直线平行问题

直线平行问题（共11篇）

直线平行问题 篇1

关键词：高中,数学,平行,等价

在新课标人教B版2.2.3两条直线的位置关系中,学习了两条直线的相交、 平行、重合及垂直这几种位置关系,其中直线方程用一般式表示时平行条件的记忆和理解较为困难,也容易出现错误。在此对于这一点,笔者有几点感悟与大家共同交流。

一、定理的内容

已知两条直线方程为

则l1与l2平行圳A1B2-A2B1=0,而B1C2-B2C1≠0或A1C2-A2C1≠0.

在此等价条件可以改写为:

二、定理的证明

两条直线平行等价于方程组

无解.

下面解方程组:

得:

当A1B2-A2B1=0,B1C2-B2C1≠0时,

则方程组无解;

1×A2-2×A1得:

当A1B2-A2B1=0,A2C1-A1C2≠0时,

则方程组亦无解.

所以方程组无解等价于

探索直线平行的条件 篇2

[问题与情境]

星期天，乐乐和明明来到郊外的一条河边，他们想测量一下他们所处位置的河岸是否平行． 他们各拿来了一个测角仪和两根标杆.请问：就现有的条件，乐乐和明明能否判断河岸是否平行？说说你的方案．

聪明的乐乐想出一个好办法．他是这样做的：通过目测使4个标杆在一条直线上（如图1），4根标杆分别立在A、B、C、D所在的位置． 再用测角仪分别测出∠ABE和∠DCM的大小.若∠ABE ＋ ∠DCM ＝ 180°，则EF∥MN；若∠ABE ＋ ∠DCM ≠ 180°，则EF、MN 不平行.

这里其实用到了直线平行的条件：由∠ABE ＋ ∠DCM ＝ 180°，可得∠EBC ＋ ∠MCB ＝ 180°，从而由“同旁内角互补，两直线平行”判断出河的两岸互相平行.

[开眼界]

1． 同位角、内错角、同旁内角的概念

（1） 同位角：在两条直线a、b的同方向，在第三条直线c的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角．如图2中，同位角有∠1和∠5、∠2和∠6、∠3和∠7、∠4和∠8．

（2）内错角：在两条直线a、b的内侧，在第三条直线c的两旁，这样的一对角叫做内错角． 如图2中，∠3和∠5、∠4和∠6都是内错角.

（3）同旁内角：在两条直线a、b的内侧，在第三条直线c的同旁，这样的一对角叫做同旁内角． 如图2中，∠4和∠5、∠3和∠6都是同旁内角.

温馨提示： 对于较复杂的图形，一般可采用如下方法区分角的关系．①把相关的一对角的边用其他色笔或粗线条描出，这有助于分辨这对角的关系． ②在图形中构成同位角的基本图形形如字母“F”，如图3（1）；构成内错角的基本图形形如字母“Z”或“N”，如图3（2）；构成同旁内角的基本图形形如字母“U”，或叫“开口形”，如图3（3）.

2． 直线平行的三个基本条件

（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即“同位角相等，两直线平行”． 如图4，若∠1 ＝ ∠5（或∠2 ＝ ∠6或∠3 ＝ ∠7或∠4 ＝ ∠8），则a∥b.

（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，即“内错角相等，两直线平行”．如图4，若∠2 ＝ ∠8（或∠3 ＝ ∠5），则a∥b.

（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即“同旁内角互补，两直线平行”． 如图4，若∠2 ＋ ∠5 ＝ 180°（或∠3 ＋ ∠8 ＝ 180°），则a ∥ b.

3． 直线平行的其他条件

（1）平行于同一条直线的两条直线平行．

（2）垂直于同一条直线的两条直线平行．如图5，a⊥c，b⊥c，则a∥b．

[经典例析]

例1如图6，已知直线l1、l2被直线l3所截，若∠1 ＋ ∠4 ＝ 180°，试说明l1∥l2.

点拨：不妨从同位角、内错角、同旁内角三个不同的角度出发进行探索.

