勾股定理简洁证明方法

勾股定理简洁证明方法（共12篇）

勾股定理简洁证明方法 篇1

【证法1】(梅文鼎证明)

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点p.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180º―90º=90º.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90º.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90º.即∠CBD=90º.又∵∠BDE=90º，∠BCp=90º，BC=BD=a.∴BDpC是一个边长为a的正方形.同理，HpFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,∴.【证法2】(项明达证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作Qp‖BC，交AC于点p.过点B作BM⊥pQ，垂足为M;再过点

F作FN⊥pQ，垂足为N.∵∠BCA=90º，Qp‖BC，∴∠MpC=90º，∵BM⊥pQ，∴∠BMp=90º，∴BCpM是一个矩形，即∠MBC=90º.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMp=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.【证法3】(赵浩杰证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB=∠CFD=90º，∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理，RtΔABG≌RtΔADE，∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

∴∠ABG=∠BCJ,∵∠BCJ+∠CBJ=90º,∴∠ABG+∠CBJ=90º,∵∠ABC=90º,∴G,B,I,J在同一直线上，【证法4】(欧几里得证明)

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点

L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积=.同理可证，矩形MLEB的面积=.∵正方形ADEB的面积

=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴，即.勾股定理的别名

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我国又称“商高定理”.在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理.为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.前任美国第二十届总统加菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。

证明

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(ElishaScottLoomis)的pythagoreanproposition一书中总共提到367种证明方式。

勾股定理简洁证明方法 篇2

勾股定理是几何学中的明珠, 充满魅力, 于是千百年来, 人们对它的证明趋之若鹜, 其中有著名的数学家, 也有业余数学爱好者, 有普通百姓, 也有尊贵的政要权贵, 甚至有国家总统.也许是因为勾股定理既重要又简单, 更容易吸引人, 才使它成百次地反复被人炒作, 反复被人论证.1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑, 其中收集了367种不同的证明方法.实际上还不止这些, 有资料表明, 关于勾股定理的证明方法已有500余种, 仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法.这是任何定理无法比拟的.下文选取部分较为精彩的证明方法, 供同学们参考.

方法1:课本方法:直接在直角三角形三边上画正方形, 如图.

利用三个正方形面积之间的关系, 从而得到直角三角形三边之间的关系.基于完全可以接受的朴素观念, 既直观又简单, 任何人都看得懂.

方法2:在中国古代的数学家中, 最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”, 用数形结合的方法, 给出了勾股定理的详细证明.

方法3:美国第十七任总统J·A·加菲尔德 (1831~1888) 在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能, 在1876年 (当时他是众议院议员, 5年后当选为美国总统) , 给出了勾股定理一个漂亮的证明, 证明的思路是利用等积思想, 如下图.

这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式, 从而使证明相当简洁.

从勾股定理还推广出很多新的定理和应用, 有兴趣的同学可以尝试证明.如:

欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理:“直角三角形斜边上的一个直边形, 其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和.”

从上面这一定理可以推出下面的定理:“以直角三角形的三边为直径作圆, 则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和.”

勾股定理还可以推广到空间:以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体, 则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和.

若以直角三角形的三边为直径分别作球, 则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作两球表面积之和.

勾股定理简洁证明方法 篇3

勾股定理是几何学中的明珠，充满魅力，于是千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统. 也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证. 1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法. 实际上还不止这些，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法. 这是任何定理无法比拟的. 下文选取部分较为精彩的证明方法，供同学们参考.

方法1：课本方法：直接在直角三角形三边上画正方形，如图.

利用三个正方形面积之间的关系，从而得到直角三角形三边之间的关系. 基于完全可以接受的朴素观念，既直观又简单，任何人都看得懂.

方法2：在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽. 赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.

在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到的正方形ABDE是由4个相同的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的. 每个直角三角形的面积为■；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2. 于是便可得如下的式子：4×■+（b-a）2=c2，化简后便可得：a2+b2=c2. 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识. 他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一，代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.

方法3：美国第十七任总统J·A·加菲尔德（1831～1888）在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能，在1876年（当时他是众议院议员，5年后当选为美国总统），给出了勾股定理一个漂亮的证明，证明的思路是利用等积思想， 如下图.

S梯形ABCD=■（a+b）2=■. ①

又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED=■=■. ②

比较以上两式，便得a2+b2=c2.

这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁.

从勾股定理还推广出很多新的定理和应用，有兴趣的同学可以尝试证明. 如：

欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和.”

从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和.”

勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和.

若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作两球表面积之和.

