sn=a+2a2+3a3+…+nan，
当a=1时，Sn=1+2+3+…+n=，
当a≠1时，Sn=a+2a2+3a3+…+nan，
aSn=a2+2a3+3a4+…+nan+1，
两式相减（1-a）Sn=a+a2+a3+…+an-nan+1，
=-nan+1
∴Sn=.
小结：采用乘公比，错位相减，可以得到一组等比数列，求和用公式但必须注意公比是否为1，否则须讨论.
问题三：设Sn=-1+3-5+7-9+…+（-1）n（2n-1），则Sn=（-1）nn
方法一：分析：由此数列的通项an=（-1）n（2n-1）;其是等差数列与等比数列的积这一类型的数列求和，故用错位相减法.
所以Sn=-n（n为奇数）
n（n为偶数），即Sn=（-1）nn.
总结：一个数列cn可以看成是一个以公差为d的等差数列（d不等于零）和一个是公比为q的等比数列（q不等于1）的乘积形式，则数列cn的前n项求和的方法可采用做错位相减法.
方法二：分析：通过观察可发现此数列具有正负相间，且正数项和负数项分别成等差数列这一特征.因此可以将正数项和负数项分别进行分组求和.但此数列有多少正数项和负数项呢？还要对项数n的奇偶性进行讨论.
略解：Sn=-n（n为奇数）
n（n为偶数），即Sn=（-1）nn.
总结：我们通过分组转化成两个等差数列，然后通过已有的等差数列求和求解。这种方法叫做分组求和法。
方法三：分析：通过观察可发现此数列具有这样的特征，即第一项与第二项，第三项与第四项，第五项与第六项，……，第n-1项与第n项的和都等于2，共多少个2呢？还要对项数n进行奇偶性讨论.
总结：通过将数列相邻的两项并成一项得到一个新的容易求和的数列，这种方法叫做并项求和。
通过对以上问题几种方法的探讨，不难看出，实际上所有与项的序号的奇偶性有关的数列求和问题，通过认真审题，抓住数列的通项，灵活地运用分类讨论、转化和化归数学思想，就可将其变为熟悉、简单的等差数列或等比数列来处理，辅助以适当的解题方法技巧，问题就会迎刃而解.
教学目标
（一）知识与技能目标
数列求和方法．
（二）过程与能力目标
数列求和方法及其获取思路．
教学重点：数列求和方法及其获取思路． 教学难点：数列求和方法及其获取思路．
教学过程
1．倒序相加法：等差数列前n项和公式的推导方法：（1）Sna1a2an2Snn(a1an)
Snanan1a112223210222 例1．求和：2110222923282101分析：数列的第k项与倒数第k项和为1，故宜采用倒序相加法．
小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其前n项和.2．错位相减法：等比数列前n项和公式的推导方法：
（2）Sna1a2a3an(1q)Sna1an1 qSaaaa23nn1n23n例2．求和：x3x5x(2n1)x(x0)
3．分组法求和
1的前n项和； 161例4．设正项等比数列an的首项a1，前n项和为Sn，且210S30(2101)S20S100
2例3求数列1,2,3,4（Ⅰ）求an的通项；（Ⅱ）求nSn的前n项和Tn。例5．求数列 1, 1a, 1aa,,1aaa121418,的前n项和Sn.n(n1)解:若a1,则an111n, 于是Sn12n;2 n1a1 若a1,则an1aan1 (1an)1a1a1a1a21an11a(1an)2n于是Sn [n(aaa)][n]
1a1a1a1a1a1a111 1212312n22n14．裂项法求和 例6．求和：12112()，n(n1)nn11111112n Sna1a2an2[(1)()()]2(1)223nn1n1n1解：设数列的通项为an，则an例7．求数列112,1231,,1nn1,的前n项和.解：设annn11n1n
（裂项）
1nn1则 Sn12312
（裂项求和）
＝(21)(32)(n1n)
＝n11
三、课堂小结：
1．常用数列求和方法有：
(1)公式法: 直接运用等差数列、等比数列求和公式;(2)化归法: 将已知数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题；(3)倒序相加法: 对前后项有对称性的数列求和；
(4)错位相减法: 对等比数列与等差数列组合数列求和；(5)并项求和法: 将相邻n项合并为一项求和；(6)分部求和法：将一个数列分成n部分求和；
(7)裂项相消法：将数列的通项分解成两项之差，从而在求和时产生相消为零的项的求和方法.四、课外作业： 1．《学案》P62面《单元检测题》 2．思考题
11146前n项的和.481612n2（2）．在数列{an}中，an，又bn，求数列{bn}的前n项的和.n1n1n1anan12（1).求数列：（3）．在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.解：设Snlog3a1log3a2log3a10
