体积表面积计算题

体积表面积计算题（精选6篇）

体积表面积计算题篇1

我读了《趣味几何学》，在“黑暗中的几何学”一章中，我了解了酒桶，对它体积和表面积近似计算时，可用图1：

即把酒桶看作两个截圆锥体，想算截圆锥体体积，要从圆锥体入手，从图2左图中可以看出，我们把圆锥沿底面半径切成如图2右图的近似的三棱锥无限个，要研究的仅是特定的一种三棱锥：

图1

把这个三棱锥扩成三棱柱，再扩为长方体，只需要证明三棱锥体积为长方体的，就说明了圆锥体积是等底等高的圆柱体的，过程见图3。

图2,左图2,右图3

可以从长方体中切去如图4的与原三棱锥全等的三棱锥3个，即ABDE、BCDG、DEGH，可得图5:

DABCDBHEJ图5，左FGE图5，右FG图4

从图5中看出，剩下的是一个与原三棱锥全等的三棱锥BEFG，还有一个大三棱锥BDEG，只要证明三棱锥BDEG的高是三棱锥BEFG的2倍即可（实际要证明三棱锥BDEG体积是三棱锥BEFG的2倍，因为底面积相等，故用高代替）。看点划线长方形BDFH，取出它，如图6：

D2H12B:J:1图61F

从图中来看，DO是FO的三倍长，那么这两条线与两个三棱锥高有什么关系呢？可看图5中波浪线长方形，如图7：

（以下证明该图的正确：由于两条线DQ、PF都是与面BEG垂直且在面MNWZ上，而又是面MNWZ与面BEG的相交线，故PF及DQ都与

垂直，同时也说明二者平行，而D、F两点都在面MNWZ上，两点的连线必然在面MNWZ上，同样又由于

又是面MNWZ与面BEG的唯一的相交的部分，线上，P、Q、O三点且O点是DF线与面BEG的唯一相交点，故O点也在共线）从图中可以看出，由于三角形DOQ和FOP相似，前面已证明DO是FO的两倍，故DQ是PF的两倍，而DQ、PF分别是两个三棱锥的高，则证明三棱锥BDEG体积是三棱锥BEFG的两倍。

综上所述，可得出圆锥体积公式：

再来看截圆锥体，如图8：

krhR

截圆锥体是两个圆锥相减的结果，为了分别知道圆锥的高，需要知道k，为此，我们看截圆锥体的截面，如图9：

图7krhR图8从中可以得出比例式：

然后分别求两个圆锥的体积：

故截圆锥体体积为：

来看酒桶，它近似于两个全等的截圆锥体，如图10：

rRhr图9

故可用截圆锥体公式来计算酒桶体积。

那么酒桶表面积呢？同样近似于截圆锥体。截圆锥体表面积也要从圆锥说起。如图11：

如上图点划线所示，可以把圆锥的侧面分成无数多个近似的三角形，它们的高是L，底之和为2，面积之和为：图10即圆锥的侧面积为截圆锥侧面展开后得图12：

tL2лr2лR图11截圆锥的截面为图13：

trR

从图12中可以看出：

L图12根据图11，分别求两个扇形的面积（利用圆锥侧面积公式）：

即截圆锥体表面积为:

来看木桶，如图14：

rLR图13

加上下底面，表面积近似于：

体积表面积计算题篇2

土地整理是为了改进土地利用条件提高土地利用率和产出率, 对已利用土地进行综合整治, 改良和重新配置的活动。土地整理的目的有二:一为增加耕地面积, 二为提高耕地质量。土地平整是土地整理过程中主要的工程措施, 其投资约占总投资的4～8成。土地平整工程是土地规划设计的一部分, 同时在整个农地整理中处于领头雁的位置, 是在水利水电、土地整理和道路选线等工程应用领域的前提和基础。准确快速的计算土方量对开展规划设计、合理安排施工进度、控制总投资及资金分配具有重要意义。

通过遥感和GIS手段对土地整理的土方量进行测算是比较常用的办法之一, 其中以遥感软件ERDAS和地理信息系统软件Arc GIS最具代表性[1,2]。柳长顺和俞志新等人较早地尝试基于数字高程模型原理, 利用ArcView软件进行了土方量计算的尝试, 计算结果与专家论证后相差无几[3,4];后来胡振琪等人利用ERDAS IMAGINE软件的Spatial Modeler模块, 通过对遥感图像建立数字高程模型, 基于格网法进行土地整理中土方量计算的尝试[5];而陈勇的研究则相对更为完究则相对更为完备, 他从地统计学的角度出发, 以3D Analyst模块为平台, 通过克里格法空间插值建立DEM, 利用土方量的方格网法原理进行了土方量计算的尝试[6,7]。遥感和GIS技术在土地整理中的应用越来越成熟, 应用其中利用GIS原理能准确快速的测算出土地整理的土方量, 具有较高的参考价值。

传统的计算方法工作量大、精度低、计算复杂。现今常用的土方量的计算方法有:截面法、网格法、散点法、表格法等等。当精度要求高时, 则需要现场实测格网点高程、截面图或者更大比例尺的地形图。本文探讨基于不规则三角网 (Triangulated irregular network, TIN) 原理和GIS技术, 结合ArcGIS9.3的空间分析扩展模块进行土地平整工程土方量辅助计算的一些方法和问题。

1 土方量计算的方法和原理

通过ArcGIS的三维分析模块, 可以根据一个点要素层中已测定的采样点, 通过克里格插值法生成一个连续表面, 也可以通过连续的等高线构建TIN (不规则三角网) , 然后转化为具有高程属性的栅格影像文件, 从而构建数字地形模型用于三维分析。在Arc GIS中, 地统计分析模块与Arc Map结合, 提供了一整套创建表面的工具, 这些表面能够用来进行地学可视化、分析及统计各种空间现象[1]。在计算设计算设计地表时, 要根据具体情况和施工要求, 使建立的设计地表遵循一定的施工原则, 例如填挖平衡原则、挖方大于填方等[8,9]。土方量计算的方法有断面法、格网法和不规则三角网法。

