解简易方程反思

解简易方程反思（精选7篇）

解简易方程反思 篇1

在以前人教版教材中，学习解方程之前首先要求学生掌握加、减、乘、除法各部分之间的关系，然后利用加减乘除各部分之间的关系来求出方程中的未知数，而今的人教版 教材的设计打破了传统的教学方法，而是借用天平使学生首先感悟“等式”，知道“等式两边都加上或减去同一个数，等式仍然成立”这个规律，这样就能从真正意义上很好地揭示方程的意义，进而学会解方程，还能使之与中学的移项解方程建立起联系。在这节课的教学中，我从以下几个方面入手。

一、感受天平的平衡现象，悟出等式的性质变化。

1、在学习中，我以天平的平衡来呈现等式的性质，学生能直观形象的理解性质，平衡的条件是两边同时加上、或减少相同的重量，才能保持平衡。但具体到方程中应用起来学生感觉比较抽象，我引导学生在反复操作中理解加、减一个数的目的和依据。

教师在天平的左侧放5克砝码，右侧也放5克砝码。（抛砖引玉）

2、学生亲自动手反复不断的进行操作。（学生动手操作）在此基础上，教师再做进一步的引导。

活动是获取真知的有效途径，通过以上的活动，学生可以很顺利地得出结果：天平的两侧都加上相同的质量，天平仍平衡。

3、教师：请同学们都想一想，如果天平两侧都减去相同的质量，天平会出现什么现象？你能列出几个这样的方程吗？（学生同桌之间通过充分地交流，反馈交流结果，学生得知，如果我们把天平作为一个等式 1

（当天平平衡时）的话，等式的两边都减去同一个数，等式仍然成立。通过引导，学生能完全得出了等式的性质。最后我们通过学生自己的整理和总结，把以上发现的性质合二为一。得出：等式的两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。

二、利用等式性质解方程—— 初步感悟它的妙用

在课堂上学生对用等式的性质来解方程感到很陌生，在他们原有的经验中更喜欢用加减法各部分的关系来解，所以我们要特别注意引导学生认识到用等式的性质来解方程的优越性，从而养成用等式的性质来解方程的习惯。

在整节课的教学中，其实学生是非常主动的，他们总觉得天平能启发着他们去解决这么神奇的方程，孩子们对方程都有一种难以割舍的好奇心。

告诉学生利用等式的性质来解方程熟练以后特别快。同时强调书写格式。通过教学，学生利用等式的性质学生能解决简单的方程，但我认为利用等式性质解方程的方法单一化，内容虽少问题很多。其表现在：

1、从教材的编排上，整体难度下降，有意避开了形如：66—2X=30等类型的题目。把用等式解决的方法单一化了。在实际教学中我们要求学生较熟练地利用等式的方法来解方程，但用这样的方法来解方程之后，书本不再出现X在后面的方程题了，学生在列方程解实际应用时，我们并不能刻意地强调学生不会列出X在后面的方程吗？我们更头痛于学生的实际解答能力。在实际的方程应用中，这种情况是不可避免的。很显

然这存在着目前的局限性了。对于好的学生来说，我们会让他们尝试接受——解答X在后面这类方程的解答方法，就是等号二边同时加上X，再左右换位置，再二边减一个数，真有点麻烦了。而且有的学生还很难掌握这样方法。

解简易方程反思 篇2

方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型, 应用比较广泛, 而从实际问题中抽象出方程, 并求出方程的解是解决问题的关键。配方法既是解一元二次方程的一种重要方法, 同时也是推导公式法的基础。配方法又是初中数学的重要内容, 在二次根式、代数式变形及二次函数中都有广泛应用。

学情分析

我教的是一个平行班, 学生的基础层次不齐。

教学目标

1.理解配方法解一元二次方程的基本步骤, 掌握X2+pX+q=0等价转化为 (x+m) 2=n的过程与方法;让学生学会怎样将方程X2+pX+q=0等价转化成 (x+m) 2=n的形式。