勾股定理简洁证明方法 篇4

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方等于斜边的平方。数学公式中常写作：a2 + b2=c2（直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c）。

那么勾股定理是怎么证明的呢？方法很多很多。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。

在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理．这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2（即如上所说：a2 + b2=c2）”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580－公元前500）．

实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特性．除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角．但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑．比如，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理．我们知道他们有拉绳人，但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实．”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数．这说明，勾股定理实际上早已开始在人们的知识土地中“萌芽”了。

因为勾股定理的证明方法太多，不可能全数叙述。所以，我们就来了解一下较简洁、易懂的几种方法。

方法一：课本内的方法

如图所示，S大正方形=S三角形×4+S小正方形。即(a+b)2= 4(1/2ab)+c2，化简后为：a2 + b2=c2。

方法二：

以a,b为直角边（b＞a），以c为斜边作4个全等的直

角三角形，则每个直角三角形的面积为1/2ab。把这4个三角形拼成如图所示的正方形。

∵Rt△DAH≌Rt△ABE

∴∠HDA=∠EAB

∵∠HDA+∠HAD=90°

∴∠HAD+∠EAB=90°

∵ABCD是个边长为c的正方形，面积为c

2又∵∠HEF+∠BEA=180°

∴∠HEF=90°

∴EFGH是一个边长为b-a的正方形，面积为（b-a）2

∴4×1/2ab+（b-a）2=c2

∴a2 + b2=c2

方法三： C

以a、b为直角边，以c为斜边做两个全等的直角三角

形，则每个直角三角形的面积等于1/2ab。把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A,E,B三点在一条直线上。

∵RtEAD≌Rt△CBE

∴∠ADE=∠BEC

∵∠AED+∠ADE=90°

∴∠AED+∠BEC=90°

∴∠DEC=180°—90°=90°

∴△DEC是一个等腰直角三角形，面积为1/2 c

2又∵∠DAE=90°，∠EBC=90°

∴AD∥BC

∴ABCD是个直角梯形，面积为1/2（a+b）2

∴1/2（a+b）2=2×1/2ab+1/2 c2

∴a2 + b2=c2

方法四：

作三个变长分别为a,b,c的正方形，把它们拼成如图所示的形状，是H,C,B三点在一条直线上，连接BF,CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L。∵AF=AC , AB=AD

∠FAB=∠GAD

∴△FAB≌△GAD

∵△FAB≌△GAD

∵△FAB的面积为1/2a2.△GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半。

∴矩形ADLM的面积为a2，同理可得，矩形MLEB的面积为b2

∵矩形ADLM+矩形MLEB的面积=矩形ADEB的面积

∴a2 + b2=c2

勾股定理简洁证明方法 篇5

一、余弦定理

余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC中,已知ABc,BCa,CAb,则有

a2b2c22bccosA, b2c2a22cacosB, c2a2b22abcosC.二、定理证明

为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可: 在ABC中,已知ABc,ACb,及角A,求证:a2b2c22bccosA.证法一:如图1,在ABC中,由CBABAC可得:

CCBCB(ABAC)(ABAC)

ABAC2ABAC

b2c22bccosA

AB图122即,a2b2c22bccosA.证法二:本方法要注意对A进行讨论.(1)当A是直角时,由b2c22bccosAb2c22bccos90b2c2a2知结论成立.(2)当A是锐角时,如图2-1,过点C作CDAB,交AB于点D,则

在RtACD中,ADbcosA,CDbsinA.从而,BDABADcbcosA.在RtBCD中,由勾股定理可得: BC2BD2CD2

(cbcosA)2(bsinA)2

c22cbcosAb2

AD图2-1BC即,a2b2c22bccosA.说明:图2-1中只对B是锐角时符合,而B还可以是直角或钝角.若B是直角,图中的 点D就与点B重合；若B是钝角,图中的点D就在AB的延长线上.(3)当A是钝角时,如图2-2,过点C作CDAB,交BA延长线于点D,则 在RtACD中,ADbcos(A)bcosA,CDbsin(A)bsinA.从而,BDABADcbcosA.在RtBCD中,由勾股定理可得:

C BCBDCD

(cbcosA)2(bsinA)2

c22cbcosAb2

DA图2-2B222即,abc2bccosA.综上(1),(2),(3)可知,均有a2b2c22bccosA成立.证法三:过点A作ADBC,交BC于点D,则

BDAD在RtABD中,sin,cos.ccCDAD在RtACD中,sin,cos.bbCD222βαA图3B由cosAcos()coscossinsin可得: ADADBDCDADBDCDcosA

cbcbbc2AD22BDCDc2BD2b2CD22BDCD

2bc2bcb2c2(BDCD)2b2c2a2

2bc2bc2整理可得a2b2c22bccosA.证法四:在ABC中,由正弦定理可得

abcc.sinAsinBsinCsin(AB)从而有bsinAasinB,………………………………………………………………①

csinAasin(AB)asinAcosBacosAsinB.…………………………②

将①带入②,整理可得acosBcbcosA.…………………………………………③ 将①,③平方相加可得a2(cbcosA)2(bsinA)2b2c22bccosA.即,a2b2c22bccosA.证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),再由两点间距离公式可得a2(cbcosA)2(bsinA)2c22cbcosAb2.即,a2b2c22bccosA.A(O)图4BxyC证法六:在ABC中,由正弦定理可得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.于是,a24R2sin2A4R2sin2(BC)

4R2(sin2Bcos2Ccos2Bsin2C2sinBsinCcosBcosC)4R2(sin2Bsin2C2sin2Bsin2C2sinBsinCcosBcosC)4R2(sin2Bsin2C2sinBsinCcos(BC))4R2(sin2Bsin2C2sinBsinCcosA)

(2RsinB)2(2RsinC)22(2RsinB)(2RsinB)cosA

b2c22bccosA

即,结论成立.证法七:在ABC中,由正弦定理可得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.于是,a2b2c22bccosA

4R2sin2A4R2sin2B4R2sin2C8R2sinBsinCcosA

2sin2A2sin2B2sin2C4sinBsinCcosA

2sin2A2cos2Bcos2C4sinBsinCcosA

22cos2A22cos(BC)cos(BC)4sinBsinCcosA 由于cos(BC)cos(A)cosA,因此

cos2Acos(BC)cos(BC)2sinBsinCcosA

cosAcos(BC)2sinBsinC

cosAcosBcosCsinBsinCcos(BC).这,显然成立.即,结论成立.证法八:如图5,以点C为圆心,以CAb为半径作C,直线BC与C交于点D,E,延长AB交C于F,延长AC交C于G.F2bcosA-cEBaGbbCbb-acA则由作图过程知AF2bcosA, 故BF2bcosAc.由相交弦定理可得:BABFBDBE, 即,c(2bcosAc)(ba)(ba), 整理可得:abc2bccosA.222D图5证法九:如图6,过C作CD∥AB,交ABC的外接圆于D,则ADBCa,BDACb.分别过C,D作AB的垂线,垂足分别为E,F,则AEBFbcosA,故CDc2bcosA.由托勒密定理可得ADBCABCDACBD, 即,aac(c2bcosA)bb.bCD整理可得:abc2bccosA.证法十:由图7-1和图7-2可得a2(cbcosA)2(bsinA)2, 整理可得:a2b2c22bccosA.AE222aac图6FBCEAbsinAaBCbsinADc-bcosAc-bcosAaBbcosAD

勾股定理 专题证明 篇6

1.我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边。

(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：----------，----------；

(2)如图1，已知格点(小正方形的顶点)O（0,0），A（3,0）,B(0,4)请你画出以格点为顶

点，OA,OB为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB ；

(3)如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到 △DBE，连结AD,DC,∠DCB=

30°。写出线段DC,AC,BC的数量关系为----------------；

2.（1）如图1，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF 是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）如图2，10×10的正方形网格中，点A（0，0）、B（5，0）、C（3，6）、D（－1，3），①依次连结A、B、C、D四点得到四边形ABCD，四边形ABCD的形状是------------；

②在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最短（直接画出图形，不要求写作法）；

此时，点P的坐标为------------，最短周长为------------------；

3.如图正方形ABCD ,E 为AD边上一点，F为CD边上一点，∠FEA=∠EBC,若AE= kED, 探究DF与CF的数量关系；

4.如图1 等腰直角 △ABC，将 等腰直角△DMN如图 放置，△DMN的斜边MN与△ABC的一直角边AC重合.⑴ 在图1中，绕点 D旋转△DMN，使两直角边DM、DN分别与 交于点E，F如图2，求证：AE2+BF2=EF2 ；

⑵ 在图1 中，绕点 C旋转△DMN，使它的斜边CM、直角边 CD的延长线分别与 AB交于点E，F，如图3，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.⑶ 如图4，在正方形 ABCD中，E、F 分别是边BC、CD 上的点且满足△CEF 的周长等于正方形ABCD 的周长的一半，AE、AF 分别与对角线 BD交于点M、N.线段BM、MN、DN 恰能构成三角形.请指出线段BM、MN、DN 所构成的三角形的形状，并给出证明；

5.将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O旋转（如图①②③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点，⑴如图①三角板一直角边与OD重合，则线段BN、CD、CN间的数量关系为-----------------------；