解法（1）： ∵ ∠1 ＋ ∠4 ＝ 180°，（已知）

∠4 ＋ ∠5 ＝ 180°，（平角定义）

∴ ∠1 ＝ ∠5，（等量代换）

∴ l1∥ l2．（同位角相等，两直线平行）

解法（2）： ∵ ∠1 ＋ ∠4 ＝ 180°，（已知）

∠1 ＋ ∠2 ＝ 180°，（平角定义）

∴ ∠2 ＝ ∠4．（等角的补角相等）

∴ l1∥l2．（内错角相等，两直线平行）

解法（3）： ∵ ∠1 ＋ ∠4 ＝ 180°，（已知）

∠1 ＝ ∠3，（对顶角相等）

∴ ∠3 ＋ ∠4 ＝ 180°．（等量代换）

∴ l1 ∥ l2．（同旁内角互补，两直线平行）

本例通过从不同的角度证明同位角相等、内错角相等及同旁内角互补来说明两条直线平行，方法灵活，对我们开阔思路、提高解题能力大有裨益.

例2 如图7，已知∠BED ＝ ∠B ＋ ∠D，试说明AB与CD的位置关系.

点拨：由已知条件无法判断AB与CD的位置关系，需构造应用平行线判定方法的条件． 因此，过E作∠BEF ＝ ∠B，则AB∥EF．由已知可得∠FED＝∠D，则CD∥EF．由平行公理可得AB∥CD．

解：AB∥CD．理由如下：

过E作∠BEF ＝ ∠B，则AB∥EF．（内错角相等，两直线平行）

∵ ∠BED ＝ ∠BEF ＋ ∠FED ＝ ∠B ＋ ∠D，

∴ ∠FED ＝ ∠D．

∴ CD∥EF． （内错角相等，两直线平行）

∴ AB∥CD．（平行于同一条直线的两直线平行）

当题目现有的条件不能解决问题时，可考虑作辅助线，辅助线常用虚线表示．

[即学即练]

1． 如图8，∠1和[ ]是同位角，∠1和[ ]是内错角，∠1和[ ]是同旁内角.

2． 如图9，如果∠1＝[ ]，那么DE∥AC；如果∠1＝[ ]，那么EF∥BC；如果∠FED ＋ [ ] ＝ 180°，那么AC∥ED；如果∠2＋[ ]＝180°，那么AB∥DF.

3． 如图10，由[ ]（填上一个合适的条件），可得BC∥DE.

4． 如图11，A、B两地之间有一座山，一条铁路要通过A、B两地，在A地测得∠MAB ＝ 75°．如果A、B两地同时开工，那么B地按∠NBA的度数为[ ]施工可使铁路在山腹中准确接通.

5． 如图12，下列推断错误的是（）．

A． 因为∠1 ＝ ∠2，所以 l3∥l4B． 因为∠3 ＝ ∠4，所以l3∥l4

C． 因为∠1 ＝ ∠3，所以l3∥l4D． 因为∠2 ＝ ∠3，所以l1∥l2

6． 如图13，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过． 如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于（）．

A． 120° B． 130° C． 140° D． 150°

7． 如图14，在屋架上要加一根横梁DE，若∠ABC ＝ 35°，那么∠ADE应该为多少度才能使DE∥BC？为什么？

8． 如图15，已知∠1 ＝ 40°，∠2 ＝ 55°，∠3 ＝ 85°，那么直线l1与l2是否平行？为什么？

9． 如图16，已知∠ABC ＝ ∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F，那么EC与DF有什么位置关系？试说明你的理由.

10．如图17，已知CB⊥AB，点E在AB上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∠EDC ＋ ∠DCE ＝ 90°． 试说明：DA⊥AB.

[中考风向标]

1． （2006年·天门市）如图18，直线a、b被直线c所截，现给出下列4个条件：①∠1 ＝ ∠5；②∠1 ＝ ∠7；③∠2 ＋∠3 ＝ 180°；④∠4 ＝ ∠7．其中能说明a∥b的条件为（）．

A． ①②B． ②

C． ①④ D． ①②④

因为∠1与∠5是同位角，故有∠1＝∠5时a∥b，①符合条件；因为∠1＝∠7，又∠7＝∠5，所以∠1＝∠5，所以a∥b，②符合条件；条件③中，∠2与∠3是邻补角，不能判定两直线平行；条件④中，因为∠5 ＝ ∠7，只有当∠4 ＋∠5 ＝ ∠4 ＋ ∠7 ＝ 180°时，才能判定两条直线平行，所以④不符合条件． 故选A.

2． （2007年·淮安市）如图19，能判定EB∥AC的条件是（）．

A．∠C ＝ ∠ABEB．∠A ＝ ∠EBD

C．∠C ＝ ∠ABC D．∠A ＝ ∠ABE

选D，利用内错角相等，两直线平行.