由等比数列的性质 mnpqamanapaq
（找特殊性质项）和对数的运算性质 logaMlogaNlogaMN
得
Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6)
（合并求和）
＝(log3a1a10)(log3a2a9)(log3a5a6)
＝log39log39log39
一、教学目标：
1、知识与技能
让学生掌握数列求和的几种常用方法，能熟练运用这些方法解决问题。
2、过程与方法
培养学生分析解决问题的能力，归纳总结能力，联想、转化、化归能力，探究创新能力。
3、情感,态度,价值观
通过教学，让学生认识到事物是普遍联系，发展变化的。
二、教学重点：
非等差,等比数列的求和方法的正确选择
三、教学难点：
非等差,等比数列的求和如何化归为等差,等比数列的求和
四、教学过程：
求数列的前n项和Sn基本方法：
1.直接由等差、等比数列的求和公式求和，等比数列求和时注意分q=
1、q≠1的讨论； 2.分组求和法：把数列的每一项分成几项，使转化为几个等差、等比数列，再求和； 3.裂项相消法：把数列的通项拆成几项之差,使在求和时能出现隔项相消(正负相消),剩下（首尾）若干项求和.如:
设计意图：
让学生回顾旧知，由此导入新课。
[教师过渡]：今天我们学习《数列求和》第一课时，课标要求和学习内容如下:(多媒体课件展示)导入新课：
[情境创设](课件展示): 例1：求数列 112,214,318,,101210,,n1n,2 的前n项和。
[问题生成]：请同学们观察否是等差数列或等比数列？
设问：既然不是等差数列，也不是等比数列，那么就不能直接用等差，等比数列的求和公 式，请同学们仔细观察一下此数列有何特征
111111，3，5，7，9，的前项和。2481632n 练习1.求数列
22n-1 练习2.求数列1，1+2，1+2+2，···，1+2+2+···+2，···.的前n项和。
例2：求数列1111，…的前n项和。，,......122334n(n1)[教师过渡]：对于通项形如an裂项相消求和方法
练习3.求和
练习4..求和sn1（其中数列bn为等差数列）求和时，我们采取
bbbn11121231nn1
[特别警示] 利用裂项相消求和方法时，抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，才能使裂开的两项差与原通项公式相同。
五、方法总结：
公式求和：对于等差数列和等比数列a的前n项和可直接用求和公式.分组求和：利用转化的思想,将数列拆分、重组转化为等差或等比数列求和.裂项相消：对于通项型如an1（其中数列bn为等差数列）的数列,在求和时
bbbn1将每项分裂成两项之差的形式,一般除首末两项或附近几项外,其余各项先后抵消,可较易求出前n项和。
一、通项分解法
将数列中的每一项拆成几项, 然后重新分组, 将一般数列的求和问题转化为特殊数列的求和问题, 把这种方法称为通项分解法, 运用这种方法的关键是通项变形.
例1 ( 2010. 全国卷Ⅱ文) 已知{ a n } 是各项均为正数的等比数列, 且a1+ a2= 2 (1/a1+1/a2) , a3+ a4+ a5= 64 (1/a3+1/a4+1/a5) , 1求{ an} 的通项公式;
②设b n = (a n + 1/a n ) 2 , 求数列{ b n} 的前n项和T n .
解析①设公比为q, 则a n = a 1 qn - 1, 由已知有
所以an= 2n - 1.
二、裂项相消法
裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆成两项或多项, 使这些拆开的项出现有规律的相互抵消, 把没有抵消掉的合并化简, 从而达到求和目的.
例2 ( 2010山东理) 已知等差数列{ an } 满足: a3 = 7, a 5 + a 7 = 26, { a n } 的前几项和为Sn . ①求an 及Sn , ②令bn =1 / (a2 n - 1) ( n∈N+) , 求数列{ bn } 的前几项和 Tn .
解①设等差数列{ an } 的首项为a1 , 公差为d, 由于a 3 = 7, a 5 + a 7 = 26.
由公式知an= 2n + 1, Sn= n ( n + 2) .
②因为a n = 2n + 1, 所以a2 n - 1 = 4n ( n + 1) ,
因此b n =1/ 4n ( n1 + 1) = 1/4 (1/ n - 1/ (n + 1 ) )
故 T n = b 1 + b 2 + … + b n = 1/4 ( 1 - 1 /2 + 1/ 2 - 1/3 + … +1/ n - 1/n + 1 ) =1 /4 (1 - 1 /n+ 1 ) = n/4 ( n + 1 ) .
所以数列{ b n } 的前几项和T n =n/ 4 ( n + 1) .
