余角和补角 教学设计（共6篇）
一、基础知识和基本技能掌握
对绝大多数同学来说，还是比较好，但极少数同学还是比较差。对于灵活性较强的问题，解题能力较差，知识的综合运用能力欠缺，特别是上课时有一个小组没有能按时回答出问题。
原理分析：
(1)个别学生原有基础较差，个体之间的差异较大。(2)本人对这个班级的定位太高，在教学上有些好高骛远，对于基础较差同学的学习效果不是太重视，学生们接受地有点囫囵吞枣。
二、整改方法
(1)注意基本知识和基本技能的教学，一步一个脚印教深教透。
(2)多调动同学的学习兴趣，注意关注基础较差的同学，注重他们的听课效果。
(3)注重较好同学的能力培养。
一、教材分析
1、教材的地位及作用。这节课是在认识直角、平角的基础上，通过数量关系和图形关系学习两角互余、互补的概念和性质以及利用方程的思想来解决问题。其中补角和余角的性质也是今后学习角相等及平行线的判定和性质的重要依据。另外教材在这里已开始对学生提出“说点儿理”的要求，为以后的推理证明题作准备。
2、教学目标。根据学生已有的认知基础及本课教材的地位及作用，我制定以下教学目标：
知识目标：在具体情境中了解余角与补角，理解余角与补角的性质。
能力目标：经历观察、操作、探究等过程，发展学生几何概念，培养学生推理、表达能力。
情感目标：进一步培养学生乐于探究、合作的习惯，感受到成功的乐趣，增强学生用数学解决实际问题的意识。
3、教学重点与难点。重点：理解余角、补角、对顶角的概念和性质。
难点：余角、补角、对顶角的性质。因为性质的得到用到了推理的方法，而推理是初中生较难掌握的一种方法。教学时可采取直观认识和简单说理相结合的方法，突破难点。
二、学情分析
对七年级学生而言，他们对新鲜事物特别有兴趣。在教学过程中我创设生动活泼，贴近他们生活的问题和活动，学生能主动参与，始终处于主动探索问题的积极状态中。同时，采用小组合作的方式，加强学生间互帮互助，使之共同提高和进步。
三、教学过程
1、游戏导入，活泼新颖。师生一起做一组律动操，初步感知什么叫做余角、补角和对顶角。
设计意图：根据学生的年龄特点设计轻松活泼的律动操，让学生萌发了对新知的求知欲，让全体学生参与知识形成的过程。预计用时：2分钟
2、启发诱导，探索新知。有了初步的感知，理解概念就变得水到渠成了。这时，我让学生到书本中去查找这三个角的有关概念，明确认知。紧接着，我设置了两组活动：
（1）利用卡片拼接活动，归纳出两个角是否互余或互补只跟这两个角的大小有关，与它们的位置无关。（2）通过"找余（补）角朋友"的游戏，知道如何求出一个角的余角和补角。
然后，我设置了一道例题和一道反馈练习来运用刚才所学，教学中启发学生如何设元及用方程的思想来求未知角，具体的解答过程严格板书示例，强调解题格式。
设计意图：要使学生正确理解数学概念，应引导学生用讨论交流的方法认识它们的内涵和外延，并加以归纳。通过活动、游戏及练习，加深学生对概念的认识，也培养了学生的观察、归纳能力及文字语言、符号语言表述能力。预计用时：6分钟
3、合作交流，解读探究。在充分认识了余角、补角的概念后，下面我们将通过两个探究活动，带领学生突破本节课的重难点。
（1）探索余角的性质.（教师引导为主）
如果∠1和∠2互余 ，∠3也和∠2互余， 则∠1和∠3有什么关系？（同角的余角相等）
如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，∠2=∠4，则∠1和∠3有什么关系？（等角的余角相等）
（2）探索补角的性质.（放手学生操作）
以小组为单位，类比着余角的性质，结合课本探究补角的性质。小组代表汇报自己组的探究结果，再让学生归纳出补角的性质（同角或等角的补角相等）。为了让学生从图形上对余角、补角的性质有一个深刻的理解，我设计了一道例题，只要能说出理由即可，程度较好的同学可尝试写出推理过程。当学生碰到困难时，我再作启发、讲解，在讲解的过程中结合图形进一步让学生理解余角和补角的性质，突出数形结合的思想。