2.会用配方法解一元二次方程, 能够处理各种不同的情形。

3.学生在独立思考和自主探究中感受成功的喜悦, 并体验数学的价值, 增强学生学习数学的兴趣。

教学重难点

重点:用配方法解一元二次方程

难点:配方, 把方程化成 (x+m) 2=n的形式

教学问题诊断

1.学生已经会解一元一次方程, 了解平方根的概念、平方根的性质以及完全平方公式, 并刚刚学习了一元二次方程的概念和直接开平方法解一元二次方程;

2.学生在之前的学习中已经学习过“转化”“化归”等数学思想方法, 具备了学习本课时内容的较好基础;

3.本节课中研究的方程不具备直接开平方法的结构特点, 需要合理添加条件进行转化, 即“配方”, 而学生在以前的学习中没有类似经验, 理解起来会有一定的困难, 同时完全平方公式的理解对学生来说也是一个难点, 所以在教学过程中要注意难点的突破。

教学过程

(一) 复习旧知起航新知

前面学过形如x2=p或 (mx+n) 2=p (p≥0) 的方程, 可用直接开平方法来解, 可得。用到的思想方法是通过降次, 把二次方程转化为我们能解的一次方程。

复习完全平方公式:a2±2ab+b2= (a±b) 2

开心练一练:1.用直接开平方法解下列方程: (x+3) 2=25

(二) 合作交流探究新知

问题:使一块矩形场地的长比宽多6m, 并且面积为16m2, 场地的长和宽应各是多少?

解:设场地宽为x米, 则长为 (x+6) 米,

根据题意得:x (x+6) 2=16

整理得:x2+6x-16=0

思考:怎样解方程x2+6x-16=0?能用直接开平方法来解吗?

学生自主探究课本P32, 思考下列问题:

1.方程x2+6x-16=0可化 (x+m) 2=n的形式吗?

2.讨论:在框图中第二步为什么方程两边加9?其目的是什么?

框图:

交流与点拨:

重点在第2个问题, 可以互相交流框图中的每一步, 实际上也是第3个问题的讨论, 教师这时对框图中重点步骤作讲解, 特别是两边加9是配方的关键, 使之配成完全平方式。利用x2+px+[p2]2=[x+p2]2, 注意9= (62) 2, 而6是方程一次项系数。所以得出配方是方程两边加上一次项系数一半的平方, 从而配成完全平方式。

像上面那样, 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法, 叫做配方法。

(三) 典型例题边做边讲

例1 (教材P33) 解下列方程:

解:

移项, 得x2-8x=-1

配方x2-8x+42=-1+42

(x-4) 2=15

(2) 2x2+1=3x

解:移项, 得2x2-3x=-1

(3) 3x2-6x+4=0

解:移项, 得3x2-6x=-4

二次项系数化1, 得

(第1题让学生独立完成, 老师点评纠正;第2题师生一起分析, 教师板书示范演练, 第3题让学生试着做, 教师点拨纠正, 通过例题的学习让学生仔细体会用配方法解方程的一般步骤, 第3题让学生试着做, 教师点拨纠正, 同时还牵引出方程的根的另一种情况, 无实数根的情况。)

(四) 反馈练习巩固新知

1.教材P34练习2 (根据时间可以分组完成, 学生扮演, 教师点评。)

(1) x2+10x+9=0 (2) x2-2x+2=0 (3) 3x2+6x-4=0

(五) 梳理知识系统小结

1.通过这节课的学习, 我们学到了哪些知识? (用配方法解一元二次方程)

2.配方法解方程的一般步骤是什么?

(1) 移项 (使方程左边只含有二次项和一次项, 右边为常数项) ;

(2) 化二次项系数为1 (方程两边都除以二次项系数) ;

(3) 配方 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) ;

(4) 变形为 (x+m) 2=n的形式, 若n≥0, 则求出方程的解;若n<0, 则原方程无实数根。

(六) 课后作业拓展提高

教材P42习题22.2第3题、第9题。 (必做题)

试用配方法证明:不论a取任何实数, a2-a+1的值总是一个正数。 (思考题)