三、错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成, 则求和可采用错位相减法. 运用此方法时, 一般和式比较复杂, 运算量大, 易会不易对, 应特别细心, 解题时若含参数, 要注意分类讨论.
例3 ( 09山东) 等比数列{ an} 的前n项和为Sn, 已知对任意的n∈N+, 点 ( n, Sn) 均在函数y = bx+ r ( b > 0且b≠1, b、r均为常数) 的图像上, 1求r的値;
2当 b = 2 时, 记 bn=n + 1/4a n ( n∈N+) , 求数列{ bn} 的前几项和T n .
解析①由题意, S n = bn+ r, 当n≥2时, S n - 1 = bn - 1+ r,
解析①由题意, S n = 所以a n = S n - S n - 1 = bn - 1 ( b -1) .
由于b >0且b≠1, 所以当n≥2时, { a n } 是以b为公比的等比数列
又 a 1 = b + r, a 2 = b ( b - 1) , a 2 /a 1 = b, 即b ( b - 1) / (b + r) = b.
∴ r = - 1.
②由①知, n∈N+, a n = ( b - 1 ) bn - 1, 当b = 2时, a n = 2n - 1.
[关键词] 数列；求和；列项；（-1）n
数列是高中数学的重要内容，是高考的热点，也是进一步学习数学的基础，因此高考对这部分知识的考查的题型多样. 在必修部分内容中解答题的难度也是较高的. 纵观近几年的高考，关于数列的考查主要有以三个方面的内容：一是数列本身的知识，主要是等差数列、等比数列概念、通项公式、性质、前n项和公式；二是数列与其他知识的交汇，如与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何等知识的结合；三是数列的应用问题，主要是增长率、分期付款等.数列的通项以及求和问题是重点，也是这几年考试的热点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一. 2015年3月青岛市一模考试数学理科卷19题与2014年山东高考数学理科卷第19题如出一辙，把大家又一次聚焦到了数列裂项求和符号调节器（-1）n的作用上，对此本文尝试做一些分析.
首先，我们从2015年3月青岛市一模考试数学理科卷19题目和解法入手.
已知数列{an}是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10=19，S10=100；数列{bn}对任意n∈N*，总有b1·b2·b3·…·bn-1·bn=an+2成立.
拓展思考一：通项公式具有什么特点时适合裂和？
观察该数列通项公式cn=（-1）n·，不难发现，分母2n-1与2n+1的和恰好为分母4n，适合裂和.
又如：2013年高考数学江西卷理科第17题的第二问正是这样一个混合型的裂解，在第一问中已经求出an=2n，第二问中令bn=，数列{bn}的前n项和为Tn. 要求证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.
在平日教学过程中，只要我们善于发现，不断总结，总会有“创新的火花”在闪烁，这些难能可贵的见解也是对课堂教学的补充与完善，可以不断拓宽教师的教学思路，提高教学水平，促进教师的专业化成长.
一.等比数列求和的教学基础
1.知识结构
先用错位相减法推出等比数列前项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前n项.
2.重点、难点分析
教学重点、难点是等比数列前 项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法(如分类讨论思想，错位相减法等)，这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前n项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是掌握推导公式的方法.等比数列前n项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意 q=1和q=1两种情况.
3.学习建议
①本节内容分为两课时，一节为等比数列前 项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前 项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题.
②等比数列前n项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总结，证明结论
③等比数列前n项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣
④编拟例题时要全面，不要忽略 的情况.
⑤通项公式与前n项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，但解指数方程难度大
⑥补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.
二、等比数列求和公式
一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数，且数列中任何项都不为0，
即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)， 这个数列叫等比数列，其中常数q 叫作公比。
如： 2、4、8、16......2^10 就是一个等比数列，其公比为2， 可写为 an=2×2^(n-1) 通项公式 an=a1×q^(n-1);
1.通项公式与推广式
推广式：an=am×q^(n-m) [^的意思为q的(n-m)次方];
2.求和公式
Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) S∞=a1/(1-q) (n->∞)(|q|<1) (q为公比，n为项数)
3.等比数列求和公式推导
①Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)
②q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1)
③Sn-q*Sn=a1-a(n+1)
④(1-q)Sn=a1-a1*q^n
⑤Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)
⑥Sn=(a1-an*q)/(1-q)
⑦Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
4性质 简介
①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq;
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列; 等比数列的性质
③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2;
④ 若G是a、b的等比中项，则G^2=ab(G ≠ 0);
⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零
三.学习等比数列的方法
1知识与技能目标
理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题.
2.过程与方法目标
通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质.
3.情感、态度与价值目标
通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.