设计意图：余角和补角的两条定理是本节课的教学重点和难点，设计这两个稍简单的问题，让学生从自己回答的答案中归纳出这两条重要定理，从而突出重点，有效的节省了时间，培养学生分析问题和归纳结论能力。预计用时：7分钟
4、大展身手，现学活用。小组长在黑板上出题，其他同学在交流了本节所学内容和简单复习后开始做题。组长查看组员做题情况，并指导有困难的组员做题，做完后，再上台讲解题目。
设计意图：学生自由出题和做题，这样既巩固了新知识，又锻炼了学生独立思考和解决实际问题的能力。学生在小组内可以互相交流，互相学习，充分发挥兵教兵的作用。教师在此过程中适时出来纠正错误和点评，让同学对解题方法和技巧更清晰些。预计用时：20分钟
5、课堂小测，及时反馈。“思有所得”“学有所获”，不同的学生肯定会有不同的收获，为了巩固本节课所学的知识内容，提高学生的数学应用意识，我安排了以下几个题目加以巩固（请看大屏幕），另外还有两道思考题供学有余力的同学。
设计思路：弥补组员没有充分训练各种题型题目的遗憾，是对学生这节课学习效果的一种检测，让学生的问题得到及时反馈，教师也能及时进行纠正。预计用时：7分钟
6、归纳总结，拓展升华。我让每位学生在小组内谈一谈学习的内容，议一议学习的重点和难点，相互交流一下学习过程中的感受和收获。
设计思路：让学生回顾一节课的收获和成功的感受，既是对本节课知识的整理，又锻炼了学生自我总结、自我评价的能力。预计用时：3分钟。
7、布置作业，巩固提高。习题2.1，其中“数学理解”1、2、3题为必做题，“问题解决”1、2题为选做题。
设计意图：作业的分层布置是在课堂上实现人人学有价值的基础上，用必做题练习让人人获得必需的数学，用选做题练习让不同的人在数学上得到不同的发展。学生根据自身情况完成作业，不至于负担重无法完成，任务轻松点就能极大地提高学生的学习效率。
四、课后反思
对于刚接触几何的初中生来说，一方面没有足够多的知识准备；另一方面学生的抽象概括能力还不高，也认识不到概念之间存在的关系，而推理是建立在对概念间关系的理解上的，所以大多数学生开始时不适应推理的形式。
⑴在具体情景中了解余角与补角，懂得余角和补角的性质，通过练习掌握余角和补角的概念及性质，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
⑵经历观察、操作、推理、交流等活动，发展学生的几何概念，培养学生的推理能力和表达能力。
⑶体验数学知识的发生、发展过程，敢于面对数学活动中的困难，建立学好数学的自信心。
二、教学重点、难点：
余角与补角的性质
三、教学过程：
复习、引入：
⑴复习角的定义。你知道有哪些特殊的角?
⑵用量角器量一量图中每组两个角的度数，并求出它们的和。
你有什么发现?
新课：
由学生的发现，给出余角和补角的定义(文字叙述)。
并且用数学符号语言进行理解。
问题1：如何求一个角的余角和补角。
①∠1的余角：90°-∠1
②∠α的补角：180°-∠α
练习：填表(求一个角的余角、补角)
拓广：观察表格，你发现α的余角和α的补角有什么关系?
如何进行理论推导?
结论：α的补角比α的余角大90°
α一定是锐角
钝角没有余角，但一定有补角。
问题2：①如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，并且∠1=∠3，那么∠2和∠4什么关系?为什么?
(学生讨论，请一人回答)
②如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，并且∠1=∠3，
那么∠2和∠4什么关系?为什么?