1.1 断面法

断面法是用平行截取的断面描述地面状况, 然后利用断面面积及相应的数学公式进行土方量的计算[10,11,12]。按照一定间距平行截取的断面围合形成体积单元, 两断面间的地形在渐变的假定下被简化成多棱台, 其体积用梯形公式计算。在同一个断面内有挖方和填方, 应绘出开挖零线, 分别计算挖、填的土方量。断面法多应用于山地和落差较大的地方, 修建道路的土方量计算也常采用这种方法。但是断面法计算量大, 不太适合在土地平整范围较大、计算精度要求高的情况下使用。

1.2 格网法

在土地整理项目中, 为了施工方便, 一般把项目区各个地块进行编号, 再按各地块的实际情况按格网进行分区, 细分的网格基本按照临近高度相近的地块进行划分, 然后再对每个格网区块进行编号, 其高程通过空间插值来确定[5,13]。土方量计算的原理是通过计算每一块网格的面积, 与该网格的挖土深度进行乘积得到。再对所有格网的体积进行求和, 即:

公式一Vij为第i地块的第j网格的土方量 (大于零表示挖土地块, 小于零表示填土地块) , Hij为实际高程, Hi为设计标高, Aj为面积;公式二计算该地块的土方量;公式三计算项目区的总土方量。

格网法主要适用于平坦地区或高差不太大的地形, 格网法的使用范围较窄, 计算精度也不太高, 在实际的工程计算中使用不多。

1.3 不规则三角网法

TIN数据模型把地表近似的模拟成一组互不重叠的三角面, 三角面的每一个节点都由坐标x, y和高程值每个三角面在TIN中都有一定的倾斜角度, 在较平坦的地区三角面的数量较少, 在陡峭的山区三角面较密且倾斜度更大。TIN与等高线、DEM一样可以作为地形制图和分析的矢量数据, 可以通过立体航空影像、实测数据等通过VIP算法、最大容差算法、等高线等方法来生成, 也可以通过数字高程模型转换而来[1]。与格网法不同的是, 是, 格网法将地表简化成水平面, 而TIN法简化成斜面, 在计算时采用的体积公式会有差别。刘国华、杨友长等先后对TIN的土方量计算算法进行了探讨[14,15], 赵秉东根据TIN法在AutoCAD基础上进行了土方计算软件的开发和设计[16], 均得出TIN法有助于提高土方量计算的效率和精度。

2 应用ArcGIS进行土方量计算实例

2.1 研究区概况

本文以四川盆地东南边缘某镇的土地整理项目为例具体介绍利用Arc GIS9.3进行土方计算的详细步骤。该土地整理项目位于江西省西南部低山丘陵区, 距离县城约25 km, 属于单斜山地貌, 地势北高南低。海拔高度介于360～800m之间。该项目区主要土地平整工程设计是对坡地及低矮山头实施平整及坡改梯, 修成坡式梯田, 并对15～25°的旱地及荒草地通过土地平整使台面坡度下降到15°以下, 15o15o以下旱地及荒草地不作降坡处理。

由于项目区水田经过农民多年的修整, 已经形成比较规范的田块, 本项目区原则上不做大规模田块调整, 仅考虑对部分零星小田块进行归并, 以减少田坎占地, 增加有效耕地面积。

2.2 建立研究区的TIN

TIN能够定量研究地形的空间变化特征, 它记录了精确的空间三维定位信息, 是各种地学分析、工程设计和辅助决策的重要基础性数据, 有着广泛的应用领域。在地学分析中, 可以通过TIN快速、简便地提取高质量海拔、坡度和坡向信息等各种地形因子。根据地区的实际情况, 可以对基于TIN的高程、坡度和坡向进行分级。分级时应该以既能体现研究地区的地形特征, 又能符合经济规律和自然规律为依据[17]。

运用ArcGIS进行坡改梯工程土方量计算步骤如下:

2.2.1 数据的采集

目前地形高程数据主要通过地形图数字化、影像数据和野外 (地面测量) 等方式获取, 其中原始地形图是构建不规则三角网的主要数据源。按要求生成的项目区地面模型应控制在项目区边界范围内, 生成DEM的高程, 可以采用等高线, 也可以采用高程点, 由于有比较完整的等高线图, 所以本文采用的是等高线为数据源。本文对项目区地形图进行数字化, 数字化采用的是扫描等高距为1 m的1:2 000地形图。首先把地形图扫描成tif格式文件, 加载到ArcGIS中, 转化为二值图。在ArcCatalog中新建一个shapefile (.shp) 格式文件, 也加载到ArcGIS中, 调用ArcScan模块进行数字化。土地平整工程的地面模型是根据规划图AutoCAD的AutoCAD的dwg格式文件, 应用ArcGIS的coversion tools工具箱转换成shapefile格式文件。完成转换之后, 用Repair Geometry和Topology工具对导入的dwg文件检查修复, 确保转换的的数据完整可用。

2.2.2 生成数字地面模型

应用ArcGIS的3D Analyst扩展模块把生成TIN, 再进一步生成高程图、坡向图和坡向图。

该地区地形以山地为主, 平地较少, 地势北高南低, 河谷最低处约400 m, 西北部最高山接近1 000 m, 居民大多数居住在海拔480～530 m的地方。

对于地面任何一点来说, 坡向表征了该点高程值改变量的最大变化方向。在输出的坡向数据中, 坡向值有如下规定:正北方向为0°, 顺时针方向计算, 取值范围为0～360°。本研究将坡向分为平缓坡、阳坡、半阳坡、阴坡四级。本区域在山岭以南, 光照条件优越, 适宜整理为农田。

坡度对土地利用有着重要的影响:小于6°的坡地, 可以作为农用旱地或牧草地;大于6°的坡地, 易产生强烈的侵蚀, 需修筑梯田或采用水保耕作法等水保措施;25°是退耕还林还牧界限;沟坡地的地面坡度大部分在35°以上, 该类土地应以种草造林为主要利用方式, 以保护边坡的稳定性, 防止崩塌、错落等重力侵蚀发生;45°是植树造林的上限。从等坡度图中可以看出, 改区域海拔550 m以下坡度基本小于25°, 只需对不平整的用地进行平整即可。