本节内容在中考中主要以考查基础知识为主． 主要考查利用同位角、内错角、同旁内角来判定两条直线平行，以填空题和选择题的形式为主．

探索直线的平行(证明题) 篇3

1、13，AC平分DAB，CD与AB平行吗？为什么？

2、ABEF于点B，CDEF于点D，12，试问BM与 DN平行吗？为什么？

3、已知AE平分BAC，CE平分ACD，1290，则直 线AB与CD位置关系如何？请说明理由。

C

D

探索直线的平行（证明题）姓名：

1、13，AC平分DAB，CD与AB平行吗？为什么？

2、ABEF于点B，CDEF于点D，12，试问BM与 DN平行吗？为什么？

3、已知AE平分BAC，CE平分ACD，1290，则直 线AB与CD位置关系如何？请说明理由。

C

D4、已知直线a、b被直线c所截，12，那么直线a∥b吗？为 什么？

5、若直线AB、CD被直线EF所截，EMBEND，且MG平分EMB，NP平分EMD，猜测MG与NP是否平行？试说 明理由。

B

C6、在由直线AB、CD、EF、MN构成的角中，已知123，问图中有平行线吗？如果有，把平行线找出来，并说明其平行的理由。

BC4、已知直线a、b被直线c所截，12，那么直线a∥

b吗？为 什么？

5、若直线AB、CD被直线EF所截，EMBEND，且MG平分EMB，NP平分EMD，猜测MG与NP是否平行？试说 明理由。

C6、在由直线AB、CD、EF、MN构成的角中，已知123，问图中有平行线吗？如果有，把平行线找出来，并说明其平行的理由。

探索直线平行的条件教学反思 篇4

创设丰富的情境，体现数学与现实世界的联系。注重学生探索和交流的活动，充分发挥教师的主导、学生的主体、课堂的示范作用。

在使用多媒体的教学活动中，精湛的板书对全课起着画龙点睛的作用。由教学实际出发，将内容系列化，给学生清晰、明快的感受。

直线平行的条件(二)教学设计 篇5

（二）及时巩固，深化提高

活动内容：

1．做一做：三个相同的三角尺拼接成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由。

a l

b2（1）∠1＝∠4；（2）∠2＝∠4；（3）∠1+∠3=180°

3．看图填空：

（1）如右图，∵∠1＝∠2

∴∥，A ∵∠2＝3 ∴∥，同位角相等，两直线平行 E ∵∠3＋∠4＝180°

∴∥，F G ∴AC∥FG，（2）如右图，∵∠2=，∴DE∥BC∵∠B＋＝180°，E D5 ∴DB∥EF

直线平行问题 篇6

1、学习任务分析：

直线与方程是平面解析几何初步的第一章，主要内容是用坐标法研究平面上最基本、最简单的几何图形――直线。学习本章，既能为进一步学习解析几何的圆、圆锥曲线、线性规划、以及导数、微分等做好知识上的必要准备，又能为今后灵活运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。

本节课是在学生学习了直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系。核心内容是两条直线平行与垂直的判定。它既是直线斜率概念的深化和简单应用，也是后续内容学习的重要基础。因此，我认为本节课的教学重点为：根据两条直线斜率判定两条直线平行与垂直。

用斜率判定两条直线的位置关系，体现了用代数方法研究几何问题的思想，这是贯穿于本节乃至本章内容始终的一种思想方法，它是解析几何研究问题的基本思想，本质还是数形结合。因此体会数形结合的数学思想也是本节课的教学任务之一。

2、学情分析：

在初中数学中，学生已学习过两条直线平行与垂直的判定。对两条直线平行与垂直的几何判断方法并不陌生，并且具备了一些初步推理能力。但用两条直线的斜率判定两条直线平行与垂直，是用代数方法研究几何问题，学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯。按说要学好本节内容，学生还需具备三角函数的有关知识，但此前学生并没有这方面的知识储备。尤其是对诱导公式的认识是有一定困难的。因而要导出两条直线垂直的斜率条件，学生会感到困难。因此，我以为本节课的教学难点为：探究两条直线斜率与两条直线垂直的关系。

二、教学目标设计：

《课程标准》指出本节课的学习目标是：能根据斜率判定两条直线平行或垂直。根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我把本节课的教学目标确定为：