4..教学重点、难点
①重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用. 突出重点的方法：“抓三线、突重点”，即一是知识技能线：问题情境→公 式推导→公式运用;二是过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般→错位相减法→数学思想;三是能力线：观察能力→初步解决问题能力
我们把诸如“1k，2k，……，nk（k为自然数）”之类的数列叫做幂数列。如1，2，……，n；12，22，……，n2；13，23，……，n3；14，24，……，n4等。
下面几个公式经数学归纳法证明是正确的：
n(n+1)n2+n=1+2+……+n=，2232n(n+1)(2n+1)2n+3n+n222+n==1+2+……，66432n(n+1)n+2n+n3]2=13+23+……+n=[，245436n+15n+10n-n444+n=1+2+……，3065422n+6n+5n-n515+25+……+n=，1276536n+21n+21n-7n+n661+2+……+n=，426876423n+12n+14n-7n+2n717+27+……+n=，249875310n+45n+60n-42n+20n-3n881+2+……+n=，90810986422n+10n+15n-14n+10n-3n919+29+……+n=，206n11+33n10+55n9-66n7+66n5-33n3+5n1+2+……+n=。
66101010我们把这几个公式叫做幂数列前n项和公式，其中前三个已出现在高中课本上。出人意料的是，这些公式并不随着
幂次数的增高而变得像我们想象的那样复杂，等号右端次数虽高，但项数并不是特别的多，因为某些项被消掉了。并且各项的系数的绝对值也都还没超过1。这些公式是怎样推导出来的呢？
下面以4次幂数列为例介绍一个推导方法。我们先看一个展开式: n(n+1)(n+2)(n+3)=n4+6n3+11n2+6n, 由这个展开式可得n4=n(n+1)(n+2)(n+3)-6n3-11n2-6n。
取n=1，则14=1234-6-11-6，取n=2，则24=2345-623-1122-62，……
这些等式两端分别相加得
34+2345+……+n(n+1)(n+2)(n+3)]-6(13+23+14+24+……+n4=[12……+n3)-11(12+22+……+n2)-6(1+2+……+n)
为了计算中括号里边的值，我们先举一个例子：计算
101102103的值。式子1234+2345+3456+……+100按常规算法，这300次乘法计算和99次加法计算即使使用计算器恐怕1小时之内很难完成任务。若各项都乘5，得12345+23455+34565+……+1001011021035，这样前两项相加得23456,再加第三项得34567，依此类推，加到最后一项，101102103104，故得数应是1001234+2345+3456+……+1001011021031=（100101102103104），由此猜想5
1234+2345+3456+……+n(n+1)(n+2)(n+3)1=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)，5所以
234+2345+……+n(n+1)(n+2)(n+3)]14+24+……+n4=[1322-6(13+23+……+n)-11(1+2+……+n2)-6(1+2+……+n)，1其中方括号里边的值为n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4),再把1，2，3
5次幂数列求和公式分别代入上式并化简，得
5436n+15n+10n-n441+2+……+n=。
304这个公式的正确性可用数学归纳法来证明，证明过程如 下: 6+15+10-1=1，公式显然成立；假设n=k时公式取n=1，则
306k5+15k4+10k3-k也成立，即1+2+……+k=，则n=k+1时有
304445436k+15k+10k-k444+(k+1)4= 1+2+……+(k+1)=306k5+45k4+120k3+15k2+119k+30，而306(k+1)5+15(k+1)4+10(k+1)3+(k+1)6k5+45k4+120k3+15k2+119k+30=，30306k5+15k4+10k3-k6k5+45k4+120k3+15k2+119k+304+(k+1)=所以。这3030就证明了当n=k+1时公式也成立。通过以上证明可知，n取任 3
5436n+15n+10n-n444+n=何自然数公式1+2+……都成立。
【关键字】高中数学；数列；求和；转化
中图分类号：G633.6
数列是一种特殊的函数，其应用在高考中占有重要的地位，考察了同学们的逻辑思维能力、推理能力、谨慎性以及灵活性。笔者作为教学中的主导，在教学过程中引导同学们探究数列求和的技巧与关键，促进教学目标高效的完成。
一、叠加叠乘，引导转化
数列求和有很多求解的方法，包括倒序相加法、拆项重组法、裂项相消法、错位相减法、叠加法、叠乘法等等。为了深化同学们对每一种求和方法的应用，在教学时可以开展专题性的讲解，本文以叠加叠成这一专题教学为例，重点进行探讨。