最后把TIN图像生成三维高程模型, 表达更直观。

A.地形图;B.坡向图;C.坡度图;D.三维图

A.Topographic, B.Aspect, C.Slope, D.Three-dimensional

2.2.3 叠加高程模型计算

应用ArcGIS的Surface analysis工具叠加生成栅格型填挖方图。栅格大小根据项目区的实际情况确定, 栅格大小设为1m时计算精度较高, 能满足项目区计算的需要。

2.3 土方量的计算

土地整理的土方量通过原始地表和设计地表的体积差求得。在对原始地表生成TIN后, 还需要进一步利用规划数据建立同一区域的设计地表模型。设计地表的TIN与原始地表TIN生成方式类似, 按照规划的地表进行数字化, 或直接从原有规划图中导入矢量线建立TIN。

在ArcGIS空间分析模块中, 采用表面分析中的Cut/Fill工具进行挖填方的计算, 把所生成的栅格图属性表输出, 并分别对其中的正负数值进行累加, 即可得到该样本区域的挖填方量。如图4, A为原来的地形, B为规划的地形, 通过计算得出C, 其中蓝色为挖土方区域, 红色为填土方区域。

将不同田块的面积累加得出总的土地整理面积约为9 921 m2, 项目设计经专家论证, 批复的设计土地平整工程量为21 429.4 m3, 利用Arc GIS计算的总土方量为20 886 m3, 二者相差为543.4 m3, 与项目设计土方量非常接近。

注:负值为净填方, 正值为净挖方, m3。

3小结

土方量的计算对项目投资量的影响较大, 因而准确、快速的计算土方量也是近年来土地整理项目中的研究热点, 快速可靠的土方量数据有助于提高工程规模的预测和施工的效率。经过前人不断的研究和积累, 土方量的计算方法也是种类繁多, 各有所长, 在计算精度和计算效率上都有了显著提高。本文从地统计学的角度出发, 以Arc GIS软件提供的3D Analyst模块作为研究平台, 结合江西省西南部某镇的土地整理项目实践, 选取了一个研究区, 进行了数字化, 建立不规则三角面然后进行土方量的计算, 计算结果对工程的开展起到了一定的指导作用。

第一, 土方量要求计算机安装ArcGIS软件和相关扩展模块, ArcGIS软件价格昂贵, 并且要求应用者有相当的地理信息科学基础, 不适宜于普及使用。

第二, 相对于计算土方量的传统方法, ArcGIS软件具有操作简单、效率高、适用性强的特点。它不但可以应用于地势平缓的项目区, 同样适用于丘陵山地项目区, 同时适用于规则区域、不规则区域、线路的土方量的计算。

体积表面积计算题篇3

在新课程理念下，面对学生的思维方式、行为品格、价值追求，老师应该怎样与学生对话交流?课堂上怎样让他们真正成为主动者，参与到你的教学活动中来?

龚老师的课堂最为独特地方是：老师能利用学生课前生成的资源作为学习材料，整堂课所有的学习资源都来源于学生，由学生自己创造、自我整理，对立体图形的知识形成自己独特的感知。由于学生研究的问题是自己的`，收集的错例是集体的，所以学习起来各个兴趣盎然，课堂气氛相当好。

当然在每堂课中，学生都会有差错。对于学生的差错，老师的心态可能会斥责、批评，但在这节课中我看到的是大方的接纳和欣喜的赏析。老师欣赏着学生一些有价值的错例，并加以利用和开发，让敢于发言的同学不带着任何遗憾而坐下。而这样的错例老师进行类推、归类，对比、提升，形成几何体的网络体系。这样的学习，能有效地激起学生的思维碰撞，引起不同思维水平学生的热烈讨论，在思辨中有效落实新课标。

体积表面积计算题篇4

一、教学目标

1．知识与技能

(1)通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。

(2)能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。

(3)培养学生空间想象能力和思维能力。

2．过程与方法

(1)让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状。

(2)让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者间的面积和体积的关系。(3)在解决问题的过程中渗透化归的数学思想，培养学生通过化归解决问题的能力和意识，体验合情推理的方法和作用。(在解决后面的问题时能主动用化归思想。)3．情感、态度与价值观

(1)通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程对自己空间思维能力的影响，从而增强学习的积极性。

(2)培养学生质疑的意识，以促进学生思维严谨性的形成。(学生并不习惯于质疑，可以通过教师的质疑逐步引导，培养理性的精神。)

二、学情分析

学生已具备一些直观的对简单几何体的认识，理性思维还不很成熟，所以在实际教学时，要使学生对已有知识经验的认识上升到新的高度，从而激发学生进一步学习的欲望。

三、教材分析

1．本节的作用和地位

本节内容是高中的一个重要内容，它能使学生的认识在理性方面有所提高，通过本节内容的学习可使学生掌握一种重要的数学思想方法——化归，因此本节内容十分重要。

2．本节主要内容

该部分内容中有一些是学生熟悉的，比如正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面积和体积。其他空间几何体——一般棱柱、棱锥、棱台和圆台的表面积、体积问题是本课时要解决的。在解决这些问题的过程中，首先要对学生已有的知识进行再认识，提炼出解决问题的一般思想——化归的思想，总结出一般的求解方法，在此基础上通过类比获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类比等思想方法的应用，这也是学习下一章内容时要用的基本方法。

3．重点、难点分析

在解决具体问题时，要用相似三角形求得线段的长，这是本课时的难点。特别是对于基础比较好的学生，如果要完成教材旁白中所说的证明棱台的体积公式，其难度也是比较大的。

因此确定本课时的教学重点、难点是：

教学重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，培养学生通过化归解决问题的能力和合情推理的能力。

教学难点：台体的表面积与体积公式推导，以及“特殊到一般”认识规律和“创造条件促成事物的转化”思想在推导公式过程中的渗透与应用。

4．课时要求：2课时

四、教学理念

课程标准强调学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。因此教学中要“以人为本”，积极引导学生参与到知识获得的过程中，让学生获得分析问题、解决问题的能力。

五、教学策略

课程标准的要求是：了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积计算公式(不要求记忆公式)。而且，新课程的编排体系是从整体到部分，从宏观到微观，也即在本课时学习之前学生对空间中点、线、面的位置关系尚无理性认知，所以，在本课时学习过程中最好通过直观感知、合情推理的方式展开教学。

