直线和圆的方程的教案

直线和圆的方程的教案（精选4篇）

直线和圆的方程的教案 篇1

教学目标

1．理解建立直线和圆的极坐标方程的关键是将已知条件表示成ρ与θ之间的关系式．2．初步掌握求曲线的极坐标方程的应用方法和步骤．

3．了解在极坐标系内，一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线即可与多个方程对应． 教学重点与难点

建立直线和圆的极坐标方程． 教学过程

师：前面我们学习了极坐标系的有关概念，了解到极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，那么在极坐标系下可以解决点的轨迹问题吗？

问题：求过定圆内一定点，且与定圆相切的圆的圆心的轨迹方程．

师：探求轨迹方程的前提是在坐标系下，请你据题设先合理地建立一个坐标系．(巡视后，选定两个做示意图，(如图3-8，图3-9)，画在黑板上．)

解 设定圆半径为R，A(m，0)，轨迹上任一点P(x，y)(或P(ρ，θ))．(1)在直角坐标系下：|ρA|=R-|Oρ|，(两边再平方，学生都感到等式的右边太繁了．)师：在直角坐标系下，求点P的轨迹方程的化简过程很麻烦．我们看在极坐标系下会如何呢？(2)在极坐标系下：在△AOP中

|AP|2=|OA|2+|OP|2-2|OA|·|OP|·cosθ，即(R-ρ)2=m2+ρ2-2mρ·cosθ． 化简整理，得

2mρ·cosθ-2Rρ=m2-R2，师：对比两种解法可知，有些轨迹问题在极坐标系下解起来反而简

坐标方程有什么不同呢？这就是今天这节课的讨论内容．

一、曲线的极坐标方程的概念

师：在直角坐标系中，曲线用含有变量x和y的方程f(x，y)=0表示．那么在极坐标系中，曲线用含有变量ρ和θ的方程f(ρ，θ)=0来表示，也就是说方程f(ρ，θ)=0应称为极坐标方程，如上面问题中的：ρ=

(投影)定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系：

1．曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

师：前面的学习知道，坐标(ρ，θ)只与一个点M对应，但反过来，点M的极坐标都不止一个．推而广之，曲线上的点的极坐标有无穷多个．这无穷多个极坐标都能适合方程f(ρ，θ)=吗？如曲线ρ=θ上有一点(π，π)，它的另一种形式(-π，0)就不适合ρ=θ方程，这就是说点(π，π)适合方程，但点(π，π)的另一种表示方法(-π，0)就不适合．而(-π，0)不适合方程，它表示的点却在曲线ρ=θ上．因而在定义曲线的极坐标方程时，会与曲线的直角坐标方程有所不同．

(先让学生参照曲线的直角坐标方程的定义叙述曲线的极坐标方程的定义，再修正，最后打出投影：曲线的极坐标方程的定义)曲线的极坐标方程定义：

如果极坐标系中的曲线C和方程f(ρ，0)=0之间建立了如下关系：

1．曲线C上任一点的无穷多个极坐标中至少有一个适合方程f(ρ，θ)=0；

2．坐标满足f(ρ，θ)=0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)=0叫做曲线C的极坐标方程． 师：下面我们学习最简单的曲线：直线和圆的极坐标方程．

求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤应与求直线和圆的直角坐标方程的方法和步骤类似，关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系式．