在数列的学习中，等差数列与等比数列是可以直接根据公式进行运算的，借助公式能够使运算变得非常简单。对于一些特殊的数列，同学们通过叠加或叠乘这样转化，能够将递推數列转化为可以直接应用公式的等差或等比数列，或一些求和简单的数列，根据其通项公式进行求解。然而同学们总是不能避免走一些弯路，没有进行正确转化，造成运算非常复杂，解题思路不对。因此，我通过让同学们练习一系列的求和问题，去领悟运用叠加叠乘的方法及相关类型数列的特点。例如，已知a1=1，an+1=an+2n，求数列的和Sn。对于这道问题，直接利用递推公式求解Sn是非常困难的。首先应当根据递推公式求出an的通项公式，这里就用到的是叠加法。由递推公式可得a2-a1=2，a3-a2=2*2，a4-a3=2*3，……，an-an-1=2n-1，将这n-1个式子相加可得an=1+2+2*2+2*3+……2n-1，化简得到an=1+2（1+2+3+……n-1）= n（n-1）+1=n2-n+1。Sn=（12+22+32+ ……+n2）-（1+2+3+……+n）+n=n（n+1）（n+2）/6-n（1+n）/2+n，得解。通过对若干运用累加法求和问题，我引导同学们去探究总结其中的规律，最终同学们发现，对于an+1=an+f（n）这种形式的递推数列，应当通过叠加法求其通项公式，当f（n）是一个常数时，数列是等差数列。同样的方式，我再引导同学们进一步探究叠乘法的应用。
在上述教学活动中，我通过展开专题讲解，引导同学们去深入探究每一种求和的方法，有助于促进同学们扎实基础，落实基本功，从而灵活的运用这些方法解决综合性问题，提高解决问题的能力。
二、自行编纂，凸显层次
教师的教学要注重层次性，每个同学的理解能力有高有低，对知识的吸收程度不同，因此教师在让同学们进行习题练习时，也要注重层次性，从易到难，从浅到深，使不同层次的学生都有所收获。
比如，我通过自行编纂习题，充分注意题目的难易程度，使同学们一步一步的获得能力提升。最开始我会要求同学们能够充分的理解与运用等比数列及等差数列的公式，严格遵守公式应用的条件。例如在求等比数列的和时，如果公比不是一个已知的常数，那么同学们在求和时一定要分为公比为1和公比不是1这两种情况。接下来同学们需要学会通过进行一定的变形进而应用等比数列或等差数列的求和公式求解。例如一些数列既不是等差数列，也不是等比数列，但是通过将数列进行适当的拆分，可以分为几个等差数列、等比数列或者常见的数列，这种方法即为分组求和法，是比较简单的变形。其次还有错位相减求和这一方法，同学们通过设置错位，相减之后得到一个等式，等式一边是含有Sn这一参数的简单式子，通常为（1-x）Sn，等式右边可以利用等比数列求和公式进行化简，最终得到Sn。接下来同学们需要掌握一些复杂的变形求和，例如裂项相消法的运用。
在上述教学活动中，我通过有层次性和递进性的开展教学内容，使不同水平的同学都尽可能的学到知识，水平低的同学可以掌握求和的基本方法，会求解简单例题，而水平高的同学在教学中不断地获得提升，很大程度上提高了课堂的效率。
三、高度预见，对症下药
根据历年的教学经验，教师是可以预见性的估计同学们可能会出现问题，发现那些知识是同学们的薄弱之处。教师通过有针对性的对症下药进行设计，可以有效的促进同学们攻克重点难点，提高数学知识水平。
比如，在对数列的求和问题进行教学时，我发现同学们对数列的性质掌握的并不是很好，经常会混淆。为了使同学们充分的吸收这部分知识，我对症下药，就这部分知识有针对性的进行了备课，以帮助同学们有效的梳理。我首先出了一道典型例题让同学们自主解答，例如，等差数列的{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和。通过观察同学们的解题过程，我发现有部分同学果然按我所预计的，将通项性质与前n项和的性质混淆了。我采用不点名的方式将其错误答案在黑板上板书出来，让同学们来分析一下错误之处。错误答案如下：由于Sm，S2m，S3m成等差数列，所以2S2m=Sm+S3m，S3m=2*100-30=170。同学们纷纷回答是错的，Sm，S2m，S3m并不成成等差数列。我对同学们说 ：“那同学们能用具体的数据告诉我为什么不成等差数列吗？”同学们是通过举例的方法说明了这一问题，Sm=m（a1+am）d/2，S2m= 2m（a1+a2m）d/2，S3m=3m（a1+a3m）d/2，给m、d、a1赋予具体的数值可以计算出三者并不成等差数列。我继续提问：“那么这道题应该怎么做呢？”同学们回答到，Sm，S2m-Sm，S3m- S2m成等差数列，公比为m2d，所以2（S2m-Sm）= Sm+S3m- S2m，代入数值得S3m=210。为了让同学们都能深入的理解这一性质，我引导同学们再一次证明了 Sm，S2m-Sm，S3m- S2m为何成等差数列，以及公差的公式，有助于同学们对其产生更深的记忆。
在上述教学活动中，我通过设计问题，让同学们先出现错误，然后对其进行针对性的讲解与指导，使同学们意识到求和问题的关键，从而产生更深的理解与认识，高效的达成了教学目标。
综上所述，教师在教学过程中，通过对重点的求和方法进行专题讲解、选配具有层次性的典型例题进行训练、对可能出现的问题进行针对性的设计等策略，能够有效的提高教学效率，让同学们更好的吸收和运用数列求和的知识，实现高效的数学课堂。
参考文献：
[1]岳玉科.《数列求和》教学案例谈新教材的有效研究探索[J].昭通师范高等专科学校学报，2011（S1）.