六、教学环境

本课时涉及的内容比较多，而且其中很多都是再现性的，因此必须借助适当的信息技术手段提前将需要再现的图形准备好，提高课堂教学的效率。提前制作一些由一个棱柱切开成3个棱锥的模具，上课后供学生操作使用。

七、教学过程

引言：通过学习空间几何体的结构特征、空间几何体的三视图和直观图，我们了解了空间几何体与平面图形之间的关系。从中反映出一个思想方法，即平面图形与空间几何体的互化，尤其是空间几何体问题向平面问题的转化，这种化归的思想方法将贯穿立体几何的研究过程，是一个重要的思想方法，在今后的学习中大家应该重视这一思想方法的应用。(设计意图：挖掘旧知识中蕴涵的数学思想方法，使得隐性知识显性化，在本课时的学习中发挥先行组织者的作用。)本课时研究的是柱体、锥体、台体的表面积与体积。空间几何体的表面积是几何体表面的面积，即几何体各个面的面积的和。空间几何体的体积是几何体所占空间的大小。

问题1

（1）试着完成下表1中你会的部分。

(2)比较表1—1和表1—2中空间几何体的侧面积与表面积你完成的部分，是否蕴涵着上述化归思想，并请具体给出阐释。(设计意图：通过完成(1)达到帮助学生复习扫清学习障碍、同时了解学生基础的目的。通过完成(2)进一步明确化归思想方法，为后继解决问题提供思路。)活动方式：学生独立完成之后教师利用展台展示学生完成的情况，讲评纠错。

表1-1部分平面图形的面积表1-2部分空间几何体的表面积与体积

预设的结果：学生可以完成表1—2中正方体、长方体的表面积和体积，圆柱、圆锥的侧面积、表面积和体积。在教师的引导下，学生进一步明确其中蕴涵的空间几何体问题可以转化为平面几何问题求解的化归思想方法，运用这种方法时，第一步是要得到空间几何体的展开图；第二步是依次求出各个平面图形的面积；第三步将各平面图形的面积相加即可。

实际情况：学生在写圆锥的侧面积时因为对扇形面积公式中字母含义认知不清，所以出现错误。于是对比表1—l进一步解决了利用弧长和半径表示的扇形的面积公式，之后又利用扇形面积公式求得圆锥的侧面积。

在基础比较差的班级上课时，学生只能写出正方体和长方体的表面积和体积。

学生计算正方体、长方体的表面积时由于熟悉并没有展开，而是直接计算求解，但是在回答问题“是否蕴涵有上述化归思想?”时学生还是能很清楚地解释的。

备用图

图2—1 正方体及其展开图图2—2 长方体及其展开图

图2—3 圆柱体及其展开图图2—4 圆锥及其展开图问题2

(1)类比上述求法，利，用化归的数学思想方法，完成练习1和练习2；

机动练习1 如图2—5，已知三棱锥S—ABC的棱长为a，各面均为等边三角形，求它的表面积。

图2—5 图2—6

机动练习2 如图2—6，四棱台的上、下底面均是正方形，边长分别是8 cm和14 cm，侧棱长都是5 cm，求它的侧面积。

(2)思考如何求出任意一个棱柱、棱锥、棱台的表面积?它与哪些平面图形有关系?之后在表2—2中写出求这几类空间几何体的表面积的思路。

(设计意图：巩固已有方法。具体问题是学生思维的开始，具体问题可以缩短学生进入解题状态的时间，同时通过具体问题的解决使学生有切实的感受，提供了推广的基础。)活动方式：学生独立完成，展示交流点评。

预设的结果：先完成练习1和练习2，之后抽象得出一般解法。

实际的情况：学生在解决问题时，思路比较顺畅，几乎不存在问题，但是实际计算时出

1a3a现了问题，表现在计算正三角形的面积时出错：，于是求得最后结果23a2，还

222有学生的计算结果是23a；计算梯形的面积时出现的错误是：错认为5是梯形的高。在练习2中只要求计算梯形的侧面积，但是有学生并没有认真审题，仍然计算全面积。

回答如何计算棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积时学生的思路都没有问题。

问题3 类比上述方法，求圆台的侧面积和表面积，数据如图2—7所示。

图2—7 圆台体及其侧面展开图

(设计意图：巩固已有方法，解决新问题。)

活动方式：学生独立完成，展示讨论，形成正确的解题步骤。

预设的答案：(略)实际的情况：学生的思路没有问题，但是具体的计算有问题，表现在两个方面：第一是不能选择引入简单的变量，比如有学生设OBl，使得计算复杂；第二是根据三角形相似列

rOA式时出错，比如有学生列出的比例式是等。

rl 针对上述情况实际教学时，将学生写的解答过程在展台上展示，通过提问“对应边是谁”，纠正错误。

问题4 将正方体、长方体的体积公式分别改写为：V正方体a3a2aS底h，其中ha；V长方体abcabcS底h，其中ha。据此猜想棱柱的体积公式是什么?

(设计意图：根据已有知识经验获得一般的结论，培养学生合情推理的意识和习惯。)预设的答案：V棱柱S底h，其中h表示棱柱的高。

实际的情况：比较顺利地完成。

问题5 根据圆锥体积与圆柱体积的关系，猜想棱柱的体积公式是什么?

(设计意图：根据已有知识经验获得一般的结论，培养学生合情推理的意识和习惯。)1 预设的回答：V棱锥S底h，其中h表示棱锥的高。

3实际的情况：比较顺利地完成。

问题6 我们知道等底同高的三角形的面积相等，类比这个结论针对三棱锥你能得到什么猜想?(设计意图：培养学生根据空间图形与平面图形的关系将平面几何中的结论在空间进行推广的意识和能力，为完成下面的任务做准备。)活动方式：学生独立思考，完成猜想，必要时教师予以帮助。

预设的答案：如果两个三棱锥的底面积相等，高也相等，那么这两个三棱锥的体积相等。

实际的情况：在学生基础较好的班完成得比较顺利，在基础较差的班完成得比较困难，学生不能将平面几何中的三角形、面积与空间中的三棱锥、体积联系起来。

1问题7 你能利用上述猜想解释V棱锥S底h吗?