结论：性质：①等角的余角相等。
②等角的补角相等。
练习：看图找互余的角和互补的角，以及相等的角。
结论：直角的补角是直角。凡是直角都相等。
解决实际问题：
在长方形的台球桌面上，选择适当的角度击打白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中。此时∠1=∠2，∠3=∠4，并且∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°。如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角∠5=40°，那么∠1应等于多少度才能保证黑球准确入袋?请说明理由。
(学生小组讨论，应用所学知识解决此问题)
小结：
⑴这节课，使我感受最深的是……
⑵这节课，我感到最困难的是……
⑶这节课，我学会了……
⑷这节课，我发现生活中……
⑸这节课，我想我将……
(学生思考作答)
作业：目标检测P64，
书P139-6(写书上)，
一、教材分析：
1．教学目标、重点、难点 教学目标：
（1）掌握余角和补角的性质及几何语言的表示方法.（2）掌握方位角的有关知识.重点：余角和补角的性质.难点：余角和补角的性质.2．认知难点与突破方法.学生的认知难点是余角和补角的性质.突破方法是引导学生通过对一个例题的研究，探究出余角和补角的性质，并用几何语言表示，加深对性质的理解，再设计一些练习题，使学生在应用中牢固掌握性质.3．例、习题意图
教材139页例1通过请学生观察图形，根据互补的定义，及等式的性质、等量代换做出推理，探究出补角的性质，再类比探究出余角的性质；
随堂练习1（补充）使学生在应用中掌握余角、补角的性质.教材139页例
2、随堂练习2（补充）和习题3.4第7题使学生掌握方位角的有关知识，学会用方位角表示物体的方位.习题3.4第9题是方位角在航海上的应用，表明方位角不仅能确定方向，用两个方位角还能确定物体的位置.二、新课引入：
1、复习余角、补角的定义、表示法.2、解答题：
①30°的角的余角是多少度？补角是多少度？150°的角的补角是多少度？ ②一个角的余角与它相等，这个角是多少度？ ③一个角的补角是它余角的4倍，这个角是多少度？ 说明：复习上节知识，为新知的学习做好必要的准备.三、例题讲解
例
1、（教材139页例1）
说明：请学生观察图形，根据互补的定义，及等式的性质、等量代换做出推理，探究出补角的性质，再类比探究出余角的性质：
BC2143A3E21O
图1
图2 等角（或同角）的补角相等.如图1，如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，那么∠2=∠4.等角（或同角）的余角相等.如图2，如果∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，那么∠1=∠2.例
2、（教材139页例2）
说明：
1、本例的表示方法经常用来表示对象所处的方位，如果再加上长度，就能确定物体的位置，这为学生将来学习极坐标打下基础.2、确定哪是观测点，过观测点画两条互相垂直的直线，得到四条射线分别表示东、南、西、北四个方向.3、用量角器画题中的射线要注意：总是以正南或正北方向作角的始边，还要分清东、南、西、北，理解偏东、偏西的意义.四、随堂练习：
1、（补充）填空：
（1）∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，若∠1=62°，则∠3=____°（2）如图3，直线AB与CD相交于点O，∠1=35°，则∠2=_____°.分析：∠1与∠2都是∠AOD（或∠COB）的补角，所以这两角相等.（3）如图4，EO是OD的反向延长线，∠BOD=90°，∠AOC=90°，则图中有_____对互余的角，分别是____________；有_____对相等的角，分别是_____________.分析：互余的两角不见得必有公共顶点和公共边，不能漏掉∠AOE与∠COD；三个直角两两相等，就得三对相等的角，根据同角的余角相等，又得两对相等的角，所以相等的角共有5对.BAD1C2CAEBOOD
图3
图4 答案：（1）62.（2）35.（3）4；∠AOE与∠AOB；∠AOB与∠BOC；∠BOC与∠COD；∠AOE与∠COD；5；∠BOE与∠BOD；∠BOE与∠AOC；∠AOC与∠BOD；∠AOE与∠BOC；∠AOB与∠COD.2、（补充）选择题