1、能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

2、体验、经历用斜率研究两条直线的位置关系的过程与方法，通过两条直线斜率之间的关系解释几何含义即初步体会数形结合思想。

3、感受坐标法对沟通代数与几何、数与形之间联系的重要作用。

三、课堂结构设计：

本节课从总体上讲是一节原理及简单的应用教学，诱思探究教学理论认为高中的数学课堂应该是学生在自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式下，师生之间、学生之间进行愉快而有效的多边互动。结合本节课知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学：

即先让学生回顾上节课学习的内容创设问题情景，通过学生自主探究，归纳和抽象得出两条直线平行与垂直的判定条件。然后通过例题和练习使学生巩固判定条件，接着通过拓展提升，使学生进一步加深对判定条件的理解，最后通过课堂小结提高学生的认识，形成知识体系。

四、教学媒体设计：

根据本节课的教学任务以及学生学习的需要，教学媒体的设计如下：

1、多媒体辅助教学：

制作高效实用的多媒体课件。其一，在探索两条直线垂直的判定条件时，利用几何画板展示探究的过程，让学生直观感知、操作确认自己的猜想是正确的，加深学生对判定条件的理解。其二，改变相关内容的呈现方式，节约课时，增加课堂容量。

直线平行问题 篇7

一、直线与平面平行的判定

判定定理：__________________________________

判定直线与平面平行的条件有三个分别是

(1)___________________________

(2)___________________________

(3)___________________________

符号语言:________________

思想:

（一）．课前预习

1、直线与平面有哪几种位置关系？

2、判断两条直线平行有几种方法？

3.门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与门框所在平面具有什么样的位置关系？课本的对边是平行的，将课本的一边紧贴桌面，沿着这条边转动课本，课本的上边缘与桌面所在平面具有什么样的位置关系？

（二）新课探究a 例1.1:如图．直线a与直线b共面吗？

2．直线a与平面 相交吗？

练习1：判断对错

(1).如果一条直线不在平面内，那么这条直线就与这个平面平行；

(2).过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；

(3).过平面外一点有无数个直线与这条平面平行。

（4）直线a与平面α不平行，即a与平面α相交．

（5）直线a∥b，直线b平面α，则直线a∥平面α．

（6）直线a∥平面α，直线b平面α，则直线a∥b．

2.已知直线a,b和平面α，下列命题正确的是（）

A.若a//α,bÌα则a//bB.若a//α,b//α则a//b

C.若a//b,bÌα则a//αD.若a//b,bÌα则a//α或bÌα

3.在长方体ABCD-A1B1C1D1的面中：

(1)与直线AB平行的平面是：(2)与直线A A1平行的平面是：

(3)与直线AD平行的平面是：__________

A

1例2如图, 已知E、F分别是三棱锥A-BCD的侧棱AB、AD中点, 求证: EF//平面BCD.D

A

练习1.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点，求证:MN∥平面

AAC11CN B

1C1

2.已知正方形ABCD所在的平面和正方形ABEF所在的平面相交与AB，M、N分别

是AC、BF上的点且AM=FN 求证：MN//平面BCE

F

C D

E

B

3..一个长方体木块如图所示, 要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开, 应怎样画线 ?

1A

二、平面与平面平行的判定

平面与平面平行的判定定理：_________________________________________ 利用判定定理证明两个平面平行，必须具备两个条件:（1）______________________，（2）______________________。符号表示：________________________________ 思想：_________________________________

（一）课前预习

（1）平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗？（2）平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗？

（二）新课探究

例1(1)、如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()

(2)、如果一个平面内有无数条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()(3)、如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()

练习1.(1).若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行；(2)若平面α内的有无数条直线与平面β平行，则α与β平行；（3）平行于同一条直线的两个平面平行；(4)过已知平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行；(5)过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面。

其中正确的有_______________

2.直线a∥平面α，平面α内有无数条直线交于一点，那么这无数条直线中与直线 a平行的（）

（A）至少有一条（B）至多有一条（C）有且只有一条（D）不可能有

3.已知三条互相平行的直线a,b,c中，a,b,c，则两个平面,的位置关系是.4.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面的位置关系是

例

2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证：平面AB1D1//平面C1BD。

练习1:如图，设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D

1的中点，求证：平面ED1//平面BF1

2.如图为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，（1）求证：平面MNG//平面ACD；（2）求SMNG:SADC