图2—8

(设计意图：虽然此处还不能进行理论的论证，但是在猜想的基础上可以引导学生进行说理，培养学生的理性思维习惯。)预设的活动方式：展示操作，由老师利用模型或图4—2—8进行解释。

实际情况：都是学生完成的。(在学生基础较差的班级实际教学时没有进行到这里。)学生不善于改变方向换角度看问题。学生在解释图2—8中三棱锥1与2的体积相等选择的底面是ABC，顶点是点A和点B。这样的选择能直接解释底面积相等，但是就目前的几何知识还解释不了高相等，虽然学生解释了如何做高。又有学生解释时选择的底面分别是AAB和ABB，顶点是C。这个选择比较容易理解，但是还不够直观，也许是因为手头没有模具的原因，后来在老师的提示下将两个三棱锥“扳倒”，使得AAB和ABB所在的面着地，那么顶点重合高相当，而不需要从顶点到底面做高，既直观又避开了没有学过的知识。

问题8 类比棱台、圆台侧面积的求法，你能解决求棱台、圆台体积的问题吗? 如何求?如图2—9，设圆台的上、下底面积分别为S和S，高为h，试求其体积。

图2—9

预设的答案：转化为棱锥、圆锥的体积差问题求解。

活动方式：学生独立思考完成。

预备的解决过程(以圆台为例)：如图2—9，设OOx，上、下底面的半径分别为r，和r，圆台的上、下底面积分别为S和S。S因为xrxhrS

SS所以xhS SS11111所以V台=S(hx)SxShSxSx

333331111hSSh(SS)xSh(SS)3333SS

111Sh(SS)hSh(SSSS)333 实际情况：学生只给出思路，具体的计算课后完成。

机动练习3 看图填空

机动练习4 四棱台的上、下底面均是正方形，边长分别为3 cm和5 cm，高是6 cm，求此棱台的体积。

图2—10

(设计意图：检验教学效果。)实际情况：在课堂上没有做这两个练习。

问题9 结合圆柱、圆锥及圆台的结构特征，再观察它们的表面积公式、体积公式，你能发现什么关系?

(设计意图：从运动变化的观点分析三者之间的关系。)预设的答案：

柱体、锥体、台体的体积之间的关系：

实际情况：只完成了表面积之间的关系。由于棱台的体积公式没有在课堂上推导，所以没有要求学生思考体积之间的关系。

问题10(1)通过本节课的学习你有什么收获，请从数学知识、思想方法、解决问题的经验等方面谈谈。(2)在本节课的学习过程中你有哪些疑问或者质疑?(设计意图：问题(1)是引导学生对本课时的学习进行归纳总结；

问题(2)引导学生对合情推理过程进行质疑，培养学生思维的严谨性，同时激发学生进一步探究的好奇心，为第五章的学习埋下伏笔。)活动方式：学生独立思考，汇报交流。

实际情况：学生能小结出化归的多种途径，但是谈到质疑，学生只提出一个问题：还没有讲棱台的体积怎么求。对于这个问题我的回答是：“为什么没有讲?”学生能类比解决。

学生没有其他质疑，于是教师提出问题：

(1)为什么计算圆台的侧面积时可以用两个三角形相似?学生说根据定义圆台的两个底面平行。教师进一步追问：两底面平行就能推出两直线平行吗?并举出反例进一步激起学生的疑问。

(2)做三棱锥的高是从一点向平面做垂线，你怎么确定这条线是垂直的? 这些问题都需要到下一章才能解决。

八、目标检测作业

作业：P27练习，习题1．3A组1，2，3。

(设计意图：初步运用公式解决问题。设计理念：将作业作为课堂教学的延伸、联结和必要补充，而不单是模仿训练。)

九、教学反思

1.以研究方法及学生的认知发展规律为主线，旨在发挥数学的教育功能

根据上述的设计思路，这一节2课时的划分办法是：第一课时研究柱体、锥体、台体的表面积，及教材中的例1；第二课时，解决教材中的例

2、例3及相关的公式应用问题，之后完成对球的表面积与体积的学习。

这个设计思路在实际教学中得以充分的实现，学生从一开始对“化归”思想的陌生，不知道该如何解释“类比”，及化归的具体办法，可见他们已经能将之显性化。通过本课时的学习，学生应该比较清楚立体几何初步学习的基本思路，对后继的学习有帮助。

2．注重先行组织者的作用——解释研究方法

在实际教学时，引导学生回忆本章前面学习了哪些知识，其中蕴涵着什么数学思想。通过复习揭示了具体知识中蕴涵的化归思想，这是本课时的核心思想，它贯穿本课时教学的全过程，很好地发挥了先行组织者的作用。

3．注重学生的已有知识经验的作用，并力求通过本课时的教学使得学生认识再上一个层次；注重设计与生成的有机结合

在学生基础较差的班级上课时，确实困难，因为有学生连正方体、长方体的表面积和体积都写不对，更不用说写出圆柱、圆锥的表面积与体积了。怎么办? 落实与完美不可兼得时选择“断臂维纳斯”之美。于是在课堂上“就地卧倒”，和学生一起填写表格，一点一点地落实，并且是看着学生把该填的都填上，否则这一节课就只能是“教师讲课”了。在这一节课上没有按照预设的完成任务，但是学生是有收获的，听课教师也是有收获的。听课教师说听了这节课后要写文章“普通班学生数学缺乏兴趣，问题出在哪里?”或者“如何真正针对普通班学生数学缺乏兴趣，落实因材施教原则”。学生“感觉收获特别大!”“整节课，学生在一种愉快而又紧张(他们怕被提问但又想被问)的思考中，结束了这节课的学习。”

在教学实践中，注重学生的参与，并且是思维层面的参与，并通过环环相扣的问题串实现。什么是思维层面的参与，可以通过一个具体的事例解释：比如求圆台的侧面积，笔者的处理方式是问题提出后，教师“闭嘴”，由学生独立思考解决，之后再交流。常见的教学方式是，提出问题之后教师先分析思路，确定解法之后由学生完成。后一种方式中学生活动的思维含量较低，属于“苦力”行为，而且容易养成学生的依赖性，导致在考试中“不怕难题怕新题的现象”。在评课时，授课所用班级的原课任教师也说到，“学生的配合并不是太好，原因是学生不习惯这种教学方式。”事实上只有一开始就把问题交给学生，才能真正发现问题，生成教学，才能培养学生独立性，才能培养学生分析问题的能力。