解 设M(ρ，θ)为射线上任意一点，因为∠xOM=θ，师：过极点的射线的极坐标方程的形式你能归纳一下吗？

生：是．

师：一条曲线可与多个方程对应．这是极坐标方程的一个特点．你能猜想一下过极点的直线的极坐标方程是什么形式吗？

学生讨论后，得出：θ=θ0(θ0是倾斜角，ρ∈R)是过极点的直线的极坐标方程．师：把你认为在极坐标系下，有特殊位置的直线都画出来．

例2 求适合下列条件的极坐标方程：(1)过点A(3，π)并和极轴垂直的直线；

解(1)设M(ρ，θ)是直线上一点(如图3-15)，即ρcosθ=-3为所示．

解(2)设M(ρ，θ)是直线上一点，过M作MN⊥Ox于N，则|MN|是点B到Ox的距离，师：不过极点也不垂直极轴、不平行极轴的直线的极坐标方程如何确立呢？

例3 求极坐标平面内任意位置上的一条直线l的极坐标方程(如图3-17，图3-18)．

让学生根据以上两个图形讨论确定l的元素是什么？

结论直线l的倾斜角α，极点到直线l的距离|ON|可确定直线l的位置．

解设直线l与极轴的夹角为α，极点O到直线l的距离为p(极点O到直线l的距离是唯一的定值，故α、p都是常数)．

直线l上任一点M(ρ，θ)，则在Rt△MNO中|OM|·sin∠OMN=|ON|，即ρsin(α-θ)=p为直线l的极坐标方程．(如图3-19，图3-20)

师：直线的极坐标方程的一般式：ρsin(α-θ)=p，其中α是直线的倾斜角，p是极点到l的距离，当α、p取什么值时，直线的位置是特殊情形呢？

当α=π时，ρsinθ=p，直线平行极轴； 当p=0时，θ=α，是过极点的直线．

师：以上我们研究了极坐标系内的直线的极坐标方程．在极坐标系中的圆的方程如何确立呢？如图3-21：

圆上任一点M(r，θ)，即指θ∈R时圆上任一点到极点的距离总是r，于是ρ=r是以极点为圆心r为半径的一个圆的极坐标方程．

师：和在直角坐标系中，把x=a和y=b看作是二元方程一样，θ=θ0及ρ=r也应看作是二元方程．在方程θ=θ0中，ρ不出现，说明ρ可取任何非负实数值；同样，在方程ρ=r中，θ不出现，说明θ可取任何实数值．

例4 求圆心是A(a，0)，半径是a的圆的极坐标方程．(让学生画图，教师巡视参与意见)解设⊙A交极轴于B，则|OB|=2a，圆上任意一点M(ρ，θ)，则据直径上的圆周角是直角可知：OM⊥MB，于是在Rt△OBM中，|OM|=|OB|cosθ，即ρ=2acosθ就是所求圆的极坐标方程．如图3-22．

师：在极坐标系下，目前我们理解下面几种情形下的圆的极坐标方程即可． 让学生自己得出极坐标方程．

图3-23：ρ=2rcosθ； 图3-24：ρ=-2rcosθ； 图3-25：ρ=2rsinθ； 图3-26：ρ=-2rsinθ．

师：建立直线和圆的极坐标方程的步骤与建立直线和圆的直角坐标方程的步骤一样，你能小结一下吗？(投影)分4个步骤：

(1)用(ρ，θ)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件ρ的点M的集合P=｛M|p(M)｝；(3)用坐标表示条件ρ(M)，列出方程f(ρ，θ)=0；(4)化方程f(ρ，θ)=0为最简形式．

练习：分别作出下列极坐标方程表示的曲线

(2)ρcosθ=sin2θ(cosθ=0或ρ=2sinθ)；

设计说明

直线和圆的方程的教案 篇2

“ 直线和圆的位置关系” 是九年级上册 《 圆 》 这一章的重点内容之一. 它既是点与圆的位置关系的延续与提高, 又是学习切线的判定定理、 圆和圆的位置关系的基础. 本节课重点:掌握直线和圆三种位置的判定和性质;难点:引导学生发现隐含在图形中的两个数量d和r并加以比较.

本节课设计以学生为主,老师为辅. 通过引导学生类比、 探究、发现、归纳总结得出结论,培养学生自主学习能力、归纳总结能力. 同时本节课以问题为驱动,一环扣一环. 教师提出问题,把问题、时间交给学生,真正让学生走上课堂的舞台,让学生意识到自己才是学习的主人,变“要我学”为“我要学”.

二、教学设计

(一)复习回顾,引入课题

师: 前面我们学习了点和圆的位置关系, 请同学们回想一下, 点和圆有哪种位置关系? (PPT: 点和圆的位置关系)

生答: (PPT) 点在圆外、 点在圆上、 点在圆内.

师:如果圆的半径为r , 点到圆心的距离为d , 这三种位置关系如何用数量来表示呢?

师:在进入今天学习之前呢,我们先来观看一段视频《海上日出》.

(播放视频)

师:同学们刚刚在看《海上日出》,如果我们把太阳看作一个圆,海平面看作一条直线,那么海上日出这个过程,反映了直线和圆怎样的位置关系呢?