证明:∵a2-a+1

∴a2-a+1的值总是一个正数。

二、教学反思

数学教学是数学活动的教学, 听过一句话“让学生从做中学。”这种教学理念反映在数学教学上就是“做数学”, 就是要用一种亲身体验的数学学习方式来有效地回避那种“灌输式”的数学学习。强调学生学习数学是一个现实的体验、理解、领悟和反思的过程, 强调以学生为主体的学习活动。

在我的《降次——解一元二次方程配方法 (2) 》这节课中充分体现了让学生经历“做数学”的过程。

在复习了完全平方公式和直接开平方法解一元二次方程后, 以矩形面积为背景引出方程x2+6x-16=0。接着提出问题:“这个方程可以用直接开平方法来解吗?”为后面学生的自主探究作了心理上的铺垫, 也为将方程x2+6x-16=0的一边配成完全平方形式做了导引, 于是产生后面的“移项”、“方程两边同时加上一次项系数一半的平方”、“方程一边写成完全平方形式”等具体做法;教学中, 引导学生认识到这些做法是依据解方程的方法和步骤产生的, 并在理解的基础上记忆这些做法。强调当二次项系数是1时, “方程两边同时加上一次项系数一半的平方”是配方的关键;让学生带着问题“ (1) 方程x2+6x-16=0可化 (x+m) 2=n的形式吗? (2) 讨论:在框图中第二步为什么方程两边加9?其目的是什么?”结合具体方程x2+6x-16=0, 自主探究以框图形式表示的用配方法解方程的全过程, 使学生对配方法的基本步骤有了具体的初步认识。我挑重点和难点细讲、点拨, 尽量使每一位学生都理解掌握框图, 并且通过先提出“配方”一词再提出“配方法”一词, 以及适时适当的设置几个配方小练习, 逐步地揭开配方法解一元二次方程的面纱, 帮助学生突破难点;安排解解看的目的是让学生进一步探究巩固用配方法解二次项系数是1的类型的一元二次方程。安排典型例题, 可以说明如何用配方法解二次项系数不是1的类型的一元二次方程。在第一类型方程解法的基础上认识第二类型方程的解法, 由简单到复杂, 步步深入, 对配方法形成全面的理解, 从而掌握本节课的重点。

在练习中设计“分组分层练习”和“口答习作”两类, 满足不同层次学生的需要, 也使整个课堂有动有静, 张弛有度, 充分发挥学生的能力和潜力。

授课后, 得到了很好的教学效果, 但也有不足的地方, 比如:没有照顾到相对基础较弱的学生, 就是说如果学生对以前学的完全平方公式不熟练的话, 学生的计算能力较差的话, 学生自学能力落后的话, 就这种教学方式, 他是学不好这堂课的, 所以我还是要不断地努力、探索, 以至于班上的每一位学生都得到不同的教育, 学到更多的知识。

解简易方程反思 篇3

关键词：小学；解简易方程；教学

一、用等式的性质解简易方程的初衷

过去在小学阶段教学解方程，依据的是四则运算之间的关系。但是，这种“算术”的解方程思路毕竟走不了多远，一到中学就被彻底抛弃，取而代之的是等式的基本性质。既然一到中学就被取代，被彻底遗忘，为什么我们不能改变方式，寻找一条新的可持续发展的出路呢？

通过实践还能发现，以等式基本性质为依据，有利于凸显等量关系，有助于渗透初步的方程思想和初步的数学建模思想。

二、教材规避了形如a-x=b与a÷x=b的方程，作为教师怎么办

在小学，形如a-x=b的方程与形如a+x=b的方程，不论是依据四则运算的关系解答，还是依据等式基本性质解答，都是有区别的。但是到了初中，在学了有理数的四则运算之后，它们的区别几乎可以忽略不计。所以即使小学不出现形如a-x=b的方程，中学也不必补充例子作为新授内容来教。