数列是高中数学的重要内容, 因而也是高考的重点内容之一, 数列求和更是学生在高考试题中更应得分的知识点与基本题型, 数列求和是历年高考中必定考查的内容, 由简到难, 但是都无外乎常见的几种方法, 都离不开解题的本质.从近三年的高考情况来看:利用定义法、倒序相加法和错位相减法求数列的前项和一直是考查的重点.本文归纳总结数列求和的几种方法, 并举例进行分析.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.牢记等差数列和等比数列的求和公式, 利用公式求和是一切求和方法的根本.在牢记公式的基础上, 要学会灵活应用公式, 会利用公式的变形进行求和.
1.等差数列求和公式:.
2.等比数列求和公式:.
3.特殊公式:
例1已知, 求x+x2+x3+…+xn+…的前n项和.
解:由,
由等比数列求和公式得.
例2已知等比数列{an}中, a1=1/3, 公比q=1/3.
(Ⅰ) Sn为{an}的前n项和, 证明:.
(Ⅱ) 设bn=log3a1+log3a2+…+log3an, 求数列{bn}的通项公式.
解: (Ⅰ) 因为,
所以.
所以{bn}的通项公式为.
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法, 这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和, 其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
例3求数列, …前n项的和.
解:由题可知, 的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列的通项之积.
所以.
【点评】错位相减求和的关键是查找好对应的项, 尤其是最后一项在作差后的符号, 解此种类型题关键是学生对结果的整理.
例4 等比数列{an}的前n项和为Sn, 已知对任意的n∈N*, 点 (n, Sn) 均在函数y=bx+r (b>0且b≠1, b, r均为常数) 的图象上.
(Ⅰ) 求r的值;
(Ⅱ) 当b=2时, 记 (n∈N*) , 求数列{bn}的前n项和Tn.
解: (Ⅰ) 由题意, Sn=bn+r, 当n≥2时, Sn-1=bn-1+r,
所以an=Sn-Sn-1=bn-1 (b-1) .
由于b>0且b≠1,
所以n≥2时, {an}是以b为公比的等比数列,
又a1=b+r, a2=b (b-1) , ,
即, 解得r=-1.
(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, n∈N*, an= (b-1) bn-1=2n-1,
两式相减得,
三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法, 就是将一个数列倒过来排列 (反序) , 再把它与原数列相加, 就可以得到n个 (a1+an) .如果一个数列, 那么与首末等距离的两项之和等于首末两项之和, 则可把“正着写的和式”与“倒着写的和式”相加, 得到一个常数列的和, 这种求和方法就可看作是灵活利用公式求和的典型, 称为倒序相加求和法.
例5求证:Cn0+3Cn1+5Cn2+…+ (2n+1) Cnn= (n+1) 2n.
证明:设
把 (1) 式右边倒转过来得
Sn= (2n+1) Cnn+ (2n-1) Cn-1n+…+3C1n+C0n.
又由Cnm=Cnn-m可得
(1) + (2) , 得
2Sn= (2n+2) (C0n+C1n+…+Cn-1n+Cnn) =2 (n+1) ·2n.
所以Sn= (n+1) ·2n.
例6 求sin2 1°+sin2 2°+sin2 3°+…+sin2 88°+sin2 89°的值.
解:设
将 (1) 式右边反序得
又因为sin x=cos (90°-x) , sin2 x+cos2 x=1.
(1) + (2) 得2S= (sin2 1°+cos2 1°) + (sin2 2°+cos2 2°) +…+ (sin2 89°+cos2 89°) =89,
所以S=44.5.
四、分组法求和
有一类数列, 既不是等差数列, 也不是等比数列, 若将这类数列适当拆开, 可分为几个等差、等比或常见的数列, 然后分别求和, 再将其合并即可.
例7 求数列的前n项和:
解:设,
将其每一项拆开再重新组合得
当a=1时, ,
当a≠1时,
例8 求数列{n (n+1) (2n+1) }的前n项和.