导入课题: 2 4. 2. 2直线和圆的位置关系(一) (板书)

设计意图:帮助学生提取已有的知识,为新课学习做好铺垫. 通过欣赏视频的形式, 很自然地导出本节课的研究内容:直线和圆的位置关系.

(二)做一做,探索新知

师: 请同学们拿出准备好的圆, 取一把直尺, 把直尺的边缘看成一条直线, 将直尺平放在圆上, 然后移动直尺, 你发现直线和圆可能有几个公共点?( 在同学们自主探讨的同时教师在黑板上画好三个圆备用) 通过刚才的操作, 你发现直线和圆可能有几个公共点?

生答:有三种;有两种.

师:哪些同学的回答是对的呢,我们一起来观察一下.

( 教师准备教具: 直线和圆, 演示给同学们看) 开始的时候:直线在圆的下方,直线和圆没有公共点,接着当直线和圆恰好接触,直线和圆只有一个公共点;再走直线和圆有2个公共点,再走直线和圆又只有一个公共点;再走直线和圆没有公共点了. 那么直线和圆公共点个数情况有几种? (三种: 没有,一个,两个)请一名同学上黑板画一下对应图形,写上: 无公共点,一个公共点,两个公共点. 那么同学们,我们来试着它们下个定义,好吗? 先让同学们说,师生再总结:(1)当直线和圆没有公共点时, 我们就说这条直线和圆相离. (2)当直线和圆只有一个公共点时, 我们就说这条直线和圆相切, 这条直线叫作圆的切线, 这个唯一的公共点叫作切点. ( 3 ) 当直线和圆有两个公共点时, 我们就说这条直线和圆相交, 这条直线叫作圆的割线.

师:老师在这里收集了几幅生活中的图片,请同学们来分析一下每幅图片体现了直线和圆的哪些位置关系?

学生1:如图1,把水平方向的钢管看成直线,就表示直线和圆相离.

学生2:如图2,这个标志,表示直线和圆相交.

学生3:如图3,把地面看作直线,轮胎看作圆,就表示直线和圆相切.

师:数学和生活是紧密结合的,同学们都学会了正确分析其中的数学原理. 现在请同学们完成一下练习:

前面三幅图,同学们根据刚刚所学知识可以很快判断出. 而第四幅图,有的同学说是相切,还有的同学说是相离,甚至有同学说是相交. 正当同学们争论的时候,老师赶紧抛出问题.

师:当直线和圆的公共点个数不好判断,该怎么判断直线和圆的位置关系?

设计意图:通过设置第四幅图,让学生产生知识的冲突, 处于“愤”的状态,激发学生的学习兴趣,使学生以最佳状态进入新课难点学习. 设计问题 “当直线和圆的公共点个数不好判断,如何判断直线和圆的位置关系? ”让学生感受到通过数量关系判断直线和圆位置关系的必要性.

(三)合作探究,定量刻画

师:前面在判断点和圆的位置关系时,我们用了两个量来进行大小比较,还记得吗?

生:圆心到点的距离d和半径r.

师:对,那么在这里,我们能否利用某个量与半径的大小来判断直线和圆的位置关系呢? 在这里我们可以利用哪一个量呢?

学生4:过圆心作直线的垂线,找垂线段的长.

师:垂线段的长,也就是圆心到直线的距离. 在这里,我们把圆心到直线距离设为d,圆的半径为r.请同学比较d和r的大小关系,能否得到直线和圆的位置关系呢? 如果能得到, 你解释一下你们小组得到的结果.

学生5:当圆心到直线的距离大于半径的时候,直线和圆相离;圆心到直线的距离等于半径的时候,直线和圆相切;圆心到直线的距离小于半径时,直线和圆相交.

请一名同学上台画图,并说说做法. ( 对应板书: 相离d > r ,相切d = r ,相交d < r )

重点提示: 当直线与圆相交时, 为什么是d < r呢? ( 可以用直角三角形中斜边大于任一直角边来解释. ) 然后利用几何画板中的具体数值验证三种数量关系. ( 见课件演示)

通过观察和验证知道了由直线和圆的位置关系能推出d与r的数量关系, 反过来由两者的数量关系可以确定直线与圆的位置关系.