⑵如图②三角板一直角边与OC重合，则线段BN、CD、CN间的数量关系为-----------------------；

⑶如图③，探究线段BN、CN、CM、DM间的数量关系，写出你的结论，加以说明；

④若将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④，两直角边与AB、BC分别交于M、N，探究线段BN、CN、CM、DM间的数量关系，写出你的结论，加以说明；

勾股定理简洁证明方法 篇7

设函数f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可微, 则存在使得

下面介绍Lagrange中值定理的几种证明方法, 这些方法都是先作辅助函数, 再利用定理的已知条件归结为Rolle中值定理的全部条件, 从而得到Lagrange中值定理的证明。

1 何直观法

此法是通过几何图形考察两函数在区间端点处函数值的关系, 从而建立恰当的辅助函数。这是教材上证明Lagrange中值定理最常见的证明方法。

证明:

令

易见f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可微, 且f (a) =f (b) =0;即F (x) 满足Rolle中值定理的条件, 则存在, 使得, 即。

2 行列式法

证明:令

易见F (a, b) 在上连续, 在 (a, b) 内可微, 且F (a) =F (b) =0。由Rolle中值定理知存在, 使得。

又

从直接推出

定理中找, 使得表示在曲线y=f (x) 上找点, 使得△PAB的面积为最大。

3 原函数法

此法是采用逆向思维将待证结论变形并向罗尔定理的结论靠拢, 凑出适当的原函数作为辅助函数。

证明:结论变形为:

易见F (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可微, 且F (a) =F (b) =0。由Rolle中值定理得:存在使得。

注:这给我们一个思路, 即:学会反向思维, 学会从结论出发, 思考怎样作辅助函数才能满足题目中条件的要求, 在倒推的过程中就能作出符合R o l l e中值定理的函数, 再利用Rolle中值定理得到证明

4 常数值法

将Lagrange中值定理与Rolle中值定理的三个条件相比, 设想在f (x) 上再加上一个适当的函数, 构造出一个新的函数F (x) , 使F (a) =F (b) 满足Rolle中值定理的三个条件, 设F (x) =f (x) +kx, 其中k为待定系数, 令F (a) =F (b) 得,

于是构造函数, 下面证明同上略。

5 坐标变换法

证明:取, 使…(1)

作变换

函数y=f (x) 在新变量之下就是函数Y=F (X) , 它由下面隐函数式表示:

相应地, x轴上区间[a, b]就变成了轴上的区间, 其中:

不难验证: (1) 函数Y=F (X) 在上连续, 在内可导, 且可求出隐函数Y=F (X) 的导数。 (2) 函数Y=F (X) 满足Rolle中值定理的全部条件, 故在内至少存在一点c使得F′ (c) =0。再将所得结果变回到原变量, 记, 可见, 另外由F′ (c) =0, 得:。即:

注:这个证法具有明显的几何解释, 当对原坐标作旋转变换时, 函数Y=F (X) 在X, Y坐标下满足Rolle中值定理的全部条件。虽然这种证明比常用的辅助函数法复杂一些, 但是它启发我们利用坐标变换知识寻求新证法, 对于掌握微分中值定理是很有益的, 在这种证法里只是作出了能解决问题的隐函数, 回避了作显函数的困难, 所以又从另一个角度拓展了作辅助函数的方法。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (上) [M].北京:高等教育出版社 (第六版) , 2007, 4.

[2]徐森林, 薛春华.数学分析 (第一册) [M].清华大学出版社, 2005, 9.

[3]许绍薄, 姜东平, 等.数学分析教程 (上册) [M].南京大学出版社, 1990, 4.

几何定理的机器证明 篇8

几千年来，人们解几何题的招数，层出不穷，争奇斗艳，概括起来，不外这4类：检验、搜索、归约和转换，50多年来，数学家和计算机科学家费尽心思，循循善诱，把个中奥秘向计算机传授，使得计算机解几何题的能力日新月异，大放光彩，除了灵机一动加辅助线，或千变万化的问题转换之外，前3种方法计算机都学得十分出色了，用机器帮助，以至在某种程度上代替学者研究几何，帮助乃至代替老师指导学生学习几何，已经从古老的梦想变为现实。