解:设ak=k (k+1) (2k+1) =2k3+3k2+k,
所以.
将其每一项拆开再重新组合得
例9 (2011·山东) 等比数列{an}中, a1, a2, a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数, 且a1, a2, a3中的任何两个数不在下表的同一列.
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ) 若数列{bn}满足:bn=an+ (-1) ln an, 求数列{bn}的前n项和Sn.
解: (Ⅰ) 当a1=3时, 不合题意;
当a1=2时, 当且仅当a2=6, a3=18时, 符合题意;
当a1=10时, 不合题意.
因此a1=2, a2=6, a3=18,
所以公式q=3, 故an=2·3n-1.
所以,
所以当n为偶数时,
当n为奇数时,
综上所述, .
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项 (通项) 分解, 然后重新组合, 使之能消去一些项, 最终达到求和的目的.通项分解 (裂项) 如:
例10求数列, …的前n项和.
解:设,
例11在数列{an}中, , 求数列{bn}的前n项的和.
解:因为,
所以.
所以数列{bn}的前n项和
例12已知等差数列{an}满足:a3=7, a5+a7=26.{an}的前n项和为Sn.
(Ⅰ) 求an及Sn;
(Ⅱ) 令, 求数列{an}的前n项和Tn.
本小题主要考查等差数列的基本知识, 考查逻辑推理、等价变形和运算能力.
解: (Ⅰ) 设等差数列{an}的首项为a1, 公差为d,
由于a3=7, a5+a7=26,
所以a1+2d=7, 2a1+10d=26.解得a1=3, d=2.
由于an=a1+ (n-1) d, ,
所以an=2n-1, Sn=n2+n.
(Ⅱ) 因为an=2n-1, 所以a2n-1=4n (n+1) ,
所以数列{bn}的前n项和.
例13 求证:.
解:设.
因为, (裂项)
所以原等式成立.
六、合并法求和
针对一些特殊的数列, 将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质, 因此, 在求数列的和时, 可将这些项放在一起先求和, 然后再求Sn.
例14 求cos 1°+cos 2°+cos 3°+…+cos 178°+cos 179°的值.
解:设Sn=cos 1°+cos 2°+cos 3°+…+cos 178°+cos 179°,
因为cos n°=-cos (180°-n°) ,
所以Sn= (cos 1°+cos 179°) + (cos 2°+cos 178°) + (cos 3°+cos 177°) +…+ (cos 89°+cos 91°) +cos 90°=0.
例15 在各项均为正数的等比数列中, 若a5a6=9, 求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
解:设Sn=log3a1+log3a2+…+log3a10.
由等比数列的性质m+n=p+q圯aman=apaq和对数的运算性质logaM+logaN=logaM·N得
（三）等差数列求和
知识精讲
一、定义：一个数列的前n项的和为这个数列的和。
二、表达方式：常用Sn来表示。
三：求和公式：和(首项末项)项数2，sn(a1an)n2。
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：
(思路1)1239899100
101505050
（1100）（299）（398）（5051）共50个101(思路2)这道题目，还可以这样理解：
和=12349899100+和100999897321 2倍和101101101101101101101101505050。即，和(1001)100
2四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
（436）922091800，譬如：① 48123236题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209；
（165）33233331089，② 656361531题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333。
例题精讲： 例1：求和：
（1）1+2+3+4+5+6 =（2）1+4+7+11+13=（3）1+4+7+11+13＋„＋85= 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29 和=（1+85）×29÷2=1247 答案：（1）21（2）36（3）1247
例2：求下列各等差数列的和。
（1）1+2+3+4+„+199（2）2+4+6+„+78（3）3+7+11+15+„+207 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900 答案：（1）19900（2）1160（3）5355
例3：一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列的和是多少？
分析：根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：8756
答案：56
例4：求1+5+9+13+17„„+401该数列的和是多少。
分析：这个数列的首项是1，末项是401，项数是（401-1）÷4+1=101，所以根据求和公式，可有：
和=（1+401）×101÷2=20301 答案：20301
例5：有一串自然数2、5、8、11、„„，问这一串自然数中前61个数的和是多少？
分析：即求首项是2，公差是3，项数是61的等差数列的和，根据末项公式：末项=2+（61-1）×3=182 根据求和公式：和=（2+182）×61÷2=5612 答案：5612
例6：把自然数依次排成“三角形阵”，如图。第一排1个数；第二排3个数；第三排5个数；„
求：
（1）第十二排第一个数是几？最后一个数是几？
（2）207排在第几排第几个数？
（3）第13排各数的和是多少？
分析：整体看就是自然数列，每排的个数的规律是1,3,5，7...即为奇数数列 若排数为n（n≥2de 自然数)，则这排之前的数共有（n-1）（n-1)个。
（1）第十二排共有23个数。前面共有（1+21）×11÷2=121个数，所以第十二排的第一个数为122，最后一个数为122+（23-1）×1=144（2）前十四排共有196个数，前十五排共有225个数，所以207在第十五排，第十五排的第一个数是197，所以207是第（207-197=10）个数
（3）前十二排共有144个数，所以第十三排的第一个数是145，而第十三排共有25个数，所以最后一个数是145+（25-1）×1=169，所以和=（145+169）×25÷2=3925 答案：（1）122；144（2）第十五排第10个数（3）3925
例7：15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？