( 学生通过自主合作交流、 探索发现新知、 自主归纳,得出结论,激发学生兴趣)

(四)巩固联系

例1给出一些图形, 根据公共点个数判断直线和圆位置关系.

例2已知圆的直径为13 cm,设直线和圆心的距离为d: (1)若d = 4.5 cm ,则直线与圆＿＿, 直线与圆有＿＿个公共点;(2) 若d = 6.5 cm, 则直线与圆＿＿, 直线与圆有个公共点;(3) 若d = 8 cm , 则直线与圆＿＿, 直线与圆有个公共点.

例3如图, 点A是一个半径为300 m的圆形森林公园的中心, 在森林公园的附近有B、C两个村庄, 先要在B、C两村之间修一条长为100 m的笔直公路将两村连通, 现测得∠ABC = 45°,∠ACB = 30°,问此公路是否会穿过森林公园? 请经过计算说明.

设计意图斯金纳教学原则中的强化原则是要求学生在学习新知识的基础上,进行强化训练. 例1设计了“由公共点个数判断直线和圆的位置关系”,例2设计了“由d和r的关系判断直线和圆位置关系”, 能及时巩固学生所学知识. 例3是直线和圆位置关系一道实际应用题,让学生感受到数学来源于生活,服务于生活.

三、回顾及作业布置

(1)本节课我们学习到了什么?

(2)本节课我们经历了什么?

……

作业:课后习题1.

设计意图复习巩固本节课学到的知识:判断直线和圆位置关系的两种方法,同时又让学生反思这些知识是如何获取来的,既关注学习的结果,也关注学习的过程.

参考文献

[1]封涛.《直线和圆的位置关系》教学设计与反思[J].中学教学参考,2015(17):19.

分类解析直线与圆的方程 篇3

类型1:对直线倾斜角及斜率的概念理解

【例1】 设直线l的倾斜角为θ，满足条件sinθ+cosθ=15，又直线通过定点M(1,1)，则直线的方程是 ．

错解 由条件sinθ+cosθ=15两边平方得2sinθcosθ=－2425，而2sinθcosθ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ

解得tanθ=－34或tanθ=－43.由点斜式得直线l的方程为4x+3y－7=0或3x+4y－7=0.

错因分析 直线的倾斜角的取值范围为0,π，上述错解正是没有考虑倾斜角的范围而直接将sinθ+cosθ=15平方，使得倾斜角θ的范围扩大，最终导致错解。

正确解法 由sinθ+cosθ=15两边平方得2sinθcosθ=－2425<0,∵倾斜角θ∈0,π，

∴θ是钝角由sin2θ=2tanθ1+tan2θ=－2425,解得tanθ=－43或tanθ=－34（舍去），∴直线l的方程为4x+3y－7=0.

防错机制 在运动变化过程中求解要注意两点：①等价转换；②及时讨论。

类型1:求截距相等的直线方程时，考虑截距为零的情形

【例1】 已知⊙C:x2+y2+2x－4y+3=0，若⊙C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求切线方程.

错解 因为切线在两坐标轴上的截距相等，所以切线的斜率为k=－1，设切线为y=－x+b，由圆心到直线的距离为2，得|－1+2－b|2=2，b=－1或b=3.∴所求直线方程为：y=－x+3,y=－x－1.

错因分析 对截距的概念理解不透彻，横（纵）截距是指直线与x(y)坐标轴交点的横纵坐标，其值可为正数、负数或0.上述解题过程忘记了截距为零的情况。

正确解法 在错解的基础上再补充当切线经过原点时，设切线方程为y=kx（显然斜率存在），由圆心到直线的距离为2，得|－k－2|k2+1=2，k=2±6,

∴所求直线方程为：y=－x+3,y=－x－1，y=(2+6)x,y=(2－6)x.

防错机制 在解决直线问题时，如果利用直线的截距式，一定要考虑直线的截距是否存在，是否为零。也就是要注意直线的截距式不能表示与坐标轴垂直的直线和过原点的直线。

类型2:判断两直线位置关系时，直线斜率不存在以及两直线重合的情况



防错机制 判断两条直线的位置关系时有两个易错点：一是忽视了直线的斜率不存在的情况；二是忽视了两直线重合的情况。解答这类试题时要根据直线方程中的系数进行分类讨论，求出结果后再反代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误。

类型4:准确把握圆的一般式方程成立的条件

【例4】 过点(1,2)总可作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2－15=0相切.求实数k的取值范围.