再说，形如a÷x=b的方程，本来就属于分式方程。解分式方程需要去分母，去分母有可能带来“增根”，所以，解分式方程，哪怕你确信整个求解过程准确无误，也要“验根”，即判断你所得到的是原方程的解还是增根。这层意思超出了小学数学验算的内涵，在小学是不大可能渗透的。因此，把这个例子放到中学学习，以免小学生形成误解。这样一来，剩下形如x+a=b，x-a=b，ax=b，x÷a=b的方程，求解思路就可趋于统一：

x+a=b，x-a=b，都是在方程两边加上或减去a；

ax=b，x÷a=b，都是在方程两边乘或除以a（a≠0）。

因此，过去四种情况，四条依据，需要安排四道例题；现归结为两条依据，只需两道例题，有利于学生举一反三。而且，回避上述两种形式的方程，并不影响学生列方程解决实际问题。这也体现了列方程解決问题，常常可以化逆向思维为顺向思维的优势。

看来，实施义务教育，贯彻九年制义务教育的数学课程标准，要求我们应当更多地考虑中小学数学教育的衔接，从学生数学学习的可持续发展着眼，分析教学内容的地位与作用。这在某种意义上，可以说是“科学发展观”，是“以学生发展为本”理念的实际体现。

参考文献：

[1]陈关雄.对简易方程典型错例的思考与实践[J]，教学与管理，2014（05）.

[2]薛志华.等式的性质（一）教学设计[J].教学与管理，2010（14）.

10《解简易方程》教学反思 篇4

新课程的改革，使得小学的知识要体现与初中更加的接轨，五年级上册第四单元“解简易方程”中进行了一次新的改革。要求方程的解法要根据天平的原理来进行解答，也就是说要通过等式的性质来解方程，这一方法虽然说让方程的解法找到了本质的东西，但是也让我感到了许多困惑。

1、从教材的编排上，整体难度下降，有意避开了，形如：45—X=23等类型的题目。把用等式解决的方法单一化了。在实际教学中我们要求学生较熟练地利用等式的方法来解方程，但用这样的方法来解方程之后，书本不再出现X前面是减号或除号的方程题了，学生在列方程解实际应用时，我们并不能刻意地强调学生不会列出X在后面的方程，我们更头痛于学生的实际解答能力。在实际的方程应用中，这种情况是不可避免的。很显然这存在着目前的局限性了。对于好的学生来说，我们会让他们尝试接受——解答X在后面这类方程的解答方法，就是等号二边同时加上X，再左右换位置，再二边减一个数，真有点麻烦了。而且有的学生还很难掌握这样方法。

解简易方程教案 篇5

解简易方程，是运用方程解答应用题的基础，解简易方程的关键是掌握四则混合运算各部分之间的关系，解方程的过程就是利用积与乘数，被除数、除数与商，加数与和，被减数、减数与差之间的关系逐步求出方程中的未知数的过程。因此，平时应多加强四则混合运算各部分数量关系的训练。

解出方程中的未知数后，应检验，检查求出的方程的解是否正确。检验是将解得到的未知数的值带入原方程中，分别计算出方程的左边和右边的值，如果左右两边的值相等，说明计算出的未知数的值正确；如果左右两边的值不相等，说明计算出的未知数的值不正确，需要找出错误的原因，重新计算，这一步不能缺省。

难题点拨1 解下列方程，并验算。

（1）3Ⅹ+4=25（2）5（2Ⅹ+4）=30 点拨

上面的两个方程都可以分两步解答。方程（1），先将3Ⅹ看做一个数，利用加法算式中加数与和之间的关系，可以先求出3Ⅹ，再利用乘数与积之间的关系求出Ⅹ。方程（2），先将2Ⅹ+4看做一个数，利用乘数与积之间的关系求出2Ⅹ+4Ⅹ，再利用加数与和，乘数与积之间的关系求出Ⅹ。

（1）3Ⅹ+4=25（2）5（2Ⅹ+4）=30 解：3Ⅹ=25-4 解;2Ⅹ+4=6 3Ⅹ=21 2Ⅹ=6-4 Ⅹ=7 Ⅹ=1 检验：将Ⅹ=7带入方程（1）中，左边=3×7+4=25 右边=25 因为左边=右边