在几何定理机器证明中，采用代数方法，引进坐标，将几何定理的叙述用代数方程的形式重新表达，证明问题就转化成判定是否能从假设的代数方程推出结论的代数方程的问题，这样把几何问题代数化，自笛卡尔以来已是老生常谈，并无实质困难，然而代数化的过程，坐标点的选取和方程引进的次序都可能影响到后续证明的难度，甚至由于技术条件的限制，影响到证明是否可能完成，也就是说，几何问题化成纯代数问题之后，也并不见得一定容易，更不能说就能实现机械化了，这不仅是因为解决这些代数问题的计算量往往过大，令人望而却步，还因代表几何关系而出现的那些代数等式或不等式常常杂乱无章，使人手足无措，从这些杂乱无章的代数关系式中要找出一条途径，以达到所要证的结论，往往要用到高度的技巧，换句话说，即使你不怕计算，会用计算机来算，也不知道从何算起。

解几何题是思维的体操，是十分有吸引力的智力活动之一，图形的直观简明，推理的曲折严谨，思路的新颖巧妙，常给人以美的享受，许多青少年数学爱好者，往往首先是对几何有了浓厚的兴趣，用计算机证明几何问题，如果仅限于用平凡而繁琐的数值计算代替巧妙而难于入手的综合推理，则未免大煞风景，通过计算机的大量计算判断命题为真，确实是证明了定理，这是有严谨理论基础的，但这样的证明写出来只是一大堆令人眼花缭乱的算式、数字或符号，既没有直观的几何意义，又难于理解和检验，这跟几何教科书上十行八行就说得明明白白的传统风格的证明大相径庭，如果计算机给出的这一堆难于理解和检验的数据也算是几何问题的解答，这种解答只能叫做不可读的解答。

勾股定理的证明及应用 篇9

【重点】：

学习勾股定理的文化背景，欣赏历史上经典的勾股定理证明方法，体会其蕴含的创新思维，初步运用勾股定理分析处理具体问题

【难点】：

通过图示欣赏，还原推测图示所含的证明方法

【勾股文化学习】

勾股定理是欧式平面几何的一个核心结果，是三角学的出发点，与“黄金分割”一起被开普勒称为“几何学两个宝藏”。它在‘RT△的三条边之间建立了固定关系’，使人们对原来几何学的感性认识精确化，其中体现出来的“数形统一”的思想方法，启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何与三角学的建立，使数学的两大门类代数和几何结合起来，许多大科学家都认为勾股定理以及处理数据的数学方法深深地影响了现在许多学科的思考模式。

千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

在西方国家，一般称勾股定理为毕达哥拉斯（前500）定理，因为人们相信是毕达哥拉斯最早提出并证明了这一定理。并且据说，他在发现这一结论时，欣喜若狂，杀牛百只以供奉神灵。因而这一定理又有了“百牛定理“的称法。在法国和比利时这个定理被称为“驴桥定理”。在中世纪的阿拉伯国家和印度，这一定理还有一个绰号，叫“新娘图”。至于绰号由来，现代人众说纷纭，莫衷一是。

在我国以前也称这一定理为毕达哥拉斯定理。五十年代初，曾展开过关于这一定理命名的讨论。有人主张叫“商高定理”。因这一结论的在我国最早是由西周初的商高提出的。在数学著作《周髀算经》(前1世纪)一书中，记载有商高(前1120)与周公的对话，其中商高提出了“勾三股四弦五”的说法。不过据推断，他还只是了解三边满足3：4：5关系的特例情况，普遍性的结论，由陈子(前716)提出。他说：“„„勾股各自乘，并而开方除之„„”这是普遍勾股定理在我国的最早记载。故有人主张应称为“陈子定理”。后来决定不用人名，而称为“勾股定理”。单就名称之多，勾股定理就可创下一项平面几何之最了。

今天有人戏称，勾股定理为‘宇宙大定理’，因为现在看来，世界上各民族都在差不多接近的时间内独立地发现了勾股定理及其逆定理。目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。

勾股定理在每一个时代都会被当代的精英们给出新的内涵外延，从柏拉图寻求不定方程通解到费马大定理，到今天的分形勾股树(如右上两图)，每每读到这些智慧的创造都会让人神往。