错解 因为过点(1,2)总可作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2－15=0相切，所以点(1,2)在圆x2+y2+kx+2y+k2－15=0外，即12+22+k•1+2×2+k2－15>0∴k<－3或k>2.

错因分析 本题根据过直线外的一点可以作两条圆的切线，求了其中的待定系数，但忽略了圆的一般式方程中，k的取值应使方程表示一个圆。

正确解法 因为过点(1,2)总可作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2－15=0相切，

所以12+22+k•1+2×2+k2－15>0k2+22－4(k2－15)>0，解不等式组得k∈－833,－3∪2,833

防错机制 将圆的方程变形为标准形式，很容易由r2>0得出待定系数的限制条件。

类型3：检验圆与直线的位置关系

《直线和圆的位置关系》教学反思 篇4

在《直线和圆的位置关系》一课教学后，感受颇多，现分享如下:

开课时，借助微机展示“圆圆的落日慢慢从海平面升起”的动画，从而展现直线与圆的位置关系。由此引入课题——直线与圆的位置关系，学生比较感兴趣，充分感受生活中的数学知识，体验数学来源于生活。然后提出问题，引导学生大胆猜想，思考，发现三种位置关系，激发学生学习兴趣，营造探索问题的氛围。同时让学生从生活中“找”数学，“想”数学，体会到数学知识无处不在，应用数学无处不有。这也符合“数学教学应从生活经验出发”的新课程标准要求。

在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时，我先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系，启发学生用类比的方法来研究直线与圆的位置关系，在研究过程中，采用小组讨论的方法，给予学生足够的探索、交流的时间，培养学生互助、协作的精神，让学生在相互讨论中，集思广益，形成思维互补，从而使概念更清楚，结论更准确。 最后由学生小结这一知识点，我板书在黑板上，培养学生用数学语言归纳问题的能力，同时感受收获知识的快乐。

在新知教授完毕，知识升华这块，我安排了一道实际问题，一辆火车的噪首会不会影向处在与铁路相交的另一条公路旁的学校?如果会影响，影响的时间有多长?新课标下的数学强调人人学有价值的数学，人人学有用的数学，由于此题要学生回到生活中去运用数学知识解决生活中遇到的问题，学生的积极性高涨，都急着讨论解决方案，使乏味的数学学习变得有滋有味，使学生体会到学数学的重要性，体验“生活中处处用数学”。

一堂课教学下来，也发现有诸多不妥之处，让我认识到自己需要继续努力。归纳主要有以下三点:

1、教师在课堂应当以引导者的身份出现，把课堂和讲台让位于学生，让“教师的教”真正服务于“学生的学”，而我在这一节课中因为一方面担心学生在自主研究知识的形成时会浪费时间，另一方面担心会产生意想不到的或者课前备课时没有考虑到的回答，总是把自己的思想强加给学生，比如学生观察得到直线和圆的三种位置关系后，是由我讲解的三个概念：相交、相切、相离。学生只是被动的接受，这样就会对概念的理解不是很深刻。这里可以改为让学生自己下定义，教师适当放手，以师生共同讨论的形式给学生以思维想象的空间，充分调动学生的积极性，使学生实现自主探究。

2、有些课堂提问欠合理化、科学化，提问随意性大，缺乏针对性和启发性，导致课堂教学引导不力，问题缺乏精心安排这就使得课堂存在着不少“徒劳的提问”。让课堂时间分配的不太合理。今后应该把一些提问设计再提炼，能达到精而准。

3、在处理课后练习时，做的不够细致，这一环节是对前面探究新知识是否掌握的一个小测试，重在帮助学生掌握方法，而我在讲解练习时，只展示了解题思路，并没有及时进行方法上的总结，致使部分学生在解决实际问题时思路不明确。这里教师要根据情况，简要归纳、概括应掌握的方法，使学生能够举一反三，巩固和扩大知识，吸收、内化知识，充分体现”授人以鱼不如授人以渔"。