D H C

A

A

3.正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，判断BD1与平面AEC的位置关系，并给出证明。

直线平行问题 篇8

一、教学内容：

人教版新教材

高二数学

第二册

第二章

第二节

第3课

二、教材分析：

直线与平面问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

三、教学目标：

1、知识与技能

（1）掌握直线与平面平行的性质定理、明确由线面平行可以推出线线平行。

（2）应用定理证明一些简单问题，培养学生的逻辑思维能力。

2、情感态度与价值观

（1）让学生亲身经历数学研究过程，体验创造激情，享受成功喜悦，感受数学魅力。

（2）培养学生良好的思维习惯，渗透事物互相转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。

四、教学重、难点：

1．重点：直线和平面平行的性质定理的探索过程及应用。

2．难点：直线和平面平行的性质定理的探究发现及其应用。

五、教学理念：

学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者。

为了把发现创造的机会还给学生，把成功的体验让给学生，采用引导发现法，可激发学生学习的积极性和创造性，分享探索知识的乐趣，使数学教学变成再发现、再创造的过程。通过学生自主的学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生分析问题解决问题的能力，不断发现和探索新知的精神。

六、设计思路：

本节直线与平面平行的性质与学生学习的生活联系紧密，学习时，一方面引导学生从实际生活出发，把知识与周围的事物联系起来；另一方面，教师要引导学生经理从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程，注重引导学生通过观察、操作、有条理的思考和推理等活动，引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等合情推理来探索直线、平面平行的性质及其证明。

七、教学过程：

（一）创设情景

1.如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这个平面内所有的直线都平行呢？

2.教室日光灯管所在直线与地面平行，如何在地面做一条直线与灯管所在直线平行？

（二）温故知新

1.线面平行的判定方法有几种？

（1）定义法：

若直线与平面无公共点，则直线与平面平行.（2）面面平行定义的推论：若两平面平行，则其中一个平面内的直线与另一平面平行．

（3）判定定理：证明面外直线与面内直线平行．

2.直线与平面平行的判定定理是什么？用符号语言怎样表示？

平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.（“线线平行，线面平行”）

3.要注意，利用判定定理判定直线与平面平行时，三个条件缺一不可，今天我们来学习直线与平面平行的性质定理。

（三）探求新知

1、探究：

如图所示，在长方体

ABCD-中直线，那么

（1）

A1C1是否和平面AC上所有直线都平行？和这些直线有哪几种位置关系？

（2）在平面ABCD内怎样找和直线A1C1平行的直线？这样的直线有几条？

（3）把直线A1C1换成AD1，即AD1∥平面BCC1B1，AD1是否和平面BCC1B1所有直线均平行？在此平面内怎样找和AD1都平行的直线？

（4）把直线A1C1换成A1C可否在平面ABCD内找到直线与A1C平行？

2、猜想：

师：可否把探究中的长方体载体变为一般情况，即：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的怎样的直线平行？

生：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.师：这就是直线与平面平行的性质定理，用符号怎样表示？

生：

师：下面我们来证明这一结论。

3、求证：

如图，，求证：。

证明：因为，所以。

又因为，所以a与b无公共点。又因为，所以。

4、巩固：

我们把这个定理简记为“线面平行，则线线平行”，后面的线线，一条是平行与平面的直线，另一条是经过平面外的直线的平面与已知平面的交线。这三个条件同样是缺一不可。

如果，那么经过a且与相交的平面有无数个，这无数个平面与有无数条交线，这无数条交线互相平行。

5、解决问题

直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出一种作平行线的一种重要方法。对于本节开始提出的问题，我们只需由灯管两端向地面引两条平行线，过两条平行线与地面的交点的连线就是与灯管平行的直线。

（四）拓展应用

例1、如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A＇B＇C＇D＇，（1）要经过面A＇B＇C＇D＇内的一点P和棱BC将木料锯开，应该怎样画线？

（2）所画的线和平面ABCD是什么位置关系？

解：（1）在平面A＇C＇内，过点P作直线EF，使EF

∥

B＇C＇，并分别交棱A＇B＇，C＇D＇于点E，F。连BE，CF，则EF，BE，CF就是应画的线。

（2）因为棱BC平行于平面A＇C＇，平面BC＇与平面A＇C＇交于B＇C＇，所以，BC

∥

B＇C＇。由1知，EF

∥

B＇C＇，所以EF

∥

BC，因此EF

∥

BC，EF不在平面AC，BC在平面AC上，从而EF

∥平面AC。BE，CF显然都与面AC相交。

师：解题时应用直线与平面平行的性质定理，要注意把线面平行转化为线线平行，直线与平面平行的性质定理是由直线与平面平行得到线线平行。在例题的图中，如果，那么AD和面、面BF、面都有怎样的位置关系，为什么？