4．注重直观感知，合情推理，但是争取不失时机地进行说理和推理

课程标准对该部分内容的要求是“了解”，并且不要求记忆公式。但是在写教学设计时一直有一个困惑：难道就直接把公式给学生吗?那样做符合高中的课程目标和学生的思维规律吗?在写教学设计时还是希望不失时机地给学生渗透说理和推理，并在教学实践中予以落实，这样做导致的结果就是容量加大，在规定的2课时内实在是难以完成，包括对实验班的学生。这一节课在我省最好学校的最好班级、城市优质高中的实验班(该校班级分为实验班、普通班)、城市优质高中的普通班(该校班级分为特优班、实验班、普通班)分别上过，每次上完课的感觉都是紧张，容量大，听课教师的感觉也是如此，但是这一课时完不成上述教学设计的内容，那么必定在2课时内完不成这一节的教学内容，就像在普通班“就地卧倒”之后，必须用3课时完成，而这个普通班还不是最差的班级。所以现在依然困惑是教学设计超标了，还是课时给少了? 对于这一节有两种解决课时的办法：第一种办法是不用本教学设计，只把结论给学生，但对这种方法多数教师都持怀疑态度，这样教就可以了吗? 第二种办法是用3课时完成，并如下划分3课时：柱体、锥体、台体的表面积及其应用1课时，体积及其应用1课时，球的体积、表面积和本节习题处理1课时。

5．教材处理有变化，但变化中有不变的规律——尊重教材的处理思路

教材处理中有两点做了明显的变化：其一是调整了教材处理的顺序，将圆柱、圆锥的表面积与体积问题提前，因为这些内容在义务教育阶段已经学过；其二是将问题分化，即将表面积分化为侧面积与底面积。重点解决侧面积问题。实践证明这样处理是正确的，不论在哪种类型的班级上课，只要解决了侧面积问题，表面积问题就水到渠成，一带而过。但是变化中不变的一条是遵循教材的研究思路，与同题授课的老师相比更注重研究思路在教学过程中发挥的作用，在评课中同题授课的教师也认为笔者的处理方式更好。所以建议教师在研读教材时不但要看显性的知识，还要看隐性的知识，将明线暗线相统一。

(注：该案例由山西省教科院薛红霞老师提供)思考与练习：

1．教学设计与教案的关系是什么?选择一个中学数学内容具体详细写一个教学设计与教案，并作比较。

2．你认为数学课堂教学设计要遵循哪些原则?选择一个中学数学内容具体来说明。3．下面是某老师设计的《函数的最大值与最小值》教学目标： [知识和技能目标](1)明确闭区间[。，6)上的连续函数／(J)，在[d，凸]上必有最大值与最小值。-(2)理解上述函数的最值可能存在的位置。I(3)掌握用导数方法求上述函数的最大值与最小值的方法与步骤。I [过程和方法目标] I(1)在学习过程中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识。I(2)培养学生的数学能力，能够自己发现问题、分析问题并最终解决问题。I [情感和价值目标] ÷

(1)认识事物之间的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义

思想。

(2)提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神。

请你对该老师设计的这个教学目标作出点评。

4．下面是某老师设计的《数学归纳法及其应用举例》的学情分析：

知识准备：学生对等差(比)数列、数列求和、二项式定理等知识有较全面的把握和较深入的理解，同时也具备一定的从特殊到一般的归纳能力，但对归

纳的概念是模糊的。

能力储备：学生经过中学前5年的数学学习，已具有一定的推理能力，数

学思维也逐步向理性层次跃进，并逐步形成了辩证思维体系。但学生自主探究

问题的能力普遍还不够理想。

学生情况：我所在的学校是省属重点中学，所教的两个班级是平行班，学

生基础还不错。我按照大纲要求，结合学生情况，补充了一些问题情境和数学

实例以烘托重点，突破难点。

你认为该老师的这个学情分析有什么缺陷? 5．数学课堂的教学反思有哪些方法?你常用哪种方法进行课后反思?请

你判断以下的课后反思用的是什么方法。

“充分条件与必要条件”课后反思

(1)本课的学习是为今后进一步学习其他知识作准备，随着后续章节的学习，对充要条件的理解和应用将贯彻始终，学生对逻辑知识的应用将越来越广

泛和深入，相应的对逻辑知识的理解和掌握水平也将越来越高，同时学生的认

知是一个循序渐进的过程，片面地强调求难、求偏均不能很好地完成本课教学

任务，因此本课教学一定要从学生实际和教科书的具体内容出发，提出恰如其

分的教学要求，避免一步到位。(2)对教材中例1选题的几点思考：

①这组题设置由一般(不等关系)到特殊(等量关系)，为什么? ②教材仅设置例1一道例题，要完成本课教学目标，如何把握其设置意

图?学生由此题可得到怎样的知识和心得?教师要如何运用教材更好地体现自

己的教学思想?都值得我们教学人员仔细推敲。

6．下面是某老师“充分条件与必要条件”的教材分析：

学习数学需全面理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这就离不开对逻辑知识的掌握和应用。更广泛地说，在日常生活、工作和学习中，基本的逻

辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。作为高中数学起始章节的内

容，充要条件在高中数学中地位是最基本的，也是最重要的。通过本课学习着

重培养学生逻辑思维(如理解、判断、推理、归纳等)的能力。

请你对该老师所做的教材分析作出评价。

主要参考文献：

1．章建跃：《数学课堂教学设计研究》，载《数学通报》，2006(7)。2．王秋海主编：《数学课堂教学技能训练》，第1版，上海：华东师范大学出版社，2008。

3．蒋永晶、王书臣：《数学课堂教学设计的概念、内容和意义》，载《继续

教育研究》，2002(3)。

4．唐彩斌：《数学课堂教学设计“六问”》，载《研究与探索(数学版)》，2007(6)。

5．杨瑞强：《浅谈利用多媒体在数学课堂教学中的体会和思考》，网址 http：／／。

6．章建跃：《数学教学反思的内容与方法(指导意见)》，载《中国数学课程

长度,面积,体积单位换算练习题篇5

专项训练

长度，面积，体积单位换算练习题

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练习：

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芃阳教育

专项训练

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3.7平方分米=（）平方毫米()分米=1.5米 510米=()千米 5米16厘米=()米 0.95米=()厘米 4700米=()千米 1.4平方米=()分米 360平方米=()公顷