（1）如图5，学校B在小明家A的北偏东30°方向，那么小明家A相对学校B的位置，下列说法正确的是（）
A南偏西60°B西偏南60°C北偏东30°D南偏东30°
B60ã30ã小明家A学校
图5 答案：B 注意：两个方位角的观测点是不同的.（2）一艘轮船从点A出发，沿南偏西60°方向航行到B点，再从B点出发沿北偏东15°方向航行到C点，则∠ABC=（）
A 45°B 75°C 105°D 135°
注意：依题意画出方位图，注意第一个观测点是A，第二个观测点是B.答案：A
五、小结
1、掌握余角和补角的性质及几何语言的表示方法，并会用于说理.2、掌握方位角的有关知识.六、课后作业
(七年级上册·第四章第三节)
德江县楠杆土家族乡民族初级中学 周刚
一、【教材分析】
1．教学内容
本节内容是湘教版教材《数学七年级（上）》第四章《图形的认识》的第三节，主要内容是理解余角、补角的定义及性质．
2．地位与作用
本节课是学生在学习了“角、直角、平角的定义”、“角的大小比较”等内容的基础上，对角与角之间关系的进一步深入和拓展，它为以后证明角相等提供了一种重要依据．因此本节课起着承上启下的作用．同时本节课中从“数量”关系定义余角、补角，使学生对定义认识的深度、广度得以拓展．
二、【学情分析】
1．知识基础：学生已经学习了直角、平角，比较角的大小等有关基础知识，并能用这些知识解决简单问题．
2．认知水平和能力：七年级学生具有初步的观察、分析、概括能力，有着一定的学习经验及活动经验，形成了较好的参与意识和合作意识．并能在教师引导下低起点、小步距进行探究．
3．任教学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能较好地应用所学知识解决问题，但逻辑推理能力和用数学语言进行正确表达的能力还有待进一步提高．
三、【目标分析】 1.教学目标
依据教材的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：
①通过在生活情境中从数学角度发现问题、提出问题，让学生理解余角、补角、对顶角的概念．
②通过学生经历探究活动中的动手操作，合作交流，使学生掌握同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等，对顶角相等的性质． ③通过对余角、补角性质的探究，渗透从“特殊”到“一般”、类比的数学思想方法；会对文字、图形、符号三种语言进行相互转化．
④通过关于比萨斜塔的新闻轶事引入，让学生感受数学来源于生活，生活中处处有数学，体会学习数学的价值．
2.教学重点及难点
重点：余角、补角的定义及性质
难点：余角、补角性质的合情推理和数学语言的规范表达 重、难点解决的方法策略
如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角．
三、辨析概念
师：请一名同学为大家朗读定义，并重读关键词．（辨析概念中的两个关键词“两个角”、“互为”）
动手操作：请同学们用手中的剪刀和纸质的三角板，通过“剪——移——拼”的过程，探究直角三角形两锐角之间的关系．
（通过学生动手操作，内化余角的定义，感知余角定义的实质，为学生类比理解补角定义打下基础．）
对余角定义的辨析：①“两个角”，“互为”；②是从“数量”关系进行定义；③x(90x)．
(学生类比完成对补角定义的辨析)
四、应用概念
小试身手：下列各角哪些互为余角，哪些互为补角？
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
五、探究活动一
以同桌为一组，将手中的三角板△AOB，△COD的直角顶点O重合在一起.①观察猜想：如图放置，度量1与2，你发现了什么？
②操作验证：请甲同学旋转△COD，乙同学观察1与2的大小变化，①中的结论还成立吗？
③推理论证：请用所学知识论证你的发现．
证明：1390
2390
1903
212（等量代换）
（请一名学生板书证明过程，教师批注．）
师：你能用一句话归纳刚才的发现吗？ 余角的性质
同角（或等角）的余角相等． 小试身手：
1．已知△ABC中，ACB90，CDAB，试找出下图中相等的锐角，并说明依据．
合情推理：
A与1为同一个角2的余角，据余角的性质得A1； B与2为同一个角1的余角，据余角的性质得B2；（教师协助、点评“小老师”的讲解）