生：因为，面，AD面，所以AD//面。

同理AD//面BF.又因为，过BC的面EC与交于EF.所以EF//BC,又BC//AD,所以AD//EF.因为EF

面,AD面,得AD//面.师：直线与平面平行的性质定理是由直线与直线平行得到直线与平面平行，直线与平面平行的性质定理是由直线与平面平行得到的直线与直线平行。这种直线与平面的位置关系同直线与直线的位置关系的互相转化是立体几何的一种重要思想方法。

例2、已知平面外两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一个平面也平行于这个平面。

已知，，求证：.（五）自主学习

练习：

1、直线a∥平面α，平面内α有n条互相平行的直线，那么这n条直线和直线

a

（）

（A）全平行

（B）全异面（C）全平行或全异面

（D）不全平也不全异面

2、直线a∥平面α，平面内α有无数条直线交于一点，那么这无数条直线中与直线a平行的（）（A）至少有一条

（B）至多有一条（C）有且只有一条

（D）不可能有

（六）归纳整理

这节课学习了直线平行平面的性质定理，这个定理也是两直线平行的判定定理，这个定理主要用来判定线线平行或用作创造应用线面平行判定定理的条件。

首先通过“思考”提出了两个问题，从而引出直线和平面平行的性质问题。接着以长方体为载体，对这两个问题进行探究，通过操作确认，先得出直线与平面平行的性质的猜想，然后通过逻辑论证，证明猜想的正确性，从而得到性质定理,并利用性质定理解决实际问题。

（七）布置作业

教材

P68

习题2.2

直线平行问题 篇9

1.(2013·浙江高考理科·T20)如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥

CD,AD=2,BD=是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且

AQ=3QC.(1)证明:PQ∥平面BCD.(2)若二面角C-BM-D的大小为60°,求∠BDC的大小.【解题指南】(1)要证PQ∥平面BCD,所以要在平面BCD中找到一条线与PQ平行,因为有中点,可以联想一下中位线;(2)首先要找到二面角C-BM-D的平面角,再根据垂直关系在直角三角形中解决.【解析】(1)取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF=3FC,连结OP,OF,FQ, 因为AQ=3QC,所以QF∥AD,且QF=AD.因为O,P分别为BD,BM的中点,所以OP为△BDM的中位线,所以OP∥DM,且OP=DM,由点M为AD的中点,所以OP∥AD,且OP=AD,从而OP∥QF,且OP=QF,所以四边形OPQF为平行四边形,故PQ∥OF.又PQ⊄平面BCD,OF⊂平面BCD,所以PQ∥平面BCD.(2)作CG⊥BD于点G,作GH⊥BM于点H,连结CH.-141214

因为AD⊥平面BCD,CG⊂平面BCD,所以AD⊥CG,又CG⊥BD,AD∩BD=D,故CG⊥平面ABD,又BM⊂平面ABD,所以CG⊥BM,又GH⊥BM,CG∩GH=G,故BM⊥平面CGH,所以GH⊥BM,CH⊥BM,所以∠CHG为二面角C-BM-D的平面角,即∠CHG=60°,设∠BDC=θ,在Rt△BCD中,CDBDco s,s2co

CGCDsini 2cossn,BGBCsin,22sin

BG

DM2在Rt△BDM中, HG, BM3

在Rt△CHG中, tanCHGCG3cosHGsin

所以,tanθ

所以θ=60°,即∠BDC=60°.2.（2013·陕西高考文科·Ｔ18）如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥底面ABCD,ABAA11

A

(Ⅰ)证明:平面A1BD //平面CD1B1;

(Ⅱ)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.【解题指南】面面平行可通过证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一