分析：由中项定理，中间的数即第8个数为：199515133，（158）147。所以这个数列最大的奇数即第15个数是：1332答案：147。
例8：把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？ 分析：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45。
即第1个数是15，第6个数是40。答案：第1个数：15；第6个数：40。
例9：已知等差数列15，19，23，……443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？
分析：公差=19-15=4 项数=（443-15）÷4+1=108 倒数第二项=443-4=439 奇数项组成的数列为：15，23，31„„439，公差为8，和为（15+439）×54÷2=12258 偶数项组成的数列为：19，27，35„„443，公差为8，和为（19+443）×54÷2=12474 差为12474-12258=216 答案：216
例10：在1~100这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少？
分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在1~100中，我们很容易知道能被9整除的最小的数是991，最大的数是99911，这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一
（999）112594． 共有：111111项，所以，所求数的和是：9182799也可以从找规律角度分析． 答案：594
例11：一串数按下面的规律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6„„问：从左面第一个数起，前105个数的和是多少？
分析：这些数字直接看没有什么规律，但是如果3个一组，会发现这样一个数列：6,9,12,15......即求首项是6，公差是3，项数是105÷3=35的和
末项=6+3×（35-1）=108
和=（6+108）×35÷2=1995 答案：1995
16例12：在下面12个方框中各填入一个数，使这12个数从左到右构成等差数列，其中
10、已经填好，这12个数的和为。
16 10
分析：由题意知：这个数列是一个等差数列，又由题目给出的两个数10和16知：公差为2，那么第一个方格填26，最后一个方格是4，由等差数列求和公式知和为：(426)122180。答案：180。
本讲小结：1.一个数列的前n项的和为这个数列的和，我们称为。
2.求和公式：和(首项末项)项数2，sn(a1an)n2。3.对于任意一个奇数项的等差数列，各项和等于中间项乘以项数。
练习：
1.求和：（1）1+3+5+7+9=（2）1+2+3+4＋„＋21=（3）1+3+5+7+9＋„＋39= 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。答案：（1）25（2）231（3）400
2.求下列各等差数列的和。（1）1+2+3+„+100（2）3+6+9+„+39 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。答案：（1）5050（2）273
3.一个等差数列4,8,12,16,20,24,28,32，36这个数列的和是多少? 分析：根据中项定理，这个数列一共有9项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：20×9=180 答案：180
4.所有两位单数的和是多少？
分析：即求首项是11，末项是99的奇数数列的和为多少。
和=（11+99）×45÷2=2475 答案：2475
5.数列1、5、9、13、„„，这串数列中，前91个数和是多少？ 分析：首项是1，公差是4，项数是91，根据重要公式，可得：
末项=1+（91-1）×4=361 和=（1+361）×91÷2=16471 答案：16471
6.如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色。如果最底层有15个正方形，问：“金字塔”中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？ 分析：由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，2，an15，所以n（151）218，其中a11，d（18）8236 所以，白色方格数是：1238（17）7228。
黑色方格数是：1237答案：28（2005200620072008200920102011）2008。7.分析：根据中项定理知：200520062007200820092010201120087,所以原式 2008720087。
答案：7。
8.把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？
分析：公差为2的递增等差数列。
平均数：248÷8=31，第4个数：31-1=30；首项：30-6=24；末项：24+（8-1）×2=38。
即：最大的数为38。答案：38
9.求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
分析：解法1：可以看出，2，4，6，„，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，„，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000 解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即原式=1000×1=1000 答案：1000
10.在1~100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
分析：先计算1~100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的12（1）001，自然数和了．9182799（999）112594，所有不能被9整除的自然数和：50505944456．如果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以先计算所有1~100的自然数和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了。答案：594
11.一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？
分析：观察发现，这堆钢管的排列就是一个等差数列：首项是3，公差是1，末项是10，项数是8 根据求和公式，和=（3+10）×8÷2=52（根）
所以这堆钢管共有52根。
答案：52根。
12.求100以内除以3余2的所有数的和。
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