„„

【勾股定理的证明】

观察下列图形，推测勾股定理的证明方法

1、下图是《几何原本》（公元前4世纪前后）中提供的一种证明方法，过A作AH⊥BC于H延长交FK于G．

可证明：

证明思路很多，较简捷的是过F作FP⊥AB于P

易证△FPB≌△CBA进而可知

而

2、下图最早是由我国三国时期数学家赵爽（东汉末至三国东吴人）提出的一种证法．

该图叫弦图，由图示可知

．

3、下图最早是由我国三国时魏国的数学家刘徽（公元三世纪）为注释《九章算术》时提出的一种证法“青朱入出图”，由图示．

边长为a、b的两个正方形，如图示裁割．

M补入 处，N补入处，Q补入

处

4、下图最早是由古代印度数学家婆什迦罗提出的一种证法．

图示的裁割线索很清晰，你试试给出解释．

„„

【勾股定理的应用】

1、已知在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B，∠C的对边，且a=3，b=4，且b

错解：由勾股定理可得

分析：上面的解法受“勾

三、股

四、弦五”的影响，没有认真审题，错在没有注意到题目中的三角形是否为直角三角形。

正解：，又，∴，即4

评述：运用勾股定理解决问题时，必须是在直角三角形的条件下，不可不加分析就用勾股定理来进行计算。

2、已知：三角形两边的长分别是5和12，如果这个三角形是直角三角形，则其第三边长为_____，∴ x=13

错解：设第三边长为x，则由勾股定理可得：

分析：由于此题中己知直角三角形的两边长，但没有明确这两条边是直角边还是斜边，故需要分情况讨论

正解：当x为斜边时，x=13；当x为直角边时，故第三边长为13或。

评述：在运用勾股定理进行计算时，一定明确哪条是直角边，哪条是斜边，以防止运用不当。

3、利用勾股定理求线段长的简单应用

(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=7，b=24，则c=________；②若a=5，c=13，则b=________；

③若b=15，c=25，则a=________

(2)等腰直角三角形的斜边长为，则此直角三角形的腰长为________________

(3)在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB=________________，斜边AB上的高线长

为________________。(与面积的结合)

(4)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且c+a=9，c-a=4，则b=________。

(5)如果一个直角三角形有一条直角边长为11，另两条边长为自然数，则这个直角三角形的周长是___

解析：（1）①

（2）2 ②

③

（3）AB=10，（4）

（5）设斜边长为c，另一直角边为a，则

∵ c、a为自然数

∴

∴ 周长为132

4、勾股定理在几何中的应用。

己知：△ABC中AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长。

解：过A作AE⊥BC于E。

∵ AB=AC，∴

在Rt△ABE中，AB=20，BE=16，∴

∴ AE=12

故在Rt△ADE中，设DE=x，则

∵ AD⊥AC于A，∴

解得，即，∴ BD=BE-DE=16-9=7

评述：勾股定理是解决直线形中线段计算问题的常用方法，题目中含有直角三角形别忘记使用，题目中没有给出直角三角形可以考虑作垂线构建直角三角形。

5、利用勾股定理解决实际问题

(1)平面上有A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向。甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30cm／min。结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，试问两只蚂蚁原来所处地点相距多远?

解析：首先结合题设画出图形，C在A东南，则A在C西北；C在B西南，则B在C东北

∴ 可知∠ACB=90°，依题设AC=60cm，BC=80cm

∴ AB=100cm

(2)如图A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直。现要从点E处开设通往村庄A、村庄B的一条电缆，现在共有两种铺设方案：方案一：E→D→A→B；方案二：E→C→B→A。经测量得千米，BC=10千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°。已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米。

求：1)河宽AD(结果保留根号)；

2)公路CD的长：

3)哪种方案铺设电缆的费用低?请说明理由。

解析：过B作BF⊥AD交DA延长线于F

在Rt△ABF中可知∠BAF=60°，AB

∴ BF=6，在Rt△BFD中，知∠BDF=45°

∴ DF=BF=6

∴

过B作BG⊥CD于G，则BG=6，BC=10，有CG=8

∴ DC=CG+DG=14

设CE=x，则方案一、二费用分别为

由

∴ 当

当0＜CE＜

当CE=

6、画出长为的线段，可作图 可解得，＜CE＜14时，方案一较省

时，方案二较省 时，方案一、二均可．

解析：考虑到

线段AB为所求

考虑到，可作图

勾股定理的“无字证明”学案的 篇10

一、学习内容：P64页课题学习

二、学习目标：

1、会利用图形的移、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，即利用数形结合的方法来验证勾股定理。