个平面内的两条相交直线；柱体的体积代入公式V=Sh求解.【解析】(1)设线段B1D1的中点为O1.由题意知BD∥B1D1,A1O1∥OC且A1O1=OC⇒四边形A1OCO1为平行四边形 ⇒A1O∥O1C.且A1O∩BD=O,O1C∩B1D1=O1⇒平面A1BD∥平面CD1B1.(2)因为A1O⊥底面ABCD,所以A1O是三棱柱A1B1D1-ABD的高.在正方形ABCD中,AO=1.在Rt△A1OA中,A1O=1.三棱柱A1B1D1-ABD的体积VAB1D1-ABD=S△ABD·A1

O=1

12·2·1=1.所以,三棱柱A1B1D1-ABD的体积为1.3.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ18）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，E分别是AB，BB1的中点。

（1）证明：BC1//平面ACD11；

（2）设AA1ACCB

2，ABCA1DE的体积。

【解题指南】(1)连接AC1,构造中位线，利用线线平行证线面平行；(2)V1

CA1DE3SA1DECD,确定SA1DE与高CD的长，得体积.【解析】(1)连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点.-D，又D是AB中点，连结DF，则BC1//DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1//平面A1CD.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CDAB，又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2,AB

＝

ACB90,CDA1D

直线平行问题 篇10

1.(2014·陕西高考理科·T17)(本小题满分12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.(1)证明:四边形EFGH是矩形.(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.【解题指南】(1)先证得四边形EFGH为平行四边形,再证得此平行四边形的邻边相互垂直,注意从三视图中推得已知.(2)利用已知正确建立空间直角坐标系,求得平面EFGH的法向量,代入公式即可得解.【解析】(1)因为BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH, 所以BC∥FG,BC∥EH,所以FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,所以EF∥HG, 所以四边形EFGH是平行四边形.又由三视图可知AD⊥面BDC,所以AD⊥BC,所以EF⊥FG, 所以四边形EFGH是矩形.(2)如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),设平面EFGH的法向量n=(x,y,z), 因为EF∥AD,FG∥BC, 所以n·=0,n·=0.=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,0,1).得取n=(1,1,0), 所以sinθ=|cos<,n>|===.2．(2014·陕西高考文科·T17)(本小题满分12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积.(2)证明:四边形EFGH是矩形.【解题指南】(1)先利用三视图推得线线垂直,进而得AD垂直于面BDC,确定四面体的高后再求其体积.(2)先证得四边形EFGH为平行四边形,再证得此平行四边形的邻边相互垂直,注意从三视图中推得已知.【解析】(1)由该四面体的三视图可知, BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1, 又BD∩DC=D,所以AD⊥平面BDC.所以四面体ABCD的体积V=××2×2×1=.(2)因为BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH, 所以BC∥FG,BC∥EH,所以FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,所以EF∥HG, 所以四边形EFGH是平行四边形.又因为AD⊥平面BDC,所以AD⊥BC,所以EF⊥FG, 所以四边形EFGH是矩形.3．（2014·安徽高考文科·Ｔ19）如图，四棱锥PABCD的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC//平面GEFH.(1)证明：GH//EF;

(2)若EB2，求四边形GEFH的面积.【解题提示】（1）由线面平行得出BC平行于线线EF、GH；

（2）设BD相交EF于点K，则K为OB的中点，由面面垂直得出GK^EF，再由梯形面积GH+EF.GK计算求解。2【解析】（1）因为BC//平面GEFH,BCÌ平面PBC，且平面PBCÇ平面GEFH=GH，所以GH//BC,公式S=同理可证EF//BC，因此GH//EF。

直线平行问题 篇11

加工时间线性递减的平行机排序问题

主要讨论了具有两台处理机的平行机排序问题和每批恰为k个工件的串行工件同时加工排序的平行机排序问题.在这两个问题中,工件加工时间均为开工时间的线性递减函数,目标函数为极小化总完工时间.对于第一个问题,证明了其最优排序可由工件按基本加工时间不减排列得到,由此得出其最优算法,并指出了该结论对于加工时间随开工时间线性递增的.情况并不成立.对于第二个问题,根据其与第一个问题在某些性质上的相似性,给出了其最优算法.最后指出所讨论的两个问题的结论均可推广到m台处理机的情况.

作 者：李俊杰 赵传立 作者单位：沈阳师范大学数学与系统科学学院,辽宁,沈阳,110034刊 名：系统工程与电子技术 ISTIC EI PKU英文刊名：SYSTEMS ENGINEERING AND ELECTRONICS年，卷(期)：200830(7)分类号：O223关键词：排序 平行机 串行工件同时加工排序 线性递减 总完工时间