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体积表面积计算题篇6

某大型工程地下室建筑面积约57753m2, 地下室耐火等级一级, 防水等级为二级, 抗震设计强度7度, 设计使用年限50年。地下室混凝土强度为C30, S6抗渗等级, 底板厚400mm, 侧墙厚400mm。桩承台尺寸由1000×1000mm～4155×3600mm不等, 厚度在1500～2500mm之间。

地下室底板总混凝土量约3万m3, 由后浇带划分成30个板块, 各板块的混凝土量约为1000m3。

2 混凝土材料的选择

本工程底板混凝土等级为C30, 整个地下室抗渗等级均为S6。采用商品混凝土, 坍落度控制在12～14mm之间。

⑴通过试验确定各种材料的使用量, 试件必须经过28天抗压抗渗试验, 试验合格后方可使用。

⑵减水剂选用Ⅱ型粉煤灰, 其减水率>25%以上, 使混凝土之用水量大幅降低, 以期达到较高的抗渗要求。

⑶严格骨料的选取, 特别是含泥量严控在0.5%以下, 从配比上保证骨料的良好级配, 以密实度提高防水功效。

⑷主要以调整配合比掺加减水剂的方法, 即通过材料和施工两个方面来抑制和减少混凝土内部孔隙的生成, 改变孔隙的形态和大小, 堵塞漏水通路, 基于不依赖其它附加防水措施, 仅靠提高混凝土自身密实性达到防水的目的。因此抗渗混凝土质量的好坏不仅取决于混凝土材质本身及其配合比, 而且施工过程中的搅拌、运输、浇筑、振捣及养护等都对混凝土质量有很大影响。施工时必须对上述环节严加控制, 严格执行有关规范、规程。

3 底板混凝土施工

3.1 施工部署

底板混凝土浇筑包括桩承台及地梁浇筑。由于混凝土量大, 所以施工作业时需按后浇带的划分以及施工现场环境, 设置A、B、C三个施工区, 划分为10个施工段, 即A1～A3、B1～B4、C1～C3。考虑到上部结构施工的插入时间以及垂直运输问题, 确定A、B、C三个施工区同时施工, 在每区中按顺序 (A1→A3、B1→B4、C1→C3) 进行流水施工。在保证施工工期的同时, 确保人力、物力的供应和尽量减少窝工。分区示意图见图1。

3.2 底板混凝土的施工

本工程地下室底板属于大面积、大体积混凝土, 施工时采取斜面分层浇捣法。每个施工区段以每隔4m为一个施工带, 每一施工带混凝土量约为48m3, 采用两台混凝土泵, 能满足在初凝前将每段施工工作面浇捣完毕。为了避免产生施工的冷缝, 混凝土应连续浇筑, 控制在2小时之间, 不允许出现施工缝。

混凝土采用混凝土泵输送管布料, 采用插入式振捣实, 其移动间距应保证振动器能覆盖已振实部分的边缘。为保证混凝土的密实, 采用振捧振捣时, 间距应控制在500mm左右, 插入时间控制在10秒左右, 以表面翻浆冒出气泡为宜。施工时应尽量避免碰撞钢筋、模板, 并注意“快插慢拔, 不漏点”, 上、下混凝土振捣搭接不少于50mm。

浇筑混凝土时应注意保持钢筋位置, 混凝土保护层控制准确, 特别要注意踩弯面筋, 设铁工跟班负责发现并及时校正。

混凝土随打随压光, 当混凝土面收水后再进行二次压光。终凝前, 严禁人员上落。

3.3 后浇带混凝土的施工

⑴浇筑时应严格控制混凝土质量、振动时间和振棒落点间距, 避免漏振、过振, 严格控制混凝土的初凝时间、塌落度及和易性, 确保混凝土密实度应符合施工规范要求。

⑵后浇带两侧采用快易收口网隔断固定。

具体的后浇带大样做法图详见图4。

⑶浇筑底板混凝土时, 后浇带两边的混凝土需要进行加振。

⑷浇筑后浇带混凝土前, 用长铁凿将钢表面的浮浆凿去, 并在表面凿毛处理, 钢筋上沾有的混凝土浆应先用钢丝刷刷去, 用高压水清洗。

⑸根据设计要求, 后浇带应在混凝土浇筑施工完后2个月, 至少不得少于40天, 采用比设计强度等级提高一级的混凝土浇筑密实。但由于工期紧张, 对于部分需要提前浇筑混凝土的后浇带须按配比加入适量的微膨剂, 以达到减少混凝土收缩, 抗裂的效果。

⑹后浇带混凝土应在温度较低时浇筑, 以免产生过大的温度应力。

⑺板混凝土浇筑完毕后, 在混凝土终凝前采用麻袋覆盖养护, 并适时浇水, 使混凝土处于足够的润湿状态, 并在后浇带两侧砌2皮砖灌水养护, 养护时间不少于14天。

4 大面积混凝土施工裂缝的控制

大面积混凝土裂缝的控制实际上是混凝土早期裂缝的控制。为减少因温差和干缩引起混凝土拉应力, 避免混凝土开裂, 首先要按设计要求设置后浇带, 分块施工。

4.1 混凝土浇筑

混凝土浇筑:混凝土的虚铺厚度应略大于板厚, 振捣完毕, 用刮尺抹平。刮平过程中, 混凝土面要饱满, 不能留有小凹洞, 初凝前可用磨光机将面层粗磨一次。

振动棒插点的间距一般不应超过振动棒有效作用半径的1.5倍, 振捣时应“快插慢拨”。控制好振捣时间, 见到混凝土不再显著下沉, 不再出现气泡, 表面泛出水泥浆和外观均匀为止。作业中要避免将振动棒触及钢筋、预埋件和模板等。混凝土浇筑时可用平板式振动器振捣混凝土, 应使平板底面与混凝土全面接触, 并要保证振捣面前后重叠, 每一处振到混凝土表面泛浆, 不再下沉后, 即可缓慢向前移动。