所以Ⅹ=1是原方程的解。

想一想 做一做

解下列方程，并写出检验过程。1、26Ⅹ-12=66 2、7(3Ⅹ+1)=28 3、2Ⅹ-1=9 4、308-25Ⅹ=108 5、5（Ⅹ+7）=35

难题点拨2 解下列方程

（1）、8Ⅹ-120=5Ⅹ-30（2）、8（5-Ⅹ）+15=7Ⅹ-260 点拨 方程（1），利用等式的性质，可以给方程的左右两边同时减去5Ⅹ，就变成一个比较简单的方程，容易解答。方程（2），可以先利用乘法的分配律将小括号去掉，再利用等式 的性质给方程的左右两边同时加上8Ⅹ，或同时减去7Ⅹ，都可以变成一个比较简单的方程，容易解答。（1）、8Ⅹ-120=5Ⅹ-30 解： 8Ⅹ-90=5Ⅹ（两边同时加上30）3Ⅹ-90=0（两边同时减去5Ⅹ）3Ⅹ=90 Ⅹ=30（2）、8（5-Ⅹ）+15=7Ⅹ-260 解：40-8Ⅹ+15=7Ⅹ-260（利用乘法的分配律，去括号）

300-8Ⅹ+15=7Ⅹ（两边同时加上260）300+15=15Ⅹ（两边同时加上8Ⅹ）15Ⅹ=315 Ⅹ=21 想一想 做一做 解下列方程。1、8（5+Ⅹ）-25=3Ⅹ+30 2、100-5Ⅹ=3（Ⅹ-20）3、4（Ⅹ-2）+14=7Ⅹ-21 4、7（Ⅹ-3）+15=2（12+Ⅹ）5、12+Ⅹ+2（12+Ⅹ-9）=96 难题点拨3 解方程：（2Ⅹ-3）÷7=59-2Ⅹ

点拨

方程的左边是一个除法算式，如果直接简化比较麻烦，但这个方程可以看做一个除法算式，7是除数，59-2Ⅹ是商。根据被除数=除数×商，把它转化成乘法算式，然后再解比较方便。

（2Ⅹ-3）÷7=59-2Ⅹ 解：（2Ⅹ-3）=（59-2Ⅹ）×7 2Ⅹ-3=413-14Ⅹ 2Ⅹ+14Ⅹ=413+3

Ⅹ=26

想一想 做一做 解下列方程。

1、（3Ⅹ+2）÷4=2Ⅹ-7

2、（4Ⅹ+12）÷（3Ⅹ-24）=5

3、（10Ⅹ+6）÷3=5Ⅹ-8

4、（9Ⅹ+10）÷4=2Ⅹ+3 难题点拨4 一个数的3倍加上10，等于这个数的5倍减去20，这个数是多少？

点拨

若用字母Ⅹ表示这个数，那么“一个数的3倍加上10”就是3Ⅹ+10，“个数的5倍减去20”就是5Ⅹ-20，再根据“一个数的3倍加上10，等于这个数的5倍减去20”，这个相等关系，就可列出方程，求出方程中的未知数Ⅹ，即得“这个数”。

解:设这个数为Ⅹ。3Ⅹ+10=5Ⅹ-20 3Ⅹ+30=5Ⅹ 2Ⅹ=30 Ⅹ=15 答：这个数就是15。想一想 做一做

列方程解答下列文字题。

1、一个数的5倍加上10，等于这个数的6倍减去20，求这个数。

2、一个数的8倍等于这个数的2倍加上240，求这个数。

3、一个数的5倍减去12，比 这个数的3倍多20，求这个数。

4、一个数减去36，再乘3，积是153，求这个数。

难题点拨5 甲、乙两数和是28，甲数是乙数的3倍，甲、乙两数各是多少？ 点拨

本题中有两个未知数。先根据题意设出一个未知数，并把另一个未知数用所设的未知数表示出来，找出题中等量关系，列出方程，并求出方程的解，最后把另外一个未知数也求出来，本题可以把乙数设为Ⅹ，甲数则为3Ⅹ，利用甲、乙两数的和是28，列方程。