2、通过以形证数的方法体会“数形结合”和“几何变换”的数学思想方法。

三、学习过程与指导：(一)回忆：勾股定理的内容：

(二)导入新课：怎样用几何图形证明勾股定理表达式呢？(三)自学课本P64页课题学习自学指导：

1、什么叫“无字证明”？

2、搜集课本和其他有关书籍中，利用有趣图形证明勾股定理的实例。

四、检测：

结合以下图形，说明证明勾股定理的方法，写出证明过程。

1、证明：

2、证明：

3、证明：

4、证明：

五、讨论：

1、无字证明的思想方法；

2、P58页做一做的拼图方法。

六、教师讲解：

1、质疑：针对测中的疑难问题讲解；

2、无字证明的实质：

七、悟：

1、根据下图提示，写出勾股定理无字证明：

2、结合以下图形写出无字证明表达式：

15.2 图形的旋转

一、学习目标：

1、理解什么是图形的旋转，明确决定图形旋转后位置的要素。

2、通过观察、实验能准确辩认旋转后图形与原图形的对应元素

3、结合生活实际，体会数学的美学价值。

二、学习重点与难点：

1、重点：决定图形旋转的因素，及旋转图形之间的对应关系。

2、难点：对旋转中心在图形外的某个点的旋转图形的认识。

三、学习过程与指导：(一)自学课本P72—P74 自学指导：

1、什么是图形的旋转？你能用自己的话说明吗？

2、决定图形的旋转的要素有哪些？因此描述图形旋转时必须要

3、思考P73中的相关问题。

4、图2.4与图2.5的旋转中心有何不同？(二)检测：

1、P74页练习2、3

2、填空：

⑴图形的旋转是由_________、_________和_________决定的。⑵如图，△ABC与△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠E都是直我，若△ABC经旋转后能与 △BDE重合，那么旋转中心是点________，旋转了 _______度。

⑶如图，正方形ABCD中，P为正方形ABCD 内一点，△ABP经过旋转后到达△BCQ的位置，那么旋转中心是点________，旋转了________度，若M是AB的中点，则旋转后点M到_______位置。

4、如图，等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得△DEC，那么点A的对应点是_________，线段BC的对应线段是_______，线段AB的对应线段是__________，∠B的对应角是，旋转中心是_________。

(三)议：

1、针对测中的问题；

2、旋转中心的位置有哪几种情况？(四)教师讲解：

1、旋转要说明旋转中心，旋转的角度，旋转的方向。

2、旋转要学会用运动的观点看问题。

张角定理在证明线段相等中的应用 篇11

本文现将张角定理及其在线段相等证明中的应用介绍如下，供参考.

一、张角定理

如图1，设直线AB上有一点C，在直线AB外有一点P，且视点P对于线段AC，CB的张角分别为α，β，若α+β<180°，则=+.

证：△PAB＝△PAC+△PCB，

∴PA·PB·sin（α+β）

＝PA·PC·sinα+PC·PB·sinβ两边同除以

PA·PB·PC，即得所证.

二、应用举例

例1在线段AC上任取一点B，分别以AB，BC为边，在AC的同侧，作等边△ABD，△BCE；连AE，交DB于M；连DC，交EB于N.

求证：BM＝BN.

证：如图2，以B为视点，分别对A，M，E及D，N，C用张角定理，得=+，=+，而BA＝BD，BE＝BC，∴BM＝BN.

例2 已知四边形MCND两组对边延长所得交点的连线AB与四边形的一条对角线CD平行，又MN的延长线交AB于F.

求证：AF=FB.

证：如图3，设∠MAC=α，∠CAB=β，以A为视点，分别对B，N，D；B，C，M及F，N，M用张角定理，得

=+， （1）

=+， （2）

=+，（3）

在△ACD中，= . （4）

∴（1）+（2）-（3）-（4），得=，

∴AB=2AF，故AF=FB，.

例3 如图4，以⊙O的直径AB为一边作等边△ABC，同时将另一侧的半圆三等分，其分点为M，N，连结CM，CN交AB于D，E.

求证：AD=DE=EB.

证：连结AM，OM，则以A为视点，对C，D，M用张角定理，得

=+，

∴AD=.

设⊙O的半径为R，则

AD==R.

由图形的对称性知：BE=R.

∴DE=2R-R-R==AD=EB.

例4 已知M是⊙O的弦AB的中点，过M任作两弦CD，EF，连结CF，DE分别交AB于G，H. 求证：MH=MG（蝴蝶定理）.

证：如图5，设∠GMF=α，∠HMD=β，

以M为视点，对E，H，D及F，G，C分别用张角定理，得

=+， （1）

=+.（2）

∴（1）－（2），得

sin（α+β）（-），

=（MF-ME）-（MD-MC）. （3）

设P，Q分别是CD，EF的中点，则

MD-MC=2MP=2MOsinβ，

MF-ME=2MQ=2MOsinα，（4）

∵ME·MF=MC·MD，

∴将（4）代入（3），得

sin（α+β）（-）=0，

∵α+β≠180°，∴sin（α+β）≠0，

∴MH=MG.

例5 在“筝形”ABCD中，AB=AD，BC=CD，过AC，BD的交点O任作两条直线，分别交AD于E，BC于F，AB于G，CD于H. GF，EH分别交BD于I，J.