4.2 混凝土整平

混凝土的整平可采用水平滑移刮平托架体系进行大面积混凝土一次成型的方法。

水平滑移刮平托架体系基本原理是利用托架体系采用可调式支座, 调平水平高度, 再用刮平板沿托架轨道方向刮平混凝土。这样, 就可以利用固定的托架体系控制混凝土的平整度。 (详见图5) 。

4.3 混凝土养护

养护方式采用加盖塑料薄膜养护, 每天淋水不少于2次, 以保持混凝土面湿润。混凝土养护的时间不小于14天。混凝土强养护期间应禁止过早上人上料工作, 避免混凝土过早受压产生裂缝, 待混凝土强度达一定要求后, 方可进行下一工序施工。

5 大体积混凝土裂缝防治措施

大体积混凝土浇筑完毕后, 由于水泥水化热作用所放出的热量使内部的温度不断上升, 混凝土表面和内部温差很大, 表面与内部混凝土收缩不一致, 产生很大的拉应力, 而混凝土的早期抗拉强度和弹性模量很低, 因此极易出现混凝土的表面裂缝。需要采取措施以减少混凝土内外温差。

⑴底板混凝土的材料、配比及其各性能指标要满足规范的要求。同时要保证混凝土28天强度等级及相关的抗掺等级。

⑵混凝土运输要防止产生离析和坍落度损失。

⑶底板施工时, 要做好基坑排水、降水工作, 严防地面水流入基坑造成积水, 影响混凝土正常硬化, 导致防水混凝土强度及抗渗性降低。

⑷底板防水混凝土施工, 应一次浇筑完成, 以避免出现施工缝和施工缝引起的开裂、渗漏。

⑸防水混凝土应连续浇筑, 尽量不留施工缝, 分层浇筑应确保后层混凝土必须在前层初凝前进行。主体结构需要留设的水平缝, 其缝口按设计者要求, 留设在底板面上500mm, 采用钢板止水带。

⑹确保防水混凝土结构钢筋保护层厚度, 确保内部设置的各种钢筋或绑扎铁丝不接触模板, 穿墙 (板) 管件须焊接止水片以确保止水。

⑺大体积混凝土施工时的防裂措施:

(1) 在浇灌混凝土前, 要仔细检查垫层的防水有没有出现渗漏, 保证在没有出现渗漏的情况下才能浇灌混凝土。

(2) 结构混凝土采用斜面分层浇注, 以减少混凝土的一次浇注量, 控制混凝土的温度应力和混凝土的收缩量, 以避开混凝土的水化热高峰。其层间的间隔时间应尽量缩短, 避免出现冷缝。

(3) 混凝土中掺入适量的粉煤灰和微膨胀剂等外加剂, 以控制水泥用量, 从而增加混凝土的密实性, 减少水化热引起的混凝土温度应力和收缩。使用前, 对混凝土中所掺入的外加剂 (缓凝、减水剂) 做使用试验, 以避免其收缩时产生的裂纹对结构产生影响。

(4) 混凝土的浇灌振捣技术对混凝土密实度很重要, 在混凝土新旧接口处, 采用两次振捣技术。混凝土的振捣沿着斜面同步进行, 上下层振捣搭接50～100mm。根据泵送时形成一个坡度的实际情况, 在每一个浇筑前中后布置三道振捣器:第一道布置在混凝土卸料点, 主要解决上部混凝土的密实;第二道布置在混凝土流淌的中间段, 以保证流淌中段的密实。第三道布置在混凝土坡脚处, 以确保下部混凝土的振捣质量。

(5) 大体积混凝土的浇筑时间一般宜选在外界温度较低的时候进行, 当在气温较高的天气施工时, 通过对粗骨料遮盖淋水降温、混凝土搅拌时加入冰水、用湿麻包袋覆盖泵管等措施以降低混凝土入模温度。

(6) 防水混凝土不宜过早拆模, 拆模时要控制混凝土表面温度与周围气温之差不得超过25℃, 以免混凝土表面出现裂缝。混凝土的入模温度宜控制在25℃以下, 采取湿麻包袋覆盖泵管、泵车卸料口用太阳伞遮盖等保温保湿措施, 减少早期裂纹的出现。

(7) 混凝土表面注意提浆、压光, 以消除表面塑性裂缝, 并严格按要求对混凝土进行养护。养护对混凝土的抗渗性能影响极大, 当混凝土进入终凝后即覆盖塑料薄膜养护或蓄水养护, 养护时间不得少于14天, 蓄水养护不得少于7天。

⑻混凝土测温:为控制混凝土的内外温差在规范的要求范围内, 对承台等大体积混凝土须进行测温, 以及时发现混凝土的温度变化, 采取相应的降温措施。

(1) 测温点的布置必须具有代表性和可比性。测温点采用预留测温孔洞方法测温, 每个测温点要布置上、中、下处的测温探头。

(2) 测温制度———测温时间由混凝土入模到该温度监测点开始, 先测试其混凝土入模时温度, 之后七天每四小时测一次, 同时应测大气温度。

(3) 测量工作应由经过培训、责任心强的专人进行。测温记录, 应交技术负责人阅签。并作为对混凝土施工和质量的控制依据。

(4) 测温工具的选用———测温用JDC-2型电子测温仪测温, 当发现温差超过25度时, 应及时加强保温 (加盖一层湿润麻袋加薄膜) 或延缓拆除保温材料, 以降低混凝土产生温差应力和避免出现裂缝。

6 实践体会

经过上述一系列措施的综合运用后, 浇捣的底板混凝土没有产生裂缝, 表面平整, 强度也达到了要求, 证明了该施工方法是可行的。

7 结束语

只要严格遵守施工规范, 落实施工环节, 认真做好后期养护工作, 就能有效缓解甚至基本消除温度裂缝, 完全可以取得满意的施工效果。