解：设乙数Ⅹ，则甲数为3Ⅹ 3Ⅹ+Ⅹ=28 4Ⅹ=28 Ⅹ=7 甲数：3×7=21 答: 甲数是21，乙数是7。

想一想做一做

列方程解下列文字题。

1、甲数是乙数的2倍，甲数比乙数多24，甲、乙两数各是多少？

2、一个数的3倍除以8得3，求这个数。

3、甲数是乙数的4倍，甲数比乙数多15，求乙数。

（1＊）看你能摘几颗“★” 解下列方程，并写出检验过程。（1）2Ⅹ-23=41（2）2（Ⅹ-5）=128

（3）（Ⅹ+12）÷8=125（4）75+3Ⅹ=5Ⅹ-13（5）4Ⅹ+11=47（6）3Ⅹ=2Ⅹ+5（2＊＊）解下列方程。（1）、3（3Ⅹ-25）+10=8Ⅹ+99（2）、Ⅹ÷3+2=2Ⅹ+5（3）、5（2Ⅹ-4）-12=2Ⅹ+48（4）、5Ⅹ+16=3（Ⅹ-4）+100（5）、4Ⅹ-3+3Ⅹ=6Ⅹ-2（6）、3Ⅹ-15+2Ⅹ=84-6Ⅹ

（2＊＊＊）列方程解答下列文字题。

（1）、15与一个数的2倍的和是43，这个数是多少？（2）、5个20与一个数的8倍的和正好等于340，这个数是多少？

（3）、一个数的2倍加上9与42的积，和是400，求这个数。

（4）、1860加上一个数的一半，和是3520，求这个数。（5）、一个数乘4与12 的和，结果等于这个数与480的和，这个数是多少？

《解简易方程》教学设计 篇6

一、教学内容：五年级上册数学第60页内容

二、教学目标：

1、运用知识迁移，结合直观图例，应用等式的性质，让学生自主探索和理解简易方程的解法。

2、通过多种形式的分层练习，让学生较熟练掌握简易方程的解法。

3、帮助学生养成自觉检验的学习习惯。

4、培养学生的分析能力和应用能力，渗透代数的数学思想和方法。

三、教学重难点：应用等式的性质，理解和较熟练掌握简易方程的解法。

四、教学过程：

（一）知识铺垫。

1、什么叫方程的解？什么叫解方程？

2、解方程：X+15= 48 X-3.2=2.6 解答后说一说（1）你解这两个方程的依据和方法是什么？（2）说出等式的另外一个基本性质。

（计算机分别演示等式的两个基本性质。注意“不为0”）揭示课题：这节课我们就继续利用等式的性质来解简易方程。板书：解简易方程。

（二）新知学习。

1、教学例2。（1）出示情景图：

X元 X元 X元 18元

（2）说出图意并列出方程。（从图中你知道了哪些信息？会列方程吗？）（3）怎样用天平图表示这个方程？（左边是3个X，右边是18）（4）解方程的目的是求X的值，要使天平的左边只剩下一个X，而天平又保持平衡，两边该怎样分？（两边同时平均分成3份）

计算机动画演示：天平两边各剩一份。问：每份怎样？（分别平衡）（5）反映在方程上，就是我们学过的等式的哪个基本性质呢？

（6）自主探索，试解方程并检验（会用这个基本性质解方程吗？试试看！）。评讲（强调书写格式和自觉检验）。

2、指导阅读书P59，质疑。

3、想一想、试一试：解方程 X÷3＝2.1 自己说一说解题的依据和方法。（强调口头检验）

4、小结：我们已掌握了解方程的一般方法，你认为解方程时需要注意什么？

(下面就检验一下你们是否真正掌握了解方程的方法。)

（三）基础练习设计：

1、说出下列方程的解法。

①例 1.6X=6.4（要解这个方程，方程两边应同时 ？）

1.6X()=6.4()说:方程的两边同时除以1.6 ②抢答： X+3.2=7.1 X÷7=0.3 0.05X=1.5 X-27=53(看来解法掌握得不错,下面看谁的反应最快。)

2、选择正确答案。（全班用手势表示）（1）X+8=30 ①X=22 ②X=38 说说你是怎样判断的？

指出：平时解方程后都可以自觉用代入法进行检验。（2）0.3X=0.21 ①X=7 ②X=0.7（3）X=5是方程（）的解。①15X=3 ②6X=30（4）X=30是方程（）的解。①0.2X=6 ②2X=15（解题和检验的方法明确了，就请大家独立解答下面几个方程吧。）