求证： OI=OJ.

证：如图6，易知AC⊥BD，设∠EOD=α，∠DOH=β. 以O为视点，分别对G，I，F；E，J，H；A，G，B；A，E，D；C，H，D和B，F，C用张角定理，得

=+， （1）

=+， （2）

=+， （3）

=+， （4）

=+， （5）

=+， （6）

将（3）和（6）中OG与OF的表达式同时代入（1），得

=（OA·OBsinβsinα+OA·OC

sinβcosα+OB·OCsinαsinβ+OA·OCsinαcosβ），（7）

将（4）和（5）中OE与OH的表达式同时代入（2），得

=（OC·ODsinβsinα+OA·OC

sinβcosα+OA·ODsinαsinβ+OA·OCsinαcosβ），（8）

因为OB=OD，所以由（7）和（8）即得OI=OJ.

综上所述可知，应用张角定理证明线段相等时，关键在于根据题设，寻找与结论有关的线段所在的三角形，找准视点，利用张角定理写出关系式，再结合三角知识，通过变形化简，消去无用的参变数即可.

勾股定理的历史与证明 篇12

从以上的对话中可知商高不仅知道勾股定理, 还会运用勾股定理, 在《周髀算经》卷上之二《陈子模型》中就有这样的记载。“侯勾六尺, 即取竹, 空径一寸, 长八尺, 捕影而视之。空正掩日, 而日应空之孔, 由此观之, 率八十寸而得径一寸, 故以勾为首, 以髀为股, 从髀至日下六万里, 则八万里。若求邪至日者, 以日下为勾, 日高为股, 勾股各自乘, 并而开方除之, 得斜至日。”陈子不仅知道和熟练运用勾股定理, 陈子还能把勾股定理为模型运用在天体的测量之中。

几千年来, 古今中外的人们一直在探索它的证明方法, 不但有数学家, 还有物理学家, 甚至画家、政治家。世界上几乎所有文明古国都对此定理有所研究。我国古代数学家赵爽 (字卿, 东汉末吴国人) 是最早运用这种思想证明勾股定理的人, 赵爽利用把一个正方形分成四个全等的直角三角形和一个小正方形, 给出了勾股定理的详细证明。具体证明为:每个直角三角形的面积为;中间的得小正方形的面积为 (a-b) 2。他是世界上第一个最先用形数结合方法得到勾股定理的人, “赵爽弦图”是后世证明的先导, 就是把图形作适当的分割、移、补、拼、凑, 显示出图形之间的数量关系, 如图1:

赵爽创制的这幅“勾股圆方图”中, 以弦为边长得到正方形ABCD, 是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为;中间的小正方形的面积为 (a-b) 2。于是便可得如下的式子:, 化简得c2=a2+b2。这种证明方法很简明, 很直观, 它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神, 是我们中华民族的骄傲。刘徽用了“青朱出入图”为代表的证明, 不用文字说明, 不用数学符号推理, 只要一看图形, 勾股定理的证明便清晰地呈现, 整个证明单靠移动几块图形而得出, 也被称为“无字证明”, 即剪贴证明法, 他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来 (出) , 移到以弦为边的正方形的空白区域内 (入) , 结果刚好填满, 完全用图解法就解决了问题。 (如图2)

传说中毕达哥拉斯的证法 (如图3) :

欧几里得《几何原本》对勾股定理的证明在西方是最早的, 如图3。证明大致步骤如下:

∵△ABF≌△ADC,

△ABF的面积=正方形ACHF的面积

△ADC的面积=四边形ADLM的面积

∴正方形ACHF的面积=四边形ADLM的面积

∵△BAK≌△BCE

△BAK的面积=正方形BKGC的面积

△BCE的面积=四边形BMLE的面积

∴正方形BKGC的面积=四边形BMLE的面积

∴S正方形ACHF+S正方形BKGC=S正方形ADEB

即:因此, 在外国称为“毕达哥拉斯定理”。

美国第20任总统茄菲尔德的证法如图4:

这个直角梯形是由2个直角边分别为a、b, 斜边为c的直角三角形和1个直角边为c的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积, 所以可以列出等式, 化简得c2=a2+b2。

这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式, 从而使证明更加简洁, 它在数学史上被传为佳话。

勾股定理的证明有400多种证法, 如图5的证法是几何课本常用的方法。左边的正方形是由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及4个直角边分别为a、b, 斜边为c的直角三角形拼成的。右边的正方形是由一个边长为c的正方形和4个直角边分别为a、b, 斜边为c的四个直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等 (边长都是a+b) , 所以可以列出等式, 化简得。