它们定义的方式分别从“数量”与“位置”关系进行； 求解一个角常常转化成它的余角、补角来达成． 2．今后我可以采取怎样的方法学习几何概念？
形成概念——辨析概念——应用概念 3.本节课渗透了哪些数学思想方法？
从“特殊”到“一般”、类比、化归 4.作业布置：
《名校课堂》相应部分（分层：A，B组）（A层全班同学完成，B层是部分同学完成）5．挑战自我：
请任意作出一个三角形，在其中添加一条线段构造出互余、互补的角，并写出它们．
板书设计：
六、【课后反思】
根据教学经历和学生反馈，本堂课教学设计操作性强，效果良好.课堂中学生通过概念辨析教学，对余角、补角的概念理解较深入，能辨别三个角和为180°与补角概念之间的区别．通过探究活动得出性质让学生对性质的掌握更为牢固，而范例及变式的训练使学生对化归的数学思想方法理解更为深入，逐步形成多种方法解决问题的习惯，并能规范解题．综合以上情况，我对本课的教学设计有如下反思：
（1）突出学生动手操作，合作探究
——关于王远彬老师的公开课的几点体会
王远彬老师是我校成长最快的青年数学教师之一。我观摩了这堂课从设计到实施的全过程，对这堂课的体会可以概括为三个字“心、情、好”。
1、设计用心
教学的核心就是“教学设计”。王远彬老师在以下几个方面表现了他对这堂课的设计的独具匠心。
（1）目标设计定位准确：本节课三维目标设计全面，标高适度，符合学生的学情，对本堂课的实施起到了很好的定位和定向作用。
（2）情景设计推波助澜：这堂课用“比萨视频”引入，在课堂“第一时间”抓住了学生的注意力、极大地激发了学生的学习热情！同时引发学生思考、感知概念的发生；第二是创设问题情景，层层深入的“问题串”，可激发学生的探索欲望，培养创新精神，拓展思维能力；第三是在操作中猜想，意在养成数学思维习惯，自主获得数学结论，感悟数学魅力。
（3）过程设计缜密科学：本课教学过程包括创设情景、形成概念——合作探究、发现性质——挑战自我、应用拓展——回顾反思、总结提升——课后反馈、布置作业。每一个环节都很注意细节，比如时间、方式、板书、达成 的目标等等都有具体的操作性设想。其中对余角定义的辨析、余角性质的探索、对顶角概念的“再发现”以“学生活动”为主线贯穿起来．每个活动的展开是通过一个个问题链的设置实现的，整堂课创造一个适合学生探索的环境，通过不同的途径引导其自主探索，形成了较好的数学学习经验．设计特别强调数学知识和技能的训练，渗透“类比”、“从特殊到一般”、“建模”和“化归”的数学思想与方法，体现了王远彬老师站位很高．本课在“应用拓展”中设计了两个例题和一个变式训练，每个问题在这堂课中都扮演好了自己的角色，为实现教学目标做出了贡献。
2、教学动情
教学应该是一门艺术，而教学的艺术在于教师个性化的教学功力、在于细节的处理、在于应变的机智、在于美的升华。当然，王远彬老师的课还不能说达到了多高的艺术境界，但是作为年轻教师，在标高的把握、节奏的控制、以及表达、演示、计算、推理、应变等方面，王远彬老师已经表现出扎实基本功。特别值得赞扬的是他面向全体学生，尊重学生个性风格，重视学生个性思维亮点及兴趣特长的发现、珍视和鼓励，及时中肯评价学生；特别值得称道的是他的激情、迸发的青春活力，不仅感染了学生，也感染了听他课的每一位老师！
3、效果真好
从教学实际情况看，这节课不仅完成了教学任务、实现了既定的教学目标（理解/掌握/思维训练/语言表达/学习方法等），而且王远彬老师特别重视在概念的辨析及应用中展示数学思维过程，渗透数学思想和方法，使学生通过做数学、思数学、玩数学去感悟数学的严谨、趣味、美丽和深邃。教学中，通过度量、旋转等操作活动，精心设计了一个又一个带有操作性、启发性和思考性的问题，引导学生动手操作，思考问题，同时教师适时地引导，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于自主探索、合作交流的积极状态，整个课堂呈现一幅生动活泼的、主动和谐和富有个性的学习活动画面．王远彬老师还不失时机地对学生进行了科学的数学学习方法的指导。王远彬老师的这堂课，每次试讲老师们发表意见如同百花齐放。比如提问方式的设计，提问的准确性、有效性的考虑。在语言表达上要注意控制语速、节奏和清晰程度，使老师的表达更具有感染力。环节之间的过渡应更自然一些。但是，瑕不掩瑜。这无疑是一堂优秀的课。
成都石室中学初中学校 冉云
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