3、对比练习。

（1）X+6 =7.8（2）X-6=7.8（3）6X=7.8（4）X÷6=7.8 做完后请你对比4题的解法，思考：在方程的两边什么情况应该同时加，什么情况该同时减，什么情况该同时乘，什么情况该同时除？

（接下来，我们用今天学习的知识解决实际问题。）

4、解决问题。（列出方程并解答。）（1）

每个福娃X元，买5个共花80元。

（上面两个问题解决得很好，接下来我们进行一个检测性的分组接力竞赛，有信心赢吗？）

5、学习检测。（接力竞赛）

第一组： X－3=1.5 5X=4.5 X＋0.9=1.7 0.8X=4.8 X÷6=7 X－42=58 第二组： X－5=2.2 8X=7.2 X＋0.9=2.1 1.2X=4.8 X÷4=9 X－36=44 规则:（1）每组的信封里都有一组方程，第一位同学解答完第一题后，再传给下一位同学。

（2）后面每位同学拿到题卡后先检验上一题，发现有错可以修改。然后再解答下一题。

（3）如此类推,直到最后一位同学求出方程的解为止。（4）最后一个同学把题卡交上来，比比哪个小组做得又对又快。

（四）课堂小结。这节课学习了什么？

解简易方程的依据和方法是什么？

一类时滞微分方程的简易数值算法 篇7

时滞系统的动力学模型主要是通过时滞微分方程描述的, 和用常微分方程所描述的动力系统相比, 时滞系统状态的变化不仅依赖于当前的状态和输入, 还依赖于过去一段时间的状态和输入。从数学意义上看, 时滞微分方程的初值空间是无穷维的, 很难找出其解析解, 所以一般采用数值方法求解。尽管时滞微分方程的数值解法和常微分方程有很多不同, 但是许多时滞微分方程的数值解法都是通过对常微分方程的数值解法进行适当的修改而成[2], 且一些数值计算软件已经包含了这样的求解程序, 如MATLAB中的dde23和ddesd[3], 但经常使用不够灵活或不易于掌握, 同时, 对于一些复杂问题, 计算机的内存往往不够。所以下面介绍一种常见的时滞微分方程的简易数值算法。

1 方法介绍

时滞微分方程 (简称DDE) 的一般形式如下:

下面具体来讨论DDE的数值求解过程, 这里首先考虑 (1) 式所对应的常微分方程

对于这个常微分方程的数值求解, 通常选用经典的四阶龙格库塔法, 其具体形式为[4]:

那么求解时滞微分方程的显式龙格库塔法可表示为:

定理:若任意函数f (x, y, z) 对三个变量均具有有界二阶导数, 则显式龙格库塔法 (5) 具有二阶精度。

证明:为了符号表示方便, 下面将检验第一步的积分, 且假定仅有一个时滞τ。接下来展开局部截断误差与步长的比值, 即

将 (7) - (9) 式代入到 (6) 式中, 可得

证毕。

2 算例

该方程的解析解为 , 采用前面介绍的方法进行计算, 其中, 步长h取为0.2, 计算结果如图1所示。

算例2[6]:

其中, k=10, s0=10, α0=10, α1=10, τ=1, D=0.55。步长分别取0.1和0.01进行计算, 并与著名的Dkflag6软件的计算结果进行对比, 如图2所示。可以看出, 即便步长取0.1时, 其吻合程度也是很好的。

3 讨论

本文利用基于经典的龙格库塔法推导出一种时滞微分方程的简易算法, 虽然其使用范围有限, 但对于一般的工程问题具备有效的计算能力, 且程序简单、计算速度快、精度较高, 对计算机硬件也没有过高的要求, 尤其适宜在自主编写的小型数据处理程序或控制软件中嵌套。对于复杂模型的运算, 这种算法还不能胜任, 尤其是在变步长的控制及稳定性方面上还有待研究。

参考文献

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